Gaminant ar apdorojant medines dalis, kai kuriais atvejais reikia nustatyti, kur yra jų geometrinis centras. Jei dalis yra kvadrato arba stačiakampio formos, tai padaryti nėra sunku. Pakanka sujungti priešingus kampus su įstrižainėmis, kurios susikirs tiksliai mūsų figūros centre.
Produktams, kurie turi apskritimo formą, šis sprendimas netiks, nes jie neturi kampų, taigi ir įstrižainių. Šiuo atveju reikia kitokio požiūrio, paremto skirtingais principais.

Ir jie egzistuoja, ir daugybe variantų. Kai kurie iš jų yra gana sudėtingi ir reikalauja kelių įrankių, kiti yra lengvai įgyvendinami ir nereikalauja viso įrenginių rinkinio.
Dabar apžvelgsime vieną iš labiausiai paplitusių paprastus būdus Apskritimo centro radimas naudojant tik įprastą liniuotę ir pieštuką.

Apskritimo centro radimo seka:

1. Pirma, turime atsiminti, kad styga yra tiesi linija, jungianti du apskritimo taškus ir nekertanti apskritimo centro. Atgaminti visai nesunku: tereikia ant apskritimo bet kur padėti liniuotę, kad ji dviejose vietose kirstų apskritimą, ir pieštuku nubrėžti tiesią liniją. Atkarpa apskritimo viduje bus styga.
Iš principo galima apsieiti ir su vienu akordu, bet kad būtų didesnis apskritimo centro nustatymo tikslumas, nubrėžsime bent porą, o dar geriau – 3, 4 ar 5 skirtingo ilgio akordus. Tai leis mums išlyginti mūsų konstrukcijų klaidas ir tiksliau susidoroti su užduotimi.

2. Toliau, naudodami tą pačią liniuotę, randame atkurtų stygų vidurio taškus. Pavyzdžiui, jei Bendras ilgis viena styga yra 28 cm, tada jos centras bus taške, kuris yra 14 cm atstumu tiesia linija nuo stygos susikirtimo su apskritimu.
Tokiu būdu nustatę visų stygų centrus, per juos nubrėžiame statmenas linijas, naudodami, pavyzdžiui, taisyklingas trikampis.

3. Jei dabar tęsime šias tieses statmenas stygoms kryptimi į apskritimo centrą, tada jos susikirs maždaug viename taške, kuris bus norimas apskritimo centras.

4. Nustačius savo konkretaus apskritimo centro vietą, šį faktą galime panaudoti įvairiems tikslams. Taigi, jei įdėsite dailidės kompaso koją į šį tašką, galite nubrėžti idealų apskritimą ir iškirpti apskritimą naudodami atitinkamą pjovimo įrankį ir mūsų nustatytą apskritimo centrą.

Tikslai:

įtvirtinti „apskritimo“ ir „apskritimo“ sąvokas tarp mokinių; išvesti sąvoką „apskritimo spindulys“; išmokti konstruoti tam tikro spindulio apskritimus; ugdyti gebėjimą samprotauti ir analizuoti.

Asmeninis UUD:
forma Teigiamas požiūrisį matematikos pamokas;
domėjimasis dalykine tiriamąja veikla;

Meta dalykinės užduotys

Reguliuojantis UUD:
priimti ir išsaugoti mokymosi užduotį;
bendradarbiaudami su mokytoju ir klase rasti keletą sprendimų;

Kognityvinis UUD:
uždavinių formulavimas ir sprendimas:
savarankiškai nustatyti ir suformuluoti problemą;
bendrasis išsilavinimas:
rasti reikiamą informaciją vadovėlyje;
kompasu sukonstruoti nurodyto spindulio apskritimą;
galvosūkis:
formuoti „spindulio“ sąvoką;
atlikti klasifikavimą, palyginimą;
savarankiškai formuluoti išvadas;

Komunikacinis UUD:
aktyviai dalyvauti komandiniame darbe, naudojant žodines priemones;
argumentuoti savo požiūrį;

Dalyko įgūdžiai:
nustatyti esmines savybes„apskritimo spindulio“ sąvoka;
kurti skirtingų spindulių apskritimus;
atpažinti spindulius brėžinyje.

Per užsiėmimus

Motyvacija mokymosi veiklai

- Patikrinkime, ar visi pasiruošę pamokai?

„Emocinis įėjimas į pamoką“:

Šypsokis kaip saulė.

Susiraukęs kaip debesys

Verk kaip lietus

Nustebkite taip, lyg pamatėte vaivorykštę

Dabar pakartokite po manęs

Žaidimas „Draugiškas aidas“

2.Žinių atnaujinimas

Žodinis skaičiavimas

a) 60-40 36+12 10+20 58-12 90-50 31+13

Išskleiskite modelį. Tęskite seriją.

Atsakymas: 20, 48,30,46,40,44 50,42

b) Išspręskite problemą:

1. Pirmą dieną parduotuvė pardavė 42 kg vaisių, o antrąją – 2 kg daugiau. Kiek kilogramų buvo parduota antrą dieną?

Ką reikia pakeisti, kad problemą būtų galima išspręsti 2 žingsniais.

Kamuoliai - 16 vnt.

Šokdynės – 28 vnt.

Raskite šios problemos sprendimą.

28-16 28+16

Pakeiskite klausimą taip, kad problema būtų išspręsta atimant.

3. Inscenizacija edukacinė užduotis

1. Pavadinkite geometrines figūras

Apskritimo perimetras ovalus rutulys

Kuri figūra yra keistesnė?

Ką bendro turi figūros? (Apskritimas, ratas, rutulys turi ta pati forma)

Koks skirtumas?

2. B

Kurie taškai priklauso apskritimui? Kokie taškai yra už apskritimo ribų?

Ką reiškia taškas O? (apskritimo centras)

Koks yra segmento OB pavadinimas?

Kiek spindulių galima nubrėžti apskritime?

Kuris segmentas nėra spindulys? Kodėl?

Ką galima padaryti išvadą?

Išvada: visi spinduliai yra vienodo ilgio .

3. Kiek apskritimų yra paveikslėlyje?

Kuo skiriasi ratai? (dydis)

Kas lemia apskritimo dydį?

Ką galima padaryti išvadą?

Išvada: kuo didesnis apskritimas, tuo didesnis jo spindulys.

Nustatykite pamokos temą.

Tema: Nurodyto spindulio apskritimo sukūrimas naudojant kompasą.

Kokias užduotis galime sau išsikelti šioje pamokoje?

4. Darbas prie temos

a) Apskritimo konstravimas.

Ką reikia žinoti norint nubrėžti apskritimą duoto dydžio?

Nubrėžkite apskritimą, kurio spindulys yra 3 cm.

b) Pasiruošimas projekto veikla

1) Pažiūrėkite į paveikslėlį

Iš kokių formų susideda drugelis? Apskritimai vienodo spindulio?

2) Dirbkite poromis.

Atkurti projekto etapų tvarką.

Projekto pristatymas arba demonstravimas

Koncepcija (padarykite eskizą)

Sukurkite skaičius, kad įgyvendintumėte planą

Apsvarstykite, kokį spindulį turi turėti formos

c) Darbas su projektu.

Dirbti grupėse pagal sudarytą algoritmą

§ 1 ratas. Pagrindinės sąvokos

Matematikoje yra sakinių, paaiškinančių konkretaus vardo ar posakio reikšmę. Tokie sakiniai vadinami apibrėžimais.

Apibrėžkime apskritimo sąvoką. Apskritimas yra geometrinė figūra, susidedanti iš visų plokštumos taškų duotas atstumas nuo šio taško.

Šis taškas, pavadinkime jį tašku O, vadinamas apskritimo centru.

Atkarpa, jungianti centrą su bet kuriuo apskritimo tašku, vadinama apskritimo spinduliu. Yra daug tokių segmentų, kuriuos galima nubrėžti, pavyzdžiui, OA, OB, OS. Visi jie bus vienodo ilgio.

Atkarpa, jungianti du apskritimo taškus, vadinama styga. MN yra apskritimo styga.

Styga, einanti per apskritimo centrą, vadinama skersmeniu. AB yra apskritimo skersmuo. Skersmuo susideda iš dviejų spindulių, o tai reiškia, kad skersmens ilgis yra dvigubai didesnis už spindulį. Apskritimo centras yra bet kurio skersmens vidurio taškas.

Bet kurie du apskritimo taškai padalykite jį į dvi dalis. Šios dalys vadinamos apskritimo lankais.

ANB ir AMB yra apskritimo lankai.

Plokštumos dalis, kurią riboja apskritimas, vadinama apskritimu.

Norėdami pavaizduoti apskritimą brėžinyje, naudojamas kompasas. Apskritimą galima nupiešti ir ant žemės. Norėdami tai padaryti, tiesiog naudokite virvę. Vieną virvės galą pritvirtinkite prie į žemę įsmeigto kaiščio, o kitu galu nubrėžkite apskritimą.

§ 2 Konstrukcijos su kompasais ir liniuote

Geometrijoje daugelį konstrukcijų galima atlikti naudojant tik kompasą ir liniuotę be mastelio padalų.

Naudodami tik liniuotę, galite nubrėžti savavališką tiesią liniją, taip pat savavališką tiesią liniją, einančią per tam tikrą tašką, arba tiesią liniją, einančią per du nurodytus taškus.

Kompasas leidžia nubrėžti savavališko spindulio apskritimą, taip pat apskritimą, kurio centras yra tam tikrame taške, o spindulys lygus tam tikram segmentui.

Atskirai kiekvienas iš šių įrankių leidžia padaryti pačias paprasčiausias konstrukcijas, tačiau šių dviejų įrankių pagalba jau galite atlikti sudėtingesnes operacijas, pavyzdžiui,

išspręsti statybos problemas, tokias kaip

Sukurkite kampą, lygų duotajam,

Sukurkite trikampį su nurodytomis kraštinėmis,

Padalinkite segmentą per pusę

Per nurodytą tašką nubrėžkite tiesę, statmeną duotai linijai ir pan.

Panagrinėkime problemą.

Užduotis: ant duoto spindulio nuo jo pradžios nubrėžkite atkarpą, lygią duotajam.

Duota spindulys OS ir segmentas AB. Būtina sukonstruoti atkarpą OD, lygią atkarpai AB.

Naudodami kompasą sudarome spindulio apskritimą, lygus ilgiui atkarpa AB, kurios centras yra taške O. Šis apskritimas kirs duotą spindulį OS tam tikrame taške D. Atkarpa OD yra reikalinga atkarpa.

Naudotos literatūros sąrašas:

1. Geometrija. 7-9 klasės: vadovėlis. bendrajam lavinimui organizacijos / L.S. Atanasjanas, V.F. Butuzovas, S.B. Kadomtsev ir kt. - M.: Išsilavinimas, 2013. - 383 p.: iliustr.
2. Gavrilova N.F. Pamokos raida geometrijos 7 klasėje. - M.: “VAKO”, 2004. - 288 p. - (Padėti mokyklos mokytojui).
3. Belitskaya O.V. Geometrija. 7 klasė. 1 dalis. Testai. – Saratovas: Licėjus, 2014. – 64 p.

Sakinys, paaiškinantis tam tikro posakio ar vardo reikšmę, vadinamas apibrėžimas. Mes jau susidūrėme su apibrėžimais, pavyzdžiui, su kampo, gretimų kampų, lygiašonio trikampio ir kt. geometrinė figūra- apskritimai.

Apibrėžimas

Šis taškas vadinamas apskritimo centras, o atkarpa, jungianti centrą su bet kuriuo apskritimo tašku, yra apskritimo spindulys(77 pav.). Iš apskritimo apibrėžimo matyti, kad visi spinduliai yra vienodo ilgio.

Ryžiai. 77

Atkarpa, jungianti du apskritimo taškus, vadinama jos styga. Akordas, einantis per apskritimo centrą, vadinamas jo skersmens.

78 paveiksle atkarpos AB ir EF yra apskritimo stygos, segmentas CD – apskritimo skersmuo. Akivaizdu, kad apskritimo skersmuo yra du kartus didesnis už jo spindulį. Apskritimo centras yra bet kurio skersmens vidurio taškas.

Ryžiai. 78

Bet kurie du apskritimo taškai padalykite jį į dvi dalis. Kiekviena iš šių dalių vadinama apskritimo lanku. 79 paveiksle ALB ir AMB yra lankai, apriboti taškais A ir B.

Ryžiai. 79

Norėdami piešinyje pavaizduoti apskritimą, naudokite kompasas(80 pav.).

Ryžiai. 80

Norėdami nubrėžti apskritimą ant žemės, galite naudoti virvę (81 pav.).

Ryžiai. 81

Plokštumos dalis, kurią riboja apskritimas, vadinama apskritimu (82 pav.).

Ryžiai. 82

Konstrukcijos su kompasais ir liniuote

Su geometrinėmis konstrukcijomis jau užsiėmėme: braižėme tiesias linijas, braižėme duomenims lygias atkarpas, braižome kampus, trikampius ir kitas figūras. Tuo pačiu metu naudojome mastelio liniuotę, kompasą, matuoklį ir piešimo kvadratą.

Pasirodo, daugelį konstrukcijų galima atlikti naudojant tik kompasą ir liniuotę be mastelio padalų. Todėl geometrijoje ypatingai išskiriamos tos konstravimo užduotys, kurias galima išspręsti naudojant tik šiuos du įrankius.

Ką su jais daryti? Akivaizdu, kad liniuotė leidžia nubrėžti savavališką tiesią liniją, taip pat sukurti tiesią liniją, einančią per du nurodytus taškus. Naudodami kompasą galite nubrėžti savavališko spindulio apskritimą, taip pat apskritimą, kurio centras yra tam tikrame taške, o spindulys lygus tam tikram segmentui. Atlikdami šias paprastas operacijas galime išspręsti daug įdomių statybos problemų:

sudaryti kampą, lygų duotajam;
per nurodytą tašką nubrėžkite tiesę, statmeną duotai tiesei;
padalinti šį segmentą per pusę ir kitos užduotys.

Pradėkime nuo paprastos užduoties.

Užduotis

Ant tam tikro spindulio nuo jo pradžios nubraižykite atkarpą, lygią duotajam.

Sprendimas

Pavaizduokime uždavinio teiginyje pateiktas figūras: spindulys OS ir segmentas AB (83 pav., a). Tada kompasu sukonstruojame AB spindulio apskritimą su centru O (83 pav., b). Šis apskritimas kirs spindulį OS tam tikrame taške D. Atkarpa OD yra reikalinga.

Ryžiai. 83

Statybos problemų pavyzdžiai

Kampo, lygaus duotajam, konstravimas

Užduotis

Iš tam tikro spindulio atimkite kampą, lygų tam tikram.

Sprendimas

Šis kampas su viršūne A ir spinduliu OM parodytas 84 paveiksle. Reikia sudaryti kampą, lygų kampui A, kad viena jo kraštinė sutaptų su spinduliu OM.

Ryžiai. 84

Nubrėžkime savavališko spindulio apskritimą, kurio centras yra nurodyto kampo viršūnėje A. Šis apskritimas kerta kampo kraštines taškuose B ir C (85 pav., a). Tada nubrėžiame tokio paties spindulio apskritimą, kurio centras yra šio spindulio OM pradžioje. Jis kerta spindulį taške D (85 pav., b). Po to sukonstruosime apskritimą su centru D, kurio spindulys lygus BC. Apskritimai su centrais O ir D susikerta dviejuose taškuose. Vieną iš šių taškų pažymėkime raide E. Įrodykime, kad kampas MOE yra norimas.

Ryžiai. 85

Apsvarstykite trikampius ABC ir ODE. Atkarpos AB ir AC yra apskritimo, kurio centras yra A, spinduliai, o atkarpos OD ir OE – apskritimo su centru O spinduliai (žr. 85 pav., b). Kadangi pagal konstrukciją šie apskritimai yra vienodo spindulio, tai AB = OD, AC = OE. Taip pat pagal konstrukciją BC = DE.

Todėl Δ ABC = Δ ODE iš trijų pusių. Todėl ∠DOE = ∠BAC, ty sudarytas kampas MOE yra lygus nurodytam kampui A.

Tą pačią konstrukciją galima atlikti ir ant žemės, jei vietoj kompaso naudojate virvę.

Kampo bisektoriaus konstravimas

Užduotis

Sukurkite duoto kampo pusiausvyrą.

Sprendimas

Šis kampas BAC parodytas 86 paveiksle. Nubrėžkime savavališko spindulio apskritimą, kurio centras yra viršūnėje A. Jis kirs kampo kraštines taškuose B ir C.

Ryžiai. 86

Tada nubrėžiame du vienodo spindulio BC apskritimus, kurių centrai yra taškuose B ir C (paveiksle pavaizduotos tik šių apskritimų dalys). Jie susikirs dviejuose taškuose, iš kurių bent vienas yra kampo viduje. Pažymėkime raide E. Įrodykime, kad spindulys AE yra duotojo kampo BAC pusiausvyra.

Apsvarstykite trikampius ACE ir ABE. Jie yra vienodi iš trijų pusių. Tiesą sakant, AE - bendra pusė; AC ir AB yra lygūs to paties apskritimo spinduliams; CE = BE pagal konstrukciją.

Iš trikampių ACE ir ABE lygybės išplaukia, kad ∠CAE = ∠BAE, ty spindulys AE yra duoto kampo BAC pusiausvyra.

komentuoti

Ar įmanoma padalyti nurodytą kampą į du lygius kampus naudojant kompasą ir liniuotę? Aišku, kad tai įmanoma – tam reikia nubrėžti šio kampo bisektorių.

Šis kampas taip pat gali būti padalintas į keturis vienodus kampus. Norėdami tai padaryti, turite padalyti jį per pusę, o tada kiekvieną pusę vėl padalyti per pusę.

Ar įmanoma padalyti nurodytą kampą į tris vienodus kampus naudojant kompasą ir liniuotę? Ši užduotis, vadinama kampo trisekcijos problemos, daugelį amžių traukė matematikų dėmesį. Tik XIX amžiuje buvo įrodyta, kad tokia konstrukcija yra neįmanoma savavališkam kampui.

Statmenų tiesių konstravimas

Užduotis

Duota tiesi linija ir taškas ant jos. Sukurkite tiesę, einančią per nurodytą tašką ir statmeną nurodytai tiesei.

Sprendimas

Duota tiesė a ir duotas taškas M, priklausantis šiai tiesei, pavaizduoti 87 paveiksle.

Ryžiai. 87

Ant tiesės a spindulių, sklindančių iš taško M, nubrėžiame lygias atkarpas MA ir MB. Tada sukonstruosime du apskritimus su centrais A ir B, kurių spindulys AB. Jie susikerta dviejuose taškuose: P ir Q.

Nubrėžkime tiesę per tašką M ir vieną iš šių taškų, pavyzdžiui, tiesę MR (žr. 87 pav.), ir įrodykime, kad ši tiesė yra norima, t.y., kad ji yra statmena duotai tiesei a .

Iš tikrųjų, kadangi lygiašonio trikampio RAB mediana PM taip pat yra aukštis, tada PM ⊥ a.

Atkarpos vidurio taško konstravimas

Užduotis

Sukurkite šios atkarpos vidurio tašką.

Sprendimas

Tegu AB yra duotoji atkarpa. Sukonstruokime du apskritimus, kurių centrai A ir B, kurių spindulys AB. Jie susikerta taškuose P ir Q. Nubrėžkime tiesę PQ. Šios tiesės susikirtimo su atkarpa AB taškas O yra norimas atkarpos AB vidurio taškas.

Iš tikrųjų trikampiai APQ ir BPQ yra lygūs iš trijų kraštinių, todėl ∠1 =∠2 (89 pav.).

Ryžiai. 89

Vadinasi, atkarpa PO yra lygiašonio trikampio ARB pusiausvyra, todėl mediana, ty taškas O yra atkarpos AB vidurys.

Užduotys

143. Kurie iš 90 paveiksle pavaizduotų atkarpų yra: a) apskritimo stygos; b) apskritimo skersmenys; c) apskritimo spinduliai?

Ryžiai. 90

144. Atkarpos AB ir CD yra apskritimo skersmenys. Įrodykite, kad: a) stygos BD ir AC yra lygios; b) stygos AD ir BC yra lygios; c) ∠BAD = ∠BCD.

145. Atkarpa MK yra apskritimo, kurio centras yra O, skersmuo, o MR ir RK yra lygios šio apskritimo stygos. Raskite ∠POM.

146. Atkarpos AB ir CD yra apskritimo, kurio centras O, skersmenys. Raskite trikampio AOD perimetrą, jei žinoma, kad CB = 13 cm, AB = 16 cm.

147. Apskritime, kurio centras O, pažymėti taškai A ir B, kad kampas AOB būtų stačiakampis. Atkarpa BC yra apskritimo skersmuo. Įrodykite, kad stygos AB ir AC yra lygios.

148. Tiesėje yra du taškai A ir B. Spindulio BA A tęsinyje atidėkite atkarpą BC taip, kad BC = 2AB.

149. Duota tiesė a, ant jos negulintis taškas B ir atkarpa PQ. Sukurkite tašką M tiesėje a taip, kad BM = PQ. Ar problema visada turi sprendimą?

150. Duotas apskritimas, jame negulintis taškas A ir atkarpa PQ. Sukurkite tašką M apskritime taip, kad AM = PQ. Ar problema visada turi sprendimą?

151. Duotas smailusis kampas BAC ir spindulys XY. Sukurkite kampą YXZ taip, kad ∠YXZ = 2∠BAC.

152. Danas bukas kampas AOB. Sukurkite spindulį OX taip, kad kampai HOA ir HOB būtų lygūs bukieji kampai.

153. Duota tiesė a ir ant jos negulinti taškas M. Nubrėžkite tiesę, kertančią tašką M ir statmeną tiesei a.

Sprendimas

Sukonstruokime apskritimą, kurio centras yra duotame taške M, kertančią duotąją tiesę a dviejuose taškuose, kuriuos žymime raidėmis A ir B (91 pav.). Tada sukonstruosime du apskritimus, kurių centrai A ir B eina per tašką M. Šie apskritimai susikerta taške M ir kitame taške, kurį pažymėsime raide N. Nubrėžkime tiesę MN ir įrodykime, kad ši tiesė yra norima vienas, t.y. jis yra statmenas tiesei a.

Ryžiai. 91

Tiesą sakant, trikampiai AMN ir BMN yra lygūs iš trijų kraštinių, todėl ∠1 = ∠2. Iš to išplaukia, kad atkarpa MC (C yra tiesių a ir MN susikirtimo taškas) yra lygiašonio trikampio AMB pusiaukraštis, taigi ir jo aukštis. Taigi MN ⊥ AB, t.y. MN ⊥ a.

154. Duotas trikampis ABC. Sukonstruoti: a) pusiausvyrą AK; b) mediana VM; c) trikampio aukštis CH. 155. Kompasu ir liniuote sukonstruokite kampą, lygų: a) 45°; b) 22°30".

Atsakymai į problemas

152. Nurodymas. Pirmiausia sukonstruokite kampo AOB bisektorių.