Энэ нь мэдэгдэж байна нэгдүгээр эрэмбийн энгийн дифференциал тэгшитгэл хэлбэртэй байна: .Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь дифференциалагдах функц бөгөөд тэгшитгэлд орлуулснаар түүнийг адилтгал болгон хувиргадаг. Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх график (Зураг 1) гэж нэрлэдэг интеграл муруй.
Цэг тус бүрийн деривативыг геометрийн хувьд энэ цэгийг дайран өнгөрч буй уусмалын графиктай шүргэгч шүргэгчээр тайлбарлаж болно, өөрөөр хэлбэл:.
Анхны тэгшитгэл нь шийдлийн бүхэл бүлгийг тодорхойлдог. Нэг шийдлийг сонгохын тулд тохируулна уу Эхний нөхцөл: ,Аргументийн өгөгдсөн утга хаана байна, a– функцийн анхны утга.
Кошигийн асуудал анхны тэгшитгэл болон анхны нөхцөлийг хангах функцийг олохоос бүрдэнэ. Ихэвчлэн Кошигийн асуудлын шийдлийг анхны утгын баруун талд байрлах сегмент дээр тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл.
Нэгдүгээр эрэмбийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийн хувьд ч аналитик шийдлийг олж авах боломжгүй байдаг. Тиймээс тоон шийдлийн аргууд нь маш чухал юм. Тоон аргууд нь аргументуудын утгын сонгосон сүлжээнд хүссэн шийдлийн ойролцоо утгыг тодорхойлох боломжийг олгодог. Цэгүүдийг дууддаг сүлжээний зангилаа, мөн утга нь сүлжээний алхам юм. Ихэнхдээ авч үздэг дүрэмт хувцас тор,Үүний тулд алхам нь тогтмол байна. Энэ тохиолдолд шийдлийг сүлжээний зангилаа бүр нь сүлжээний зангилааны функцын ойролцоо утгатай тохирч байгаа хүснэгт хэлбэрээр авна.
Тоон аргууд нь шийдлийг ерөнхий хэлбэрээр олох боломжийг олгодоггүй, гэхдээ тэдгээр нь дифференциал тэгшитгэлийн өргөн ангилалд хамаарна.
Кошигийн асуудлыг шийдвэрлэх тоон аргуудын нэгдэл.Кошигийн асуудлын шийдэл байцгаая. За дуудъя алдаа тоон арга нь сүлжээний зангилаанд заасан функц юм. Утгыг үнэмлэхүй алдаа гэж үзье.
Кошигийн асуудлыг шийдэх тоон аргыг нэрлэдэг нэгдэх, хэрэв түүний хувьд at. Хэрэв алдаа дараах үнэлгээтэй байвал тухайн аргыг нарийвчлалын дараалалтай гэж нэрлэдэг. – тогтмол, .
Эйлерийн арга
Кошигийн асуудлыг шийдэх хамгийн энгийн арга бол Эйлерийн арга юм. Бид Кошигийн асуудлыг шийдэх болно
сегмент дээр. Алхам алхмуудыг сонгож, зангилааны систем бүхий сүлжээг байгуулъя. Эйлерийн аргад функцийн ойролцоо утгыг сүлжээний зангилаанууд дээр тооцдог. Хэсгүүд дээрх деривативыг хязгаарлагдмал зөрүүгээр орлуулснаар бид ойролцоогоор тэгшитгэлийг олж авна:,, үүнийг дараах байдлаар дахин бичиж болно:,.
Эдгээр томьёо болон эхний нөхцөл нь Эйлер аргын тооцооны томьёо.
Эйлерийн аргын нэг алхамын геометрийн тайлбар нь сегмент дээрх шийдийг энэ цэгийг дайран өнгөрөх интеграл муруй дээрх цэг дээр зурсан шүргэгчээр солино. Алхамуудыг гүйцэтгэсний дараа үл мэдэгдэх интеграл муруйг тасархай шугамаар солино (Эйлерийн тасархай шугам).
Алдааны тооцоо.Эйлерийн аргын алдааг тооцоолохын тулд бид дараах теоремыг ашиглана.
Теорем.Функц нь дараах нөхцөлүүдийг хангана.
.
Дараах алдааны тооцоо Эйлер аргын хувьд хүчинтэй байна. 
, сегментийн урт хаана байна. Эйлерийн арга нь нэгдүгээр эрэмбийн нарийвчлалтай болохыг бид харж байна.
Эйлер аргын алдааг тооцоолох нь ихэвчлэн хэцүү байдаг, учир нь энэ нь функцийн деривативыг тооцоолох шаардлагатай байдаг. Алдааны талаар ойролцоогоор тооцооллыг өгдөг Рунгийн дүрэм (давхар тоолох дүрэм),Энэ нь нарийвчлалын --р зэрэгтэй янз бүрийн нэг алхамт аргуудад хэрэглэгддэг. Runge-ийн дүрэм дараах байдалтай байна. Алхамаар олж авсан ойролцооллыг алхамаар олж авсан ойролцооллыг гэж үзье. Дараа нь ойролцоо тэгш байдал хүчинтэй байна:
.
Тиймээс, нэг алхамтай аргын алдааг алхам алхмаар тооцоолохын тулд та ижил шийдлийг алхам алхмаар олж, хамгийн сүүлийн томъёоны баруун талд байгаа утгыг тооцоолох хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл Эйлерийн арга нь нарийвчлалын эхний эрэмбтэй байдаг. , өөрөөр хэлбэл, ойролцоо тэгш байдал нь үзэл бодолтой байна:.
Рунжийн дүрмийг ашиглан Кошигийн асуудлын шийдлийг өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар ойролцоогоор тооцоолох процедурыг барьж болно. . Үүнийг хийхийн тулд та тодорхой алхамын утгаас тооцооллыг эхлүүлж, ойролцоогоор утгыг тооцоолох бүрдээ энэ утгыг хоёр дахин багасгах хэрэгтэй. . Нөхцөл хангагдсан үед тооцоолол зогсдог: . Эйлерийн аргын хувьд энэ нөхцөл дараах хэлбэртэй байна. Ойролцоогоор шийдэл нь утгууд байх болно .
Жишээ 1.Дараах Коши бодлогын сегмент дээр шийдлийг олцгооё:,. Нэг алхам хийцгээе. Дараа нь.
Эйлер аргын тооцооллын томъёо нь:
,
.
Шийдлийг 1-р хүснэгтийн хэлбэрээр үзүүлье.
Хүснэгт 1
Анхны тэгшитгэл нь Бернуллигийн тэгшитгэл юм. Үүний шийдлийг тодорхой хэлбэрээр олж болно: .
Нарийвчилсан болон ойролцоо шийдлүүдийг харьцуулахын тулд бид яг шийдлийг Хүснэгт 2 хэлбэрээр үзүүлэв.
хүснэгт 2
Хүснэгтээс харахад алдаа гарсан байна
Физик химийн тэнхим SFU (RSU)
ТООН АРГА, ПРОГРАМЧИЛГАА
Лекцийн хичээлд зориулсан материал
Лектор – Урлаг. Илч. Щербаков I.N.
ЭНГИЙН ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЭГШИЛТИЙН ШИЙДЭЛ
Асуудлын томъёолол
Шинжлэх ухаан, инженерийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ зарим динамик системийг математикийн аргаар тайлбарлах шаардлагатай болдог. Үүнийг дифференциал тэгшитгэл хэлбэрээр хийх нь дээр. Д.У) эсвэл дифференциал тэгшитгэлийн системүүд. Ихэнхдээ энэ асуудал нь химийн урвалын кинетик ба янз бүрийн дамжуулалтын үзэгдлүүд (дулаан, масс, импульс) - дулаан дамжуулах, холих, хатаах, шингээх, макро ба микро хэсгүүдийн хөдөлгөөнийг тайлбарлахтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд үүсдэг.
Ердийн дифференциал тэгшитгэл n-р эрэмбийн (ODE) нь хүссэн y(x) функцийн нэг буюу хэд хэдэн деривативыг агуулсан дараах тэгшитгэл юм:
Энд у(н)зарим y(x) функцийн n дарааллын деривативыг илэрхийлнэ, x нь бие даасан хувьсагч.
Зарим тохиолдолд дифференциал тэгшитгэлийг хамгийн дээд деривативыг тодорхой илэрхийлсэн хэлбэр болгон хувиргаж болно. Тэмдэглэгээний энэ хэлбэрийг тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. хамгийн өндөр деривативын талаар шийдвэрлэсэн(энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн баруун талд хамгийн өндөр дериватив байхгүй):
Энэ бичлэгийн хэлбэрийг хүлээн зөвшөөрдөг Стандарт ODE-ийг шийдвэрлэх тоон аргуудыг авч үзэх үед.
Шугаман дифференциал тэгшитгэл y(x) функц болон түүний бүх деривативтай харьцуулахад шугаман тэгшитгэл юм.
Жишээ нь, доор эхний болон хоёрдугаар зэрэглэлийн шугаман ODE байна
Энгийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхнь ямар ч х-ийн хувьд энэ тэгшитгэлийг тодорхой төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй интервалд хангадаг y(x) функц юм. Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх процессыг нэрлэдэг дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх замаар.
ODE-ийн ерөнхий шийдэл n-р дараалалд n дурын тогтмол C 1 , C 2 , …, C n байна.
Энэ нь тодорхойгүй интеграл нь интегралын эсрэг дериватив ба интегралын тогтмолтой тэнцүү байдгаас тодорхой гарч байгаа юм.
n-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд n интеграл шаардлагатай тул ерөнхий шийдэлд n интегралын тогтмол гарч ирнэ.
Хувийн шийдэлХэрэв интеграцийн тогтмол утгуудыг зарим нэмэлт нөхцөлийг тодорхойлох замаар тодорхой утгыг өгсөн бол ODE-ийг ерөнхий утгаас гаргаж авдаг бөгөөд тэдгээрийн тоо нь интеграцийн бүх тодорхойгүй тогтмолуудыг тооцоолох боломжийг олгодог.
Яг (аналитик) шийдэл Дифференциал тэгшитгэлийн (ерөнхий эсвэл тусгай) нь хүссэн шийдийг (y(x) функц) энгийн функцүүдээс илэрхийлэл хэлбэрээр олж авна гэсэн үг юм. Нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн хувьд энэ нь үргэлж боломжгүй байдаг.
Тоон шийдэл DE (хэсэг) нь тодорхой сегмент дээр байрлах зарим өгөгдсөн цэгүүд дэх y(x) функц ба түүний уламжлалыг тооцоолоход оршино. Өөрөөр хэлбэл, n-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг дараах тоон хүснэгтийн хэлбэрээр олж авна (хамгийн өндөр деривативын утгуудын баганыг утгыг орлуулах замаар тооцоолно). тэгшитгэл):
Жишээлбэл, нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн хувьд шийдлийн хүснэгт нь x ба y гэсэн хоёр баганатай байна.
Функцийн утгыг тодорхойлсон абсцисса утгуудын багцыг нэрлэдэг тор, үүн дээр y(x) функц тодорхойлогддог. Координатуудыг өөрсдөө гэж нэрлэдэг сүлжээний зангилаа. Ихэнх тохиолдолд тав тухтай байдлыг хангах үүднээс тэдгээрийг ашигладаг жигд сүлжээ, үүнд хөрш зэргэлдээх зангилааны хоорондох ялгаа тогтмол байдаг бөгөөд үүнийг дууддаг сүлжээ хоорондын зайэсвэл нэгтгэх алхамдифференциал тэгшитгэл
Эсвэл , би= 1, …, N
Тодорхойлохын тулд хувийн шийдэлинтеграцийн тогтмолуудыг тооцоолох боломжтой нэмэлт нөхцөлүүдийг тогтоох шаардлагатай. Түүнээс гадна, яг n ийм нөхцөл байх ёстой. Эхний эрэмбийн тэгшитгэлийн хувьд - нэг, хоёрдугаарт - 2 гэх мэт. Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийг тодорхойлох аргаас хамааран гурван төрлийн асуудал байдаг.
· Коши асуудал (анхны асуудал): Ийм зүйл олох хэрэгтэй хувийн шийдэлтодорхой шаардлагыг хангасан дифференциал тэгшитгэл нэг цэгт заасан анхны нөхцөл:
өөрөөр хэлбэл, бие даасан хувьсагчийн тодорхой утга (x 0), энэ цэг дэх (n-1) хүртэлх дарааллын функц ба түүний бүх деривативын утга өгөгдсөн. Энэ цэгийг (x 0) гэж нэрлэдэг анхан шатны. Жишээлбэл, хэрэв 1-р эрэмбийн DE-г шийдэж байгаа бол эхний нөхцөлүүдийг хос тоогоор илэрхийлнэ (x 0 , y 0)
Шийдэх үед ийм асуудал гардаг ODE, жишээлбэл, химийн урвалын кинетикийг тодорхойлдог. Энэ тохиолдолд эхний агшин дахь бодисын концентрацийг мэддэг ( t = 0), мөн тодорхой хугацааны дараа бодисын концентрацийг олох шаардлагатай ( т) . Жишээлбэл, бид дулаан дамжуулах эсвэл масс дамжуулах (тархалт), хүчний нөлөөн дор байгаа материалын цэгийн хөдөлгөөний тэгшитгэл гэх мэт асуудлыг дурдаж болно.
· Хилийн утгын асуудал . Энэ тохиолдолд функц ба (эсвэл) түүний деривативын утгууд нь нэгээс олон цэгт, жишээлбэл, цаг хугацааны эхний ба эцсийн мөчүүдэд мэдэгдэж байгаа тул дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг олох шаардлагатай болно. Эдгээр цэгүүдийн хооронд. Энэ тохиолдолд нэмэлт нөхцлүүдийг өөрсдөө гэж нэрлэдэг бүс нутгийн (хилийн шугам) нөхцөл. Мэдээжийн хэрэг, хилийн утгын асуудлыг дор хаяж 2-р зэрэглэлийн ODE-ийн хувьд шийдэж болно. Хилийн нөхцөл бүхий хоёр дахь эрэмбийн ODE-ийн жишээг доор харуулав (хоёр өөр цэг дэх функцийн утгыг өгсөн болно):
· Штурм-Лиувиллийн асуудал (өөрийн үнэ цэнийн асуудал). Энэ төрлийн бодлого нь хил хязгаарын бодлоготой төстэй. Тэдгээрийг шийдвэрлэхдээ ямар ч параметрийн ямар утгуудад шийдлийг олох шаардлагатай Д.Упараметрийн утга (өөрийн функц) бүрийн хувьд DE-ийн шийдэл болох хилийн нөхцөл (хувийн утга) болон функцуудыг хангана. Жишээлбэл, квант механикийн олон асуудал нь хувийн үнэ цэнийн асуудал юм.
Нэгдүгээр эрэмбийн ODE-ийн Коши бодлогыг шийдвэрлэх тоон аргууд
Шийдвэрлэх зарим тоон аргуудыг авч үзье Кошигийн асуудал(анхны бодлого) нэгдүгээр эрэмбийн энгийн дифференциал тэгшитгэл. Энэ тэгшитгэлийг деривативын талаар шийдвэрлэсэн ерөнхий хэлбэрээр бичье (тэгшитгэлийн баруун тал нь эхний деривативаас хамаарахгүй):
(6.2)
Хэрэв анхны утгууд нь мэдэгдэж байгаа бол y (x) функцын анхны x 0 цэг дээр байгаа бол сүлжээний өгөгдсөн цэгүүдэд y функцийн утгыг олох шаардлагатай.
Тэгшитгэлийг d x-ээр үржүүлж хувиргая
Мөн бид i-р ба i+ 1-р сүлжээний зангилааны хооронд зүүн ба баруун талыг нэгтгэдэг.
(6.3)
Бид i-р сүлжээний зангилаа дээрх x ба y-ийн утгуудаар дамжуулан i+1 интеграцийн зангилаа дээрх шийдлийг бүтээх илэрхийлэлийг олж авлаа. Гэвч хүндрэлтэй тал нь баруун талын интеграл нь далд өгөгдсөн функцийн интеграл бөгөөд ерөнхийдөө аналитик хэлбэрээр олох боломжгүй байдагт оршино. ODE-ийн тоон интегралчлалын томъёог бүтээхийн тулд энэ интегралын утгыг янз бүрийн аргаар шийдвэрлэх тоон аргууд нь ойролцоогоор (ойролцоогоор).
Нэгдүгээр эрэмбийн ODE-ийг шийдвэрлэхэд зориулж боловсруулсан олон аргуудаас бид , болон аргуудыг авч үздэг. Эдгээр нь маш энгийн бөгөөд тоон шийдлийн хүрээнд энэ асуудлыг шийдвэрлэх аргын талаархи анхны санааг өгдөг.
Эйлерийн арга
Түүхээс харахад нэгдүгээр зэрэглэлийн ODE-ийн Коши бодлогыг тоон аргаар шийдвэрлэх хамгийн анхны бөгөөд энгийн арга бол Эйлерийн арга юм. Энэ нь хамаарлын төгсгөлийн өсөлтийн харьцаагаар деривативын ойролцоолсон ( y) болон бие даасан ( x) жигд сүлжээний зангилааны хоорондох хувьсагчид:
Энд y i+1 нь x i+1 цэг дээрх функцийн хүссэн утга юм.
Хэрэв бид одоо энэ тэгшитгэлийг хувиргаж, интеграцийн сүлжээний жигд байдлыг харгалзан үзвэл бид тооцоолох боломжтой давталтын томъёог олж авна. y i+1, хэрэв y i нь x i цэг дээр мэдэгдэж байвал:
Эйлерийн томъёог өмнө нь олж авсан ерөнхий илэрхийлэлтэй харьцуулбал интегралыг ойролцоогоор тооцоолохын тулд Эйлерийн арга нь сегментийн зүүн ирмэгийн дагуух тэгш өнцөгтүүдийн томъёог хамгийн энгийн интегралын томъёог ашигладаг нь тодорхой байна.
Эйлерийн аргын график тайлбар нь бас хялбар байдаг (доорх зургийг үз). Үнэн хэрэгтээ, шийдэж буй тэгшитгэлийн хэлбэр () дээр үндэслэн утга нь x=x i - цэг дэх y(x) функцийн деривативын утга бөгөөд ингэснээр -ийн шүргэгчтэй тэнцүү байна. x =x i цэгийн y(x) функцийн графикт зурсан шүргэгч өнцөг.
Зураг дээрх зөв гурвалжнаас олж болно
Эйлерийн томъёо эндээс гаралтай. Иймд Эйлерийн аргын мөн чанар нь интегралын сегмент дээрх y(x) функцийг x=x i цэг дээрх графикт шүргэгч шулуун шугамаар солиход оршино. Хэрэв хүссэн функц нь интеграцийн сегмент дээрх шугаман функцээс ихээхэн ялгаатай бол тооцооллын алдаа мэдэгдэхүйц байх болно. Эйлер аргын алдаа нь интеграцийн алхамтай шууд пропорциональ байна.
Алдаа~h
Тооцооллын процессыг дараах байдлаар зохион байгуулна. Өгөгдсөн эхний нөхцлийн хувьд x 0Тэгээд y 0тооцоолж болно
Тиймээс y(x) функцийн утгуудын хүснэгтийг тодорхой алхамаар ( h) By xсегмент дээр. Үнэ цэнийг тодорхойлоход алдаа гарлаа у(х би)энэ тохиолдолд сонгосон алхамын урт нь бага байх тусам бага байх болно h(энэ нь интегралчлалын томъёоны нарийвчлалаар тодорхойлогддог).
Том h-ийн хувьд Эйлерийн арга нь маш буруу юм. Энэ нь интеграцийн алхам багасах тусам улам бүр нарийвчлалтай ойролцооллыг өгдөг. Хэрэв сегмент хэтэрхий том бол хэсэг бүрийг N интегралч сегментэд хувааж, Эйлерийн томьёог алхам бүрд хэрэглэнэ, өөрөөр хэлбэл интегралын алхам h нь шийдэл гарсан торны алхамаас бага байна. тодорхойлогддог.
Жишээ:
Эйлерийн аргыг ашиглан Кошигийн дараах асуудлын ойролцоо шийдийг байгуул.
(6.5) интервалд 0.1 алхамтай сүлжээнд
Шийдэл:
Энэ тэгшитгэлийг хүссэн функцийн деривативын талаар шийдсэн стандарт хэлбэрээр аль хэдийн бичсэн байна.
Тиймээс шийдэж буй тэгшитгэлийн хувьд бидэнд байна
Сүлжээний алхам h = 0.1-тэй тэнцүү интеграцийн алхамыг авч үзье. Энэ тохиолдолд сүлжээний зангилаа тус бүрд зөвхөн нэг утгыг тооцно (N=1). Эхний дөрвөн сүлжээний зангилааны хувьд тооцоо дараах байдалтай байна.
Бүрэн үр дүнг (тав дахь аравтын орон хүртэл нарийвчлалтай) гурав дахь баганад өгөв - h =0.1 (N =1). Харьцуулахын тулд хүснэгтийн хоёр дахь баганад энэ тэгшитгэлийн аналитик шийдлээр тооцоолсон утгуудыг харуулав. 
.
Хүснэгтийн хоёр дахь хэсэгт олж авсан шийдлүүдийн харьцангуй алдааг харуулав. h =0.1 үед алдаа маш том, эхний зангилааны x =0.1-д 100% хүрч байгааг харж болно.
Хүснэгт 1 Эйлерийн аргаар тэгшитгэлийн шийдэл (багануудын хувьд интеграцийн алхам ба сүлжээний зангилааны хоорондох N интеграцийн сегментийн тоог зааж өгсөн болно)
| x | Нарийвчлалтай шийдэл | 0,1 | 0,05 | 0,025 | 0,00625 | 0,0015625 | 0,0007813 | 0,0001953 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 4 | 16 | 64 | 128 | 512 | ||
| 0 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 | 0,000000 |
| 0,1 | 0,004837 | 0,000000 | 0,002500 | 0,003688 | 0,004554 | 0,004767 | 0,004802 | 0,004829 |
| 0,2 | 0,018731 | 0,010000 | 0,014506 | 0,016652 | 0,018217 | 0,018603 | 0,018667 | 0,018715 |
| 0,3 | 0,040818 | 0,029000 | 0,035092 | 0,037998 | 0,040121 | 0,040644 | 0,040731 | 0,040797 |
| 0,4 | 0,070320 | 0,056100 | 0,063420 | 0,066920 | 0,069479 | 0,070110 | 0,070215 | 0,070294 |
| 0,5 | 0,106531 | 0,090490 | 0,098737 | 0,102688 | 0,105580 | 0,106294 | 0,106412 | 0,106501 |
| 0,6 | 0,148812 | 0,131441 | 0,140360 | 0,144642 | 0,147779 | 0,148554 | 0,148683 | 0,148779 |
| 0,7 | 0,196585 | 0,178297 | 0,187675 | 0,192186 | 0,195496 | 0,196314 | 0,196449 | 0,196551 |
| 0,8 | 0,249329 | 0,230467 | 0,240127 | 0,244783 | 0,248202 | 0,249048 | 0,249188 | 0,249294 |
| 0,9 | 0,306570 | 0,287420 | 0,297214 | 0,301945 | 0,305423 | 0,306284 | 0,306427 | 0,306534 |
| 1 | 0,367879 | 0,348678 | 0,358486 | 0,363232 | 0,366727 | 0,367592 | 0,367736 | 0,367844 |
Өөр өөр h-ийн тооцоолсон функцийн утгын харьцангуй алдаа |
||||||||
| x | h | 0,1 | 0,05 | 0,025 | 0,00625 | 0,0015625 | 0,0007813 | 0,0001953 |
| Н | 1 | 2 | 4 | 16 | 64 | 128 | 512 | |
| 0,1 | 100,00% | 48,32% | 23,76% | 5,87% | 1,46% | 0,73% | 0,18% | |
| 0,2 | 46,61% | 22,55% | 11,10% | 2,74% | 0,68% | 0,34% | 0,09% | |
| 0,3 | 28,95% | 14,03% | 6,91% | 1,71% | 0,43% | 0,21% | 0,05% | |
| 0,4 | 20,22% | 9,81% | 4,83% | 1,20% | 0,30% | 0,15% | 0,04% | |
| 0,5 | 15,06% | 7,32% | 3,61% | 0,89% | 0,22% | 0,11% | 0,03% | |
| 0,6 | 11,67% | 5,68% | 2,80% | 0,69% | 0,17% | 0,09% | 0,02% | |
| 0,7 | 9,30% | 4,53% | 2,24% | 0,55% | 0,14% | 0,07% | 0,02% | |
| 0,8 | 7,57% | 3,69% | 1,82% | 0,45% | 0,11% | 0,06% | 0,01% | |
| 0,9 | 6,25% | 3,05% | 1,51% | 0,37% | 0,09% | 0,05% | 0,01% | |
| 1 | 5,22% | 2,55% | 1,26% | 0,31% | 0,08% | 0,04% | 0,01% | |
Интеграцийн алхамыг хагасаар бууруулъя, h = 0.05, энэ тохиолдолд сүлжээний зангилаа бүрийн хувьд тооцоог хоёр үе шаттайгаар (N = 2) хийнэ. Тиймээс, эхний зангилааны хувьд x =0,1 бид дараахь зүйлийг авна.
(6.6)
Энэ томьёо нь y i+1-ийн хувьд далд утгатай болж хувирав (энэ утга нь илэрхийллийн зүүн ба баруун талд хоёуланд нь байна), өөрөөр хэлбэл энэ нь y i+1-тэй холбоотой тэгшитгэл бөгөөд үүнийг шийдэж болно. жишээ нь, тоогоор, зарим давталтын аргыг ашиглан (ийм хэлбэрээр үүнийг энгийн давталтын аргын давталтын томъёо гэж үзэж болно). Гэсэн хэдий ч та үүнийг өөрөөр хийж болно ойролцоогоорзангилаа дахь функцийн утгыг тооцоолох i+1ердийн томъёог ашиглан:
,
Дараа нь (6.6)-д заасны дагуу тооцоонд ашиглаж болно.
Энэ нь аргыг өгдөг Гунаэсвэл дахин тооцоололтой Эйлерийн арга. Интеграцийн зангилаа бүрийн хувьд дараах тооцооллын хэлхээг гүйцэтгэнэ
(6.7)
Илүү нарийвчлалтай интеграцийн томъёоны ачаар Хүн аргын алдаа нь интеграцийн алхамын квадраттай пропорциональ байна.
Алдаа~ h 2
Гүнийн аргад ашигласан арга нь арга гэж нэрлэгддэг зүйлийг бүтээхэд хэрэглэгддэг урьдчилсан мэдээ, залруулга, үүнийг дараа хэлэлцэх болно.
Жишээ:
() тэгшитгэлийн тооцоог Хүнний аргыг ашиглан хийцгээе.
Эхний торны зангилаа х 1 дээр h =0.1 интеграцийн алхам хийснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.
Энэ нь ижил интеграцийн алхамаар Эйлерийн аргаар олж авсан утгуудаас хамаагүй илүү нарийвчлалтай юм. Эйлер ба Гүн аргын h = 0.1-ийн тооцооны харьцуулсан үр дүнг доорх хүснэгт 2-т үзүүлэв.
Хүснэгт 2. Эйлер, Гүн аргуудаар тэгшитгэлийн шийдэл
| x | Нарийвчлалтай | Гүнийн арга | Эйлерийн арга | ||
|---|---|---|---|---|---|
| y | rel. алдаа | y | rel. алдаа | ||
| 0 | 0,000000 | 0,00000 | 0,00000 | ||
| 0,1 | 0,004837 | 0,00500 | 3,36% | 0,00000 | 100,00% |
| 0,2 | 0,018731 | 0,01903 | 1,57% | 0,01000 | 46,61% |
| 0,3 | 0,040818 | 0,04122 | 0,98% | 0,02900 | 28,95% |
| 0,4 | 0,070320 | 0,07080 | 0,69% | 0,05610 | 20,22% |
| 0,5 | 0,106531 | 0,10708 | 0,51% | 0,09049 | 15,06% |
| 0,6 | 0,148812 | 0,14940 | 0,40% | 0,13144 | 11,67% |
| 0,7 | 0,196585 | 0,19721 | 0,32% | 0,17830 | 9,30% |
| 0,8 | 0,249329 | 0,24998 | 0,26% | 0,23047 | 7,57% |
| 0,9 | 0,306570 | 0,30723 | 0,21% | 0,28742 | 6,25% |
| 1 | 0,367879 | 0,36854 | 0,18% | 0,34868 | 5,22% |
Эйлерийн аргатай харьцуулахад Хун аргын тооцооны нарийвчлал мэдэгдэхүйц нэмэгдсэнийг тэмдэглэе. Ийнхүү x =0.1 зангилааны хувьд Хуйн аргаар тодорхойлсон функцийн утгын харьцангуй хазайлт 30 (!) дахин бага болж байна. Эйлерийн томъёог ашиглан тооцооллын ижил нарийвчлал нь N интегралчлалын сегментийн тоо 30 орчим байвал хүрнэ. Иймээс Хун аргыг ижил нарийвчлалтайгаар тооцоолсон тохиолдолд Эйлерийн аргыг ашиглахаас ойролцоогоор 15 дахин бага компьютерт зарцуулагдах болно. .
Уусмалын тогтвортой байдлыг шалгах
Ямар нэг x i цэг дэх ODE-ийн шийдлийг энэ цэг дээр функцийн утга олдвол тогтвортой гэж нэрлэдэг y iинтеграцийн алхам буурах тусам бага зэрэг өөрчлөгддөг. Тогтвортой байдлыг шалгахын тулд утгын хоёр тооцоог хийх шаардлагатай. y i) – интеграцийн алхам h ба жижигрүүлсэн (жишээлбэл, хоёр) алхамын хэмжээтэй
Тогтвортой байдлын шалгуурын хувьд та нэгтгэх алхамыг багасгах үед олж авсан уусмал дахь харьцангуй өөрчлөлтийн бага байдлыг ашиглаж болно (ε нь урьдчилан тодорхойлсон жижиг утга юм)
Энэ шалгалтыг бүх утгын хүрээнд бүх шийдлүүдэд хийж болно x. Хэрэв нөхцөл хангагдаагүй бол алхамыг дахин хагас болгон хувааж, шинэ шийдэл олно гэх мэт. тогтвортой уусмал авах хүртэл.
Рунге-Куттагийн аргууд
Илэрхийлэл дэх интегралын ойролцоо тооцооллын нарийвчлалыг нэмэгдүүлснээр нэгдүгээр эрэмбийн ODE-ийг шийдвэрлэх нарийвчлалыг цаашид сайжруулах боломжтой.
Энэ интегралыг ойртуулахдаа тэгш өнцөгтийн томьёо () ашиглан интегралчлахаас трапец хэлбэрийн томьёо () руу шилжих давуу талыг бид аль хэдийн харсан.
Сайн батлагдсан Симпсон томъёог ашиглан та нэгдүгээр зэрэглэлийн ODE-ийн Коши асуудлыг шийдэх илүү нарийвчлалтай томъёог олж авах боломжтой - тооцоолох практикт өргөн хэрэглэгддэг Рунге-Кутта арга.
Адамсын ODE-ийг шийдвэрлэх олон үе шаттай аргын давуу тал нь зангилаа бүрт ODE-ийн баруун талын зөвхөн нэг утгыг тооцдог - F(x,y) функц юм. Сул тал нь олон алхамт аргыг нэг цэгээс эхлүүлэх боломжгүй, учир нь k-алхам томъёог ашиглан тооцоолол хийх нь k зангилаа дахь функцийн утгын талаархи мэдлэгийг шаарддаг. Тиймээс x 1, x 2, ..., x k-1 эхний зангилаанууд дээр (k-1) уусмалыг зарим нэг алхамт аргыг, жишээлбэл аргыг ашиглан олж авах шаардлагатай.
Эйлерийн арга. Сайжруулсан Эйлер арга.
Сонгодог Рунге-Кутта арга
Тооцооллын математик, дифференциал тэгшитгэлийг орхигдуулсангүй! Өнөөдөр хичээл дээр бид үндсийг сурах болно ойролцоо тооцоололМатематик анализын энэ хэсэгт, үүний дараа энэ сэдвээр зузаан, маш зузаан номууд таны өмнө халуунаар нээгдэх болно. Учир нь тооцооллын математик тархалтын талыг тойрч амжаагүй байгаа =)
Гарчигт жагсаасан аргууд нь зорилготой хаахшийдлийг олох дифференциал тэгшитгэл, алсын удирдлагын систем, хамгийн нийтлэг асуудлын товч тайлбар нь дараах байдалтай байна.
Ингээд авч үзье нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл, үүний тулд та олохыг хүсч байна хувийн шийдэл, анхны нөхцөлтэй тохирч байна. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь бид олох хэрэгтэй гэсэн үг юм функц (түүний оршин тогтнох гэж таамаглаж байна), энэ ялгааг хангаж байна. тэгшитгэл ба график нь цэгээр дамждаг.
Гэхдээ энд асуудал байна: тэгшитгэл дэх хувьсагчдыг салгах боломжгүй юм. Шинжлэх ухаанд огт мэдэгддэггүй. Хэрэв боломжтой бол энэ нь гарч ирнэ хугарашгүйинтеграл. Гэсэн хэдий ч тодорхой шийдэл байдаг! Энд ойролцоогоор тооцооллын аргууд аврах ажилд ирдэг бөгөөд энэ нь өндөр боломжийг олгодог (мөн ихэвчлэн хамгийн өндөртэй)Функцийг тодорхой интервалаар үнэн зөв "дуурайх".
Эйлер ба Рунге-Куттагийн аргуудын санаа нь графикийн нэг хэсгийг солих явдал юм эвдэрсэн шугам, одоо бид энэ санааг практикт хэрхэн хэрэгжүүлж байгааг олж мэдэх болно. Тэгээд бид үүнийг олж мэдээд зогсохгүй шууд хэрэгжүүлэх болно =) Түүхийн анхны бөгөөд хамгийн энгийн аргаас эхэлье. ...Та нарийн төвөгтэй дифференциал тэгшитгэлтэй харьцахыг хүсч байна уу? Үүнийг би ч хүсэхгүй байна :)
Дасгал хийх
Алхамтай сегмент дээр Эйлерийн аргыг ашиглан анхны нөхцөлд тохирох дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол. Ойролцоо шийдлийн хүснэгт, графикийг байгуул.
Үүнийг олж мэдье. Нэгдүгээрт, бид ердийн зүйлтэй шугаман тэгшитгэл, үүнийг стандарт аргуудыг ашиглан шийдэж болох тул яг шийдлийг нэн даруй олох уруу таталтыг эсэргүүцэх нь маш хэцүү байдаг.
– Энэ функц нь анхны нөхцөлийг хангаж, тэгшитгэлийн үндэс мөн эсэхийг хэн ч шалгаж, баталгаажуулах боломжтой.
Юу хийх ёстой вэ? Олоод барих хэрэгтэй эвдэрсэн шугам, энэ нь функцийн графикийг ойролцоолсон 
интервал дээр. Энэ интервалын урт нь нэгтэй тэнцүү, алхам нь , тэгвэл бидний эвдэрсэн шугам 10 сегментээс бүрдэнэ:
Түүнээс гадна хугацаа 
аль хэдийн мэдэгдэж байгаа - энэ нь анхны нөхцөлтэй тохирч байна. Үүнээс гадна бусад цэгүүдийн "X" координатууд нь тодорхой байна.
Зөвхөн олох л үлдлээ 
. Байхгүй ялгахТэгээд интеграци- зөвхөн нэмэх ба үржүүлэх! Дараагийн "тоглоом" бүрийг өмнөхөөсөө энгийн утгыг ашиглан олж авдаг давтагдахтомъёо: 
Дифференциал тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр төсөөлье.
Тиймээс: 
Анхны нөхцөл байдлаасаа "бид тайвширч байна": 
Энд байна: 
Тооцооллын үр дүнг хүснэгтэд оруулах нь тохиромжтой. 
Excel дээр тооцооллыг өөрсдөө автоматжуулж болно - учир нь математикийн хувьд зөвхөн ялалт төдийгүй хурдан төгсгөл нь чухал юм :)
2, 3-р баганын үр дүнд үндэслэн бид зэргэлдээ цэгүүдийг холбосон 11 цэг, 10 сегментийг зурган дээр дүрслэх болно. Харьцуулахын тулд би яг хэсэгчилсэн шийдлийг зурах болно 
:
Энгийн Эйлер аргын мэдэгдэхүйц сул тал бол алдаа нь хэтэрхий том бөгөөд алдаа хуримтлагдах хандлагатай байгааг анзаарахад хялбар байдаг - бид цэгээс цааш явах тусам голчлонОйролцоо болон үнэний хоорондох зөрүү улам ихсэх болно. Үүнийг Эйлер өөрийн аргадаа үндэслэсэн зарчмаар тайлбарлаж болно: сегментүүд параллель байна хамааралтай шүргэгч
цэг дээрх функцийн график руу. Дашрамд хэлэхэд энэ баримт зураг дээр тодорхой харагдаж байна.
Ойролцоогоо хэрхэн сайжруулах вэ? Эхний бодол бол хуваалтыг сайжруулах явдал юм. Жишээ нь сегментийг 20 хэсэгт хуваая. Дараа нь алхам нь: 
, мөн 20 холбоосын тасархай шугам нь тодорхой шийдлийг илүү нарийвчлалтай ойртуулах нь тодорхой юм. Үүнтэй ижил Excel програмыг ашигласнаар 100-1000, бүр сая (!) завсрын сегментийг боловсруулахад хэцүү биш боловч өөрөөсөө асууя: аргыг ЧАНАРТАЙ сайжруулах боломжтой юу?
Гэхдээ энэ асуудлыг дэлгэхээсээ өмнө өнөөдөр хэд хэдэн удаа дурдагдсан нэрийн тухай ярихгүй байхын аргагүй. Уншиж байна Леонхард Эйлерийн намтар, хүн амьдралдаа ямар гайхалтай зүйлийг хийж чадах нь үнэхээр гайхалтай! Үүнтэй харьцуулахад би зөвхөн К.Ф. Гаусс. ...Тиймээс бид суралцах, шинэ нээлт хийх урам зоригоо алдахгүйг хичээх болно :))
Сайжруулсан Эйлер арга
Үүнтэй ижил жишээг авч үзье: дифференциал тэгшитгэл, нөхцөлийг хангасан тодорхой шийдэл, интервал ба түүнийг 10 хэсэгт хуваах
(- хэсэг бүрийн урт).
Сайжруулалтын зорилго нь полилинийн "улаан дөрвөлжин" -ийг яг шийдлийн харгалзах "ногоон цэгүүд" -д ойртуулах явдал юм. 
.
Мөн өөрчлөлтийн санаа нь энэ юм: сегментүүд нь зэрэгцээ байх ёстой шүргэгч, тэдгээрийг функцийн графикт зурсан зүүн ирмэг дээр биш, болон хуваалтын интервалуудын "дунд". Энэ нь мэдээжийн хэрэг ойролцоолсон чанарыг сайжруулах болно.
Шийдлийн алгоритм нь ижил зарчмаар ажилладаг боловч таны таамаглаж байгаагаар томъёо нь илүү төвөгтэй болж байна:
, Хаана 
Бид тодорхой шийдлээс дахин бүжиглэж эхлээд "гадаад" функцийн 1-р аргументыг нэн даруй олно. 
Одоо бид "мангас"-аа оллоо, энэ нь тийм ч аймаар биш болсон - энэ нь SAME функц гэдгийг анхаарна уу. 
, өөр цэг дээр тооцоолсон:
Бид үр дүнг хуваах алхамаар үржүүлнэ.
Тиймээс:
Алгоритм хоёр дахь шатандаа орж байгаа тул би залхуурахгүй бөгөөд үүнийг дэлгэрэнгүй тайлбарлах болно:
Бид хосыг авч үзээд "гадаад" функцийн 1-р аргументыг олно. 
Бид тооцоолж, түүний 2-р аргументыг олно:
Утгыг тооцоолъё:
ба түүний бүтээгдэхүүн алхам тутамд:
Excel дээр тооцоолол хийх нь үндэслэлтэй юм (ижил схемийн дагуу томьёог хуулбарлах - дээрх видеог үзнэ үү), үр дүнг хүснэгтэд нэгтгэн дүгнэнэ үү: 
Тоонуудыг аравтын бутархай 4-5-6 хүртэл дугуйлахыг зөвлөж байна. Ихэнхдээ тодорхой ажлын нөхцөлд байдаг шууд заавар, бөөрөнхийлөлтийг ямар нарийвчлалтайгаар хийх ёстой. Би хүчтэй "сүүлт" утгуудыг 6 оронтой болгож бууруулсан.
2 ба 3-р баганын үр дүнд үндэслэн (зүүн)барьцгаая эвдэрсэн шугам, мөн харьцуулахын тулд би яг шийдлийн графикийг дахин харуулах болно 
:
Үр дүн нь мэдэгдэхүйц сайжирсан! - улаан дөрвөлжин нь яг шийдлийн ногоон цэгүүдийн ард бараг "далд" байдаг.
Гэсэн хэдий ч төгс төгөлдөрт хязгаар байхгүй. Нэг толгой нь сайн, гэхдээ хоёр нь дээр. Дахин Герман:
4-р зэрэглэлийн сонгодог Рунге-Кутта арга
Түүний зорилго бол "улаан дөрвөлжин"-ийг "ногоон цэгүүд"-д улам ойртуулах явдал юм. Та асууж байна, хаашаа илүү ойр вэ? Олон, ялангуяа биеийн судалгаанд 10, бүр 50 дахь нь ҮНДСЭН чухал байдаг. үнэн зөваравтын орон. Үгүй ээ, Эйлерийн энгийн аргыг ашиглан ийм нарийвчлалд хүрч болно, гэхдээ та интервалыг ХЭДЭН хэсэгт хуваах шаардлагатай вэ?! ...Хэдийгээр орчин үеийн тооцоолох хүчин чадалтай бол энэ нь асуудал биш юм - Хятадын сансрын хөлөг онгоцны олон мянган сторчид баталгаатай!
Гарчигнаас нь харахад Рунге-Кутта аргыг ашиглахдаа алхам бүртБид функцийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй болно 
4 удаа (өмнөх догол мөр дэх давхар тооцооноос ялгаатай). Гэхдээ хэрэв та хятадуудыг хөлсөлж авбал энэ ажлыг нэлээд зохицуулж болно. Дараагийн "тоглоом" бүрийг өмнөхөөсөө олж авдаг - бид дараах томъёог олж авдаг.
, Хаана 
, Хаана: 
Бэлэн үү? За тэгвэл эхэлцгээе :)) 
Тиймээс:
Эхний мөр нь програмчлагдсан бөгөөд би томъёог дараах байдлаар хуулж байна. 
Би Рунге-Куттагийн аргыг ийм хурдан давна гэж бодсонгүй =)
Зураг нь төлөөлөх чадваргүй болсон тул ямар ч утгагүй болно. Илүү сайн аналитик харьцуулалт хийцгээе нарийвчлалгурван арга, учир нь яг шийдэл нь мэдэгдэж байгаа үед 
, тэгвэл харьцуулахгүй байх нь нүгэл юм. Зангилааны цэгүүдийн функцын утгыг Excel-д хялбархан тооцдог - бид томъёог нэг удаа оруулаад үлдсэн хэсэгт нь хуулбарладаг.
Доорх хүснэгтэд би утгууд (гурван арга тус бүрийн хувьд) болон харгалзах утгуудыг нэгтгэн харуулъя үнэмлэхүй алдааойролцоо тооцоолол: 
Таны харж байгаагаар Рунге-Кутта арга нь сайжруулсан Эйлер аргын 2 зөв аравтын оронтой харьцуулахад 4-5 зөв аравтын бутархайг аль хэдийн өгдөг! Мөн энэ нь санамсаргүй тохиолдол биш юм:
– “Энгийн” Эйлер аргын алдаа хэтрээгүй алхамхуваалтууд. Үнэн хэрэгтээ - алдааны хамгийн зүүн баганыг хараарай - аравтын бутархайн дараа зөвхөн нэг тэг байгаа бөгөөд энэ нь нарийвчлал нь 0.1 байна гэдгийг харуулж байна.
– Сайжруулсан Эйлер арга нь нарийвчлалыг баталгаажуулдаг: 
(дунд алдааны баганын аравтын бутархайн араас 2 тэг байгааг харна уу).
- Эцэст нь, сонгодог Runge-Kutta арга нь нарийвчлалыг баталгаажуулдаг 
.
Үзүүлсэн алдааны тооцоог онолын хувьд хатуу үндэслэлтэй байна.
Ойролцооны нарийвчлалыг хэрхэн ИЛҮҮ сайжруулах вэ? Хариулт нь шууд философийн шинж чанартай: чанар ба/эсвэл тоо хэмжээ =) Ялангуяа Рунге-Кутта аргын өөр, илүү нарийвчлалтай өөрчлөлтүүд байдаг. Өмнө дурьдсанчлан тоон арга бол алхамыг багасгах явдал юм, i.e. сегментийг илүү олон тооны завсрын сегментүүдэд хуваахад. Мөн энэ тоо нэмэгдэхийн хэрээр тасархай шугам 
яг шийдлийн график шиг харагдах болно 
Тэгээд хязгаарт- үүнтэй давхцах болно.
Математикт энэ шинж чанарыг нэрлэдэг муруйг шулуун болгох чадвар. Дашрамд хэлэхэд (жижиг гадуурх сэдэв), бүх зүйлийг "шулуун" болгох боломжгүй - "судалгааны талбар" -ыг багасгах нь судалгааны объектыг хялбарчлахад хүргэдэггүй хамгийн сонирхолтой зүйлийг уншихыг зөвлөж байна.
Би зөвхөн нэг дифференциал тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийсэн тул хэд хэдэн нэмэлт тайлбар хийсэн. Практикт өөр юуг анхаарах хэрэгтэй вэ? Асуудлын мэдэгдэлд танд өөр сегмент, өөр хуваалтыг санал болгож болох бөгөөд заримдаа дараах томъёолол олддог: "аргыг ашиглан олохын тулд ... ... интервал дээр, үүнийг 5 хэсэгт хуваах". Энэ тохиолдолд та хуваалтын алхамыг олох хэрэгтэй 
, дараа нь ердийн шийдлийн схемийг дагана уу. Дашрамд хэлэхэд, эхний нөхцөл нь дараах хэлбэртэй байх ёстой: "x тэг" нь дүрмээр бол сегментийн зүүн төгсгөлтэй давхцдаг. Дүрслэлээр хэлбэл, тасархай шугам үргэлж цэгээс “гарч ирдэг”.
Эдгээр аргуудын эргэлзээгүй давуу тал нь маш нарийн төвөгтэй баруун талтай тэгшитгэлд хамаарах явдал юм. Мөн туйлын сул тал бол диффузор бүрийг энэ хэлбэрээр танилцуулах боломжгүй юм.
Гэхдээ энэ амьдралд бараг бүх зүйлийг засах боломжтой! - Эцсийн эцэст бид энэ сэдвийн өчүүхэн хэсгийг л судалж үзсэн бөгөөд зузаан, маш зузаан номын тухай миний хэллэг огт хошигнол биш байсан. Дифференциал тэгшитгэл ба тэдгээрийн системүүдийн шийдлийг олоход маш олон янзын ойролцоо аргууд байдаг бөгөөд тэдгээр нь үндсэндээ өөр өөр хандлагуудыг ашигладаг. Тиймээс, жишээлбэл, тодорхой шийдэл байж болно чадлын цуваагаар ойролцоогоор. Гэсэн хэдий ч энэ бол өөр хэсэгт зориулсан нийтлэл юм.
Би уйтгартай тооцооллын математикийг төрөлжүүлж чадсан гэж найдаж байна, танд сонирхолтой санагдсан!
Анхаарал тавьсанд баярлалаа!
Дифференциал системтэгшитгэлийг хэлбэрийн систем гэж нэрлэдэг
Энд x нь бие даасан аргумент,
y i - хамааралтай функц, ,
y i | x=x0 =y i0 - анхны нөхцөл.
Функцүүд yi(x), орлуулсны дараа тэгшитгэлийн системийг таних тэмдэг гэж нэрлэдэг дифференциал тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.
Дифференциал тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх тоон аргууд.
Хоёрдахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл хэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг
Орлуулснаар тэгшитгэл нь ижил утгатай болох y(x) функцийг дуудна дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
(2) тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг тоон аргаар хайж байгаа бөгөөд энэ нь өгөгдсөн анхны нөхцлийг хангасан, өөрөөр хэлбэл Кошигийн асуудлыг шийддэг.
Тоон шийдлийн хувьд 2-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг 2-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн систем болгон хувиргаж, дараах болгон бууруулна. машин харах (3). Үүнийг хийхийн тулд системийн тэгшитгэл бүрийн зүүн талд үл мэдэгдэх функцүүдийн зөвхөн эхний деривативууд үлдсэн бөгөөд баруун талд нь шинэ үл мэдэгдэх функцийг нэвтрүүлсэн.
 .
| (3) |
f 2 (x, y 1, y) функцийг (3) системд албан ёсоор оруулснаар доор үзүүлсэн аргуудыг нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн дурын системийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно. Системийг шийдвэрлэх хэд хэдэн тоон аргыг авч үзье (3). i+1 интеграцийн алхамын тооцоолсон хамаарал дараах байдалтай байна. n тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд тооцоолох томъёог дээр өгөв. Хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд давхар индексгүй тооцооны томъёог дараах хэлбэрээр бичих нь тохиромжтой.
- Эйлерийн арга.
y 1,i+1 =y 1,i +hf 1 (x i , y 1,i , y i),
y i+1 =y i +hf 2 (x i, y 1,i, y i),
- Дөрөвдүгээр эрэмбийн Рунге-Кутта арга.
y 1,i+1 =y 1,i +(м 1 +2м 2 +2м 3 +м 4)/6,
y i+1 =y i +(k 1 +2k 2 +2k 3 +k 4)/6,
m 1 =hf 1 (x i , y 1, i , y i),
k 1 =hf 2 (x i , y 1, i , y i),
m 2 =hf 1 (x i +h/2, y 1,i +m 1 /2, y i +k 1 /2),
k 2 =hf 2 (x i +h/2, y 1,i +m 1 /2, y i +k 1 /2),
m 3 =hf 1 (x i +h/2, y 1,i +m 2 /2, y i +k 2 /2),
k 3 =hf 2 (x i +h/2, y 1,i +m 2 /2, y i +k 2 /2),
m 4 =hf 1 (x i +h, y 1,i +m 3, y i +k 3),
k 4 =hf 2 (x i +h, y 1,i +m 3, y i +k 3),
h нь интеграцийн алхам юм. Тоон интегралчлалын эхний нөхцлүүдийг тэг шатанд авч үзнэ: i=0, x=x 0, y 1 =y 10, y=y 0.
Туршилтын ажилд зориулсан тестийн даалгавар.
Нэг зэрэглэлийн эрх чөлөө бүхий хэлбэлзэл
Зорилтот.Хоёрдугаар эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл, нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх тоон аргуудыг судлах.
Дасгал хийх.Тоон болон аналитик аргаар олох:
- пүрш дээрх материаллаг цэгийн хөдөлгөөний хууль x(t),
- 1 ба 2-р хүснэгтэд заасан горимуудын хэлбэлзлийн хэлхээний (RLC хэлхээ) I(t) гүйдлийн өөрчлөлтийн хууль. Шаардлагатай функцүүдийн графикийг байгуул.
Даалгаврын сонголтууд.
Горимын хүснэгт
Даалгаврын сонголт ба горимын дугаар:
- цэгийн хөдөлгөөн
- RLC - хэлхээ
Пүрш ба RLC хэлхээ дээрх биеийн хөдөлгөөнийг дүрслэхийн тулд дифференциал тэгшитгэл зохиож, тэдгээрийг машин хэлбэрт оруулах журмыг илүү нарийвчлан авч үзье.
- Гарчиг, ажлын зорилго, даалгавар.
- Математик тайлбар, алгоритм (структограмм) ба програмын текст.
- Зургаан график (гурван яг, гурван ойролцоо) x(t) эсвэл I(t), ажлын дүгнэлт.
Оролтын динамик дарааллыг бидэнд мэдэгдээрэй X(оролтын дохио) ба загвар (оролтын дохиог гаралтын дохио болгон хувиргах арга). Бид гаралтын дохиог тодорхойлох асуудлыг авч үздэг y(т) (10.1-р зургийг үз).
Динамик системийн загварыг дифференциал тэгшитгэлээр илэрхийлж болно. Динамикийн үндсэн тэгшитгэл:
y" = е(x(т), y(т), т) .
Тэг үеийн анхны нөхцөлүүд мэдэгдэж байна т 0 : y(т 0) , x(т 0) . Гаралтын дохиог тодорхойлохын тулд деривативын тодорхойлолтоор:
Бид "1" цэг дээрх системийн байрлалыг мэддэг тул "2" цэг дээрх системийн байрлалыг тодорхойлох хэрэгтэй. Цэгүүд бие биенээсээ Δ зайгаар тусгаарлагдана т(Зураг 10.2). Өөрөөр хэлбэл, системийн үйл ажиллагааг алхам алхмаар тооцдог. "1" цэгээс бид тэнхлэгийн дагуух цэгүүдийн хоорондох зай болох "2" цэг рүү үсрэв. тдуудсан тооцооны алхам Δ т .
Эйлерийн арга нэг алхам
Сүүлийн томъёог Эйлерийн томъёо гэж нэрлэдэг.
Ирээдүйд системийн төлөв байдлыг олж мэдэхийн тулд мэдээжийн хэрэг y(т + Δ т) , энэ нь системийн өнөөгийн байдалд зайлшгүй шаардлагатай y(т) өөрчлөлтийг Δ нэмнэ y, Δ хугацаанд өнгөрсөн т .
Энэ чухал харилцааг геометрийн үзлээс гарган дахин авч үзье (Зураг 10.3).
Системийн төлөвийг мэдэх цэгийг А гэж үзье. Энэ бол системийн "бодит" байдал юм.
А цэг дээр бид системийн траекторийн шүргэгчийг зурна. Тангенс нь функцийн дериватив юм е(x(т), y(т), т) хувьсагчаар т. Нэг цэгийн деривативыг тооцоолоход үргэлж хялбар байдаг; мэдэгдэж буй хувьсагчдыг (одоогоор "одоо" мэдэгдэж байгаа) томъёонд орлуулахад хангалттай. y" = е(x(т), y(т), т) .
Тодорхойлолтоор дериватив нь шүргэгчийн налуу өнцөгтэй холбоотой болохыг анхаарна уу. y" = тг( α ) , энэ нь өнцөг гэсэн үг α тооцоолоход хялбар ( α = арктан( y" ) ) ба шүргэгч зур.
Шугамтай огтлолцох хүртэл шүргэгч зур т + Δ т. Агшин т + Δ тсистемийн "ирээдүйн" төлөвтэй тохирч байна. Тэнхлэгтэй параллель шугам зур тА цэгээс шугамтай огтлолцох хүртэл т + Δ т. Шугамууд нь ABC тэгш өнцөгт гурвалжинг үүсгэдэг бөгөөд нэг тал нь Δ-тэй тэнцүү байна т(алдартай). Өнцөг нь бас мэдэгдэж байна α . Тэгвэл ABC тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр дахь хөл нь дараахтай тэнцүү байна. а = Δ ттг( α ) . Одоо В цэгийн ординатыг тооцоолоход хялбар боллоо. Энэ нь хоёр сегментээс бүрдэнэ y(т) Мөн а. Ординат нь тухайн цэг дэх системийн байрлалыг илэрхийлдэг y(т + Δ т) . Тэр бол y(т + Δ т) = y(т) + а эсвэл цааш нь y(т + Δ т) = y(т) + Δ ттг( α ) эсвэл цааш орлуулбал бидэнд: y(т + Δ т) = y(т) + Δ т · y" мөн эцэст нь y(т + Δ т) = y(т) + Δ т · е(x(т), y(т), т) . Дахин бид Эйлерийн томьёог (геометрийн үзэл баримтлалаас) авсан.
Энэ томъёо нь зөвхөн маш бага Δ-д үнэн зөв үр дүнг өгч чадна т(Δ дээр хэлсэн т>0). Δ-д т≠0 томъёо нь жинхэнэ утгын зөрүүг өгдөг yба тооцоолсон, тэнцүү ε , тиймээс энэ нь ойролцоогоор тэгш байдлын тэмдгийг агуулсан байх ёстой, эсвэл дараах байдлаар бичнэ.
y(т + Δ т) = y(т) + Δ т · е(x(т), y(т), т) + ε .
Үнэхээр. Зураг руу дахин нэг хараарай. 10.3. Мөрийг оюун ухаанаараа хөдөлгөцгөөе т + Δ тзүүн тийш (үнэндээ бид Δ-ийн утгыг ойртуулна ттэг хүртэл). Харахад хялбар, зай BB * = ε , энэ бол алдаа! багасна. Хязгаарт (Δ-д т>0) алдааны утга ε тэгтэй тэнцүү байх болно.
Тиймээс бодит муруйг Δ сегмент дээрх шулуун шугамаар (шүргэдэг) сольж байна т, бид шийдэлд алдаа гаргаж, "2" цэг дээр биш (10.2-р зургийг үз), харин ойролцоох "3" цэг дээр төгсдөг. Мэдээжийн хэрэг, энэ тоон арга нь алхам бүрт тооцооллын алдаатай байдаг ε .
Δ-ийн утга бага байх тусам зурагнаас харж болно т, тооцооллын алдаа бага байх болно ε . Өөрөөр хэлбэл, системийн үйл ажиллагааг ямар ч урт хугацааны туршид тооцоолох (жишээлбэл, т 0 хүртэл т к) алхам бүрт алдааг багасгахын тулд Δ алхмуудыг хийнэ үү таль болох бага байлгах. Зорилгодоо хүрэхийн тулд т кшугамын сегмент (т к т 0) Δ урттай сегментүүдэд хуваагдана т; ийм байдлаар бүх зүйл бүтнэ Н = (т к т 0)/Δ т алхамууд. Тооцооллын үр дүнд та алхам бүрт Эйлерийн томъёог ашиглах хэрэгтэй болно, өөрөөр хэлбэл Ннэг удаа. Гэхдээ алдаа гэдгийг санаарай ε бибүр дээр би-th алхам (хамгийн энгийн тохиолдолд) тэдгээр нь нэмэгдэж, нийт алдаа хурдан хуримтлагддаг (Зураг 10.4-ийг үз). Мөн энэ нь энэ аргын мэдэгдэхүйц сул тал юм. Хэдийгээр энэ аргыг ашигласнаар аливаа дифференциал тэгшитгэлийн (түүний дотор аналитикийн хувьд шийдэгдэх боломжгүй) шийдлийг (тоон хэлбэрээр) олж авах боломжтой. Алхамыг багасгаснаар бид илүү нарийвчлалтай шийдлүүдийг олж авдаг боловч алхамуудын тоог нэмэгдүүлэх нь тооцооллын зардал, гүйцэтгэлийг бууруулахад хүргэдэг гэдгийг мартаж болохгүй. Нэмж дурдахад, олон тооны давталттай үед компьютерийн нарийвчлал хязгаарлагдмал, дугуйрсан алдаанаас болж тооцоололд өөр нэг чухал алдаа гарч ирдэг.
Даалгавар 1. Дифференциал тэгшитгэл өгөгдсөн y" = 2тy . Системийн анхны байрлалыг тохируулсан: y(0) = 1 . олох хэрэгтэй y(т), өөрөөр хэлбэл, цаг хугацааны интервал дахь системийн төлөв байдал т 0-ээс 1 хүртэл.
Асуудлыг шийдвэрлэх аналитик арга 1
y" = 2тy .
Хувьсагчдыг салгах аргыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.
y" /y = 2т
Бид 0-ээс интеграцчилна т би, дараа нь интеграцийн дүрмийн дагуу бид дараах байдалтай байна:
Үүссэн аналитик шийдэл нь туйлын үнэн зөв гэдгээрээ онцлог боловч хэрэв тэгшитгэл нь ямар нэгэн төвөгтэй болж хувирвал шийдэл нь огт олдохгүй болно. Аналитик шийдэл нь бүх нийтийнх биш юм.
1-р асуудлыг шийдвэрлэх тоон арга
Уусмалын тоон арга нь тооцооллыг Эйлерийн томъёоны дагуу хэд хэдэн дараалсан алхмаар гүйцэтгэнэ гэж үздэг. Алхам бүрт муруй нь шулуун сегментээр солигддог тул алхам бүрт шийдэл нь өөрийн алдаатай байдаг (10.2-р зургийг үз).
Алгоритмын хэрэгжилтийн хувьд тооцооллыг тухайн мөчлөгт хэрэгжүүлдэг т(тоолуур т) Мөн y :
Энэ аргыг компьютер дээр хэрэгжүүлэх блок диаграммыг Зураг дээр үзүүлэв. 10.5.
Stratum хэрэгжилтийн үед бичлэг нь иймэрхүү харагдах болно ("~" тэмдэг байгаа үед т ):
Үнэ цэнийг нь хайцгаая y-аас интервал дээр тоон хэлбэрээр өмнө авч үзсэн жишээ Т= 0 хүртэл Т= 1. Алхамуудын тоог авч үзье n= 10, дараа нь өсөлтийн алхам Δ тбайх болно: Δ т= (1 0)/ n= (1 0)/10 = 0.1.
| Хүснэгт 10.1. Эйлерийн аргаар тэгшитгэлийн тоон тооцоо мөн алхам бүрт үр дүнг яг шийдэлтэй харьцуулах |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| би | т би | y би = y би 1 + у" би 1 · Δ т | у" би = 2т би · y би | Δ y би = у" би · Δ т | y би + 1 = y би + Δ y би | yяг = exp( т би 2) |
| 0 | 0.0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0.1 | 1 | 0.2 | 0.02 | 1.02 | 1.0101 |
| 2 | 0.2 | 1.02 | 0.408 | 0.0408 | 1.0608 | 1.0408 |
| 3 | 0.3 | 1.061 | 0.636 | 0.0636 | 1.1246 | 1.0942 |
| 4 | 0.4 | 1.124 | 0.900 | 0.0900 | 1.2140 | 1.1735 |
| 5 | 0.5 | 1.214 | 1.214 | 0.1214 | 1.3354 | 1.2840 |
| 6 | 0.6 | 1.336 | 1.603 | 0.1603 | 1.4963 | 1.4333 |
| 7 | 0.7 | 1.496 | 2.095 | 0.2095 | 1.7055 | 1.6323 |
| 8 | 0.8 | 1.706 | 2.729 | 0.2729 | 1.9789 | 1.8965 |
| 9 | 0.9 | 1.979 | 3.561 | 0.3561 | 2.3351 | 2.2479 |
| 10 | 1.0 | 2.335 | 4.669 | 0.4669 | 2.8019 | 2.7183 |
Тоогоор тооцоолсон утга ( y би+ 1 ) нь яг өөр ( yяг ), алдаа (багануудын ялгаа y би+ 1 ба yяг ) Зурагт үзүүлсэнтэй ижил аргаар тооцооллын явцад нэмэгддэг. 10.4.
Одоо харьцангуй алдааг тооцоолъё σ тооцоолсон үнэ цэнийн хувьд y(1) онолын нарийвчлалтай харьцуулан тоогоор олж авсан yонол дараах томъёоны дагуу:
σ = (1 yтооцоолол. / yонолын) · 100%
болон харьцуулах σ Δ-ийн өөр утгууд дээр т .
Хэрэв бид алхамын утгыг өөрчилвөл Δ т, жишээ нь, алхамыг багасгах, дараа нь харьцангуй тооцооллын алдаа мөн буурах болно. Энэ бол үнэ цэнийг тооцоолохдоо олж авсан зүйл юм y(1) өөр өөр алхамын утгатай (Хүснэгт 10.2-ыг үзнэ үү).
| Хүснэгт 10.2. Алдааны хамаарал алхамын хэмжээ Δ дээр суурилсан тооцоо т |
|||||||||||||||
| Δ т | yтооцоолол. (1) | yонол (1) | σ |
| 1/10 | 2.3346 | 2.7183 | 14% |
| 1/20 | 2.5107 | 2.7183 | 8% |
| 1/100 | 2.6738 | 2.7183 | 2% |
Бидний харж байгаагаар өсөлтийн алхамыг бууруулж Δ тхарьцангуй алдаа багасч, тооцооллын нарийвчлал нэмэгдэнэ гэсэн үг.
Алхамыг 10 дахин (1/10-аас 1/100 хүртэл) өөрчлөх нь алдааны утгыг ойролцоогоор 10 дахин (14% -иас 2% хүртэл) өөрчлөхөд хүргэдэг гэдгийг анхаарна уу. Алхамыг 100 дахин өөрчлөхөд алдаа мөн ойролцоогоор 100 дахин буурна. Өөрөөр хэлбэл Эйлер аргын алхамын хэмжээ болон алдаа нь шугаман хамааралтай байна. Хэрэв та алдааг 10 дахин багасгахыг хүсвэл алхамыг 10 дахин багасгаж, тооцооллын тоог 10 дахин нэмэгдүүлнэ. Математикийн энэ баримтыг ихэвчлэн тэмдгээр тэмдэглэдэг ε = О(Δ т) , мөн Эйлерийн аргыг нэгдүгээр эрэмбийн нарийвчлалын арга гэнэ.
Эйлерийн аргын хувьд алдаа нь нэлээд том бөгөөд алхам тутамд хуримтлагддаг бөгөөд нарийвчлал нь тооцооллын тоотой пропорциональ байдаг тул системийн үйл ажиллагааг зарчмын хувьд үнэлэхийн тулд Эйлерийн аргыг ихэвчлэн бүдүүлэг тооцоололд ашигладаг. Нарийвчилсан тоон тооцооллын хувьд илүү нарийвчлалтай аргуудыг ашигладаг.
Тэмдэглэл
- Үр дүн нь онолынхоос ялгаатай тул тоон арга бүр нарийвчлалтай байдаг. Аргын нарийвчлал нь алхамын хэмжээнээс хамаарна. Өөр өөр аргууд нь өөр өөр нарийвчлалтай байдаг. Алхам хэмжээнээс нарийвчлалын хамаарлын дарааллыг дараах байдлаар тэмдэглэв О(h) . Эйлерийн арга нь эхний эрэмбийн нарийвчлалтай бөгөөд алхамын хэмжээнээс алдааны хамаарал нь шугаман байна.
- Хэрэв алхамыг багасгах үед хязгаар y nутга учрыг олохыг хичээдэг yонол , тэгвэл арга нь нийлнэ гэж хэлнэ. Судлаачид аргын нэгдэх хурдыг сонирхож байна.
- Арга нь тогтвортой байх ёстой. Тогтвортой байдал нь тодорхой чухал алхамын хэмжээтэй холбоотой байдаг. Тогтворгүй байдал үүсэх үед тооцооллын чанарын дүр зургийг бүрэн гажуудуулж, үр дүнгийн "сул" байдаг.
- Арга сонгохдоо эхлээд тогтвортой байдлыг хангах, тогтвортой байдлын бүсэд үр дүнг нэгтгэхийг зөвлөж байна. Тогтвортой байдал нь чанарын зургийг баталгаажуулдаг. Конвергенц нь тоон үр дүнг өгдөг (мөн 10.10-р зургийг үз).
Догол мөрүүдэд тусгасан. 1-4-ийг жишээгээр тайлбарлая.
Жишээ. Болъё
Чанарын хувьд эдгээр тэгшитгэлүүд нь хоёр биетийн хоорондох дулаан солилцооны үйл явцыг тодорхойлдог бөгөөд тэдгээрийн температурыг тодорхой цаг хугацааны хувьд дараах байдлаар тэмдэглэдэг. АТэгээд Б. Бүх АТэгээд Бцаг хугацааны хувьсагч т. Системийн зан төлөвийг олох нь температур хэрхэн өөрчлөгдөхийг олох хэрэгтэй гэсэн үг юм А(т) Мөн Б(т) .
Анхны температурын зөрүүтэй үед энэ нь ойлгомжтой юм А= 8 ба Б= 5 биеийн температур аажмаар жигдрэх ёстой, учир нь илүү халуун бие нь хүйтэнд энерги өгч, температур нь буурч, илүү хүйтэн бие нь халуунаас энерги авч, температур нь нэмэгддэг. Хоёр биеийн температур ижил болоход дулаан солилцооны процесс дуусна (өөрөөр хэлбэл өөрчлөлтүүд зогсох болно).
Зан үйлийн тооцооллыг хийцгээе А(т) Мөн Б(т) өөр өөр хэмжээтэй Δ т .
Бид өөр өөр хэмжээтэй Δ алхам хийх болно тхаргалзах утгуудыг олоорой АТэгээд БДараах Эйлерийн томъёоны дагуу цаг хугацааны хувьд:
Ашинэ = Аөмнөх + ( Бөмнөх ¶ Аөмнөх) Δ т
,
Бшинэ = Бөмнөх + ( Аөмнөх ¶ Бөмнөх) Δ т
.
Тооцоолол Δ т= 2 (Хүснэгт 10.3).
"Сулрах" үзэгдэл ажиглагдаж байна (10.6-р зургийг үз). Тогтворгүй шийдэл. Физик үүднээс авч үзвэл дулаан солилцооны явцад хоёр бие ийм байдлаар ажиллах боломжгүй нь тодорхой байна.
 |
буруу. Шийдэл нь тогтворгүй байна
Тооцоолол Δ т= 1 (Хүснэгт 10.4).
| Хүснэгт 10.4. Температурын өөрчлөлт биетүүд тоон хэлбэрээр 1 алхамаар тооцоолно |
|||||||||||||||
| № алхам |
т | А | Б |
| 0 | 0 | 8 | 5 |
| 1 | 1 | 5 | 8 |
| 2 | 2 | 8 | 5 |
Тогтвортой байдлын хил дээрх системийн шийдлийн зан төлөв ажиглагдаж байна (10.7-р зургийг үз).
 |
буруу. Шийдэл нь тогтвортой байдлын ирмэг дээр байна
Тооцоолол Δ т= 0.5 (Хүснэгт 10.5).
| Хүснэгт 10.5. Температурын өөрчлөлт биетүүд тоон хэлбэрээр 0.5-ын өсөлтөөр тооцоолно |
|||||||||||||||
| № алхам |
т | А | Б |
| 0 | 0 | 8 | 5 |
| 1 | 0.5 | 6.5 | 6.5 |
| 2 | 1.0 | 6.5 | 6.5 |
Шийдэл нь тогтвортой бөгөөд зөв чанарын зурагтай тохирч байна (10.8-р зургийг үз). Биеийн температур аажмаар бие биендээ ойртож, цаг хугацааны явцад ижил болдог. Гэхдээ шийдэл нь том алдаатай хэвээр байна.
Шийдэл (системийн үйлдэл) нь том алдаатай байна
Тооцоолол Δ т= 0.1 (Хүснэгт 10.6).
| Хүснэгт 10.6. Температурын өөрчлөлт биетүүд тоон хэлбэрээр 0.1-ийн өсөлтөөр тооцоолно |
|||||||||||||||||||||||||||
| № алхам |
т | А | Б |
| 0 | 0 | 8 | 5 |
| 1 | 0.1 | 7.7 | 5.3 |
| 2 | 0.2 | 7.46 | 5.54 |
| 3 | 0.3 | 7.27 | 5.73 |
| 4 | 0.4 | 7.12 | 5.88 |
| 5 | 0.5 | 7.00 | 6.00 |
Шийдэл нь тогтвортой байна. Шийдэл нь илүү нарийвчлалтай (10.9-р зургийг үз).
Тоон шийдэл нь илүү нарийвчлалтай байдаг
Алхам хэмжээг өөрчлөх үүргийг Зураг дээр үзүүлэв. 10.10.
