Normalus įstatymas pasiskirstymas (dažnai vadinamas Gauso dėsniu) vaidina nepaprastai svarbų vaidmenį tikimybių teorijoje ir užima ypatingą vietą tarp kitų pasiskirstymo dėsnių. Tai dažniausiai praktikoje sutinkamas platinimo įstatymas. Pagrindinis bruožas, išskiriantis įprastą dėsnį nuo kitų įstatymų, yra tai, kad tai yra ribojantis dėsnis, prie kurio labai įprastomis tipinėmis sąlygomis priartėja kiti skirstymo dėsniai.

Galima įrodyti, kad pakankamai didelio skaičiaus nepriklausomų (arba silpnai priklausomų) atsitiktinių dydžių suma, kuriai galioja bet kokie pasiskirstymo dėsniai (taikant kai kuriuos labai laisvus apribojimus), apytiksliai paklūsta normaliajam dėsniui, ir tai teisinga, kuo tiksliau didelis kiekis atsitiktiniai dydžiai sumuojami. Daugumą praktikoje sutinkamų atsitiktinių dydžių, tokių kaip, pavyzdžiui, matavimo paklaidos, fotografavimo klaidos ir kt., galima pavaizduoti kaip labai daug santykinai mažų terminų – elementarių paklaidų, kurių kiekvieną sukelia atskira priežastis, nepriklausoma nuo kitų. Kad ir kokie skirstymo dėsniai būtų pavaldūs atskiroms elementarioms paklaidoms, šių skirstinių ypatybės daugelio narių sumoje išlyginamos, ir paaiškėja, kad sumai galioja artimas normaliai dėsnis. Pagrindinis sumuojamų klaidų apribojimas yra tas, kad visos jos vienodai vaidina santykinai nedidelį vaidmenį sumoje. Jei ši sąlyga neįvykdyta ir, pavyzdžiui, viena iš atsitiktinių paklaidų pasirodys stipriai dominuojanti savo įtakoje sumai prieš visas kitas, tada šios vyraujančios klaidos pasiskirstymo dėsnis darys savo įtaką sumai ir nustatys jos įtaką. pagrindiniai paskirstymo įstatymo bruožai.

Teoremos, nustatančios normalųjį dėsnį kaip nepriklausomų vienodai mažų atsitiktinių narių sumos ribą, bus išsamiau aptartos 13 skyriuje.

Normalaus skirstinio dėsnis apibūdinamas formos tikimybių tankiu:

Normalaus pasiskirstymo kreivė turi simetrišką kalvos formą (6.1.1 pav.). Didžiausia kreivės ordinatė, lygi , atitinka tašką ; Tolstant nuo taško, pasiskirstymo tankis mažėja, o kreivė asimptotiškai artėja prie abscisės.

Išsiaiškinkime skaitinių parametrų, įtrauktų į normaliojo dėsnio (6.1.1) išraišką, reikšmę; Įrodykime, kad reikšmė yra ne kas kita, kaip matematinis lūkestis, o reikšmė yra standartinis vertės nuokrypis. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame pagrindines skaitines kiekio charakteristikas - matematinį lūkestį ir sklaidą.

Naudojant kintamąjį keitimą

Nesunku patikrinti, ar pirmasis iš dviejų (6.1.2) formulės intervalų lygus nuliui; antrasis yra garsusis Eulerio-Puasono integralas:

Vadinasi,

tie. parametras parodo matematinį vertės lūkestį. Šis parametras, ypač fotografuojant, dažnai vadinamas sklaidos centru (sutrumpintai kaip c.r.).

Apskaičiuokime kiekio dispersiją:

.

Dar kartą pritaikome kintamojo pakeitimą

Integruodami dalimis gauname:

Pirmasis narys garbanotuose skliaustuose yra lygus nuliui (nes at mažėja greičiau nei bet kokia galia didėja), antrasis narys pagal (6.1.3) formulę yra lygus , iš kur

Vadinasi, parametras formulėje (6.1.1) yra ne kas kita, kaip standartinis vertės nuokrypis.

Išsiaiškinkime parametrų reikšmę ir normalųjį skirstinį. Iš (6.1.1) formulės iš karto aišku, kad skirstinio simetrijos centras yra dispersijos centras. Tai aišku iš to, kad pakeitus skirtumo ženklą, išraiška (6.1.1) nekinta. Jei pakeisite dispersijos centrą, pasiskirstymo kreivė pasislinks išilgai abscisių ašies, nekeičiant jos formos (6.1.2 pav.). Dispersijos centras apibūdina pasiskirstymo padėtį abscisių ašyje.

Sklaidos centro matmuo yra toks pat, kaip ir atsitiktinio dydžio.

Parametras apibūdina ne padėtį, o pačią pasiskirstymo kreivės formą. Tai yra dispersijos savybė. Didžiausia pasiskirstymo kreivės ordinatė yra atvirkščiai proporcinga; jums didėjant, maksimali ordinatė mažėja. Kadangi pasiskirstymo kreivės plotas visada turi išlikti lygus vienybei, didėjant pasiskirstymo kreivė tampa plokštesnė, besitęsianti išilgai x ašies; priešingai, mažėjant, pasiskirstymo kreivė driekiasi aukštyn, kartu susispaudžia iš šonų ir tampa adatos formos. Fig. 6.1.3 rodomos trys normalios kreivės (I, II, III) ties ; iš jų I kreivė atitinka didžiausią, o III kreivė – mažiausią reikšmę. Parametrų keitimas prilygsta pasiskirstymo kreivės skalės keitimui – mastelio didinimas išilgai vienos ašies ir toks pat mažėjimas išilgai kitos.

Tikimybių teorijoje atsižvelgiama į gana daug skirtingų pasiskirstymo dėsnių. Norint išspręsti problemas, susijusias su valdymo schemų sudarymu, domina tik keletas iš jų. Svarbiausias iš jų yra normalaus paskirstymo dėsnis, kuris naudojamas kuriant valdymo diagramas, naudojamas kiekybinė kontrolė, t.y. kai turime reikalą su nuolatiniu atsitiktiniu dydžiu. Normalus paskirstymo įstatymas užima ypatingą vietą tarp kitų paskirstymo įstatymų. Tai paaiškinama tuo, kad, pirma, su juo dažniausiai susiduriama praktikoje, antra, tai yra ribojantis dėsnis, prie kurio labai įprastomis tipinėmis sąlygomis priartėja kiti pasiskirstymo dėsniai. Kalbant apie antrąją aplinkybę, tikimybių teorijoje įrodyta, kad pakankamai didelio skaičiaus nepriklausomų (arba silpnai priklausomų) atsitiktinių dydžių suma, kuriai galioja bet kokie pasiskirstymo dėsniai (atsižvelgiant į kai kuriuos labai laisvus apribojimus), maždaug paklūsta normaliam dėsniui. , ir tai dar tiksliau, jei pridedama daugiau atsitiktinių dydžių. Daugumą praktikoje sutinkamų atsitiktinių dydžių, tokių kaip, pavyzdžiui, matavimo paklaidos, galima pavaizduoti kaip labai daug santykinai mažų terminų – elementarių paklaidų, kurių kiekvieną sukelia atskira priežastis, nepriklausoma nuo kiti. Normalus dėsnis atsiranda tais atvejais, kai atsitiktinis kintamasis X yra daugelio skirtingų veiksnių rezultatas. Kiekvienas veiksnys atskirai yra vertas Xšiek tiek įtakoja, ir neįmanoma nurodyti, kuris iš jų daro didesnį poveikį nei kiti.

Normalus skirstinys(Laplaso – Gauso skirstinys) – tolydžio tikimybių skirstinys atsitiktinis kintamasis X toks, kad tikimybių pasiskirstymo tankis – ¥<х< + ¥ принимает действительное значение:

Exp (3)

Tai yra, normalusis skirstinys apibūdinamas dviem parametrais m ir s, kur m yra matematinis lūkestis; s yra normalaus skirstinio standartinis nuokrypis.

Vertė s 2 yra normaliojo skirstinio dispersija.

Matematinis lūkestis m apibūdina pasiskirstymo centro padėtį, o standartinis nuokrypis s (SD) yra dispersijos charakteristika (3 pav.).

f(x) f(x)

3 pav. Normalaus pasiskirstymo tankio funkcijos su:

a) skirtingi matematiniai lūkesčiai m; b) skirtingi standartiniai nuokrypiai s.

Taigi, vertė μ nustatoma pagal pasiskirstymo kreivės padėtį abscisių ašyje. Matmenys μ - toks pat, kaip ir atsitiktinio dydžio matmuo X. Didėjant matematiniam lūkesčiui m, abi funkcijos lygiagrečiai pasislenka į dešinę. Mažėjant dispersijai s 2 tankis vis labiau koncentruojasi aplink m, o pasiskirstymo funkcija tampa vis kietesnė.

σ reikšmė lemia pasiskirstymo kreivės formą. Kadangi plotas po pasiskirstymo kreive visada turi išlikti lygus vienetui, σ didėjant, pasiskirstymo kreivė tampa plokštesnė. Fig. 3.1 paveiksle pavaizduotos trys skirtingų σ kreivės: σ1 = 0,5; σ2 = 1,0; σ3 = 2,0.

3.1 pav. Normaliojo pasiskirstymo tankio funkcijos su skirtingi standartiniai nuokrypiai s.

Paskirstymo funkcija (integralinė funkcija) turi tokią formą (4 pav.):

(4)

4 pav. Integralinės (a) ir diferencinės (b) normalaus pasiskirstymo funkcijos

Ypač svarbi normaliai paskirstyto atsitiktinio dydžio tiesinė transformacija X, po kurio gaunamas atsitiktinis dydis Z su matematine lūkesčiu 0 ir dispersija 1. Ši transformacija vadinama normalizavimu:

Tai galima atlikti kiekvienam atsitiktiniam dydžiui. Normalizavimas leidžia visus galimus normaliojo skirstinio variantus redukuoti į vieną atvejį: m = 0, s = 1.

Vadinamas normalusis skirstinys, kai m = 0, s = 1 normalizuotas normalusis pasiskirstymas (standartizuotas).

Standartinis normalusis skirstinys(standartinis Laplaso–Gauso skirstinys arba normalizuotas normalusis skirstinys) yra standartizuoto normalaus atsitiktinio kintamojo tikimybės pasiskirstymas Z, kurio pasiskirstymo tankis yra lygus:

- ¥<z< + ¥

Funkcijų reikšmės Ф(z) nustatoma pagal formulę:

(7)

Funkcijų reikšmės Ф(z) ir tankis f(z) apskaičiuojamas normalizuotas normalusis skirstinys ir pateikiamos lentelės. Lentelė sudaroma tik teigiamoms reikšmėms zŠtai kodėl:

F (–z) = 1–Ф(z) (8)

Naudodami šias lenteles galite nustatyti ne tik normaliojo normaliojo pasiskirstymo funkcijos reikšmes ir tankį tam tikram. z, bet ir bendrojo normaliojo pasiskirstymo funkcijos reikšmes, nes:

; (9)

. 10)

Daugelyje problemų, susijusių su normaliai paskirstytais atsitiktiniais dydžiais, būtina nustatyti atsitiktinio dydžio atsiradimo tikimybę X, atsižvelgiant į normalųjį dėsnį su parametrais m ir s, tam tikram plotui. Tokia sekcija galėtų būti, pavyzdžiui, viršutinės vertės parametro tolerancijos laukas U iki dugno L.

Tikimybė patekti į intervalą nuo X 1 iki X 2 galima nustatyti pagal formulę:

Taigi tikimybė pataikyti į atsitiktinį kintamąjį (parametro reikšmę) X tolerancijos lauke nustatoma pagal formulę

Galite rasti tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis X bus per μ k s . Gautos vertės už k=1,2 ir 3 yra šie (taip pat žr. 5 pav.):

Taigi, jei reikšmė atsiranda už trijų sigmų srities, kurioje yra 99,73 % visų galimų reikšmių, o tokio įvykio tikimybė yra labai maža (1:270), reikia laikyti, kad ši reikšmė buvo per daug mažas ar per didelis ne dėl atsitiktinės variacijos, o dėl reikšmingo paties proceso sutrikimo, dėl kurio gali pakisti pasiskirstymo pobūdis.

Teritorija, esanti trijų sigmų ribose, taip pat vadinama statistinės tolerancijos sritis atitinkama mašina ar procesas.

(tikras, griežtai teigiamas)

Normalus skirstinys, taip pat vadinama Gauso skirstinys arba Gaussas – Laplasas- tikimybių skirstinys, kuris vienmačiu atveju nurodomas tikimybių tankio funkcija, sutampančia su Gauso funkcija:

kur parametras μ yra pasiskirstymo prognozė (vidutinė vertė), mediana ir būdas, o parametras σ yra skirstinio standartinis nuokrypis (σ² – dispersija).

Taigi vienmatis normalusis skirstinys yra dviejų parametrų skirstinių šeima. Daugiamatis atvejis aprašytas straipsnyje „Daugiamatis normalus skirstymas.

Standartinis normalusis skirstinys vadinamas normaliuoju skirstiniu, kurio matematinė prognozė μ = 0 ir standartinis nuokrypis σ = 1.

Enciklopedinis „YouTube“.

• 1 / 5

  Normaliojo skirstinio svarba daugelyje mokslo sričių (pavyzdžiui, matematinės statistikos ir statistinės fizikos) išplaukia iš centrinės tikimybių teorijos ribinės teoremos. Jei stebėjimo rezultatas yra daugelio atsitiktinių, silpnai tarpusavyje susijusių dydžių, kurių kiekvienas įneša nedidelį indėlį į bendrą sumą, suma, tada didėjant terminų skaičiui, centruoto ir normalizuoto rezultato pasiskirstymas paprastai būna normalus. Šis tikimybių teorijos dėsnis lemia plačiai paplitusį normaliojo skirstinio pasiskirstymą, o tai buvo viena iš jo pavadinimo priežasčių.

  Savybės

  Akimirkos

  Jei atsitiktiniai dydžiai X 1 (\displaystyle X_(1)) Ir X 2 (\displaystyle X_(2)) yra nepriklausomi ir turi normalųjį pasiskirstymą su matematiniais lūkesčiais μ 1 (\displaystyle \mu _(1)) Ir μ 2 (\displaystyle \mu _(2)) ir dispersijos σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2)) Ir σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2)) atitinkamai tada X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) taip pat turi normalųjį skirstinį su matematiniais lūkesčiais μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2)) ir dispersija σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2). Iš to išplaukia, kad normalus atsitiktinis dydis gali būti pavaizduotas kaip savavališko skaičiaus nepriklausomų normalių atsitiktinių dydžių suma.

  Maksimali entropija

  Normalusis skirstinys turi didžiausią diferencinę entropiją tarp visų nuolatinių skirstinių, kurių dispersija neviršija tam tikros vertės.

  Normalių pseudoatsitiktinių kintamųjų modeliavimas

  Paprasčiausi apytiksliai modeliavimo metodai yra pagrįsti centrine ribine teorema. Būtent, jei pridėsite kelis nepriklausomus identiškai paskirstytus dydžius su baigtine dispersija, tada suma bus paskirstyta maždaug gerai. Pavyzdžiui, jei standartiškai pridedate 100 nepriklausomų  tolygiai  paskirstytų atsitiktinių dydžių, tada sumos skirstinys bus apytikslis normalus.

  Norint programiškai generuoti normaliai paskirstytus pseudoatsitiktinius kintamuosius, geriau naudoti Box-Muller transformaciją. Tai leidžia jums sukurti vieną normaliai paskirstytą vertę, pagrįstą viena tolygiai paskirstyta verte.

  Normalus pasiskirstymas gamtoje ir pritaikymas

  Normalus pasiskirstymas dažnai randamas gamtoje. Pavyzdžiui, šie atsitiktiniai dydžiai yra gerai modeliuojami normaliuoju skirstiniu:

  • nuokrypis šaudant.
  • matavimo paklaidos (tačiau kai kurių matavimo priemonių paklaidos neturi normaliųjų skirstinių).
  • kai kurios populiacijos gyvų organizmų savybės.

  Šis skirstinys yra toks plačiai paplitęs, nes tai yra be galo dalomas ištisinis skirstinys su baigtine dispersija. Todėl kai kurie kiti priartėja prie ribos, pavyzdžiui, dvinario ir Puasono. Šis skirstinys modeliuoja daugybę nedeterministinių fizinių procesų.

  Ryšys su kitais paskirstymais

  • Normalus skirstinys yra Pearsono XI tipo skirstinys.
  • Nepriklausomų standartinių normaliai paskirstytų atsitiktinių dydžių poros santykis turi Cauchy skirstinį. Tai yra, jei atsitiktinis kintamasis X (\displaystyle X) reprezentuoja santykį X = Y / Z (\displaystyle X = Y/Z)(Kur Y (\displaystyle Y) Ir Z (\displaystyle Z)- nepriklausomi standartiniai normalūs atsitiktiniai dydžiai), tada jis turės Koši skirstinį.
  • Jeigu z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k))- bendrai nepriklausomi standartiniai normalieji atsitiktiniai dydžiai, ty z i ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)), tada atsitiktinis dydis x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) turi chi kvadrato skirstinį su k laisvės laipsniais.
  • Jei atsitiktinis dydis X (\displaystyle X) yra lognormaliojo skirstinio, tada jo natūralusis logaritmas turi normalųjį skirstinį. Tai yra, jei X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Tai Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). Ir atvirkščiai, jei Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Tai X = exp ⁡ (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \teisingai)).
  • Dviejų standartinių normaliųjų atsitiktinių dydžių kvadratų santykis turi

  Atsitiktiniai kintamieji yra susieti su atsitiktiniais įvykiais. Mes kalbame apie atsitiktinius įvykius, kai paaiškėja, kad neįmanoma vienareikšmiškai numatyti rezultato, kurį galima gauti tam tikromis sąlygomis.

  Tarkime, mes metame paprastą monetą. Paprastai šios procedūros rezultatas nėra aiškiai apibrėžtas. Galime tik tvirtai pasakyti, kad įvyks vienas iš dviejų dalykų: atsiras „galvos“ arba „uodegos“. Bet kuris iš šių įvykių bus atsitiktinis. Galite įvesti kintamąjį, kuris apibūdins šio atsitiktinio įvykio baigtį. Akivaizdu, kad šis kintamasis turės dvi atskiras reikšmes: „heads“ ir „tails“. Kadangi negalime iš anksto tiksliai numatyti, kurią iš dviejų galimų reikšmių šis kintamasis įgis, galime teigti, kad šiuo atveju kalbame apie atsitiktinius kintamuosius.

  Tarkime, kad eksperimento metu mes vertiname tiriamojo reakcijos laiką, kai pateikiame tam tikrą stimulą. Paprastai paaiškėja, kad net tada, kai eksperimentatorius imasi visų priemonių, kad standartizuotų eksperimento sąlygas, sumažindamas ar net pašalindamas galimus dirgiklio pateikimo skirtumus, išmatuotas tiriamojo reakcijos laikas vis tiek skirsis. Šiuo atveju jie sako, kad subjekto reakcijos laikas apibūdinamas atsitiktiniu dydžiu. Kadangi iš esmės eksperimente galime gauti bet kokią reakcijos laiko reikšmę - galimų reakcijos laiko verčių rinkinys, kurį galima gauti atlikus matavimus, yra begalinis, mes kalbame apie tęstinumą šis atsitiktinis kintamasis.

  Kyla klausimas: ar yra kokių nors atsitiktinių dydžių elgesio modelių? Pasirodo, atsakymas į šį klausimą yra teigiamas.

  Taigi, jei išmesite be galo daug tos pačios monetos metimų, pamatysite, kad kiekviena iš dviejų monetos pusių pasirodo maždaug tiek pat, nebent, žinoma, moneta yra padirbta arba sulenkta. Norint pabrėžti šį modelį, įvedama atsitiktinio įvykio tikimybės sąvoka. Akivaizdu, kad monetos metimo atveju tikrai įvyks vienas iš dviejų galimų įvykių. Taip yra todėl, kad bendra šių dviejų įvykių tikimybė, kitaip vadinama bendra tikimybe, yra 100%. Jei darysime prielaidą, kad abu du įvykiai, susiję su monetos testavimu, įvyksta su lygiomis tikimybės dalimis, tada kiekvieno rezultato tikimybė atskirai yra akivaizdžiai lygi 50%. Taigi teoriniai apmąstymai leidžia apibūdinti tam tikro atsitiktinio dydžio elgesį. Toks apibūdinimas matematinėje statistikoje žymimas terminu "atsitiktinio dydžio pasiskirstymas".

  Sudėtingesnė situacija yra su atsitiktiniu dydžiu, kuris neturi aiškiai apibrėžto reikšmių rinkinio, t.y. pasirodo nuolatinis. Tačiau net ir šiuo atveju galima pastebėti kai kuriuos svarbius jos elgesio modelius. Taigi, atliekant eksperimentą matuojant tiriamojo reakcijos laiką, galima pastebėti, kad skirtingi tiriamojo reakcijos trukmės intervalai įvertinami skirtingu tikimybės laipsniu. Tikėtina, kad subjektas per greitai reaguos retai. Pavyzdžiui, atliekant semantinio sprendimo užduotis, tiriamiesiems praktiškai neįmanoma daugiau ar mažiau tiksliai reaguoti mažesniu nei 500 ms (1/2 s) greičiu. Taip pat mažai tikėtina, kad tiriamasis, ištikimai vykdantis eksperimentuotojo nurodymus, per daug atidėlios savo atsakymą. Pavyzdžiui, atliekant semantinio sprendimo užduotis atsakymai, kurių įvertinimas trunka ilgiau nei 5 sekundes, paprastai laikomi nepatikimais. Nepaisant to, su 100% pasitikėjimu galime daryti prielaidą, kad subjekto reakcijos laikas bus nuo O iki +co. Tačiau ši tikimybė yra kiekvienos individualios atsitiktinio dydžio reikšmės tikimybių suma. Todėl nuolatinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymą galima apibūdinti kaip nuolatinę funkciją y = f (X ).

  Jei turime reikalą su diskrečiu atsitiktiniu dydžiu, kai visos galimos jo reikšmės yra žinomos iš anksto, kaip pavyzdyje su moneta, sukonstruoti jo pasiskirstymo modelį, kaip taisyklė, nėra labai sunku. Pakanka pateikti tik keletą pagrįstų prielaidų, kaip tai padarėme nagrinėjamame pavyzdyje. Padėtis yra sudėtingesnė paskirstant nuolatines vertes, kurios įgauna anksčiau nežinomą reikšmių skaičių. Žinoma, jei, pavyzdžiui, būtume sukūrę teorinį modelį, apibūdinantį subjekto elgesį eksperimente su reakcijos laiko matavimu sprendžiant semantinio sprendimo užduotį, galėtume pabandyti šiuo modeliu apibūdinti teorinį pasiskirstymą. konkrečių reakcijos laiko verčių tam pačiam subjektui, kai pateikiamas tas pats dirgiklis. Tačiau tai ne visada įmanoma. Todėl eksperimentuotojas yra priverstas manyti, kad jį dominančio atsitiktinio dydžio pasiskirstymą apibūdina koks nors dėsnis, kuris jau buvo ištirtas iš anksto. Dažniausiai, nors tai ne visada gali būti absoliučiai teisinga, šiems tikslams naudojamas vadinamasis normalusis skirstinys, kuris veikia kaip bet kokio atsitiktinio dydžio skirstymo standartas, nepaisant jo pobūdžio. Šis skirstinys pirmą kartą matematiškai aprašytas XVIII amžiaus pirmoje pusėje. de Moivre'as.

  Normalus skirstinys įvyksta, kai mus dominančiam reiškiniui įtakos turi begalinis skaičius atsitiktinių veiksnių, kurie subalansuoja vienas kitą. Formaliai normalųjį skirstinį, kaip parodė de Moivre'as, galima apibūdinti tokiu ryšiu:

  Kur X reiškia mus dominantį atsitiktinį kintamąjį, kurio elgesį tiriame; R – su šiuo atsitiktiniu dydžiu susieta tikimybės vertė; π ir e – gerai žinomos matematinės konstantos, kurios atitinkamai apibūdina apskritimo ir skersmens santykį bei natūralaus logaritmo pagrindą; μ ir σ2 – atsitiktinio dydžio normaliojo skirstinio parametrai – matematinė tikėtis ir atsitiktinio dydžio sklaida, atitinkamai X.

  Normaliajam skirstiniui apibūdinti paaiškėja, kad būtina ir pakanka nustatyti tik parametrus μ ir σ2.

  Todėl, jei turime atsitiktinį kintamąjį, kurio elgesį apibūdina lygtis (1.1) su savavališkomis μ ir σ2 reikšmėmis, galime jį pažymėti kaip Ν (μ, σ2), nepamirštant visų šios lygties detalių.

  

  Ryžiai. 1.1.

  Bet koks skirstinys gali būti vizualizuotas grafiko pavidalu. Grafiškai normalusis skirstinys atrodo kaip varpo formos kreivė, kurios tikslią formą lemia pasiskirstymo parametrai, t.y. matematinis lūkestis ir dispersija. Normalaus skirstinio parametrai gali įgauti beveik bet kokią reikšmę, kurią, pasirodo, riboja tik eksperimentuotojo naudojama matavimo skalė. Teoriškai matematinio lūkesčio reikšmė gali būti lygi bet kuriam skaičiui iš skaičių diapazono nuo -∞ iki +∞, o dispersija gali būti lygi bet kuriam neneigiamam skaičiui. Todėl yra begalinis skaičius skirtingų normaliojo skirstinio tipų ir atitinkamai begalinis skaičius jį reprezentuojančių kreivių (kurios vis dėlto turi panašią varpo formos formą). Aišku, kad visų aprašyti neįmanoma. Tačiau jei žinomi tam tikro normaliojo skirstinio parametrai, jį galima konvertuoti į vadinamąjį vieneto normalusis pasiskirstymas, kurio matematinis lūkestis lygus nuliui, o dispersija – vienetui. Šis normalusis skirstinys taip pat vadinamas standartinis arba z-paskirstymas. Vienetinio normalaus skirstinio grafikas parodytas fig. 1.1, iš kurio matyti, kad normaliojo skirstinio varpo formos kreivės viršūnė apibūdina matematinio lūkesčio reikšmę. Kitas normalaus pasiskirstymo parametras – dispersija – apibūdina varpo formos kreivės „plokštumo“ horizontalės (x ašies) atžvilgiu.

  Atsitiktinai, jei eksperimento rezultatas su tam tikromis tikimybėmis gali įgyti realias vertes. Išsamiausia, visapusiškiausia atsitiktinio dydžio charakteristika yra pasiskirstymo dėsnis. Pasiskirstymo dėsnis – tai funkcija (lentelė, grafikas, formulė), kuri leidžia nustatyti tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis X įgaus tam tikrą reikšmę xi arba pateks į tam tikrą intervalą. Jei atsitiktinis dydis turi duotą pasiskirstymo dėsnį, tada sakoma, kad jis paskirstomas pagal šį dėsnį arba paklūsta šiam pasiskirstymo dėsniui.

  kas paskirstymo įstatymas yra funkcija, visiškai apibūdinanti atsitiktinį kintamąjį tikimybiniu požiūriu. Praktikoje apie atsitiktinio dydžio X tikimybių pasiskirstymą dažnai tenka spręsti tik iš testo rezultatų.

  Normalus skirstinys

  Normalus skirstinys, dar vadinamas Gauso skirstiniu, yra tikimybių skirstinys, kuris vaidina svarbų vaidmenį daugelyje žinių sričių, ypač fizikoje. Fizinis dydis atitinka normalųjį pasiskirstymą, kai jį veikia daugybė atsitiktinių triukšmų. Akivaizdu, kad tokia situacija yra itin dažna, todėl galime teigti, kad iš visų skirstinių normalusis skirstinys yra labiausiai paplitęs gamtoje – taigi ir vienas iš jo pavadinimų.

  Normalus skirstinys priklauso nuo dviejų parametrų – poslinkio ir mastelio, tai yra matematiniu požiūriu tai ne vienas skirstinys, o visa jų šeima. Parametrų reikšmės atitinka vidurkio (matematinio lūkesčio) ir sklaidos (standartinis nuokrypis) reikšmes.

  

  

  Standartinis normalusis skirstinys yra normalusis skirstinys, kurio matematinė prognozė yra 0 ir standartinis nuokrypis 1.

  

  

  Asimetrijos koeficientas

  

  Pasvirumo koeficientas yra teigiamas, jei skirstinio dešinė uodega ilgesnė už kairę, o kitaip – ​​neigiama.

  Jei skirstinys yra simetriškas matematinio lūkesčio atžvilgiu, tai jo asimetrijos koeficientas lygus nuliui.

  

  Mėginio iškrypimo koeficientas naudojamas simetrijos pasiskirstymui patikrinti, taip pat apytikriam preliminariam normalumo bandymui. Tai leidžia atmesti, bet neleidžia priimti normalumo hipotezės.

  Kurtozės koeficientas

  

  Kurtozės koeficientas (pikumo koeficientas) yra atsitiktinio dydžio pasiskirstymo smailės ryškumo matas.

  „Minusas trys“ formulės pabaigoje įvedamas taip, kad normaliojo skirstinio kurtozės koeficientas būtų lygus nuliui. Teigiama, jei pasiskirstymo aplink matematinius lūkesčius smailė yra aštri, ir neigiama, jei smailė yra lygi.

  

  Atsitiktinio dydžio momentai

  Atsitiktinio dydžio momentas yra skaitinė tam tikro atsitiktinio dydžio skirstinio charakteristika.