Pamokos tikslai:

Mokiniai turėtų žinoti:

• kas vadinama linijos nuolydžiu;
• kampas tarp tiesės ir Ox ašies;
• kokia geometrinė išvestinės reikšmė;
• funkcijos grafiko liestinės lygtis;
• parabolės liestinės sudarymo metodas;
• gebėti teorines žinias pritaikyti praktikoje.

Pamokos tikslai:

Edukacinis: sudaryti sąlygas studentams įsisavinti žinių, įgūdžių ir gebėjimų sistemą su išvestinės mechaninės ir geometrinės reikšmės sąvokomis.

Ugdomasis: formuoti mokiniuose mokslinę pasaulėžiūrą.

Ugdomasis: ugdyti mokinių pažintinį susidomėjimą, kūrybiškumą, valią, atmintį, kalbą, dėmesį, vaizduotę, suvokimą.

Edukacinės ir pažintinės veiklos organizavimo būdai:

• vizualinis;
• praktiška;
• pagal protinę veiklą: indukcinis;
• pagal medžiagos asimiliaciją: iš dalies paieškos, dauginimosi;
• pagal savarankiškumo laipsnį: laboratoriniai darbai;
• skatinantis: padrąsinimas;
• kontrolė: žodinė priekinė apklausa.

Pamokos planas

1. Burnos pratimai (raskite išvestinį)
2. Studento pranešimas tema „Matematinės analizės atsiradimo priežastys“.
3. Naujos medžiagos mokymasis
4. Fizik. Viena minutę.
5. Užduočių sprendimas.
6. Laboratoriniai darbai.
7. Apibendrinant pamoką.
8. Namų darbų komentavimas.

Įranga: multimedijos projektorius (prezentacija), kortelės (laboratoriniai darbai).

Per užsiėmimus

„Žmogus ką nors pasiekia tik ten, kur tiki savo jėgomis“

L. Feuerbachas

I. Organizacinis momentas.

Klasės organizavimas visos pamokos metu, mokinių pasirengimas pamokai, tvarka ir drausmė.

Mokymosi tikslų nustatymas mokiniams tiek visai pamokai, tiek atskiriems jos etapams.

Nustatykite studijuojamos medžiagos reikšmę tiek šioje temoje, tiek visame kurse.

Žodinis skaičiavimas

1. Raskite išvestines:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Loginis testas.

a) Įterpkite trūkstamą išraišką.

5x3-6x	15x 2 -6	30x
2sinx	2cosx…
cos2x	… …

II. Studento pranešimas tema „Matematinės analizės atsiradimo priežastys“.

Bendrąją mokslo raidos kryptį galiausiai lemia žmogaus veiklos praktikos reikalavimai. Senovės valstybių su sudėtinga hierarchine valdymo sistema egzistavimas būtų buvęs neįmanomas be pakankamai išvystytos aritmetikos ir algebros, nes rinkti mokesčius, organizuoti kariuomenės aprūpinimą, statyti rūmus ir piramides, kurti drėkinimo sistemas reikėjo sudėtingų skaičiavimų. Renesanso laikais plėtėsi ryšiai tarp skirtingų viduramžių pasaulio dalių, vystėsi prekyba, amatai. Prasideda spartus gamybos techninio lygio kilimas, pramoniniu būdu naudojami nauji energijos šaltiniai, nesusiję su žmonių ar gyvūnų raumenų pastangomis. XI-XII amžiuje atsirado pynimo ir pynimo mašinos, o XV viduryje - spaustuvės. Dėl sparčios socialinės gamybos raidos poreikio šiuo laikotarpiu pasikeitė nuo senų laikų aprašomųjų gamtos mokslų esmė. Gamtos mokslų tikslas yra nuodugnus gamtos procesų, o ne objektų tyrimas. Matematika, kuri operavo pastoviais dydžiais, atitiko aprašomąjį antikos gamtos mokslą. Reikėjo sukurti matematinį aparatą, kuris apibūdintų ne proceso rezultatą, o jo tėkmės pobūdį ir jam būdingus modelius. Dėl to iki XII amžiaus pabaigos Niutonas Anglijoje ir Leibnicas Vokietijoje baigė pirmąjį matematinės analizės kūrimo etapą. Kas yra „matematinė analizė“? Kaip galima apibūdinti ir numatyti bet kokio proceso ypatybes? Naudoti šias funkcijas? Giliau įsiskverbti į konkretaus reiškinio esmę?

III. Naujos medžiagos mokymasis.

Eikime Niutono ir Leibnizo keliu ir pažiūrėkime, kaip galime analizuoti procesą, vertindami jį kaip laiko funkciją.

Pristatykime keletą sąvokų, kurios mums padės toliau.

Tiesinės funkcijos y=kx+ b grafikas yra tiesė, vadinamas skaičius k tiesios linijos nuolydis. k=tg, kur yra tiesės kampas, tai yra kampas tarp šios tiesės ir teigiamos Ox ašies krypties.

1 paveikslas

Panagrinėkime funkcijos y=f(x) grafiką. Nubrėžkime sekantą per bet kuriuos du taškus, pavyzdžiui, sekantą AM. (2 pav.)

Sekanto kampinis koeficientas k=tg. Stačiame trikampyje AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

2 pav

3 pav

Pats terminas „greitis“ apibūdina vieno kiekio pokyčio priklausomybę nuo kito kiekio pasikeitimo, o pastarasis nebūtinai turi būti laikas.

Taigi sekanto polinkio kampo liestinė tg = .

Mus domina kiekių pokyčių priklausomybė per trumpesnį laiką. Nukreipkime argumento prieaugį į nulį. Tada dešinioji formulės pusė yra funkcijos taške A išvestinė (paaiškinkite kodėl). Jei x -> 0, tai taškas M grafike juda į tašką A, o tai reiškia, kad tiesė AM artėja prie tiesės AB, kuri yra funkcijos y = f(x) grafiko liestinė taške A. (3 pav.)

Sekanto pasvirimo kampas yra linkęs į liestinės pasvirimo kampą.

Geometrinė išvestinės reikšmė ta, kad išvestinės reikšmė taške yra lygi funkcijos grafiko liestinės nuolydžiui taške.

Mechaninė vedinio reikšmė.

Liestinės kampo liestinė yra reikšmė, rodanti momentinį funkcijos pasikeitimo greitį tam tikrame taške, tai yra nauja tiriamo proceso charakteristika. Leibnicas pavadino šį kiekį išvestinė, o Niutonas sakė, kad pati išvestinė yra vadinama momentine greitis.

IV. Kūno kultūros minutė.

V. Problemų sprendimas.

Nr.91(1) 91 psl. parodyti lentoje.

Kreivės liestinės f(x) = x 3 kampinis koeficientas taške x 0 – 1 yra šios funkcijos išvestinės reikšmė x = 1. f’(1) = 3x 2 ; f’(1) = 3.

Nr.91 (3.5) – diktantas.

Nr.92(1) – jei pageidaujama, lentoje.

92 (3) – savarankiškai su testavimu žodžiu.

Nr.92 (5) – prie valdybos.

Atsakymai: 45 0, 135 0, 1,5 e 2.

VI. Laboratoriniai darbai.

Tikslas: sukurti „mechaninės išvestinės reikšmės“ sąvoką.

Darinių taikymas mechanikai.

Duotas taško x = x(t), t tiesinio judėjimo dėsnis.

1. Vidutinis judėjimo greitis per tam tikrą laikotarpį;
2. Greitis ir pagreitis momentu t 04
3. Sustojimo akimirkos; ar taškas po sustojimo momento toliau juda ta pačia kryptimi, ar pradeda judėti priešinga kryptimi;
4. Didžiausias judėjimo greitis per tam tikrą laikotarpį.

Darbas atliekamas pagal 12 variantų, užduotys diferencijuojamos pagal sunkumo laipsnį (pirmas variantas – žemiausias sunkumo lygis).

Prieš pradedant darbą, pokalbis šiais klausimais:

1. Kokia yra poslinkio išvestinės fizinė prasmė? (Greitis).
2. Ar įmanoma rasti greičio išvestinę? Ar šis dydis naudojamas fizikoje? Kaip tai vadinasi? (Pagreitis).
3. Momentinis greitis lygus nuliui. Ką galima pasakyti apie kūno judėjimą šiuo metu? (Tai yra sustojimo momentas).
4. Kokia fizinė šių teiginių reikšmė: judėjimo išvestinė lygi nuliui taške t 0; ar išvestinė keičia ženklą, eidama per tašką t 0? (Kūnas sustoja; judėjimo kryptis pasikeičia į priešingą).

Studentų darbų pavyzdys.

x(t) = t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2.

4 pav

Priešinga kryptimi.

Nubraižykime greičio schemą. Didžiausias greitis pasiekiamas taške

t = 10, v (10) = 3 · 10 2 -4 · 10 = 300–40 = 260

5 pav

VII. Apibendrinant pamoką

1) Kokia geometrinė išvestinės reikšmė?
2) Kokia mechaninė vedinio reikšmė?
3) Padarykite išvadą apie savo darbą.

VIII. Namų darbų komentavimas.

90 psl. Nr.91(2,4,6), Nr.92(2,4,6,), 92 Nr.112.

Naudotos knygos

• Vadovėlis Algebra ir analizės pradžia.
  Autoriai: Yu.M. Kolyaginas, M.V. Tkačiova, N.E. Fedorova, M.I. Šabunina.
  Redagavo A. B. Žižčenko.
• Algebra 11 klasė. Pamokų planai pagal Sh A. Alimov, Yu M. Kolyagin, Yu. 1 dalis.
• Interneto šaltiniai: http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg

Norėdami sužinoti išvestinės geometrinę reikšmę, panagrinėkime funkcijos y = f(x) grafiką. Paimkime savavališką tašką M su koordinatėmis (x, y) ir arti jo esantį tašką N (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Nubrėžkime ordinates $\overline(M_(1) M)$ ir $\overline(N_(1) N)$, o iš taško M - tiesę, lygiagrečią OX ašiai.

Santykis $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ yra kampo $\alpha $1, sudaryto iš sekantinės MN su teigiama OX ašies kryptimi, liestinė. Kadangi $\Delta $x linkęs į nulį, taškas N priartės prie M, o sekanto MN ribinė padėtis bus taške M kreivės liestinė MT. Taigi išvestinė f`(x) yra lygi liestine kampo $\alpha $, kurį sudaro liestinė į kreivę taške M (x, y) su teigiama kryptimi į OX ašį - liestinės nuolydis (1 pav.).

1 pav. Funkcijų grafikas

Skaičiuojant reikšmes naudojant formules (1), svarbu nepadaryti klaidų ženkluose, nes prieaugis gali būti ir neigiamas.

Taškas N, esantis kreivėje, gali būti nukreiptas į M iš bet kurios pusės. Taigi, jei 1 paveiksle liestinė duota priešinga kryptimi, kampas $\alpha $ pasikeis dydžiu $\pi $, o tai reikšmingai paveiks kampo liestinę ir atitinkamai kampo koeficientą.

Išvada

Iš to seka, kad išvestinės egzistavimas yra susijęs su kreivės y = f(x) liestinės egzistavimu, o kampinis koeficientas - tg $\alpha $ = f`(x) yra baigtinis. Todėl liestinė neturėtų būti lygiagreti OY ašiai, kitaip $\alpha $ = $\pi $/2, o kampo liestinė bus begalinė.

Kai kuriuose taškuose ištisinė kreivė gali neturėti liestinės arba turėti liestinę, lygiagrečią OY ašiai (2 pav.). Tada funkcija negali turėti išvestinės šiose reikšmėse. Funkcijos kreivėje gali būti bet koks skaičius panašių taškų.

2 pav. Išskirtiniai kreivės taškai

Apsvarstykite 2 paveikslą. Tegul $\Delta $x yra nulis nuo neigiamų arba teigiamų verčių:

\[\Delta x\to -0\begin(masyvas)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(masyvas)\]

Jei šiuo atveju santykiai (1) turi galutinę ribą, ji žymima taip:

Pirmuoju atveju išvestinė yra kairėje, antruoju – išvestinė dešinėje.

Ribos buvimas rodo kairiosios ir dešiniosios išvestinių lygiavertiškumą ir lygybę:

Jei kairioji ir dešinioji išvestinės yra nelygios, tai duotame taške yra liestinės, kurios nėra lygiagrečios OY (taškas M1, 2 pav.). Taškuose M2, M3 santykiai (1) linkę į begalybę.

Taškams N, esantiems kairėje nuo M2, $\Delta $x $

$M_2$ dešinėje $\Delta $x $>$ 0, bet išraiška taip pat yra f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Taškui $M_3$ kairėje $\Delta $x $$ 0 ir f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, t.y. išraiškos (1) tiek kairėje, tiek dešinėje yra teigiamos ir linkusios į +$\infty $, kai $\Delta $x artėja prie -0 ir +0.

Išvestinės nebuvimo konkrečiuose tiesės taškuose (x = c) atvejis pateiktas 3 paveiksle.

3 pav. Jokių išvestinių priemonių

1 pavyzdys

4 paveiksle pavaizduotas funkcijos grafikas ir grafiko liestinė abscisių taške $x_0$. Raskite funkcijos išvestinės reikšmę abscisėje.

Sprendimas. Išvestinė taške yra lygi funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykiui. Pasirinkime du liestinės taškus su sveikosiomis koordinatėmis. Pavyzdžiui, tai gali būti taškai F (-3,2) ir C (-2,4).

Funkcijos išvestinė.

1. Darinio apibrėžimas, jo geometrinė reikšmė.

2. Sudėtinės funkcijos išvestinė.

3. Atvirkštinės funkcijos išvestinė.

4. Aukštesnės eilės išvestinės priemonės.

5. Parametriškai apibrėžtos funkcijos ir netiesiogiai.

6. Parametriškai ir netiesiogiai nurodytų funkcijų diferencijavimas.

Įvadas.

Diferencialinio skaičiavimo ištakos buvo du klausimai, kuriuos iškėlė XVII a. mokslo ir technologijų reikalavimai.

1) Klausimas apie greičio apskaičiavimą pagal savavališkai pateiktą judėjimo dėsnį.

2) Savavališkai duotosios kreivės liestinės suradimo (naudojant skaičiavimus) klausimas.

Kai kurių kreivių liestinės nubrėžimo problemą išsprendė senovės graikų mokslininkas Archimedas (287-212 m. pr. Kr.), naudodamas piešimo metodą.

Tačiau tik XVII ir XVIII amžiais, atsižvelgiant į gamtos mokslų ir technologijų pažangą, šios problemos buvo tinkamai išplėtotos.

Vienas iš svarbių klausimų tiriant bet kokį fizikinį reiškinį dažniausiai yra greičio klausimas, reiškinio atsiradimo greitis.

Greitis, kuriuo lėktuvas ar automobilis juda, visada yra svarbiausias jo veikimo rodiklis. Konkrečios valstybės gyventojų skaičiaus augimo tempas yra viena iš pagrindinių jos socialinės raidos ypatybių.

Pirminė greičio idėja yra aiški visiems. Tačiau šios bendros idėjos nepakanka daugeliui praktinių problemų išspręsti. Būtina turėti tokį kiekybinį šio dydžio apibrėžimą, kurį vadiname greičiu. Tokio tikslaus kiekybinio nustatymo poreikis istoriškai buvo viena iš pagrindinių paskatų kurti matematinę analizę. Visa matematinės analizės dalis skirta šiai pagrindinei problemai išspręsti ir iš šio sprendimo padaryti išvadas. Mes pereiname prie šio skyriaus tyrimo.

Darinio apibrėžimas, geometrinė reikšmė.

Tegu duota funkcija, kuri apibrėžta tam tikru intervalu (a, c) ir joje nuolatinis.

1. Pateikime argumentą X padidėjimą, tada funkcija gaus

prieaugis:

2. Sukurkime santykį .

3. Perėjimas prie ribos ties ir, darant prielaidą, kad riba

egzistuoja, gauname kiekį, vadinamą

funkcijos išvestinė argumento atžvilgiu X.

Apibrėžimas. Funkcijos išvestinė taške yra funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykio riba, kai →0.

Išvestinės vertė akivaizdžiai priklauso nuo taško X, kuriame ji randama, todėl funkcijos išvestinė savo ruožtu yra tam tikra funkcija X. Žymima .

Pagal apibrėžimą mes turime

arba (3)

Pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę.

1. ;

Šį straipsnį pradedame nuo būtinų apibrėžimų ir sąvokų apžvalgos.

Po to pereisime prie liestinės linijos lygties rašymo ir pateiksime išsamius tipiškiausių pavyzdžių ir problemų sprendimus.

Apibendrinant, mes sutelksime dėmesį į antrosios eilės kreivių, tai yra apskritimo, elipsės, hiperbolės ir parabolės, liestinės lygtį.

Puslapio naršymas.

Apibrėžimai ir sąvokos.

Apibrėžimas.

Tiesios linijos kampas y=kx+b – kampas, išmatuotas nuo teigiamos x ašies krypties iki tiesės y=kx+b teigiama kryptimi (ty prieš laikrodžio rodyklę).

Paveiksle teigiama x ašies kryptis rodoma horizontalia žalia rodykle, teigiama kampo kryptis – žalia lanku, tiesi – mėlyna linija, o tiesės pasvirimo kampas. linija rodoma raudonu lanku.

Apibrėžimas.

Tiesios linijos nuolydis y=kx+b vadinamas skaitiniu koeficientu k.

Tiesios linijos nuolydis lygus tiesės polinkio kampo liestinei, tai yra, .

Apibrėžimas.

Tiesioginis AB, nubrėžta per du funkcijos y=f(x) grafiko taškus, vadinama sekantas. Kitaip tariant, sekantas yra tiesė, einanti per du funkcijos grafiko taškus.

Paveiksle sekantinė linija AB pavaizduota mėlyna linija, funkcijos y=f(x) grafikas – juoda kreivė, o sekantinės linijos pasvirimo kampas – raudonu lanku.

Jei atsižvelgsime į tai, kad tiesės kampinis koeficientas yra lygus polinkio kampo liestinei (tai buvo aptarta aukščiau), o kampo liestinė stačiame trikampyje ABC yra priešingos kojos santykis su gretimas (tai yra kampo liestinės apibrėžimas), tada mūsų sekantui bus teisinga lygybių serija , kur yra taškų A ir B abscisės, - atitinkamos funkcijos reikšmės.

Tai yra, sekantinis kampas yra nulemtas lygybės arba , A sekantinė lygtis parašyta formoje arba (jei reikia, žr. skyrių).

Sekantinė linija padalija funkcijos grafiką į tris dalis: į kairę nuo taško A, nuo A iki B ir į dešinę nuo taško B, nors ji gali turėti daugiau nei du bendrus taškus su funkcijos grafiku.

Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduoti trys iš tikrųjų skirtingi sekantai (taškai A ir B yra skirtingi), tačiau jie sutampa ir pateikiami viena lygtimi.

Mes niekada nesusidūrėme su kalbomis apie tiesios linijos sekantinę liniją. Bet vis tiek, jei pradėsime nuo apibrėžimo, tai tiesė ir jos sekanti linija sutampa.

Kai kuriais atvejais sekantas gali turėti begalinį susikirtimo taškų skaičių su funkcijos grafiku. Pavyzdžiui, sekantas, apibrėžtas lygtimi y=0, turi begalinį taškų skaičių, bendrų su sinusoidu.

Apibrėžimas.

Funkcijos y=f(x) grafiko liestinė taške vadinama tiese, einančia per tašką, su kurios atkarpa funkcijos grafikas praktiškai susilieja, kai x reikšmės yra savavališkai artimos .

Paaiškinkime šį apibrėžimą pavyzdžiu. Parodykime, kad tiesė y = x+1 yra funkcijos grafiko liestinė taške (1; 2). Norėdami tai padaryti, mes parodysime šių funkcijų grafikus, kai artėjame prie liesties taško (1; 2). Funkcijos grafikas rodomas juodai, liestinės linija rodoma kaip mėlyna linija, o liesties taškas rodomas kaip raudonas taškas.

Kiekvienas paskesnis piešinys yra padidinta ankstesnio brėžinio sritis (šios sritys paryškintos raudonais kvadratais).

Aiškiai matyti, kad netoli liesties taško funkcijos grafikas praktiškai susilieja su liestinės tiese y=x+1.

Dabar pereikime prie prasmingesnio liestinės apibrėžimo.

Norėdami tai padaryti, parodysime, kas atsitiks su sekantu AB, jei taškas B yra be galo arčiau taško A.

Žemiau pateiktame paveikslėlyje parodytas šis procesas.

Sekantas AB (rodomas kaip mėlyna punktyrinė linija) bus linkęs užimti tiesės liestinės padėtį (rodoma kaip mėlyna ištisinė linija), o sekanto pasvirimo kampas (rodomas kaip raudonas punktyrinis lankas) bus linkęs liestinės polinkio kampas (rodomas kaip raudonas vientisas lankas).

Apibrėžimas.

Taigi, funkcijos y=f(x) grafiko liestinė taške A yra sekanto AB ribinė padėtis ties .

Dabar galime pereiti prie funkcijos išvestinės taške geometrinės reikšmės apibūdinimo.

Funkcijos išvestinės taške geometrinė reikšmė.

Panagrinėkime funkcijos y=f(x) grafiko sekantą AB, kad taškai A ir B turėtų atitinkamai koordinates ir , kur yra argumento padidėjimas. Pažymėkime funkcijos padidėjimu. Pažymėkime viską ant piešinio:

Iš stačiojo trikampio ABC turime . Kadangi pagal apibrėžimą liestinė yra sekanto ribinė padėtis, tada .

Prisiminkime funkcijos išvestinės taške apibrėžimą: funkcijos y=f(x) išvestinė taške yra funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykio riba, pažymėta .

Vadinasi, , kur yra liestinės nuolydis.

Taigi funkcijos y=f(x) išvestinės buvimas taške yra lygiavertis funkcijos y=f(x) grafiko liestinės buvimui liestinės taške, ir liestinės nuolydis lygus išvestinės taško reikšmei, tai yra .

Darome išvadą: funkcijos išvestinės taške geometrinė reikšmė susideda iš funkcijos grafiko liestinės egzistavimo šiame taške.

Liestinės linijos lygtis.

Norint parašyti bet kurios tiesės lygtį plokštumoje, pakanka žinoti jos kampinį koeficientą ir tašką, per kurį ji eina. Liestinės linija eina per liesties tašką, o jos diferencijuojamos funkcijos kampinis koeficientas yra lygus išvestinės taško vertei. Tai yra, nuo taško galime paimti visus duomenis, kad užrašytume liestinės linijos lygtį.

Funkcijos y = f(x) grafiko liestinės taške lygtis atrodo kaip .

Darome prielaidą, kad yra baigtinė išvestinės reikšmė, kitu atveju liestinė yra tiesi arba vertikali (jei Ir ), arba neegzistuoja (jei ).

Priklausomai nuo kampinio koeficiento, liestinė gali būti lygiagreti abscisių ašiai (), lygiagreti ordinačių ašiai (šiuo atveju liestinės lygtis turės formą), padidėti () arba mažėti ().

Pats laikas pateikti keletą paaiškinimų pavyzdžių.

Pavyzdys.

Parašykite funkcijos grafiko liestinės lygtį taške (-1;-3) ir nustatyti pasvirimo kampą.

Sprendimas.

Funkcija apibrėžiama visiems realiesiems skaičiams (jei reikia, žr. straipsnį). Kadangi (-1;-3) yra liesties taškas, tada .

Surandame išvestinę (tam gali praversti straipsnio medžiaga, skirianti funkciją, išvestinės radimas) ir apskaičiuojame jos reikšmę taške:

Kadangi išvestinės reikšmė liestinės taške yra liestinės nuolydis, o ji lygi polinkio kampo liestine, tada .

Todėl liestinės polinkio kampas lygus , o liestinės linijos lygtis turi formą

Grafinė iliustracija.

Pradinės funkcijos grafikas rodomas juodai, liestinės linija rodoma kaip mėlyna linija, o liesties taškas rodomas kaip raudonas taškas. Paveikslėlis dešinėje yra padidintas plotas, pažymėtas raudonu taškiniu kvadratu paveikslėlyje kairėje.

Pavyzdys.

Sužinokite, ar yra funkcijos grafiko liestinė taške (1; 1), jei taip, tada sudarykite jos lygtį ir nustatykite jos pasvirimo kampą.

Sprendimas.

Funkcijos sritis yra visa realiųjų skaičių rinkinys.

Išvestinio radimas:

Kai išvestinė neapibrėžta, bet Ir todėl taške (1;1) yra vertikali liestinė, jos lygtis x = 1, o pasvirimo kampas lygus .

Grafinė iliustracija.

Pavyzdys.

Raskite visus funkcijos grafiko taškus, kuriuose:
a) liestinė neegzistuoja; b) liestinė lygiagreti x ašiai; c) liestinė lygiagreti tiesei.

Sprendimas.

Kaip visada, pradedame nuo funkcijos apibrėžimo srities. Mūsų pavyzdyje funkcija apibrėžta visoje realiųjų skaičių rinkinyje. Norėdami tai padaryti, išplėskime modulio ženklą, apsvarstykite du intervalus ir :

Išskirkime funkciją:

At x=-2 išvestinė neegzistuoja, nes vienpusės ribos šiuo metu nėra lygios:

Taigi, apskaičiavę funkcijos reikšmę ties x=-2, galime atsakyti į tašką a): funkcijos grafiko liestinė taške (-2;-2) neegzistuoja.

b) Liestinė lygiagreti x ašiai, jei jos nuolydis lygus nuliui (pasvirimo kampo liestinė lygi nuliui). Nes , tada turime rasti visas x reikšmes, kurioms esant funkcijos išvestinė išnyksta. Šios vertės bus liestinės taškų, kuriuose liestinė yra lygiagreti Ox ašiai, abscisės.

Kai išsprendžiame lygtį , o kada yra lygtis :

Belieka apskaičiuoti atitinkamas funkcijos reikšmes:

Štai kodėl, - reikiami funkcijos grafiko taškai.

Grafinė iliustracija.

Pradinės funkcijos grafikas pavaizduotas juoda linija raudonais taškais žymi rastus taškus, kuriuose liestinės yra lygiagrečios abscisių ašiai.

c) Jei dvi tiesės plokštumoje yra lygiagrečios, tai jų kampiniai koeficientai lygūs (taip parašyta straipsnyje). Remdamiesi šiuo teiginiu, turime surasti visus funkcijos grafiko taškus, kuriuose liestinės nuolydis yra lygus aštuonioms penktadalioms. Tai yra, turime išspręsti lygtį. Taigi, kai išsprendžiame lygtį , o kada yra lygtis .

Pirmosios lygties diskriminantas yra neigiamas, todėl neturi realių šaknų:

Antroji lygtis turi dvi realias šaknis:

Randame atitinkamas funkcijų reikšmes:

Taškuose funkcijos grafiko liestinės yra lygiagrečios tiesei.

Grafinė iliustracija.

Funkcijos grafikas rodomas juoda linija, raudona linija rodo tiesės grafiką, mėlynos linijos rodo funkcijos grafiko liestinės taškuose .

Trigonometrinėms funkcijoms dėl jų periodiškumo gali būti be galo daug liestinių tiesių, turinčių vienodą nuolydį (tokį patį nuolydį).

Pavyzdys.

Funkcijos grafike parašykite visų liestinių lygtis kurios yra statmenos tiesei.

Sprendimas.

Norėdami sukurti funkcijos grafiko liestinės lygtį, tereikia žinoti jos nuolydį ir liestinės taško koordinates.

Liečiamųjų kampinį koeficientą randame iš: statmenų tiesių kampų koeficientų sandauga yra lygi minus vienetui, tai yra. Kadangi pagal sąlygą statmenos tiesios linijos kampinis koeficientas yra lygus , Tada .

Pradėkime ieškoti liestinių taškų koordinates. Pirmiausia suraskime abscises, tada apskaičiuokime atitinkamas funkcijos reikšmes - tai bus liestinės taškų ordinatės.

Apibūdindami funkcijos išvestinės taške geometrinę reikšmę, atkreipėme dėmesį į tai. Iš šios lygybės randame liestinių taškų abscises.

Mes priėjome prie trigonometrinės lygties. Atkreipkite į tai dėmesį, nes vėliau jį naudosime skaičiuodami liestinių taškų ordinates. Mes tai išsprendžiame (jei turite kokių nors sunkumų, skaitykite skyrių trigonometrinių lygčių sprendimas):

Lietinės taškų abscisės rastos, apskaičiuokime atitinkamas ordinates (čia naudojame lygybę, į kurią prašėme atkreipti dėmesį tiesiai aukščiau):

Taigi visi sąlyčio taškai. Todėl reikalingos liestinės lygtys turi tokią formą:

Grafinė iliustracija.

Juodosios kreivės paveiksle pavaizduotas pradinės funkcijos grafikas atkarpoje [-10;10], mėlynos linijos vaizduoja liestinės linijas. Aiškiai matyti, kad jie yra statmenai raudonai linijai. Lietimo taškai pažymėti raudonais taškais.

Apskritimo liestinė, elipsė, hiperbolė, parabolė.

Iki šiol buvome užsiėmę y = f(x) formos vienreikšmių funkcijų grafikų liestinių lygčių paieška įvairiuose taškuose. Antrosios eilės kreivių kanoninės lygtys nėra vienareikšmės funkcijos. Bet mes galime pavaizduoti apskritimą, elipsę, hiperbolę ir parabolę derindami dvi vienareikšmes funkcijas, o po to galime sudaryti liestinės lygtis pagal gerai žinomą schemą.

Apskritimo liestinė.

Apskritimas su centru taške o spindulys R pateikiamas .

Parašykime šią lygybę kaip dviejų funkcijų sąjungą:

Čia pirmoji funkcija atitinka viršutinį puslankį, antroji - apatinį.

Taigi, norėdami sudaryti apskritimo liestinės lygtį taške, priklausančiame viršutiniam (arba apatiniam) puslankiui, randame funkcijos (arba) grafiko liestinės lygtį nurodytame taške.

Tai lengva parodyti apskritimo taškuose su koordinatėmis Ir liestinės yra lygiagrečios x ašiai ir yra pateiktos atitinkamai lygtimis ir (toliau esančiame paveikslėlyje jos pavaizduotos kaip mėlyni taškai ir mėlynos tiesios linijos), o taškuose Ir - yra lygiagrečios ordinačių ašiai ir turi atitinkamai lygtis ir (žemiau esančiame paveikslėlyje jos pažymėtos raudonais taškais ir raudonomis linijomis).

Elipsės liestinė.

Elipsė sucentruota taške su pusiau ašimis a ir b pateikiama lygtimi .

Elipsė, kaip ir apskritimas, gali būti apibrėžta sujungiant dvi funkcijas – viršutinę ir apatinę puselipsę:

Elipsės viršūnių liestinės yra lygiagrečios abscisių ašiai (pavaizduota kaip mėlynos tiesios linijos toliau esančiame paveikslėlyje) arba ordinačių ašiai (pavaizduota kaip raudonos tiesios linijos toliau esančiame paveikslėlyje).

Tai yra, viršutinę puselipsę suteikia funkcija o apatinis - .

Dabar galime naudoti standartinį algoritmą, kad sudarytume funkcijos grafiko liestinės taške lygtį.

Pirmoji liestinė taške:

Antroji liestinė taške :

Grafinė iliustracija.

Hiperbolės liestinė.

Hiperbolė sutelkta taške ir viršūnes Ir suteikia lygybė (nuotrauka apačioje kairėje) ir su viršūnėmis Ir - lygybė (nuotrauka apačioje dešinėje).

Kaip dviejų funkcijų derinys, hiperbolė gali būti pavaizduota kaip

arba .

Hiperbolės viršūnėse liestinės yra lygiagrečios Oy ašiai pirmuoju atveju ir lygiagrečios Ox ašiai antruoju atveju.

Taigi, norėdami rasti hiperbolės liestinės lygtį, išsiaiškiname, kuriai funkcijai priklauso liesties taškas, ir einame įprastu būdu.

Kyla logiškas klausimas: kaip nustatyti, kuriai funkcijai priklauso taškas. Norėdami atsakyti į jį, pakeičiame koordinates į kiekvieną lygtį ir matome, kuri iš lygybių virsta tapatybe. Pažvelkime į tai su pavyzdžiu.

Pavyzdys.

Parašykite hiperbolės liestinės lygtį taške.

Sprendimas.

Parašykime hiperbolę dviejų funkcijų forma:

Išsiaiškinkime, kuriai funkcijai priklauso liestinės taškas.

Todėl pirmosios funkcijos taškas nepriklauso šios funkcijos grafikui.

Todėl antrosios funkcijos taškas priklauso šios funkcijos grafikui.

Raskite liestinės kampinį koeficientą:

Taigi liestinės lygtis turi formą .

Grafinė iliustracija.

Parabolės liestinė.

Sukurti formos parabolės liestinės lygtį taške naudojame standartinę schemą, o liestinės lygtį užrašome kaip . Tokios parabolės grafiko liestinė viršūnėje yra lygiagreti Ox ašiai.

Parabolė Pirmiausia mes jį apibrėžiame sujungdami dvi funkcijas. Norėdami tai padaryti, išspręskime šią lygtį y:

Dabar išsiaiškiname, kuriai funkcijai priklauso liestinės taškas, ir tęsiame pagal standartinę schemą.

Tokios parabolės grafiko liestinė viršūnėje yra lygiagreti Oy ašiai.

Dėl antrosios funkcijos:

Prisilietimo taško gavimas .

Taigi norimos liestinės lygtis turi formą .

Tema. Darinys. Geometrinė ir mechaninė išvestinės reikšmė

Jei ši riba egzistuoja, sakoma, kad funkcija taške yra diferencijuojama. Funkcijos išvestinė žymima (2 formulė).

1. Geometrinė išvestinės reikšmė. Pažiūrėkime į funkcijos grafiką. Iš 1 pav. aišku, kad bet kuriems dviem funkcijos grafiko taškams A ir B galima parašyti 3 formulę). Jame yra sekanto AB pasvirimo kampas.

Taigi skirtumo santykis yra lygus sekanto nuolydžiui. Jei fiksuosite tašką A ir perkelsite tašką B link jo, tada jis mažėja be apribojimų ir artėja prie 0, o sekantas AB artėja prie liestinės AC. Todėl skirtumo santykio riba lygi liestinės nuolydžiui taške A. Tai leidžia daryti išvadą.

Funkcijos išvestinė taške yra šios funkcijos grafiko liestinės nuolydis tame taške. Tai geometrinė išvestinės reikšmė.

1. Tangento lygtis . Išveskime funkcijos grafiko liestinės lygtį taške. Bendruoju atveju tiesės su kampiniu koeficientu lygtis yra tokia: . Norėdami rasti b, pasinaudojame tuo, kad liestinė eina per tašką A: . Tai reiškia:. Pakeitę šią išraišką vietoj b, gauname liestinės lygtį (4 formulė).