Хэсэгүүд: Математик

Хичээлийн зорилго:

Боловсрол: экспоненциал тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхийг заах; эдгээр системд багтсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ур чадварыг нэгтгэх

Боловсрол: цэвэр цэмцгэр байдлыг сургах.

Хөгжиж байна: бичих, ярих соёлыг хөгжүүлэх.

Тоног төхөөрөмж:компьютер; мультимедиа проектор.

Хичээлийн үеэр

Зохион байгуулах цаг

Багш аа. Өнөөдөр бид Экспоненциал функц бүлгийг үргэлжлүүлэн судлах болно. Бид хичээлийн сэдвийг хэсэг хугацааны дараа томъёолох болно. Хичээлийн үеэр та өөрийн ширээн дээр байгаа хариултын маягтуудыг бөглөнө ( см. Хавсралт No1 ). Хариултуудыг нэгтгэн дүгнэх болно.

Мэдлэгийн шинэчлэл.

Оюутнууд асуултад хариулдаг:

• Экспоненциал функц ямар хэлбэртэй вэ?

Аман ажил. 1-ээс 5-р слайд дээр ажилла.

• Ямар тэгшитгэлийг экспоненциал гэж нэрлэдэг вэ?
• Та ямар шийдлийн аргуудыг мэддэг вэ?

Слайд 6-аас 10 хүртэлх аман ажил.

• Экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд экспоненциал функцийн ямар шинж чанарыг ашигладаг вэ?

11-ээс 15-р слайд дээр аман ажил.

Дасгал хийх. Эдгээр асуултын хариултыг хариултын маягт №1 дээр бичнэ үү. ( см. Хавсралт No1 ). (слайд 16-31)

Гэрийн даалгавар шалгах

.

Бид гэрийн даалгавраа дараах байдлаар шалгана.

Тэгшитгэлийн язгуурыг харгалзах үсгээр сольж, үгийг тааварлаарай.

Оюутнууд хариултын маягт №2 ( Хавсралт 1) ... Багш 33 дугаар слайдыг үзүүлэв

(Оюутнууд нэг үгийг нэрлэнэ (слайд 34)).

• Энэ функцийн хуулийн дагуу ямар үзэгдэл явагддаг вэ?

Оюутнуудыг B12 (слайд 35) шалгалтын даалгавруудыг шийдэж, хариултын №3 маягт дээр бичихийг урьж байна. Хавсралт 1).

Гэрийн даалгавраа шалгах, В12 бодлогыг шийдвэрлэх явцад бид экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг давтах болно.

Оюутнууд хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд өөр тэгшитгэл шаарддаг болохыг олж мэдэв.

Дараа нь хичээлийн сэдвийг томъёолсон (слайд № 37).

Системийг тэмдэглэлийн дэвтэрт бүртгэсэн (слайд дугаар 38).

Энэ системийг шийдэхийн тулд бид орлуулах аргыг давтан хийнэ (слайд 39).

Системийг шийдвэрлэх явцад нэмэх аргыг давтан хийнэ (38-аас 39-р слайд).

Судалсан материалын анхан шатны нэгтгэлт

:

Оюутнууд №4 хариултын маягт дахь тэгшитгэлийн системийг бие даан шийддэг. Хавсралт 1 ), багшаас ганцаарчилсан зөвлөгөө авах.

Дүгнэж байна. Тусгал.

Үг хэллэгийг үргэлжлүүлээрэй.

• Өнөөдөр хичээл дээр би давтан хэлсэн ...
• Өнөөдөр хичээл дээр би зассан ...
• Өнөөдөр хичээл дээр би сурсан ...
• Өнөөдөр хичээл дээр би сурсан ...

Хичээлийн төгсгөлд оюутнууд гэрийн даалгавраа бичиж, хариултын хуудсыг гардуулна

Гэрийн даалгавар:

No59 (тэгш) ба No62 (тэгш).

Уран зохиол

1. Улсын нэгдсэн шалгалтын бүлгийн бүх даалгавар 3000 асуудал - "Шалгалт" хэвлэлийн газар Москва, 2011. А.Л. Семенова, I.V. Ященко.
2. С.А. Шестаков, П.И. Захаров ЕГЭ 2010 математикийн асуудал С1 А.Л. Семенова, I.V. Ященко Москвагийн "MCNMO" хэвлэлийн газар.
3. Алгебр, математикийн анализын эхлэл, 10-р анги Ю.М. Колягин Москва "Боловсрол", 2008 он.

"Экспоненциал тэгшитгэл ба экспоненциал тэгш бус байдал" сэдэвт хичээл, танилцуулга.

Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид ээ, сэтгэгдэл, сэтгэгдэл, хүслээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгасан.

11-р ангийн Integral онлайн дэлгүүрт заах хэрэгсэл, симуляторууд
9-11-р ангийн "Тригонометр" интерактив хичээл
10-11-р ангийн "Логарифм" интерактив хичээл

Экспоненциал тэгшитгэлийг тодорхойлох

Залуус аа, бид экспоненциал функцийг судалж, тэдгээрийн шинж чанарыг мэдэж, графикуудыг барьж, экспоненциал функцүүдтэй тулгарсан тэгшитгэлийн жишээнд дүн шинжилгээ хийсэн. Өнөөдөр бид экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг судлах болно.

Тодорхойлолт. Хэлбэрийн тэгшитгэлүүд: $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $, $ a> 0 $, $ a ≠ 1 $ -г экспоненциал тэгшитгэл гэнэ.

"Экспоненциал функц" сэдвээр судалсан теоремуудыг санаж, бид шинэ теоремыг танилцуулж болно.
Теорем. Экспоненциал тэгшитгэл $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $, энд $ a> 0 $, $ a ≠ 1 $ нь $ f (x) = g (x) тэгшитгэлтэй тэнцүү байна. ) $.

Экспоненциал тэгшитгэлийн жишээ

Жишээ.
Тэгшитгэлийг шийдэх:
a) $ 3 ^ (3х-3) = 27 $.
б) $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0.2) = \ sqrt (\ frac (2) (3)) $.
в) $ 5 ^ (x ^ 2-6x) = 5 ^ (- 3x + 18) $.
Шийдэл.
a) Бид $ 27 = 3 ^ 3 $ гэдгийг сайн мэднэ.
Тэгшитгэлээ дахин бичье: $ 3 ^ (3x-3) = 3 ^ 3 $.
Дээрх теоремыг ашиглан бидний тэгшитгэлийг $ 3x-3 = 3 $ тэгшитгэл болгон бууруулж, энэ тэгшитгэлийг шийдэж, $ x = 2 $ болно.
Хариулт: $ x = 2 $.

B) $ \ sqrt (\ frac (2) (3)) = ((\ frac (2) (3))) ^ (\ frac (1) (5)) $.
Дараа нь бидний тэгшитгэлийг дахин бичиж болно: $ ((\ frac (2) (3))) ^ (2x + 0.2) = ((\ frac (2) (3))) ^ (\ frac (1) (5) ) = ((\ frac (2) (3))) ^ (0,2) $.
$ 2x + 0.2 = $ 0.2.
$ x = 0 $.
Хариулт: $ x = 0 $.

C) Анхны тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна: $ x ^ 2-6x = -3x + 18 $.
$ x ^ 2-3x-18 = 0 $.
$ (x-6) (x + 3) = 0 $.
$ x_1 = 6 $ ба $ x_2 = -3 $.
Хариулт: $ x_1 = 6 $ ба $ x_2 = -3 $.

Жишээ.
Тэгшитгэлийг шийд: $ \ frac (((0.25)) ^ (x-0.5)) (\ sqrt (4)) = 16 * ((0.0625)) ^ (x + 1) $.
Шийдэл:
Бид хэд хэдэн үйлдлүүдийг дараалан хийж, тэгшитгэлийнхээ хоёр талыг ижил суурьт хүргэх болно.
Зүүн талд хэд хэдэн үйлдлийг хийцгээе:
1) $ ((0.25)) ^ (x-0.5) = ((\ frac (1) (4))) ^ (x-0.5) $.
2) $ \ sqrt (4) = 4 ^ (\ frac (1) (2)) $.
3) $ \ frac (((0.25)) ^ (x-0.5)) (\ sqrt (4)) = \ frac (((\ frac (1) (4))) ^ (x-0, 5)) (4 ^ (\ frac (1) (2))) = \ frac (1) (4 ^ (x-0.5 + 0.5)) = \ frac (1) (4 ^ x) = ((\ frac (1)) (4))) ^ x $.
Баруун тал руугаа явцгаая:
4) $16=4^2$.
5) $ ((0.0625)) ^ (x + 1) = \ frac (1) ((16) ^ (x + 1)) = \ frac (1) (4 ^ (2x + 2)) $.
6) $ 16 * ((0.0625)) ^ (x + 1) = \ frac (4 ^ 2) (4 ^ (2x + 2)) = 4 ^ (2-2x-2) = 4 ^ (- 2x ) = \ frac (1) (4 ^ (2x)) = ((\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
Анхны тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна:
$ ((\ frac (1) (4))) ^ x = ((\ frac (1) (4))) ^ (2x) $.
$ x = 2x $.
$ x = 0 $.
Хариулт: $ x = 0 $.

Жишээ.
Тэгшитгэлийг шийд: $ 9 ^ x + 3 ^ (x + 2) -36 = 0 $.
Шийдэл:
Тэгшитгэлээ дахин бичье: $ ((3 ^ 2)) ^ x + 9 * 3 ^ x-36 = 0 $.
$ ((3 ^ x)) ^ 2 + 9 * 3 ^ x-36 = 0 $.
Хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийцгээе, $ a = 3 ^ x $ байг.
Шинэ хувьсагчдад тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно: $ a ^ 2 + 9a-36 = 0 $.
$ (a + 12) (a-3) = 0 $.
$ a_1 = -12 $ ба $ a_2 = 3 $.
Хувьсагчийн урвуу өөрчлөлтийг хийцгээе: $ 3 ^ x = -12 $ ба $ 3 ^ x = 3 $.
Сүүлийн хичээл дээр бид экспоненциал илэрхийлэл нь зөвхөн эерэг утгыг авч болохыг олж мэдсэн тул графикийг санаарай. Тиймээс эхний тэгшитгэлд шийдэл байхгүй, хоёр дахь тэгшитгэл нь нэг шийдтэй байна: $ x = 1 $.
Хариулт: $ x = 1 $.

Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга замуудын хяналтын жагсаалтыг нэгтгэж үзье.
1. График арга.Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг функц хэлбэрээр төлөөлж, тэдгээрийн графикийг байгуулж, графикуудын огтлолцох цэгүүдийг олдог. (Бид энэ аргыг сүүлийн хичээл дээр ашигласан).
2. Шалгуур үзүүлэлтүүдийн тэгш байдлын зарчим.Эдгээр суурийн зэрэг (заагч) тэнцүү байх тохиолдолд ижил суурьтай хоёр илэрхийлэл тэнцүү байна гэсэн зарчим дээр суурилдаг. $ a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) $ $ f (x) = g (x) $.
3. Хувьсах солих арга.Хэрэв тэгшитгэл нь хувьсагчийг өөрчлөхдөө хэлбэрээ хялбарчилж, шийдвэрлэхэд илүү хялбар бол энэ аргыг ашиглах хэрэгтэй.

Жишээ.
Тэгшитгэлийн системийг шийд: $ \ эхлэл (тохиолдлууд) (27) ^ y * 3 ^ x = 1, \\ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) = 12. \ end (тохиолдлууд) $.
Шийдэл.
Системийн хоёр тэгшитгэлийг тусад нь авч үзье.
$ 27 ^ y * 3 ^ x = 1 $.
$ 3 ^ (3y) * 3 ^ x = 3 ^ 0 $.
$ 3 ^ (3y + x) = 3 ^ 0 $.
$ x + 3y = 0 $.
Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье.
$ 4 ^ (x + y) -2 ^ (x + y) = 12 $.
$ 2 ^ (2 (x + y)) - 2 ^ (x + y) = 12 $.
Хувьсагчийн өөрчлөлтийн аргыг ашиглая, $ y = 2 ^ (x + y) $ байг.
Дараа нь тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.
$ y ^ 2-y-12 = 0 $.
$ (y-4) (y + 3) = 0 $.
$ y_1 = 4 $ ба $ y_2 = -3 $.
Эхний хувьсагчид руу шилжихэд эхний тэгшитгэлээс бид $ x + y = 2 $ авна. Хоёр дахь тэгшитгэлд шийдэл байхгүй. Дараа нь бидний анхны тэгшитгэлийн систем нь системтэй тэнцүү байна: $ \ эхлэл (тохиолдлууд) x + 3y = 0, \\ x + y = 2. \ end (тохиолдлууд) $.
Эхний тэгшитгэлээс хоёр дахь хэсгийг хасаад бид дараахь зүйлийг авна: $ \ эхлэл (тохиолдол) 2y = -2, \\ x + y = 2. \ end (тохиолдлууд) $.
$ \ эхлэл (тохиолдлууд) y = -1, \\ x = 3. \ end (тохиолдлууд) $.
Хариулт: $ (3; -1) $.

Экспоненциал тэгш бус байдал

Тэгш бус байдал руу шилжье. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ зэрэглэлийн суурьт анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед үйл явдлын хөгжлийн хоёр хувилбар байж болно.

Теорем. Хэрэв $ a> 1 $ бол экспоненциал тэгш бус байдал $ a ^ (f (x))> a ^ (g (x)) $ нь $ f (x)> g (x) $ тэгш бус байдалтай тэнцүү байна.
Хэрэв $ 0 a ^ (g (x)) $ нь $ f (x) тэгш бус байдалтай тэнцүү байна.

Жишээ.
Тэгш бус байдлыг шийдэх:
a) $ 3 ^ (2x + 3)> 81 $.
б) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2х-4) в) $ (0.3) ^ (x ^ 2 + 6x) ≤ (0.3) ^ (4х + 15) $ ...
Шийдэл.
a) $ 3 ^ (2x + 3)> 81 $.
$ 3 ^ (2x + 3)> 3 ^ 4 $.
Бидний тэгш бус байдал нь тэгш бус байдалтай тэнцүү байна:
$ 2x + 3> 4 $.
$ 2x> 1 $.
$ x> 0.5 $.

B) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) $ ((\ frac (1) (4))) ^ (2x-4) Манай тэгшитгэлд суурь нь түүнээс бага зэрэгтэй байна. 1, дараа нь тэгш бус байдлыг түүнтэй адилтгах зүйлээр солихдоо тэмдгийг өөрчлөх шаардлагатай.
$ 2x-4> 2 $.
$ x> 3 $.

C) Бидний тэгш бус байдал нь тэгш бус байдалтай тэнцүү байна:
$ x ^ 2 + 6x≥4x + 15 $.
$ x ^ 2 + 2x-15≥0 $.
$ (x-3) (x + 5) ≥0 $.
Интервал шийдлийн аргыг ашиглая:
Хариулт: $ (- ∞; -5] U)