Таны асуултанд хариулахаасаа өмнө би эндүүрэл байгаа гэж бодож байгаагаа тодорхой хэлье. Албан ёсны математикийн хувьд $infty$ бол тоо биш.Математикчид $infty$-г тоо гэж үздэггүйн шалтгаан нь хэрэв бид тэгвэл бид тодорхой буруу дүгнэлт хийх байсан.

Жишээлбэл, өмчийн тоонуудын нэг нь тэгшитгэлийн хоёр талаас ижил тоог хасч, тэгшитгэл үнэн хэвээр байх болно. Жишээлбэл, би $x+1=4$ тэгшитгэлийн хоёр талаас $1$-г хасаж $x=3$-ийг гаргаж болно. Нөгөө талаас, хэрэв би $infty$-г энгийн тоо гэж үзэж, "тэгшитгэл"-ийн $infty + 1 = \infty$ хоёр талаас $infty$-г хасвал $1=0$ болох нь илт худал болно.

Үүний оронд математикчид $infty$ гэж боддог хязгаар. Товчоор хэлбэл, хэрэв та $infty$-г функцэд "залгахыг" хүсвэл илүү олон цифрийг залгаж, юу болохыг харна гэсэн үг юм. урт хугацааны. Жишээ нь, бид $lim_(x\to\infty)\frac(1)(x)=0$ гэж бичээд "$f (x) = 1/x$ функцэд том, том тоог залгах тусам, функц нь дур зоргоороо тэг рүү ойртдог." Энэ тодорхой хязгаарлалт зөв гэдэгт та өөрийгөө итгүүлэх хэрэгтэй. Зарим тохиолдолд хязгаар нь хязгааргүй байдаг; Энэ бүхэн нь функцэд том, том тоонуудыг залгах тусам функц дур зоргоороо томрох болно гэсэн үг юм. Жишээлбэл,

• $lim_(x to infty)x = infty$ .
• $lim_(x to infty)x^2 = infty$ .

Таны асуултад хариулахын тулд $infty$-д оролцоход юу ч тохиолдож болно. Миний саяын өгсөн хоёр жишээг харцгаая.Хэдийгээр $f (x) = x$ ба $g (x) = x^2$ функцууд нь $x$ хязгааргүйд шилжиж байгаатай адил хоёр дахь нь өсдөг. олонИлүү хурдан. Тохиолдолд: $f (100) = $100 ба $g (100) = $10,000. Үнэн хэрэгтээ $g (x)$ маш хурдан өсдөг тул $g (x) - f (x)$ (энэ нь ердөө $x^2-x$ гэдгийг санаарай) ялгаа $x$ явах тусам хязгааргүй болно. хязгааргүйд руу. Үнэт зүйлсээ оруулснаар та үүнд өөрийгөө итгүүлж чадна. Тэмдэгтэд $lim_(x\to\infty)(x^2 - x) = \infty.$ Албан бусаар хэлбэл $infty- infty = infty$ байх боломжтой!

Хэрэв энэ үр дүн таны хувьд эсрэг тэсрэг мэт санагдаж байвал энэ нь та $infty- infty = infty $ тэгшитгэлийн зүүн гар талд байгаа хоёр хязгаарыг ижил $infty$ гэж бодож байгаатай холбоотой юм: үнэндээ тэдгээр нь өөр юм. Эхний $infty$ нь $g (x) = x^2$ функцээс гаралтай бөгөөд ямар нэг утгаараа илүү том$f (x) = x$ функцийн $infty$-аас $x^2$ нь $x$-ээс хамаагүй хурдан томордог.

Ямар ч тохиолдолд та дараах мэдэгдлийг үнэн болгох өөр функцуудыг гаргаж ирж болно (өөрөөр хэлбэл та $infty$-д янз бүрийн хурдаар ойртож болно).

• $infty- infty $ нь $- infty$ болон $+ infty$ хооронд ямар ч тэнцүү байж болно.
• $infty/ infty$ нь $- infty$ болон $+ infty$ хооронд ямар ч тэнцүү байж болно.
• $infty^0$ нь $0$-с $+ infty$ хооронд ямар нэгэн зүйлтэй тэнцэж болно.

Эцэст нь хэлэхэд, $infty$-ыг залгахад танд ямар ч хариулт өгөхгүй тохиолдол байж болно. Хэрэв та тригонометрийн хичээлийг үзсэн бол график нь $- хооронд долгион шиг нааш цааш хэлбэлздэг синус функцийг мэддэг байх магадлалтай. 1$ ба $+ 1$ . (Би синусын графын зургийг энд оруулах гэж оролдсон боловч энэ сайтад шинээр орсон тул үүнийг ажиллуулж чадсангүй. Google зураг дээрээс "синусын график" гэж хайгаад үзээрэй. .) Хэрэв та $sin (x)$ руу том, том тоонуудыг залгавал ямар ч тогтмол тоонд ойртохгүй. Тэгэхээр $sin infty$ байдаггүй.

"Бидний мэддэг зүйл хязгаарлагдмал, харин мэдэхгүй зүйл бол хязгааргүй юм."

Пьер-Симон Лаплас (1749-1827), Францын эрдэмтэн

Хязгааргүй хайр, асар их аз жаргал, уудам орон зай, мөнх цэвдэг, хязгааргүй далай, бүр төгсгөлгүй сургамж. IN Өдөр тутмын амьдралБид аливаа юмс, үзэгдлийг хязгааргүй гэж нэрлэдэг ч энэ ойлголтын жинхэнэ утгын талаар огт боддоггүй. Үүний зэрэгцээ, эрт дээр үеэс теологчид, философичид болон хүн төрөлхтний бусад агуу оюун ухаантнууд түүний утгыг ойлгохыг хичээсээр ирсэн. Хязгааргүй гэж нэрлэгддэг зүйлийн талаархи мэдлэгийг зөвхөн математикчид л ахиулсан.

Хязгааргүй байдал гэж юу вэ?

Бидний эргэн тойронд байгаа зүйлсийн ихэнхийг бид хязгааргүй гэж ойлгодог боловч бодит байдал дээр энэ нь бүрэн хязгаарлагдмал зүйл болж хувирдаг. "Хэрэв та асар том далайн эрэг дээр зуун жил тутамд нэг ширхэг элсний ширхэг цуглуулвал далайн эрэг дээрх бүх элсийг цуглуулахад үүрд мөнх шаардлагатай болно" гэж тэд хүүхдүүдэд хязгааргүй байдал ямар том болохыг заримдаа ингэж тайлбарладаг. Гэвч үнэн хэрэгтээ элсний ширхэгийн тоо хязгааргүй биш юм. Тэднийг тоолох нь физикийн хувьд боломжгүй боловч тэдний тоо нь дэлхийн массыг нэг элсний масстай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү утгаас хэтрэхгүй гэдгийг бид итгэлтэйгээр хэлж чадна.

Эсвэл өөр жишээ. Хэрэв та хоёр толины хооронд зогсвол тусгал нь хоёр толинд давтагдаж, алсад орж, улам бүр багасч, хаана дуусахыг тодорхойлох боломжгүй гэж олон хүмүүс боддог. Харамсалтай нь энэ бол хязгааргүй зүйл биш юм. Үнэхээр юу болоод байна аа? Ямар ч толь туссан гэрлийг 100% тусгадаггүй. Маш өндөр чанартай толь нь гэрлийн 99%-ийг тусгаж чаддаг ч 70 удаа тусгасны дараа 50% нь, 140 удаа тусгасны дараа 25% нь л үлдэнэ гэх мэт гэрэл гэгээ бага болтол үлдэнэ. Нэмж дурдахад ихэнх толь нь муруй хэлбэртэй байдаг тул таны харж буй олон тусгал нь "тохойг тойрон" дуусдаг.

Математик хязгааргүй байдалд хэрхэн ханддагийг харцгаая. Энэ нь таны урьд өмнө тулгарч байсан хязгааргүй байдлын тухай ойлголтоос тэс өөр бөгөөд бага зэрэг төсөөлөл шаарддаг.

Математик дахь хязгааргүй байдал

Математикийн хувьд ялгаа бий боломжТэгээд Одоогийнхязгааргүй.

Тэд тодорхой хэмжигдэхүүн нь хязгааргүй потенциалтай гэж хэлэхэд түүнийг хязгааргүй нэмэгдүүлэх боломжтой, өөрөөр хэлбэл түүнийг нэмэгдүүлэх боломж үргэлж байдаг гэсэн үг юм.

Бодит хязгааргүй байдлын тухай ойлголт нь "энд, одоо" аль хэдийн үнэхээр оршдог хязгааргүй утгыг илэрхийлдэг. Энгийн DIRECT шугамын жишээн дээр үүнийг тайлбарлая.

Жишээ 1.

Боломжит хязгааргүй байдал гэдэг нь шулуун шугам байгаа бөгөөд түүнийг тасралтгүй сунгаж болно гэсэн үг юм (жишээ нь, түүн дээр сегментүүдийг ашиглах замаар). Энд онцолж байгаа зүйл нь шугам нь хязгааргүй гэдгийг биш, харин хязгааргүй үргэлжлүүлж болно гэдгийг анхаарна уу.

Бодит хязгааргүй гэдэг нь бүхэл бүтэн хязгааргүй шулуун шугам одоо цагт аль хэдийн байгаа гэсэн үг юм. Гэхдээ нэг ч амьд хүн хязгааргүй шулуун шугамыг үзээгүй бөгөөд бие махбодийн хувьд үүнийг хийж чадахгүй байгаа нь асуудал юм! Шулуун шугамыг эцэс төгсгөлгүй уртасгах нь нэг хэрэг, төгсгөлгүй шулуун шугам үүсгэх нь огт өөр зүйл юм. Энэхүү маш нарийн ялгаа нь боломжит хязгааргүйг бодит хязгааргүй байдлаас ялгаж өгдөг. Өө! Эдгээр хязгааргүй байдлыг даван туулахын тулд маш их төсөөлөл хэрэгтэй! Өөр нэг жишээг харцгаая.

Жишээ 2.

Та 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10... гэсэн натурал тоонуудын цуваа бүтээхээр шийдсэн гэж бодъё.

Хэзээ нэгэн цагт та маш их тоо n-д хүрч, үүнийг хамгийн том тоо гэж бодож байна. Яг энэ мөчид таны найз n тоондоо 1 (нэг) нэмээд түүнээс ч их тоо k = n + 1 авах нь түүнд ямар ч зардал гарахгүй гэж хэлж байна. Дараа нь та бага зэрэг шархадсан тул тоон дээр нэмэхэд юу ч саад болохгүй гэдгийг ойлгож байна. k нэгийг тоолж, k+1 тоог авна. Ийм алхмуудын тоог урьдчилан хязгаарласан уу? Үгүй Мэдээжийн хэрэг, та болон таны найз дараагийн алхам m + 1-ийг хийхэд хангалттай хүч чадал, цаг хугацаа байхгүй байж магадгүй ч та эсвэл өөр хэн нэгэн энэ цувралыг үргэлжлүүлэн бүтээх боломжтой. Энэ тохиолдолд бид боломжит хязгааргүй байдлын тухай ойлголтыг олж авдаг.

Хэрэв та болон таны найз элементүүд нь нэгэн зэрэг орших натурал тоонуудын хязгааргүй цувралыг бүтээж чадвал энэ нь бодит хязгааргүй байх болно. Гэхдээ үнэн бол хэн ч бүх тоог бичиж чадахгүй - энэ бол маргаангүй баримт юм!

Боломжит хязгааргүй байдал нь бидний хувьд илүү ойлгомжтой, учир нь үүнийг төсөөлөхөд хялбар байдаг гэдгийг хүлээн зөвшөөр. Тиймээс эртний философич, математикчид зөвхөн боломжит хязгааргүй байдлыг хүлээн зөвшөөрч, бодит хязгааргүй ажиллах боломжийг эрс үгүйсгэдэг байв.

Галилеогийн парадокс

1638 онд агуу Галилео "Хязгааргүй олон нь үргэлж тэнцүү хязгааргүй олон байдаг уу?" Гэсэн асуултыг тавьжээ. Эсвэл их, бага хязгааргүй байж болох уу?"

Тэрээр хожим "Галилейн парадокс" гэж нэрлэсэн постулатыг томъёолсон: Натурал тоонуудын квадраттай адил олон натурал тоо байдаг, өөрөөр хэлбэл 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10... ижил тооны элемент байна, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100... олонлогт хэд байгаа вэ?

Парадоксын мөн чанар нь дараах байдалтай байна.

Зарим тоонууд нь төгс квадратууд (өөрөөр хэлбэл бусад тооны квадратууд), жишээлбэл: 1, 4, 9... Бусад тоонууд нь төгс квадратууд биш, жишээ нь 2, 3, 5... Энэ нь илүү их байх ёстой гэсэн үг юм. зүгээр л төгс квадрат гэхээсээ илүү төгс квадратууд ба энгийн тоонуудыг хамтад нь. Тийм үү? Зөв.

Гэхдээ нөгөө талаас: тоо бүрийн хувьд яг дөрвөлжин, харин эсрэгээр - яг квадрат бүрийн хувьд бүхэл байдаг. Квадрат язгуур, тиймээс ижил тооны яг квадрат ба натурал тоо байх ёстой. Тийм үү? Зөв.

Галилейгийн үндэслэл нь бүхэл нь өөрийн аль ч хэсгээс илүү байдаг гэсэн үгүйсгэх аргагүй аксиомтой зөрчилдсөн юм. Тэр хязгааргүй байдлын аль нь илүү вэ - эхний эсвэл хоёр дахь нь хариулж чадаагүй. Галилео ямар нэг зүйлийн талаар андуурсан, эсвэл ийм харьцуулалт нь хязгааргүйд хамаарахгүй гэж үздэг байв. Сүүлд нь түүний зөв байсан, учир нь гурван зууны дараа Георг Кантор "хязгааргүйн арифметик нь төгсгөлийн арифметикээс өөр" гэдгийг нотолсон.

Тоолж болох хязгааргүй: хэсэг нь бүхэлтэй тэнцүү

Жорж КанторОлонлогийн онолыг үндэслэгч (1845-1918) математикт бодит хязгааргүй байдлыг ашиглаж эхэлсэн. Тэрээр хязгааргүй байдал нэгэн зэрэг оршдог гэдгийг хүлээн зөвшөөрсөн. Хязгааргүй олонлог байдаг тул нэг дор тэдэнтэй математикийн заль мэхийг хийж, бүр харьцуулах боломжтой. Хязгааргүй байдлын хувьд "тоо", "хэмжээ" гэсэн үг тохиромжгүй тул "хүч" гэсэн нэр томъёог оруулсан. Стандарт болгон Кантор аливаа зүйлийг тоолоход хангалттай хязгааргүй натурал тоог авч, энэ олонлогийг тоолж болох ба түүний хүчийг - тоолж болох олонлогийн хүч гэж нэрлэж, бусад олонлогийн чадвартай харьцуулж эхлэв.

Тэрээр натурал тооны олонлог нь тэгш тооны олонлогтой адил олон элементтэй болохыг баталсан! Үнэндээ нэгийг нь нөгөөгийнхөө доор бичье:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20...

Өнгөц харахад эхний багц нь хоёр дахь дугаараас хоёр дахин их тоо агуулсан байх нь ойлгомжтой юм. Гэхдээ нөгөө талаас түүний аль нэг тоо нь эхний дарааллын яг нэг тоотой тохирч байгаа тул хоёр дахь дарааллыг бас тоолж болох нь ойлгомжтой. Мөн эсрэгээр! Тиймээс хоёр дахь дарааллыг эхнийхээс өмнө дуусгах боломжгүй юм. Тиймээс эдгээр багцууд нь адилхан хүчтэй! Натурал тоонуудын квадратуудын багц (Галилейгийн парадокс) нь тоолж болохуйц бөгөөд натурал тоонуудын олонлогтой тэнцүү болох нь үүнтэй адил нотлогдсон. Үүнээс үзэхэд бүх тоолж болох хязгааргүй хүч тэнцүү байна.

Энэ нь маш сонирхолтой харагдаж байна: тэгш тоонуудын багц ба натурал тооны квадратуудын багц (Галилейгийн парадокс) нь натурал тооны олонлогийн нэг хэсэг юм. Гэхдээ тэр үед тэд адилхан хүчтэй байдаг. Тиймээс, ХЭСЭГ НЬ БҮХЭЛДЭЭ ТЭГШ БАЙНА!

Тоо томшгүй олон хязгааргүй

Гэхдээ бид тэгш тоо, натурал тооны квадраттай адил хязгааргүй бүрийг дахин тооцоолж болохгүй. Хэсэг дээрх цэгүүдийг, бодит тоонуудыг (бүх төгсгөлтэй ба хязгааргүй аравтын бутархайгаар илэрхийлсэн), тэр ч байтугай 0-ээс 1 хүртэлх бүх бодит тоог тоолж чадахгүй нь тодорхой боллоо. Математикт тэдний тоог тоолж баршгүй гэж хэлдэг.

Үүнийг бутархай тоонуудын дарааллын жишээн дээр авч үзье. Бутархай тоо нь бүхэл тоонд байдаггүй өмчтэй байдаг. Дараалсан хоёр бүхэл тоонуудын хооронд өөр бүхэл тоо байхгүй. Жишээлбэл, 8-аас 9-ийн хооронд өөр ямар ч бүхэл тоо багтахгүй. Гэхдээ хэрэв бид бүхэл тоонуудын багцад бутархай тоог нэмбэл энэ дүрэм үйлчлэхээ болино. Тийм ээ, тоо

8-аас 9-ийн хооронд байх болно. Үүнтэй адилаар та A ба B хоёр тооны хооронд байрлах тоог олох боломжтой:

Энэ үйлдлийг тодорхойгүй хугацаагаар давтаж болох тул дурын хоёр бодит тооны хооронд үргэлж хязгааргүй тооны бусад бодит тоо байх болно гэж маргаж болно.

Иймд бодит тооны хязгааргүйг тоолж баршгүй, натурал тооны хязгааргүйг тоолж болно. Эдгээр хязгааргүй байдал нь тэнцүү биш боловч тоолж баршгүй бодит тооны багцаас тоолж болох хэсгийг, жишээлбэл, натурал эсвэл тэгш тоонуудыг сонгох боломжтой. Тиймээс тоолж баршгүй хязгааргүй нь тоолж болох хязгааргүйгээс илүү хүчтэй байдаг.

Бүх хүмүүс энэ тоог мэддэг бөгөөд үүнийг үл ойлгогдохуйц асар том зүйлийг дүрслэхийн тулд ашигладаг. Гэсэн хэдий ч хязгааргүй байдал нь анх харахад тийм ч энгийн ойлголт биш юм.

1. Хязгааргүй байдлын дүрмийн дагуу тэгш, сондгой тоо хязгааргүй олон байдаг. Гэхдээ сондгой тоо нь нийт тооны яг тал хувь байх болно.

2. Хязгааргүйг нэмэх нь нэгийг тэнцүүлэх нь хязгааргүй, нэгийг хасвал бид хязгааргүй болно, хоёр хязгаарыг нэмбэл бид хязгааргүй болно, хязгаарыг хоёр хуваавал хязгааргүй болно, хэрэв бид хязгааргүйг хязгааргүйгээс хасвал үр дүн нь бүрэн тодорхой биш, харин хязгааргүйд хуваагдах нь хамгийн их магадлалтай юм. , нэгтэй тэнцүү.

3. Эрдэмтэд орчлон ертөнцийн мэдэгдэж буй хэсэгт 1080 субатомын бөөмс байдгийг тогтоосон - энэ бол судлагдсан хэсэг юм. Орчлон ертөнц хязгааргүй гэдэгт олон эрдэмтэд итгэлтэй байгаа бөгөөд Орчлон ертөнцийн хязгааргүй гэдэгт эргэлздэг эрдэмтэд энэ асуудалд ийм боломжийг хүлээн зөвшөөрдөг хэвээр байна.

4. Хэрэв орчлон ертөнц хязгааргүй бол математикийн үүднээс харахад хаа нэг газар байдаг. яг хуулбарманай гараг, учир нь "ихэр" -ийн атомууд манай гаригийнхтай ижил байр суурь эзэлдэг байх магадлалтай. Ийм сонголт байх магадлал маш бага боловч хязгааргүй ертөнцЭнэ нь зөвхөн боломжтой төдийгүй, Орчлон ертөнц хязгааргүй хязгааргүй хэвээр байгаа нөхцөлд, ядаж хязгааргүй олон удаа тохиолдох ёстой.

5. Гэсэн хэдий ч хүн бүр орчлон ертөнц хязгааргүй гэдэгт итгэлтэй байдаггүй. Израилийн математикч, профессор Дорон Селбергер тоо хязгааргүй өсөх боломжгүй, үүн дээр нэгийг нэмбэл тэг болох маш том тоо байдаг гэдэгт итгэлтэй байна. Гэсэн хэдий ч энэ тоо, түүний утга нь хүний ​​ойлголтоос хол давсан бөгөөд энэ тоо хэзээ ч олдохгүй, нотлогдохгүй байх магадлалтай. Энэхүү итгэл үнэмшил нь хэт хязгааргүй гэж нэрлэгддэг математикийн философийн гол зарчим юм.

"Тархины шуудан" хэрхэн ажилладаг вэ - тархинаас тархи руу мессежийг интернетээр дамжуулдаг

Шинжлэх ухаан эцэст нь илчилсэн дэлхийн 10 нууц

Эрдэмтдийн яг одоо хариулт хайж байгаа Орчлон ертөнцийн тухай 10 гол асуулт

2500 жилийн түүхтэй шинжлэх ухааны нууц: Бид яагаад эвшээдэг вэ?

Хувьслын онолыг эсэргүүцэгчид өөрсдийн мунхаг байдлаа зөвтгөхийн тулд ашигладаг хамгийн тэнэг 3 аргумент

Шинэ онолоор параллель орчлон ертөнц үнэхээр оршин тогтнож магадгүй юм

Хязгааргүй юм хийсвэр ойлголт, хязгааргүй эсвэл хязгааргүй зүйлийг дүрслэх, илэрхийлэхэд ашигладаг. Энэ ойлголт нь математик, астрофизик, физик, гүн ухаан, логик, урлагт чухал ач холбогдолтой юм.

Энд цөөн хэдэн байна гайхалтай баримтуудМатематикийг төдийлөн сайн мэдэхгүй хүн бүрийн сэтгэлийг хөдөлгөж чадах энэхүү цогц ойлголтын талаар.

Хязгааргүй байдлын тэмдэг

Хязгааргүй байдал нь өөрийн гэсэн тусгай тэмдэгтэй: ∞. Энэ тэмдэг буюу лемнискатын шашны зүтгэлтэн, математикч Жон Уоллис 1655 онд танилцуулсан. "Лемнискат" гэдэг үгнээс гаралтай Латин үг lemniscus, "тууз" гэсэн утгатай.

Уоллис хязгааргүй байдлын тэмдгийг Ромын 1000 тоон дээр үндэслэсэн байж магадгүй бөгөөд түүний хажууд Ромчууд тооноос гадна "тоо томшгүй олон" гэж бичдэг байжээ. Энэ тэмдэг нь омега (Ω эсвэл ω) дээр үндэслэсэн байж магадгүй юм. сүүлчийн захидалГрек цагаан толгой.

Сонирхолтой баримт бол хязгааргүй байдлын тухай ойлголт нь Уоллис түүнд бидний өнөөг хүртэл ашигладаг бэлгэдлийг өгөхөөс өмнө маш их ашиглагдаж байсан явдал юм.

МЭӨ 4-р зуунд "Сурья Пражнапти Билгүүн" хэмээх Жайнчуудын математикийн бичвэрт бүх тоог гурван ангилалд хувааж, тус бүр нь гурван дэд ангилалд хуваагджээ. Эдгээр ангилалд тоолж болдог, тоологдохгүй, хязгааргүй тоонууд багтсан.

Зеногийн апориа

МЭӨ V зуунд төрсөн Елеагийн Зено. д., парадокс буюу апориа, түүний дотор хязгааргүй байдлын тухай ойлголтоороо алдартай байв.

Зеногийн бүх парадоксуудаас хамгийн алдартай нь Ахиллес ба яст мэлхий юм. Апориад яст мэлхий сорилтод ордог Грекийн баатарАхиллес, түүнийг уралдаанд урьж байна. Яст мэлхий хэрвээ Ахиллес түүнд мянган алхмаар түрүүлэх юм бол тэр уралдаанд түрүүлнэ гэж мэдэгджээ. Парадоксын дагуу, Ахиллес бүхэл бүтэн зайг гүйх хугацаанд яст мэлхий ижил чиглэлд дахиад зуун алхам хийх болно. Ахиллес дахиад зуун алхам гүйж байхад яст мэлхий дахиад арван алхам хийх цаг гарна гэх мэтээр буурах дарааллаар.

Илүү энгийн байдлаар парадоксыг дараах байдлаар харна: хэрэв дараагийн алхам бүр өмнөхөөсөө хагастай тэнцүү байвал өрөөгөөр дамжин өнгөрөхийг хичээ. Хэдийгээр алхам бүр таныг өрөөний захад ойртуулдаг ч та хэзээ ч түүнд хүрэхгүй, эсвэл хүрэх ч энэ нь хязгааргүй олон алхам хийх болно.

Орчин үеийн тайлбаруудын нэгээр бол энэ парадокс нь цаг хугацаа, орон зайн хязгааргүй хуваагдах тухай хуурамч санаа дээр суурилдаг.

Пи бол хязгааргүй байдлын жишээ юм

Хязгааргүй байдлын гайхалтай жишээ бол pi тоо юм. Математикчид бүх тоог бичих боломжгүй тул pi-ийн тэмдэглэгээг ашигладаг. Пи нь хязгааргүй тооны тооноос бүрдэнэ. Энэ нь ихэвчлэн 3.14 эсвэл бүр 3.14159 хүртэл дугуйрдаг боловч аравтын бутархайн дараа хэдэн орон бичих нь хамаагүй, учир нь тооны төгсгөлд хүрэх боломжгүй юм.

Хязгааргүй сармагчин теорем

Хязгааргүй байдлын тухай бодох өөр нэг арга бол хязгааргүй сармагчин теоремыг авч үзэх явдал юм. Теоремийн дагуу, хэрэв та сармагчинд бичгийн машин, хязгааргүй хугацаа өгвөл тэр сармагчин эцэстээ Гамлет эсвэл өөр ямар ч ажлыг бичих боломжтой болно.

Олон хүмүүс теоремыг боломжгүй зүйл гэж байдаггүй гэсэн итгэл үнэмшлийн илэрхийлэл гэж үздэг бол математикчид үүнийг тодорхой үйл явдал боломжгүй гэдгийг нотлох баримт гэж үздэг.

Фрактал ба хязгааргүй байдал

Фрактал нь математик, урлагт хэрэглэгддэг хийсвэр математикийн объект бөгөөд ихэнхдээ загварчлагддаг. байгалийн үзэгдлүүд. Фракталыг математикийн тэгшитгэл хэлбэрээр бичдэг. Фракталыг харахад түүний нарийн төвөгтэй бүтцийг ямар ч масштабаар харж болно. Өөрөөр хэлбэл, фрактал нь хязгааргүй тэлэх боломжтой.

Кохын цасан ширхэг сонирхолтой жишээфрактал Цасан ширхгүүд нь тэгш талт гурвалжин шиг харагддаг бөгөөд хязгааргүй урттай битүү муруй үүсгэдэг. Муруйг нэмэгдүүлснээр та үүн дээр илүү дэлгэрэнгүй мэдээллийг харах боломжтой. Муруйг нэмэгдүүлэх үйл явц нь хязгааргүй олон удаа үргэлжилж болно. Хэдийгээр Кох цасан ширхгийн талбай хязгаарлагдмал боловч хязгааргүй урт шугамаар хязгаарлагддаг.

Янз бүрийн хэмжээтэй хязгааргүй байдал

Хязгааргүй байдал нь хязгааргүй, гэхдээ үүнийг харьцангуйгаар хэмжиж болно. Эерэг тоонууд(0-ээс их) ба сөрөг тоо (0-ээс бага) нь хязгааргүй олон тооны тоогоор сайрхаж чадна. тэнцүү хэмжээтэй. Хэрэв та хоёр багцыг нэгтгэвэл юу болох вэ? Хоёр дахин том багцыг хийдэг. Эсвэл өөр нэг жишээ - бүх тэгш тоо (тэдгээрийн тоо хязгааргүй байдаг). Гэсэн хэдий ч энэ нь бүхэл тооны хязгааргүй тооны зөвхөн тал нь юм. Өөр нэг жишээ бол хязгааргүйд нэгийг нэм. 1-ийн тоог хязгааргүйгээс илүү сур.

Сансар судлал ба хязгааргүй байдал

Сансар судлаачид орчлон ертөнцийг судалдаг бөгөөд тэдний хувьд хязгааргүй байдлын тухай ойлголт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг нь гайхах зүйл биш юм. Орчлон ертөнц хил хязгаартай юу эсвэл хязгааргүй юу?

Энэ асуулт хариултгүй хэвээр байна. Манай орчлон ертөнц тэлж байна, гэхдээ хаана? Мөн энэ өргөтгөлийн хязгаар хаана байна вэ? Физик орчлонд хил хязгаар байдаг ч гэсэн биднийхээс өөр физикийн хуультай байж болох хязгааргүй олон тооны орчлон ертөнц оршин байдаг гэж үздэг олон ертөнцийн онол бидэнд байсаар байна.

Тэгээр хуваах

Тэгээр хуваах зүйл байхгүй. Энэ нь наад зах нь энгийн математикийн хувьд боломжгүй юм. Бидний дассан математикт нэгийг тэгээр хуваахыг тодорхойлох боломжгүй. Энэ бол алдаа. Гэсэн хэдий ч энэ нь үргэлж тийм байдаггүй. Өргөтгөсөн онолын хувьд нийлмэл тоонэгийг тэгээр хуваах нь гэнэтийн сүйрлийг үүсгэдэггүй бөгөөд ямар нэгэн хязгааргүй хэлбэрээр тодорхойлогддог. Өөрөөр хэлбэл, математик нь өөр бөгөөд энэ нь бүгд сурах бичигт заасан дүрмээр хязгаарлагдахгүй.

-тай холбоотой

Хязгааргүй байдал байдаг уу?

Орчлон ертөнц хязгааргүй бөгөөд хэрэв тийм бол "энэ байж болохгүй". Тэгээд хэрэв Үгүй ээ, нөгөө талд юу байна? Мөн хэн хязгаарлагдмал тухай үлгэрт дуртайбөмбөрцөг гэх мэт ирмэггүй олон талт бодлуудыг ирмэг рүү перпендикуляр илгээнэ.Тэнд юу байна? Эсвэл хэн. Зохиомол хязгааргүй байдал нь тийм ч гайхалтай биш, гэхдээ басойлгомжгүй, газар. Жорж Кантор. Хязгааргүй байдлын харьцуулалт. Үргэлжлэл. АсаалттайДөрвөлжинд хэрчим дээр байгаа шиг олон цэг байдаг.

Тэнгэрийн эзэнт гүрний асуудлуудыг оюун ухаанаар биш харин гэдэс дотроос нь хүлээн авдаг бол орон зайн мөнхөд шатаах мэдрэмж нь цочирддог. Дараа нь цоолох дуудлага " шавхагдашгүй байдал"Бага багаар зогсонги байдалд орж, бодит байдалд шатаж, тэр хүн төсөөллийн ертөнцөд нуугдаж байна. Сайн нуугдах боломжгүй хэвээр байна.

Үзэл санааны ертөнцөд хязгааргүй байдал өөр хэлбэрээр илэрдэг. Байгалийн цуваа ямар утгаараа байдаг вэ? Илгээх үйл явц уу эсвэл дууссан үйл явц уу? Бүхэл тооТэдгээрийг барьж болох уу эсвэл аль хэдийн бэлэн болсон уу? Эхлээд асуудал

схоластик үзлийн үнэр. Энэ нь үнэхээр чухал юм шиг санагдаж байна. Ямар ч үр дагавар байхгүй.

Гэсэн хэдий ч үр дагавар нь асар их юм. Өөр хувилбар бол хоёр өөр математик юм. Нэг нь бүтээмжтэй бөгөөд хязгааргүй байдлыг бүх хязгааргүй байдлаар хэрэгжүүлэхийг зөвшөөрдөггүй. Нөгөөх нь жирийн нэг идэштэн юм.

Хязгааргүй байдлын улмаас бага зэргийн бэрхшээлүүд анхан шатны сургуульд аль хэдийн үүсдэг

n ↔ n^2 нэгийг харьцах захидал байгаа нь квадратуудын тоотой адил олон бүхэл тоо байдаг гэсэн санааг өдөөдөг нөхцөл байдал. Жишээ нь ирмэг дээр урт шүдтэй байдаг, гэхдээ тийм хамгийн энгийн хэлбэрасуудал байгааг харуулж байна. Хэрэв хэн нэгэн надаас өдөр бүр 10 рубль авч, надад нэгийг өгөх юм бол процесс дуусахад бид тэнцүү байх болно. Хэрэв цуврал аль хэдийн болсон бол, n-р рубль n дэх өдөр надад өгсөн. Парадокс нь мэдээжийн хэрэг ямар ч үнэ цэнэтэй зүйл биш, учир нь энэ үйл явц хэзээ ч дуусахгүй гэж тавдугаар ангийн сурагч боддог.

p/q бутархайн талаар юу хэлэх вэ? Тэд бүгд сегмент дээр аль хэдийн "байсан". Тэд энд байна, та тэдгээрийг нэг нэгээр нь нэмэх шаардлагагүй. Тэгэхээр -" хязгааргүйд зориулсан хязгаарлагдмал хэмжээтэй урхи" Жижиг

бүх фракцуудыг байрлуулсан түрийвч. Хоёрын үндэс нь аравтын бутархайн хязгааргүйн улмаас гүйцэтгэсэн хязгааргүйтэй адил юм. Тиймээс олонлогын онолд хязгааргүй байдлыг "гэж үзэх бүрэн үндэслэл бий. өгсөн" Өөр нэг зүйл бол зөрчилдөөн гарахгүйн тулд үүнд тодорхой шаардлага тавьдаг.

Гэсэн хэдий ч та ямар нэг зүйлийг хүлээн зөвшөөрч эхлэхэд бэрхшээлүүд эхэлдэг. Хязгааргүйн бөөгнөрөл, мөн хамт

тэднийг ямар нэгэн байдлаар зохицуулах хэрэгтэй. Би үүнийг хийсэн Жорж Кантор, олонлогын онолыг бүтээсэн хүн. "Болсон хувьсгал нь бидний сайн мэдэх тезисийг баталж байна" үнэн тэрс болж төрж, улиг болсон байдлаар үхдэг" Үндсэн санаанууд өнөөдөр хүн бүрт хүртээмжтэй байна. А " Дараа нь" боломжгүй

тайлбарлах хүн байсангүй. Зөн совин нь үүний эсрэг байсан. Одоо өвчин газар авч, төөрөгдөл намжсан.

Кантор олонлогийн судалгааны үндэс болгон нэг нэгээр нь захидал харилцааны хэрэгслийг ашигласан. X, Y олонлогууд нь тэдгээрийн элементүүдийн хооронд нэг нэгээр нь харьцах боломжтой бол тэнцүү байна.

Эквивалент харьцаа рефлексээрТэгээд шилжилтийн байдлаар, энэ нь бүх зүйлийг эвдэх боломжийг олгодог

эквивалент ангилалд оруулдаг. X олонлогийн эквивалент ангиллыг түүний кардинал чанар гэж нэрлэх ба |X| гэж тэмдэглэнэ. Багцуудыг байгалийн заль мэхийг ашиглан кардинал байдлаар эрэмбэлдэг.

Натурал цувралтай тэнцэх олонлогуудыг тоолох боломжтой гэж нэрлэдэг. Аливаа дарааллыг тоолох боломжтой. Анхаарах зүйл аравтын бутархайшинэ үзэгдэлтэй тулгардаг. Ийм тооны багц (тасралт) нь тоолж баршгүй юм.

Сегмент ба квадрат х нь өөр өөр үндсэн шинж чанартай болохыг тогтоох түүхэн оролдлого нь маш их зовлонтой байсан. Тэд адилхан байсан нь тодорхой болов. Галилейгийн үеэс бүх бие ижилхэн унадаг болохыг олж мэдсэнээс хойш дэлхий ийм доргилт авч байгаагүй.

хурдатгал.

Ямар ч байсан хязгааргүй байдал наранд байр сууриа эзэлсэн. Үүнгүйгээр математикийн бүх зүйл "зогсож" байх болно. Тийм ээ, энэ нь энгийн математик тохирохгүй конструктив математикт байдаг. Бүтээлч тоонуудын тэгш ба тэгш бус байдлыг ихэвчлэн шалгадаггүй, дараалал нь нийлэх газаргүй, хязгаар байхгүй, тасралтгүй байдал нь зөвхөн мөрөөдөл бөгөөд ерөнхийдөө бүх зүйл сүйрдэг. Аймшигтай зураг. Гамшгийн цар хүрээг үнэлэхэд бүр хэцүү. Тиймээс хязгааргүй байдал нь бараг "нэг" шиг ашигтай байдаг. Яг л зоосны нөгөө тал. "Болдоггүй зүйл" гэсэн нэг төрлийн сав.