Pramoginė matematika Algebra ir matematinės analizės pradžia, 10 kl.

Pamoka apie:

Ką mes studijuosime:

Kas yra Begalybė?

Savybės.

Funkcijos riba begalybėje.

Vaikinai, pažiūrėkime, kokia yra funkcijos riba begalybėje?

Kas yra begalybė?

Begalybė – naudojama apibūdinti beribius, beribius, neišsenkančius objektus ir reiškinius, mūsų atveju – skaičių apibūdinimą.

Begalybė yra savavališkai didelis (mažas) neribotas skaičius.

Jei atsižvelgsime į koordinačių plokštumą, tada abscisių (ordinačių) ašis eina į begalybę, jei ji tęsiama neribotai į kairę arba į dešinę (aukštyn arba žemyn).

Funkcijos riba begalybėje

Funkcijos riba begalybėje. Dabar pereikime prie funkcijos ribos begalybėje: Turėkime funkciją y=f(x), mūsų funkcijos apibrėžimo srityje yra spindulys, o tiesė y=b yra funkcijos y=f(x) grafiko horizontalioji asimptote, parašykime visa tai matematine kalba:

funkcijos y=f(x) riba, nes x linkusi į minus begalybę, lygi b

Funkcijos riba minus begalybėje.

Funkcijos riba begalybėje. Mūsų santykiai taip pat gali būti vykdomi vienu metu:

Funkcijos riba begalybėje.

Tada įprasta rašyti taip:

funkcijos y=f(x), nes x linksta į begalybę, riba yra b

Funkcijos riba begalybėje.

Pavyzdys. Sukurkite funkcijos y=f(x) grafiką, kad:

• Apibrėžimo sritis yra realiųjų skaičių aibė.
• f(x) yra nuolatinė funkcija

Sprendimas:

Turime sukurti tęstinę funkciją (-∞; +∞). Parodykime keletą mūsų funkcijos pavyzdžių.

Funkcijos riba begalybėje.

Norint apskaičiuoti ribą begalybėje, naudojami keli teiginiai:

1) Bet kuriam natūraliajam skaičiui m galioja toks ryšys:

2) Jei

a) Sumos limitas yra lygus limitų sumai:

b) sandaugos riba yra lygi ribinių sandaugai:

c) koeficiento riba lygi ribų daliniui:

d) Pastovus koeficientas gali būti paimtas už ribinio ženklo:

Pagrindinės savybės.

Funkcijos riba begalybėje.

Pavyzdys. Rasti

Sprendimas.

Trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalinkite iš x.

Vaikinai, prisiminkite skaičių sekos ribą.

Panaudokime savybę, kad dalinio riba lygi ribų daliniui:

Mes gauname:

Atsakymas:

Funkcijos riba begalybėje.

Sprendimas.

Skaitiklio riba yra: 5-0=5; Vardiklio riba yra: 10+0=10

Funkcijos riba begalybėje.

Pavyzdys. Raskite funkcijos y=f(x) ribą, nes x linkęs į begalybę.

Sprendimas.

Trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalykite iš x iki trečiosios laipsnio.

Pasinaudokime ribos begalybėje savybėmis

Skaitiklio riba yra: 0; Vardiklio riba yra: 8

Funkcijos riba begalybėje.

Savarankiško sprendimo problemos.

• Nubraižykite tolydžios funkcijos y=f(x) grafiką. Taip, kad riba kaip x linkusi į plius begalybę yra 7, o kaip x linkusi į minus begalybę 3.
• Nubraižykite tolydžios funkcijos y=f(x) grafiką. Taip, kad riba kaip x linkusi į plius begalybę yra 5 ir funkcija didėja.
• Raskite ribas:
• Raskite ribas:

Šiame projekte kartu su teorine medžiaga buvo atsižvelgta ir į praktinę medžiagą. Praktikoje mes apsvarstėme visus galimus ribų apskaičiavimo būdus. Antrosios aukštosios matematikos dalies studijos jau sulaukia didelio susidomėjimo, nes pernai svarstėme temą „Matricos. Matricos savybių taikymas sprendžiant lygčių sistemas“, kuris buvo paprastas, jei tik dėl to, kad gautas rezultatas buvo valdomas. Čia tokios kontrolės nėra. Aukštosios matematikos sekcijos duoda teigiamų rezultatų. Šio kurso užsiėmimai davė rezultatų: - išstudijuota daug teorinės ir praktinės medžiagos; - išugdė gebėjimą pasirinkti limito skaičiavimo metodą; - sukurtas kompetentingas kiekvieno skaičiavimo metodo panaudojimas; - įtvirtintas gebėjimas kurti užduoties algoritmą. Mes ir toliau studijuosime aukštosios matematikos skyrius. Ją studijuojant siekiama, kad būsime gerai pasirengę perstudijuoti aukštosios matematikos kursą.

Norėdami naudoti pristatymų peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Funkcijos ribų skaičiavimas. Funkcijos riba begalybėje. Dvi didelės ribos. Skaičiaus "e" apskaičiavimas. (praktinė pamoka)

Pamokos tikslas: Pakartoti, apibendrinti ir sisteminti žinias tema „Funkcijos ribų skaičiavimas“ ir praktikuoti jų pritaikymą praktikoje.

Pamokos eiga: 1. Organizacinis momentas 2. Namų darbų tikrinimas 3. Pagrindinių žinių kartojimas 4. Naujos medžiagos studijavimas 5. Žinių atnaujinimas 6. Namų darbai 7. Pamokos santrauka. Atspindys

Namų darbų tikrinimas Apskaičiuokite ribas: 1 variantas 2 variantas 1) 1) 2) 2) 3) 3)

Namų darbų tikrinimas Atsakymai: 1) -1,2; 0,4; -√5 2) 25, 4/3, 1/5√2

Pagrindinių žinių kartojimas Kas vadinama funkcijos riba taške? Užrašykite funkcijos tęstinumo apibrėžimą. Nurodykite pagrindines teoremas apie ribas. Kokius limitų skaičiavimo metodus žinote?

Pagrindinių žinių kartojimas Ribos nustatymas. Skaičius b yra funkcijos f(x) riba, nes x yra linkęs į a, jei kiekvienam teigiamam skaičiui e galima nurodyti teigiamą skaičių d, kad visiems x skirtiems nuo a ir atitinkantiems nelygybę | x-a |

Pagrindinių žinių kartojimas Pagrindinės teoremos apie ribas: 1 TEOREMA. Dviejų funkcijų sumos riba, kai x linksta į a, yra lygi šių funkcijų ribų sumai, tai yra 2 TEOREMAI. Dviejų funkcijų sandaugos riba, kai x linksta į a, yra lygi šių funkcijų ribų sandaugai, tai yra 3 TEOREMAI. Dviejų funkcijų dalinio riba, kai x linksta į a, yra lygi ribų daliniui, jei vardiklio riba skiriasi nuo nulio, tai yra lygi pliuso (minuso) begalybei, jei vardiklio riba yra 0, o skaitiklio riba yra baigtinė ir skiriasi nuo nulio.

Pagrindinių žinių kartojimas Ribų skaičiavimo metodai: Tiesioginis keitimas Skaitiklio ir vardiklio išskaidymas į veiksnius ir trupmenos sumažinimas Dauginimas iš konjugatų, siekiant atsikratyti neracionalumo

Naujos medžiagos studijavimas Riba begalybėje: Skaičius A vadinamas funkcijos y=f(x) riba begalybėje (arba x linkusiam į begalybę), jei visoms argumento x reikšmėms, kurios yra pakankamai didelės absoliučiai reikšmę, atitinkamos funkcijos f(x) reikšmės yra savavališkai mažos, skiriasi nuo skaičiaus A.

Naujos medžiagos mokymasis Padalinkime trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš didžiausios kintamojo laipsnio:

Naujos medžiagos mokymasis Pirmoji nuostabi riba Antroji nuostabi riba yra

Naujos medžiagos mokymasis naudojant dideles ribas Pirma didžioji riba: antra didžioji riba:

Naujos medžiagos mokymasis

Žinių atnaujinimas

Namų darbai Apskaičiuokite ribas: Namų darbai

Šiandien išmokau... Buvo sunku... Buvo įdomu... Supratau, kad... Dabar galiu... Pabandysiu... Išmokau... Susidomėjau... Nustebau ... Atspindys

Tema: metodologiniai patobulinimai, pristatymai ir pastabos

Matematikos praktinių užsiėmimų organizavimo ir vedimo metodinės rekomendacijos. Tema: Funkcijų ribų apskaičiavimas naudojant pirmą ir antrą reikšmingas ribas.

Funkcijos riba taške Tegul funkcija y = f(x) yra apibrėžta taško x 0 kaimynystėje, išskyrus patį tašką x 0. Skaičius A vadinamas funkcijos riba taške x 0 (arba at) jei bet kuriam teigiamam ε yra toks teigiamas skaičius δ, kad visiems x iš δ – taško x 0 kaimynystė, galioja ši nelygybė:

Vienpusės ribos Apibrėžiant funkcijos ribą, pasitaiko atvejų, kai argumento x priartinimo prie x 0 metodas reikšmingai įtakoja ribos reikšmę, todėl įvedamos vienpusių ribų sąvokos. daroma prielaida, kad x bet kokiu būdu linkęs į x 0: lieka mažesnis nei x 0 (kairėje nuo x 0), didesnis nei x 0 (dešinėje nuo x 0) arba svyruoja aplink tašką x 0. A 1 vadinama funkcijos riba kairėje taške x 0, jei bet kuriam ε > 0 yra δ >0, kad visiems galiotų tokia nelygybė: Kairėje esanti riba rašoma taip: 0 yra δ >0, kad ši nelygybė galiotų visiems: Kairėje esanti riba rašoma taip: ">

Vienpusės ribos Skaičius A 2 vadinamas funkcijos dešinėje taške x 0 riba, jei Riba dešinėje parašoma taip: y 0 x A1A1 x0x0 A2A2 Funkcijos kairėje ir dešinėje ribos vadinamos vienpusėmis ribomis. Akivaizdu, kad jei yra, tada egzistuoja abi vienpusės ribos, ir A = A 1 = A 2 y 0 x A 1 = A 2 = A x0x0

M arba ties x M arba ties x 6 Funkcijos riba kaip x linkusi į begalybę Tegul funkcija y = f(x) yra apibrėžta intervale. Skaičius A vadinamas funkcijos riba ties, jei šio apibrėžimo geometrinė reikšmė yra tokia: yra toks skaičius M, kad x > M arba x M arba x M arba x M arba x M arba for x title=" Funkcijos riba kaip x linkusi į begalybę Tegul funkcija y = f(x) yra apibrėžta intervale. Skaičius A vadinamas funkcijos riba ties, jei geometrinė reikšmė apibrėžimas yra toks: yra toks skaičius M, kad x > M arba x.

Pagrindinės teoremos apie ribas Panagrinėkime teoremas, kurios padeda lengviau rasti funkcijų ribas. Dviejų funkcijų sumos (skirtumo) riba lygi ribų sumai (skirtumui): Teoremų formulavimas kada arba yra panašios, todėl naudosime žymėjimą:. Dviejų funkcijų sandaugos riba lygi ribų sandaugai: Pastovią koeficientą galima paimti iš ribinio ženklo:

x 0, tada atitinkamai yra kairioji riba: arba dešinė" class="link_thumb"> 9 !} Pagrindinės teoremos apie ribas Jei tarp atitinkamų trijų funkcijų reikšmių šiuo atveju: tada: tenkinamos nelygybės: Jei funkcija f(x) yra monotoniška ir ribojama ties x x 0, tada yra atitinkamai kairioji jos riba: arba jo dešinioji riba: x 0, tada atitinkamai yra kairioji riba: arba dešinioji"> x 0, tada yra atitinkamai kairioji riba: arba dešinė riba:"> x 0, tada atitinkamai yra kairioji riba: arba dešinė" pavadinimas ="( !LANG:Pagrindinės teoremos apie ribas Jei tarp atitinkamų trijų funkcijų reikšmių šiuo atveju: tada: tenkinamos nelygybės: Jei funkcija f(x) yra monotoniška ir ribojama ties x x 0, tada yra, atitinkamai jo kairioji riba: arba dešinė"> title="Pagrindinės teoremos apie ribas Jei tarp atitinkamų trijų funkcijų reikšmių šiuo atveju: tada: tenkinamos nelygybės: Jei funkcija f(x) yra monotoniška ir ribojama ties x x 0, tai atitinkamai yra jos kairioji riba: arba jos teisė"> !}

Ribų skaičiavimas Ribos skaičiavimas: pradėkite ribinę reikšmę x 0 pakeisdami funkcija f(x). Jei taip gaunamas baigtinis skaičius, tada riba yra lygi tam skaičiui. Jei pakeičiant ribinę reikšmę x 0 į funkciją f(x), gaunamos formos išraiškos: tada riba bus lygi:

Neapibrėžčių atskleidimas Neapibrėžtumo atskleidimas Jei f(x) yra trupmeninė racionali funkcija, reikia paskaičiuoti trupmenos skaitiklį ir vardiklį. Jei f(x) yra neracionali trupmena, reikia padauginti trupmenos skaitiklį ir vardiklį. trupmena pagal išraišką susieta su skaitikliu.

15 Pirmoji žymi riba Funkcija neapibrėžta ties x = 0. Raskime šios funkcijos ribą ties O AB C M Pažymime: S 1 - trikampio OMA plotą, S 2 - sektoriaus plotą OMA, S 3 - trikampio OCA plotas, Iš paveikslo aišku, kad S 1

Ribų skaičiavimo taisyklės Jei lim f(x) = b ir lim g(x) =c, tai x 1) Sumos riba lygi ribų sumai: lim (f(x)+ g(x) ) = lim f(x)+ lim g(x) = b+ c x x x 2) sandaugos riba lygi ribų sandaugai: lim f(x) g(x) = lim f(x) * lim g (x) = b c x x x 3) Dalinio riba yra lygi ribų daliniui: lim f(x):g(x) = lim f(x) : lim g(x)= b:c x x x 4) pastovų koeficientą galima paimti už ribinio ženklo ribų: lim k f(x) = k lim f(x) = k b x x

Užrašų planas Funkcijų y=1/x ir y=1/x 2 grafikai. Funkcijų y=1/x m grafikai, kai m lyginis ir nelyginis. Horizontalios asimptotės samprata. Funkcijos +, -, ribos sąvokos. Funkcijos ribos geometrinė reikšmė +, -,. Funkcijos ribų skaičiavimo taisyklės. Funkcijos ribos apskaičiavimo formulės. Funkcijos ribų skaičiavimo metodai.

Pamokos santrauka Ką reiškia, kad funkcija turi ribą begalybėje? Kokią asimptotę turi funkcija y=1/ x 4? Kokias begalybės funkcijos ribų skaičiavimo taisykles žinote? Su kokiomis begalybės ribų skaičiavimo formulėmis susipažinote? Kaip rasti lim (5-3x 3) / (6x 3 +2)? x

Naudota literatūra: - A.G. Mordkovičius. Algebra ir skaičiavimo užsiėmimų pradžia. Mnemosyne.M A.G.Mordkovich., P.V.Semenovas. Metodinis vadovas mokytojams. Algebra ir skaičiavimo klasės pradžia. Bazinis lygis. M. Mnemosyne. 2010 m