Sudėtinių funkcijų išvestinė su pi. Sudėtingos funkcijos atskyrimo taisyklė. Sudėtingi dariniai. Logaritminė išvestinė. Laipsninės eksponentinės funkcijos išvestinė

Išvestinės formulės išvedimas galios funkcija(x iki a laipsnio). Nagrinėjamos išvestinės iš x šaknų. Laipsninės funkcijos išvestinės formulė aukštesnė tvarka. Išvestinių finansinių priemonių skaičiavimo pavyzdžiai.

Turinys

Taip pat žiūrėkite: Galios funkcija ir šaknys, formulės ir grafikas
Galios funkcijų grafikai

Pagrindinės formulės

x išvestinė iš laipsnio a lygi iš karto x iš laipsnio minus vienas:
(1) .

x n-osios šaknies išvestinė iki m-osios laipsnio yra:
(2) .

Laipsninės funkcijos išvestinės formulės išvedimas

Atvejis x > 0

Apsvarstykite kintamojo x laipsnio funkciją su eksponentu a:
(3) .
Čia a yra savavališkas tikras numeris. Pirmiausia panagrinėkime atvejį.

Norėdami rasti funkcijos (3) išvestinę, naudojame laipsnio funkcijos savybes ir paverčiame ją tokia forma:
.

Dabar randame išvestį naudodami:
;
.
čia .

Formulė (1) buvo įrodyta.

n laipsnio šaknies x išvestinės iki m laipsnio formulės išvedimas

Dabar apsvarstykite funkciją, kuri yra šios formos šaknis:
(4) .

Norėdami rasti išvestinę, transformuojame šaknį į galios funkciją:
.
Lyginant su (3) formule matome, kad
.
Tada
.

Naudodami (1) formulę randame išvestinę:
(1) ;
;
(2) .

Praktiškai nereikia įsiminti formulės (2). Daug patogiau iš pradžių šaknis transformuoti į laipsniškas funkcijas, o tada pagal (1) formulę rasti jų išvestinius (žr. pavyzdžius puslapio pabaigoje).

Atvejis x = 0

Jei , tai galios funkcija yra apibrėžta kintamojo x = reikšmei 0 . Raskime funkcijos (3) išvestinę ties x = 0 . Norėdami tai padaryti, naudojame darinio apibrėžimą:
.

Pakeiskime x = 0 :
.
Šiuo atveju išvestine turime omenyje dešinės pusės ribą, kuriai .

Taigi mes radome:
.
Iš to aišku, kad , .
adresu , .
adresu , .
Šis rezultatas taip pat gaunamas iš (1) formulės:
(1) .
Todėl formulė (1) galioja ir x = 0 .

Atvejis x< 0

Dar kartą apsvarstykite funkciją (3):
(3) .
Tam tikroms konstantos a reikšmėms ji taip pat apibrėžiama neigiamoms kintamojo x reikšmėms. Būtent, tegul a yra racionalus skaičius. Tada ją galima pavaizduoti kaip neredukuojamą trupmeną:
,
kur m ir n yra sveikieji skaičiai be bendras daliklis.

Jei n yra nelyginis, tada galios funkcija taip pat apibrėžiama neigiamoms kintamojo x reikšmėms. Pavyzdžiui, kai n = 3 ir m = 1 turime x kubinę šaknį:
.
Jis taip pat apibrėžiamas neigiamoms kintamojo x reikšmėms.

Raskime galios funkcijos (3) išvestinę konstantos a, kuriai ji apibrėžta, racionalioms reikšmėms. Norėdami tai padaryti, įsivaizduokite x tokia forma:
.
Tada,
.
Išvestinę randame pastatydami konstantą už išvestinės ženklo ribų ir taikydami sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklę:

.
čia .
.
Bet
.
Tada
.
Nuo tada
(1) .

Tai yra, formulė (1) taip pat galioja:

Aukštesnės eilės išvestinės priemonės
(3) .
Dabar suraskime aukštesnės eilės galios funkcijos išvestines
.

Mes jau radome pirmos eilės išvestinį:
.
Paėmę konstantą a už išvestinės ženklo ribų, randame antros eilės išvestinę:
;

.

Panašiai randame trečios ir ketvirtos eilės išvestinius: Iš to aišku, kad savavališkos n-osios eilės vedinys
.

turi tokią formą: pastebėti, kad jei a yra natūralusis skaičius
.
, tada n-oji išvestinė yra pastovi:
,
Tada visos paskesnės išvestinės yra lygios nuliui:

adresu .

Išvestinių finansinių priemonių skaičiavimo pavyzdžiai

Pavyzdys
.

Raskite funkcijos išvestinę:
;
.
Paverskime šaknis į galias:
.

Tada pradinė funkcija įgauna tokią formą:
;
.
Galių išvestinių radimas:
.

Konstantos išvestinė lygi nuliui:
Sudėtingi dariniai. Logaritminė išvestinė.

Laipsninės eksponentinės funkcijos išvestinė

Mes ir toliau tobuliname savo diferenciacijos techniką. Šioje pamokoje konsoliduosime apžvelgtą medžiagą, pažvelgsime į sudėtingesnius išvestinius išvestinius dalykus, taip pat susipažinsime su naujais būdais ir gudrybėmis ieškant išvestinės, ypač su logaritmine dariniu. Tie skaitytojai, kurie turi žemą pasirengimo lygį, turėtų perskaityti straipsnį Kaip rasti išvestinę priemonę? Sprendimų pavyzdžiai , kuri leis pakelti savo įgūdžius beveik nuo nulio. Tada turite atidžiai išstudijuoti puslapį Sudėtingos funkcijos išvestinė , suprasti ir išspręsti Visi mano pateikti pavyzdžiai. Ši pamoka logiškai yra trečia iš eilės ir ją įvaldę užtikrintai atskirsite gana sudėtingas funkcijas. Nepageidautina užimti poziciją „Kur dar? Taip, užtenka “, nes visi pavyzdžiai ir sprendimai paimti iš tikro bandymai

ir dažnai susiduriama praktikoje. , kuri leis pakelti savo įgūdžius beveik nuo nulio. Tada turite atidžiai išstudijuoti puslapį Pradėkime nuo pasikartojimo. Pamokoje Mes peržiūrėjome keletą pavyzdžių su išsamiais komentarais. Studijuojant diferencialinį skaičiavimą ir kitas matematinės analizės šakas, teks labai dažnai diferencijuoti, o ne visada patogu (ir ne visada būtina) labai detaliai aprašyti pavyzdžius. Todėl praktikuosime vedinių radimą žodžiu. Tam tinkamiausi „kandidatai“ yra paprasčiausio dariniai sudėtingos funkcijos

Pagal sudėtingų funkcijų diferencijavimo taisyklę :

Ateityje studijuojant kitas matan temas tokio detalaus fiksavimo dažniausiai nereikia, daroma prielaida, kad mokinys moka rasti tokius išvestinius autopilotu. Įsivaizduokime, kad 3 valandą nakties suskambo telefonas ir malonus balsas paklausė: „Kokia yra dviejų X tangento išvestinė? Po to turėtų būti beveik akimirksniu ir mandagus atsakymas: .

Pirmasis pavyzdys iš karto bus skirtas savarankiškam sprendimui.

1 pavyzdys

Raskite šiuos išvestinius žodžiu, vienu veiksmu, pavyzdžiui: . Norėdami atlikti užduotį, jums tereikia naudoti elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė(jei dar neprisimenate). Jei kyla sunkumų, rekomenduoju dar kartą perskaityti pamoką , kuri leis pakelti savo įgūdžius beveik nuo nulio. Tada turite atidžiai išstudijuoti puslapį.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Atsakymai pamokos pabaigoje

Sudėtingi dariniai

Po išankstinio artilerijos paruošimo pavyzdžiai su 3-4-5 funkcijų lizdais bus mažiau baisūs. Šie du pavyzdžiai kai kam gali pasirodyti sudėtingi, bet jei juos suprasite (kas nors nukentės), tai beveik visa kita diferencialiniame skaičiavime atrodys kaip vaiko pokštas.

2 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Kaip jau buvo pažymėta, ieškant sudėtingos funkcijos išvestinę, pirmiausia tai būtina Teisingai SUPRASTAS savo investicijas. Tais atvejais, kai kyla abejonių, primenu jums naudingą techniką: paimame, pavyzdžiui, eksperimentinę „x“ reikšmę ir bandome (protiškai arba juodraštyje) pakeisti duota vertėį „baisią išraišką“.

1) Pirmiausia turime apskaičiuoti išraišką, o tai reiškia, kad suma yra giliausias įterpimas.

2) Tada reikia apskaičiuoti logaritmą:

4) Tada supjaustykite kosinusą:

5) Penktame etape skirtumas:

6) Galiausiai, tolimiausia funkcija yra kvadratinė šaknis:

Sudėtingos funkcijos diferencijavimo formulė yra taikomos atvirkštine tvarka, nuo išorinės funkcijos iki vidinės. Mes nusprendžiame:

Atrodo, kad klaidų nėra...

(1) Paimkite kvadratinės šaknies išvestinę.

(2) Naudodami taisyklę imame skirtumo išvestinę

(3) Trigubo išvestinė lygi nuliui. Antruoju nariu imame laipsnio (kubo) išvestinę.

(4) Paimkite kosinuso išvestinę.

(5) Paimkite logaritmo išvestinę.

(6) Galiausiai paimame giliausio įterpimo išvestinį.

Tai gali atrodyti per sunku, bet tai nėra pats žiauriausias pavyzdys. Paimkite, pavyzdžiui, Kuznecovo kolekciją ir įvertinsite visą analizuojamo darinio grožį ir paprastumą. Pastebėjau, kad jie mėgsta duoti panašų dalyką per egzaminą, kad patikrintų, ar studentas supranta, kaip rasti sudėtingos funkcijos išvestinę, ar nesupranta.

Šis pavyzdys skirtas jums patiems išspręsti.

3 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Patarimas: pirmiausia taikome tiesiškumo taisykles ir produktų diferenciacijos taisyklę

Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Atėjo laikas pereiti prie kažko mažesnio ir gražesnio.
Neretai pavyzdyje parodoma ne dviejų, o trijų funkcijų sandauga. Kaip rasti išvestinę gaminiai iš trijų daugikliai?

4 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Pirmiausia pažiūrėkime, ar įmanoma trijų funkcijų sandaugą paversti dviejų funkcijų sandauga? Pavyzdžiui, jei gaminyje būtų du daugianariai, galėtume atidaryti skliaustus. Tačiau nagrinėjamame pavyzdyje visos funkcijos skiriasi: laipsnis, eksponentas ir logaritmas.

Tokiais atvejais būtina nuosekliai taikyti produktų diferencijavimo taisyklę du kartus

Apgaulė ta, kad raide „y“ žymime dviejų funkcijų sandaugą: , o „ve“ žymime logaritmą: . Kodėl tai galima padaryti? Ar tikrai – tai ne dviejų veiksnių rezultatas ir taisyklė neveikia?! Nėra nieko sudėtingo:

Dabar belieka taisyklę taikyti antrą kartą skliausteliui:

Taip pat galite susisukti ir ką nors įdėti iš skliaustų, tačiau tokiu atveju geriau palikti atsakymą tiksliai šioje formoje - bus lengviau patikrinti.

Nagrinėjamas pavyzdys gali būti išspręstas antruoju būdu:

Abu sprendimai yra visiškai lygiaverčiai.

5 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys pavyzdyje, jis išspręstas naudojant pirmąjį metodą.

Pažvelkime į panašius pavyzdžius su trupmenomis.

6 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Čia galite eiti keliais būdais:

Arba taip:

Tačiau sprendimas bus parašytas kompaktiškiau, jei pirmiausia pasinaudosime koeficiento diferenciacijos taisykle , imant visą skaitiklį:

Iš principo pavyzdys išspręstas, o palikus tokį, koks yra, tai nebus klaida. Bet jei turite laiko, visada patartina patikrinti juodraštį, ar galima supaprastinti atsakymą? Sumažinkime skaitiklio išraišką iki Bendras vardiklis Ir atsikratykime triaukštės trupmenos:

Papildomų supaprastinimų trūkumas yra tas, kad kyla pavojus suklysti ne ieškant išvestinio, o atliekant banalias mokyklos transformacijas. Kita vertus, mokytojai dažnai atmeta užduotį ir prašo „atsiminti“ išvestinį.

Paprastesnis pavyzdys, kurį galite išspręsti patys:

7 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Mes ir toliau įvaldome išvestinės radimo metodus, o dabar nagrinėsime tipišką atvejį, kai diferencijavimui siūlomas „siaubingas“ logaritmas

8 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Čia galite nueiti ilgą kelią, naudodami sudėtingos funkcijos atskyrimo taisyklę:

Tačiau pats pirmas žingsnis iš karto nugrimzta į neviltį – jūs turite paimti nemalonų darinį iš trupmeninės laipsnio, o tada ir iš trupmenos.

Štai kodėl prieš kaip paimti „sudėtingo“ logaritmo išvestinę, pirmiausia ji supaprastinama naudojant žinomą mokyklos nuosavybės:

! Jei po ranka turite praktikos sąsiuvinį, nukopijuokite šias formules tiesiai ten. Jei neturite sąsiuvinio, nukopijuokite juos ant popieriaus lapo, nes likę pamokos pavyzdžiai bus susiję su šiomis formulėmis.

Pats sprendimas gali būti parašytas maždaug taip:

Pakeiskime funkciją:

Išvestinio radimas:

Išankstinis pačios funkcijos konvertavimas labai supaprastino sprendimą. Taigi, pasiūlius diferencijuoti panašų logaritmą, visada patartina jį „išskaidyti“.

O dabar keli paprasti pavyzdžiai, kuriuos galite išspręsti patys:

9 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

10 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Visos transformacijos ir atsakymai yra pamokos pabaigoje.

Logaritminė išvestinė

Jeigu logaritmų darinys yra tokia miela muzika, tada kyla klausimas: ar galima kai kuriais atvejais logaritmą organizuoti dirbtinai? Gali! Ir netgi būtina.

11 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Neseniai pažvelgėme į panašius pavyzdžius. Ką daryti? Galite nuosekliai taikyti koeficiento diferencijavimo taisyklę, o tada sandaugos diferencijavimo taisyklę. Šio metodo trūkumas yra tas, kad jūs gaunate didžiulę trijų aukštų dalį, su kuria jūs visiškai nenorite kovoti.

Tačiau teorijoje ir praktikoje yra toks nuostabus dalykas kaip logaritminė išvestinė. Logaritmus galima organizuoti dirbtinai, „pakabinant“ juos iš abiejų pusių:

Pastaba : nes funkcija gali turėti neigiamas reikšmes, tada paprastai reikia naudoti modulius: , kuris išnyks dėl diferenciacijos. Tačiau dabartinis dizainas taip pat yra priimtinas, kai pagal numatytuosius nustatymus į jį atsižvelgiama kompleksas reikšmės. Bet jei visapusiškai griežtai, tai abiem atvejais reikėtų daryti išlygą.

Dabar reikia kuo labiau „išskaidyti“ dešinės pusės logaritmą (formulės prieš akis?). Šį procesą aprašysiu labai išsamiai:

Pradėkime nuo diferenciacijos.
Abi dalis užbaigiame pagal pagrindinį lygį:

Dešinės pusės vedinys yra gana paprastas, jo nekomentuosiu, nes jei skaitote šį tekstą, turėtumėte su juo elgtis užtikrintai.

O kairėje pusėje?

Kairėje pusėje turime sudėtinga funkcija. Numatau klausimą: „Kodėl po logaritmu yra viena raidė „Y“?

Faktas yra tas, kad šis „vienos raidės žaidimas“ - PATS YRA FUNKCIJA(jei nelabai aišku, žr. straipsnį Netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinė). Todėl logaritmas yra išorinė funkcija, o „y“ yra vidinė funkcija. Ir mes naudojame taisyklę, kad atskirtume sudėtingą funkciją :

Kairėje pusėje tarsi burtų keliu turime darinį. Toliau pagal proporcingumo taisyklę „y“ perkeliame iš kairės pusės vardiklio į dešinės pusės viršų:

O dabar prisiminkime, apie kokią „žaidėjo“ funkciją kalbėjome diferenciacijos metu? Pažiūrėkime į sąlygą:

Galutinis atsakymas:

12 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Šio tipo pavyzdžio dizaino pavyzdys yra pamokos pabaigoje.

Naudojant logaritminę išvestinę buvo galima išspręsti bet kurį iš pavyzdžių Nr. 4-7, kitas dalykas, kad funkcijos ten paprastesnės ir, ko gero, logaritminės išvestinės naudojimas nėra labai pagrįstas.

Laipsninės eksponentinės funkcijos išvestinė

Šios funkcijos dar nesvarstėme. Galios eksponentinė funkcija yra funkcija, kuriai ir laipsnis, ir bazė priklauso nuo „x“. Klasikinis pavyzdys, kuris bus pateiktas bet kuriame vadovėlyje ar paskaitoje:

Kaip rasti galios eksponentinės funkcijos išvestinę?

Būtina naudoti ką tik aptartą techniką – logaritminę išvestinę. Mes pakabiname logaritmus iš abiejų pusių:

Paprastai dešinėje pusėje laipsnis išimamas iš logaritmo:

Dėl to dešinėje pusėje turime dviejų funkcijų sandaugą, kurios bus diferencijuojamos pagal standartinę formulę .

Norėdami tai padaryti, randame abi dalis po brūkšniais:

Kiti veiksmai yra paprasti:

Pagaliau:

Jei kuris nors pakeitimas nėra visiškai aiškus, dar kartą atidžiai perskaitykite 11 pavyzdžio paaiškinimus.

IN praktines užduotis Galios eksponentinė funkcija visada bus sudėtingesnė nei paskaitoje aptariamas pavyzdys.

13 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Mes naudojame logaritminę išvestinę.

Dešinėje pusėje yra konstanta ir dviejų veiksnių sandauga - „x“ ir „logaritmo x logaritmas“ (po logaritmu įdėtas kitas logaritmas). Diferencijuojant, kaip prisimename, konstantą geriau iš karto išvesti iš išvestinio ženklo, kad ji netrukdytų; ir, žinoma, taikome pažįstamą taisyklę :

Kuriame išnagrinėjome paprasčiausias išvestis, taip pat susipažinome su diferencijavimo taisyklėmis ir kai kuriomis techninėmis išvestinių radimo technikomis. Taigi, jei nesate labai gerai susipažinę su funkcijų išvestiniais arba kai kurie šio straipsnio punktai nėra visiškai aiškūs, pirmiausia perskaitykite aukščiau pateiktą pamoką. Prašau nusiteikti rimtai – medžiaga nėra paprasta, bet vis tiek stengsiuosi ją pateikti paprastai ir aiškiai.

Praktikoje su sudėtingos funkcijos išvestine tenka susidurti labai dažnai, net sakyčiau, beveik visada, kai duodama užduotis surasti išvestines.

Mes žiūrime į lentelę pagal taisyklę (Nr. 5), skirtą sudėtingos funkcijos diferencijavimui:

Išsiaiškinkime. Visų pirma, atkreipkime dėmesį į įrašą. Čia turime dvi funkcijas – ir , o funkcija, vaizdžiai tariant, yra įdėta į funkciją . Šio tipo funkcija (kai viena funkcija įdėta į kitą) vadinama sudėtinga funkcija.

Paskambinsiu funkcijai išorinė funkcija, ir funkcija – vidinė (arba įdėta) funkcija.

! Šie apibrėžimai nėra teoriniai ir neturėtų būti įtraukti į galutinį užduočių planą. Aš naudoju neformalius posakius „išorinė funkcija“, „vidinė“ funkcija tik tam, kad jums būtų lengviau suprasti medžiagą.

Norėdami išsiaiškinti situaciją, apsvarstykite:

1 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Po sinusu turime ne tik raidę „X“, bet ir visą išraišką, todėl išvestinę iš karto rasti nepavyks. Taip pat pastebime, kad čia neįmanoma taikyti pirmųjų keturių taisyklių, atrodo, kad skirtumas yra, tačiau faktas yra tas, kad sinuso negalima „suplėšyti į gabalus“:

Šiame pavyzdyje iš mano paaiškinimų jau intuityviai aišku, kad funkcija yra sudėtinga funkcija, o daugianomas yra vidinė funkcija (įterpimas) ir išorinė funkcija.

Pirmas žingsnis ką reikia padaryti ieškant sudėtingos funkcijos išvestinės suprasti, kuri funkcija yra vidinė, o kuri išorinė.

Kada paprasti pavyzdžiai Atrodo aišku, kad polinomas yra įterptas po sinusu. Bet ką daryti, jei viskas nėra akivaizdu? Kaip tiksliai nustatyti, kuri funkcija yra išorinė, o kuri vidinė? Norėdami tai padaryti, siūlau naudoti šią techniką, kurią galima atlikti mintyse arba juodraštyje.

Įsivaizduokime, kad mums reikia skaičiuotuvu apskaičiuoti išraiškos reikšmę at (vietoj vieneto gali būti bet koks skaičius).

Ką pirmiausia skaičiuosime? Pirmiausia reikės padaryti sekantis veiksmas: , todėl daugianomas bus vidinė funkcija:

Antra reikės rasti, taigi sinusas – bus išorinė funkcija:

Po mūsų IŠPARDUOTA naudojant vidines ir išorines funkcijas, laikas taikyti sudėtingų funkcijų diferencijavimo taisyklę .

Pradėkime spręsti. Iš pamokos Kaip rasti išvestinę priemonę? prisimename, kad bet kurios išvestinės sprendinio kūrimas visada prasideda taip – išraišką įdedame skliausteliuose, o viršuje dešinėje darome brūkšnį:

Iš pradžių raskite išorinės funkcijos išvestinę (sinusą), pažiūrėkite į išvestinių lentelę elementarios funkcijos ir mes tai pastebime. Visos lentelės formulės taip pat taikomos, jei „x“ pakeičiamas sudėtinga išraiška, tokiu atveju:

Atkreipkite dėmesį, kad vidinė funkcija nepasikeitė, mes jo neliečiame.

Na, tai gana akivaizdu

Formulės taikymo rezultatas galutine forma jis atrodo taip:

Pastovus koeficientas paprastai dedamas išraiškos pradžioje:

Jei kyla nesusipratimų, užrašykite sprendimą ant popieriaus ir dar kartą perskaitykite paaiškinimus.

2 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

3 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Kaip visada, užrašome:

Išsiaiškinkime, kur turime išorinę funkciją, o kur – vidinę. Norėdami tai padaryti, bandome (protiškai arba juodraštyje) apskaičiuoti išraiškos reikšmę . Ką daryti pirmiausia? Visų pirma, reikia apskaičiuoti, kam lygi bazė: todėl daugianomas yra vidinė funkcija:

Ir tik tada atliekamas eksponentiškumas, todėl galios funkcija yra išorinė funkcija:

Pagal formulę , pirmiausia reikia rasti išorinės funkcijos išvestinę, šiuo atveju laipsnį. Lentelėje ieškome reikiamos formulės: . Dar kartą kartojame: bet kuri lentelės formulė galioja ne tik „X“, bet ir sudėtingai išraiškai. Taigi sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklės taikymo rezultatas Kitas:

Dar kartą pabrėžiu, kad imant išorinės funkcijos išvestinę, mūsų vidinė funkcija nesikeičia:

Dabar belieka rasti labai paprastą vidinės funkcijos išvestinį ir šiek tiek pakoreguoti rezultatą:

4 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys (atsakykite pamokos pabaigoje).

Norėdami sustiprinti supratimą apie sudėtingos funkcijos išvestinę, pateiksiu pavyzdį be komentarų, pabandykite tai išsiaiškinti patys, pamąstykite, kur yra išorinė, o kur vidinė funkcija, kodėl užduotys sprendžiamos taip?

5 pavyzdys

a) Raskite funkcijos išvestinę

b) Raskite funkcijos išvestinę

6 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Čia mes turime šaknį, o norint atskirti šaknį, ji turi būti vaizduojama kaip galia. Taigi pirmiausia pateikiame funkciją į diferencijavimui tinkamą formą:

Analizuodami funkciją, darome išvadą, kad trijų narių suma yra vidinė funkcija, o pakėlimas į laipsnį yra išorinė funkcija. Taikome sudėtingų funkcijų diferenciacijos taisyklę :

Laipsnį vėl pavaizduojame kaip radikalą (šaknį), o vidinės funkcijos išvestinei taikome paprastą sumos diferencijavimo taisyklę:

Paruošta. Taip pat galite sumažinti išraišką iki bendro vardiklio skliausteliuose ir užrašyti viską kaip vieną trupmeną. Žinoma, gražu, bet kai gaunate gremėzdiškus ilgus darinius, geriau to nedaryti (lengva susipainioti, padaryti nereikalingą klaidą ir mokytojui bus nepatogu patikrinti).

7 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys (atsakykite pamokos pabaigoje).

Įdomu pastebėti, kad kartais vietoj sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklės galite naudoti koeficiento diferencijavimo taisyklę , tačiau toks sprendimas atrodys kaip neįprastas iškrypimas. Štai tipiškas pavyzdys:

8 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Čia galite naudoti koeficiento diferenciacijos taisyklę , tačiau daug pelningiau išvestinę rasti taikant sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę:

Paruošiame funkciją diferencijuoti - iš išvestinio ženklo iškeliame minusą, o kosinusą keliame į skaitiklį:

Kosinusas yra vidinė funkcija, eksponencija yra išorinė funkcija.
Pasinaudokime savo taisykle :

Randame vidinės funkcijos išvestinę ir iš naujo nustatome kosinusą žemyn:

Paruošta. Nagrinėtame pavyzdyje svarbu nesupainioti ženkluose. Beje, pabandykite tai išspręsti naudodami taisyklę , atsakymai turi sutapti.

9 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys (atsakykite pamokos pabaigoje).

Iki šiol nagrinėjome atvejus, kai sudėtingoje funkcijoje turėjome tik vieną lizdą. Praktinėse užduotyse dažnai galima rasti išvestinių, kur, kaip ir lėlės, viena kitos viduje, vienu metu įdėtos 3 ar net 4-5 funkcijos.

10 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Supraskime šios funkcijos priedus. Pabandykime apskaičiuoti išraišką naudodami eksperimentinę reikšmę. Kaip suskaičiuotume skaičiuotuvą?

Pirmiausia turite rasti , o tai reiškia, kad arcsinusas yra giliausias įterpimas:

Tada šis vieno arcsinusas turėtų būti padalytas kvadratu:

Ir galiausiai septynis padidiname iki galios:

Tai reiškia, kad šiame pavyzdyje turime tris skirtingas funkcijas ir du įterpimus, o vidinė funkcija yra arcsinė, o tolimiausia funkcija yra eksponentinė funkcija.

Pradėkime spręsti

Pagal taisyklę Pirmiausia reikia paimti išorinės funkcijos išvestinę. Žiūrime į išvestinių lentelę ir randame eksponentinės funkcijos išvestinę: Vienintelis skirtumas yra tas, kad vietoj „x“ turime sudėtingą išraišką, kuri nepaneigia šios formulės galiojimo. Taigi, sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklės taikymo rezultatas Kitas.

Ir sudėtingos funkcijos išvestinės teorema, kurios formuluotė yra tokia:

Tegul 1) funkcija $u=\varphi (x)$ tam tikru momentu $x_0$ turi išvestinę $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) funkciją $y=f(u)$ atitinkamame taške $u_0=\varphi (x_0)$ turi išvestinę $y_(u)"=f"(u)$. Tada kompleksinė funkcija $y=f\left(\varphi (x) \right)$ minėtame taške taip pat turės išvestinę, lygus produktui funkcijų $f(u)$ ir $\varphi (x)$ išvestinės:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

arba trumpesniu užrašu: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Šio skyriaus pavyzdžiuose visos funkcijos turi formą $y=f(x)$ (t. y. mes nagrinėjame tik vieno kintamojo $x$ funkcijas). Atitinkamai visuose pavyzdžiuose išvestinė $y"$ imama atsižvelgiant į kintamąjį $x$. Norint pabrėžti, kad išvestinė imama atsižvelgiant į kintamąjį $x$, vietoj $y dažnai rašoma $y"_x$ "$.

Pavyzdžiuose Nr. 1, Nr. 2 ir Nr. 3 aprašomas išsamus sudėtingų funkcijų išvestinės paieškos procesas. Pavyzdys Nr. 4 skirtas išsamesniam išvestinės lentelės supratimui ir prasminga su ja susipažinti.

Išstudijavus 1-3 pavyzdžių medžiagą, patartina pereiti prie to savarankiškas sprendimas pavyzdžiai Nr.5, Nr.6 ir Nr.7. 5, 6 ir 7 pavyzdžiuose yra trumpas sprendimas, kad skaitytojas galėtų patikrinti savo rezultato teisingumą.

1 pavyzdys

Raskite funkcijos $y=e^(\cos x)$ išvestinę.

Turime rasti sudėtingos funkcijos $y"$ išvestinę. Kadangi $y=e^(\cos x)$, tada $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. rasti išvestinę $ \left(e^(\cos x)\right)"$ naudojame formulę Nr. 6 iš išvestinių lentelės. Norėdami naudoti formulę Nr. 6, turime atsižvelgti į tai, kad mūsų atveju $u=\cos x$. Kitas sprendimas yra tiesiog pakeisti išraišką $\cos x$ vietoj $u$ į formulę Nr. 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Dabar reikia rasti išraiškos $(\cos x)"$ reikšmę. Dar kartą pereiname prie išvestinių lentelės, iš jos pasirenkame formulę Nr. 10. Pakeitę $u=x$ į formulę Nr. 10, turime : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ Dabar tęskime lygybę (1.1), papildydami ją rastu rezultatu:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Kadangi $x"=1$, tęsiame lygybę (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Taigi iš lygybės (1.3) gauname: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Natūralu, kad paaiškinimai ir tarpinės lygybės dažniausiai praleidžiami, išvestinės radinį užrašant vienoje eilutėje, kaip lygybėje ( 1.3) Taigi, kompleksinės funkcijos išvestinė rasta, belieka tik užrašyti atsakymą.

Atsakymas: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

2 pavyzdys

Raskite funkcijos $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ išvestinę.

Turime apskaičiuoti išvestinę $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Pirmiausia pažymime, kad konstantą (ty skaičių 9) galima išimti iš išvestinio ženklo:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Dabar pereikime prie reiškinio $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Kad būtų lengviau pasirinkti norimą formulę iš išvestinių lentelės, pateiksiu išraišką klausiama tokia forma: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Dabar aišku, kad reikia naudoti formulę Nr.2, t.y. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Šioje formulėje pakeiskime $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ ir $\alpha=12$:

Lygybę (2.1) papildę gautu rezultatu, gauname:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \žyma (2.2) $$

Šioje situacijoje dažnai daroma klaida, kai sprendėjas pirmame žingsnyje vietoj formulės pasirenka formulę $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ $\left(u^\ alfa \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Esmė ta, kad pirmiausia turi būti išorinės funkcijos išvestinė. Norėdami suprasti, kuri funkcija bus išorinė išraiškai $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, įsivaizduokite, kad skaičiuojate išraiškos $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ tam tikra reikšme $x$. Pirmiausia apskaičiuosite $5^x$ reikšmę, tada rezultatą padauginkite iš 4, gaudami $4\cdot 5^x$. Dabar iš šio rezultato paimame arctangentą ir gauname $\arctg(4\cdot 5^x)$. Tada gautą skaičių padidiname iki dvyliktosios laipsnio, gaudami $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Paskutinis veiksmas, t.y. kėlimas iki 12 galios bus išorinė funkcija. Ir būtent nuo to turime pradėti ieškoti išvestinės, kas buvo padaryta lygybėje (2.2).

Dabar turime rasti $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Naudojame išvestinių lentelės formulę Nr. 19, pakeisdami joje $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Šiek tiek supaprastinkime gautą išraišką, atsižvelgdami į $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Lygybė (2.2) dabar taps:

Belieka rasti $(4\cdot \ln x)"$. Iš išvestinio ženklo išimkime konstantą (t.y. 4): $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $ Norėdami rasti $(\ln x)"$, naudojame formulę Nr. 8, pakeičiant $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x. "$. Kadangi $x"=1$, tada $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ Pakeitę gautą rezultatą į formulę (2.3), gauname:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).

Priminsiu, kad kompleksinės funkcijos išvestinė dažniausiai randama vienoje eilutėje, kaip parašyta paskutinėje lygybėje. Todėl rengiant standartinius skaičiavimus ar kontrolinius darbus visai nebūtina taip detaliai aprašyti sprendimo.

Atsakymas: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

3 pavyzdys

Raskite funkcijos $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ $y"$.

Pirmiausia šiek tiek pakeiskime funkciją $y$, išreikšdami radikalą (šaknį) kaip laipsnį: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Dabar pradėkime ieškoti išvestinės. Kadangi $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, tada:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Naudokime formulę Nr. 2 iš išvestinių lentelės, pakeisdami joje $u=\sin(5\cdot 9^x)$ ir $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Tęskime lygybę (3.1) naudodami gautą rezultatą:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Dabar turime rasti $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Tam naudojame formulę Nr. 9 iš išvestinių lentelės, pakeisdami joje $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Papildę lygybę (3.2) gautu rezultatu, gauname:

Belieka rasti $(5\cdot 9^x)"$. Pirmiausia paimkime konstantą (skaičius $5$) už išvestinio ženklo ribų, t. y. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Norėdami rasti išvestinę $(9^x)"$, taikykite išvestinių lentelės formulę Nr. 5, pakeisdami joje $a=9$ ir $u=x$: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Kadangi $x"=1$, tada $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Dabar galime tęsti lygybę (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Vėlgi galime grįžti nuo galių prie radikalų (ty šaknų), rašydami $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ forma $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$. Tada išvestinė bus parašyta tokia forma:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).

Atsakymas: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

4 pavyzdys

Parodykite, kad išvestinių lentelės formulės Nr. 3 ir Nr. 4 yra specialus šios lentelės formulės Nr. 2 atvejis.

Išvestinių lentelės formulėje Nr.2 yra funkcijos $u^\alpha$ išvestinė. Pakeitę $\alpha=-1$ į formulę Nr. 2, gauname:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Kadangi $u^(-1)=\frac(1)(u)$ ir $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, tada lygybę (4.1) galima perrašyti taip: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Tai yra išvestinių finansinių priemonių lentelės formulė Nr.

Dar kartą pereikime prie išvestinių lentelės formulės Nr. Pakeiskime jį $\alpha=\frac(1)(2)$:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Kadangi $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ ir $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, tada lygybę (4.2) galima perrašyti taip:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Gauta lygybė $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ yra išvestinių lentelės formulė Nr. 4. Kaip matote, išvestinių lentelės formulės Nr. 3 ir Nr. 4 gaunamos iš formulės Nr. 2, pakeičiant atitinkamą $\alpha$ reikšmę.

„Senuose“ vadovėliuose ji dar vadinama „grandinės“ taisykle. Taigi, jei y = f (u) ir u = φ (x), tai yra

y = f (φ (x))

kompleksas – sudėtinė funkcija (funkcijų sudėtis) tada

Kur , po apskaičiavimo laikoma u = φ (x).

Atkreipkite dėmesį, kad čia mes paėmėme „skirtingas“ kompozicijas iš tų pačių funkcijų, o diferenciacijos rezultatas natūraliai priklausė nuo „maišymo“ tvarkos.

Grandinės taisyklė natūraliai apima trijų ar daugiau funkcijų kompozicijas. Šiuo atveju išvestinėje „grandinėje“ bus trys ar daugiau „nuorodų“. Čia yra analogija su daugyba: „turime“ išvestinių lentelę; "ten" - daugybos lentelė; „su mumis“ yra grandinės taisyklė, o „ten“ yra „stulpelio“ daugybos taisyklė. Skaičiuojant tokias „sudėtingas“ išvestis, žinoma, neįvedami jokie pagalbiniai argumentai (u¸v ir kt.), tačiau, patys pastebėję kompozicijoje dalyvaujančių funkcijų skaičių ir seką, atitinkamos nuorodos yra „surišamos“. nurodyta tvarka.

. Čia, naudojant „x“, norint gauti „y“ reikšmę, atliekamos penkios operacijos, tai yra, yra penkių funkcijų sudėtis: „išorinė“ (paskutinė iš jų) - eksponentinė - e  ; tada atvirkštine tvarka galia. (♦) 2; trigonometrinė nuodėmė(); raminantis. () 3 ir galiausiai logaritminis ln.(). Štai kodėl

Šiais pavyzdžiais „nužudysime porą paukščių vienu akmeniu“: praktikuosime atskirti sudėtingas funkcijas ir papildysime elementariųjų funkcijų išvestinių lentelę. Taigi:

4. Galios funkcijai - y = x α - perrašant ją naudojant gerai žinomą "pagrindinę logaritminę tapatybę" - b=e ln b - forma x α = x α ln x gauname

5. Savavališkai eksponentinei funkcijai, naudojant tą pačią techniką, kurią turėsime

6. Nemokamai logaritminė funkcija Naudodami gerai žinomą perkėlimo į naują bazę formulę, mes nuolat gauname

7. Norėdami atskirti liestinę (kotangentą), naudojame koeficientų diferencijavimo taisyklę:

Norėdami gauti atvirkštinių trigonometrinių funkcijų išvestis, naudojame ryšį, kurį tenkina dviejų tarpusavyje atvirkštinių funkcijų išvestinės, tai yra funkcijos φ (x) ir f (x), susijusios su santykiais:

Tai yra santykis