Tikėtina vertė. Matematinis lūkestis diskrečiųjų atsitiktinių dydžių X, atsižvelgiant į baigtinį skaičių reikšmių Xi su tikimybėmis Ri, suma vadinama:

Matematinis lūkestis nuolatinis atsitiktinis dydis X vadinamas jo vertybių sandaugos integralu X apie tikimybių pasiskirstymo tankį f(x):

(6b)

Netinkamas integralas (6 b) laikomas absoliučiai konvergenciniu (kitaip jie sako, kad matematinis lūkestis M(X) neegzistuoja). Matematinis lūkestis apibūdina Vidutinė vertė atsitiktinis kintamasis X. Jo matmuo sutampa su atsitiktinio dydžio matmeniu.

Matematinės lūkesčių savybės:

Sklaida. Dispersija atsitiktinis kintamasis X numeris vadinamas:

Skirtumas yra sklaidos charakteristika atsitiktinių kintamųjų reikšmės X palyginti su jo vidutine verte M(X). Dispersijos matmuo yra lygus atsitiktinio dydžio kvadratiniam matmeniui. Remdamiesi dispersijos (8) ir matematinių lūkesčių (5) apibrėžimais diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui ir (6) nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui, gauname panašias dispersijos išraiškas:

(9)

Čia m = M(X).

Dispersijos savybės:

Standartinis nuokrypis:

(11)

Kadangi standartinis nuokrypis turi tą patį matmenį kaip ir atsitiktinis kintamasis, jis dažniau naudojamas kaip dispersijos, o ne dispersijos matas.

Paskirstymo akimirkos. Matematinio lūkesčio ir sklaidos sąvokos yra ypatingi daugiau atvejai bendra koncepcija dėl skaitinių charakteristikų atsitiktiniai dydžiai – paskirstymo momentai. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo momentai pateikiami kaip kai kurių paprastų atsitiktinio dydžio funkcijų matematiniai lūkesčiai. Taigi, užsakymo momentas k taško atžvilgiu X 0 vadinamas matematiniu lūkesčiu M(X–X 0 )k. Akimirkos apie kilmę X= 0 yra vadinami pradines akimirkas ir yra paskirti:

(12)

Pirmosios eilės pradinis momentas yra nagrinėjamo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo centras:

(13)

Akimirkos apie paskirstymo centrą X= m yra vadinami centriniai taškai ir yra paskirti:

(14)

Iš (7) išplaukia, kad pirmosios eilės centrinis momentas yra visada lygus nuliui:

Centriniai momentai nepriklauso nuo atsitiktinio dydžio reikšmių kilmės, nes pasislinkus pastovia verte SU jo pasiskirstymo centras pasislenka ta pačia reikšme SU, o nuokrypis nuo centro nesikeičia: X – m = (X – SU) – (m – SU).
Dabar tai aišku dispersija- Tai antros eilės centrinis momentas:

Asimetrija. Trečios eilės centrinis momentas:

(17)

tarnauja vertinimui pasiskirstymo asimetrija. Jei skirstinys yra simetriškas taško atžvilgiu X= m, tada trečios eilės centrinis momentas bus lygus nuliui (kaip ir visi centriniai nelyginių eilių momentai). Todėl, jei trečios eilės centrinis momentas skiriasi nuo nulio, pasiskirstymas negali būti simetriškas. Asimetrijos dydis vertinamas naudojant bedimensį asimetrijos koeficientas:

(18)

Asimetrijos koeficiento ženklas (18) rodo dešiniąją arba kairiąją asimetriją (2 pav.).

Ryžiai. 2. Pasiskirstymo asimetrijos tipai.

Perteklius. Ketvirtosios eilės centrinis momentas:

(19)

pasitarnauja įvertinti vadinamąjį perteklius, kuris nustato pasiskirstymo kreivės statumo (smailumo) laipsnį šalia pasiskirstymo centro kreivės atžvilgiu normalus skirstinys. Kadangi normaliam pasiskirstymui, kurtozės vertė yra:

(20)

Fig. 3 parodyta pasiskirstymo kreivių su skirtingos reikšmės perteklius. Normaliam pasiskirstymui E= 0. Kreivės, kurios yra smailesnės nei įprasta, turi teigiamą kreivę, o tos, kurių viršūnė yra plokščia, turi neigiamą.

Ryžiai. 3. Pasiskirstymo kreivės su įvairaus laipsnio vėsumas (perteklius).

Aukštesnio lygio momentai inžinerinėse programose matematinė statistika paprastai nenaudojamas.

Mada diskretus atsitiktinis kintamasis yra labiausiai tikėtina jo reikšmė. Mada tęstinis atsitiktinis dydis yra jo reikšmė, kuriai esant tikimybės tankis yra didžiausias (2 pav.). Jei pasiskirstymo kreivė turi vieną maksimumą, tada skirstinys vadinamas vienarūšis. Jei pasiskirstymo kreivė turi daugiau nei vieną maksimumą, tada skirstinys vadinamas multimodalinis. Kartais yra skirstiniai, kurių kreivės turi ne maksimumą, o minimumą. Tokie skirstiniai vadinami antimodalinis. Bendruoju atveju atsitiktinio dydžio režimas ir matematinis lūkestis nesutampa. Ypatingu atveju, už modalinis, t.y. turintis modą, simetrišką pasiskirstymą ir su sąlyga, kad yra matematinis lūkestis, pastarasis sutampa su skirstinio moda ir simetrijos centru.

Mediana atsitiktinis kintamasis X- tai yra jo prasmė Meh, kurioms galioja lygybė: t.y. lygiai taip pat tikėtina, kad atsitiktinis dydis X bus mažiau ar daugiau Meh. Geometriškai mediana yra taško, kuriame plotas po pasiskirstymo kreive yra padalintas per pusę, abscisė (2 pav.). Simetriško modalinio pasiskirstymo atveju mediana, režimas ir matematinis lūkestis yra vienodi.

Sprendžiant daugelį praktines problemas Ne visada būtina visiškai apibūdinti atsitiktinį kintamąjį, t.y. nustatyti pasiskirstymo dėsnius. Be to, sukurti funkciją arba skirstinių seriją diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui ir tankį nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui yra sudėtinga ir nereikalinga.

Kartais pakanka nurodyti atskirus skaitinius parametrus, kurie iš dalies apibūdina skirstinio ypatybes. Būtina žinoti tam tikrą kiekvieno atsitiktinio dydžio, aplink kurį sugrupuojama jo galima reikšmė, vidutinę reikšmę arba šių reikšmių išsibarstymo laipsnį, palyginti su vidurkiu, ir pan.

Reikšmingiausių skirstinio požymių charakteristikos vadinamos skaitinėmis charakteristikomis atsitiktinis kintamasis. Jų pagalba lengviau išspręsti daugelį tikimybinių problemų, neapibrėžiant joms paskirstymo dėsnių.

Svarbiausia atsitiktinio dydžio padėties skaičių ašyje charakteristika yra tikėtina vertė M[X]= a, kuris kartais vadinamas atsitiktinio dydžio vidurkiu. Dėl diskrečiųjų atsitiktinių dydžių X su galimas vertes x 1 , x 2 , … , x n ir tikimybės p 1 , p 2 ,… , p n ji nustatoma pagal formulę

Atsižvelgiant į tai, kad =1, galime rašyti

Taigi, matematinis lūkestis Diskretusis atsitiktinis dydis yra jo galimų reikšmių ir jų tikimybių sandaugų suma. Atliekant daugybę eksperimentų, atsitiktinio dydžio stebimų verčių aritmetinis vidurkis artėja prie matematinio lūkesčio.

Dėl nuolatinis atsitiktinis dydis X matematinį lūkestį lemia ne suma, o integralas

Kur f(x) - kiekio pasiskirstymo tankis X.

Matematinis lūkestis neegzistuoja visiems atsitiktiniams dydžiams. Kai kurių iš jų suma arba integralas skiriasi, todėl nėra jokių matematinių lūkesčių. Tokiais atvejais, siekiant tikslumo, galimų atsitiktinio dydžio pokyčių diapazonas turėtų būti apribotas X, kurių suma arba integralas susilies.

Praktikoje taip pat naudojamos tokios atsitiktinio dydžio padėties charakteristikos kaip režimas ir mediana.

Atsitiktinio kintamojo režimasvadinama labiausiai tikėtina jo vertė. Apskritai režimas ir matematinis lūkestis nesutampa.

Atsitiktinio dydžio medianaX yra jo reikšmė, kurios atžvilgiu yra vienodai tikėtina, kad bus gauta didesnė ar mažesnė atsitiktinio kintamojo reikšmė, ty tai yra taško, kuriame plotas, ribojamas pasiskirstymo kreivės, padalintas per pusę, abscisė. Simetriškam pasiskirstymui visos trys charakteristikos yra vienodos.

Be matematinio lūkesčio, režimo ir medianos, tikimybių teorijoje naudojamos ir kitos charakteristikos, kurių kiekviena apibūdina konkrečią skirstinio savybę. Pavyzdžiui, skaitinės charakteristikos, apibūdinančios atsitiktinio dydžio sklaidą, t. Jie reikšmingai papildo atsitiktinį kintamąjį, nes praktikoje dažnai pasitaiko atsitiktinių dydžių su vienodais matematiniais lūkesčiais, bet skirtingais pasiskirstymais. Nustatydami sklaidos charakteristikas, naudokite skirtumą tarp atsitiktinio dydžio X ir jo matematinis lūkestis, t.y.

Kur A = M[X] - tikėtina vertė.

Šis skirtumas vadinamas centruotas atsitiktinis kintamasis, atitinkamą vertę X, ir yra paskirtas :

Atsitiktinio dydžio dispersija yra matematinis reikšmės kvadratinio nuokrypio nuo jos matematinio lūkesčio lūkestis, t.y.:

D[ X]=M[( X-a) 2 ] arba

D[ X]=M[ 2 ].

Atsitiktinio dydžio dispersija yra patogi atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidos ir sklaidos aplink jo matematinius lūkesčius charakteristika. Tačiau jis nėra vizualus, nes turi atsitiktinio dydžio kvadrato matmenį.

Norint vizualiai apibūdinti sklaidą, patogiau naudoti reikšmę, kurios matmuo sutampa su atsitiktinio dydžio matmeniu. Šis kiekis yra standartinis nuokrypis atsitiktinis kintamasis, kuris yra teigiamas Kvadratinė šaknis nuo jo dispersijos.

Tikėtis, režimas, mediana, dispersija, standartinis nuokrypis – dažniausiai naudojamos atsitiktinių dydžių skaitmeninės charakteristikos. Sprendžiant praktinius uždavinius, kai neįmanoma nustatyti skirstinio dėsnio, apytikslis atsitiktinio dydžio apibūdinimas yra jo skaitinės charakteristikos, išreiškiančios kokią nors skirstinio savybę.

Be pagrindinių centro pasiskirstymo (matematinių lūkesčių) ir sklaidos (dispersijos) charakteristikų, dažnai reikia apibūdinti ir kitas. svarbias savybes paskirstymai - simetrija Ir aštrumas, kuriuos galima pavaizduoti naudojant paskirstymo momentus.

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymas yra visiškai nurodytas, jei žinomi visi jo momentai. Tačiau daugelį skirstinių galima visiškai apibūdinti naudojant pirmuosius keturis momentus, kurie yra ne tik parametrai, apibūdinantys skirstinius, bet ir svarbūs parenkant empirinius skirstinius, t. y. apskaičiuojant momentų skaitines reikšmes tam tikram statistiniam rodikliui. serijas ir naudodami specialius grafikus galite nustatyti paskirstymo dėsnį.

Tikimybių teorijoje išskiriami dviejų tipų momentai: pradinis ir centrinis.

Pradinis k-osios užsakymo momentas atsitiktinis kintamasis T vadinamas matematiniu dydžio lūkesčiu Xk, t.y.

Vadinasi, diskrečiam atsitiktiniam dydžiui jis išreiškiamas suma

o tęstiniam – integralu

Tarp pradinių atsitiktinio dydžio momentų ypač svarbus yra pirmosios eilės momentas, kuris yra matematinis lūkestis. Didesnės eilės pradiniai momentai pirmiausia naudojami centriniams momentams apskaičiuoti.

Centrinis k-osios eilės momentas Atsitiktinis kintamasis yra matematinė vertės ( X-M [X])k

Kur A = M[X].

Diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams jis išreiškiamas suma

A tęstiniam – integralu

Tarp pagrindinių atsitiktinio dydžio momentų ypač svarbu antros eilės centrinis momentas, kuri parodo atsitiktinio dydžio dispersiją.

Pirmosios eilės centrinis momentas visada yra nulis.

Trečias starto momentas apibūdina skirstinio asimetriją (kreipumą) ir, remiantis diskrečiųjų ir nuolatinių atsitiktinių dydžių stebėjimų rezultatais, yra nustatomas atitinkamomis išraiškomis:

Kadangi jis turi atsitiktinio dydžio kubo matmenis, norint gauti bematę charakteristiką, m 3 padalintas iš standartinio nuokrypio iki trečiojo laipsnio

Gauta reikšmė vadinama asimetrijos koeficientu ir, priklausomai nuo ženklo, apibūdina teigiamą ( Kaip> 0) arba neigiamas ( Kaip< 0) pasiskirstymo kreivumas (2.3 pav.).

ATSITIKTINIAI KINTAMAI IR JŲ PASKIRSTYMO DĖSNIAI.

Atsitiktinis Jie vadina kiekį, kurio reikšmės priklauso nuo atsitiktinių aplinkybių derinio. Išskirti diskretus ir atsitiktinai tęstinis kiekiai.

Diskretus Dydis vadinamas, jei jis įgauna skaičiuojamą reikšmių rinkinį. ( Pavyzdys: pacientų skaičius pas gydytoją, raidžių skaičius puslapyje, molekulių skaičius tam tikrame tūryje).

Nuolatinis yra dydis, kuris gali įgyti reikšmes tam tikru intervalu. ( Pavyzdys: oro temperatūra, kūno svoris, žmogaus ūgis ir kt.)

Paskirstymo dėsnis Atsitiktinis dydis yra galimų šio kintamojo reikšmių ir, atitinkančių šias reikšmes, tikimybių (arba pasireiškimo dažnių) rinkinys.

PAVYZDYS:

Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos.

Daugeliu atvejų kartu su atsitiktinio dydžio pasiskirstymu arba vietoj jo informaciją apie šiuos dydžius galima pateikti skaitiniais parametrais, vadinamais atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos . Dažniausiai iš jų:

1 .Tikėtina vertė - Atsitiktinio dydžio (vidutinė reikšmė) yra visų jo galimų reikšmių sandaugų ir šių reikšmių tikimybių suma:

2 .Sklaida atsitiktinis kintamasis:

3 .Standartinis nuokrypis :

„TRIJŲ SIGMŲ“ taisyklė - jei atsitiktinis dydis paskirstomas pagal normalųjį dėsnį, tai šios reikšmės nuokrypis nuo vidutinės vertės absoliučia verte neviršija standartinio nuokrypio trijų kartų

Gauso dėsnis – normalaus pasiskirstymo dėsnis

Dažnai yra paskirstomi kiekiai normalus įstatymas (Gauso dėsnis). Pagrindinis bruožas : tai yra ribojantis dėsnis, kuriam taikomi kiti paskirstymo dėsniai.

Atsitiktinis dydis pasiskirsto pagal normalųjį dėsnį, jei jis tikimybių tankis turi formą:

M(X) - matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis;

 – standartinis nuokrypis.

Tikimybių tankis (paskirstymo funkcija) parodo, kaip kinta intervalui priskirta tikimybė dx atsitiktinis kintamasis, priklausomai nuo paties kintamojo reikšmės:

Pagrindinės matematinės statistikos sąvokos

Matematinė statistika - taikomosios matematikos šaka, tiesiogiai susijusi su tikimybių teorija. Pagrindinis skirtumas tarp matematinės statistikos ir tikimybių teorijos yra tas, kad matematinė statistika nenagrinėja pasiskirstymo dėsnių ir atsitiktinių dydžių skaitinių charakteristikų veiksmų, o apytikslius šių dėsnių ir skaitinių charakteristikų nustatymo metodus, pagrįstus eksperimentų rezultatais.

Pagrindinės sąvokos Matematinė statistika yra tokia:

Bendra populiacija;

pavyzdys;

variacijų serija;

mada;

mediana;

procentilė,

dažnių diapazonas,

Juostinė diagrama.

Gyventojų skaičius - didelė statistinė visuma, iš kurios atrenkama dalis tyrimams skirtų objektų

(Pavyzdys: visi regiono gyventojai, tam tikro miesto universiteto studentai ir kt.)

Imtis (imties visuma) - objektų rinkinys, atrinktas iš bendrosios populiacijos.

Variacijų serija - statistinis skirstinys, susidedantis iš variantų (atsitiktinio dydžio reikšmių) ir juos atitinkančių dažnių.

Pavyzdys:

X , kilogramas

m

x - atsitiktinio dydžio reikšmė (10 metų mergaičių svoris);

m - pasireiškimo dažnumas.

Mada – atsitiktinio dydžio reikšmė, atitinkanti didžiausią pasireiškimo dažnumą. (Aukščiau pateiktame pavyzdyje mada atitinka reikšmę 24 kg, ji ​​dažniau nei kiti: m = 20).

Mediana – atsitiktinio dydžio reikšmė, dalijanti pasiskirstymą per pusę: pusė reikšmių yra medianos dešinėje, pusė (ne daugiau) – kairėje.

Pavyzdys:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

Pavyzdyje stebime 40 atsitiktinio dydžio reikšmių. Visos reikšmės yra išdėstytos didėjančia tvarka, atsižvelgiant į jų atsiradimo dažnumą. Matote, kad 7 paryškintos reikšmės dešinėje yra 20 (pusė) iš 40 reikšmių. Todėl 7 yra mediana.

Norėdami apibūdinti sklaidą, rasime ne didesnes nei 25 ir 75% matavimo rezultatų vertes. Šios vertės vadinamos 25 ir 75 procentiliai . Jei mediana skirstinį padalija per pusę, tai 25 ir 75 procentiliai nupjaunami ketvirtadaliu. (Pati mediana, beje, gali būti laikoma 50 procentiliu.) Kaip matyti iš pavyzdžio, 25 ir 75 procentiliai yra atitinkamai lygūs 3 ir 8.

Naudokite diskretus (taškinis) statistinis pasiskirstymas ir tęstinis (intervalinis) statistinis pasiskirstymas.

Aiškumo dėlei statistiniai pasiskirstymai formoje pavaizduoti grafiškai dažnių diapazonas arba - histogramos .

Dažnio daugiakampis - trūkinė linija, kurios atkarpos jungia taškus su koordinatėmis ( x 1 , m 1 ), (x 2 , m 2 ), ..., arba už santykinio dažnio daugiakampis – su koordinatėmis ( x 1 ,R * 1 ), (x 2 ,R * 2 ), ...(1 pav.).

mm i / nf(x)

x x

1 pav.2 pav

Dažnio histograma - gretimų stačiakampių rinkinys, pastatytas ant vienos tiesios linijos (2 pav.), stačiakampių pagrindai yra vienodi ir lygūs dx , o aukščiai lygūs dažnio santykiui su dx , arba R * Į dx (tikimybių tankis).

Pavyzdys:

x, kg

„Fizikinių dydžių matavimo vienetai“ – absoliuti paklaida lygi pusei matavimo prietaiso padalijimo vertės. Mikrometras. Rezultatas gaunamas tiesiogiai naudojant matavimo prietaisą. Dėžutės ilgis: 4 cm su trūkumu, 5 cm su pertekliumi. Kiekvienam fizinis kiekis yra atitinkami matavimo vienetai. Žiūrėti. Santykinė klaida.

„Ilgio reikšmės“ - 2. Kokius dydžius galima palyginti tarpusavyje: 2. Paaiškinkite, kodėl ši problema išspręsta pridedant: 2. Pagrįskite veiksmo pasirinkimą sprendžiant uždavinį. Kiek pakuočių gavai? Kiek rašiklių yra trijose iš šių dėžučių? Suknelės buvo pasiūtos iš 12 m audinio, kiekvienai panaudojant 4 m. Kiek suknelių pagaminta?

„Fiziniai dydžiai“ – ribos, skiriančios fiziką ir kitus gamtos mokslai, istoriškai sąlyginis. Bet kurio matavimo rezultate visada yra tam tikra paklaida. Nauja tema. Greitis. Kūnų sąveika. Fiziniai dėsniai pateikiami kiekybinių ryšių forma, išreikšta matematikos kalba. Matavimo klaida.

„Skaičius kaip kiekio matavimo rezultatas“ - „Skaičius kaip kiekio matavimo rezultatas“ matematikos pamoka 1 klasėje. Segmento ilgio matavimas naudojant matavimo lazdelę.

„Skaičiai ir kiekiai“ – masės sąvokos įvadas. Masių palyginimas be matavimų. Romėniška rašytinė numeracija. Talpa. Studentas išmoks: Skaičiai ir kiekiai (30 val.) Koordinačių spindulys Koordinačių spindulio samprata. Planuojama dalyko rezultatai skyriuje „Skaičiai ir kiekiai“ 2 klasėje. Bendrasis principas kardinalių skaičių formavimas tirtų skaičių ribose.

„Paklausos kiekis“ – paklausos pokyčių priežastys. Grafike gauta DD kreivė (iš anglų kalbos paklausa - „paklausa“) vadinama paklausos kreive. Elastinė paklausa (Epd>1). Paklausos kiekis. Paklausą įtakojantys veiksniai. Paklausos kiekio priklausomybė nuo kainų lygio vadinama paklausos skale. Visiškai neelastinga paklausa (Epd=0).