Kūno, mesto kampu į horizontalę, judėjimas

Panagrinėkime kūno, mesto greičiu V 0, kurio vektorius nukreiptas kampu α į horizontą, judėjimą XOY plokštumoje, pastatydami kūną metimo momentu koordinačių pradinėje vietoje, kaip parodyta. 1 paveiksle.

Nesant pasipriešinimo jėgų, kūno, mesto kampu į horizontą, judėjimas gali būti laikomas ypatingu kreivinio judėjimo, veikiamo gravitacijos, atveju. Taikant 2-ąjį Niutono dėsnį

∑ F i
mes gauname
mg = ma,
		a = g
Pagreičio vektoriaus a projekcijos OX ir OU ašyse yra lygios:
			= −g
kur g = const yra		gravitacijos pagreitis,							kuri visada yra
nukreiptas vertikaliai žemyn		skaitinė reikšmė g = 9,8 m/s2;						= −g		nes įjungta operacinės stiprintuvo ašis

1 paveikslas nukreiptas į viršų, tuo atveju, kai OY ašis nukreipta žemyn, tada vektoriaus projekcija

2 a ant operacinės stiprintuvo ašies bus teigiamas(skaitydami problemų sąlygas, patys pasirinkite ašių kryptį, jei sąlygose tai nenurodyta).

Pagreičio vektoriaus a projekcijų reikšmės OX ir OU ašyse leidžia daryti

ši išvestis:

∙ kampu į horizontalę mestas kūnas vienu metu dalyvauja dviejuose judesiuose – vienodai horizontaliai ir tolygiai kintamuose išilgai

vertikalės.
Kūno greitis šiuo atveju
	V = Vx + Vy
Kūno greitis pradiniu laiko momentu (kūno metimo momentu)
V 0 = V 0 x			V 0 m.
Pradinio greičio vektoriaus projekcijos į OX ir OU ašis yra lygios
		Vcosα
V 0 m		V 0 sin α

Tolygiai kintamam judėjimui greičio ir poslinkio priklausomybės nuo laiko pateikiamos lygtimis:

V 0 + at

S 0 + V 0 t +

ir S 0 yra kūno greitis ir poslinkis pradiniu laiko momentu,

ir S t – kūno greitis ir poslinkis momentu t.

Vektorinės lygties (8) projekcijos į OX ir OU ašis yra lygios

V 0 x

Axt,

V ty = V 0 y + a y t

Konst

V 0 y - gt

Vektorinės lygties (9) projekcijos į OX ir OU ašis yra lygios

S ox + V ox t +

a y t 2

S 0 m

Voy t +

atsižvelgdami į lygybes (4), gauname

S 0 m

Voy t -

gt 2

kur yra Sox ir Soy

kūno koordinates

pradiniu laiko momentu,

ir Stx ir Sty -

kūno koordinatės laiko momentu t.

Jo judėjimo metu t (nuo metimo momento iki kritimo ant to paties

lygis) kūnas pakyla iki didžiausio aukščio hmax, nusileidžia nuo jo ir nuskrenda nuo metimo taško atstumu L (skrydžio nuotolis) – žr. 1 pav.

1) Kūno judėjimo laikas t galima rasti atsižvelgiant į kūno koordinačių Sy reikšmes

Soja = 0, Sty = 0,

Pakeitę Voy ir (14) reikšmes į antrąją sistemos (13) lygtį, gauname

2) Skrydžio nuotolis L galima rasti, atsižvelgiant į kūno koordinačių Sх in reikšmes

pradinis laikas ir momentas t (žr. 1 pav.)

Soх = 0, Stх = L,

Pakeitę Vox ir (17) reikšmes į pirmąją sistemos (13) lygtį, gauname

		L = V 0 cosα × t,
iš kur, atsižvelgdami į (16), gauname
L = Vcosα ×	2V sin α

3) Maksimalus kėlimo aukštis h maks galima rasti atsižvelgiant į vertę

kūno greitis V didžiausio kūno pakilimo taške

V 0 x

Nes šiuo metu V y

Naudojant antrąsias sistemų (11) ir (13) lygtis,

Voу vertė, taip pat faktas

kad didžiausio kūno pakilimo taške Sy = hmax gauname

0 = V 0 sin α - g × t pagal

gt sub2

V 0 sin α × t -

hmax

kur tpod - pakilimo laikas - judėjimo laikas iki didžiausio kūno pakėlimo aukščio.

Išsprendę šią sistemą gauname

t pagal =

V 0 sin α

sin 2 α

Vertybių (16) ir (22) palyginimas leidžia daryti išvadą

· judėjimo laikas iki didžiausio kūno pakėlimo aukščio (t pagal ) yra lygus kūno nusileidimo laikui (tп) iš šio aukščio ir yra lygus pusei viso kūno judėjimo laiko nuo metimo iki kritimo į tą patį lygį momento.

t pagal	Arb

Kompiuteriniu modeliu labai aiškiai ištirtas kūno, metamo greičiu V 0, kurio vektorius nukreiptas kampu α į horizontalę, judėjimo XOY plokštumoje tyrimas.

„Laisvas kūnų kritimas“ kompiuterinių modelių kolekcijoje „Atvira fizika“

PHYSICON įmonė. Šiame modelyje galite nustatyti skirtingas pradines sąlygas.

Pavyzdžiui, mūsų svarstomas atvejis turi būti nurodytas (komanda „Išvalyti“) su pradine sąlyga h = 0 ir pasirinkti V0 ir α. Komanda „Start“ parodys kūno judėjimą ir parodys judėjimo trajektoriją bei kūno greičio vektorių kryptį fiksuotais laiko momentais.

2 pav. Skyriuje kompiuterinio modelio dialogo langas „Laisvas kūnų kritimas“.

"Mechanika"; kūnas juda nuo pradžios ir krenta tame pačiame lygyje.

Jei problemos būklė skiriasi nuo mūsų nagrinėjamo atvejo, tai būtina

Norėdami išspręsti problemą, pasirinkdami ašių kryptį, padėkite kūną pradiniu momentu

laiko, pavaizduoti kūno trajektoriją iki kritimo taško, taigi

nustatant kūno koordinates pradiniu ir galutiniu laiko momentais. Tada

kaip sprendinio pagrindą naudokite (3), (5), (8) ir (9) lygtis ir aptartas aukščiau

problemos sprendimo algoritmas.

Panagrinėkime ypatingus atvejus.

6 1. Kūnas buvo išmestas dideliu greičiu V 0 , kurio vektorius nukreiptas kampuα iki

horizonto, iš aukščio h ir nukrito L atstumu nuo metimo taško. y į inicialą

Soja = h,

ir likusių koordinačių reikšmės bus parinktos taip pat, kaip ir mes.

3 pav. Skyriuje kompiuterinio modelio dialogo langas „Laisvas kūnų kritimas“.

"Mechanika"; kūnas juda iš taško h = 50m ir nukrenta iki nulinio lygio.

2. Kūnas buvo išmestas horizontaliai greičiu V 0 iš aukščio h ir nukrito L atstumu nuo metimo taško. Skirtumas nuo mūsų nagrinėjamo atvejo yra tas, kad kūno reikšmės koordinuoja S y pradiniu momentu taip pat bus nustatytas (25) lygtimi,

ir likusių koordinačių reikšmės bus parinktos taip pat, kaip ir mes. Bet šiuo atveju pradinis kūno greitis projekcijoje į OU ašį lygus nuliui (nes α = 0), t.y.

pradinio greičio vektoriaus projekcijos į OX ir OU ašis yra lygios

V 0 m

4 pav. Skyriuje kompiuterinio modelio dialogo langas „Laisvas kūnų kritimas“.

"Mechanika"; horizontaliai mestas kūnas juda iš taško h = 50m ir nukrenta iki nulinio lygio.

Jei kūnas metamas kampu į horizontą, tai skrendant jį veikia gravitacijos jėga ir oro pasipriešinimo jėga. Jei nepaisoma pasipriešinimo jėgos, tada lieka vienintelė jėga yra gravitacija. Todėl dėl 2-ojo Niutono dėsnio kūnas juda pagreičiu, lygiu gravitacijos pagreičiui; pagreičio projekcijos į koordinačių ašis ax = 0, ay = - g.

1 pav. Kūno, mesto kampu į horizontalę, kinematinės charakteristikos

Bet koks sudėtingas materialaus taško judėjimas gali būti pavaizduotas kaip nepriklausomų judesių išilgai koordinačių ašių superpozicija, o skirtingų ašių kryptimi judėjimo tipas gali skirtis. Mūsų atveju skraidančio kūno judėjimas gali būti pavaizduotas kaip dviejų nepriklausomų judesių superpozicija: tolygus judėjimas horizontalia ašimi (X ašis) ir tolygiai pagreitintas judėjimas išilgai vertikalios ašies (Y ašis) (1 pav.) .

Todėl kūno greičio projekcijos laikui bėgant keičiasi taip:

kur $v_0$ yra pradinis greitis, $(\mathbf \alpha )$ yra metimo kampas.

Pasirinkus pradinę vietą, pradinės koordinatės (1 pav.) yra $x_0=y_0=0$. Tada gauname:

(1)

Išanalizuokime formules (1). Nustatykime mesto kūno judėjimo laiką. Norėdami tai padaryti, nustatykime y koordinatę lygią nuliui, nes tūpimo momentu kūno aukštis lygus nuliui. Iš čia gauname skrydžio laiką:

Antroji laiko reikšmė, kai aukštis lygus nuliui, yra nulis, tai atitinka metimo momentą, t.y. ši vertė turi ir fizinę reikšmę.

Skrydžio diapazoną gauname iš pirmosios formulės (1). Skrydžio nuotolis – tai x koordinatės reikšmė skrydžio pabaigoje, t.y. laiku, lygus $t_0$. Pakeitę reikšmę (2) į pirmąją formulę (1), gauname:

Iš šios formulės matyti, kad didžiausias skrydžio nuotolis pasiekiamas 45 laipsnių metimo kampu.

Maksimalų mesto kūno kėlimo aukštį galima gauti iš antrosios formulės (1). Norėdami tai padaryti, į šią formulę turite pakeisti laiko reikšmę, lygią pusei skrydžio laiko (2), nes Didžiausias skrydžio aukštis yra trajektorijos viduryje. Atlikę skaičiavimus gauname

Iš (1) lygčių galima gauti kūno trajektorijos lygtį, t.y. lygtis, susiejanti kūno x ir y koordinates judant. Norėdami tai padaryti, turite išreikšti laiką nuo pirmosios (1) lygties:

ir pakeiskite ją į antrąją lygtį. Tada gauname:

Ši lygtis yra judėjimo trajektorijos lygtis. Galima pastebėti, kad tai yra parabolės lygtis su šakomis žemyn, kaip rodo ženklas „-“ prieš kvadratinį žodį. Reikia turėti omenyje, kad metimo kampas $\alpha $ ir jo funkcijos čia yra tiesiog konstantos, t.y. pastovūs skaičiai.

Kūnas metamas v0 greičiu kampu $(\mathbf \alpha )$ į horizontą. Skrydžio laikas $t = 2 s$. Iki kokio aukščio Hmax pakils kūnas?

$$t_B = 2 s$$ $$H_max – ?$$

Kūno judėjimo dėsnis turi tokią formą:

$$\left\( \begin(masyvas)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(masyvas) \right.$ $

Pradinis greičio vektorius sudaro kampą $(\mathbf \alpha )$ su OX ašimi. Vadinasi,

\ \ \

Akmuo metamas iš kalno viršūnės kampu = 30$()^\circ$ į horizontą pradiniu greičiu $v_0 = 6 m/s$. Pasvirusios plokštumos kampas = 30$()^\circ$. Kokiu atstumu nuo metimo taško nusileis akmuo?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S – ?$$

Koordinačių pradžią pastatykime metimo taške, OX – išilgai pasvirusios plokštumos žemyn, OY – statmenai pasvirusiajai plokštumai į viršų. Kinematinės judėjimo charakteristikos:

Judėjimo dėsnis:

$$\left\( \begin(masyvas)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(masyvas) \right.$$ \

Pakeitę gautą reikšmę $t_В$, randame $S$:

Žemiau pateikiamos problemų sąlygos ir nuskaityti sprendimai. Jei jums reikia išspręsti problemą šia tema, galite rasti panašią sąlygą čia ir išspręsti savo problemą pagal analogiją. Puslapio įkėlimas gali šiek tiek užtrukti dėl didelio vaizdų skaičiaus. Jei jums reikia fizikos problemų sprendimo ar pagalbos internetu, susisiekite su mumis, mielai padėsime.

Šių uždavinių sprendimo principas – laisvai krintančio kūno greitį išskaidyti į dvi dedamąsias – horizontalią ir vertikalią. Greičio horizontalioji dedamoji pastovi, vertikalus judėjimas vyksta laisvojo kritimo pagreičiu g=9,8 m/s 2 . Galima taikyti ir mechaninės energijos tvermės dėsnį, pagal kurį kūno potencialinės ir kinetinės energijos suma šiuo atveju yra pastovi.

Materialus taškas metamas kampu į horizontą pradiniu 15 m/s greičiu. Pradinė kinetinė energija yra 3 kartus didesnė už taško, esančio viršutiniame trajektorijos taške, kinetinę energiją. Kaip aukštai pakilo taškas?

Kūnas metamas 40 laipsnių kampu į horizontalę pradiniu 10 m/s greičiu. Raskite atstumą, kuriuo kūnas nuskris prieš krisdamas, pakilimo aukštį viršutiniame trajektorijos taške ir skrydžio laiką.

Kūnas numetamas iš H aukščio bokšto α kampu į horizontalę pradiniu greičiu v. Raskite atstumą nuo bokšto iki vietos, kur nukrito kūnas.

Nuo Žemės paviršiaus 30 laipsnių kampu horizontalės atžvilgiu išmetamas 0,5 kg masės kūnas, kurio pradinis greitis yra 10 m/s. Raskite kūno potencialią ir kinetinę energiją po 0,4 s.

Materialus taškas metamas aukštyn nuo Žemės paviršiaus kampu į horizontą pradiniu 10 m/s greičiu. Nustatykite taško greitį 3 m aukštyje.

Kūnas yra išmestas aukštyn nuo Žemės paviršiaus 60 laipsnių kampu pradiniu 10 m/s greičiu. Raskite atstumą iki smūgio taško, kūno greitį smūgio taške ir skrydžio laiką.

Kūnas metamas aukštyn kampu horizontaliai pradiniu 20 m/s greičiu. Atstumas iki kritimo taško yra 4 kartus didesnis už maksimalų kėlimo aukštį. Raskite kampą, kuriuo mestas kūnas.

Kūnas metamas iš 5 m aukščio 30 laipsnių kampu į horizontalę pradiniu 22 m/s greičiu. Raskite kūno skrydžio diapazoną ir kūno skrydžio laiką.

Kūnas nuo Žemės paviršiaus metamas kampu į horizontą pradiniu 30 m/s greičiu. Raskite kūno tangentinį ir normalųjį pagreičius 1s po metimo.

Nuo Zesli paviršiaus 30 laipsnių kampu horizontalės atžvilgiu metamas kūnas pradiniu 14,7 m/s greičiu. Raskite kūno tangentinį ir normalųjį pagreitį praėjus 1,25 s po metimo.

Kūnas metamas 60 laipsnių kampu į horizontalę pradiniu 20 m/s greičiu. Po kiek laiko kampas tarp greičio ir horizonto taps 45 laipsnių?

Mestas kamuolys sporto salėje kampu į horizontą,pradiniu 20 m/s greičiu, viršutiniame trajektorijos taške palietė lubas 8 m aukštyje ir nukrito tam tikru atstumu nuo metimo vietos. Raskite šį atstumą ir kampą, kuriuo mestas kūnas.

Nuo Žemės paviršiaus kampu į horizontą išmestas kūnas nukrito po 2,2 s. Raskite maksimalų kūno kėlimo aukštį.

Akmuo metamas 30 laipsnių kampu į horizontalę. Akmuo tam tikrą aukštį pasiekė du kartus – po 1 s ir 3 s po metimo. Raskite šį aukštį ir pradinį akmens greitį.

Akmuo metamas 30 laipsnių kampu į horizontalę pradiniu 10 m/s greičiu. Raskite atstumą nuo metimo taško iki akmens po 4 s.

Sviedinys iššaunamas tuo metu, kai lėktuvas skrenda virš patrankos, kampu į horizontą pradiniu 500 m/s greičiu. Sviedinys pataikė į lėktuvą 3,5 km aukštyje praėjus 10 sekundžių po paleidimo. Koks lėktuvo greitis?

5 kg masės patrankos sviedinys iš Žemės paviršiaus išmetamas 60 laipsnių kampu į horizontalę. Svoriui pagreitinti sunaudojama 500 J energija. Nustatykite skrydžio diapazoną ir skrydžio laiką.

Kūnas metamas žemyn iš 100 m aukščio 30 laipsnių kampu į horizontalę pradiniu 5 m/s greičiu. Raskite kūno skrydžio diapazoną.

200 g masės kūnas, išmestas nuo Žemės paviršiaus kampu į horizontą, po 1,2 s nukrito 5 m atstumu. Raskite kūno mėtymo darbą.

Kas yra laisvas kritimas? Tai kūnų kritimas į Žemę, nesant oro pasipriešinimo. Kitaip tariant, kritimas į tuštumą. Žinoma, oro pasipriešinimo nebuvimas yra vakuumas, kurio normaliomis sąlygomis Žemėje nėra. Todėl mes neatsižvelgsime į oro pasipriešinimo jėgą, laikydami ją tokia maža, kad ją galima nepaisyti.

Gravitacijos pagreitis

Atlikdamas savo garsiuosius eksperimentus Pizos bokšte, Galilėjus Galilėjus išsiaiškino, kad visi kūnai, nepaisant jų masės, į Žemę krenta vienodai. Tai yra, visų kūnų gravitacijos pagreitis yra vienodas. Pasak legendos, mokslininkas tada iš bokšto numetė skirtingos masės kamuoliukus.

Gravitacijos pagreitis

Gravitacijos pagreitis – tai pagreitis, kuriuo visi kūnai krenta į Žemę.

Gravitacijos pagreitis yra maždaug 9,81 m s 2 ir žymimas raide g. Kartais, kai tikslumas iš esmės nėra svarbus, gravitacijos pagreitis suapvalinamas iki 10 m s 2.

Žemė nėra tobula sfera, o skirtinguose žemės paviršiaus taškuose, priklausomai nuo koordinačių ir aukščio virš jūros lygio, g reikšmė skiriasi. Taigi didžiausias gravitacijos pagreitis yra ties ašigaliais (≈ 9,83 m s 2), o mažiausias – ties pusiauju (≈ 9,78 m s 2).

Laisvo kritimo kūnas

Pažvelkime į paprastą laisvojo kritimo pavyzdį. Tegul koks nors kūnas nukrenta iš aukščio h su nuliniu pradiniu greičiu. Tarkime, pakėlėme pianiną į aukštį h ir ramiai paleidome.

Laisvas kritimas yra tiesinis judėjimas su nuolatiniu pagreičiu. Nukreipkime koordinačių ašį iš pradinės kūno padėties taško į Žemę. Naudodami kinematikos formules tiesiam tolygiai pagreitintam judėjimui, galime parašyti:

h = v 0 + g t 2 2 .

Kadangi pradinis greitis lygus nuliui, perrašome:

Iš čia randame kūno kritimo iš aukščio h laiko išraišką:

Atsižvelgdami į tai, kad v = g t, randame kūno greitį kritimo momentu, tai yra didžiausią greitį:

v = 2 h g · g = 2 h g .

Panašiai galime apsvarstyti ir kūno, mesto vertikaliai aukštyn, judėjimą tam tikru pradiniu greičiu. Pavyzdžiui, mes metame kamuolį į viršų.

Tegul koordinačių ašis yra nukreipta vertikaliai aukštyn nuo kūno metimo taško. Šį kartą kūnas juda vienodai lėtai, prarasdamas greitį. Aukščiausiame taške kūno greitis lygus nuliui. Naudodami kinematikos formules galime parašyti:

Pakeitę v = 0, randame laiką, per kurį kūnas pakils iki didžiausio aukščio:

Kritimo laikas sutampa su pakilimo laiku, o kūnas grįš į Žemę po t = 2 v 0 g.

Didžiausias vertikaliai mesto kūno kėlimo aukštis:

Pažiūrėkime į paveikslėlį žemiau. Tai rodo kūno greičių grafikus trimis judėjimo atvejais su pagreičiu a = - g. Panagrinėkime kiekvieną iš jų, prieš tai išsiaiškinę, kad šiame pavyzdyje visi skaičiai yra suapvalinti, o laisvojo kritimo pagreitis laikomas 10 m s 2.

Pirmasis grafikas yra kūnas, krintantis iš tam tikro aukščio be pradinio greičio. Kritimo laikas tp = 1 s. Iš formulių ir iš grafiko nesunku pastebėti, kad aukštis, iš kurio nukrito kūnas, yra h = 5 m.

Antrasis grafikas yra kūno, išmesto vertikaliai aukštyn, judėjimas pradiniu greičiu v 0 = 10 m s. Maksimalus kėlimo aukštis h = 5 m. Kilimo laikas ir kritimo laikas t p = 1 s.

Trečiasis grafikas yra pirmosios tęsinys. Krintantis kūnas atsimuša į paviršių ir jo greitis smarkiai pakeičia ženklą į priešingą. Tolesnis kūno judėjimas gali būti svarstomas pagal antrąjį grafiką.

Kūno laisvo kritimo problema glaudžiai susijusi su tam tikru kampu į horizontą mesto kūno judėjimo problema. Taigi judėjimas paraboline trajektorija gali būti pavaizduotas kaip dviejų nepriklausomų judesių suma vertikalios ir horizontalios ašių atžvilgiu.

Išilgai O Y ašies kūnas juda tolygiai su pagreičiu g, pradinis šio judėjimo greitis v 0 y. Judėjimas išilgai O X ašies yra vienodas ir tiesus, pradinis greitis v 0 x.

Judėjimo išilgai O X ašies sąlygos:

x 0 = 0; v 0 x = v 0 cos α ; a x = 0.

Judėjimo išilgai O Y ašies sąlygos:

y 0 = 0; v 0 y = v 0 sin α ; a y = - g .

Pateikiame kūno, mesto kampu į horizontalę, judėjimo formules.

Kūno skrydžio laikas:

t = 2 v 0 sin α g .

Kūno skrydžio diapazonas:

L = v 0 2 sin 2 α g .

Didžiausias skrydžio nuotolis pasiekiamas kampu α = 45°.

L m a x = v 0 2 g .

Maksimalus kėlimo aukštis:

h = v 0 2 sin 2 α 2 g .

Atkreipkite dėmesį, kad realiomis sąlygomis kampu į horizontą išmesto kūno judėjimas dėl oro ir vėjo pasipriešinimo gali vykti kitokia nei paraboline trajektorija. Erdvėje išmetamų kūnų judėjimo tyrimas yra ypatingas mokslas – balistika.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Atnaujinta:

Naudodamiesi keliais pavyzdžiais (kuriuos iš pradžių, kaip įprastai, išsprendžiau otvet.mail.ru), apsvarstykite elementarios balistikos problemų klasę: kūno, paleidžiamo kampu į horizontą tam tikru pradiniu greičiu, skrydis, neatsižvelgiant į atsižvelkite į oro pasipriešinimą ir žemės paviršiaus kreivumą (ty kryptį Laikome, kad laisvojo kritimo pagreičio vektorius g išlieka nepakitęs).

1 užduotis. Kūno skrydžio nuotolis lygus jo skrydžio aukščiui virš Žemės paviršiaus. Kokiu kampu mestas kūnas? (kažkodėl kai kurie šaltiniai pateikia neteisingą atsakymą – 63 laipsniai).

Skrydžio laiką pažymėkime 2*t (tada per t kūnas pakyla aukštyn, o per kitą intervalą t leidžiasi žemyn). Tegu greičio horizontalioji dedamoji yra V1, o vertikalioji – V2. Tada skrydžio nuotolis S = V1*2*t. Skrydžio aukštis H = g*t*t/2 = V2*t/2. Mes lygiuojamės
S=H
V1*2*t = V2*t/2
V2 / V1 = 4
Vertikalaus ir horizontalaus greičio santykis yra norimo kampo α liestinė, nuo kurios α = arctan(4) = 76 laipsniai.

2 užduotis. Kūnas iš Žemės paviršiaus išmestas greičiu V0 kampu α į horizontą. Raskite kūno trajektorijos kreivumo spindulį: a) judesio pradžioje; b) viršutiniame trajektorijos taške.

Abiem atvejais kreivinio judėjimo šaltinis yra gravitacija, tai yra laisvojo kritimo pagreitis g, nukreiptas vertikaliai žemyn. Čia tereikia rasti projekciją g, statmeną srovės greičiui V, ir prilyginti ją įcentriniam pagreičiui V^2/R, kur R yra norimas kreivio spindulys.

Kaip matyti iš paveikslo, norėdami pradėti judesį, galime parašyti
gn = g*cos(a) = V0^2/R
iš kur reikalingas spindulys R = V0^2/(g*cos(a))

Turime viršutinį trajektorijos tašką (žr. pav.).
g = (V0*cos(a))^2/R
kur R = (V0*cos(a))^2/g

3 užduotis. (variacija pagal temą) Sviedinys judėjo horizontaliai aukštyje h ir sprogo į dvi vienodas skeveldras, iš kurių viena nukrito ant žemės momentu t1 po sprogimo. Po kiek laiko nukris antrasis fragmentas?

Kad ir kokį vertikalųjį greitį V įgaus pirmasis fragmentas, antrasis įgis tokį patį vertikalųjį greitį, bet nukreiptą priešinga kryptimi (tai išplaukia iš tos pačios fragmentų masės ir impulso išsaugojimo). Be to, V yra nukreiptas žemyn, nes kitaip antrasis fragmentas nuskris į žemę PRIEŠ pirmąjį.

h = V*t1+g*t1^2/2
V = (h-g*t1^2/2)/t1
Antrasis skris aukštyn, praras vertikalųjį greitį po laiko V/g, o po to paties laiko nuskris žemyn iki pradinio aukščio h, o jo vėlavimo laikas t2, palyginti su pirmuoju fragmentu (ne skrydžio laikas nuo momento sprogimo) bus
t2 = 2*(V/g) = 2h/(g*t1)-t1

atnaujinta 2018-06-03

Citata:
Akmuo metamas 10 m/s greičiu 60° kampu į horizontalę. Nustatykite kūno tangentinį ir normalųjį pagreitį praėjus 1,0 s nuo judėjimo pradžios, trajektorijos kreivumo spindulį šiuo laiko momentu, skrydžio trukmę ir atstumą. Kokį kampą sudaro bendras pagreičio vektorius su greičio vektoriumi, kai t = 1,0 s

Pradinis horizontalus greitis Vg = V*cos(60°) = 10*0,5 = 5 m/s, ir viso skrydžio metu nekinta. Pradinis vertikalus greitis Vв = V*sin(60°) = 8,66 m/s. Skrydžio laikas iki aukščiausio taško t1 = Vв/g = 8,66/9,8 = 0,884 sek., vadinasi, viso skrydžio trukmė yra 2*t1 = 1,767 sek. Per šį laiką kūnas skris horizontaliai Vg*2*t1 = 8,84 m (skrydžio nuotolis).

Po 1 sekundės vertikalus greitis bus 8,66 - 9,8*1 = -1,14 m/s (nukreiptas žemyn). Tai reiškia, kad greičio kampas su horizontu bus arctan (1,14/5) = 12,8° (žemyn). Kadangi bendras pagreitis čia yra vienintelis ir pastovus (tai yra laisvojo kritimo pagreitis g, nukreiptas vertikaliai žemyn), tada kampas tarp kūno greičio ir gšiuo metu bus 90-12,8 = 77,2°.

Tangentinis pagreitis yra projekcija gį greičio vektoriaus kryptį, o tai reiškia, kad g*sin(12,8) = 2,2 m/s2. Normalus pagreitis yra projekcija, statmena greičio vektoriui g, jis lygus g*cos(12.8) = 9.56 m/s2. O kadangi pastarasis yra susijęs su greičiu ir kreivumo spinduliu išraiška V^2/R, tai turime 9,56 = (5*5 + 1,14*1,14)/R, iš kur norimas spindulys R = 2,75 m.