Parodantis ryšį tarp išvestinės ženklo ir funkcijos monotoniškumo prigimties.

Būkite ypač atsargūs dėl toliau nurodytų dalykų. Žiūrėk, tvarkaraštis KAS tau duota! Funkcija arba jos išvestinė

Jei pateikiamas išvestinės grafikas, tada mus domina tik funkcijos ženklai ir nuliai. Jokios „kalnės“ ar „daubos“ mums iš principo neįdomios!

1 užduotis.

Paveikslėlyje parodytas intervale apibrėžtos funkcijos grafikas. Nustatykite sveikųjų skaičių taškų, kuriuose funkcijos išvestinė yra neigiama.

Sprendimas:

Paveiksle mažėjančios funkcijos sritys paryškintos spalva:

Šiose mažėjančiose funkcijos srityse yra 4 sveikųjų skaičių reikšmės.

2 užduotis.

Paveikslėlyje parodytas intervale apibrėžtos funkcijos grafikas. Raskite taškų, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti tiesei arba sutampa su ja, skaičių.

Sprendimas:

Kai funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti (arba sutampa) su tiesia linija (arba tai yra tas pats dalykas), nuolydis , lygus nuliui, tada liestinė taip pat turi kampinį koeficientą.

Tai savo ruožtu reiškia, kad liestinė yra lygiagreti ašiai, nes nuolydis yra liestinės polinkio kampo liestinė su ašimi.

Todėl grafike randame ekstremalumo taškus (maksimalius ir mažiausius taškus) – būtent šiuose taškuose grafiko liestinės funkcijos bus lygiagrečios ašiai.

Yra 4 tokie taškai.

3 užduotis.

Paveikslėlyje parodytas intervale apibrėžtos funkcijos išvestinės grafikas. Raskite taškų, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti tiesei arba sutampa su ja, skaičių.

Sprendimas:

Kadangi funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti (arba sutampa) su tiese, kuri turi nuolydį, tai liestinė taip pat turi nuolydį.

Tai savo ruožtu reiškia, kad prisilietimo taškuose.

Todėl žiūrime, kiek grafiko taškų turi ordinatę, lygią .

Kaip matote, tokie punktai yra keturi.

4 užduotis.

Paveikslėlyje parodytas intervale apibrėžtos funkcijos grafikas. Raskite taškų, kuriuose funkcijos išvestinė yra 0, skaičių.

Sprendimas:

Ekstremalumo taškuose išvestinė yra lygi nuliui. Turime 4 iš jų:

5 užduotis.

Paveiksle pavaizduotas funkcijos ir vienuolikos taškų x ašyje grafikas:. Kiek iš šių taškų funkcijos išvestinė yra neigiama?

Sprendimas:

Mažėjančios funkcijos intervalais jos išvestinė įgauna neigiamas reikšmes. Ir taškuose funkcija mažėja. Yra 4 tokie taškai.

6 užduotis.

Paveikslėlyje parodytas intervale apibrėžtos funkcijos grafikas. Raskite funkcijos ekstremalių taškų sumą.

Sprendimas:

Ekstremalūs taškai– tai didžiausi balai (-3, -1, 1) ir minimalūs taškai (-2, 0, 3).

Ekstremalų taškų suma: -3-1+1-2+0+3=-2.

7 užduotis.

Paveikslėlyje parodytas intervale apibrėžtos funkcijos išvestinės grafikas. Raskite funkcijos didėjimo intervalus. Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.

Sprendimas:

Paveiksle paryškinti intervalai, kuriuose funkcijos išvestinė yra neneigiama.

Mažame didėjančiame intervale nėra sveikųjų skaičių taškų, yra keturios sveikųjų skaičių reikšmės: , , ir .

Jų suma:

8 užduotis.

Paveikslėlyje parodytas intervale apibrėžtos funkcijos išvestinės grafikas. Raskite funkcijos didėjimo intervalus. Atsakyme nurodykite didžiausio iš jų ilgį.

Sprendimas:

Paveiksle visi intervalai, kurių išvestinė yra teigiama, yra paryškinti spalva, o tai reiškia, kad pati funkcija šiais intervalais didėja.

Didžiausio iš jų ilgis yra 6.

9 užduotis.

Paveikslėlyje parodytas intervale apibrėžtos funkcijos išvestinės grafikas. Kuriame segmento taške jis įgauna didžiausią vertę?

Sprendimas:

Pažiūrėkime, kaip grafikas elgiasi segmente, o tai mus domina tik vedinio ženklas .

Išvestinės ženklas yra minusas, nes šio segmento grafikas yra žemiau ašies.

Atsirado naujų užduočių. Pažvelkime į jų sprendimą.

Užduoties B8 prototipas (Nr. 317543)

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir pažymėti taškai -2, -1, 1, 2 Kuriame iš šių taškų yra didžiausia išvestinės reikšmė? Atsakyme nurodykite šį punktą.

Kaip žinome, jis vadinamas

funkcijos didėjimo ir argumento prieaugio santykio riba, kai argumento prieaugis linkęs į nulį:

Išvestinė taške rodo funkcijos pasikeitimo greitisŠiuo atveju. Kuo greičiau keičiasi funkcija, tai yra, kuo didesnis funkcijos padidėjimas, tuo didesnis liestinės pasvirimo kampas. Kadangi uždavinys reikalauja nustatyti tašką, kuriame išvestinės vertė yra didžiausia, iš svarstymo neįtraukiame taškų su abscisėmis -1 ir 1 - šiuose taškuose funkcija mažėja, o išvestinė juose yra neigiama.

Funkcija didėja taškuose -2 ir 2. Tačiau jie didėja skirtingais būdais - taške -2 funkcijos grafikas kyla stačiau nei taške 2, taigi ir funkcijos prieaugis šiame taške, taigi ir išvestinė, yra didesnė.

Atsakymas: -2

Ir panaši užduotis:

Užduoties B8 prototipas (Nr. 317544)

Paveiksle pavaizduotas funkcijos grafikas ir pažymėti taškai -2, -1, 1, 4 Kuriame iš šių taškų išvestinė yra mažiausia? Atsakyme nurodykite šį punktą.

Šios problemos sprendimas yra panašus į ankstesnės problemos sprendimą „visiškai priešingai“

Mus domina taškas, kuriame išvestinė yra mažiausia vertė, tai yra, mes ieškome taško, kuriame funkcija mažėja greičiausiai - grafike tai yra taškas, kuriame „nusileidimas“ yra stačiausias. Tai yra 4 abscisės taškas.

Sergejus Nikiforovas

Jei funkcijos išvestinė intervale yra pastovaus ženklo, o pati funkcija yra tolydžioji jos ribose, tai ribos taškai pritvirtinami ir prie didėjančių, ir prie mažėjančių intervalų, o tai visiškai atitinka didėjančių ir mažėjančių funkcijų apibrėžimą.

Faritas Jamajevas 26.10.2016 18:50

Sveiki. Kaip (kokiu pagrindu) galime pasakyti, kad taške, kai išvestinė lygi nuliui, funkcija didėja. Pasakyk priežastis. Priešingu atveju tai tik kažkieno užgaida. Pagal kokią teoremą? Ir taip pat įrodymas. Ačiū.

Palaikymas

Išvestinės vertė taške nėra tiesiogiai susijusi su funkcijos padidėjimu per intervalą. Apsvarstykite, pavyzdžiui, funkcijas – jos visos didėja intervalu

Vladlenas Pisarevas 02.11.2016 22:21

Jei funkcija didėja intervale (a;b) ir yra apibrėžta ir tęstinė taškuose a ir b, tada ji didėja intervale . Tie. į šį intervalą įtrauktas taškas x=2.

Nors, kaip taisyklė, padidėjimas ir sumažėjimas laikomi ne segmentu, o intervalu.

Tačiau pačiame taške x=2 funkcija turi lokalų minimumą. O kaip paaiškinti vaikams, kad jie ieškodami didėjimo (sumažėjimo) taškų skaičiuojame ne vietinio ekstremumo taškus, o patenkame į didėjimo (sumažėjimo) intervalus.

Atsižvelgiant į tai, kad pirmasis Vieningo valstybinio egzamino dalis Dėl " vidurinė grupė darželis“, tada gal tokių niuansų per daug.

Atskirai labai ačiū visam personalui už „Vieningo valstybinio egzamino sprendimą“ - puikų vadovą.

Sergejus Nikiforovas

Paprastą paaiškinimą galima gauti, jei pradėsime nuo didėjančios / mažėjančios funkcijos apibrėžimo. Leiskite jums priminti, kad tai skamba taip: funkcija vadinama didėjančia / mažėjančia intervale, jei didesnis funkcijos argumentas atitinka didesnę / mažesnę funkcijos reikšmę. Šiame apibrėžime niekaip nevartojama išvestinės sąvoka, todėl negali kilti klausimų apie taškus, kuriuose vedinys išnyksta.

Irina Išmakova 20.11.2017 11:46

Laba diena. Čia komentaruose matau įsitikinimus, kad ribas reikia įtraukti. Tarkime, aš su tuo sutinku. Bet pažvelkite į savo problemos 7089 sprendimą. Ten, kai nurodote didėjančius intervalus, ribos neįtraukiamos. Ir tai turi įtakos atsakymui. Tie. 6429 ir 7089 uždavinių sprendiniai prieštarauja vienas kitam. Prašome paaiškinti šią situaciją.

Aleksandras Ivanovas

6429 ir 7089 užduotys turi visiškai skirtingus klausimus.

Vienas yra apie intervalų didinimą, o kitas - apie intervalus su teigiama išvestine.

Jokio prieštaravimo nėra.

Ekstremalai įtraukiami į didėjimo ir mažėjimo intervalus, tačiau taškai, kuriuose išvestinė lygi nuliui, neįtraukiami į intervalus, kuriuose išvestinė yra teigiama.

A Z 28.01.2019 19:09

Kolegos, yra sąvoka padidinti tam tikru momentu

(Pavyzdžiui, žr. Fichtenholtzą)

ir jūsų supratimas apie padidėjimą ties x=2 prieštarauja klasikiniam apibrėžimui.

Didėjimas ir mažėjimas yra procesas, ir aš norėčiau laikytis šio principo.

Bet kuriame intervale, kuriame yra taškas x=2, funkcija nedidėja. Todėl duoto taško x=2 įtraukimas yra ypatingas procesas.

Paprastai, siekiant išvengti painiavos, intervalų galų įtraukimas aptariamas atskirai.

Aleksandras Ivanovas

Sakoma, kad funkcija y=f(x) didėja per tam tikrą intervalą, jei didesnė šio intervalo argumento reikšmė atitinka didesnę funkcijos reikšmę.

Taške x=2 funkcija yra diferencijuojama, o intervale (2; 6) išvestinė yra teigiama, o tai reiškia, kad intervale funkcija f(X) užima mažiausią vertę.

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–7;14). Raskite maksimalų funkcijos taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui [–6;9].

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–18;6). Raskite funkcijos minimalių taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui [–13;1].

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–11; –11). Raskite funkcijos ekstremalių taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui [–10; -10].

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–7;4). Raskite didėjančios funkcijos intervalus f(X). Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–5;7). Raskite mažėjimo funkcijos intervalus f(X). Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–11;3). Raskite didėjančios funkcijos intervalus f(X). Atsakyme nurodykite didžiausio iš jų ilgį.

F Paveikslėlyje parodytas grafikas

Problemos sąlygos yra tos pačios (ką mes svarstėme). Raskite trijų skaičių sumą:

1. Funkcijos f (x) ekstremalių kvadratų suma.

2. Funkcijos f (x) didžiausių taškų sumos ir mažiausių taškų sumos kvadratų skirtumas.

3. F (x) lygiagrečių tiesei y = –3x + 5 liestinių skaičius.

Pirmasis teisingai atsakęs gaus 150 rublių skatinamąjį prizą. Savo atsakymus rašykite komentaruose. Jei tai pirmas jūsų komentaras tinklaraštyje, jis pasirodys ne iš karto, o šiek tiek vėliau (nesijaudinkite, komentaro parašymo laikas įrašomas).

Sėkmės tau!

Pagarbiai, Aleksandras Krutitsikas.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.