Хязгаарыг шийдвэрлэх аргууд. Тодорхой бус байдал.
Функцийн өсөлтийн дараалал. Орлуулах арга

Жишээ 4

Хязгаарыг ол

Энэ бол өөрөө шийдэх энгийн жишээ юм. Санал болгож буй жишээнд дахин тодорхойгүй байдал (үндэсээс илүү өсөлтийн дараалал) байна.

Хэрэв "x" нь "хасах хязгааргүй" хандлагатай бол

Энэ нийтлэлд "хасах хязгааргүй" хий үзэгдэл нэлээд удаан үргэлжилсэн. Олон гишүүнтийн хязгаарыг авч үзье. Хэд хэдэн нюансыг эс тооцвол шийдвэрлэх зарчим, арга нь хичээлийн эхний хэсэгтэй яг адилхан байх болно.

Практик даалгавруудыг шийдвэрлэхэд шаардагдах 4 заль мэхийг харцгаая.

1) Хязгаарыг тооцоол

Хязгаарын утга нь өсөлтийн хамгийн өндөр дараалалтай тул зөвхөн нэр томъёоноос хамаарна. Хэрэв бол модулийн хувьд хязгааргүй томсөрөг тоо ТЭГШ хүч, энэ тохиолдолд - дөрөв дэх нь "нэмэх хязгааргүй" -тэй тэнцүү байна: . Тогтмол ("хоёр") эерэг, Тийм учраас:

2) Хязгаарыг тооцоолох

Ахиад л ахлах зэрэгтэй боллоо бүр, Тийм учраас: . Гэхдээ урд нь "хасах" байна ( сөрөгтогтмол -1), тиймээс:

3) Хязгаарыг тооцоолох

Хязгаарлалтын утга нь зөвхөн -ээс хамаарна. Сургуулиасаа санаж байгаачлан "хасах" нь сондгой градусын доороос "үсэрч" байдаг, тиймээс модулийн хувьд хязгааргүй томсөрөг тоог СОНДГОЙ хүчин чадалтай болгонотэнцүү "хасах хязгааргүй", энэ тохиолдолд: .
Тогтмол ("дөрөв") эерэг, гэсэн утгатай:

4) Хязгаарыг тооцоолох

Тосгоны анхны залуу дахиад л байна хачинзэрэг, үүнээс гадна, цээжинд сөрөгтогтмол, энэ нь: Тиймээс:
.

Жишээ 5

Хязгаарыг ол

Дээрх зүйлийг ашигласнаар бид энд тодорхойгүй байдал байна гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна. Тоолуур ба хуваагч нь өсөлтийн дарааллаар ижил бөгөөд энэ нь хязгаарт үр дүн нь төгсгөлтэй тоо байх болно гэсэн үг юм. Бүх шарсан махыг хаяснаар хариултыг олж мэдье:

Шийдэл нь өчүүхэн юм:

Жишээ 6

Хязгаарыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Одоо, магадгүй хамгийн нарийн тохиолдлууд:

Жишээ 7

Хязгаарыг ол

Тэргүүлэх нэр томъёог авч үзвэл энд тодорхойгүй байдал байна гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна. Тоолуур нь хуваагчаас илүү өсөлтийн дараалалтай байдаг тул бид хязгаарыг хязгааргүйтэй тэнцүү гэж шууд хэлж болно. Гэхдээ "нэмэх" эсвэл "хасах" ямар хязгааргүй вэ? Техник нь адилхан - тоологч ба хуваагч дахь жижиг зүйлээс салцгаая.

Бид шийднэ:

Тоолуур ба хуваагчийг хуваа

Жишээ 15

Хязгаарыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд эцсийн дизайны ойролцоо жишээ.

Хувьсагчийг солих сэдвээр хэд хэдэн сонирхолтой жишээ:

Жишээ 16

Хязгаарыг ол

Нэгдмэл байдлыг хязгаарт орлуулах үед тодорхойгүй байдал үүсдэг. Хувьсагчийг өөрчлөх нь аль хэдийн өөрийгөө санал болгож байгаа боловч эхлээд бид томьёог ашиглан шүргэгчийг хувиргадаг. Үнэхээр бидэнд шүргэгч яагаад хэрэгтэй байна вэ?

Тиймээс . Хэрэв энэ нь бүрэн тодорхойгүй бол синусын утгыг харна уу тригонометрийн хүснэгт. Тиймээс бид үржүүлэгчээс нэн даруй салж, үүнээс гадна 0: 0 гэсэн илүү танил болсон тодорхойгүй байдлыг олж авдаг. Манай хязгаар тэглэх хандлагатай байвал сайхан байх болно.

Орлуулъя:

Хэрэв бол

Косинусын доор бид "x" байгаа бөгөөд үүнийг "te" -ээр илэрхийлэх шаардлагатай.
Орлуулахаас бид дараахыг илэрхийлж байна.

Бид шийдлийг дуусгана:

(1) Бид орлуулалтыг гүйцэтгэдэг

(2) Косинусын доорх хаалтуудыг нээ.

(4) Зохион байгуулах анхны гайхалтай хязгаар, тоологчийг болон харилцан тоогоор зохиомлоор үржүүлнэ.

Бие даасан шийдлийн даалгавар:

Жишээ 17

Хязгаарыг ол

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Эдгээр нь тэдний ангийн энгийн даалгавар байсан бөгөөд практик дээр бүх зүйл улам дордож магадгүй юм бууруулах томъёо, та төрөл бүрийн ашиглах хэрэгтэй тригонометрийн томъёо, түүнчлэн бусад заль мэх. Цогцолборын хязгаар гэсэн нийтлэлд би хэд хэдэн бодит жишээг харлаа =)

Баярын өмнөх өдөр бид өөр нэг нийтлэг эргэлзээтэй нөхцөл байдлыг эцэст нь тодруулах болно.

"Хязгааргүйн хүчинд нэг" тодорхойгүй байдлыг арилгах

Энэхүү тодорхойгүй байдал нь "үйлчилдэг" хоёр дахь гайхалтай хязгаар, мөн тэр хичээлийн хоёрдугаар хэсэгт бид ихэнх тохиолдолд практикт олддог шийдлүүдийн стандарт жишээнүүдийг нарийвчлан авч үзсэн. Одоо илтгэгчтэй зургийг дуусгах болно, үүнээс гадна хичээлийн эцсийн даалгавруудыг "хуурамч" хязгаарт зориулах болно, үүнд 2-р гайхалтай хязгаарыг хэрэглэх шаардлагатай мэт санагдаж байна, гэхдээ энэ нь огтхон ч биш юм. хэрэг.

Хоёр дахь гайхалтай хязгаарын ажлын хоёр томьёоны сул тал нь аргумент нь "нэмэх хязгааргүй" эсвэл тэг рүү чиглэх ёстой гэсэн үг юм. Гэхдээ хэрүүл маргаан өөр тоо руу чиглэж байвал яах вэ?

Бүх нийтийн томъёолол аврах ажилд ирдэг (энэ нь үнэндээ хоёр дахь гайхалтай хязгаарын үр дагавар юм):

Тодорхой бус байдлыг дараах томъёогоор арилгаж болно.

Хаа нэгтээ би дөрвөлжин хаалт ямар утгатай болохыг аль хэдийн тайлбарласан гэж бодож байна. Онцгой зүйл байхгүй, хаалт нь зүгээр л хаалт юм. Тэдгээрийг ихэвчлэн математикийн тэмдэглэгээг илүү тод тодруулахад ашигладаг.

Томъёоны үндсэн цэгүүдийг тодруулцгаая.

1) Энэ тухай зөвхөн тодорхойгүй байдлын тухай, өөр юу ч биш.

2) "x" аргумент нь хандлагатай байж болно дурын үнэ цэнэ(зөвхөн тэг хүртэл биш эсвэл), ялангуяа "хасах хязгааргүй" эсвэл хэн чхязгаарлагдмал тоо.

Энэ томъёог ашиглан та хичээл дээрх бүх жишээг шийдэж чадна. Гайхамшигтай хязгаарууд, 2-р гайхалтай хязгаарт хамаарах. Жишээлбэл, хязгаарыг тооцоолъё:

Энэ тохиолдолд , мөн томъёоны дагуу :

Үнэн, би үүнийг хийхийг зөвлөдөггүй, уламжлал ёсоор бол шийдлийн "ердийн" загварыг ашиглах боломжтой хэвээр байна. Гэсэн хэдий ч томъёог ашиглан шалгахад маш тохиромжтой"сонгодог" жишээнүүд нь 2-р гайхалтай хязгаар юм.

Хязгаарыг хэрхэн олохыг сурахыг хүсч буй хүмүүст энэ нийтлэлд бид энэ тухай танд хэлэх болно. Бид онолыг судлахгүй, багш нар үүнийг ихэвчлэн лекц дээр өгдөг. Тиймээс "уйтгартай онолыг" дэвтэртээ тэмдэглэж авах хэрэгтэй. Хэрэв тийм биш бол та боловсролын байгууллагын номын сан эсвэл бусад интернет эх сурвалжаас авсан сурах бичгүүдийг уншиж болно.

Тиймээс дээд математикийн судалгаанд, ялангуяа интегралын тооцоололтой танилцаж, хязгаар ба интеграл хоёрын уялдаа холбоог ойлгоход хязгаарын тухай ойлголт маш чухал юм. Одоогийн материал нь энгийн жишээнүүд, түүнчлэн тэдгээрийг шийдвэрлэх арга замыг авч үзэх болно.

Шийдлийн жишээ

Жишээ 1

Тооцоолох a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Шийдэл

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ б)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Хүмүүс ихэвчлэн эдгээр хязгаарлалтыг шийдвэрлэхэд туслах хүсэлтийг бидэнд илгээдэг. Бид тэдгээрийг тусад нь жишээ болгон онцолж, дүрмээр бол эдгээр хязгаарлалтыг санаж байх хэрэгтэй гэдгийг тайлбарлахаар шийдсэн. Хэрэв та асуудлаа шийдэж чадахгүй бол бидэнд илгээнэ үү. Бид нарийвчилсан шийдлийг өгөх болно. Та тооцооллын явцыг харж, мэдээлэл авах боломжтой болно. Энэ нь таныг багшаасаа цаг тухайд нь дүнгээ авахад тусална!

Хариулт

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1) )(x) = 0 $$

Маягтын тодорхойгүй байдалд юу хийх вэ: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Жишээ 3

$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $-г шийднэ үү.

Шийдэл

Ердийнх шигээ бид $ x $ утгыг хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд орлуулж эхэлдэг. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ Одоо юу болох вэ? Эцэст нь юу болох ёстой вэ? Энэ нь тодорхойгүй байгаа тул энэ хариулт хараахан болоогүй байгаа тул бид тооцооллыг үргэлжлүүлж байна. Тоолууруудад олон гишүүнт байгаа тул бид үүнийг сургуулийн бүх хүмүүст мэддэг $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ томъёог ашиглан үржвэрлэх болно. Чи санаж байна уу? Агуу их! Одоо үргэлжлүүлээд дуундаа ашигла :) Бид тоологч $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ болохыг олж мэднэ Дээрх өөрчлөлтийг харгалзан бид шийдсээр байна. $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Хариулт

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Сүүлийн хоёр жишээн дэх хязгаарыг хязгааргүй болгож, тодорхойгүй байдлыг авч үзье: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Жишээ 5

Тооцоолох $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Шийдэл

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Юу хийх вэ? Би юу хийх хэрэгтэй вэ? Бүү сандар, учир нь боломжгүй зүйл боломжтой. Тоолуур ба хуваарийн аль алинд нь х-г гаргаж аваад дараа нь багасгах шаардлагатай. Үүний дараа хязгаарыг тооцоолохыг хичээ. Оролдоод үзье... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ 2-р жишээн дээрх тодорхойлолтыг ашиглан х-г хязгааргүйг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна. $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Хариулт

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Хязгаарыг тооцоолох алгоритм

Тиймээс жишээнүүдийг товчхон дүгнэж, хязгаарлалтыг шийдвэрлэх алгоритмыг бий болгоё.

1. Х цэгийг хязгаарын тэмдгийн дараах илэрхийлэлд орлуулна. Хэрэв тодорхой тоо эсвэл хязгааргүйг олж авбал хязгаар бүрэн шийдэгдэнэ. Үгүй бол бидэнд тодорхойгүй байдал бий: "тэг тэгээр хуваагдах" эсвэл "хязгааргүйд хуваагдах" ба зааврын дараагийн алхам руу шилжинэ.
2. "Тэгийг тэгээр хуваана" гэсэн тодорхойгүй байдлыг арилгахын тулд та тоо болон хуваагчийг хүчин зүйлээр тооцох хэрэгтэй. Ижил төстэй зүйлсийг багасгах. Х цэгийг хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд орлуулна.
3. Хэрэв тодорхойгүй байдал нь "хязгааргүйд хуваагдсан" бол бид тоологч болон хуваагч х-г хоёуланг нь хамгийн их хэмжээгээр авна. Бид X-г богиносгодог. Бид хязгаараас доогуур байгаа x утгыг үлдсэн илэрхийлэл болгон орлуулна.

Энэ нийтлэлээс та Тооцооллын хичээлд ихэвчлэн хэрэглэгддэг хязгаарыг шийдвэрлэх үндсийг сурсан. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр нь шалгуулагчдын санал болгож буй бүх төрлийн асуудал биш, зөвхөн хамгийн энгийн хязгаарлалтууд юм. Бид бусад төрлийн даалгаврын талаар дараагийн өгүүллүүдэд ярих болно, гэхдээ та эхлээд энэ хичээлийг урагшлуулахын тулд суралцах хэрэгтэй. Үндэс, зэрэг, хязгааргүй жижиг эквивалент функц, гайхалтай хязгаар, L'Hopital-ийн дүрмийг судалж үзвэл юу хийх талаар ярилцъя.

Хэрэв та хязгаарлалтыг өөрөө тодорхойлж чадахгүй бол сандрах хэрэггүй. Бид туслахдаа үргэлж баяртай байдаг!

Чиг үүрэг y = f (x)нь Х олонлогийн х элемент бүр Y олонлогийн нэг бөгөөд зөвхөн нэг у элементтэй холбогдох хууль (дүрэм) юм.

X элемент ∈ Xдуудсан функцийн аргументэсвэл бие даасан хувьсагч.
Элемент y ∈ Үдуудсан функцийн утгаэсвэл хамааралтай хувьсагч.

X олонлогийг дууддаг функцийн домэйн.
Элементүүдийн багц y ∈ Ү, X олонлогт урьдчилсан дүрстэй, гэж нэрлэдэг талбай эсвэл функцийн утгуудын багц.

Бодит функцийг дуудна дээрээс хязгаарласан (доороос), хэрэв тэгш бус байдал бүгдэд нийцэх M тоо байвал:
.
Тооны функцийг дууддаг хязгаарлагдмал, хэрэв M тоо байвал бүгдэд нь:
.

Дээд ирмэгэсвэл яг дээд хязгаарБодит функцийг дээрээс нь утгын хүрээг хязгаарладаг хамгийн бага тоо гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь хүн бүрийн хувьд, аль ч хүнд функцийн утга нь s'-ээс хэтэрсэн аргумент байдаг s тоо юм: .
Функцийн дээд хязгаарыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
.

Тус тусад нь доод ирмэгэсвэл яг доод хязгаарБодит функцийг утгын хүрээг доороос нь хязгаарладаг хамгийн том тоо гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь хүн бүрийн хувьд, аль ч хүнд функцийн утга нь i'-ээс бага аргумент байдаг i тоо юм: .
Функцийн инфимумыг дараах байдлаар тэмдэглэж болно.
.

Функцийн хязгаарыг тодорхойлох

Кошигийн дагуу функцийн хязгаарыг тодорхойлох

Төгсгөлийн цэгүүд дэх функцийн хязгаарлагдмал хязгаарууд

Функцийг тухайн цэгээс бусад тохиолдолд төгсгөлийн цэгийн зарим хэсэгт тодорхойл. Хэрэв аль нэгнийх нь хувьд тэгш бус байдал нь байгаа бүх x-ийн хувьд -аас хамааран ийм зүйл байна.
.
Функцийн хязгаарыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
.
Эсвэл цагт.

Оршихуй ба универсал байдлын логик тэмдгүүдийг ашиглан функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг дараах байдлаар бичиж болно.
.

Нэг талын хязгаарлалт.
Нэг цэг дэх зүүн хязгаар (зүүн талын хязгаар):
.
Нэг цэгийн баруун хязгаар (баруун гар талын хязгаар):
.
Зүүн ба баруун хязгаарыг ихэвчлэн дараах байдлаар тэмдэглэдэг.
; .

Хязгааргүй цэг дээрх функцийн хязгаарлагдмал хязгаарууд

Хязгааргүй цэгүүдийн хязгаарыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно.
.
.
.
Тэдгээрийг ихэвчлэн дараах байдлаар нэрлэдэг.
; ; .

Цэгийн хөршийн тухай ойлголтыг ашиглах

Хэрэв бид цэгийн цоорсон хөршийн тухай ойлголтыг оруулбал төгсгөлтэй ба хязгааргүй алслагдсан цэгүүд дэх функцийн төгсгөлийн хязгаарын нэгдсэн тодорхойлолтыг өгч болно.
.
Энд төгсгөлийн цэгүүд
; ;
.
Хязгааргүй цэгийн аль ч хөрш цоорсон байна:
; ; .

Хязгааргүй функцийн хязгаар

Тодорхойлолт
Функцийг цэгийн цоорсон ойролцоо (хязгааргүй эсвэл хязгааргүй) тодорхойлъё. Функцийн хязгаар f (x) x → x гэж 0 хязгааргүйтэй тэнцүү, хэрэв дурын олон тооны хувьд М > 0 , δ M тоо байна > 0 , M-ээс хамааран цоорсон δ M - цэгийн хөршид хамаарах бүх x-ийн хувьд дараахь тэгш бус байдал явагдана.
.
Хязгааргүй хязгаарыг дараах байдлаар тэмдэглэв.
.
Эсвэл цагт.

Оршихуй ба универсал байдлын логик тэмдгүүдийг ашиглан функцийн хязгааргүй хязгаарын тодорхойлолтыг дараах байдлаар бичиж болно.
.

Та мөн дараахтай тэнцүү тодорхой тэмдгүүдийн хязгааргүй хязгаарын тодорхойлолтыг оруулж болно:
.
.

Функцийн хязгаарын түгээмэл тодорхойлолт

Цэгийн ойр орчмын тухай ойлголтыг ашиглан бид функцийн төгсгөлтэй ба хязгааргүй хязгаарын бүх нийтийн тодорхойлолтыг өгч болно, энэ нь хязгаарлагдмал (хоёр талт ба нэг талт) болон хязгааргүй алслагдсан цэгүүдэд хамаарна.
.

Гейний дагуу функцийн хязгаарыг тодорхойлох

Функцийг зарим X олонлог дээр тодорхойлъё.
a тоог функцийн хязгаар гэж нэрлэдэгцэг дээр:
,
x-д нийлэх ямар нэгэн дарааллын хувьд 0 :
,
Элементүүд нь X олонлогт хамаарах: ,
.

Оршихуй ба түгээмэл байдлын логик тэмдгүүдийг ашиглан энэхүү тодорхойлолтыг бичье.
.

Хэрэв бид x цэгийн зүүн талын хөршийг X олонлог гэж авбал 0 , дараа нь бид зүүн хязгаарын тодорхойлолтыг олж авна. Хэрэв энэ нь баруун гартай бол бид зөв хязгаарын тодорхойлолтыг авна. Хэрэв бид хязгааргүй дэх цэгийн ойр орчмыг X олонлог гэж авбал бид хязгааргүй дэх функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг олж авна.

Теорем
Функцийн хязгаарын Коши, Хейн тодорхойлолтууд нь тэнцүү байна.
Баталгаа

Функцийн хязгаарын шинж чанарууд ба теоремууд

Цаашилбал, авч үзэж буй функцүүд нь төгсгөлтэй тоо буюу тэмдэгтүүдийн аль нэг болох цэгийн харгалзах хөршид тодорхойлогддог гэж бид таамаглаж байна: . Энэ нь бас нэг талын хязгаарын цэг байж болно, өөрөөр хэлбэл, эсвэл хэлбэртэй байна. Хөрш нь хоёр талын хязгаарын хувьд хоёр талтай, нэг талын хязгаарын хувьд нэг талтай байдаг.

Үндсэн шинж чанарууд

Хэрэв функцийн утгууд f (x)хязгаартай тооны цэгийг өөрчлөх (эсвэл тодорхойгүй болгох) x 1, x 2, x 3, ... x n, тэгвэл энэ өөрчлөлт нь дурын x цэг дэх функцийн хязгаарын оршихуй ба утгад нөлөөлөхгүй. 0 .

Хэрэв хязгаарлагдмал хязгаар байгаа бол x цэгийн цоорсон хөрш байна 0 , үүн дээр функц f (x)хязгаарлагдмал:
.

Функцийг x цэг дээр байг 0 хязгаарлагдмал тэг бус хязгаар:
.
Дараа нь интервалаас ямар ч c тооны хувьд x цэгийн ийм цоорсон хөрш байна 0 , юуны төлөө ,
, Хэрэв ;
, Хэрэв .

Хэрэв цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр , тогтмол байвал .

Х цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр хязгаарлагдмал хязгаарууд байгаа бол 0
,
Тэр .

Хэрэв , мөн цэгийн зарим хөрш дээр
,
Тэр .
Ялангуяа, хэрэв цэгийн зарим хөршид
,
дараа нь хэрэв , дараа нь ба ;
хэрэв , дараа нь ба .

Хэрэв x цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр бол 0 :
,
мөн хязгаарлагдмал (эсвэл тодорхой тэмдгийн хязгааргүй) тэнцүү хязгаарууд байдаг:
, Тэр
.

Үндсэн шинж чанаруудын нотолгоог хуудсан дээр өгсөн болно
"Функцийн хязгаарын үндсэн шинж чанарууд."

Функцийн хязгаарын арифметик шинж чанарууд

Цэгийн зарим цоорсон хэсэгт функцууд болон тодорхойлогдоно. Мөн хязгаарлагдмал хязгаар байг:
Мөн .
Мөн C нь тогтмол, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн тоо байг. Дараа нь
;
;
;
, Хэрэв .

Хэрэв тийм бол.

Арифметик шинж чанаруудын нотолгоог хуудсан дээр өгсөн болно
"Функцийн хязгаарын арифметик шинж чанарууд".

Функцийн хязгаар оршин тогтнох Коши шалгуур

Теорем
Төгсгөлийн эсвэл хязгааргүй х цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр тодорхойлогдсон функцийн тулд 0 , энэ үед хязгаарлагдмал хязгаартай байсан бөгөөд энэ нь ямар ч ε-д шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм > 0 х цэгийн ийм цоорсон хөрш байсан 0 , аль ч цэг болон энэ хөршийн хувьд дараах тэгш бус байдал байна:
.

Нарийн төвөгтэй функцийн хязгаар

Комплекс функцийн хязгаарын тухай теорем
Функцийг хязгаартай болгоод цэгийн цоорсон хөршийг цэгийн цоорсон хөрш рүү зур. Функцийг энэ хөрш дээр тодорхойлж, хязгаартай байг.
Энд эцсийн буюу хязгааргүй алслагдсан цэгүүд байна: . Хөршүүд болон тэдгээрийн холбогдох хязгаар нь хоёр талт эсвэл нэг талтай байж болно.
Дараа нь нийлмэл функцийн хязгаар байгаа бөгөөд энэ нь дараахтай тэнцүү байна.
.

Цогцолбор функцийн хязгаарын теоремыг функц нь цэг дээр тодорхойлогдоогүй эсвэл хязгаараас өөр утгатай үед хэрэглэнэ. Энэ теоремыг хэрэгжүүлэхийн тулд функцийн утгуудын багц нь тухайн цэгийг агуулаагүй цэгийн цоорсон хөрш байх ёстой.
.

Хэрэв функц нь цэг дээр тасралтгүй байвал хязгаарын тэмдгийг тасралтгүй функцийн аргументад хэрэглэж болно.
.
Дараах нь энэ тохиолдолд тохирох теорем юм.

Функцийн тасралтгүй функцийн хязгаарын тухай теорем
g функцийн хязгаар байг (t)зэрэг t → t 0 , мөн энэ нь x-тэй тэнцүү байна 0 :
.
Энд t цэг байна 0 төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй алслагдсан байж болно: .
Мөн функцийг f гэж үзье (x) x цэг дээр тасралтгүй байна 0 .
Тэгвэл е цогц функцийн хязгаар байна (g(t)), мөн f-тэй тэнцүү байна (x0):
.

Теоремуудын нотолгоог хуудсанд өгсөн болно
"Цогц функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдал".

Хязгааргүй жижиг ба хязгааргүй том функцууд

Хязгааргүй жижиг функцууд

Тодорхойлолт
Хэрэв функцийг хязгааргүй жижиг гэж нэрлэдэг
.

Нийлбэр, зөрүү, бүтээгдэхүүн-ийн хязгаартай тооны хязгааргүй жижиг функц нь -ийн хязгааргүй жижиг функц юм.

Хязгаарлагдмал функцийн бүтээгдэхүүнцэгийн зарим цоорсон хөрш дээр хязгааргүй жижиг функц нь -д хязгааргүй жижиг функц юм.

Функц хязгаарлагдмал хязгаартай байхын тулд энэ нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм
,
хязгааргүй жижиг функц хаана байна.

"Хязгааргүй жижиг функцүүдийн шинж чанарууд".

Хязгааргүй том функцууд

Тодорхойлолт
Хэрэв функцийг хязгааргүй том гэж хэлдэг
.

Цэгийн зарим нэг цоорсон хөрш дээрх хязгаарлагдмал функцийн нийлбэр буюу зөрүү ба хязгааргүй том функц нь -ийн үед хязгааргүй том функц юм.

Хэрэв функц нь -ийн хувьд хязгааргүй том бөгөөд функц нь цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр хязгаарлагддаг бол .
.

Хэрэв цэгийн зарим цоорсон хөрш дээрх функц тэгш бус байдлыг хангаж байвал:
,
ба функц нь хязгааргүй бага байна:
, ба (цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр), дараа нь
.

Үл хөдлөх хөрөнгийн нотолгоог хэсэгт үзүүлэв
"Хязгааргүй том функцүүдийн шинж чанарууд".

Төгсгөлгүй том ба хязгааргүй жижиг функцүүдийн хоорондын хамаарал

Өмнөх хоёр шинж чанараас төгсгөлгүй том ба хязгааргүй жижиг функцүүдийн хоорондын холбоог дагаж мөрддөг.

Хэрэв функц нь үед хязгааргүй том бол функц нь -д хязгааргүй жижиг байна.

Хэрэв функц нь болон -ийн хувьд хязгааргүй жижиг бол функц нь -ийн хувьд хязгааргүй том байна.

Хязгааргүй жижиг ба хязгааргүй том функцийн хоорондын хамаарлыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
, .

Хэрэв хязгааргүй жижиг функц нь тодорхой тэмдэгтэй бол цэгийн зарим цоорсон хэсэгт эерэг (эсвэл сөрөг) байвал энэ баримтыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
.
Үүний нэгэн адил, хэрэв хязгааргүй том функц нь тодорхой тэмдэгтэй байвал дараахь зүйлийг бичнэ.
.

Дараа нь хязгааргүй жижиг ба хязгааргүй том функцүүдийн хоорондох бэлгэдлийн холболтыг дараахь харьцаагаар нэмж болно.
, ,
, .

Хязгааргүй байдлын тэмдэгтэй холбоотой нэмэлт томъёог хуудаснаас олж болно
"Хязгааргүй цэгүүд ба тэдгээрийн шинж чанарууд."

Монотон функцүүдийн хязгаар

Тодорхойлолт
Зарим бодит X олонлог дээр тодорхойлсон функцийг дуудна хатуу нэмэгдэж байна, хэрэв бүгдэд нь дараах тэгш бус байдал хангагдвал:
.
Үүний дагуу, төлөө хатуу бууруулж байнафункцийн хувьд дараахь тэгш бус байдлыг хангана.
.
Учир нь буурдаггүй:
.
Учир нь өсөхгүй:
.

Үүнээс үзэхэд хатуу өсөн нэмэгдэж буй функц нь бас буурахгүй байна. Хатуу буурч байгаа функц нь мөн өсөхгүй байна.

Функцийг дууддаг нэг хэвийн, хэрэв энэ нь буурахгүй эсвэл өсөхгүй байвал.

Теорем
-ийн интервал дээр функц буурахгүй байг.
Дээрээс нь M тоогоор хязгаарлагдсан бол: хязгаарлагдмал хязгаар байна. Дээрээс хязгаарлагдахгүй бол .
Хэрэв энэ нь доороос m тоогоор хязгаарлагдах бол: тэгвэл хязгаарлагдмал хязгаар байна. Хэрэв доороос хязгаарлагдахгүй бол .

Хэрэв a ба b цэгүүд хязгааргүй байвал илэрхийлэл дэх хязгаарын тэмдэг нь .
Энэ теоремыг илүү нягт томъёолж болно.

-ийн интервал дээр функц буурахгүй байг. Дараа нь a ба b цэгүүдэд нэг талын хязгаарлалтууд байдаг:
;
.

Өсөхгүй функцийн ижил төстэй теорем.

-ийн интервал дээр функц нэмэгдэхгүй байг. Дараа нь нэг талын хязгаарлалтууд байдаг:
;
.

Теоремын баталгааг хуудсанд үзүүлэв
"Монотон функцүүдийн хязгаар".

Лавлагаа:
Л.Д. Кудрявцев. Математик анализын курс. 1-р боть. Москва, 2003 он.
CM. Никольский. Математик анализын курс. 1-р боть. Москва, 1983 он.

Тогтмол тоо Адуудсан хязгаар дараалал(x n ), хэрэв дурын жижиг эерэг тооны хувьдε > 0 бүх утгыг агуулсан N тоо байна x n, үүний хувьд n>N, тэгш бус байдлыг хангана

|x n - a|< ε. (6.1)

Үүнийг дараах байдлаар бичнэ үү: эсвэл x n →а.

Тэгш бус байдал (6.1) нь давхар тэгш бус байдалтай тэнцүү байна

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

оноо гэсэн үг x n, зарим n>N тооноос эхлэн интервал дотор хэвт (a-ε, a+ ε ), i.e. ямар ч жижиг зүйлд унахε - нэг цэгийн хөрш А.

Хязгаарлалттай дарааллыг дуудна нэгдэх, эс бөгөөс - ялгаатай.

Функцийн хязгаарын тухай ойлголт нь дарааллын хязгаарыг бүхэл аргументийн x n = f(n) функцийн хязгаар гэж үзэж болох тул дарааллын хязгаарын тухай ойлголтын ерөнхий ойлголт юм. n.

f(x) функц өгөгдсөн байг а - хязгаар цэгэнэ функцийн тодорхойлолтын домэйн D(f), i.e. -аас өөр D(f) олонлогийн цэгүүдийг агуулсан аль ч хөрш ийм цэг а. Цэг а D(f) олонлогт хамаарахгүй байж болно.

Тодорхойлолт 1.Тогтмол А тоог дуудна хязгаар функцууд f(x) цагт x→a, хэрэв аргументуудын утгуудын аль нэг дараалалд (x n ) чиглэнэ А, харгалзах дараалууд (f(x n)) ижил хязгаар А байна.

Энэ тодорхойлолтыг нэрлэдэг Гейний дагуу функцийн хязгаарыг тодорхойлох замаар,эсвэл " дэс дарааллын хэлээр”.

Тодорхойлолт 2. Тогтмол А тоог дуудна хязгаар функцууд f(x) цагт x→a, хэрэв, дурын жижиг эерэг тоог ε зааж өгснөөр, ийм δ-г олж болно>0 (ε-ээс хамаарна), энэ нь хүн бүрт зориулагдсан x, хэвтэж байнаε-тооны хөршүүд А, өөрөөр хэлбэл Учир нь x, тэгш бус байдлыг хангаж байна
0 < х-а< ε , f(x) функцийн утгууд нь байх болноε-А тооны хөрш, i.e.|f(x)-A|< ε.

Энэ тодорхойлолтыг нэрлэдэг Кошигийн дагуу функцийн хязгаарыг тодорхойлох замаар,эсвэл “ε - δ хэлээр “.

Тодорхойлолт 1 ба 2 нь тэнцүү байна. Хэрэв f(x) функц нь x →нь байна хязгаар, А-тай тэнцүү бол үүнийг маягтаар бичнэ

. (6.3)

(f(x n)) дараалал нь ямар ч ойртох аргын хязгаарлалтгүйгээр нэмэгдэх (эсвэл буурах) тохиолдолд xтаны хязгаарт А, тэгвэл бид f(x) функцтэй гэж хэлэх болно хязгааргүй хязгаар,мөн үүнийг дараах хэлбэрээр бичнэ үү.

Хязгаар нь 0 хувьсагчийг (жишээ нь дараалал эсвэл функц) дуудна хязгааргүй жижиг.

Хязгаар нь хязгааргүйтэй тэнцүү хувьсагчийг дуудна хязгааргүй том.

Практикт хязгаарыг олохын тулд дараах теоремуудыг ашиглана.

Теорем 1 . Хэрэв бүх хязгаарлалт байгаа бол

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Сэтгэгдэл. 0/0 гэх мэт илэрхийллүүд, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - жишээлбэл, хоёр хязгааргүй бага эсвэл хязгааргүй их хэмжээний харьцаа тодорхойгүй бөгөөд ийм төрлийн хязгаарыг олохыг "тодорхойгүй байдлыг илрүүлэх" гэж нэрлэдэг.

Теорем 2. (6.7)

тэдгээр. Тогтмол экспоненттай хүчин чадал дээр үндэслэн хязгаарт хүрч болно, ялангуяа, ;

(6.8)

(6.9)

Теорем 3.

(6.10)

(6.11)

Хаана д » 2.7 - натурал логарифмын суурь. (6.10) ба (6.11) томъёог эхнийх гэж нэрлэдэг гайхалтай хязгаарба хоёр дахь гайхалтай хязгаар.

(6.11) томъёоны үр дагаврыг практикт мөн ашигладаг.

(6.12)

(6.13)

(6.14)

ялангуяа хязгаар,

Хэрэв x → a ба нэгэн зэрэг x > a, дараа нь x гэж бичнэ→a + 0. Ялангуяа a = 0 бол 0+0 тэмдгийн оронд +0 гэж бичнэ. Үүнтэй адилаар хэрэв x→a ба нэгэн зэрэг x a-0. Тоонууд мөн зохих ёсоор дуудагдана баруун хязгаарТэгээд зүүн хязгаар функцууд f(x) цэг дээр А. f(x) функцийн хязгаар x→ байхын тулдa шаардлагатай бөгөөд хангалттай учраас . f(x) функцийг дуудна Үргэлжилсэн цэг дээрХэрэв хязгаар бол x 0

. (6.15)

Нөхцөл (6.15)-ыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

,

өөрөөр хэлбэл, тухайн цэг дээр тасралтгүй байвал функцийн тэмдгийн дор хязгаарт шилжих боломжтой.

Хэрэв тэгш байдал (6.15) зөрчигдвөл бид үүнийг хэлнэ цагт x = x o функц f(x) Байгаа цоорхой y = 1/x функцийг авч үзье. Энэ функцийн тодорхойлолтын домэйн нь олонлог юм Р, x = 0-ээс бусад. x = 0 цэг нь D(f) олонлогийн хязгаарын цэг бөгөөд учир нь түүний аль ч хөршид, i.e. 0 цэгийг агуулсан аливаа нээлттэй интервалд D(f) цэгүүд байдаг боловч энэ нь өөрөө энэ олонлогт хамаарахгүй. f(x o)= f(0) утга тодорхойлогдоогүй тул x o = 0 цэгт функц тасралттай байна.

f(x) функцийг дуудна цэг дээр баруун талд тасралтгүй x o хэрэв хязгаар

,

Тэгээд цэг дээр зүүн талд тасралтгүй x o, хэрэв хязгаар

.

Нэг цэг дэх функцийн тасралтгүй байдал х оЭнэ нь баруун болон зүүн талд байгаа түүний тасралтгүй байдалтай тэнцүү байна.

Функц нь цэг дээр тасралтгүй байхын тулд х о, жишээлбэл, баруун талд, нэгдүгээрт, хязгаарлагдмал хязгаар байх шаардлагатай, хоёрдугаарт, энэ хязгаар нь f(x o) -тэй тэнцүү байх ёстой. Тиймээс, эдгээр хоёр нөхцлийн дор хаяж нэг нь хангагдаагүй тохиолдолд функц нь тасалдалтай болно.

1. Хэрэв хязгаар байгаа бөгөөд f(x o) -тай тэнцүү биш бол тэд ингэж хэлдэг функц f(x) цэг дээр x o байна Эхний төрлийн хагарал,эсвэл харайх.

2. Хэрэв хязгаар нь байвал+∞ эсвэл -∞ эсвэл байхгүй, тэгвэл тэд дотор гэж хэлдэг цэгх о функц нь тасалдалтай байна хоёр дахь төрөл.

Жишээ нь, функц у = cot x at x→ +0 нь +∞-тэй тэнцүү хязгаартай, энэ нь x=0 цэг дээр хоёр дахь төрлийн тасалдалтай байна гэсэн үг. y = E(x) функц (бүхэл хэсэг x) бүхэл абсцисс бүхий цэгүүд нь эхний төрлийн тасалдалтай, эсвэл үсрэлттэй байдаг.

Интервалын цэг бүрт тасралтгүй байх функцийг дуудна Үргэлжилсэн V . Тасралтгүй функцийг хатуу муруйгаар илэрхийлнэ.

Тодорхой хэмжээний тасралтгүй өсөлттэй холбоотой олон асуудал нь хоёр дахь гайхалтай хязгаарт хүргэдэг. Ийм ажлуудад жишээлбэл: нийлмэл хүүгийн хуулийн дагуу ордын өсөлт, улсын хүн амын өсөлт, цацраг идэвхт бодисын задрал, бактерийн тархалт гэх мэт.

Ингээд авч үзье Я.И.Перелманы жишээ, тооны тайлбарыг өгч байна днийлмэл хүүгийн асуудалд. Тоо дхязгаар бий . Хадгаламжийн банкинд жил бүр хүүгийн мөнгийг үндсэн хөрөнгөд нэмж оруулдаг. Хэрэв нэгдэх нь илүү олон удаа хийгдвэл сонирхол үүсэхэд илүү их хэмжээний хөрөнгө оролцдог тул хөрөнгө илүү хурдан өсдөг. Цэвэр онолын, маш хялбаршуулсан жишээг авч үзье. 100 үгүйсгэгчийг банкинд хадгалуулъя. нэгж жилийн 100% дээр үндэслэсэн. Хэрэв хүүгийн мөнгийг жилийн дараа л үндсэн капиталд нэмбэл энэ хугацаанд 100 дэн болно. нэгж 200 мөнгөний нэгж болж хувирна. Одоо 100 далайчин юу болж хувирахыг харцгаая. нэгж, хэрэв хүүгийн мөнгийг зургаан сар тутамд үндсэн капиталд нэмбэл. Зургаан сарын дараа 100 ден. нэгж 100 болж өснө× 1.5 = 150, өөр зургаан сарын дараа - 150× 1.5 = 225 (денс. нэгж). Хэрэв элсэлтийг жилийн 1/3 тутамд хийдэг бол жилийн дараа 100 ден. нэгж 100 болж хувирна× (1 +1/3) 3 " 237 (дэн. нэгж). Хүүгийн мөнгийг 0.1 жил, 0.01 жил, 0.001 жил гэх мэтээр нэмэх нөхцөлийг нэмэгдүүлнэ. Дараа нь 100 дентээс. нэгж жилийн дараа энэ нь:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (нэгж),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (нэгж),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. нэгж).

Хүү нэмэх нөхцөлийг хязгааргүй бууруулснаар хуримтлагдсан хөрөнгө нь хязгааргүй өсөхгүй, харин ойролцоогоор 271-тэй тэнцэх тодорхой хязгаарт ойртоно. Жилийн 100% хадгалуулсан хөрөнгө нь хуримтлагдсан хүү байсан ч 2.71 дахин өсөх боломжгүй. хязгаар учир нийслэлд секунд тутамд нэмэгддэг байсан

Жишээ 3.1.Тооны дарааллын хязгаарын тодорхойлолтыг ашиглан x n =(n-1)/n дараалал нь 1-тэй тэнцүү хязгаартай болохыг батал.

Шийдэл.Бид юу ч байсан үүнийг батлах хэрэгтэйε > 0, бид юу ч авсан бай, учир нь N натурал тоо байгаа тул бүх n N хувьд тэгш бус байдал биелнэ.|x n -1|< ε.

Дурын e > 0-г авъя. x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, тэгвэл N-ийг олохын тулд 1/n тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хангалттай.< д. Тиймээс n>1/ e Тиймээс N-ийг 1/-ийн бүхэл хэсэг болгон авч болно. e , N = E(1/ e ). Бид үүгээрээ хязгаар гэдгийг нотолсон.

Жишээ 3.2 . Нийтлэг гишүүнээр өгөгдсөн дарааллын хязгаарыг ол .

Шийдэл.Нийлбэр теоремын хязгаарыг хэрэглэж гишүүн бүрийн хязгаарыг олъё. Хэзээ n→ ∞ гишүүн бүрийн хүртэгч ба хуваагч нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг ба бид хуваах хязгаарын теоремыг шууд хэрэглэх боломжгүй. Тиймээс бид эхлээд хувиргадаг x n, эхний гишүүний тоо болон хуваагчийг хуваах n 2, хоёр дахь нь дээр n. Дараа нь хуваалтын хязгаар ба нийлбэр теоремын хязгаарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олно.

.

Жишээ 3.3. . олох.

Шийдэл. .

Энд бид градусын теоремыг ашигласан: градусын хязгаар нь суурийн хязгаарын зэрэгтэй тэнцүү байна.

Жишээ 3.4 . олох ( ).

Шийдэл.Бидэнд хэлбэрийн тодорхой бус байдал байгаа тул ялгааны теоремыг хэрэглэх боломжгүй ∞-∞ . Томъёоны ерөнхий нэр томъёог өөрчилье:

.

Жишээ 3.5 . f(x)=2 1/x функц өгөгдсөн. Хязгааргүй гэдгийг батал.

Шийдэл.Функцийн хязгаарын 1-р тодорхойлолтыг дараалалаар ашиглая. 0-д ойртох дарааллыг ( x n ) авч үзье, өөрөөр хэлбэл. f(x n)= утга нь өөр өөр дарааллын хувьд өөр өөрөөр ажилладаг болохыг харуулъя. x n = 1/n гэж үзье. Мэдээжийн хэрэг, дараа нь хязгаар Одоо сонголтоо хийцгээе x n x n = -1/n нийтлэг гишүүнтэй дараалал, мөн тэг рүү тэмүүлдэг. Тиймээс ямар ч хязгаарлалт байхгүй.

Жишээ 3.6 . Хязгааргүй гэдгийг батал.

Шийдэл.x 1 , x 2 ,..., x n ,... нь дараалал байг
. (f(x n)) = (sin x n) дараалал өөр x n → ∞-д хэрхэн ажиллах вэ?

Хэрэв x n = p n бол sin x n = sin p бүгдэд нь n = 0 nболон хязгаар Хэрэв
x n =2 p n+ p /2, тэгвэл sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = бүх хүнд 1 nулмаар хязгаар. Тэгэхээр энэ байхгүй.

Хязгаарыг онлайнаар тооцоолох виджет

Дээд талын цонхонд sin(x)/x-ийн оронд хязгаарыг нь олохыг хүссэн функцээ оруулна уу. Доод цонхонд x-ийн хандлагатай тоог оруулаад Тооцооллын товчийг дарж, хүссэн хязгаараа аваарай. Хэрэв та үр дүнгийн цонхон дээр баруун дээд буланд байрлах Show алхамуудыг дарвал дэлгэрэнгүй шийдлийг авах болно.

Функц оруулах дүрэм: sqrt(x) - квадрат язгуур, cbrt(x) - шоо язгуур, exp(x) - экспонент, ln(x) - натурал логарифм, sin(x) - синус, cos(x) - косинус, tan (x) - шүргэгч, cot(x) - котангенс, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - арктангенс. Тэмдгүүд: * үржүүлэх, / хуваах, ^ экспонентаци, оронд нь хязгааргүйХязгааргүй байдал. Жишээ нь: функцийг sqrt(tan(x/2)) гэж оруулсан.

Дараалал ба функцийн хязгаарын тухай ойлголт. Дарааллын хязгаарыг олох шаардлагатай үед дараах байдлаар бичнэ: lim xn=a. Ийм дарааллаар xn нь a руу, n нь хязгааргүй рүү тэмүүлдэг. Дарааллыг ихэвчлэн цуврал хэлбэрээр илэрхийлдэг, жишээлбэл:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Дараалал нь өсөлт, бууралт гэж хуваагддаг. Жишээлбэл:
xn=n^2 - нэмэгдэж буй дараалал
yn=1/n - дараалал
Жишээлбэл, xn=1/n^ дарааллын хязгаар:
lim 1/n^2=0

x→∞
n→∞, 1/n^2 дараалал нь тэг рүү чиглэдэг тул энэ хязгаар нь тэгтэй тэнцүү байна.

Ер нь х хувьсах хэмжигдэхүүн нь хязгаарлагдмал хязгаарт хүрэх хандлагатай байдаг ба x нь a-д байнга ойртож байдаг ба a хэмжигдэхүүн нь тогтмол байдаг. Үүнийг дараах байдлаар бичнэ: limx =a, харин n нь тэг эсвэл хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. Хязгааргүй функцүүд байдаг бөгөөд тэдгээрийн хувьд хязгаар нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. Бусад тохиолдолд, жишээлбэл, функц нь галт тэрэгний хөдөлгөөнийг удаашруулж байх үед энэ нь хязгаарыг тэглэх хандлагатай байдаг.
Хязгаарлалт нь хэд хэдэн шинж чанартай байдаг. Дүрмээр бол аливаа функц зөвхөн нэг хязгаартай байдаг. Энэ бол хязгаарын гол шинж чанар юм. Бусад нь доор жагсаагдсан байна:
* Төлбөрийн хязгаар нь хязгаарын нийлбэртэй тэнцүү байна:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Бүтээгдэхүүний хязгаар нь хязгаарын үржвэртэй тэнцүү байна:
lim(xy)=lim x*lim y
* Хэмжилтийн хязгаар нь хязгаарын хуваарьтай тэнцүү байна:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Тогтмол хүчин зүйлийг хязгаарын тэмдэгээс гадуур авна:
lim(Cx)=C lim x
x →∞ 1 /x функц өгөгдсөн бол түүний хязгаар нь тэг болно. Хэрэв x→0 бол ийм функцийн хязгаар нь ∞ байна.
Тригонометрийн функцүүдийн хувьд эдгээр дүрмийн зарим нь байдаг. sin x функц нь тэг рүү ойртох үед үргэлж нэгдмэл байх хандлагатай байдаг тул ижил төстэй байдал нь үүнд хамаарна:
lim sin x/x=1

Хэд хэдэн функцэд хязгаарыг тооцоолохдоо тодорхойгүй байдал үүсдэг функцүүд байдаг - хязгаарыг тооцоолох боломжгүй нөхцөл байдал. Энэ байдлаас гарах цорын ганц арга зам бол L'Hopital. Хоёр төрлийн тодорхойгүй байдал байдаг:
* 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдал
* ∞/∞ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал
Жишээлбэл, lim f(x)/l(x), f(x0)=l(x0)=0 гэсэн хэлбэрийн хязгаарыг өгсөн. Энэ тохиолдолд 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдал үүсдэг. Ийм асуудлыг шийдэхийн тулд хоёр функцийг ялгаж, дараа нь үр дүнгийн хязгаарыг олно. 0/0 төрлийн тодорхойгүй байдлын хувьд хязгаар нь:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (x→0 үед)
Үүнтэй ижил дүрэм нь ∞/∞ төрлийн тодорхойгүй байдлын хувьд мөн адил байна. Гэхдээ энэ тохиолдолд дараах тэгш байдал үнэн болно: f(x)=l(x)=∞
L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан та тодорхой бус байдал гарч ирэх аливаа хязгаарын утгыг олох боломжтой. Урьдчилсан нөхцөл

эзлэхүүн - дериватив олоход алдаа гарахгүй. Жишээлбэл, (x^2)" функцийн дериватив нь 2x-тэй тэнцүү байна. Эндээс бид дараах дүгнэлтийг хийж болно.
f"(x)=nx^(n-1)