Daugiakampis yra geometrinė figūra, kurią iš visų pusių riboja uždara laužyta linija. Tokiu atveju nutrūkusios linijos nuorodų skaičius neturėtų būti mažesnis nei trys. Kiekviena polilinijos segmentų pora turi bendrą tašką ir sudaro kampus. Kampų skaičius kartu su polilinijos atkarpų skaičiumi yra pagrindinės daugiakampio charakteristikos. Kiekviename daugiakampyje nuorodų skaičius ribojančiame uždarame daugiakampyje sutampa su kampų skaičiumi.

Geometrijoje kraštinės paprastai vadinamos trūkinės linijos, ribojančios geometrinį objektą, saitais. Viršūnės yra dviejų gretimų kraštų sąlyčio taškai., iš kurių daugiakampiai gauna savo pavadinimus.

Jei uždara laužyta linija susideda iš trijų atkarpų, ji vadinama trikampiu; atitinkamai iš keturių segmentų – keturkampis, iš penkių – penkiakampis ir t.t.

Norint pažymėti trikampį ar keturkampį, jo viršūnėms žymėti naudojamos didžiosios lotyniškos raidės. Raidės įvardijamos eilės tvarka – pagal laikrodžio rodyklę arba prieš laikrodžio rodyklę.

Pagrindinės sąvokos

Apibūdindami daugiakampio apibrėžimą, turėtumėte atsižvelgti į kai kurias susijusias geometrines sąvokas:

1. Jei viršūnės yra vienos pusės galai, jos vadinamos gretimomis.
2. Jei atkarpa jungia negretimas viršūnes, tada ji vadinama įstrižainėmis. Trikampis negali turėti įstrižainių.
3. Vidinis kampas yra kampas vienoje iš viršūnių, kurį sudaro dvi jo kraštinės, susiliejančios šiame taške. Jis visada yra vidinėje geometrinės figūros srityje. Jei daugiakampis yra neišgaubtas, jo dydis gali viršyti 180 laipsnių.
4. Išorinis kampas tam tikroje viršūnėje yra kampas, esantis šalia vidinio kampo. Kitaip tariant, išorinis kampas gali būti laikomas skirtumu tarp 180° ir vidinio kampo vertės.
5. Visų segmentų verčių suma vadinama perimetru.
6. Jei visos kraštinės ir visi kampai yra lygūs, tai vadinama teisinga. Tik išgaubtos gali būti teisingos.

Kaip minėta aukščiau, daugiakampių geometrinių pavadinimai yra pagrįsti viršūnių skaičiumi. Jei figūra turi n jų skaičių, ji vadinama n-gon:

1. Daugiakampis vadinamas plokštuminiu, jei jis riboja baigtinę plokštumos dalį. Ši geometrinė figūra gali būti įbrėžta į apskritimą arba apibrėžiama aplink apskritimą.
2. N-kampis vadinamas išgaubtu, jei jis atitinka vieną iš toliau pateiktų sąlygų.
3. Figūra yra vienoje tiesios linijos, jungiančios dvi gretimas viršūnes, pusėje.
4. Ši figūra yra bendra kelių pusiau plokštumų dalis arba sankirta.
5. Įstrižainės yra daugiakampio viduje.
6. Jei atkarpos galai yra taškuose, kurie priklauso daugiakampiui, visa atkarpa priklauso jam.
7. Figūra gali būti vadinama taisyklinga, jei visos jos atkarpos ir visi kampai yra lygūs. Pavyzdžiai yra kvadratas, lygiakraštis trikampis arba taisyklingas penkiakampis.
8. Jei n-kampis yra neišgaubtas, visos jo kraštinės ir kampai yra lygūs, o jo viršūnės sutampa su taisyklingo n-kampio viršūnėmis, jis vadinamas žvaigždiniu. Tokios figūros gali susikirsti. Pavyzdžiai būtų pentagrama arba heksagrama.
9. Sakoma, kad trikampis arba keturkampis yra įrašytas į apskritimą, kai visos jo viršūnės yra viename apskritime. Jei šios figūros kraštinės turi sąlyčio su apskritimu taškus, tai yra apie tam tikrą apskritimą apibrėžtas daugiakampis.

Bet koks išgaubtą n-kampį galima padalyti į trikampius. Šiuo atveju trikampių skaičius yra 2 mažesnis už kraštinių skaičių.

Figūrų tipai

Tai daugiakampis su trimis viršūnėmis ir trimis jas jungiančiais linijos atkarpomis. Šiuo atveju atkarpų sujungimo taškai nėra toje pačioje tiesėje.

Segmentų sujungimo taškai yra trikampio viršūnės. Patys atkarpos vadinamos trikampio kraštinėmis. Bendra kiekvieno trikampio vidinių kampų suma yra 180°.

Pagal santykius tarp kraštinių visus trikampius galima suskirstyti į keletą tipų:

1. Lygiakraščiai- kurioje visų segmentų ilgis yra vienodas.
2. Lygiašonis- trikampiai, kuriuose dvi iš trijų atkarpų yra lygios.
3. Universalus- jei visų segmentų ilgis skiriasi.

Be to, įprasta atskirti šiuos trikampius:

1. Smailaus kampo.
2. Stačiakampis.
3. Bukas.

Keturkampis

Keturkampis vadinamas plokščia figūra, turintis 4 viršūnes ir 4 segmentus, jungiančius jas nuosekliai.

1. Jei visi keturkampio kampai yra stačiakampiai, ši figūra vadinama stačiakampiu.
2. Stačiakampis, kurio visos kraštinės yra vienodo dydžio, vadinamas kvadratu.
3. Keturkampis, kurio visos kraštinės yra lygios, vadinamas rombu.

Vienoje tiesėje vienu metu negali būti trys keturkampio viršūnės.

Vaizdo įrašas

Norėdami gauti daugiau informacijos apie daugiakampius, žiūrėkite šį vaizdo įrašą.

§ 1 Trikampio samprata

Šioje pamokoje susipažinsite su tokiomis formomis kaip trikampiai ir daugiakampiai.

Jei trys taškai, esantys ne vienoje tiesėje, yra sujungti atkarpomis, gaunamas trikampis. Trikampis turi tris viršūnes ir tris kraštines.

Prieš jus yra trikampis ABC, jis turi tris viršūnes (tašką A, tašką B ir tašką C) ir tris kraštines (AB, AC ir CB).

Beje, tos pačios pusės gali būti vadinamos skirtingai:

AB = BA, AC = SA, CB = BC.

Trikampio kraštinės sudaro tris kampus trikampio viršūnėse. Nuotraukoje matote kampą A, kampą B, kampą C.

Taigi trikampis yra geometrinė figūra, sudaryta iš trijų atkarpų, jungiančių tris taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje.

§ 2 Daugiakampio samprata ir jo rūšys

Be trikampių, yra keturkampiai, penkiakampiai, šešiakampiai ir kt. Žodžiu, juos galima vadinti daugiakampiais.

Paveiksle matote keturkampį DMKE.

Taškai D, M, K ir E yra keturkampio viršūnės.

Atkarpos DM, MK, KE, ED yra šio keturkampio kraštinės. Kaip ir trikampio atveju, keturkampio kraštinės viršūnėse sudaro keturis kampus, kaip atspėjote, iš čia ir kilo pavadinimas – keturkampis. Šiame keturkampyje matote kampą D, kampą M, kampą K ir kampą E.

Kokius keturkampius jau žinai?

Kvadratas ir stačiakampis! Kiekvienas iš jų turi keturis kampus ir keturias puses.

Kitas daugiakampio tipas yra penkiakampis.

Taškai O, P, X, Y, T yra penkiakampio viršūnės, o atkarpos TO, OP, PX, XY, YT – šio penkiakampio kraštinės. Pentagonas turi atitinkamai penkis kampus ir penkias kraštines.

Kiek kampų ir kiek kraštinių, jūsų manymu, turi šešiakampis? Teisingai, šeši! Panašiai samprotaudami galime pasakyti, kiek kraštinių, viršūnių ar kampų turi tam tikras daugiakampis. Ir galime daryti išvadą, kad trikampis taip pat yra daugiakampis, turintis lygiai tris kampus, tris kraštines ir tris viršūnes.

Taigi šioje pamokoje susipažinote su tokiomis sąvokomis kaip trikampis ir daugiakampis. Sužinojome, kad trikampis turi 3 viršūnes, 3 kraštines ir 3 kampus, keturkampis – 4 viršūnes, 4 kraštines ir 4 kampus, penkiakampis – 5 kraštines, 5 viršūnes, 5 kampus ir t.t.

Naudotos literatūros sąrašas:

1. Matematika 5 klasė. Vilenkinas N.Y., Žokhovas V.I. ir kiti 31 leid., ištrintas. – M: 2013 m.
2. Didaktinė medžiaga matematikos 5 kl. Autorius - Popovas M.A. – 2013 metai
3. Skaičiuojame be klaidų. Darbas su savęs patikrinimu 5-6 klasėje matematikos. Autorius - Minaeva S.S. – 2014 metai
4. Didaktinė medžiaga matematikai 5 klasė. Autoriai: Dorofejevas G.V., Kuznecova L.V. – 2010 m
5. Kontroliuoti ir savarankiškas darbas matematikos 5 kl. Autoriai - Popovas M.A. – 2012 metai
6. Matematika. 5 klasė: mokomoji. bendrojo lavinimo mokiniams. institucijos / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2009

Plokštumos dalis, kurią riboja uždara trūkinė linija, vadinama daugiakampiu.

Šios trūkinės linijos atkarpos vadinamos vakarėliams poligonas. AB, BC, CD, DE, EA (1 pav.) yra daugiakampio ABCDE kraštinės. Visų daugiakampio kraštinių suma vadinama jo perimetras.

Daugiakampis vadinamas išgaubtas, jei jis yra vienoje iš bet kurios jo pusių pusės, neribotai ištęstas už abiejų viršūnių.

MNPKO daugiakampis (1 pav.) nebus išgaubtas, nes yra daugiau nei vienoje tiesės KR pusėje.

Nagrinėsime tik išgaubtus daugiakampius.

Kampai, sudaryti iš dviejų gretimų daugiakampio kraštinių, vadinami jo vidinis kampai, o jų viršūnės yra daugiakampio viršūnės.

Tiesios linijos atkarpa, jungianti dvi negretimas daugiakampio viršūnes, vadinama daugiakampio įstriža.

AC, AD - daugiakampio įstrižainės (2 pav.).

Kampai, esantys greta daugiakampio vidinių kampų, vadinami išoriniais daugiakampio kampais (3 pav.).

Priklausomai nuo kampų (kraštinių) skaičiaus, daugiakampis vadinamas trikampiu, keturkampiu, penkiakampiu ir kt.

Sakoma, kad du daugiakampiai sutampa, jei juos galima sujungti perdengiant.

Įbrėžti ir apibrėžti daugiakampiai

Jei visos daugiakampio viršūnės yra apskritime, tada daugiakampis vadinamas įrašytasį ratą, o apskritimas - aprašytašalia daugiakampio (pav.).

Jei visos daugiakampio kraštinės liečia apskritimą, tai daugiakampis vadinamas aprašyta apie apskritimą, ir apskritimas vadinamas įrašytasį daugiakampį (pav.).

Daugiakampių panašumas

Du to paties pavadinimo daugiakampiai vadinami panašiais, jei vieno iš jų kampai atitinkamai lygūs kito kampams, o panašios daugiakampių kraštinės yra proporcingos.

Daugiakampiai, turintys tą patį kraštinių (kampų) skaičių, vadinami to paties pavadinimo daugiakampiais.

Panašių daugiakampių kraštinės, jungiančios atitinkamai vienodų kampų viršūnes, vadinamos panašiomis (pav.).

Taigi, pavyzdžiui, kad daugiakampis ABCDE būtų panašus į daugiakampį A'B'C'D'E', būtina, kad: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' ir, be to, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Panašių daugiakampių perimetrų santykis

Pirma, apsvarstykite vienodų santykių serijos savybę. Pavyzdžiui, turėkime tokius santykius: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 = 2.

Raskime ankstesnių šių santykių narių sumą, tada vėlesnių jų narių sumą ir raskime gautų sumų santykį, gausime:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Tą patį gausime, jei paimsime keletą kitų santykių, pavyzdžiui: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 Raskime ankstesnių terminų sumą. šiuos ryšius ir vėlesnių sumas, o tada raskite šių sumų santykį, gauname:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

Abiem atvejais ankstesnių lygių santykių serijos narių suma yra susijusi su vėlesnių tos pačios serijos narių suma, kaip ir ankstesnis bet kurio iš šių santykių narys yra susijęs su vėlesniu.

Šią savybę gavome atsižvelgdami į seriją skaitiniai pavyzdžiai. Jis gali būti išvestas griežtai ir bendra forma.

Dabar apsvarstykite panašių daugiakampių perimetrų santykį.

Tegul daugiakampis ABCDE yra panašus į daugiakampį A'B'C'D'E' (pav.).

Iš šių daugiakampių panašumo matyti, kad

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Remdamiesi savybe, kurią išvedėme lygių santykių serijai, galime parašyti:

Ankstesnių mūsų paimtų santykių dalių suma reiškia pirmojo daugiakampio (P) perimetrą, o vėlesnių šių santykių sąlygų suma – antrojo daugiakampio (P'), o tai reiškia P / P perimetrą. ' = AB / A'B'.

Vadinasi, Panašių daugiakampių perimetrai yra susiję su panašiomis jų kraštinėmis.

Panašių daugiakampių plotų santykis

Tegul ABCDE ir A’B’C’D’E’ yra panašūs daugiakampiai (pav.).

Yra žinoma, kad ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' ir ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Be to,

;

Kadangi antrieji šių proporcijų santykiai yra lygūs, o tai išplaukia iš daugiakampių panašumo, tada

Naudodamiesi lygių santykių serijos savybe, gauname:

Arba

kur S ir S’ yra šių panašių daugiakampių plotai.

Vadinasi, Panašių daugiakampių plotai yra susiję kaip panašių kraštinių kvadratai.

Gautą formulę galima konvertuoti į šią formą: S / S’ = (AB / A’B’) 2

Savavališko daugiakampio plotas

Tegul reikia apskaičiuoti savavališko keturkampio ABC plotą (pav.).

Nubrėžkime jame įstrižainę, pavyzdžiui AD. Gauname du trikampius ABD ir ACD, kurių plotus galime apskaičiuoti. Tada randame šių trikampių plotų sumą. Gauta suma išreikš šio keturkampio plotą.

Jei reikia apskaičiuoti penkiakampio plotą, mes darome tą patį: iš vienos viršūnės nubrėžiame įstrižaines. Gauname tris trikampius, kurių plotus galime apskaičiuoti. Tai reiškia, kad galime rasti šio penkiakampio plotą. Tą patį darome apskaičiuodami bet kurio daugiakampio plotą.

Projektuojamas daugiakampio plotas

Prisiminkime, kad kampas tarp tiesės ir plokštumos yra kampas tarp nurodytos tiesės ir jos projekcijos į plokštumą (pav.).

Teorema. Daugiakampio stačiakampės projekcijos į plokštumą plotas yra lygus projektuojamo daugiakampio plotui, padaugintam iš kampo, kurį sudaro daugiakampio plokštuma ir projekcijos plokštuma, kosinuso.

Kiekvienas daugiakampis gali būti suskirstytas į trikampius, kurių plotų suma yra lygi daugiakampio plotui. Todėl pakanka įrodyti trikampio teoremą.

Tegul ΔАВС projektuojamas į plokštumą R. Panagrinėkime du atvejus:

a) viena iš kraštinių ΔABC lygiagreti plokštumai R;

b) nė viena iš kraštinių ΔABC nėra lygiagreti R.

Pasvarstykime pirmas atvejis: tegul [AB] || R.

Nubrėžkime plokštumą per (AB) R 1 || R ir projektuoti statmenai ΔАВС į R 1 ir toliau R(ryžiai.); gauname ΔАВС 1 ir ΔА'В'С'.

Pagal projekcijos savybę turime ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С', todėl

S Δ ABC1 = S Δ A’B’C’

Nubraižykime ⊥ ir atkarpą D 1 C 1 . Tada ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ yra kampo tarp plokštumos ΔABC ir plokštumos reikšmė R 1 . Štai kodėl

S Δ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

ir todėl S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.

Pereikime prie svarstymo antrasis atvejis. Nubraižykime plokštumą R 1 || R per tą viršūnę ΔАВС, atstumą, nuo kurio iki plokštumos R mažiausias (tebūnie tai viršūnė A).

Suprojektuokime ΔАВС lėktuve R 1 ir R(ryžiai.); tegul jos projekcijos yra atitinkamai ΔАВ 1 С 1 ir ΔА'В'С'.

Tegu (BC) ∩ p 1 = D. Tada

S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 – S ΔADB1 = (S ΔADC – S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Kitos medžiagos

Skyriai: Matematika

Dalykas, mokinio amžius: geometrija, 9 kl

Pamokos tikslas: tirti daugiakampių tipus.

Edukacinė užduotis: atnaujinti, plėsti ir apibendrinti mokinių žinias apie daugiakampius; suformuoti daugiakampio „sudedamųjų dalių“ idėją; atlikti taisyklingųjų daugiakampių (nuo trikampio iki n kampo) sudedamųjų elementų skaičiaus tyrimą;

Ugdomoji užduotis: ugdyti gebėjimą analizuoti, lyginti, daryti išvadas, ugdyti skaičiavimo įgūdžius, matematinę kalbą žodžiu ir raštu, atmintį, taip pat mąstymo ir mokymosi veiklos savarankiškumą, gebėjimą dirbti poromis ir grupėmis; plėtoti mokslinę ir edukacinę veiklą;

Ugdymo užduotis: ugdyti savarankiškumą, aktyvumą, atsakomybę už pavestą darbą, užsispyrimą siekiant tikslo.

Užsiėmimų metu: citata parašyta lentoje

„Gamta kalba matematikos kalba, šios kalbos raidėmis... matematinėmis figūromis. G.Galliley

Pamokos pradžioje klasė suskirstoma į darbo grupes (mūsų atveju suskirstyta į grupes po 4 žmones – grupės narių skaičius lygus klausimų grupių skaičiui).

1. Skambinimo etapas-

Tikslai:

a) atnaujinti studentų žinias šia tema;

b) žadinti susidomėjimą nagrinėjama tema, motyvuojant kiekvieną mokinį edukacinei veiklai.

Technika: Žaidimas „Ar tiki, kad...“, darbo su tekstu organizavimas.

Darbo formos: frontalinė, grupinė.

"Ar tikite, kad..."

1. ... žodis „daugiakampis“ rodo, kad visos šios šeimos figūros turi „daug kampų“?

2. ... ar trikampis priklauso didelei daugiakampių šeimai, išsiskiriančiai daugybe skirtingų geometrinių figūrų plokštumoje?

3. ... ar kvadratas yra taisyklingas aštuonkampis (keturios kraštinės + keturi kampai)?

Šiandien pamokoje kalbėsime apie daugiakampius. Sužinome, kad šią figūrą riboja uždara laužyta linija, kuri savo ruožtu gali būti paprasta, uždara. Pakalbėkime apie tai, kad daugiakampiai gali būti plokšti, taisyklingi arba išgaubti. Vienas iš plokščių daugiakampių yra trikampis, su kuriuo jau seniai pažįstamas (galite parodyti studentams plakatus, vaizduojančius daugiakampius, laužtą liniją, parodyti juos Skirtingos rūšys, taip pat galite naudoti PSO).

2. pastojimo stadija

Tikslas: gauti naujos informacijos, ją suprasti, atrinkti.

Technika: zigzagas.

Darbo formos: individualus->porinis->grupinis.

Kiekvienam grupės nariui pateikiamas tekstas pamokos tema, o tekstas sudaromas taip, kad jame būtų ir mokiniams jau žinoma, ir visiškai nauja informacija. Kartu su tekstu mokiniai gauna klausimus, į kuriuos atsakymus reikia rasti šiame tekste.

Daugiakampiai. Daugiakampių tipai.

Kas negirdėjo apie paslaptingą Bermudų trikampį, kuriame be žinios dingsta laivai ir lėktuvai? Tačiau nuo vaikystės mums pažįstamas trikampis kupinas daug įdomių ir paslaptingų dalykų.

Be mums jau žinomų trikampių tipų, suskirstytų iš kraštinių (skalės, lygiašonių, lygiašonių) ir kampų (smailus, bukas, stačiakampis), trikampis priklauso didelei daugiakampių šeimai, išsiskiriančia iš daugybės skirtingų geometrinių formų. lėktuvas.

Žodis „daugiakampis“ rodo, kad visos šios šeimos figūros turi „daug kampų“. Tačiau to nepakanka figūrai apibūdinti.

Nutrūksta linija A 1 A 2 ...A n yra figūra, susidedanti iš taškų A 1, A 2, ...A n ir juos jungiančių atkarpų A 1 A 2, A 2 A 3,.... Taškai vadinami polilinijos viršūnėmis, o atkarpos – polilinijos grandimis. (1 pav.)

Nutrūksta linija vadinama paprasta, jei ji neturi savaiminių susikirtimų (2, 3 pav.).

Polilinija vadinama uždara, jei jos galai sutampa. Nutrūkusios linijos ilgis yra jos grandžių ilgių suma (4 pav.).

Paprasta uždara laužyta linija vadinama daugiakampiu, jei jos gretimos grandys nėra toje pačioje tiesėje (5 pav.).

Dalį „daug“ pakeiskite „daugiakampiu“. konkretus skaičius, pavyzdžiui, 3. Gausite trikampį. Arba 5. Tada – penkiakampis. Atkreipkite dėmesį, kad tiek kampų, kiek yra, tiek ir kraštinių, todėl šias figūras galima vadinti daugiašalėmis.

Nutrūkusios linijos viršūnės vadinamos daugiakampio viršūnėmis, o trūkinės linijos grandys – daugiakampio kraštinėmis.

Daugiakampis padalija plokštumą į dvi sritis: vidinę ir išorinę (6 pav.).

Plokštumos daugiakampis arba daugiakampis plotas yra baigtinė plokštumos dalis, kurią riboja daugiakampis.

Dvi daugiakampio viršūnės, kurios yra vienos kraštinės galai, vadinamos gretimomis. Viršūnės, kurios nėra vienos pusės galai, yra negretimos.

Daugiakampis, turintis n viršūnių, taigi ir n kraštinių, vadinamas n kampu.

Nors mažiausias daugiakampio kraštinių skaičius yra 3. Tačiau trikampiai, susijungę vienas su kitu, gali sudaryti kitas figūras, kurios savo ruožtu taip pat yra daugiakampiai.

Atkarpos, jungiančios negretimas daugiakampio viršūnes, vadinamos įstrižainėmis.

Daugiakampis vadinamas išgaubtu, jei jis yra toje pačioje pusplokštumoje bet kurios tiesės, kurioje yra jo kraštinė, atžvilgiu. Šiuo atveju laikoma, kad pati tiesė priklauso pusiau plokštumai.

Išgaubto daugiakampio kampas tam tikroje viršūnėje yra kampas, kurį sudaro jo kraštinės, susiliejančios šioje viršūnėje.

Įrodykime teoremą (apie išgaubto n-kampio kampų sumą): Išgaubto n-kampio kampų suma lygi 180 0 *(n - 2).

Įrodymas. Tuo atveju, kai n=3, teorema galioja. Tegu A 1 A 2 ...A n yra duotasis išgaubtas daugiakampis ir n>3. Jame nubrėžkime įstrižaines (iš vienos viršūnės). Kadangi daugiakampis yra išgaubtas, šios įstrižainės padalija jį į n – 2 trikampius. Daugiakampio kampų suma yra visų šių trikampių kampų suma. Kiekvieno trikampio kampų suma lygi 180 0, o šių trikampių skaičius n yra 2. Todėl išgaubto n kampo A 1 A 2 ...A n kampų suma lygi 180 0 * (n - 2). Teorema įrodyta.

Išorinis išgaubto daugiakampio kampas tam tikroje viršūnėje yra kampas, esantis greta daugiakampio vidinio kampo šioje viršūnėje.

Išgaubtasis daugiakampis vadinamas taisyklingu, jei visos jo kraštinės yra lygios ir visi kampai lygūs.

Taigi kvadratą galima vadinti kitaip – ​​taisyklingu keturkampiu. Lygiakraščiai trikampiai taip pat yra taisyklingi. Tokios figūros jau seniai domino pastatus puošiančius meistrus. Jie padarė gražius raštus, pavyzdžiui, ant parketo. Tačiau ne visi taisyklingi daugiakampiai gali būti naudojami parketui gaminti. Parketas negali būti pagamintas iš įprastų aštuonkampių. Faktas yra tas, kad kiekvienas kampas yra lygus 135 0. Ir jei kuris nors taškas yra dviejų tokių aštuonkampių viršūnė, tada jie sudarys 270 0, o trečiam aštuonkampiui ten nėra vietos: 360 0 - 270 0 = 90 0. Bet kvadratui to pakanka. Todėl parketą galite gaminti iš įprastų aštuonkampių ir kvadratų.

Žvaigždės taip pat teisingos. Mūsų penkiakampė žvaigždė yra įprasta penkiakampė žvaigždė. O jei kvadratą aplink centrą pasuksite 45 0, gausite taisyklingą aštuonkampę žvaigždę.

1 grupė

Kas yra nutrūkusi linija? Paaiškinkite, kas yra polilinijos viršūnės ir saitai.

Kuri nutrūkusi linija vadinama paprasta?

Kuri nutrūkusi linija vadinama uždara?

Kaip vadinamas daugiakampis? Kaip vadinamos daugiakampio viršūnės? Kaip vadinamos daugiakampio kraštinės?

2-oji grupė

Kuris daugiakampis vadinamas plokščiu? Pateikite daugiakampių pavyzdžių.

Kas yra n – kvadratas?

Paaiškinkite, kurios daugiakampio viršūnės yra gretimos, o kurios ne.

Kas yra daugiakampio įstrižainė?

3 grupė

Kuris daugiakampis vadinamas išgaubtu?

Paaiškinkite, kurie daugiakampio kampai yra išoriniai, o kurie vidiniai?

Kuris daugiakampis vadinamas taisyklingu? Pateikite taisyklingų daugiakampių pavyzdžių.

4 grupė

Kokia yra išgaubto n kampo kampų suma? Įrodyk.

Mokiniai dirba su tekstu, ieško atsakymų į užduodamus klausimus, po to sudaromos ekspertų grupės, kuriose dirbama tais pačiais klausimais: studentai išryškina pagrindinius dalykus, parengia pagrindinę santrauką ir pateikia informaciją viename iš grafines formas. Baigę darbą studentai grįžta į savo darbo grupes.

3. Apmąstymų stadija –

a) savo žinių įvertinimas, iššūkis kitam žinių žingsniui;

b) gautos informacijos supratimas ir pritaikymas.

Priėmimas: tiriamasis darbas.

Darbo formos: individualus->porinis->grupinis.

Darbo grupėse dalyvauja specialistai, atsakantys į kiekvieną siūlomų klausimų skyrių.

Grįžęs prie darbo grupės, ekspertas su atsakymais į savo klausimus pristato kitus grupės narius. Grupė keičiasi informacija tarp visų darbo grupės narių. Taigi kiekvienoje darbo grupėje ekspertų darbo dėka yra bendra idėja tiriama tema.

Mokinių tiriamasis darbas – lentelės pildymas.

Taisyklingi daugiakampiai	Piešimas	Šonų skaičius	Viršūnių skaičius	Visų vidinių kampų suma	Vidinis laipsnio matas kampu	Išorinio kampo laipsnio matas	Įstrižainių skaičius
A) trikampis
B) keturkampis
B) penkių barų
D) šešiakampis
D) n-gon

Įdomių uždavinių sprendimas pamokos tema.

• Keturkampyje nubrėžkite tiesią liniją, kad ji padalintų ją į tris trikampius.
• Kiek kraštinių turi taisyklingas daugiakampis, kurio kiekvienas vidinis kampas yra 135 0?
• Tam tikrame daugiakampyje visi vidiniai kampai yra lygūs vienas kitam. Ar šio daugiakampio vidinių kampų suma gali būti lygi: 360 0, 380 0?

Apibendrinant pamoką. Namų darbų įrašymas.

Daugiakampio samprata. Kas yra daugiakampis

Poligonas yra geometrinė figūra, kuri yra uždara laužta linija.

Yra trys daugiakampių apibrėžimo parinktys:

• Daugiakampis yra plokščia uždara laužyta linija;
• Daugiakampis yra plokščia uždara trūkinė linija be susikirtimų;
• Daugiakampis yra plokštumos dalis, kurią riboja uždara polilinija.

Nutrūkusios linijos viršūnės vadinamos daugiakampio viršūnės, o segmentai - daugiakampio kraštinės.

Viršūnės vadinami daugiakampiai kaimyninis, jei jie yra vienos iš jo pusių galai.

Vadinamos tiesės atkarpos, jungiančios negretimas daugiakampio viršūnes įstrižainės.

Daugiakampio kampas (arba vidinis kampas). tam tikroje viršūnėje vadinamas kampas, kurį sudaro jos kraštinės, susiliejančios šioje viršūnėje ir esančios daugiakampio vidinėje srityje.

Išorinis išgaubto daugiakampio kampas tam tikroje viršūnėje vadinamas kampas, esantis greta daugiakampio vidinio kampo šioje viršūnėje. Apskritai išorinis kampas yra skirtumas tarp 180° ir vidinio kampo

Vadinamas daugiakampis išgaubtas, jei yra viena iš šių sąlygų:

• Išgaubtas daugiakampis yra vienoje bet kurios tiesės, jungiančios gretimas jo viršūnes, pusėje;
• Išgaubtasis daugiakampis yra kelių pusplokštumų sankirta;
• Bet kuri atkarpa, kurios galai yra taškuose, priklausančiuose išgaubtam daugiakampiui, visiškai priklauso jam.

Išgaubtas daugiakampis vadinamas teisinga, jei visos kraštinės lygios ir visi kampai lygūs, pavyzdžiui, lygiakraštis trikampis, kvadratas ir taisyklingasis penkiakampis.

Sakoma, kad išgaubtas daugiakampis yra įrašytas į apskritimą, jei visos jo viršūnės yra tame pačiame apskritime.

Sakoma, kad išgaubtas daugiakampis yra apibrėžtas apie apskritimą, jei visos jo kraštinės liečiasi su kokiu nors apskritimu.

Daugiakampių klasifikacija (tipai).

Daugiakampių klasifikavimas pagal tipą gali būti pagrįstas daugeliu savybių, iš kurių svarbiausios yra:

• viršūnių skaičius
• išgaubtas
• teisingai
• gebėjimas įrašyti ar apibūdinti apskritimą

Trijų viršūnių daugiakampis vadinamas trikampiu (žr. trikampis), daugiakampis su keturiomis viršūnėmis vadinamas keturkampiu (žr. keturkampis) ir taip toliau pagal viršūnių skaičių.

Išgaubtas daugiakampis visada yra vienoje linijos, kurioje yra bet kuri jos kraštinė, pusėje. (pažiūrėkite aukščiau)

U taisyklingas daugiakampis visos kraštinės ir kampai lygūs. Dėl šios priežasties jie turi tam tikrų ypatingų savybių (žr. kvadratą).

Savaime susikertantys daugiakampiai taip pat gali būti taisyklingi. Pavyzdžiui, pentagrama („penkiakampė žvaigždė“).

Daugiakampiai taip pat gali būti skiriami atsižvelgiant į gebėjimą tilpti į daugiakampį arba apibūdinti apskritimą aplink daugiakampį. Gali būti daugiakampių, aplink kuriuos neįmanoma apibūdinti apskritimo, taip pat jo įbrėžti. Tuo pačiu metu visada galima apibūdinti apskritimą aplink bet kurį trikampį.

Daugiakampio ypatybės

• Vidinių n kampo kampų suma yra (n − 2)π.
• Taisyklingo n kampo vidinių kampų suma lygi 180(n − 2).
• Bet kurio daugiakampio įstrižainių skaičius yra n(n − 3) / 2, kur n yra kraštinių skaičius.