Loginių lygčių sprendimas matematikoje. Loginių lygčių sistemos informatikos vieningo valstybinio egzamino uždaviniuose

Loginių lygčių sistemų sprendimo metodai

Kirgizova E.V., Nemkova A.E.

Lesosibirsko pedagoginis institutas

Sibiro federalinio universiteto filialas, Rusija

Gebėjimas nuosekliai mąstyti, įtikinamai samprotauti, kelti hipotezes ir paneigti neigiamas išvadas neatsiranda savaime šis įgūdis yra išugdomas logikos mokslo. Logika yra mokslas, tiriantis metodus, kaip nustatyti kai kurių teiginių tiesą ar klaidingumą remiantis kitų teiginių tiesa ar klaidingumu.

Įvaldyti šio mokslo pagrindus neįmanoma be loginių problemų sprendimo. Įgūdžių pritaikyti žinias naujoje situacijoje ugdymo tikrinimas atliekamas per praėjimą. Visų pirma, tai yra gebėjimas spręsti logines problemas. Vieningo valstybinio egzamino B15 užduotys yra sudėtingesnės, nes jose yra loginių lygčių sistemos. Yra įvairių loginių lygčių sistemų sprendimo būdų. Tai redukcija į vieną lygtį, tiesos lentelės sudarymas, skaidymas, nuoseklus lygčių sprendimas ir kt.

Užduotis:Išspręskite loginių lygčių sistemą:

Pasvarstykime redukcinis metodas į vieną lygtį . Šis metodas apima loginių lygčių transformavimą taip, kad jų dešinės pusės būtų lygios tiesos vertei (ty 1). Norėdami tai padaryti, naudokite loginio neigimo operaciją. Tada, jei lygtyse yra sudėtingų loginių operacijų, jas pakeičiame pagrindinėmis: „IR“, „ARBA“, „NE“. Kitas žingsnis – sujungti lygtis į vieną, lygiavertę sistemai, naudojant loginę operaciją „IR“. Po to gautą lygtį turėtumėte transformuoti pagal loginės algebros dėsnius ir gauti konkretų sistemos sprendimą.

1 sprendimas:Taikykite inversiją abiejose pirmosios lygties pusėse:

Įsivaizduokime pasekmes per pagrindines operacijas „ARBA“ ir „NE“:

Kadangi kairiosios lygčių pusės yra lygios 1, galime jas sujungti naudodami operaciją „IR“ į vieną lygtį, kuri yra lygiavertė pradinei sistemai:

Mes atidarome pirmąjį skliaustą pagal De Morgano dėsnį ir transformuojame gautą rezultatą:

Gauta lygtis turi vieną sprendimą: A= 0, B = 0 ir C = 1.

Kitas metodas yra tiesos lentelių kūrimas . Kadangi loginiai dydžiai turi tik dvi reikšmes, galite tiesiog peržiūrėti visas parinktis ir rasti tarp jų tuos, kuriems tenkinama nurodyta lygčių sistema. Tai yra, mes sudarome vieną bendrą tiesos lentelę visoms sistemos lygtims ir randame eilutę su reikiamomis reikšmėmis.

2 sprendimas:Sukurkime sistemos tiesos lentelę:








0	0	1	1	0	1

Eilutė, kuriai įvykdytos užduoties sąlygos, paryškinta pusjuodžiu šriftu. Taigi A =0, B =0 ir C =1.

Būdas skilimas . Idėja yra nustatyti vieno iš kintamųjų reikšmę (nustatykite ją 0 arba 1) ir taip supaprastinti lygtis. Tada galite pataisyti antrojo kintamojo reikšmę ir pan.

3 sprendimas: Leiskite A = 0, tada:

Iš pirmosios lygties gauname B =0, o iš antrojo – C=1. Sistemos sprendimas: A = 0, B = 0 ir C = 1.

Taip pat galite naudoti metodą nuoseklus lygčių sprendimas , kiekviename žingsnyje prie nagrinėjamo rinkinio pridedamas vienas kintamasis. Norėdami tai padaryti, reikia transformuoti lygtis taip, kad kintamieji būtų įvesti abėcėlės tvarka. Tada sukuriame sprendimų medį, nuosekliai įtraukdami į jį kintamuosius.

Pirmoji sistemos lygtis priklauso tik nuo A ir B, o antroji – nuo A ir C. Kintamasis A gali turėti 2 reikšmes 0 ir 1:

Iš pirmosios lygties išplaukia, kad , taigi kada A = 0 ir gauname B = 0, o jei A = 1, turime B = 1. Taigi pirmoji lygtis turi du kintamųjų A ir B sprendinius.

Pavaizduokime antrąją lygtį, iš kurios nustatome kiekvienos parinkties C reikšmes. Kai A =1, implikacija negali būti klaidinga, tai yra, antroji medžio šaka neturi sprendimo. At A= 0 mes gauname vienintelį sprendimą C= 1 :

Taigi, mes gavome sistemos sprendimą: A = 0, B = 0 ir C = 1.

Vieningame informatikos valstybiniame egzamine labai dažnai reikia nustatyti loginių lygčių sistemos sprendinių skaičių, nerandant pačių sprendinių, tam yra ir tam tikrų metodų. Pagrindinis būdas rasti loginių lygčių sistemos sprendinių skaičių yra pakeičiant kintamuosius. Pirmiausia turite kiek įmanoma supaprastinti kiekvieną lygtį, remdamiesi loginės algebros dėsniais, o tada pakeisti sudėtingas lygčių dalis naujais kintamaisiais ir nustatyti naujos sistemos sprendimų skaičių. Tada grįžkite į pakeitimą ir nustatykite jo sprendimų skaičių.

Užduotis:Kiek sprendinių turi lygtis ( A → B ) + (C → D ) = 1? Kur A, B, C, D yra loginiai kintamieji.

Sprendimas:Pristatome naujus kintamuosius: X = A → B ir Y = C → D . Atsižvelgiant į naujus kintamuosius, lygtis bus parašyta taip: X + Y = 1.

Disjunkcija teisinga trimis atvejais: (0;1), (1;0) ir (1;1), tuo tarpu X ir Y yra implikacija, ty trimis atvejais yra teisinga, o vienu – klaidinga. Todėl atvejis (0;1) atitiks tris galimas parametrų kombinacijas. Atvejis (1;1) – atitiks devynias galimas pradinės lygties parametrų kombinacijas. Tai reiškia, kad visos galimos šios lygties sprendiniai yra 3+9=15.

Kitas būdas nustatyti loginių lygčių sistemos sprendinių skaičių yra dvejetainis medis. Pažvelkime į šį metodą naudodami pavyzdį.

Užduotis:Kiek skirtingų sprendinių turi loginių lygčių sistema:

Pateikta lygčių sistema yra lygiavertė lygčiai:

( x 1 → x 2 )*( x 2 → x 3 )*…*( x m -1 → x m) = 1.

Tarkime, kadx 1 – tiesa, tada iš pirmosios lygties gauname taix 2 taip pat tiesa, nuo antrojo -x 3 =1 ir taip toliau iki x m= 1. Taigi aibė (1; 1; …; 1) iš m vienetai yra sistemos sprendimas. Leisk tai dabarx 1 =0, tada iš pirmosios lygties turimex 2 =0 arba x 2 =1.

Kada x 2 tiesa, gauname, kad likę kintamieji taip pat yra teisingi, tai yra, aibė (0; 1; ...; 1) yra sistemos sprendimas. Atx 2 =0 mes tai gauname x 3 =0 arba x 3 = ir taip toliau. Tęsdami paskutinį kintamąjį, matome, kad lygties sprendiniai yra šie kintamųjų rinkiniai ( m +1 tirpalas kiekviename tirpale m kintamos reikšmės):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

Šį požiūrį gerai iliustruoja dvejetainio medžio sukūrimas. Galimų sprendimų skaičius – tai skirtingų sukonstruoto medžio šakų skaičius. Nesunku pastebėti, kad jis lygus m +1.

Kintamieji	Medis	Sprendimų skaičius
x 1
x 2
x 3

Iškilus sunkumams argumentuojant ir kuriant sprendimų medį, sprendimo galite ieškoti naudodami tiesos lenteles, vienai ar dviem lygtims.

Perrašykime lygčių sistemą į formą:

Ir sukurkime tiesos lentelę atskirai vienai lygčiai:

x 1	x 2	(x 1 → x 2)

Sukurkime dviejų lygčių tiesos lentelę:

x 1	x 2	x 3	x 1 → x 2	x 2 → x 3	(x 1 → x 2) (x 2 → x 3)*

Toliau galite pamatyti, kad viena lygtis yra teisinga šiais trimis atvejais: (0; 0), (0; 1), (1; 1). Dviejų lygčių sistema yra teisinga keturiais atvejais (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 1), (1; 1; 1). Tokiu atveju iš karto aišku, kad yra sprendimas, susidedantis tik iš nulių ir daugiau m sprendimai, kuriuose vienu metu pridedamas vienas vienetas, pradedant nuo paskutinės pozicijos, kol užpildomos visos galimos vietos. Galima daryti prielaidą, kad bendras sprendimas turės tą pačią formą, tačiau kad toks požiūris taptų sprendimu, reikia įrodyti, kad prielaida yra teisinga.

Apibendrinant visa tai, kas išdėstyta pirmiau, norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į tai, kad ne visi aptarti metodai yra universalūs. Sprendžiant kiekvieną loginių lygčių sistemą reikia atsižvelgti į jos ypatybes, kuriomis remiantis ir pasirenkamas sprendimo būdas.

Literatūra:

1. Loginės problemos / O.B. Bogomolovas – 2 leid. – M.: BINOM. Žinių laboratorija, 2006. – 271 p.: iliustr.

2. Poliakovas K. Yu. Loginių lygčių sistemos / Edukacinis ir metodinis laikraštis informatikos mokytojams: Informatika 2011 Nr.14.

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M ∧ (N ∨ ¬N) = 0, kur J, K, L, M, N yra loginiai kintamieji?

Sprendimas.

Išraiška (N ∨ ¬N) yra teisinga bet kuriam N, todėl

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M = 0.

Taikykime neigimą abiem loginės lygties pusėms ir naudokime De Morgano dėsnį ¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B. Gausime ¬J ∨ K ∨ ¬L ∨ M = 1.

Loginė suma lygi 1, jei bent vienas iš ją sudarančių teiginių yra lygus 1. Todėl gautą lygtį tenkina bet koks loginių kintamųjų derinys, išskyrus atvejį, kai visi į lygtį įtraukti dydžiai yra lygūs 0. 4 kintamieji gali būti lygūs arba 1, arba 0, todėl visos galimos kombinacijos yra 2·2·2·2 = 16. Todėl lygtis turi 16 −1 = 15 sprendinių.

Belieka pažymėti, kad 15 rastų sprendimų atitinka bet kurią iš dviejų galimų loginio kintamojo N reikšmių, todėl pradinėje lygtyje yra 30 sprendinių.

Atsakymas: 30

Kiek skirtingų sprendinių turi lygtis?

((J → K) → (M ∧ N ∧ L)) ∧ ((J ∧ ¬K) → ¬ (M ∧ N ∧ L)) ∧ (M → J) = 1

kur J, K, L, M, N yra loginiai kintamieji?

Atsakyme nereikia išvardyti visų skirtingų J, K, L, M ir N reikšmių rinkinių, kuriems galioja ši lygybė. Kaip atsakymą turite nurodyti tokių rinkinių skaičių.

Sprendimas.

Mes naudojame formules A → B = ¬A ∨ B ir ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B

Panagrinėkime pirmąją poformulę:

(J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ¬ (¬J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L)

Panagrinėkime antrąją poformulę

(J ∧ ¬K) → ¬(M ∧ N ∧ L) = ¬(J ∧ ¬K) ∨ ¬(M ∧ N ∧ L) = (¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨

Panagrinėkime trečiąją subformulę

1) M → J = 1, todėl

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬K ∨ N ∧ L;

(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ ¬N ∨ ¬L;

Sujungime:

¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬N ∨ ¬L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬L = L ∨ ¬L = 1, taigi 4 sprendimai.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ¬K;

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L

Sujungime:

K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L ∧ ¬K = 1 ∨ ¬N ∨ ¬L taigi 4 sprendiniai.

c) M = 0 J = 0.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0.

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L.

Atsakymas: 4 + 4 = 8.

Atsakymas: 8

Kiek skirtingų sprendinių turi lygtis?

((K ∨ L) → (L ∧ M ∧ N)) = 0

kur K, L, M, N yra loginiai kintamieji? Atsakyme nereikia išvardyti visų skirtingų K, L, M ir N reikšmių rinkinių, kuriems galioja ši lygybė. Kaip atsakymą turite nurodyti tokių rinkinių skaičių.

Sprendimas.

Perrašykime lygtį naudodami paprastesnę operacijų žymėjimą:

((K + L) → (L M N)) = 0

1) iš „implikacijos“ operacijos tiesos lentelės (žr. pirmąją problemą) išplaukia, kad ši lygybė yra teisinga tada ir tik tada, kai tuo pačiu metu

K + L = 1 ir L M N = 0

2) iš pirmosios lygties išplaukia, kad bent vienas iš kintamųjų K arba L yra lygus 1 (arba abu kartu); taigi panagrinėkime tris atvejus

3) jei K = 1 ir L = 0, tai antroji lygybė tenkinama bet kuriam M ir N; kadangi yra 4 dviejų Būlio kintamųjų deriniai (00, 01, 10 ir 11), turime 4 skirtingus sprendimus

4) jei K = 1 ir L = 1, tada antroji lygybė galioja M · N = 0; yra 3 tokie deriniai (00, 01 ir 10), turime dar 3 sprendimus

5) jei K = 0, tai L = 1 (iš pirmosios lygties); šiuo atveju antroji lygybė tenkinama, kai M · N = 0; yra 3 tokie deriniai (00, 01 ir 10), turime dar 3 sprendimus

6) iš viso gauname 4 + 3 + 3 = 10 sprendinių.

Atsakymas: 10

Kiek skirtingų sprendinių turi lygtis?

(K ∧ L) ∨ (M ∧ N) = 1

Sprendimas.

Išraiška teisinga trimis atvejais, kai (K ∧ L) ir (M ∧ N) yra atitinkamai lygūs 01, 11, 10.

1) "01" K ∧ L = 0; M ∧ N = 1, => M, N yra lygūs 1, o K ir L yra bet kas, išskyrus tuo pačiu metu 1. Todėl yra 3 sprendiniai.

2) "11" K ∧ L = 1; M ∧ N = 1. => 1 tirpalas.

3) "10" K ∧ L = 1; M ∧ N = 0. => 3 sprendiniai.

Atsakymas: 7.

Atsakymas: 7

Kiek skirtingų sprendinių turi lygtis?

(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0

kur X, Y, Z, P yra loginiai kintamieji? Atsakyme nebūtina išvardyti visų skirtingų vertybių rinkinių, kuriems galioja ši lygybė. Kaip atsakymą tereikia nurodyti tokių rinkinių skaičių.

Sprendimas.

(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0 =>

¬(X ∧ Y ∨ Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

(¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

Loginis ARBA klaidingas tik vienu atveju: kai abi išraiškos klaidingos.

Vadinasi,

(Z ∨ P) = 0 => Z = 0, P = 0.

¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z = 0 => ¬X ∨ ¬Y ∧ 1 = 0 =>

¬X ∨ ¬Y = 0 => X = 1; Y = 1.

Todėl yra tik vienas lygties sprendimas.

Atsakymas: 1

Kiek skirtingų sprendinių turi lygtis?

(K ∨ L) ∧ (M ∨ N) = 1

kur K, L, M, N yra loginiai kintamieji? Atsakyme nereikia išvardyti visų skirtingų K, L, M ir N reikšmių rinkinių, kuriems galioja ši lygybė. Kaip atsakymą tereikia nurodyti tokių rinkinių skaičių.

Sprendimas.

Loginis Ir teisingas tik vienu atveju: kai visi posakiai teisingi.

K ∨ L = 1, M ∨ N = 1.

Kiekviena iš lygčių pateikia 3 sprendinius.

Apsvarstykite lygtį A ∧ B = 1, jei tiek A, tiek B įgyja tikrąsias reikšmes trimis atvejais, tada iš viso lygtis turi 9 sprendinius.

Todėl atsakymas yra 9.

Atsakymas: 9

Kiek skirtingų sprendinių turi lygtis?

((A → B)∧ C) ∨ (D ∧ ¬D) = 1,

kur A, B, C, D yra loginiai kintamieji?

Atsakyme nereikia išvardyti visų skirtingų reikšmių rinkinių A, B, C, D, kuriems galioja ši lygybė. Kaip atsakymą turite nurodyti tokių rinkinių skaičių.

Sprendimas.

Loginis „ARBA“ yra teisingas, kai bent vienas iš teiginių yra teisingas.

(D ∧ ¬D) = 0 bet kuriam D.

Vadinasi,

(A → B)∧ C) = 1 => C = 1; A → B = 1 => ¬ A ∨ B = 1, tai suteikia 3 galimus kiekvieno D sprendimus.

(D ∧ ¬ D)= 0 bet kuriam D, o tai duoda du sprendinius (kai D = 1, D = 0).

Taigi: suminiai sprendiniai 2*3 = 6.

Iš viso 6 sprendimai.

Atsakymas: 6

Kiek skirtingų sprendinių turi lygtis?

(¬K ∨ ¬L ∨ ¬M) ∧ (L ∨ ¬M ∨ ¬N) = 0

Sprendimas.

Taikykime neigimą abiem lygties pusėms:

(K ∧ L ∧ M) ∨ (¬L ∧ M ∧ N) = 1

Loginis ARBA yra teisingas trimis atvejais.

1 variantas.

K ∧ L ∧ M = 1, tada K, L, M = 1 ir ¬L ∧ M ∧ N = 0. N yra savavališkas, tai yra, 2 sprendiniai.

2 variantas.

¬L ∧ M ∧ N = 1, tada N, M = 1; L = 0, K bet koks, tai yra, 2 sprendiniai.

Todėl atsakymas yra 4.

Atsakymas: 4

A, B ir C yra sveikieji skaičiai, kuriems teiginys yra teisingas

¬ (A = B) ∧ ((A > B)→(B > C)) ∧ ((B > A)→(C > B)).

Kam lygi B, jei A = 45 ir C = 43?

Sprendimas.

Atkreipkite dėmesį, kad šis sudėtingas teiginys susideda iš trijų paprastų teiginių

1) ¬(A = B); (A > B)→ (B > C); (B > A) → (C > B);

2) šiuos paprastus teiginius jungia operacija ∧ (IR, konjunkcija), tai yra, jie turi būti vykdomi vienu metu;

3) iš ¬(A = B)=1 iš karto išeina, kad A B;

4) tarkime, kad A > B, tada iš antrosios sąlygos gauname 1→(B > C)=1; ši išraiška gali būti teisinga tada ir tik tada, kai B > C = 1;

5) todėl turime A > B > C, šią sąlygą atitinka tik skaičius 44;

6) tik tuo atveju patikrinkime ir variantą A 0 →(B > C)=1;

ši išraiška tinka bet kuriam B; Dabar žiūrime į trečiąją sąlygą ir gauname

ši išraiška gali būti teisinga tada ir tik tada, kai C > B, ir čia yra prieštaravimas, nes nėra tokio skaičiaus B, kuriam C > B > A.

Atsakymas: 44.

Atsakymas: 44

Sukurkite loginės funkcijos tiesos lentelę

X = (A ↔ B) ∨ ¬(A → (B ∨ C))

kuriame argumento A reikšmių stulpelis yra dvejetainis skaičiaus 27 atvaizdas, argumento B reikšmių stulpelis yra skaičius 77, argumento C reikšmių stulpelis yra skaičius 120. stulpelyje rašoma iš viršaus į apačią nuo reikšmingiausios iki mažiausiai reikšmingos (įskaitant nulių rinkinį). Konvertuokite gautą dvejetainį funkcijos X reikšmių vaizdą į dešimtainę skaičių sistemą.

Sprendimas.

Parašykime lygtį naudodami paprastesnę operacijų žymėjimą:

1) tai išraiška su trimis kintamaisiais, todėl tiesos lentelėje bus eilučių; todėl dvejetainis skaičių, naudojamų lentelės A, B ir C stulpeliams sudaryti, atvaizdavimas turi būti sudarytas iš 8 skaitmenų

2) konvertuoti skaičius 27, 77 ir 120 į dvejetainę sistemą, skaičių pradžioje iš karto pridedant iki 8 skaitmenų nulių

3) mažai tikėtina, kad galėsite iš karto parašyti kiekvienos kombinacijos X funkcijos reikšmes, todėl patogu į lentelę pridėti papildomų stulpelių tarpiniams rezultatams apskaičiuoti (žr. lentelę žemiau)

A	IN	SU
0	0
0	1	1
0	0	1
1	0	1
1	1	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

4) užpildykite lentelės stulpelius:

A	IN	SU					X
0	0	0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	1	0	0
1	1	1	1	1	1	0	1
0	1	0	0	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1

reikšmė yra 1 tik tose eilutėse, kur A = B

reikšmė yra 1 tose eilutėse, kuriose B arba C = 1

reikšmė yra 0 tik tose eilutėse, kur A = 1 ir B + C = 0

reikšmė yra atvirkštinė ankstesnio stulpelio vertė (0 pakeičiama 1, o 1 pakeičiama 0)

X rezultatas (paskutinis stulpelis) yra loginė dviejų stulpelių suma ir

5) Norėdami gauti atsakymą, išrašykite bitus iš X stulpelio iš viršaus į apačią:

6) konvertuokite šį skaičių į dešimtainę sistemą:

Atsakymas: 171

Koks yra didžiausias sveikasis skaičius X, kurio teiginys (10 (X+1)·(X+2)) yra teisingas?

Sprendimas.

Lygtis yra implikacijos operacija tarp dviejų santykių:

1) Žinoma, čia galite taikyti tą patį metodą kaip ir 2208 pavyzdyje, bet reikės išspręsti kvadratines lygtis (nenoriu...);

2) Atkreipkite dėmesį, kad pagal sąlygą mus domina tik sveikieji skaičiai, todėl galime pabandyti kažkaip transformuoti pradinę išraišką, gaudami lygiavertį teiginį (tikslios šaknų reikšmės mūsų visai nedomina!);

3) Apsvarstykite nelygybę: akivaizdu, kad tai gali būti teigiamas arba neigiamas skaičius;

4) Nesunku patikrinti, ar domene teiginys teisingas visiems sveikiesiems skaičiams , o domene - visiems sveikiesiems skaičiams (kad nesusipainiotumėte, patogiau naudoti negriežtas nelygybes, o , ir );

5) Todėl sveikiesiems skaičiams jį galima pakeisti lygiaverte išraiška

6) išraiškos tiesos sritis yra dviejų begalinių intervalų sąjunga;

7) Dabar apsvarstykite antrąją nelygybę: akivaizdu, kad tai taip pat gali būti teigiamas arba neigiamas skaičius;

8) Regione teiginys teisingas visiems sveikiesiems skaičiams, o regione - visiems sveikiesiems skaičiams, todėl sveikiesiems skaičiams jis gali būti pakeistas lygiaverte išraiška

9) išraiškos tiesos sritis yra uždaras intervalas;

10) Pateikta išraiška teisinga visur, išskyrus sritis, kur ir ;

11) Atkreipkite dėmesį, kad reikšmė nebetinka, nes ten ir , tai yra, implikacija suteikia 0;

12) Keičiant 2, (10 (2+1) · (2+2)) arba 0 → 0, kuris tenkina sąlygą.

Taigi atsakymas yra 2.

Atsakymas: 2

Koks yra didžiausias sveikasis skaičius X, kuriam teiginys yra teisingas

(50 (X+1)·(X+1))?

Sprendimas.

Taikykime implikacijos transformaciją ir transformuokime išraišką:

(50 (X+1)·(X+1)) ⇔ ¬(X 2 > 50) ∨ ((X+1) 2) ∨ (|X+1|).

Loginis ARBA yra teisingas, kai yra teisingas bent vienas loginis teiginys. Išsprendę abi nelygybes ir atsižvelgę į tai, kad matome, kad didžiausias sveikasis skaičius, kuriam tenkinama bent viena iš jų, yra 7 (paveiksle antrosios nelygybės teigiamas sprendinys pavaizduotas geltonai, o pirmosios – mėlynai).

Atsakymas: 7

Nurodykite kintamųjų K, L, M, N reikšmes, kuriose yra loginė išraiška

(¬(M ∨ L) ∧ K) → (¬K ∧ ¬M ∨ N)

klaidinga. Atsakymą parašykite kaip 4 simbolių eilutę: kintamųjų K, L, M ir N reikšmės (ta tvarka). Taigi, pavyzdžiui, 1101 eilutė atitinka tai, kad K=1, L=1, M=0, N=1.

Sprendimas.

Pasikartoja 3584 užduotis.

Atsakymas: 1000

(¬K ∨ M) → (¬L ∨ M ∨ N)

Sprendimas.

Taikykime implikacijos transformaciją:

(K ∧ ¬M) ∨ (¬L ∨ M ∨ N) = 0

Taikykime neigimą abiem lygties pusėms:

(¬K ∨ M) ∧ L ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

Transformuokime:

(¬K ∧ L ∨ M ∧ L) ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

Todėl M = 0, N = 0, dabar apsvarstykite (¬K ∧ L ∨ M ∧ L):

iš to, kad M = 0, N = 0, išplaukia, kad M ∧ L = 0, tada ¬K ∧ L = 1, tai yra, K = 0, L = 1.

Atsakymas: 0100

Nurodykite kintamųjų K, L, M, N reikšmes, kuriose loginė išraiška

(¬(M ∨ L) ∧ K) → ((¬K ∧ ¬M) ∨ N)

klaidinga. Atsakymą parašykite kaip keturių simbolių eilutę: kintamųjų K, L, M ir N reikšmės (ta tvarka). Taigi, pavyzdžiui, 1101 eilutė atitinka tai, kad K=1, L=1, M=0, N=1.

Sprendimas.

Parašykime lygtį naudodami paprastesnį operacijų žymėjimą (sąlyga „reiškinys klaidingas“ reiškia, kad ji lygi loginiam nuliui):

1) iš sąlygos formuluotės išplaukia, kad išraiška turi būti klaidinga tik vienam kintamųjų rinkiniui

2) iš operacijos „implikacija“ tiesos lentelės išplaukia, kad ši išraiška yra klaidinga tada ir tik tada, kai tuo pačiu metu

3) pirmoji lygybė (loginė sandauga lygi 1) tenkinama tada ir tik tada, kai ir ; iš to išplaukia (loginė suma lygi nuliui), kas gali atsitikti tik tada, kai ; Taigi, mes jau apibrėžėme tris kintamuosius

4) iš antrosios sąlygos, , už ir gauname .

Dubliuoja užduotį

Atsakymas: 1000

Nurodykite loginių kintamųjų P, Q, S, T reikšmes, kuriose loginė išraiška

(P ∨ ¬Q) ∨ (Q → (S ∨ T)) yra klaidingas.

Atsakymą parašykite kaip keturių simbolių eilutę: kintamųjų P, Q, S, T reikšmės (ta tvarka).

Sprendimas.

(1) (P ∨ ¬Q) = 0

(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0

(1) (P ∨ ¬Q) = 0 => P = 0, Q = 1.

(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0 Taikykime implikacijos transformaciją:

¬Q ∨ S ∨ T = 0 => S = 0, T = 0.

Atsakymas: 0100

Nurodykite kintamųjų K, L, M, N reikšmes, kuriose loginė išraiška

(K → M) ∨ (L ∧ K) ∨ ¬N

klaidinga. Atsakymą parašykite kaip keturių simbolių eilutę: kintamųjų K, L, M ir N reikšmės (ta tvarka). Taigi, pavyzdžiui, 1101 eilutė atitinka tai, kad K=1, L=1, M=0, N=1.

Sprendimas.

Loginis ARBA yra klaidingas tada ir tik tada, kai abu teiginiai yra klaidingi.

(K → M) = 0, (L ∧ K) ∨ ¬N = 0.

Taikykime implikacijos transformaciją pirmajai išraiškai:

¬K ∨ M = 0 => K = 1, M = 0.

Apsvarstykite antrąją išraišką:

(L ∧ K) ∨ ¬N = 0 (žr. pirmosios išraiškos rezultatą) => L ∨ ¬N = 0 => L = 0, N = 1.

Atsakymas: 1001.

Atsakymas: 1001

Nurodykite kintamųjų K, L, M, N reikšmes, kuriose loginė išraiška

(K → M) ∧ (K → ¬M) ∧ (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N))

tiesa. Atsakymą parašykite kaip keturių simbolių eilutę: kintamųjų K, L, M ir N reikšmės (ta tvarka). Taigi, pavyzdžiui, 1101 eilutė atitinka tai, kad K=1, L=1, M=0, N=1.

Sprendimas.

Loginis "IR" yra teisingas tada ir tik tada, kai abu teiginiai yra teisingi.

1) (K → M) = 1 Taikykite implikacijos transformaciją: ¬K ∨ M = 1

2) (K → ¬M) = 1 Taikykite implikacijos transformaciją: ¬K ∨ ¬M = 1

Iš to seka, kad K = 0.

3) (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N)) = 1 Taikykime implikacijų transformaciją: K ∨ (M ∧ ¬L ∧ N) = 1 iš to, kad K = 0 gauname.

Lygčių naudojimas yra plačiai paplitęs mūsų gyvenime. Jie naudojami atliekant daugybę skaičiavimų, statant konstrukcijas ir net sportuojant. Žmogus senovėje naudojo lygtis, o nuo to laiko jų vartojimas tik išaugo. Matematikoje yra tam tikrų problemų, susijusių su teiginių logika. Norint išspręsti tokio pobūdžio lygtį, reikia turėti tam tikrą žinių bagažą: teiginių logikos dėsnių išmanymą, 1 arba 2 kintamųjų loginių funkcijų tiesos lentelių išmanymą, loginių išraiškų konvertavimo metodus. Be to, jūs turite žinoti šias loginių operacijų savybes: konjunkciją, disjunkciją, inversiją, implikaciją ir ekvivalentiškumą.

Bet kuri loginė \kintamųjų - \ funkcija gali būti nurodyta tiesos lentele.

Išspręskime keletą loginių lygčių:

\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]

\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]

\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]

\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]

Pradėkime sprendimą nuo \[X1\] ir nustatykime, kokias reikšmes šis kintamasis gali turėti: 0 ir 1. Toliau apsvarstysime kiekvieną iš aukščiau pateiktų reikšmių ir pamatysime, kas gali būti \[X2.\].

Kaip matyti iš lentelės, mūsų loginėje lygtyje yra 11 sprendinių.

Kur galiu išspręsti loginę lygtį internete?

Galite išspręsti lygtį mūsų svetainėje https://site. Nemokamas internetinis sprendėjas leis per kelias sekundes išspręsti bet kokio sudėtingumo internetines lygtis. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai tiesiog įvesti savo duomenis į sprendiklį. Taip pat galite peržiūrėti vaizdo įrašo instrukcijas ir sužinoti, kaip išspręsti lygtį mūsų svetainėje. Ir jei vis dar turite klausimų, galite juos užduoti mūsų VKontakte grupėje http://vk.com/pocketteacher. Prisijunkite prie mūsų grupės, mes visada džiaugiamės galėdami jums padėti.

Pamokos tema: Logikos lygčių sprendimas

Mokomasis – studijuoti loginių lygčių sprendimo metodus, lavinti loginių lygčių sprendimo ir loginės išraiškos konstravimo įgūdžius naudojant tiesos lentelę;

Vystomasis – sudaryti sąlygas ugdyti mokinių pažintinį susidomėjimą, skatinti lavinti atmintį, dėmesį, loginį mąstymą;

Švietimo : skatinti gebėjimą įsiklausyti į kitų nuomonę, ugdant valią ir užsispyrimą siekiant galutinių rezultatų.

Pamokos tipas: kombinuota pamoka

Įranga: kompiuteris, multimedijos projektorius, pristatymas 6.

Pamokos eiga

Pagrindinių žinių kartojimas ir atnaujinimas. Namų darbų tikrinimas (10 minučių)

Ankstesnėse pamokose susipažinome su pagrindiniais loginės algebros dėsniais ir išmokome šiuos dėsnius panaudoti loginėms išraiškoms supaprastinti.

Patikrinkime namų darbus, kaip supaprastinti logines išraiškas:

1. Kuris iš šių žodžių atitinka loginę sąlygą:

(pirmos raidės priebalsis → antrosios raidės priebalsis)٨ (paskutinės raidės balsis → priešpaskutinės raidės balsis)? Jei tokių žodžių yra keli, nurodykite mažiausią iš jų.

1) ANNA 2) MARIJA 3) OLEGAS 4) STEPANAS

Įveskime tokį užrašą:

A – pirmosios raidės priebalsis

B – antrosios raidės priebalsis

S – paskutinės raidės balsis

D – priešpaskutinė balsės raidė

Padarykime išraišką:

Padarykime lentelę:

2. Nurodykite, kuri loginė išraiška atitinka išraišką

Supaprastinkime pradinės išraiškos ir siūlomų parinkčių įrašymą:

3. Pateiktas F išraiškos tiesos lentelės fragmentas:

Kuri išraiška atitinka F?

Nustatykime šių išraiškų reikšmes nurodytoms argumentų reikšmėms:

Įvadas į pamokos temą, naujos medžiagos pristatymas (30 minučių)

Mes ir toliau studijuojame logikos pagrindus, o šiandienos pamokos tema yra „Loginių lygčių sprendimas“. Išstudijavę šią temą, išmoksite pagrindinių loginių lygčių sprendimo būdų, įgysite šių lygčių sprendimo įgūdžių naudojant loginės algebros kalbą ir gebėsite sudaryti loginę išraišką tiesos lentele.

1. Išspręskite loginę lygtį

(¬K M) → (¬L M N) = 0

Atsakymą parašykite kaip keturių simbolių eilutę: kintamųjų K, L, M ir N reikšmės (ta tvarka). Taigi, pavyzdžiui, 1101 eilutė atitinka tai, kad K=1, L=1, M=0, N=1.

Sprendimas:

Pakeiskime išraišką(¬K  M) → (¬L  M  N)

Išraiška yra klaidinga, kai abu terminai yra klaidingi. Antrasis narys lygus 0, jei M =0, N =0, L =1. Pirmajame termine K = 0, nes M = 0, ir
.

Atsakymas: 0100

2. Kiek sprendinių turi lygtis (atsakyme nurodykite tik skaičių)?

Sprendimas: transformuokite išraišką

(A +B )*(C +D )=1

A +B =1 ir C +D =1

2 metodas: tiesos lentelės sudarymas

3 būdas: SDNF konstrukcija – tobula funkcijos disjunkcinė normalioji forma – visiškų taisyklingų elementariųjų jungtukų disjunkcija.

Transformuokime pradinę išraišką, atidarykime skliaustus, kad gautume jungtukų disjunkciją:

(A+B)*(C+D)=A*C+B*C+A*D+B*D=

Papildykime jungtukus iki užbaigtų jungtukų (visų argumentų sandauga), atidarykite skliaustus:

Atsižvelkime į tuos pačius jungtukus:

Dėl to gauname SDNF, kuriame yra 9 jungtukai. Todėl šios funkcijos tiesos lentelė turi reikšmę 1 9 eilutėse iš 2 4 =16 kintamųjų reikšmių rinkinių.

3. Kiek sprendinių turi lygtis (atsakyme nurodykite tik skaičių)?

Supaprastinkime išraišką:

3 būdas: SDNF statyba

Atsižvelkime į tuos pačius jungtukus:

Dėl to gauname SDNF, kuriame yra 5 jungtukai. Todėl šios funkcijos tiesos lentelė turi reikšmę 1 5 eilutėse iš 2 4 =16 kintamųjų reikšmių rinkinių.

Loginės išraiškos konstravimas naudojant tiesos lentelę:

kiekvienai tiesos lentelės eilutei, kurioje yra 1, sudarome argumentų sandaugą, o kintamieji, lygūs 0, įtraukiami į sandaugą su neigimu, o kintamieji, lygūs 1, įtraukiami be neigimo. Norima išraiška F bus sudaryta iš gautų sandaugų sumos. Tada, jei įmanoma, ši išraiška turėtų būti supaprastinta.

Pavyzdys: pateikta išraiškos teisingumo lentelė. Sukurkite loginę išraišką.

Sprendimas:

3. Namų darbai (5 min.)

Išspręskite lygtį:

Kiek sprendinių turi lygtis (atsakyme nurodykite tik skaičių)?

Naudodamiesi duota tiesos lentele, sukonstruokite loginę išraišką ir

supaprastinti.