Antidarinis. Diferencialinio skaičiavimo uždavinys: duota funkcija, raskite jos išvestinę. Integralinio skaičiavimo uždavinys: raskite funkciją žinant jos išvestinę. Funkcija F(x) vadinama funkcijos f(x) anti-išvestine tam tikrame intervale, jei bet kuriam x iš šio intervalo lygybė F ʹ (x)=f(x) yra teisinga.

Teorema. Jei funkcija F(x) yra funkcijos f(x) antidarinė tam tikrame intervale, tai visų šios funkcijos antidarinių aibė turi formą F(x)+C, kur C R. y x 0 Geometriškai: F (x)+C yra šeimos kreivės, gautos iš kiekvienos iš jų lygiagrečiai perkeliant išilgai operacinės stiprintuvo ašies. C integralo kreivė

2 pavyzdys. Raskite visas antidarines funkcijas f(x)=2x ir pavaizduokite jas geometriškai. y x

Integrando funkcija – integrando išraiška – ženklas neapibrėžtas integralas x – integracijos kintamasis F(x)+C – visų antidarinių aibė C – integracijos konstanta Antidarinės funkcijos radimo procesas vadinamas integracija, o matematikos šaka – integraliniu skaičiavimu.

Neapibrėžtinio integralo savybės Neapibrėžtinio integralo diferencialas lygus integrandui, o neapibrėžtinio integralo išvestinė lygi integrandui:

Pagrindiniai integravimo metodai. Tiesioginio integravimo metodas. Tiesioginė integracija – tai integralų skaičiavimo metodas, kai jie redukuojami į lentelinius, pritaikant jiems pagrindines neapibrėžtinio integralo savybes. Šiuo atveju integrando funkcija paprastai atitinkamai transformuojama.

GBOU SPO „Navashinsky Marine Mechanical College“ Nr apibrėžtasis integralas. Skaičiavimo metodai

Eudoksas iš Knido c. 408 – apytiksliai. 355 m. pr. Kr e. Integralinis skaičiavimas atsirado senovės vystymosi laikotarpiu matematikos mokslas ir prasidėjo nuo išsekimo metodo, kurį sukūrė matematikai Senovės Graikija, ir buvo taisyklių rinkinys, kurį sukūrė Eudoksas iš Knido. Pagal šias taisykles buvo apskaičiuoti plotai ir tūriai

Leibnicas Gotfrydas Vilhelmas (1646-1716) Simbolį ∫ įvedė Leibnicas (1675). Šis ženklas yra lotyniškos S raidės (pirmosios žodžio summa raidės) modifikacija.

Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas (1646-1716) Izaokas Niutonas (1643-1727) Niutonas ir Leibnicas nepriklausomai atrado faktą, žinomą kaip Niutono-Leibnizo formulė.

Augustin Louis Cauchy (1789–1857) Carl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815–1897) Koši ir Weierstrass darbai apibendrino šimtmečius trukusią integralinio skaičiavimo raidą.

Kuriant integralinį skaičiavimą dalyvavo rusų matematikai: M.V. Ostrogradskis (1801 – 1862) V.Ya. Bunyakovskis (1804 – 1889) P.L. Čebyševas (1821–1894)

INDEMNITE INTEGRAL Neapibrėžtas integralas nuolatinė funkcija f(x) intervale (a; b) yra bet kuri jo antidarinė funkcija. Kur C yra savavališka konstanta (const).

1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x) = sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Cx+C 2 . F(x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x +С 5. F(x) = с tan x +С 6. F(x) = - cos x +С 5. f (x) = cosx Nustatykite atitikimą. Raskite bendrą antidarinio formą, atitinkančią nurodytą funkciją. tg x +C

Integralo savybės

Integralo savybės

Pagrindiniai integravimo metodai Lentelinė. 2. Redukcija į lentelę integrandą transformuojant į sumą arba skirtumą. 3.Integravimas naudojant kintamąjį pakeitimą (pakeitimą). 4. Integravimas dalimis.

Raskite funkcijų antidarinius: F(x) = 5 x ² + C F(x) = x ³ + C F(x) = - cos x + 5x+ C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 x ³ + C F(x) = 3 x - x² + C 1) f(x) = 10x 2) f(x) =3 x² 3) f(x) = sin x +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f(x) = 6 x ² 6) f(x) = 3-2x

Ar tiesa, kad: a) c) b) d)

Pavyzdys 1. Išreiškinių sumos integralas yra lygus šių išraiškų integralų sumai. Konstantą koeficientą galima paimti iš integralo ženklo

2 pavyzdys. Patikrinkite sprendimą Užrašykite sprendimą:

3 pavyzdys. Patikrinkite sprendimą Užrašykite sprendimą:

4 pavyzdys. Patikrinkite sprendimą Parašykite sprendimą: Įveskite naują kintamąjį ir išreikškite skirtumus:

5 pavyzdys. Patikrinkite sprendimą Užrašykite sprendimą:

C savarankiškas darbas Raskite neapibrėžtą integralą Patikrinkite sprendimą Lygis „A“ (ties „3“) Lygis „B“ (ties „4“) Lygis „C“ (ties „5“)

Užduotis Užmegzti korespondenciją. Raskite bendrą antidarinio formą, atitinkančią nurodytą funkciją.

Anoshina O.V.

Pagrindinė literatūra

1. Šipačiovas V. S. Aukštoji matematika. Pagrindinis kursas: vadovėlis ir
seminaras bakalaurams [Rusijos Federacijos švietimo ministerijos valstybinis ženklas] / V.S.
Šipačiovas; Redaguota A. N. Tichonova. – 8-asis leidimas, pataisytas. ir papildomas Maskva: Yurayt, 2015. - 447 p.
2. Šipačiovas V. S. Aukštoji matematika. Pilnas kursas: vadovėlis
akademikui Bakalauro laipsnis [Griff UMO] / V. S. Šipačiovas; Redaguota A.
N. Tichonova. - 4-asis leidimas, red. ir papildomas - Maskva: Yurayt, 2015. - 608
Su
3. Danko P.E., Popovas A.G., Koževnikova T..Ya. Aukštoji matematika
pratybose ir užduotyse. [Tekstas] / P.E. Danko, A.G. Popovas, T.Ya.
Koževnikova. 2 val. - M.: baigti mokyklą, 2007. – 304+415c.

Ataskaitų teikimas

1.
Testas. Atliekama pagal:
Užduotys ir Gairės atlikti kontrolinius darbus
disciplinoje "TAIKOMOJI MATEMATIKA", Jekaterinburgas, federalinė valstybinė autonominė švietimo įstaiga
VO „Rusijos valstybinė profesinė pedagogika
Universitetas“, 2016 - 30 p.
Variantas bandomasis darbas pasirinkti pagal paskutinį skaičiaus skaitmenį
pažymių knyga.
2.
Egzaminas

Neapibrėžtas integralas, jo savybės ir skaičiavimas Antidarinis ir neapibrėžtas integralas

Apibrėžimas. Iškviečiama funkcija F x
antidarinė funkcija f x apibrėžta ant
tam tikras intervalas, jei F x f x
kiekvienas x iš šio intervalo.
Pavyzdžiui, cos x funkcija yra
funkcijos sin x antidarinys, kadangi
cos x sin x .

Akivaizdu, kad jei F x yra antidarinys
funkcija f x , tada F x C , kur C yra tam tikra konstanta, taip pat yra
funkcijos f x antidarinys.
Jei F x yra bet koks antidarinys
funkcijos f x , tada bet kuri formos funkcija
Ф x F x C taip pat yra
antidarinė funkcija f x ir bet kuri
antidarinys gali būti pavaizduotas tokia forma.

Apibrėžimas. Viso visuma
funkcijos f x antidariniai,
apibrėžta kai kuriose
vadinamas intervalas
neapibrėžtas integralas
funkcijos f x šiame intervale ir
žymimas f x dx.

Jei F x yra tam tikra funkcijos antidarinė
f x , tada jie rašo f x dx F x C , nors
teisingiau būtų rašyti f x dx F x C .
Pagal nusistovėjusią tradiciją rašysime
f x dx F x C .
Taigi tas pats simbolis
f x dx žymės visą
funkcijos f x antidarinių rinkinys,
ir bet kuris šio rinkinio elementas.

Integralo savybės

Neapibrėžtinio integralo išvestinė lygi
integrando funkcija ir jos diferencinė integrando išraiška. Tikrai:
1. (f (x) dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.

Integralo savybės

3. Neapibrėžtas integralas
nuolatinis diferencialas (x)
funkcija diferencijuojama yra lygi pati sau
ši funkcija iki konstantos:
d (x) (x) dx (x) C,
kadangi (x) yra (x) antidarinys.

Integralo savybės

4.Jei funkcijos f1 x ir f 2 x turi
yra antidariniai, tada funkcija f1 x f 2 x
taip pat turi antidarinį, ir
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx K f x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

1. dx x C .
a 1
x
2. xa dx
C, (a 1).
a 1
dx
3. ln x C .
x
x
a
4.a x dx
C.
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8. 2 ctgx C .
nuodėmė x
dx
9. 2 tgx C .
cos x
dx
arctgx C.
10.
2
1 x

Neapibrėžtų integralų lentelė

11.
dx
arcsin x C .
1 x 2
dx
1
x
12. 2 2 arctg C .
a
a
a x
13.
14.
15.
dx
a2x2
x
arcsin C..
a
dx
1
xa
ln
C
2
2
2a x a
xa
dx
1
a x
a 2 x 2 2a ln a x C .
dx
16.
x2 a
ln x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C.
2
sh x

Diferencialų savybės

Patogu naudoti integruojant
savybės: 1
1. dx d (ax)
a
1
2. dx d (ax b),
a
1 2
3. xdx dx,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3

Pavyzdžiai

Pavyzdys. Apskaičiuokite cos 5xdx.
Sprendimas. Integralų lentelėje randame
cos xdx sin x C .
Paverskime šį integralą į lentelę,
pasinaudojant tuo, kad d ax adx .
Tada:
d 5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= sin 5 x C .
5

Pavyzdžiai

Pavyzdys. Apskaičiuokite x
3x1 dx.
Sprendimas. Kadangi po integraliu ženklu
tada yra keturių narių suma
išplėskite integralą iki keturių sumos
integralai:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx .
x3
x4x2
3
xC
3
4
2

Kintamojo tipo nepriklausomumas

Skaičiuojant integralus patogu
naudokite šias savybes
integralai:
Jei f x dx F x C , tada
f x b dx F x b C .
Jei f x dx F x C , tada
1
f ax b dx F ax b C .
a

Pavyzdys

Paskaičiuokime
1
6
2
3
x
dx
2
3
x
C
.
3 6
5

Integravimo metodai Integravimas dalimis

Šis metodas pagrįstas formule udv uv vdu.
Naudojant integravimo dalimis metodą, imami šie integralai:
a) x n sin xdx, kur n 1,2...k;
b) x n e x dx, kur n 1,2...k;
c) x n arctgxdx, kur n 0, 1, 2,... k. ;
d) x n ln xdx, kur n 0, 1, 2,... k.
Skaičiuodami integralus a) ir b) įveskite
n 1
žymėjimas: x n u , tada du nx dx , ir, pvz
sin xdx dv, tada v cos x.
Skaičiuojant integralus c), d), u žymimas funkcija
arctgx, ln x ir dv imkite x n dx.

Pavyzdžiai

Pavyzdys. Apskaičiuokite x cos xdx .
Sprendimas.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

Pavyzdžiai

Pavyzdys. Apskaičiuoti
x ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 x
x2
1
x2
1x2
ln x xdx
ln x
C.
=
2
2
2
2 2

Kintamojo pakeitimo metodas

Tegul reikia rasti f x dx , ir
tiesiogiai pasirinkite antidarinį
f x mes negalime, bet mes tai žinome
ji egzistuoja. Dažnai galima rasti
antiderivatyvas įvedant naują kintamąjį,
pagal formulę
f x dx f t t dt , kur x t ir t yra nauji
kintamasis

Funkcijos, turinčios kvadratinį trinarį, integravimas

Apsvarstykite integralą
kirvis b
dx,
x px q
turintis kvadratinį trinarį in
integrando vardiklis
posakius. Galima imti ir tokį integralą
kintamųjų pakeitimo metodu,
anksčiau paskyręs
vardiklis yra tobulas kvadratas.
2

Pavyzdys

Apskaičiuoti
dx
.
x 4x5
Sprendimas. Paverskime x 2 4 x 5,
2
pasirenkant pilną kvadratą naudojant formulę a b 2 a 2 2ab b 2.
Tada gauname:
x2 4x 5 x 2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x 4x5
t 1
arctgt C arctg x 2 C.

Pavyzdys

Rasti
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2,
dx 2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d(t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
ln(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt

Apibrėžtinis integralas, pagrindinės jo savybės. Niutono-Leibnizo formulė. Apibrėžtinio integralo taikymai.

Atveda prie apibrėžtojo integralo sampratos
kreivinės linijos nustatymo problema
trapecijos.
Leiskite būti pateikta tam tikru intervalu
tolydžioji funkcija y f (x) 0
Užduotis:
Sukurkite jo grafiką ir raskite F figūros plotą,
apribotas šios kreivės, dvi tiesės x = a ir x
= b, o žemiau – abscisių ašies atkarpa tarp taškų
x = a ir x = b.

Figūra aABb vadinama
lenkta trapecija

Apibrėžimas

b
f(x)dx
Pagal apibrėžtąjį integralą
a
nuo duotosios tolydžios funkcijos f(x) iki
šis segmentas yra suprantamas
atitinkamas jo prieaugis
antidarinys, tai yra
F (b) F (a) F (x) /
b
a
Skaičiai a ir b – integracijos ribos,
– integravimo intervalas.

Taisyklė:

Apibrėžiamasis integralas yra lygus skirtumui
antiderivatinio integrando vertės
viršutinės ir apatinės ribos funkcijos
integracija.
Įvesdami skirtumo žymėjimą
b
F(b)F(a)F(x)/a
b
f (x) dx F (b) F (a)
a
Niutono-Leibnizo formulė.

Pagrindinės apibrėžtojo integralo savybės.

1) Apibrėžtinio integralo reikšmė nepriklauso nuo
integravimo kintamojo žymėjimas, t.y.
b
b
a
a
f (x)dx f (t)dt
kur x ir t yra bet kurios raidės.
2) Apibrėžtinis integralas su identišku
lauke
integracija lygi nuliui
a
f (x) dx F (a) F (a) 0
a

3) Pertvarkant integracijos ribas
apibrėžtasis integralas pakeičia savo ženklą į priešingą
b
a
f (x) dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x) dx
a
b
(adityvumo savybė)
4) Jei intervalas padalintas į baigtinį skaičių
daliniai intervalai, tada apibrėžtasis integralas,
perimtas intervalas, yra lygus tam tikrų sumai
integralai perimti visus jo dalinius intervalus.
b
c
b
f (x)dx f (x)dx
c
a
a
f(x)dx

5) Galima reguliuoti pastovų daugiklį
apibrėžtojo integralo ženklui.
6) Algebrinės apibrėžties integralas
baigtinio skaičiaus ištisinių sumos
funkcijos yra lygios tai pačiai algebrinei
šių apibrėžtųjų integralų suma
funkcijas.

3. Kintamojo kaita apibrėžtajame integrale.

3. Kintamojo pakeitimas tam tikrame
integralas.
b
f (x) dx f (t) (t) dt
a
a(), b(), (t)
Kur
fortas [ ; ] , funkcijos (t) ir (t) yra nuolat įjungtos;
5
Pavyzdys:
1
=
x 1dx
=
x 15
t 0 4
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Netinkami integralai.

Netinkami integralai.
Apibrėžimas. Tegul funkcija f(x) yra apibrėžta
begalinis intervalas, kur b< + . Если
egzistuoja
b
lim
f(x)dx,
b
a
tada ši riba vadinama netinkama
funkcijos f(x) intervale integralas
}