Тодорхойлолт.Санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг үнэлгээүл мэдэгдэх параметр, хэрэв хэд хэдэн хэмжилтийн үр дүнгээс олдсон энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг энэ параметрийн ойролцоо утга болгон авч болно, өөрөөр хэлбэл. Хэрэв тэгш байдал үнэн бол.

Жишээ.Хэрэв тодорхой үйл явдал тохиолдох магадлалыг үл мэдэгдэх параметр гэж үзвэл энэ параметрийн үнэлгээ нь бие даасан туршилтын явцад тохиолдох давтамж юм (Магадлалын статистик тодорхойлолт ба Бернулли теоремыг үзнэ үү).

Жишээ.Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг үзье ижил математикийн хүлээлттэй байх, i.e. . Дараа нь ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн ерөнхий хүлээлтийн утгын тооцоо нь арифметик дундаж юм. эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд. Үзэж буй нөхцөл байдлын чухал онцгой тохиолдол бол дараахь зүйл юм

Жишээ. Тодорхой параметрийн үнэлгээ нь арифметик дундаж юм үр дүн Энэ параметрийн бие даасан хэмжилтүүд (Чебышевын теоремыг үзнэ үү).

Ойролцоогоор тэгш байдлыг шууд ашиглах үед талаар ярилцах цэгийн тооцооүл мэдэгдэх параметр.

Энэ нь бас боломжтой интервалын тооцооүл мэдэгдэх параметр. Энэ нь юунаас бүрддэгийг тайлбарлахын тулд бид дараах ойлголтуудыг танилцуулж байна.

Тодорхойлолт.Дурын интервалын хувьд үүнийг дууддаг итгэлийн интервал;хэмжигдэхүүнийг энэ тохиолдолд өөрөө дуудна ахиу түүвэрлэлтийн алдаа.

Тодорхойлолт.Тооцоолсон параметрийн үл мэдэгдэх утгыг итгэлцлийн интервалаар бүрхэх магадлалыг нэрлэдэг итгэх магадлал.

Тиймээс, хэрэв – параметрийн тооцоо , Тэр

– итгэлийн магадлал (Бид тооцоолсон гэж таамаглаж байна тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн).

Интервалын тооцоолол нь жишээ нь өгөгдсөн түүвэрлэлтийн хамгийн их алдааны итгэлийн магадлалыг тооцоолоход оршино.

Интервалын тооцооны асуудлыг шийдэх нь ашигласан тооцооллын тархалтын хуулийн шинж чанарыг тодорхойлохтой холбоотой юм .

Одоо тооцооллын зарим шинж чанарыг авч үзье.

Тодорхойлолт.Параметрийн тооцооллыг гэж нэрлэдэг шударга бус, хэрэв энэ тооцооны математикийн хүлээлт нь тооцоолсон параметртэй тэнцүү бол, i.e.

Тодорхойлолт.Параметрийн тооцооллыг гэж нэрлэдэг чинээлэг, хэрэв дурын хязгаарын хамаарал дараах хязгаарт нийцэж байвал

Өөрөөр хэлбэл, энэ тооцоолол нь өгөгдсөн параметрт магадлалын хувьд нийлдэг бол параметрийн тооцоо нь нийцтэй байна. (Ийм төрлийн нэгдлийн жишээг Бернулли, Чебышев нарын теоремоор өгснийг санаарай, § 6.2-ыг үзнэ үү.)

Тодорхойлолт.Зарим параметрийн шударга бус үнэлгээг нэрлэдэг үр дүнтэй, хэрэв өгөгдсөн хэмжээтэй түүврээс олдсон бүх шударга бус тооцооллуудын дунд хамгийн бага зөрүүтэй байвал.

Жишээ.Давтамж Зарим үйл явдал тохиолдох нь магадлалыг шударга, тууштай, үр дүнтэй тооцоолох явдал юм энэ үйл явдал . Шударга бус байдал, давтамжийн тогтвортой байдлын шинж чанаруудыг бид өмнө нь арай өөр контекстээр авч үзсэн болохыг анхаарна уу. Үнэн хэрэгтээ давтамжийн тэгш бус байдал нь хоёр тоогоор тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний шинж чанаруудын нэг юм (§ 3.3-ыг үзнэ үү). Давтамжийн тууштай байдлыг Бернуллигийн теоремоор тодорхойлсон (§ 6.2-ыг үзнэ үү).

Жишээ. Тодорхой тооны бие даасан, ижил тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундаж нь эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн ерөнхий хүлээлтийг нэг талыг барьсан, тууштай үнэлдэг. Үнэн хэрэгтээ, шударга бус байдал нь математикийн хүлээлтийн шинж чанар юм (§ 3.3-ыг үзнэ үү). Тогтвортой байдал нь Чебышевын теоремоор батлагдсан (§ 6.2-ыг үз).

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт (хүн амын тархалт) нь ихэвчлэн хэд хэдэн тоон шинж чанараар тодорхойлогддог.

• хэвийн тархалтын хувьд N(a, σ) нь математикийн хүлээлт a ба стандарт хазайлт σ;
• жигд тархалтын хувьд R(a,b) нь энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд ажиглагдах интервалын хил хязгаар юм.

Ийм тоон шинж чанар, ихэвчлэн үл мэдэгдэх, гэж нэрлэдэг популяцийн параметрүүд . Параметрийн тооцоо - дээжээс тооцоолсон харгалзах тоон үзүүлэлт. Хүн амын параметрийн тооцоог хоёр ангилалд хуваадаг. цэгТэгээд интервал.

Оноо нэг тоогоор тодорхойлогдвол түүнийг дууддаг цэгийн тооцоо. Түүврийн функцийн хувьд цэгийн үнэлгээ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд давтан туршилтаар түүврээс түүвэрт өөр өөр байдаг.
Онооны тооцоолол нь ямар ч утгаараа "хоргүй" байхын тулд хангах ёстой шаардлагуудтай байдаг. Энэ нүүлгэн шилжүүлээгүй, үр ашигТэгээд эд баялаг.

Интервалын тооцоохоёр тоогоор тодорхойлогддог - тооцоолсон параметрийг хамарсан интервалын төгсгөлүүд. Тооцоолсон параметр нь тэдгээрээс хэр хол байх талаар ойлголт өгдөггүй цэгийн тооцооноос ялгаатай нь интервалын тооцоолол нь тооцооллын үнэн зөв, найдвартай байдлыг тогтоох боломжийг олгодог.

Математикийн хүлээлт, тархалт ба стандарт хазайлтын цэгийн тооцооллын хувьд түүврийн шинж чанар, түүврийн дундаж, түүврийн тархалт, түүврийн стандарт хазайлт зэргийг тус тус ашиглана.

Шударга бус үнэлгээний шинж чанар.
Үнэлгээний шаардлагатай шаардлага бол системчилсэн алдаа байхгүй байх явдал юм. θ параметрийн оронд түүний тооцооллыг давтан ашиглах үед ойролцоогоор алдааны дундаж утга тэг болно - энэ нь шударга бус үнэлгээний шинж чанар.

Тодорхойлолт. Математикийн хүлээлт нь тооцоолсон параметрийн бодит утгатай тэнцүү бол тооцооллыг шударга бус гэж нэрлэдэг.

Түүврийн арифметик дундаж нь математикийн хүлээлт ба түүврийн дисперсийн үнэн зөв тооцоолол юм. - ерөнхий дисперсийн нэг талыг барьсан үнэлгээ Д. Ерөнхий дисперсийн бодит бус үнэлгээ нь тооцоолол юм

Үнэлгээний тууштай байдлын шинж чанар.
Тооцооллын хоёр дахь шаардлага - түүний тууштай байдал нь түүврийн хэмжээ нэмэгдэх тусам тооцоо сайжирна гэсэн үг юм.

Тодорхойлолт. Зэрэг n→∞ гэж тооцоолсон θ параметрт магадлалаар нийлж байвал тууштай гэж нэрлэдэг.

Магадлалын нэгдмэл байдал гэдэг нь түүврийн хэмжээ их байгаа тохиолдолд үнэлгээний бодит утгаас их хэмжээний хазайх магадлал бага байна гэсэн үг юм.

Үр дүнтэй тооцооны үл хөдлөх хөрөнгө.
Гурав дахь шаардлага нь ижил параметрийн хэд хэдэн тооцооноос хамгийн сайн тооцоог сонгох боломжийг танд олгоно.

Тодорхойлолт. Шударга бус үнэлэгч нь бүх шударга үнэлэгчийн дунд хамгийн бага хэлбэлзэлтэй байвал үр дүнтэй байдаг.

Энэ нь үр дүнтэй тооцоолол нь параметрийн жинхэнэ утгатай харьцуулахад хамгийн бага тархалттай байна гэсэн үг юм. Үр дүнтэй тооцоо үргэлж байдаггүй гэдгийг анхаарна уу, гэхдээ хоёр тооцооллоос ихэвчлэн илүү үр дүнтэйг сонгох боломжтой байдаг. бага хэлбэлзэлтэй. Жишээлбэл, N(a,σ) хэвийн популяцийн үл мэдэгдэх a параметрийн хувьд түүврийн арифметик дундаж ба түүврийн медианыг хоёуланг нь шударга бус үнэлгээ болгон авч болно. Гэхдээ түүврийн медианы дисперс нь арифметик дундажийн дисперсээс ойролцоогоор 1.6 дахин их байна. Тиймээс илүү үр дүнтэй тооцоо бол түүврийн арифметик дундаж юм.

Жишээ №1. Хэмжилтийн үр дүн (мм-ээр): 13,15,17 гэсэн нэг төхөөрөмж (системчилсэн алдаагүй) ашиглан зарим нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжилтийн дисперсийн бодит үнэлгээг ол.
Шийдэл. Шалгуур үзүүлэлтийг тооцоолох хүснэгт.

x	|x - x av |	(x - x дундаж) 2
13	2	4
15	0	0
17	2	4
45	4	8

Энгийн арифметик дундаж(математикийн хүлээлтийг шударга бус тооцоолсон)


Тархалт- дундаж утгын ойролцоо тархалтын хэмжүүрийг тодорхойлдог (тархалтын хэмжүүр, өөрөөр хэлбэл дунджаас хазайх - хэвийсэн үнэлгээ).


Шударга бус дисперсийн тооцоологч- дисперсийн тууштай тооцоо (зассан зөрүү).

Жишээ №2. Тодорхой санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжилтийн математикийн хүлээлтийг нэг төхөөрөмжөөр (системчилсэн алдаагүй), хэмжилтийн үр дүн (мм-ээр): 4,5,8,9,11-ийг олоорой.
Шийдэл. m = (4+5+8+9+11)/5 = 7.4

Жишээ №3. Хэрэв түүврийн дисперс D = 180 бол n=10 түүврийн хэмжээтэй S2 зассан дисперсийг ол.
Шийдэл. S 2 = n*D/(n-1) = 10*180/(10-1) = 200

Ажиглалтын тоо нэмэгдэх тусам тооцоолсон параметрээс тодорхой өгөгдсөн тооноос давсан дүнгээр тооцоолсон үзүүлэлтээс хазайх магадлал тэг болох хандлагатай байдаг магадлал. Илүү нарийн: зөвшөөрөх X 1 , X 2 ,......, X n -бие даасан ажиглалтын үр дүн, тархалт нь үл мэдэгдэх θ параметрээс хамаардаг ба тус бүрийн хувьд nфункц Tn = Tn(X 1,..., X n) нь эхнийхээс үүссэн θ-ийн тооцоо юм nажиглалт, дараа нь тооцооллын дараалал ( Tn) хэрэв нийцтэй гэж нэрлэдэг n→ ∞ дурын тоо бүрийн хувьд ε > 0 болон θ-ийн зөвшөөрөгдөх аливаа утга

(өөрөөр хэлбэл Tnмагадлалаар θ руу нийлдэг). Жишээлбэл, аливаа нэг талыг барьсан тооцоо (Үнэт бус тооцоог үзнэ үү) Tnпараметр θ (эсвэл тооцоолно ETn→ 0), тархалт нь нэмэгдэх тусам тэг болох хандлагатай байдаг n,нь S. o. Чебышевын тэгш бус байдлаас үүдэлтэй θ параметр

Тэгэхээр, түүврийн дундаж

Аливаа статистикийн тооцоололд шаардлагатай шинж чанар болох тууштай байдал нь зөвхөн тооцооллын асимптотик шинж чанаруудтай холбоотой бөгөөд практик асуудлуудад хязгаарлагдмал түүврийн хэмжээг тогтоох үнэлгээний чанарыг сул тодорхойлдог. Та бүх боломжит S. o сонгох боломжийг олгодог шалгуур байдаг. зарим параметр нь шаардлагатай шинж чанартай байдаг. Статистикийн тооцоог үзнэ үү.

S. o-ийн тухай ойлголт. Английн математикч Р.Фишер (1922) анх санал болгосон.

Лит.:Крамер Г., Статистикийн математик аргууд, хөрвүүлэлт. Англи хэлнээс М., 1975; Rao S. R., Шугаман статистикийн аргууд ба тэдгээрийн хэрэглээ, транс. Англи хэлнээс. М., 1968.

А.В.Прохоров.

Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг. - М .: Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг. 1969-1978 .

Бусад толь бичгүүдээс "Үнэлгээний үнэлгээ" гэж юу болохыг харна уу:

Математикийн статистикт энэ нь тооцоолж буй параметрт магадлалын хувьд нийлдэг цэгийн тооцоо юм. Агуулга 1 Тодорхойлолт 2 Шинж чанар 3 ... Википедиа

"Үнэлгээний тууштай дараалал ..." гэсэн нэр томъёоны товчилсон хувилбар. Математик нэвтэрхий толь бичиг

- ... Википедиа

Үл мэдэгдэх онолын параметрүүдийг тооцоолоход ашигладаг санамсаргүй хэмжигдэхүүний функц. магадлалын хуваарилалт. О.С-ийн онолын аргууд. орчин үеийн алдааны онолын үндэс суурь болдог; Ихэвчлэн үл мэдэгдэх параметрүүдийг физик хэмждэг...... Математик нэвтэрхий толь бичиг

ҮНЭЛГЭЭ НЭГДСЭН- СТАТИСТИКИЙН ҮНЭЛГЭЭ… Социологи: нэвтэрхий толь бичиг

Үр дүнтэй тооцооны санааг том түүвэрт өргөжүүлсэн ойлголт. A. e-ийн хоёрдмол утгагүй тодорхойлолт. О. байхгүй байна. Жишээлбэл, сонгодог дээр бидний ярьж буй асимптотик хувилбар. зохих сонгосон ангиллын үнэлгээний үр нөлөө. Яг,…… Математик нэвтэрхий толь бичиг

Хэт үр дүнтэй тооцоолол, үл мэдэгдэх параметрийн асимптотын хэвийн тооцооны тууштай дараалалтай холбоотой диваажингийн ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

- (пробит загвар, англи пробит) янз бүрийн салбарт (эконометрик, токсикологи гэх мэт) ашигладаг статистик (шугаман бус) загвар ба чанарын (гол төлөв хоёртын) хувьсагчийн олонлогоос хамаарлыг шинжлэх арга ... ... Wikipedia

Түүврийн (эмпирик) дундаж нь тархалтын онолын дундаж утгыг түүвэрлэсэн түүвэр дээр үндэслэсэн ойролцоо тооцоолол юм. Тодорхойлолт Зарим магадлалын орон зайд тодорхойлогдсон магадлалын тархалтаас түүвэр авч үзье... ... Википедиа

Статистик тооцоо гэдэг нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын үл мэдэгдэх параметрүүдийг тооцоолоход хэрэглэгддэг статистик юм. Жишээлбэл, хэрэв эдгээр нь өгөгдсөн хэвийн тархалттай бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол ... ... Wikipedia байх болно.

Номууд

• Асимптотик ковариацын матрицын энгийн, эерэг хагас тодорхойлогч, гетероскедастик ба автокорреляци байгаа нөхцөлд нийцдэг Уитни Ньюи. Уитни К.Ньюи, Кеннет Д.Уэст нарын бүтээл нь өргөн цар хүрээтэй учраас эдийн засгийн шинжлэх ухаанд хамгийн их иш татсан, хамгийн алдартай бүтээлүүдийн нэг юм.…

Үнэлгээ хийж буй параметр рүү.

Тодорхойлолт

• Болъё $X\_1,\backslash ldots,\; X\_n,\backslash ldots$ - дээжУчир нь хуваарилалт, параметрээс хамаарна $\backslash theta\; \backslash in\; \backslash Theta$. Дараа нь тооцоолол $\backslash hat(\backslash theta)\; \backslash equiv\; \backslash hat(\backslash theta)(X\_1,\backslash ldots,X\_n)$баян бол гэж нэрлэдэг

$$ магадлалаарцагт $n\backslash to\backslash infty$.

Үгүй бол үнэлгээг хүчингүй гэж нэрлэнэ.

• Зэрэг $\backslash малгай(\backslash тета)$дуудсан маш баян, Хэрэв

$\backslash hat(\backslash theta)\; \backslash to\; \backslash theta,\backslash quad\; \backslash forall\; \backslash theta\backslash \; in\; \backslash Theta$ бараг гарцаагүйцагт $n\backslash to\backslash infty$.

Практикт түүврүүд хязгаарлагдмал байдаг тул нийлэлтийг "бараг тодорхой" "харах" боломжгүй юм. Тиймээс хэрэглээний статистикийн хувьд үнэлгээний тууштай байдлыг шаардахад хангалттай. Түүгээр ч зогсохгүй "амьдралдаа" боломжийн, гэхдээ тийм ч баян биш үнэлгээ маш ховор байдаг. Хязгаарлагдмал анхны момент бүхий ижил тархсан, бие даасан хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд их тооны хууль мөн хүчирхэгжүүлсэн хувилбарт биелдэг; бүх хэт эрэмбийн статистикууд нь зөвхөн магадлалын хувьд төдийгүй бараг гарцаагүй монотон байдлаас болж нэгддэг.

Гарын үсэг зурах

• Хэрэв тооцоолол нь "дундаж квадрат дахь" параметрийн жинхэнэ утгад нийлдэг эсвэл үнэлгээ нь асимптотик бус, түүний дисперс нь тэг болох хандлагатай байвал ийм тооцоо нь нийцтэй байх болно.

Үл хөдлөх хөрөнгө

• Конвергенцийн шинж чанаруудаас санамсаргүй хэмжигдэхүүнХүчтэй тууштай тооцоо үргэлж нийцдэг гэдгийг бид мэддэг. Ерөнхийдөө эсрэгээрээ үнэн биш юм.
• Тогтмол тооцооллын тархалт нь ихэвчлэн 1/n дарааллын хурдаар тэг болох хандлагатай байдаг тул тогтмол тооцооллыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний асимптот дисперсээр харьцуулдаг. $\backslash sqrt\; (n)\; (\backslash hat(\backslash theta)-\backslash theta)$(энэ утгын асимптот математикийн хүлээлт тэг байна).

Холбогдох ойлголтууд

• Оноо гэж нэрлэдэг супер баян, хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс $n\; (\backslash малгай(\backslash тета)-\backslash тета)$хязгаарлагдмал утга руу чиглэдэг. Өөрөөр хэлбэл, тооцооллыг бодит утгад ойртуулах хурд нь тогтмол тооцооллоос хамаагүй өндөр байна. Жишээлбэл, регрессийн параметрүүдийн тооцоолол нь маш нийцтэй байна хамтарсанхугацааны цуваа.

Жишээ

• Жишээ дундаж $\backslash bar(X)\; =\; \backslash frac(1)(n)\; \backslash sum\backslash limits\_(i=1)^n\; X\_i$нь маш нийцтэй тооцоо юм математикийн хүлээлт $X\_i$.
• Периодограммбайна нүүлгэн шилжүүлээгүй, гэхдээ үндэслэлгүй үнэлгээ спектрийн нягт.

бас үзнэ үү

"Үнэлгээний үнэлгээ" нийтлэлийн талаар шүүмж бичнэ үү.

Утгатай үнэлгээг тодорхойлсон ишлэл

"Өө, Эзэн өршөөгөөч" гэж дикон дахин нэмж хэлэв.
- Чи тийшээ яв, тэд тэнд байна. Тэр бол. "Би бухимдаж, уйлсаар л байсан" гэж тэр эмэгтэй дахин хэлэв. - Тэр тийм. Энэ байна.
Гэвч Пьер эмэгтэйн үгийг сонссонгүй. Хэдэн секундын турш тэр нүдээ салгалгүй өөрөөсөө хэдхэн алхмын зайд юу болж байгааг харав. Тэрээр армян гэр бүл болон армянчууд руу ойртож ирсэн хоёр франц цэрэг рүү харав. Эдгээр цэргүүдийн нэг болох жижигхэн биетэй, хийморьтой эр олсоор бүсэлсэн цэнхэр пальто өмссөн байв. Тэр толгой дээрээ малгайтай, хөл нь нүцгэн байв. Пьерийг онцгой цохисон нөгөө нь урт, бөхийж, шаргал үстэй, туранхай, удаан хөдөлгөөнтэй, тэнэг царайтай хүн байв. Энэ нь юүдэн, цэнхэр өмд, урагдсан том гутал өмссөн байв. Бяцхан франц хүн гуталгүй, цэнхэр исгэрсээр армянчууд руу дөхөж очоод тэр даруй ямар нэг юм хэлээд өвгөний хөлийг бариад, хөгшин тэр даруй гутлаа тайлж эхлэв. Нөгөөх нь юүдэнтэй сайхан армян эмэгтэйн өөдөөс зогсоод чимээгүйхэн, хөдөлгөөнгүй гараа халаасандаа хийгээд түүн рүү харав.
"Хүүхдээ ав, ав" гэж Пьер охиныг өгч, эмэгтэй рүү яаран, яаран хэлэв. - Тэдэнд өг, тэдэнд өг! гэж тэр эмэгтэй рүү бараг хашгирч, хашгирч буй охиныг газар тавиад францчууд болон армян гэр бүл рүү дахин харав. Өвгөн аль хэдийн хөл нүцгэн сууж байв. Бяцхан франц хүн сүүлчийн гутлаа тайлж, гутлыг нэг нэгээр нь алгадав. Өвгөн уйлж, ямар нэгэн зүйл хэлэв, гэвч Пьер үүнийг зөвхөн харав; Түүний бүх анхаарал юүдэнтэй франц хүн рүү чиглэж, тэр үед аажуухан найгаж, залуу эмэгтэй рүү хөдөлж, халааснаасаа гараа гаргаж, хүзүүг нь шүүрэн авав.
Үзэсгэлэнт армян бүсгүй урт сормуусаа намируулан, цэрэг өөрт нь юу хийж байгааг хараагүй, мэдрэхгүй байгаа мэт хөдөлгөөнгүй хэвээрээ суусаар байв.
Пьер түүнийг францчуудаас тусгаарласан хэдэн алхмаар гүйж байтал юүдэнтэй урт дээрэмчин армян эмэгтэйн хүзүүнээс зүүсэн зүүлтийг аль хэдийн урж хаясан бөгөөд залуу эмэгтэй хүзүүг нь гараараа барьж, чанга дуугаар хашгирав. .
– Бүсгүйчүүдийн эрх чөлөө! [Энэ эмэгтэйг орхи!] - Пьер галзуурсан хоолойгоор урт бөхийсөн цэргийг мөрнөөс нь барьж аваад шидсэн. Цэрэг унаж, босоод зугтав. Гэвч түүний хамтрагч гутлаа шидэж, хутга гаргаж ирээд Пьер рүү дайрав.
- Войонс, па де Бетис! [За яахав дээ! Битгий тэнэг бай!] – гэж хашгирав.
Пьер юу ч санахгүй, хүч чадал нь арав дахин нэмэгддэг уур хилэнгээр дүүрэн байв. Тэр хөл нүцгэн франц хүн рүү гүйж очоод хутгаа гаргаж амжаагүй байтал аль хэдийн түүнийг унагаж, нударгаараа цохиж байв. Эргэн тойронд цугларсан олны зөвшөөрч буй хашгираан сонсогдож, тэр үед булангийн эргэн тойронд францын лантеруудын морьт эргүүл гарч ирэв. Ланкерууд Пьер, Франц хоёр руу гүйж, тэднийг хүрээлэв. Пьер дараа нь юу болсныг санахгүй байв. Тэр хэн нэгнийг зодсон, зодуулсан, эцэст нь гар нь хүлэгдэж, олон франц цэргүүд түүнийг тойрон зогсоод даашинзыг нь хайж байсныг тэр санаж байв.