Šis straipsnis skirtas įvairių lygčių ir nelygybių sprendimo būdams
kintamasis po modulio ženklu.

Jei egzamino metu susiduriate su lygtimi ar nelygybe su moduliu, galite ją išspręsti,
visiškai nežinant jokių specialių metodų ir naudojant tik modulio apibrėžimą. Tiesa,
tai gali užtrukti pusantros valandos brangaus egzamino laiko.

Todėl norime papasakoti apie metodus, kurie supaprastina tokių problemų sprendimą.

Pirmiausia prisiminkime tai

Apsvarstykite skirtingus tipus lygtys su moduliu. (Daugiau apie nelygybę vėliau.)

Kairysis modulis, dešinysis numeris

Tai pats paprasčiausias atvejis. Išspręskime lygtį

Yra tik du skaičiai, kurių modulis yra keturi. Tai yra 4 ir -4. Todėl lygtis
yra lygiavertis dviejų paprastų deriniui:

Antroji lygtis neturi sprendinių. Pirmojo sprendiniai: x = 0 ir x = 5.

Atsakymas: 0; 5.

Kintamasis tiek po moduliu, tiek už modulio ribų

Čia jūs turite išplėsti modulį pagal apibrėžimą. . . arba įsivaizduok!

Lygtis suskaidoma į du atvejus, priklausomai nuo išraiškos po moduliu ženklo.
Kitaip tariant, jis prilygsta dviejų sistemų deriniui:

Pirmosios sistemos sprendimas: . Antroji sistema neturi sprendimų.
Atsakymas: 1.

Pirmasis atvejis: x ≥ 3. Išimkite modulį:

Skaičius , būdamas neigiamas, neatitinka sąlygos x ≥ 3 ir todėl nėra pradinės lygties šaknis.

Išsiaiškinkime, ar skaičius atitinka šią sąlygą. Norėdami tai padaryti, nustatome skirtumą ir nustatome jo ženklą:

Vadinasi, daugiau nei trys ir todėl yra pradinės lygties šaknis

Antrasis atvejis: x< 3. Снимаем модуль:

Skaičius . yra didesnis nei , todėl neatitinka x sąlygos< 3. Проверим :

Reiškia,. yra pradinės lygties šaknis.

Pašalinti modulį pagal apibrėžimą? Baisu net pagalvoti, nes diskriminantas nėra tobulas kvadratas. Geriau naudokime tokį svarstymą: |A| formos lygtis = B yra lygiavertis dviejų sistemų deriniui:

Tas pats, bet šiek tiek kitoks:

Kitaip tariant, išsprendžiame dvi lygtis A = B ir A = −B, tada pasirenkame šaknis, kurios tenkina sąlygą B ≥ 0.

Pradėkime. Pirmiausia išsprendžiame pirmąją lygtį:

Tada išsprendžiame antrąją lygtį:

Dabar kiekvienu atveju patikriname dešinės pusės ženklą:

Todėl tinka tik ir.

Kvadratinės lygtys su |x| = t

Išspręskime lygtį:

Kadangi , patogu atlikti |x| pakeitimą = t. Mes gauname:

Atsakymas: ±1.

Modulus lygus moduliui

Kalbame apie |A| formos lygtis = |B|. Tai likimo dovana. Jokių modulių išplėtimų pagal apibrėžimą! Tai paprasta:

Pavyzdžiui, apsvarstykite lygtį: . Tai atitinka šį rinkinį:

Belieka išspręsti kiekvieną populiacijos lygtį ir užrašyti atsakymą.

Du ar daugiau modulių

Išspręskime lygtį:

Nesivarginsime su kiekvienu moduliu atskirai ir atidarysime jį pagal apibrėžimą – pasirinkimų bus per daug. Yra racionalesnis būdas – intervalų metodas.

Po moduliais esančios išraiškos išnyksta taškuose x = 1, x = 2 ir x = 3. Šie taškai padalija skaičių tiesę į keturis intervalus (intervalus). Šiuos taškus pažymime skaičių eilutėje, o gautuose intervaluose po moduliais dedame kiekvieno posakio ženklus. (Ženklų tvarka yra tokia pati kaip atitinkamų modulių tvarka lygtyje.)

Taigi, turime atsižvelgti į keturis atvejus – kai x yra kiekviename intervale.

1 atvejis: x ≥ 3. Visi moduliai pašalinami „su pliusu“:

Gauta reikšmė x = 5 atitinka sąlygą x ≥ 3 ir todėl yra pradinės lygties šaknis.

2 atvejis: 2 ≤ x ≤ 3. Paskutinis modulis dabar pašalintas „su minusu“:

Tinka ir gauta x reikšmė – ji priklauso nagrinėjamam intervalui.

3 atvejis: 1 ≤ x ≤ 2. Antrasis ir trečiasis moduliai pašalinami "su minusu":

Gavome teisingą skaitinę lygybę bet kuriam x iš nagrinėjamo intervalo, jie yra šios lygties sprendiniai.

4 atvejis: x ≤ 1 ≤ 1. Antrasis ir trečiasis moduliai pašalinami "su minusu":

Nieko naujo. Mes jau žinome, kad x = 1 yra sprendimas.

Atsakymas: ∪ (5).

Modulis modulyje

Išspręskime lygtį:

Pradedame nuo vidinio modulio išplėtimo.

1) x ≤ 3. Gauname:

Išraiška pagal modulį išnyksta ties . Šis taškas priklauso svarstomam
intervalas. Todėl turime apsvarstyti du pavyzdžius.

1.1) Šiuo atveju gauname:

Ši x reikšmė nėra gera, nes ji nepriklauso nagrinėjamam intervalui.

1.2). Tada:

Ši x reikšmė taip pat nėra gera.

Taigi, jei x ≤ 3, sprendinių nėra. Pereikime prie antrojo atvejo.

2) x ≥ 3. Turime:

Čia mums pasisekė: išraiška x + 2 yra teigiama nagrinėjamame intervale! Todėl antrinių atvejų nebeliks: modulis pašalinamas „su pliusu“:

Ši x reikšmė yra nagrinėjamame intervale, todėl yra pradinės lygties šaknis.

Taip išsprendžiamos visos tokio tipo užduotys – įdėtus modulius atidarome paeiliui, pradedant nuo vidinio.

MBOU vidurinė mokykla Nr. 17 Ivanovas

« Modulo lygtys »
Metodinis tobulinimas

Sudaryta

matematikos mokytojas

Lebedeva N.V.

20010 m

Aiškinamasis raštas

1 skyrius Įvadas

2 skyrius. Pagrindinės savybės 3 skyrius. Skaičiaus modulio sampratos geometrinis aiškinimas 4 skyrius. Funkcijos y = |x| grafikas 5 skirsnis Konvencijos

2 skyrius

1 skyrius. Formos |F(х)| lygtys = m (pirmuonis) 2 skyrius. F(|х|) = m formos lygtys 3 skyrius. Formos |F(х)| lygtys = G(x) 4 skyrius. Formos |F(х)| lygtys = ± F(x) (gražu) 5 skyrius. Formos |F(х)| lygtys = |G(x)| 6 skyrius. Nestandartinių lygčių sprendimo pavyzdžiai 7 skyrius. Formos |F(х)| lygtys + |G(x)| = 0 8 skirsnis. Formos |а 1 x ± в 1 | lygtys ± |a 2 x ± in 2 | ± …|a n x ± in n | = m 9 skyrius. Lygtys, turinčios kelis modulius

3 skyrius. Įvairių lygčių su moduliu sprendimo pavyzdžiai.

1 skyrius. Trigonometrinės lygtys 2 skyrius. Eksponentinės lygtys 3 skyrius. Logaritminės lygtys 4 skyrius. Iracionalios lygtys 5 skyrius. Pažangaus sudėtingumo užduotys Atsakymai į pratimus Bibliografija

Aiškinamasis raštas.

Realiojo skaičiaus absoliučios vertės (modulio) samprata yra viena iš esminių jo charakteristikų. Ši sąvoka plačiai naudojama įvairiose fizinių, matematikos ir technikos mokslų srityse. Dėstant matematikos kursą vidurinėje mokykloje pagal Rusijos Federacijos gynybos ministerijos programą, su „absoliučios skaičiaus vertės“ sąvoka susiduriama ne kartą: 6 klasėje apibrėžiamas modulis. , pristatoma jo geometrinė reikšmė; 8 klasėje formuojama absoliučios paklaidos samprata, nagrinėjamas paprasčiausių modulį turinčių lygčių ir nelygybių sprendimas, tiriamos aritmetinės kvadratinės šaknies savybės; 11 klasėje sąvoka randama skyrelyje „Šaknis nlaipsnis“. Mokymo patirtis rodo, kad studentai dažnai susiduria su sunkumais spręsdami užduotis, kurioms reikia žinių apie šią medžiagą, ir dažnai praleidžia prieš pradėdami ją atlikti. 9 ir 11 klasių kurso egzaminų užduočių tekstuose taip pat pateikiamos panašios užduotys. Be to, reikalavimai, kuriuos universitetai kelia abiturientams, yra kitokie, o būtent aukštesnio lygio nei keliami mokyklos mokymo programos reikalavimai. Gyvenimui šiuolaikinėje visuomenėje labai svarbus matematinio mąstymo stiliaus, pasireiškiančio tam tikrais protiniais įgūdžiais, formavimas. Modulių uždavinių sprendimo procese būtina mokėti taikyti tokias technikas kaip apibendrinimas ir konkretizavimas, analizė, klasifikavimas ir sisteminimas, analogija. Tokių užduočių sprendimas leidžia patikrinti pagrindinių mokyklinio kurso dalių žinias, loginio mąstymo lygį ir pradinius tyrimo įgūdžius. Šis darbas skirtas vienai iš skyrių – lygčių, turinčių modulį, sprendimui. Jį sudaro trys skyriai. Pirmame skyriuje pateikiamos pagrindinės sąvokos ir svarbiausi teoriniai skaičiavimai. Antrame skyriuje siūlomi devyni pagrindiniai lygčių tipai, kuriuose yra modulis, aptariami jų sprendimo būdai ir analizuojami įvairaus sudėtingumo pavyzdžiai. Trečiame skyriuje pateikiamos sudėtingesnės ir nestandartinės lygtys (trigonometrinės, eksponentinės, logaritminės ir neracionalios). Kiekvienam lygčių tipui yra savarankiško sprendimo pratimai (atsakymai ir instrukcijos pridedami). Pagrindinis šio darbo tikslas – teikti metodinę pagalbą mokytojams ruošiantis pamokoms bei organizuojant pasirenkamuosius kursus. Medžiaga taip pat gali būti naudojama kaip mokymo priemonė aukštųjų mokyklų studentams. Darbe siūlomos užduotys įdomios ir ne visada lengvai sprendžiamos, o tai leidžia suvokti studentų mokymosi motyvaciją, pasitikrinti jų gebėjimus, pagerinti abiturientų pasirengimo stojimui į universitetus lygį. Diferencijuotas siūlomų pratimų pasirinkimas reiškia perėjimą nuo reprodukcinio medžiagos įsisavinimo lygio prie kūrybinio, taip pat galimybę išmokyti pritaikyti savo žinias sprendžiant nestandartines problemas.

1 skyrius. Įvadas.

1 skyrius. Absoliučios vertės nustatymas .

Apibrėžimas : Realiojo skaičiaus absoliuti reikšmė (modulis). a vadinamas neneigiamu skaičiumi: a arba -a. Pavadinimas: │ a │ Įrašas skamba taip: „skaičiaus a modulis“ arba „absoliuti skaičiaus a reikšmė“

│ a jei a > 0

│a│ = │ 0, jei a = 0 (1)

│ - a, jei a
Pavyzdžiai: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1

Išskleisti išraiškos modulį:

a) │x - 8│, jei x > 12 b) │2x + 3│, jei x ≤ -2 │x - 8│= x - 8 │ 2x + 3│= - 2x - 3

2 skyrius. Pagrindinės savybės.

Apsvarstykite pagrindines absoliučios vertės savybes. 1 nuosavybė: Priešingi skaičiai turi vienodus modulius, t.y. │а│=│-а│ Parodykime lygybės teisingumą. Užrašykime skaičiaus apibrėžimą - a : │- a│= (2) Palyginkime aibes (1) ir (2). Akivaizdu, kad absoliučių skaičių reikšmių apibrėžimai a ir - a susilyginti. Vadinasi, │а│=│-а│
Nagrinėdami šias savybes, apsiribojame jų formulavimu, nes pateikiami jų įrodymai 2 nuosavybė: Baigtinio realiųjų skaičių sumos absoliuti vertė neviršija terminų absoliučių verčių sumos: 3 nuosavybė: Dviejų realiųjų skaičių skirtumo absoliuti reikšmė neviršija jų absoliučių verčių sumos: │а - в│ ≤│а│+│в│ 4 nuosavybė: Baigtinio realiųjų skaičių sandaugos absoliuti vertė yra lygi faktorių absoliučių verčių sandaugai: │а · в│=│а│·│в│ 5 nuosavybė: Realiųjų skaičių dalinio absoliuti reikšmė yra lygi jų absoliučių dydžių daliniui:

3 skyrius. Skaičiaus modulio sampratos geometrinis aiškinimas.

Kiekvienas realusis skaičius gali būti susietas su skaičių linijos tašku, kuris bus šio tikrojo skaičiaus geometrinis vaizdas. Kiekvienas skaičių linijos taškas atitinka jo atstumą nuo pradžios, t.y. atkarpos ilgis nuo pradžios iki nurodyto taško. Šis atstumas visada laikomas neneigiama reikšme. Todėl atitinkamo segmento ilgis bus geometrinė duoto tikrojo skaičiaus absoliučios vertės interpretacija

Pateikta geometrinė iliustracija aiškiai patvirtina savybę Nr.1, t.y. priešingų skaičių moduliai yra lygūs. Iš čia lengvai suprantamas lygybės pagrįstumas: │x - a│= │a - x│. Taip pat tampa akivaizdžiau išspręsti lygtį │х│= m, kur m ≥ 0, būtent x 1,2 = ± m. Pavyzdžiai: 1) │х│ = 4 x 1,2 = ± 4 2) │х - 3│ = 1
x 1,2 = 2; 4

4 skyrius. Funkcijos y \u003d │х│ grafikas

Šios funkcijos sritis yra visi realieji skaičiai.

5 skyrius. Simboliai.

Ateityje, svarstant lygčių sprendimo pavyzdžius, bus naudojamos šios sutartys: ( - sistemos ženklas [ - nustatytas ženklas Sprendžiant lygčių (nelygybių) sistemą, randama į sistemą įtrauktų lygčių (nelygybių) sprendinių sankirta. Sprendžiant lygčių (nelygybių) aibę, randama į aibę įtrauktų lygčių (nelygybių) sprendinių sąjunga.

2 skyrius

Šiame skyriuje apžvelgsime algebrinius būdus, kaip išspręsti lygtis, turinčias vieną ar daugiau modulių.

1 skyrius. Formos lygtys │F (х) │= m

Tokio tipo lygtis vadinama paprasčiausia. Ji turi sprendimą tada ir tik tada, kai m ≥ 0. Pagal modulio apibrėžimą pradinė lygtis yra lygiavertė dviejų lygčių deriniui: │ F(x)│=m
Pavyzdžiai:
№1. Išspręskite lygtį: │7x - 2│= 9


Atsakymas: x 1 = - 1; X 2 = 1 4 / 7 №2
│x 2 + 3x + 1│= 1

x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 + 3x = 0 x 1 = -1; x 2 \u003d -2 x (x + 3) \u003d 0 x 1 = 0; x 2 = -3 Atsakymas: šaknų suma yra - 2.№3
│x 4 -5x 2 + 2│ = 2 x 4 - 5x 2 = 0 x 4 - 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 - 5) = 0 reiškia x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 ; ±√5 m 2 – 5m + 4 = 0 m = 1; 4 – abi reikšmės tenkina sąlygą m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 Atsakymas: 7 lygties šaknų skaičius. Pratimai:
№1. Išspręskite lygtį ir nurodykite šaknų sumą: │x - 5│= 3 №2 . Išspręskite lygtį ir nurodykite mažesnę šaknį: │x 2 + x │ \u003d 0 №3 . Išspręskite lygtį ir nurodykite didesnę šaknį: │x 2 - 5x + 4 │ \u003d 4 №4 .Išspręskite lygtį ir nurodykite visą šaknį: │2x 2 - 7x + 6│ \u003d 1 №5 .Išspręskite lygtį ir nurodykite šaknų skaičių: │x 4 - 13x 2 + 50 │ = 14

2 skyrius. Formos lygtys F(│х│) = m

Funkcijos argumentas kairėje pusėje yra po modulio ženklu, o dešinioji pusė nepriklauso nuo kintamojo. Panagrinėkime du tokio tipo lygčių sprendimo būdus. 1 būdas: Pagal absoliučiosios vertės apibrėžimą pradinė lygtis yra lygi dviejų sistemų visumai. Kiekviename iš jų submodulio išraiškai yra nustatyta sąlyga. F(│х│) =m
Kadangi funkcija F(│х│) yra lygi visoje apibrėžimo srityje, lygčių F(х) = m ir F(-х) = m šaknys yra priešingų skaičių poros. Todėl pakanka išspręsti vieną iš sistemų (taip nagrinėjant pavyzdžius, bus pateiktas vienos sistemos sprendimas). 2 būdai: Naujo kintamojo įvedimo metodo taikymas. Šiuo atveju įvedamas žymėjimas │х│= a, kur a ≥ 0. Šis metodas yra mažiau apimtas.
Pavyzdžiai: №1 . Išspręskite lygtį: 3x 2 - 4│x│ = - 1 Pasinaudokime naujo kintamojo įvedimu. Pažymime │x│= a, kur a ≥ 0. Gauname lygtį 3a 2 - 4a + 1 = 0 D = 16 - 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1 / 3 Grįžtame prie pradinio kintamojo: │x │ = 1 ir │х│ = 1/3. Kiekviena lygtis turi dvi šaknis. Atsakymas: x 1 = 1; X 2 = - 1; X 3 = 1 / 3 ; X 4 = - 1 / 3 . №2. Išspręskite lygtį: 5x 2 + 3│x│- 1 \u003d 1/2 │x│ + 3x 2
Raskime pirmosios rinkinio sistemos sprendimą: 4x 2 + 5x - 2 \u003d 0 D \u003d 57 x 1 \u003d -5 + √57 / 8 x 2 \u003d -5-√57 / 8 Atminkite, kad x 2 tinka netenkina sąlygos x ≥ 0. Sprendimu antroji sistema bus priešingas skaičius x 1 . Atsakymas: x 1 = -5+√57 / 8 ; X 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Išspręskite lygtį: x 4 - │х│= 0 Pažymėkite │х│= a, kur a ≥ 0. Gauname lygtį a 4 - a \u003d 0 a (a 3 - 1) \u003d 0 a 1 \u003d a 2 \u003d 1 Grįžtame prie pradinio kintamojo: │х│=0 ir │х│= 1 x = 0; ± 1 Atsakymas: x 1 = 0; X 2 = 1; X 3 = - 1.
Pratimai: №6. Išspręskite lygtį: 2│х│ - 4,5 = 5 - 3/8 │х│ №7 . Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite šaknų skaičių: 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 . Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite visus sprendinius: x 4 + │х│ - 2 = 0

3 skyrius. Formos lygtys │F(х)│ = G(х)

Dešinioji tokio tipo lygties pusė priklauso nuo kintamojo ir todėl turi sprendimą tada ir tik tada, kai dešinioji yra funkcija G(x) ≥ 0. Pradinė lygtis gali būti išspręsta dviem būdais: 1 būdas: Standartas yra pagrįstas modulio atskleidimu remiantis jo apibrėžimu ir yra lygiavertis perėjimas prie dviejų sistemų derinio. │ F(x)│ =G(X)

Šį metodą racionalu naudoti, kai funkcijos G(x) sudėtinga išraiška ir ne tokia sudėtinga funkcijos F(x) išraiška, nes jis turėtų išspręsti nelygybes su funkcija F(x). 2 būdai: Jį sudaro perėjimas prie lygiavertės sistemos, kurioje dešinėje pusėje yra nustatyta sąlyga. │ F(x)│= G(x)

Šį metodą patogiau naudoti, jei funkcijos G(x) išraiška yra mažiau sudėtinga nei funkcijos F(x), nes tariamas nelygybės G(x) ≥ 0 sprendinys. Iš kelių modulių šiuo metodu rekomenduojama naudoti antrąją parinktį. Pavyzdžiai: №1. Išspręskite lygtį: │x + 2│= 6 -2x
(1 kryptis) Atsakymas: x = 1 1 / 3 №2.
│x 2 - 2x - 1 │ \u003d 2 (x + 1)
(2 kryptimis) Atsakymas: šaknų sandauga yra 3.
№3. Išspręskite lygtį, atsakyme parašykite šaknų sumą:
│x – 6 │ \u003d x 2 – 5x + 9

Atsakymas: šaknų suma yra 4.
Pratimai: №9. │x + 4│= - 3x №10. Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite sprendinių skaičių: │x 2 + x - 1 │ \u003d 2x - 1 №11 . Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite šaknų sandaugą: │x + 3 │ \u003d x 2 + x - 6

4 skyrius. Formos lygtys │F(x)│= F(x) ir │F(x)│= - F(x)

Tokio tipo lygtys kartais vadinamos „gražiosiomis“. Kadangi dešinioji lygčių pusė priklauso nuo kintamojo, sprendiniai egzistuoja tada ir tik tada, kai dešinioji pusė yra neneigiama. Todėl pradinės lygtys yra lygiavertės nelygybėms:
│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 ir │F(x)│= - F(x) F(x) Pavyzdžiai: №1 . Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite mažesnio sveikojo skaičiaus šaknį: │5x - 3│ \u003d 5x - 3 5x - 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0,6 Atsakymas: x = 1№2. Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite tarpo ilgį: │x 2 - 9 │ \u003d 9 - x 2 x 2 - 9 ≤ 0 (x - 3) (x + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Atsakymas: tarpo ilgis yra 6.№3 . Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite sveikųjų sprendinių skaičių: │2 + x - x 2 │ = 2 + x - x 2 2 + x - x 2 ≥ 0 x 2 - x - 2 ≤ 0 [- 1; 2] Atsakymas: 4 sveiki sprendimai.№4 . Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite didžiausią šaknį:
│4 – x –
│= 4 – x –
x 2 - 5x + 5 \u003d 0 D \u003d 5 x 1,2 \u003d
≈ 1,4

Atsakymas: x = 3.

Pratimai: №12. Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite visą šaknį: │x 2 + 6x + 8 │= x 2 + 6x + 8 №13. Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite sveikųjų sprendinių skaičių: │13x - x 2 - 36│+ x 2 - 13x + 36 = 0 №14. Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite sveikąjį skaičių, kuris nėra lygties šaknis:

5 skyrius. Formos │F(x)│= │G(x)│ lygtys

Kadangi abi lygties pusės yra neneigiamos, sprendimas apima du atvejus: submodulinės išraiškos yra lygios arba priešingos. Todėl pradinė lygtis yra lygiavertė dviejų lygčių deriniui: │ F(x)│= │ G(x)│
Pavyzdžiai: №1. Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite visą šaknį: │x + 3│ \u003d │2x - 1│
Atsakymas: sveikojo skaičiaus šaknis x = 4.№2. Išspręskite lygtį: │ x - x 2 - 1│ \u003d │2x - 3 - x 2 │
Atsakymas: x = 2.№3 . Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite šaknų sandaugą:




Lygties šaknys 4x 2 + 2x - 1 \u003d 0 x 1,2 \u003d - 1±√5 / 4 Atsakymas: šaknų sandauga yra 0,25. Pratimai: №15 . Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite visą sprendimą: │x 2 - 3x + 2│ \u003d │x 2 + 6x - 1│ №16. Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite mažesnę šaknį: │5x - 3│=│7 - x│ №17 . Išspręskite lygtį, atsakyme parašykite šaknų sumą:

6 skyrius. Nestandartinių lygčių sprendimo pavyzdžiai

Šiame skyriuje nagrinėjame nestandartinių lygčių pavyzdžius, kurių sprendime absoliuti išraiškos reikšmė atskleidžiama pagal apibrėžimą. Pavyzdžiai:

№1. Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite šaknų sumą: x │x│- 5x - 6 \u003d 0
Atsakymas: šaknų suma yra 1 №2. . Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite mažesnę šaknį: x 2 - 4x
- 5 = 0
Atsakymas: mažesnė šaknis x = - 5. №3. Išspręskite lygtį:

Atsakymas: x = -1. Pratimai: №18. Išspręskite lygtį ir parašykite šaknų sumą: x │3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19. Išspręskite lygtį: x 2 - 3x \u003d

№20. Išspręskite lygtį:

7 skyrius. Formos │F(x)│+│G(x)│=0 lygtys

Nesunku pastebėti, kad kairėje tokio tipo lygties pusėje yra neneigiamų dydžių suma. Todėl pradinė lygtis turi sprendimą tada ir tik tada, kai abu terminai vienu metu yra lygūs nuliui. Lygtis yra lygiavertė lygčių sistemai: │ F(x)│+│ G(x)│=0
Pavyzdžiai: №1 . Išspręskite lygtį:
Atsakymas: x = 2. №2. Išspręskite lygtį: Atsakymas: x = 1. Pratimai: №21. Išspręskite lygtį: №22 . Išspręskite lygtį, atsakyme parašykite šaknų sumą: №23 . Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite sprendinių skaičių:

8 skyrius. Formos lygtys

Šio tipo lygtims išspręsti naudojamas intervalų metodas. Jei tai išspręsta nuosekliai plečiant modulius, tada gauname n sistemų rinkinius, o tai labai sudėtinga ir nepatogu. Apsvarstykite intervalo metodo algoritmą: 1). Raskite kintamąsias reikšmes X, kurio kiekvienas modulis yra lygus nuliui (pomodulio išraiškų nuliai):
2). Rastos reikšmės pažymėtos skaičių eilutėje, kuri yra padalinta į intervalus (intervalų skaičius atitinkamai lygus n+1 ) 3). Nustatykite, kokiu ženklu atskleidžiamas kiekvienas modulis kiekviename iš gautų intervalų (darydami sprendimą, galite naudoti skaičių eilutę, pažymėdami joje esančius ženklus) 4). Pradinė lygtis yra lygi aibei n+1 sistemos, kurių kiekvienoje nurodoma kintamojo priklausymas X vienas iš intervalų. Pavyzdžiai: №1 . Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite didžiausią šaknį:
vienas). Raskime submodulių išraiškų nulius: x = 2; x = -3 2). Rastas reikšmes pažymime skaičių eilutėje ir nustatome, kokiu ženklu kiekvienas modulis atskleidžiamas gautuose intervaluose:
x – 2 x – 2 x – 2 – + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- sprendinių nėra. Lygtis turi dvi šaknis. Atsakymas: didžiausia šaknis yra x = 2. №2. Išspręskite lygtį, atsakyme parašykite visą šaknį:
vienas). Raskime submodulių išraiškų nulius: x = 1,5; x = - 1 2). Rastas reikšmes pažymime skaičių eilutėje ir nustatome, kokiu ženklu kiekvienas modulis atskleidžiamas gautais intervalais: x + 1 x + 1 x + 1 - + +
-1 1,5 х 2х - 3 2х - 3 2х - 3 - - +
3).
Paskutinė sistema neturi sprendinių, todėl lygtis turi dvi šaknis. Spręsdami lygtį, turėtumėte atkreipti dėmesį į „-“ ženklą prieš antrąjį modulį. Atsakymas: sveikojo skaičiaus šaknis x = 7. №3. Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite šaknų sumą: 1). Raskime submodulių išraiškų nulius: x = 5; x = 1; x = - 2 2). Rastas reikšmes pažymime skaičių eilutėje ir nustatome, kokiu ženklu kiekvienas modulis atskleidžiamas gautais intervalais: x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
Lygtis turi dvi šaknis x = 0 ir 2. Atsakymas: šaknų suma yra 2. №4 . Išspręskite lygtį: 1). Raskime submodulių išraiškų nulius: x = 1; x = 2; x = 3. 2). Nustatykime ženklą, kuriuo kiekvienas modulis išplečiamas gautais intervalais. 3).
Sujungiame pirmųjų trijų sistemų sprendimus. Atsakymas: ; x = 5.
Pratimai: №24. Išspręskite lygtį:
№25. Išspręskite lygtį, atsakyme parašykite šaknų sumą: №26. Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite mažesnę šaknį: №27. Išspręskite lygtį, savo atsakyme nurodykite didesnę šaknį:

9 skyrius. Lygtys, turinčios kelis modulius

Lygtyse, kuriose yra keli moduliai, submodulių išraiškose yra absoliučios reikšmės. Pagrindinis tokio tipo lygčių sprendimo principas yra nuoseklus modulių atskleidimas, pradedant nuo „išorinio“. Sprendimo eigoje naudojamos technikos, aptartos skyriuose Nr.1, Nr.3.

Pavyzdžiai: №1. Išspręskite lygtį:
Atsakymas: x = 1; - vienuolika. №2. Išspręskite lygtį:
Atsakymas: x = 0; 4; – 4. №3. Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite šaknų sandaugą:
Atsakymas: šaknų sandauga yra 8. №4. Išspręskite lygtį:
Pažymėkite populiacijos lygtis (1) ir (2) ir dizaino patogumui apsvarstykite kiekvieno iš jų sprendimą atskirai. Kadangi abiejose lygtyse yra daugiau nei vienas modulis, patogiau atlikti lygiavertį perėjimą prie sistemų rinkinių. (1)

(2)


Atsakymas:
Pratimai: №36. Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite šaknų sumą: 5 │3x-5│ \u003d 25 x №37. Išspręskite lygtį, jei šaknų yra daugiau nei viena, atsakyme nurodykite šaknų sumą: │x + 2│ x - 3x - 10 = 1 №38. Išspręskite lygtį: 3 │2x -4│ \u003d 9 │x│ №39. Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite šaknų skaičių: 2 │ sin x │ = √2 №40 . Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite šaknų skaičių:

3 skyrius. Logaritminės lygtys.

Prieš sprendžiant šias lygtis, būtina apžvelgti logaritmų ir logaritminės funkcijos savybes. Pavyzdžiai: №1. Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite šaknų sandaugą: log 2 (x + 1) 2 + log 2 │x + 1 │ \u003d 6 O.D.Z. x+1≠0 x≠ – 1

1 atvejis: jei x ≥ - 1, tai log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – tenkina sąlygą x ≥ - 1 2 atvejis: jei x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – atitinka x - 1 sąlygą
Atsakymas: šaknų sandauga yra 15.
№2. Išspręskite lygtį, atsakyme nurodykite šaknų sumą: lg
O.D.Z.

Atsakymas: šaknų suma lygi 0,5.
№3. Išspręskite lygtį: log 5
O.D.Z.

Atsakymas: x = 9. №4. Išspręskite lygtį: │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x > 0 Perėjimo į kitą bazę formulę naudokime. │2 – log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 Raskime submodulių reiškinių nulius: x = 25; x \u003d Šie skaičiai padalija leistinų verčių plotą į tris intervalus, todėl lygtis yra lygi trijų sistemų visumai.
Atsakymas:)