Trupmeninės-racionalios funkcijos integravimas.
Neaiškių koeficientų metodas

Mes ir toliau dirbame integruodami trupmenas. Pamokoje jau apžvelgėme kai kurių tipų trupmenų integralus ir šią pamoką tam tikra prasme galima laikyti tęsiniu. Norint sėkmingai suprasti medžiagą, reikalingi pagrindiniai integravimo įgūdžiai, todėl jei ką tik pradėjote mokytis integralų, tai yra, esate pradedantysis, turite pradėti nuo straipsnio Neapibrėžtas integralas. Sprendimų pavyzdžiai.

Kaip bebūtų keista, dabar mes užsiimsime ne tiek integralų paieška, kiek... sistemų sprendimu tiesines lygtis. Šiuo atžvilgiu skubiai Rekomenduoju lankyti pamoką. Būtent, jūs turite gerai išmanyti pakeitimo metodus („mokyklos“ metodą ir sisteminių lygčių sudėties (atėmimo) metodą).

Kas yra trupmeninė racionali funkcija? Paprastais žodžiais, trupmeninė-racionali funkcija yra trupmena, kurios skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianario arba daugianario sandaugų. Be to, trupmenos yra sudėtingesnės nei aptariamos straipsnyje Kai kurių trupmenų integravimas.

Tinkamos trupmeninės-racionalios funkcijos integravimas

Iškart pavyzdys ir tipinis trupmeninės-racionalios funkcijos integralo sprendimo algoritmas.

1 pavyzdys

1 žingsnis. Pirmas dalykas, kurį VISADA darome spręsdami trupmeninės racionalios funkcijos integralą, yra išsiaiškinti šį klausimą: ar trupmena tinkama?Šis veiksmas atliekamas žodžiu, o dabar paaiškinsiu, kaip:

Pirmiausia žiūrime į skaitiklį ir išsiaiškiname vyresnysis laipsnis daugianaris:

Pirmaujanti skaitiklio galia yra du.

Dabar žiūrime į vardiklį ir išsiaiškiname vyresnysis laipsnis vardiklis. Akivaizdus būdas yra atidaryti skliaustus ir atnešti panašius terminus, bet jūs galite tai padaryti lengviau kiekviena skliausteliuose raskite aukščiausią laipsnį

ir mintyse padauginkite: - taigi, didžiausias vardiklio laipsnis lygus trims. Visiškai akivaizdu, kad jei iš tikrųjų atidarysime skliaustus, negausime laipsnio didesnio nei trys.

Išvada: Pagrindinis skaitiklio laipsnis GRIEŽTAI yra mažesnė už didžiausią vardiklio laipsnį, o tai reiškia, kad trupmena yra tinkama.

Jei į šiame pavyzdyje skaitiklyje buvo daugianario 3, 4, 5 ir kt. laipsnių, tada trupmena būtų negerai.

Dabar nagrinėsime tik teisingas trupmenines racionalias funkcijas. Atvejis, kai skaitiklio laipsnis yra didesnis arba lygus vardiklio laipsniui, bus aptartas pamokos pabaigoje.

2 žingsnis. Išskaidykime vardiklį faktoriais. Pažvelkime į mūsų vardiklį:

Paprastai tariant, tai jau yra veiksnių rezultatas, bet vis dėlto klausiame savęs: ar įmanoma dar ką nors išplėsti? Kankinimo objektas neabejotinai bus kvadratinis trikampis. Nuspręskime kvadratinė lygtis:

Diskriminantas yra didesnis už nulį, o tai reiškia, kad trinalį tikrai galima koeficientuoti:

Pagrindinė taisyklė: VISKAS, ką GALI būti įtraukta į vardiklį – mes tai įvertiname

Pradėkime formuluoti sprendimą:

3 veiksmas. Naudodamiesi neapibrėžtųjų koeficientų metodu, integrandą išplečiame į paprastųjų (elementariųjų) trupmenų sumą. Dabar bus aiškiau.

Pažvelkime į mūsų integrando funkciją:

Ir, žinote, kažkaip intuityvi mintis iškyla, kad būtų neblogai mūsų didelę dalį paversti keliomis mažomis. Pavyzdžiui, taip:

Kyla klausimas, ar tai apskritai įmanoma padaryti? Atsikvėpkime, atitinkama matematinės analizės teorema teigia – GALIMA. Toks skilimas egzistuoja ir yra unikalus.

Yra tik vienas laimikis, šansai yra tokie Ate Mes nežinome, todėl pavadinimas - neapibrėžtų koeficientų metodas.

Kaip atspėjote, vėlesni kūno judesiai yra tokie, neskubėkite! bus siekiama tiesiog juos ATPAŽINTI – išsiaiškinti, kam jie prilygsta.

Būkite atsargūs, išsamiai paaiškinsiu tik vieną kartą!

Taigi, pradėkime šokti nuo:

Kairėje pusėje pateikiame išraišką už Bendras vardiklis:

Dabar galime saugiai atsikratyti vardiklių (nes jie yra vienodi):

Kairėje pusėje atidarome skliaustus, bet kol kas nelieskite nežinomų koeficientų:

Tuo pačiu kartojame mokyklos taisyklė dauginant daugianarius. Kai buvau mokytojas, išmokau ištarti šią taisyklę tiesiu veidu: Norėdami padauginti daugianarį iš daugianario, turite padauginti kiekvieną vieno daugianario narį iš kiekvieno kito daugianario.

Aiškaus paaiškinimo požiūriu geriau koeficientus dėti skliausteliuose (nors aš asmeniškai niekada to nedarau, kad sutaupyčiau laiko):

Sudarome tiesinių lygčių sistemą.
Pirmiausia ieškome vyresniųjų laipsnių:

Ir mes įrašome atitinkamus koeficientus į pirmąją sistemos lygtį:

Gerai atsiminkite sekantį dalyką. Kas nutiktų, jei dešinėje pusėje iš viso nebūtų s? Tarkime, ar jis tiesiog pasirodytų be jokio kvadrato? Šiuo atveju sistemos lygtyje reikėtų dešinėje dėti nulį: . Kodėl nulis? Bet todėl, kad dešinėje pusėje visada galite priskirti tą patį kvadratą su nuliu: Jei dešinėje pusėje nėra kintamųjų ir (arba) laisvo nario, tada atitinkamų sistemos lygčių dešinėse pusėse dedame nulius.

Atitinkamus koeficientus įrašome į antrąją sistemos lygtį:

Ir galiausiai, mineralinis vanduo, atrenkame laisvus narius.

Ech...kažkaip pajuokavau. Juokaujame – matematika yra rimtas mokslas. Mūsų instituto grupėje niekas nesijuokė, kai docentė pasakė, kad išbarsčiusi terminus pagal skaičių eilutę ir išrinkusi didžiausius. Būkime rimti. Nors... kas gyvena iki šios pamokos pabaigos, vis tiek tyliai šypsosis.

Sistema paruošta:

Mes išsprendžiame sistemą:

(1) Iš pirmosios lygties ją išreiškiame ir pakeičiame 2 ir 3 sistemos lygtimis. Tiesą sakant, buvo galima išreikšti (ar kitą raidę) iš kitos lygties, tačiau šiuo atveju naudinga ją išreikšti iš 1-osios lygties, nes mažiausi šansai.

(2) Panašius terminus pateikiame 2-oje ir 3-ioje lygtyse.

(3) 2 ir 3 lygtis pridedame po termino, gaudami lygybę , iš kurios išplaukia, kad

(4) Mes pakeičiame į antrąją (arba trečiąją) lygtį, iš kur tai randame

(5) Pakeiskite ir į pirmąją lygtį, gaudami .

Jei kyla problemų dėl sistemos sprendimo būdų, praktikuokite juos klasėje. Kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą?

Išsprendus sistemą visada pravartu pasitikrinti – pakeisti rastas reikšmes kas sistemos lygtis, todėl viskas turėtų „susivesti“.

Beveik ten. Buvo rasti koeficientai ir:

Baigtas darbas turėtų atrodyti maždaug taip:

Kaip matote, pagrindinis užduoties sunkumas buvo sudaryti (teisingai!) ir išspręsti (teisingai!) tiesinių lygčių sistemą. Ir paskutiniame etape viskas nėra taip sudėtinga: naudojame neapibrėžto integralo tiesiškumo savybes ir integruojame. Atkreipkite dėmesį, kad kiekviename iš trijų integralų turime „nemokamą“ sudėtinga funkcija, kalbėjau apie jo integravimo klasėje ypatybes Kintamojo keitimo metodas neapibrėžtame integrelyje.

Patikrinkite: išskirkite atsakymą:

Gauta pradinė integrando funkcija, o tai reiškia, kad integralas buvo rastas teisingai.
Tikrinimo metu turėjome sumažinti išraišką iki bendro vardiklio, ir tai neatsitiktinai. Neapibrėžtų koeficientų metodas ir išraiškos redukavimas į bendrą vardiklį yra abipusiai atvirkštiniai veiksmai.

2 pavyzdys

Rasti neapibrėžtas integralas.

Grįžkime prie pirmojo pavyzdžio trupmenos: . Nesunku pastebėti, kad vardiklyje visi veiksniai yra SKIRTINGI. Kyla klausimas, ką daryti, jei, pavyzdžiui, pateikiama ši trupmena: ? Čia mes turime laipsnius vardiklyje arba, matematiškai, kartotiniai. Be to, yra kvadratinis trinaris, kurio negalima koeficientuoti (nesunku patikrinti, ar lygties diskriminantas yra neigiamas, todėl trinario negalima koeficientuoti). Ką daryti? Išplėtimas į elementariųjų trupmenų sumą atrodys maždaug taip su nežinomais koeficientais viršuje ar dar kažkas?

3 pavyzdys

Įveskite funkciją

1 žingsnis. Tikrinama, ar turime tinkamą trupmeną
Pagrindinis skaitiklis: 2
Aukščiausias vardiklio laipsnis: 8
, o tai reiškia, kad trupmena yra teisinga.

2 žingsnis. Ar galima ką nors įtraukti į vardiklį? Akivaizdu, kad ne, viskas jau išdėstyta. Dėl pirmiau nurodytų priežasčių kvadratinio trinalio negalima išplėsti į gaminį. Gaubtas. Mažiau darbo.

3 veiksmas.Įsivaizduokime trupmeninę-racionaliąją funkciją kaip elementariųjų trupmenų sumą.
Šiuo atveju išplėtimas turi tokią formą:

Pažvelkime į mūsų vardiklį:
Išskaidžius trupmeninę-racionaliąją funkciją į elementariųjų trupmenų sumą, galima išskirti tris pagrindinius dalykus:

1) Jei vardiklyje yra „vienišas“ pirmosios laipsnio koeficientas (mūsų atveju), tada viršuje (mūsų atveju) dedame neapibrėžtą koeficientą. 1, 2 pavyzdžiai susideda tik iš tokių „vienišų“ veiksnių.

2) Jei vardiklis turi daugkartinis daugiklis, tada jums reikia jį išskaidyti taip:
- tai yra, nuosekliai eikite per visus „X“ laipsnius nuo pirmojo iki n-ojo laipsnio. Mūsų pavyzdyje yra du keli veiksniai: ir , dar kartą pažvelkite į mano pateiktą išplėtimą ir įsitikinkite, kad jie yra išplėsti tiksliai pagal šią taisyklę.

3) Jei vardiklyje yra neskaidomas antrojo laipsnio polinomas (mūsų atveju), tada skaidant skaitiklyje reikia parašyti tiesinę funkciją su neapibrėžtais koeficientais (mūsų atveju su neapibrėžtais koeficientais ir ).

Tiesą sakant, yra dar vienas 4-asis atvejis, bet aš apie tai tylėsiu, nes praktikoje tai yra labai reta.

4 pavyzdys

Įveskite funkciją kaip elementariųjų trupmenų su nežinomais koeficientais suma.

Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Griežtai laikykitės algoritmo!

Jei suprantate principus, pagal kuriuos reikia išplėsti trupmeninę-racionaliąją funkciją į sumą, galite peržvelgti beveik bet kurį nagrinėjamo tipo integralą.

5 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

1 žingsnis. Akivaizdu, kad trupmena yra teisinga:

2 žingsnis. Ar galima ką nors įtraukti į vardiklį? Gali. Čia yra kubelių suma . Vardiklį koeficientuokite naudodami sutrumpintą daugybos formulę

3 veiksmas. Naudodami neapibrėžtų koeficientų metodą, integrandą išplečiame į elementariųjų trupmenų sumą:

Atkreipkite dėmesį, kad daugianario negalima koeficientuoti (patikrinkite, ar diskriminantas yra neigiamas), todėl viršuje pateikiame tiesinę funkciją su nežinomais koeficientais, o ne tik viena raide.

Suvedame trupmeną į bendrą vardiklį:

Sudarykime ir išspręskime sistemą:

(1) Išreiškiame iš pirmosios lygties ir pakeičiame ją antrąja sistemos lygtimi (tai yra racionaliausias būdas).

(2) Panašius terminus pateikiame antroje lygtyje.

(3) Antrąją ir trečiąją sistemos lygtis sudedame po terminą.

Visi tolesni skaičiavimai iš esmės yra žodiniai, nes sistema yra paprasta.

(1) Užrašome trupmenų sumą pagal rastus koeficientus.

(2) Mes naudojame neapibrėžto integralo tiesiškumo savybes. Kas atsitiko antrajame integrale? Su šiuo metodu galite susipažinti paskutinėje pamokos pastraipoje. Kai kurių trupmenų integravimas.

(3) Dar kartą naudojame tiesiškumo savybes. Trečiajame integralu pradedame atskirti visą kvadratą (priešpaskutinė pamokos pastraipa Kai kurių trupmenų integravimas).

(4) Imame antrą integralą, trečiuoju pasirenkame visą kvadratą.

(5) Paimkite trečiąjį integralą. Paruošta.

Trupmena vadinama teisinga, jei didžiausias skaitiklio laipsnis yra mažesnis už didžiausią vardiklio laipsnį. Tinkamos racionalios trupmenos integralas turi tokią formą:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Racionaliųjų trupmenų integravimo formulė priklauso nuo polinomo šaknų vardiklyje. Jei daugianomas $ ax^2+bx+c $ turi:

1. Tik sudėtingos šaknys, tada iš jo reikia išgauti visą kvadratą: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 14 val. ^2) $$
2. Įvairūs tikrosios šaknys$ x_1 $ ir $ x_2 $, tada reikia išplėsti integralą ir rasti neapibrėžtus koeficientus $ A $ ir $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \ frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Viena daugybinė šaknis $ x_1 $, tada išplečiame integralą ir randame neapibrėžtus koeficientus $ A $ ir $ B $ pagal šią formulę: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Jei trupmena yra negerai, tai yra, didžiausias skaitiklio laipsnis yra didesnis arba lygus aukščiausiam vardiklio laipsniui, tada pirmiausia jis turi būti sumažintas iki teisinga suformuoti padalijus daugianarį iš skaitiklio iš daugianario iš vardiklio. Šiuo atveju racionalios trupmenos integravimo formulė yra tokia:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Sprendimų pavyzdžiai

1 pavyzdys

Raskite racionaliosios trupmenos integralą: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

Sprendimas

Trupmena yra tinkama, o daugianomas turi tik sudėtingas šaknis. Todėl pasirenkame visą kvadratą: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Sulenkiame visą kvadratą ir dedame po diferencialo ženklu $ x-5 $: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Naudodami integralų lentelę gauname: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Jei negalite išspręsti savo problemos, atsiųskite ją mums. Mes suteiksime detalus sprendimas. Galėsite stebėti skaičiavimo eigą ir gauti informacijos. Tai padės jums laiku gauti pažymį iš savo mokytojo!

Atsakymas

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$

2 pavyzdys

Atlikite racionaliųjų trupmenų integravimą: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

Sprendimas

Išspręskime kvadratinę lygtį: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Užrašome šaknis: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Atsižvelgdami į gautas šaknis, transformuojame integralą: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Atliekame racionaliosios trupmenos išplėtimą: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Sulyginame skaitiklius ir randame koeficientus $ A $ ir $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin(atvejai) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(atvejai) $$ $$ \begin(cases) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(atvejai) $$ Rastus koeficientus pakeičiame integralu ir išsprendžiame: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Atsakymas

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Pateiktas keturių tipų paprasčiausių, elementarių, trupmenų integralų skaičiavimo formulių išvedimas. Sudėtingesni integralai iš ketvirtojo tipo trupmenų apskaičiuojami naudojant redukcijos formulę. Nagrinėjamas ketvirtojo tipo trupmenos integravimo pavyzdys.

Turinys

Taip pat žiūrėkite: Neapibrėžtų integralų lentelė
Neapibrėžtinių integralų skaičiavimo metodai

Kaip žinoma, bet kurią racionalią kurio nors kintamojo x funkciją galima išskaidyti į daugianarį ir paprasčiausias elementariąsias trupmenas. Yra keturi paprastųjų trupmenų tipai:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Čia a, A, B, b, c - realūs skaičiai. Lygtis x 2 + bx + c = 0 neturi tikrų šaknų.

Pirmųjų dviejų tipų trupmenų integravimas

Pirmosios dvi trupmenos integruojamos naudojant šias formules iš integralų lentelės:
,
, n ≠ - 1 .

1. Pirmojo tipo trupmenų integravimas

Pirmojo tipo trupmena redukuojama į lentelės integralą, pakeičiant t = x - a:
.

2. Antrojo tipo trupmenų integravimas

Antrojo tipo trupmena redukuojama į lentelės integralą tuo pačiu pakeitimu t = x - a:

.

3. Trečiojo tipo trupmenų integravimas

Panagrinėkime trečiojo tipo trupmenos integralą:
.
Apskaičiuosime dviem etapais.

3.1. 1 veiksmas. Skaitiklyje pasirinkite vardiklio išvestinę

Išskirkime vardiklio išvestinę trupmenos skaitiklyje. Pažymėkime: u = x 2 + bx + c. Atskirkime: u′ = 2 x + b. Tada
;
.
Bet
.
Modulio ženklą praleidome, nes .

Tada:
,
Kur
.

3.2. Žingsnis 2. Apskaičiuokite integralą, kai A = 0, B = 1

Dabar apskaičiuojame likusį integralą:
.

Trupmenos vardiklį suvedame į kvadratų sumą:
,
Kur.
Manome, kad lygtis x 2 + bx + c = 0 neturi šaknų. Štai kodėl .

Padarykime pakaitalą
,
.
.

Taigi,
.

Taigi, mes radome trečiojo tipo trupmenos integralą:

,
Kur.

4. Ketvirtojo tipo trupmenų integravimas

Ir galiausiai, apsvarstykite ketvirtojo tipo trupmenos integralą:
.
Skaičiuojame trimis etapais.

4.1) Skaitiklyje pasirinkite vardiklio išvestinę:
.

4.2) Apskaičiuokite integralą
.

4.3) Apskaičiuokite integralus
,
naudojant redukcijos formulę:
.

4.1. 1 veiksmas. Vardiklio išvestinės išskyrimas skaitiklyje

Išskirkime vardiklio išvestinę skaitiklyje, kaip tai padarėme . Pažymėkime u = x 2 + bx + c. Atskirkime: u′ = 2 x + b. Tada
.

.
Bet
.

Pagaliau turime:
.

4.2. Žingsnis 2. Apskaičiuokite integralą, kurio n = 1

Apskaičiuokite integralą
.
Jo apskaičiavimas aprašytas .

4.3. 3 žingsnis. Redukcijos formulės išvedimas

Dabar apsvarstykite integralą
.

Kvadratinį trinarį sumažiname iki kvadratų sumos:
.
čia .
Padarykime pakaitalą.
.
.

Atliekame transformacijas ir integruojame dalimis.




.

Padauginti iš 2 (n - 1):
.
Grįžkime prie x ir I n.
,
;
;
.

Taigi, I n gavome redukcijos formulę:
.
Nuosekliai taikydami šią formulę integralą I n sumažiname į I 1 .

Pavyzdys

Apskaičiuokite integralą

1. Išskirkime vardiklio išvestinę skaitiklyje.
;
;


.
Čia
.

2. Apskaičiuojame paprasčiausios trupmenos integralą.

.

3. Taikome sumažinimo formulę:

integralui.
Mūsų atveju b = 1 , c = 1 , 4 c – b 2 = 3. Išrašome šią formulę n = 2 ir n = 3 :
;
.
Iš čia

.

Pagaliau turime:

.
Raskite koeficientą .
.

Taip pat žiūrėkite:

Trupmeniškai racionalios funkcijos neapibrėžto integralo radimo problema kyla dėl paprastųjų trupmenų integravimo. Todėl rekomenduojame pirmiausia susipažinti su trupmenų skaidymo į paprasčiausią teorijos skyriumi.

Pavyzdys.

Raskite neapibrėžtą integralą.

Sprendimas.

Kadangi integrando skaitiklio laipsnis yra lygus vardiklio laipsniui, pirmiausia pasirenkame visą dalį, padalydami daugianarį iš daugianario su stulpeliu:

Štai kodėl, .

Gautos tinkamos racionalios trupmenos skaidymas į paprastesnes trupmenas turi formą . Vadinasi,

Gautas integralas yra integralas paprasčiausia trupmena trečiasis tipas. Žvelgdami šiek tiek į priekį, pastebime, kad tai galite padaryti įtraukę jį po diferencialo ženklu.

Nes , Tai . Štai kodėl

Vadinasi,

Dabar pereikime prie kiekvieno iš keturių tipų paprastų trupmenų integravimo metodų aprašymo.

Pirmojo tipo paprastųjų trupmenų integravimas

Tiesioginės integracijos metodas idealiai tinka šiai problemai išspręsti:

Pavyzdys.

Raskite funkcijos antidarinių aibę

Sprendimas.

Raskime neapibrėžtąjį integralą naudodami antidarinės savybes, antidarinių lentelę ir integravimo taisyklę.

Puslapio viršuje

Antrojo tipo paprastųjų trupmenų integravimas

Šiai problemai spręsti taip pat tinka tiesioginės integracijos metodas:

Pavyzdys.

Sprendimas.

Puslapio viršuje

Trečiojo tipo paprastųjų trupmenų integravimas

Pirmiausia pateikiame neapibrėžtą integralą kaip suma:

Imame pirmąjį integralą, įtraukdami jį į diferencialo ženklą:

Štai kodėl,

Transformuokime gauto integralo vardiklį:

Vadinasi,

Trečiojo tipo paprastųjų trupmenų integravimo formulė yra tokia:

Pavyzdys.

Raskite neapibrėžtą integralą .

Sprendimas.

Mes naudojame gautą formulę:

Jei neturėtume šios formulės, ką darytume:

Puslapio viršuje

Ketvirtojo tipo paprastųjų trupmenų integravimas

Pirmas žingsnis yra įdėti jį po diferencialo ženklu:

Antras žingsnis – rasti formos integralą . Šio tipo integralai randami naudojant pasikartojimo formules. (Žr. skyrių apie integravimą naudojant pasikartojimo formules.) Mūsų atvejui tinka ši pasikartojanti formulė:

Pavyzdys.

Raskite neapibrėžtą integralą

Sprendimas.

Šio tipo integrandams naudojame pakeitimo metodą. Įveskime naują kintamąjį (žr. skyrių apie neracionalių funkcijų integravimą):

Po pakeitimo turime:

Mes radome ketvirtojo tipo trupmenos integralą. Mūsų atveju turime koeficientus M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 Ir n=3. Taikome pasikartojimo formulę:

Po atvirkštinio pakeitimo gauname rezultatą:

Integracija trigonometrinės funkcijos

1.Formos integralai apskaičiuojami transformuojant trigonometrinių funkcijų sandaugą į sumą, naudojant formules: Pavyzdžiui, 2. Formos integralai , Kur m arba n– nelyginis teigiamas skaičius, apskaičiuojamas sudėjus jį po diferencialiniu ženklu. Pavyzdžiui, 3.Formos integralai , Kur m Ir n– net teigiami skaičiai, apskaičiuojami naudojant galios mažinimo formules: Pavyzdžiui, 4.Integralai kur apskaičiuojami pakeitus kintamąjį: arba Pavyzdžiui, 5. Formos integralai redukuojami į racionaliųjų trupmenų integralus naudojant universalųjį trigonometrinį pakaitalą tada (nes =[padalijus skaitiklį ir vardiklį iš ]= ; Pavyzdžiui, Reikėtų pažymėti, kad universalaus pakeitimo naudojimas dažnai sukelia sudėtingus skaičiavimus.

§5. Paprasčiausių iracionalumų integravimas

Panagrinėkime paprasčiausių neracionalumo tipų integravimo būdus. 1. Šio tipo funkcijos integruojamos taip pat, kaip ir paprasčiausios racionalios 3 tipo trupmenos: vardiklyje iš kvadratinio trinalio išskiriamas visas kvadratas ir įvedamas naujas kintamasis. Pavyzdys. 2. (po integralo ženklu – racionali argumentų funkcija). Šio tipo integralai apskaičiuojami naudojant pakaitalą. Visų pirma, formos integraluose, kuriuos žymime . Jei integrandas turi skirtingo laipsnio šaknis: , tada pažymėkite kur n– mažiausias bendrasis skaičių kartotinis m,k. 1 pavyzdys. 2 pavyzdys. -netinkama racionali trupmena, pasirinkite visą dalį: – – – 3.Formos integralai apskaičiuojami naudojant trigonometrinius pakaitalus:

44

45 Apibrėžtinis integralas

Apibrėžtasis integralas- adityvus monotoninis normalizuotas funkcinis, apibrėžtas porų rinkinyje, kurio pirmasis komponentas yra integruojama funkcija arba funkcinis, o antrasis yra šios funkcijos (funkcinio) aibės domenas.

Apibrėžimas

Leiskite tai apibrėžti . Padalinkime jį į dalis su keliais savavališkais taškais. Tada jie sako, kad segmentas buvo padalintas. Tada pasirinkite savavališką tašką , ,

Apibrėžtasis funkcijos integralas intervale yra integralinių sumų riba, nes skaidinio rangas linkęs į nulį, jei jis egzistuoja nepriklausomai nuo skaidinio ir taškų pasirinkimo, tai yra

Jei nurodyta riba egzistuoja, tada sakoma, kad funkcija yra integruojama Riemann.

Pavadinimai

· - apatinė riba.

· - viršutinis limitas.

· - integrand funkcija.

· - dalinio segmento ilgis.

· - atitinkamos skaidinio funkcijos integralioji suma.

· - maksimalus dalinio segmento ilgis.

Savybės

Jei funkcija yra Riemann integruojama , tada ji yra apribota.

Geometrinė reikšmė

Apibrėžtasis integralas kaip figūros plotas

Apibrėžtinis integralas skaitiniu būdu lygus plotui figūra, kurią riboja x ašis, tiesės ir funkcijos grafikas.

Niutono-Leibnizo teorema

[Redaguoti]

(peradresuota iš "Newton-Leibniz Formula")

Niutono – Leibnizo formulė arba pagrindinė analizės teorema pateikia ryšį tarp dviejų operacijų: imant apibrėžtąjį integralą ir apskaičiuojant antidarinį.

Įrodymas

Tegu intervale pateikiama integruojamoji funkcija. Pradėkime tai pastebėdami

tai yra, nesvarbu, kuri raidė (arba) yra po ženklu apibrėžtajame integrale virš segmento.

Nustatykime savavališką reikšmę ir nustatykime nauja funkcija . Jis apibrėžiamas visoms reikšmėms , nes žinome, kad jei yra integralas į , tai taip pat yra integralas į , kur . Prisiminkime, kad mes svarstome pagal apibrėžimą

(1)

pastebėti, kad

Parodykime, kad jis yra tęstinis intervale . Tiesą sakant, tegul ; Tada

o jei , tai tada

Taigi jis yra tęstinis, nepaisant to, ar jis turi, ar neturi nutrūkimų; svarbu, kad jis būtų integruojamas .

Paveikslėlyje parodytas grafikas. Kintamosios figūros plotas yra . Jo prieaugis yra lygus figūros plotui , kuris dėl savo ribotumo akivaizdžiai linkęs į nulį, neatsižvelgiant į tai, ar tai tęstinumo, ar nenuoseklumo taškas, pavyzdžiui, taškas.

Tegul dabar funkcija ne tik integruojama įjungta , bet ir tęstinė taške . Įrodykime, kad tada išvestinė šiame taške yra lygi

(2)

Tiesą sakant, nurodytam taškui

(1) , (3)

Mes įdedame , o kadangi jis yra pastovus, palyginti su ,TO . Be to, dėl tęstinumo taške, bet kuris gali nurodyti taip, kad už .

kuris įrodo, kad kairioji šios nelygybės pusė yra o (1), kai .

Perėjimas prie ribos (3) at parodo taško išvestinės egzistavimą ir lygybės (2) galiojimą. Kai čia kalbame atitinkamai apie dešiniąją ir kairiąją vedinius.

Jei funkcija yra nuolatinė , tada, remiantis tuo, kas buvo įrodyta aukščiau, atitinkama funkcija

(4)

turi išvestinę, lygią . Todėl funkcija yra .

Ši išvada kartais vadinama kintamojo viršutinės ribos integralo teorema arba Barrow teorema.

Įrodėme, kad savavališka funkcija, kuri tęsiasi intervale, turi šio intervalo antidarinę, apibrėžtą lygybe (4). Tai įrodo, kad egzistuoja antidarinys bet kuriai funkcijai, kuri tęsiasi intervale.

Tegul dabar yra savavališkas funkcijos antidarinys. Mes tai žinome, kur yra tam tikra konstanta. Darant prielaidą, kad ši lygybė ir atsižvelgiant į tai , gauname .

Taigi,. Bet

Netinkamas integralas

[Redaguoti]

Medžiaga iš Vikipedijos – laisvosios enciklopedijos

Apibrėžtasis integralas paskambino ne savo, jei tenkinama bent viena iš šių sąlygų:

· Riba a arba b (arba abi ribos) yra begalinės;

· Funkcija f(x) turi vieną ar daugiau lūžio taškų atkarpos viduje.

[taisyti] Netinkami pirmosios rūšies integralai

. Tada:

1. Jeigu o integralas vadinamas . Tokiu atveju vadinama konvergentine.

, arba tiesiog skiriasi.

Leisti būti apibrėžtas ir tęstinis rinkinyje nuo ir . Tada:

1. Jeigu , tada naudojamas žymėjimas o integralas vadinamas netinkamas pirmosios rūšies Riemann integralas. Tokiu atveju vadinama konvergentine.

2. Jei baigtinio nėra ( arba ), tada sakoma, kad integralas nukrypsta į , arba tiesiog skiriasi.

Jei funkcija apibrėžta ir ištisinė visoje skaičių eilutėje, tada gali būti netinkamas šios funkcijos integralas su dviem begalinėmis integravimo ribomis, apibrėžtomis formule:

, kur c yra savavališkas skaičius.

[Redaguoti] Pirmosios rūšies netinkamo integralo geometrinė reikšmė

Netinkamas integralas išreiškia begalinės ilgos lenktos trapecijos plotą.

[Redaguoti] Pavyzdžiai

[taisyti] Netinkami antrojo tipo integralai

Tegul jis yra apibrėžtas , patiria begalinį pertrūkį taške x=a ir . Tada:

1. Jeigu , tada naudojamas žymėjimas o integralas vadinamas

vadinamas skirtingu į , arba tiesiog skiriasi.

Tegul jis yra apibrėžtas , kenčia begalinis pertrūkis ties x=b ir . Tada:

1. Jeigu , tada naudojamas žymėjimas o integralas vadinamas netinkamas antrosios rūšies Riemann integralas. Šiuo atveju integralas vadinamas konvergentiniu.

2. Jei arba , tada žymėjimas išlieka toks pat, ir vadinamas skirtingu į , arba tiesiog skiriasi.

Jei funkcija nutrūksta vidiniame atkarpos taške, tada netinkamas antrojo tipo integralas nustatomas pagal formulę:

[Redaguoti] Antrosios rūšies netinkamų integralų geometrinė reikšmė

Netinkamas integralas išreiškia begalinio aukščio lenktos trapecijos plotą

[Redaguoti] Pavyzdys

[taisyti] Atskiras atvejis

Tegul funkcija yra apibrėžta visoje skaičių eilutėje ir taškuose turi nutrūkimą.

Tada galime rasti netinkamą integralą

[taisyti] Košio kriterijus

1. Tegul jis yra apibrėžtas aibėje iš ir .

Tada susilieja

2. Leisti apibrėžti ir .

Tada susilieja

[taisyti] Absoliutus konvergencija

Integralinis paskambino absoliučiai konvergencija, Jei susilieja.
Jei integralas absoliučiai konverguoja, tada jis konverguoja.

[taisyti]Sąlyginė konvergencija

Integralas vadinamas sąlyginai konvergencinis, jei susilieja, bet skiriasi.

48 12. Netinkami integralai.

Nagrinėdami apibrėžtuosius integralus darėme prielaidą, kad integracijos sritis yra ribota (konkrečiau, tai segmentas [ a ,b ]); Kad egzistuotų apibrėžtasis integralas, integrandas turi būti apribotas [ a ,b ]. Mes paskambinsime apibrėžtieji integralai, kuriai tenkinamos abi šios sąlygos (ir integracijos srities, ir integrando funkcijos ribos) savo; integralai, kuriems šie reikalavimai pažeidžiami (t. y. arba integrandas, arba integravimo sritis yra neribota, arba abu) ne savo. Šiame skyriuje tyrinėsime netinkamus integralus.

• 12.1. Netinkami integralai neribotame intervale (netinkami pirmosios rūšies integralai).
• 12.1.1. Netinkamo integralo per begalinį intervalą apibrėžimas. Pavyzdžiai.
• 12.1.2. Niutono-Leibnizo formulė netinkamam integralui.
• 12.1.3. Neneigiamų funkcijų palyginimo kriterijai.
• 12.1.3.1. Palyginimo ženklas.
• 12.1.3.2. Palyginimo ženklas kraštutiniu pavidalu.
• 12.1.4. Absoliuti netinkamų integralų konvergencija per begalinį intervalą.
• 12.1.5. Abelio ir Dirichlet konvergencijos testai.
• 12.2. Netinkami integralai neribotos funkcijos(netinkami antrosios rūšies integralai).
• 12.2.1. Neribotos funkcijos netinkamo integralo apibrėžimas.
• 12.2.1.1. Singuliarumas yra kairiajame integravimo intervalo gale.
• 12.2.1.2. Niutono-Leibnizo formulės taikymas.
• 12.2.1.3. Singuliarumas dešiniajame integravimo intervalo gale.
• 12.2.1.4. Singuliarumas vidiniame integravimo intervalo taške.
• 12.2.1.5. Kelios integravimo intervalo funkcijos.
• 12.2.2. Neneigiamų funkcijų palyginimo kriterijai.
• 12.2.2.1. Palyginimo ženklas.
• 12.2.2.2. Palyginimo ženklas kraštutiniu pavidalu.
• 12.2.3. Absoliuti ir sąlyginė nenuoseklių funkcijų netinkamų integralų konvergencija.
• 12.2.4. Abelio ir Dirichlet konvergencijos testai.

12.1. Netinkami integralai neribotame intervale

(netinkami pirmosios rūšies integralai).

12.1.1. Netinkamo integralo per begalinį intervalą apibrėžimas. Tegul funkcija f (x ) yra apibrėžtas pusašyje ir yra integruojamas bet kuriuo intervalu [ iš, kiekvienu iš šių atvejų reiškiančių atitinkamų ribų egzistavimą ir baigtinumą. Dabar pavyzdžių sprendimai atrodo paprastesni: .

12.1.3. Neneigiamų funkcijų palyginimo kriterijai. Šiame skyriuje manysime, kad visi integrandai yra neneigiami visoje apibrėžimo srityje. Iki šiol integralo konvergenciją nustatydavome ją skaičiuodami: jei yra baigtinė antidarinės riba su atitinkama tendencija ( arba ), tai integralas konverguoja, priešingu atveju jis diverguoja. Sprendžiant praktines problemas, tačiau pirmiausia svarbu nustatyti patį konvergencijos faktą, o tik tada apskaičiuoti integralą (be to, antidarinys dažnai neišreiškiamas per elementarios funkcijos). Suformuluokime ir įrodykime keletą teoremų, leidžiančių nustatyti neneigiamų funkcijų netinkamų integralų konvergenciją ir divergenciją jų neskaičiuojant.
12.1.3.1. Palyginimo ženklas. Tegul funkcijos f (x ) Ir g (x ) integralas

„Matematikas, kaip ir menininkas ar poetas, kuria raštus. O jei jo raštai stabilesni, tai tik todėl, kad jie susideda iš idėjų... Matematiko raštai, kaip ir menininko ar poeto raštai, turi būti gražūs; Idėjos, kaip ir spalvos ar žodžiai, turi atitikti viena kitą. Grožis yra pirmasis reikalavimas: bjauriai matematikai nėra vietos pasaulyje».

G.H.Hardy

Pirmajame skyriuje buvo pažymėta, kad yra gana paprastų funkcijų antidariniai, kurių nebegalima išreikšti elementariomis funkcijomis. Šiuo atžvilgiu tos funkcijų klasės, apie kurias galime tiksliai pasakyti, kad jų antidariniai yra elementarios funkcijos, įgyja didžiulę praktinę reikšmę. Ši funkcijų klasė apima racionalios funkcijos, vaizduojantis dviejų algebrinių daugianarių santykį. Daugelis problemų lemia racionaliųjų trupmenų integravimą. Todėl labai svarbu mokėti integruoti tokias funkcijas.

2.1.1. Trupmeninės racionalios funkcijos

Racionalioji trupmena(arba trupmeninė racionali funkcija) vadinamas dviejų algebrinių daugianarių ryšiu:

kur ir yra daugianariai.

Leiskite jums tai priminti daugianario (daugianario, visa racionali funkcija) nlaipsnis vadinama formos funkcija

Kur – realūs skaičiai. Pavyzdžiui,

– pirmojo laipsnio daugianario;

– ketvirtojo laipsnio daugianario ir kt.

Racionalioji trupmena (2.1.1) vadinama teisinga, jeigu laipsnis žemesnis už laipsnį , t.y. n<m, kitaip trupmena vadinama negerai.

Bet kuri neteisinga trupmena gali būti pavaizduota kaip daugianario (visos dalies) ir tinkamos trupmenos (trupmeninės dalies) suma. Netinkamos trupmenos sveikos ir trupmeninės dalys gali būti atskirtos pagal daugianario padalijimo „kampu“ taisyklę.

2.1.1 pavyzdys. Nustatykite šių netinkamų racionalių trupmenų visas ir trupmenines dalis:

A) , b) .

Sprendimas . a) Naudodami "kampo" padalijimo algoritmą, gauname

Taigi, mes gauname

.

b) Čia taip pat naudojame „kampo“ padalijimo algoritmą:

Kaip rezultatas, mes gauname

.

Apibendrinkime. Bendruoju atveju neapibrėžtasis racionaliosios trupmenos integralas gali būti pavaizduotas kaip daugianario ir tinkamos racionaliosios trupmenos integralų suma. Rasti polinomų antidarinius nėra sunku. Todėl toliau daugiausia nagrinėsime tinkamas racionaliąsias trupmenas.

2.1.2. Paprasčiausios racionalios trupmenos ir jų integravimas

Tarp tinkamų racionaliųjų trupmenų yra keturi tipai, kurie klasifikuojami kaip paprasčiausios (elementariosios) racionalios trupmenos:

3) ,

4) ,

kur yra sveikasis skaičius, , t.y. kvadratinis trinaris neturi tikrų šaknų.

1 ir 2 tipų paprastųjų trupmenų integravimas nesukelia didelių sunkumų:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Dabar panagrinėkime paprastųjų 3 tipo trupmenų integravimą, bet nenagrinėsime 4 tipo trupmenų.

Pradėkime nuo formos integralų

.

Šis integralas paprastai apskaičiuojamas išskiriant tobuląjį vardiklio kvadratą. Rezultatas yra šios formos lentelės integralas

arba .

2.1.2 pavyzdys. Raskite integralus:

A) , b) .

Sprendimas . a) Iš kvadratinio trinalio pasirinkite visą kvadratą:

Iš čia randame

b) Išskirdami visą kvadratą nuo kvadratinio trinalio, gauname:

Taigi,

.

Norėdami rasti integralą

Jūs galite išskirti vardiklio išvestinę skaitiklyje ir išplėsti integralą į dviejų integralų sumą: pirmasis iš jų pakeičiant priklauso nuo išvaizdos

,

o antrasis – į aukščiau aptartą.

2.1.3 pavyzdys. Raskite integralus:

.

Sprendimas . pastebėti, kad . Išskirkime vardiklio išvestinę skaitiklyje:

Pirmasis integralas apskaičiuojamas naudojant pakaitalą :

Antrajame integrale vardiklyje pasirenkame tobulą kvadratą

Pagaliau gauname

2.1.3. Tinkamas racionalus trupmenos plėtimas
paprastųjų trupmenų sumai

Bet kuri tinkama racionali trupmena gali būti pavaizduota unikaliu būdu kaip paprastųjų trupmenų suma. Norėdami tai padaryti, vardiklis turi būti koeficientas. Iš aukštesnės algebros žinoma, kad kiekvienas daugianomas su realiais koeficientais