Pateikiamos pagrindinės logaritmo savybės, logaritminis grafikas, apibrėžimo sritis, reikšmių rinkinys, pagrindinės formulės, didėjimas ir mažėjimas. Svarstoma logaritmo išvestinės radimas. Ir taip pat integralas, išplėtimas galios serija ir vaizdavimas naudojant kompleksinius skaičius.
TurinysDomenas, vertybių rinkinys, didėjantis, mažėjantis
Logaritmas yra monotoninė funkcija, todėl ji neturi ekstremalių. Pagrindinės logaritmo savybės pateiktos lentelėje.
| Domenas | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| Vertybių diapazonas | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Monotoniškas | monotoniškai didėja | monotoniškai mažėja |
| Nuliai, y = 0 | x = 1 | x = 1 |
| Sukirtimo taškai su ordinačių ašimi, x = 0 | Nr | Nr |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
Privačios vertybės
Vadinamas 10 bazinis logaritmas dešimtainis logaritmas ir žymimas taip:
Logaritmas iki pagrindo e paskambino natūralusis logaritmas:
Pagrindinės logaritmų formulės
Logaritmo savybės, kylančios iš atvirkštinės funkcijos apibrėžimo:
Pagrindinė logaritmų savybė ir jos pasekmės
Bazės pakeitimo formulė
Logaritmas yra matematinė logaritmo ėmimo operacija. Imant logaritmus faktorių sandaugai paverčiami terminų sumomis.
Potencija yra matematinė operacija, atvirkštinė logaritmui. Potencijos metu tam tikra bazė pakeliama iki išraiškos laipsnio, per kurį atliekamas stiprinimas. Šiuo atveju terminų sumos paverčiamos veiksnių sandaugomis.
Pagrindinių logaritmų formulių įrodymas
Su logaritmais susijusios formulės kyla iš eksponentinių funkcijų formulių ir iš atvirkštinės funkcijos apibrėžimo.
Apsvarstykite eksponentinės funkcijos savybę
.
Tada
.
Taikykime eksponentinės funkcijos savybę
:
.
Įrodykime bazės pakeitimo formulę.
;
.
Darant prielaidą, kad c = b, turime:
Atvirkštinė funkcija
Logaritmo atvirkštinė bazė a yra eksponentinė funkcija su eksponentu a.
Jei tada
Jei tada
Logaritmo išvestinė
Modulio x logaritmo išvestinė:
.
N-osios eilės vedinys:
.
Išvedimo formulės >>>
Norint rasti logaritmo išvestinę, jis turi būti sumažintas iki pagrindo e.
;
.
Integralinis
Logaritmo integralas apskaičiuojamas integruojant dalimis: .
Taigi,
Išraiškos naudojant kompleksinius skaičius
Apsvarstykite kompleksinio skaičiaus funkciją z:
.
Išreikškime kompleksinis skaičius z per modulį r ir argumentas φ
:
.
Tada, naudodamiesi logaritmo savybėmis, turime:
.
Arba
Tačiau argumentas φ
nėra vienareikšmiškai apibrėžta. Jei įdėsite
, kur n yra sveikas skaičius,
tada jis bus tas pats skaičius skirtingiems n.
Todėl logaritmas, kaip sudėtingo kintamojo funkcija, nėra vienareikšmė funkcija.
Galios serijos išplėtimas
Kai plėtra vyksta:
Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.
„Sutrumpintos daugybos formulės“ – dauginant du daugianarius, kiekvienas pirmojo daugianario narys dauginamas iš kiekvieno antrojo daugianario ir pridedami sandaugai. Sutrumpintos daugybos formulės. Sudedant ir atimant daugianarius, vadovaujamasi skliaustų atidarymo taisyklėmis. Monomilai yra skaičių, kintamųjų ir jų natūraliųjų galių sandaugai.
„Lygčių sistemos sprendimas“ - Grafinis metodas (algoritmas). Lygtis yra lygybė, turinti vieną ar daugiau kintamųjų. Lygtis ir jos savybės. Determinantų metodas (algoritmas). Lygčių sistema ir jos sprendimas. Sistemos sprendimas palyginimo metodu. Tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais. Sistemos sprendimas papildymo metodu.
„Nelygybių sistemų sprendimas“ – Intervalai. Matematinis diktantas. Nagrinėjami sprendimų sistemų pavyzdžiai tiesinės nelygybės. Nelygybių sistemų sprendimas. Norint išspręsti tiesinių nelygybių sistemą, pakanka išspręsti kiekvieną į ją įtrauktą nelygybę ir rasti jų sprendinių aibių sankirtą. Užrašykite nelygybes, kurių sprendinių aibės yra intervalai.
„Pavyzdinė nelygybė“ – nelygybės ženklas. Išspręskite nelygybę. Paprasčiausias sprendimas eksponentinės nelygybės. Eksponentinių nelygybių sprendimas. Į ką reikėtų atsižvelgti sprendžiant eksponentinę nelygybę? Paprastų eksponentinių nelygybių sprendimas. Nelygybė, turinti nežinomą eksponentą, vadinama eksponentine nelygybe.
„Skaičių santykiai“ – kas yra proporcija? Kokie skaičiai m ir n vadinami santykiu a: m = n: b? Dviejų skaičių koeficientas vadinamas dviejų skaičių santykiu. Rinkodara Lan. Tinkama proporcija kraštutinių dėmenų sandauga yra lygi viduriniųjų narių sandaugai ir atvirkščiai. Kas yra požiūris? Proporcijos. Santykis gali būti išreikštas procentais.
„Kvadratinės lygties diskriminantas“ – Vietos teorema. Kvadratinės lygtys. Diskriminuojantis. Kokios lygtys vadinamos nepilnomis kvadratinėmis lygtimis? Kiek šaknų turi lygtis, jei jos diskriminantas lygus nuliui? Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas. Kiek šaknų turi lygtis, jei jos diskriminantas yra neigiamas skaičius?
Iš viso temoje yra 14 pranešimų
Logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galima visais būdais sudėti, atimti ir transformuoti. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.
Jūs tikrai turite žinoti šias taisykles – be jų nepavyks išspręsti nė vienos rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – viską gali išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.
Logaritmų pridėjimas ir atėmimas
Apsvarstykite du logaritmus su tais pačiais pagrindais: log a x ir žurnalas a y. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:
- žurnalas a x+ žurnalas a y=log a (x · y);
- žurnalas a x− žurnalas a y=log a (x : y).
Taigi logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas lygus koeficiento logaritmui. Pastaba: pagrindinis momentasČia - identiškais pagrindais. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės neveikia!
Šios formulės padės jums apskaičiuoti logaritminė išraiška net kai atskiros jo dalys neskaičiuojamos (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:
Rąstas 6 4 + rąstas 6 9.
Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 2 48 − log 2 3.
Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 3 135 − log 3 5.
Vėlgi, bazės yra tos pačios, todėl turime:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Kaip matote, pradinės išraiškos yra sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra skaičiuojami atskirai. Bet po transformacijų gaunami visiškai normalūs skaičiai. Daugelis remiasi šiuo faktu bandomieji darbai. Taip, vieningo valstybinio egzamino metu į testus panašūs posakiai siūlomi labai rimtai (kartais praktiškai be pakeitimų).
Rodiklio išskyrimas iš logaritmo
Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:
Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.
Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai, t.y. Skaičius prieš logaritmo ženklą galite įvesti į patį logaritmą. Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 7 49 6 .
Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Užduotis. Raskite posakio prasmę:
[Paveikslo antraštė]
Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslieji laipsniai: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mes turime:
[Paveikslo antraštė] Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Pateikėme ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą galių pavidalu ir išėmėme eksponentus - gavome „trijų aukštų“ trupmeną.
Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklyje ir vardiklyje yra tas pats skaičius: log 2 7. Kadangi log 2 7 ≠ 0, trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas buvo atsakymas: 2.
Perėjimas prie naujo pagrindo
Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. O jei priežastys kitokios? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?
Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:
Tegu pateikiamas logaritmo žurnalas a x. Tada už bet kokį skaičių c toks kad c> 0 ir c≠ 1, lygybė yra teisinga:
[Paveikslo antraštė]
Visų pirma, jei įdėtume c = x, mes gauname:
[Paveikslo antraštė]
Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti vietomis, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.
Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jie patogūs, galima tik apsisprendus logaritmines lygtis ir nelygybės.
Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 5 16 log 2 25.
Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;
Dabar „atsukkime“ antrąjį logaritmą:
[Paveikslo antraštė]Kadangi sandauga nesikeičia pertvarkant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 9 100 lg 3.
Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:
[Paveikslo antraštė]Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:
[Paveikslo antraštė]Pagrindinė logaritminė tapatybė
Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui. Šiuo atveju mums padės šios formulės:
Pirmuoju atveju skaičius n tampa argumentu stovinčio laipsnio rodikliu. Skaičius n gali būti visiškai bet kas, nes tai tik logaritmo reikšmė.
Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Taip ji vadinama: pagrindinė logaritminė tapatybė.
Tiesą sakant, kas atsitiks, jei numeris b pakelti iki tokios galios, kad skaičius bšiai galiai suteikia skaičių a? Teisingai: jūs gaunate tą patį numerį a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą – daugeliui žmonių ji užstringa.
Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.
Užduotis. Raskite posakio prasmę:
[Paveikslo antraštė]
Atkreipkite dėmesį, kad log 25 64 = log 5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgdami į galių dauginimo su ta pačia baze taisykles, gauname:
[Paveikslo antraštė]Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš unifikuoto valstybinio egzamino :)
Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis
Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias vargu ar galima pavadinti savybėmis – veikiau tai yra logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat atsiranda problemose ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.
- žurnalas a a= 1 yra logaritminis vienetas. Prisiminkite kartą ir visiems laikams: logaritmas bet kokiam pagrindui a nuo šio pagrindo yra lygus vienetui.
- žurnalas a 1 = 0 yra logaritminis nulis. Bazė a gali būti bet koks, bet jei argumente yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Nes a 0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.
Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.
Logaritmo priimtinų verčių (APV) diapazonas
Dabar pakalbėkime apie apribojimus (ODZ - leistinų kintamųjų verčių diapazonas).
Mes prisimename, kad pvz. Kvadratinė šaknis negalima išskirti iš neigiamų skaičių; arba jei turime trupmeną, tai vardiklis negali būti lygus nuliui. Logaritmai turi panašius apribojimus:
Tai yra, ir argumentas, ir bazė turi būti didesni už nulį, bet bazė dar negali būti lygi.
Kodėl taip?
Pradėkime nuo paprasto dalyko: sakykime taip. Tada, pavyzdžiui, skaičius neegzistuoja, nes nesvarbu, iki kokios galios mes padidinsime, jis visada pasirodo. Be to, jis niekam neegzistuoja. Bet kartu jis gali būti lygus bet kam (dėl tos pačios priežasties – lygus bet kokiam laipsniui). Todėl objektas nedomina, o jis buvo tiesiog išmestas iš matematikos.
Šiuo atveju turime panašią problemą: ji yra bet kokiai teigiamai galiai, bet ji išvis negali būti pakelta į neigiamą galią, nes tai lems padalijimą iš nulio (priminsiu).
Kai susiduriame su pakėlimo iki trupmeninės galios problema (kuri vaizduojama kaip šaknis: . Pavyzdžiui, (tai yra), bet jos neegzistuoja.
Todėl neigiamas priežastis lengviau išmesti, nei su jomis susitvarkyti.
Na, kadangi mūsų bazė a gali būti tik teigiama, tai kad ir kokia galia ją pakeltume, visada gausime griežtai teigiamą skaičių. Taigi argumentas turi būti teigiamas. Pavyzdžiui, jo nėra, nes jis jokiu laipsniu nebus neigiamas skaičius (ar net nulis, todėl jo taip pat nėra).
Kilus problemoms su logaritmais, pirmas dalykas, kurį reikia padaryti, yra užsirašyti ODZ. Pateiksiu pavyzdį:
Išspręskime lygtį.
Prisiminkime apibrėžimą: logaritmas yra galia, iki kurios reikia pakelti bazę, kad gautume argumentą. O pagal sąlygą šis laipsnis lygus: .
Gauname įprastą kvadratinė lygtis: . Išspręskime tai naudodami Vietos teoremą: šaknų suma lygi, o sandauga. Lengva pasiimti, tai yra skaičiai ir.
Bet jei iškart imsite ir atsakyme įrašysite abu šiuos skaičius, už problemą galite gauti 0 balų. Kodėl? Pagalvokime, kas atsitiks, jei šias šaknis pakeisime į pradinę lygtį?
Tai aiškiai neteisinga, nes bazė negali būti neigiama, tai yra, šaknis yra „trečioji šalis“.
Norėdami išvengti tokių nemalonių spąstų, turite užsirašyti ODZ dar prieš pradedant spręsti lygtį:
Tada, gavę šaknis ir, iš karto išmetame šaknį ir parašome teisingą atsakymą.
1 pavyzdys(pabandykite tai išspręsti patys) :
Raskite lygties šaknį. Jei šaknys yra kelios, atsakyme nurodykite mažiausią iš jų.
Sprendimas:
Pirmiausia parašykime ODZ:
Dabar prisiminkime, kas yra logaritmas: iki kokios galios reikia pakelti bazę, kad gautumėte argumentą? Į antrą. Tai yra:
Atrodytų, kad mažesnė šaknis yra lygi. Bet taip nėra: pagal ODZ šaknis yra pašalinė, tai yra, ji visai nėra šios lygties šaknis. Taigi lygtis turi tik vieną šaknį: .
Atsakymas: .
Pagrindinė logaritminė tapatybė
Prisiminkime logaritmo apibrėžimą bendra forma:
Pakeiskime logaritmą antrąja lygybe:
Ši lygybė vadinama pagrindinė logaritminė tapatybė. Nors iš esmės tai yra lygybė – tiesiog parašyta kitaip logaritmo apibrėžimas:
Tai galia, kurią turite pakelti, kad gautumėte.
Pavyzdžiui:
Išspręskite šiuos pavyzdžius:
2 pavyzdys.
Raskite posakio prasmę.
Sprendimas:
Prisiminkime taisyklę iš skyriaus:, tai yra, kai laipsnį pakeliame į laipsnį, laipsniai dauginami. Taikome:
3 pavyzdys.
Įrodyk tai.
Sprendimas:
Logaritmų savybės
Deja, užduotys ne visada tokios paprastos – dažnai pirmiausia reikia supaprastinti išraišką, suvesti ją į įprastą formą ir tik tada bus galima apskaičiuoti reikšmę. Tai padaryti lengviausia, jei žinote logaritmų savybės. Taigi išmokime pagrindines logaritmų savybes. Įrodysiu kiekvieną iš jų, nes bet kurią taisyklę lengviau įsiminti, jei žinai, iš kur ji kilusi.
Be jų reikia atsiminti visas šias savybes, dauguma logaritmų problemų negali būti išspręstos.
O dabar apie visas logaritmų savybes plačiau.
1 nuosavybė:
Įrodymas:
Tebūnie tada.
Turime: ir kt.
2 savybė: logaritmų suma
Logaritmų su tomis pačiomis bazėmis suma yra lygi sandaugos logaritmui: .
Įrodymas:
Tegul tada būna. Tegul tada būna.
Pavyzdys: Raskite posakio reikšmę: .
Sprendimas:.
Ką tik išmokta formulė padeda supaprastinti logaritmų sumą, o ne skirtumą, todėl šių logaritmų negalima iš karto sujungti. Bet jūs galite padaryti priešingai - „padalykite“ pirmąjį logaritmą į dvi dalis: Ir čia yra pažadėtas supaprastinimas:
.
Kodėl tai būtina? Na, pavyzdžiui: kam tai lygu?
Dabar tai aišku.
Dabar supaprastink pats:
Užduotys:
Atsakymai:
3 savybė: logaritmų skirtumas:
Įrodymas:
Viskas lygiai taip pat, kaip 2 punkte:
Tebūnie tada.
Tegul tada būna. Mes turime:
Pavyzdys iš ankstesnės pastraipos dabar tampa dar paprastesnis:
Sudėtingesnis pavyzdys: . Ar galite patys sugalvoti, kaip tai išspręsti?
Čia reikia pažymėti, kad mes neturime vienos formulės apie logaritmus kvadratu. Tai kažkas panašaus į posakį – jo negalima iš karto supaprastinti.
Todėl pailsėkime nuo formulių apie logaritmus ir pagalvokime, kokias formules dažniausiai naudojame matematikoje? Nuo 7 klasės!
Tai -. Reikia priprasti, kad jų yra visur! Jie atsiranda eksponentinėse, trigonometrinėse ir neracionaliose problemose. Todėl juos reikia atsiminti.
Jei atidžiai pažvelgsite į pirmuosius du terminus, paaiškės, kad tai kvadratų skirtumas:
Atsakymas patikrinti:
Supaprastinkite patys.
Pavyzdžiai
Atsakymai.
4 ypatybė: eksponento pašalinimas iš logaritmo argumento:
Įrodymas: Ir čia taip pat naudojame logaritmo apibrėžimą: tegul, tada. Turime: ir kt.
Šią taisyklę galima suprasti taip:
Tai reiškia, kad argumento laipsnis perkeliamas prieš logaritmą kaip koeficientą.
Pavyzdys: Raskite posakio prasmę.
Sprendimas: .
Spręskite patys:
Pavyzdžiai:
Atsakymai:
5 savybė: eksponento paėmimas iš logaritmo pagrindo:
Įrodymas: Tebūnie tada.
Turime: ir kt.
Prisiminkite: nuo pagrindu laipsnis išreiškiamas kaip priešingybė numeris, skirtingai nei ankstesniu atveju!
6 ypatybė: eksponento pašalinimas iš logaritmo bazės ir argumento:
Arba jei laipsniai vienodi: .
7 nuosavybė: perėjimas prie naujos bazės:
Įrodymas: Tebūnie tada.
Turime: ir kt.
8 savybė: sukeiskite logaritmo bazę ir argumentą:
Įrodymas: Tai ypatingas 7 formulės atvejis: jei pakeičiame, gauname: , ir t.t.
Pažvelkime į dar kelis pavyzdžius.
4 pavyzdys.
Raskite posakio prasmę.
Naudojame logaritmų savybę Nr. 2 - logaritmų su ta pačia baze suma lygi sandaugos logaritmui:
5 pavyzdys.
Raskite posakio prasmę.
Sprendimas:
Mes naudojame logaritmų Nr. 3 ir Nr. 4 savybę:
6 pavyzdys.
Raskite posakio prasmę.
Sprendimas:
Naudokime savybę Nr. 7 – pereikime prie 2 bazės:
7 pavyzdys.
Raskite posakio prasmę.
Sprendimas:
Kaip jums patinka straipsnis?
Jei skaitote šias eilutes, vadinasi, perskaitėte visą straipsnį.
Ir tai puiku!
Dabar pasakykite mums, kaip jums patinka straipsnis?
Ar išmokote spręsti logaritmus? Jei ne, kokia problema?
Parašykite mums toliau pateiktuose komentaruose.
Ir taip, sėkmės egzaminuose.
Apie vieningą valstybinį egzaminą ir vieningą valstybinį egzaminą ir apskritai gyvenime
(iš graikų λόγος - „žodis“, „ryšys“ ir ἀριθμός - „skaičius“) b remiantis a(log α b) vadinamas tokiu skaičiumi c, Ir b= a c, tai yra, įrašo log α b=c Ir b=ac yra lygiaverčiai. Logaritmas prasmingas, jei a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Kitaip tariant logaritmas numeriai b remiantis A suformuluotas kaip eksponentas, iki kurio turi būti pakeltas skaičius a norėdami gauti numerį b(logaritmas egzistuoja tik teigiamiems skaičiams).
Iš šios formuluotės išplaukia, kad skaičiavimas x= log α b, yra lygiavertis lygties a x =b sprendimui.
Pavyzdžiui:
log 2 8 = 3, nes 8 = 2 3 .
Pabrėžkime, kad nurodyta logaritmo formuluotė leidžia iš karto nustatyti logaritmo reikšmė, kai skaičius po logaritmo ženklu veikia kaip tam tikra bazės galia. Iš tiesų logaritmo formulavimas leidžia pagrįsti, kad jeigu b=a c, tada skaičiaus logaritmas b remiantis a lygus Su. Taip pat aišku, kad logaritmų tema yra glaudžiai susijusi su tema skaičiaus laipsniai.
Logaritmo skaičiavimas vadinamas logaritmas. Logaritmas yra matematinė logaritmo ėmimo operacija. Imant logaritmus faktorių sandaugos transformuojamos į terminų sumas.
Potencija yra atvirkštinė matematinė logaritmo operacija. Potencavimo metu tam tikra bazė pakeliama iki išraiškos laipsnio, per kurį atliekamas stiprinimas. Šiuo atveju terminų sumos paverčiamos veiksnių sandauga.
Gana dažnai naudojami tikrieji logaritmai, kurių bazės yra 2 (dvejetainė), Eulerio skaičius e ≈ 2,718 (natūralus logaritmas) ir 10 (dešimtainis).
Įjungta šioje stadijoje patartina apsvarstyti logaritmų pavyzdžiaižurnalas 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.
O įrašai lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 neturi prasmės, nes pirmame iš jų po logaritmo ženklu dedamas neigiamas skaičius, antrajame - neigiamas skaičius bazėje, o trečioje - ir neigiamas skaičius po logaritmo ženklu, ir vienetas bazėje.
Logaritmo nustatymo sąlygos.
Atskirai verta apsvarstyti sąlygas a > 0, a ≠ 1, b > 0.kurioms esant gauname logaritmo apibrėžimas. Pažiūrėkime, kodėl buvo imtasi šių apribojimų. Tai mums padės x = log α lygybė b, vadinamas pagrindine logaritmine tapatybe, kuri tiesiogiai išplaukia iš aukščiau pateikto logaritmo apibrėžimo.
Paimkime sąlygą a≠1. Kadangi vienas bet kuriai laipsniai yra lygus vienetui, tai lygybė x=log α b gali egzistuoti tik tada, kai b = 1, bet log 1 1 bus bet koks tikrasis skaičius. Norėdami pašalinti šį neaiškumą, imamės a≠1.
Įrodykime sąlygos būtinumą a>0. At a=0 Pagal logaritmo formuluotę jis gali egzistuoti tik tada, kai b = 0. Ir atitinkamai tada žurnalas 0 0 gali būti bet koks realusis skaičius, kuris skiriasi nuo nulio, nes laipsnis nuo nulio iki bet kurio nulio dydžio yra lygus nuliui. Šią dviprasmybę gali pašalinti sąlyga a≠0. Ir kada a<0 turėtume atmesti logaritmo racionaliųjų ir neracionalių verčių analizę, nes laipsnis su racionaliu ir neracionaliu eksponentu apibrėžiamas tik neneigiamoms bazėms. Būtent dėl šios priežasties sąlyga yra numatyta a>0.
Ir paskutinė sąlyga b>0 išplaukia iš nelygybės a>0, kadangi x=log α b, o laipsnio reikšmė su teigiama baze a visada posityvus.
Logaritmų ypatybės.
Logaritmai būdingas savitas funkcijos, todėl jie buvo plačiai naudojami, kad būtų lengviau atlikti kruopščius skaičiavimus. Pereinant „į logaritmų pasaulį“, daugyba paverčiama daug lengvesniu sudėjimu, dalyba – į atimtį, o eksponencija ir šaknies ištraukimas – atitinkamai į daugybą ir padalijimą iš laipsnio.
Logaritmų formulavimas ir jų reikšmių lentelė (skirta trigonometrinės funkcijos) pirmą kartą 1614 m. paskelbė škotų matematikas Johnas Napier. Kitų mokslininkų padidintos ir detalizuotos logaritminės lentelės buvo plačiai naudojamos moksliniuose ir inžineriniuose skaičiavimuose, išliko aktualios iki pat elektroninių skaičiuotuvų ir kompiuterių panaudojimo.
