Функцууд ба тэдгээрийн графикууд бол хамгийн сонирхолтой сэдвүүдийн нэг юм сургуулийн математик. Гагцхүү тэр хичээлийн хажуугаар, оюутнуудын хажуугаар өнгөрч байгаа нь харамсалтай. Ахлах сургуульд байхдаа түүнд хангалттай цаг байдаггүй. 7-р ангид заадаг эдгээр функцууд - шугаман функц ба парабола нь олон төрлийн сонирхолтой бодлогуудыг харуулахад хэтэрхий энгийн бөгөөд төвөгтэй биш юм.

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын параметрүүдтэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд функцүүдийн графикийг бүтээх чадвар шаардлагатай. Энэ бол их сургуулийн математикийн шинжилгээний хичээлийн эхний сэдвүүдийн нэг юм. Энэ бол маш чухал сэдэв бөгөөд бид Улсын нэгдсэн шалгалтын студид Москвад болон онлайнаар ахлах ангийн сурагчид, багш нарт зориулж тусгай эрчимжүүлсэн сургалт явуулдаг. Оролцогчид: "Бид үүнийг өмнө нь мэддэггүй байсан нь харамсалтай" гэж хэлдэг.

Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм. "Насанд хүрэгчдийн" жинхэнэ математик нь функцийн тухай ойлголтоос эхэлдэг. Эцсийн эцэст нэмэх хасах, үржүүлэх болон хуваах, бутархай ба пропорцууд арифметик хэвээр байна. Илэрхийлэлийг хувиргах нь алгебр юм. Математик бол зөвхөн тооны шинжлэх ухаан төдийгүй хэмжигдэхүүн хоорондын хамаарлын шинжлэх ухаан юм. Функц, графикийн хэл нь физикч, биологич, эдийн засагчдад ойлгомжтой. Галилео Галилейгийн хэлснээр, “Байгалийн ном математикийн хэлээр бичигдсэн”.

Галилео Галилей "Математик бол Бурхан Ертөнцийг бичсэн цагаан толгой" гэж хэлсэн байдаг.

Шалгах сэдвүүд:

1. Функцийн графикийг байгуулъя

Танил даалгавар! Эдгээрээс олдсон OGE сонголтуудматематик. Тэнд тэднийг хэцүү гэж үзсэн. Гэхдээ энд ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй.

Функцийн томъёог хялбаршуулж үзье:

Функцийн график нь цоорсон цэгтэй шулуун шугам юм.

2. Функцийн графикийг зуръя

Функцийн томьёоны бүх хэсгийг тодруулцгаая.

Функцийн график нь гипербол бөгөөд х дээр баруун тийш 3, у дээр 2 дээш шилжиж, функцын графиктай харьцуулахад 10 дахин сунгасан.

Бүхэл тоон хэсгийг тусгаарлах нь тоо болон тэдгээрийн шинж чанаруудтай холбоотой бодлогод тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх, график байгуулах, бүхэл тоон хэмжээг тооцоолоход хэрэглэгддэг ашигтай арга юм. Та интеграл авах ёстой эхний жилдээ ч бас таарах болно.

3. Функцийн графикийг зуръя

Үүнийг функцийн графикаас 2 дахин сунгаж, босоогоор тусгаж, босоо чиглэлд 1-ээр шилжүүлснээр гарна.

4. Функцийн графикийг зуръя

Хамгийн гол нь үйлдлүүдийн зөв дараалал юм. Функцийн томъёог илүү тохиромжтой хэлбэрээр бичье.

Бид дарааллаар нь үргэлжлүүлнэ:

1) y=sinx функцийн графикийг зүүн тийш шилжүүлэх;

2) хэвтээ байдлаар 2 удаа шахаж,

3) босоогоор 3 удаа сунгана,

4) 1 дээш хөдөл

Одоо бид хэдэн график бүтээх болно бутархай рационал функцууд. Үүнийг хэрхэн яаж хийхийг илүү сайн ойлгохын тулд "Хязгааргүй функцийн зан байдал" нийтлэлийг уншина уу. Асимптотууд."

5. Функцийн графикийг зуръя

Функцийн хамрах хүрээ:

Функцийн тэг: ба

Шулуун шугам x = 0 (Y тэнхлэг) нь функцийн босоо асимптот юм. Асимптот- функцийн график хязгааргүй ойртдог боловч түүнтэй огтлолцохгүй, нийлдэггүй шулуун шугам ("Хязгааргүй дэх функцийн зан байдал. Асимптотууд" сэдвийг үзнэ үү)

Бидний үйл ажиллагаанд өөр асимптотууд бий юу? Үүнийг мэдэхийн тулд х хязгааргүйд ойртох үед функц хэрхэн ажилладагийг харцгаая.

Функцийн томъёоны хаалтуудыг нээцгээе.

Хэрэв x хязгааргүйд очвол тэг болно. Шулуун шугам нь функцийн графикийн ташуу асимптот юм.

6. Функцийн графикийг зуръя

Энэ бол бутархай рационал функц юм.

Функцийн домэйн

Функцийн тэг: оноо - 3, 2, 6.

Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалуудыг интервалын аргаар тодорхойлно.

Босоо асимптотууд:

Хэрэв x нь хязгааргүйд хүрэх хандлагатай бол y нь 1 рүү чиглэнэ. Энэ нь хэвтээ асимптот гэсэн үг юм.

Графикийн ноорог энд байна:

Өөр нэг сонирхолтой арга бол график нэмэх явдал юм.

7. Функцийн графикийг зуръя

Хэрэв x нь хязгааргүй байх хандлагатай бол функцийн график ташуу асимптотод хязгааргүй ойртоно.

Хэрэв x тэг рүү чиглэж байвал функц нь дараах байдлаар ажиллана.Энэ бол график дээр харагдаж байна.

Тиймээс бид функцүүдийн нийлбэрийн графикийг барьсан. Одоо хэсгийн график!

8. Функцийн графикийг зуръя

Энэ функцийн хамрах хүрээ нь эерэг тоонууд, учир нь зөвхөн эерэг x хувьд тодорхойлогддог

(логарифм байх үед) функцын утга нь тэгтэй тэнцүү байна тэгтэй тэнцүү), түүнчлэн байгаа цэгүүдэд

үед (cos x) нь нэгтэй тэнцүү байна. Эдгээр цэгүүд дэх функцийн утга нь тэнцүү байх болно

9. Функцийн графикийг зуръя

Функц нь тэгш хэмээр тодорхойлогддог, учир нь энэ нь хоёр сондгой функцийн үржвэр бөгөөд график нь ордны тэнхлэгт тэгш хэмтэй байдаг.

Функцийн тэг нь тухайн цэг дээр байна

Хэрэв x хязгааргүйд очвол тэг болно. Харин x тэг рүү тэмүүлэх юм бол яах вэ? Эцсийн эцэст, x, sin x хоёулаа улам бүр багасна. Хувийн хүн хэрхэн биеэ авч явах вэ?

Хэрэв x тэг рүү чиглэдэг бол нэг рүү чиглэдэг болох нь харагдаж байна. Математикийн хувьд энэ мэдэгдлийг "Анхны гайхалтай хязгаар" гэж нэрлэдэг.

Деривативын талаар юу хэлэх вэ? Тийм ээ, бид эцэст нь тэнд ирлээ. Дериватив нь функцүүдийн графикийг илүү нарийвчлалтай гаргахад тусалдаг. Хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүд, мөн эдгээр цэгүүд дэх функцийн утгыг ол.

10. Функцийн графикийг зуръя

Функцийн домэйн нь бүх бодит тоо, учир нь

Функц нь хачирхалтай. Түүний график нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна.

x=0 үед функцийн утга тэг болно. Функцийн утгууд эерэг, сөрөг байх үед.

Хэрэв x хязгааргүйд очвол тэг болно.

Функцийн деривативыг олъё
Хувцасны дериватив томъёоны дагуу,

Хэрэв эсвэл

Нэг цэгт дериватив тэмдэг нь "хасах" -аас "нэмэх" болж өөрчлөгддөг - функцийн хамгийн бага цэг.

Нэг цэгт дериватив тэмдэг нь "нэмэх" -ээс "хасах" болж өөрчлөгддөг - функцийн хамгийн их цэг.

Х=2 ба x=-2 үед функцийн утгыг олъё.

Тодорхой алгоритм эсвэл схемийг ашиглан функцийн графикийг бүтээх нь тохиромжтой. Та сургуульд сурч байснаа санаж байна уу?

Функцийн график байгуулах ерөнхий схем:

1. Функцийн домэйн

2. Функцийн хүрээ

3. Тэгш - сондгой (хэрэв байгаа бол)

4. Давтамж (хэрэв байгаа бол)

5. Функцийн тэг (график координатын тэнхлэгүүдийг огтолж буй цэгүүд)

6. Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд (өөрөөр хэлбэл түүний хатуу эерэг эсвэл хатуу сөрөг байх интервалууд).

7. Асимптотууд (хэрэв байгаа бол).

8. Хязгааргүй үед функцийн зан төлөв

9. Функцийн дериватив

10. Өсөх ба буурах интервалууд. Эдгээр цэгүүд дэх хамгийн их ба хамгийн бага оноо, утгууд.

График ашиглан функцийг хэрхэн шалгахыг үзье. Графикийг хараад бид сонирхож буй бүх зүйлийг олж мэдэх боломжтой, тухайлбал:

• функцийн домэйн
• функцийн хүрээ
• функц тэг
• нэмэгдэх ба буурах интервалууд
• хамгийн их ба хамгийн бага оноо
• сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга.

Нэр томьёог тодруулъя:

Абсциссацэгийн хэвтээ координат юм.
Захиалга- босоо координат.
Абсцисса тэнхлэг- хэвтээ тэнхлэгийг ихэвчлэн тэнхлэг гэж нэрлэдэг.
Y тэнхлэг - босоо тэнхлэг, эсвэл тэнхлэг.

Аргумент- функцийн утгаас хамаарах бие даасан хувьсагч. Ихэнхдээ зааж өгдөг.
Өөрөөр хэлбэл, бид функцийг сонгоод томъёонд орлуулж, -г авна.

Домэйнфункцууд - функц байгаа эдгээр (болон зөвхөн тэдгээр) аргументуудын утгуудын багц.
Үүнд: эсвэл .

Бидний зураг дээр функцийг тодорхойлох муж нь сегмент юм. Энэ сегмент дээр функцийн график зурсан болно. Энэ функц байгаа цорын ганц газар юм.

Функцийн хүрээхувьсагчийн авдаг утгуудын багц юм. Бидний зураг дээр энэ нь сегмент юм - хамгийн багааас хамгийн дээд утга хүртэл.

Функцийн тэг- функцийн утга тэг байх цэгүүд, өөрөөр хэлбэл. Бидний зураг дээр эдгээр нь цэгүүд ба .

Функцийн утгууд эерэг байнахаана. Бидний зураг дээр эдгээр нь интервалууд ба .
Функцийн утга сөрөг байнахаана. Бидний хувьд энэ нь -ээс хүртэлх интервал (эсвэл интервал) юм.

Хамгийн чухал ойлголтууд - нэмэгдүүлэх, багасгах функцзарим багц дээр. Олонлог болгон та сегмент, интервал, интервалуудын нэгдэл эсвэл бүхэл тоон шугамыг авч болно.

Чиг үүрэг нэмэгддэг

Өөрөөр хэлбэл, илүү их байх тусмаа илүү, өөрөөр хэлбэл график баруун, дээшээ гарна.

Чиг үүрэг буурдаголонлог дээр хэрэв ямар нэгэн бөгөөд олонлогт хамаарах бол тэгш бус байдал нь тэгш бус байдлыг илэрхийлнэ.

Буурах функцийн хувьд том утга нь бага утгатай тохирно. График баруун, доошоо явдаг.

Бидний зураг дээр функц нь интервал дээр нэмэгдэж, интервалууд дээр буурч байна.

Энэ нь юу болохыг тодорхойлъё функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүд.

Хамгийн дээд цэг- энэ нь тодорхойлолтын домэйны дотоод цэг бөгөөд үүн дэх функцийн утга нь түүнд хангалттай ойр байгаа бүх цэгүүдээс их байна.
Өөрөөр хэлбэл функцийн утга гарах цэгийг максимум цэг гэнэ илүүхөршүүдээс илүү. Энэ бол график дээрх орон нутгийн "толгод" юм.

Бидний зураг дээр хамгийн дээд цэг байна.

Хамгийн бага оноо- тодорхойлолтын домэйны дотоод цэг, үүн дэх функцийн утга нь түүнд хангалттай ойр байгаа бүх цэгүүдээс бага байна.
Өөрөөр хэлбэл, хамгийн бага цэг нь түүний функцын утга хөршөөсөө бага байх явдал юм. Энэ бол график дээрх орон нутгийн "нүх" юм.

Бидний зураг дээр хамгийн бага цэг байна.

Гол нь хил хязгаар юм. Энэ нь тодорхойлолтын домайны дотоод цэг биш тул дээд цэгийн тодорхойлолтод тохирохгүй. Эцсийн эцэст түүний зүүн талд хөршүүд байдаггүй. Үүний нэгэн адил манай график дээр хамгийн бага цэг байх боломжгүй.

Хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг хамтдаа дууддаг функцийн экстремум цэгүүд. Манай тохиолдолд энэ нь ба .

Хэрэв та олох хэрэгтэй бол яах вэ, жишээлбэл, хамгийн бага функцсегмент дээр? Энэ тохиолдолд хариулт нь: . Учир нь хамгийн бага функцнь түүний хамгийн бага цэг дэх утга юм.

Үүний нэгэн адил бидний функцын дээд хэмжээ нь . Энэ нь цэг дээр хүрдэг.

Функцийн экстремум нь ба -тай тэнцүү гэж хэлж болно.

Заримдаа асуудал олохыг шаарддаг Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгуудөгөгдсөн сегмент дээр. Тэд туйлшралтай давхцах албагүй.

Манай тохиолдолд функцийн хамгийн бага утгасегмент дээрх функцын хамгийн багатай тэнцүү ба давхцаж байна. Гэхдээ энэ сегмент дээрх хамгийн их утга нь -тэй тэнцүү байна. Энэ нь сегментийн зүүн төгсгөлд хүрдэг.

Ямар ч тохиолдолд сегмент дээрх тасралтгүй функцын хамгийн том ба хамгийн бага утгууд нь сегментийн төгсгөлд эсвэл төгсгөлд хүрдэг.

Эхлээд функцийн домэйныг олохыг хичээ:

Та удирдаж чадсан уу? Хариултуудыг харьцуулж үзье:

Бүх зүйл зөв үү? Сайн хийлээ!

Одоо функцийн утгын мужийг олохыг хичээцгээе:

Олдсон уу? Харьцуулъя:

Авчихсан? Сайн хийлээ!

Дахин графиктай ажиллацгаая, зөвхөн одоо энэ нь арай илүү төвөгтэй болсон - функцийн тодорхойлолтын домэйн болон функцийн утгын мужийг хоёуланг нь олоорой.

Функцийн домэйн болон мужийг хэрхэн олох вэ (дэвшилтэт)

Юу болсныг энд харуулав.

Та графикуудыг ойлгосон гэж бодож байна. Одоо томъёоны дагуу функцийн тодорхойлолтын домэйныг олохыг хичээцгээе (хэрэв та үүнийг яаж хийхээ мэдэхгүй байгаа бол энэ хэсгийг уншина уу):

Та удирдаж чадсан уу? Шалгацгаая хариултууд:

1. , учир нь радикал илэрхийлэл нь тэгээс их буюу тэнцүү байх ёстой.
2. , учир нь та тэгээр хувааж болохгүй бөгөөд радикал илэрхийлэл нь сөрөг байж болохгүй.
3. , оноос хойш, тус тус, бүх.
4. , учир нь та тэгээр хувааж болохгүй.

Гэсэн хэдий ч бидэнд хариулагдаагүй өөр нэг зүйл байна ...

Би тодорхойлолтыг дахин давтаж, онцолж хэлье.

Та анзаарсан уу? "Ганц бие" гэдэг үг нь бидний тодорхойлолтын маш чухал элемент юм. Би та нарт хуруугаараа тайлбарлахыг хичээх болно.

Шулуун шугамаар тодорхойлогдсон функц байна гэж бодъё. . Бид энэ утгыг "дүрэм"-дээ орлуулж, үүнийг авна. Нэг утга нь нэг утгатай тохирч байна. Бид өөр өөр утгуудын хүснэгтийг гаргаж, энэ функцийн графикийг өөрсдөө харах боломжтой.

"Хараач! - та "" хоёр удаа тохиолддог!" Тэгэхээр парабола функц биш юм болов уу? Үгүй энэ бол!

“ ” хоёр удаа гарч ирсэн нь параболыг хоёрдмол утгатай гэж буруутгах шалтгаан биш юм!

Тооцоолоход бид нэг тоглоом хүлээн авсан нь баримт юм. Тооцоолоход бид нэг тоглоом авсан. Энэ нь зөв, парабол бол функц юм. Графикийг харна уу:

Авчихсан? Хэрэв тийм биш бол математикаас маш хол амьдралын жишээ энд байна!

Баримт бичгийг бүрдүүлж байхдаа уулзсан өргөдөл гаргагчид тус бүр нь хаана амьдардаг тухай яриандаа хэлсэн гэж бодъё.

Зөвшөөрч байна, нэг хотод хэд хэдэн залуус амьдрах бүрэн боломжтой, гэхдээ нэг хүн хэд хэдэн хотод нэгэн зэрэг амьдрах боломжгүй юм. Энэ нь бидний "параболын" логик дүрслэл шиг юм - Хэд хэдэн өөр X нь ижил тоглоомтой тохирч байна.

Одоо хамаарал нь функц биш болох жишээг гаргая. Эдгээр залуус ямар мэргэжлээр бүртгүүлсэн тухайгаа бидэнд хэлсэн гэж бодъё.

Энд бид огт өөр нөхцөл байдалтай байна: нэг хүн нэг буюу хэд хэдэн чиглэлд бичиг баримтыг хялбархан гаргаж өгөх боломжтой. Тэр бол нэг элементбагцыг захидал харилцаанд оруулсан болно хэд хэдэн элементолон түмэн. тус тус, энэ функц биш.

Таны мэдлэгийг практик дээр туршиж үзье.

Функц гэж юу болох, юу нь биш болохыг зурагнаас тодорхойл.

Авчихсан? Тэгээд энд байна хариултууд:

• Функц нь - B, E.
• Функц нь A, B, D, D биш юм.

Та яагаад гэж асууж байна уу? Тийм ээ, яагаад гэвэл:

Бусад бүх зураг дээр IN)Тэгээд E)Нэг нь хэд хэдэн байна!

Одоо та функцийг функцгүй функцээс хялбархан ялгаж, аргумент гэж юу болох, хамааралтай хувьсагч гэж юу болохыг хэлж, аргументийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ, функцийг тодорхойлох хүрээг тодорхойлж чадна гэдэгт би итгэлтэй байна. . Эхэлцгээе дараагийн хэсэг- функцийг хэрхэн тохируулах вэ?

Функцийг тодорхойлох аргууд

Энэ үгс нь ямар утгатай гэж та бодож байна вэ? "функцийг тохируулах"? Энэ нь зөв, энэ нь энэ тохиолдолд бид ямар функцийг ярьж байгааг хүн бүрт тайлбарлах гэсэн үг юм. Түүнээс гадна хүн бүр таныг зөвөөр ойлгох, таны тайлбар дээр үндэслэн хүмүүсийн зурсан функцын графикууд ижил байхаар тайлбарла.

Би яаж үүнийг хийх вэ? Функцийг хэрхэн тохируулах вэ?Энэ нийтлэлд нэгээс олон удаа ашиглагдсан хамгийн энгийн арга бол томъёог ашиглан.Бид томьёо бичиж, түүнд утгыг орлуулж утгыг тооцоолно. Таны санаж байгаагаар томьёо бол X нь хэрхэн Y болж хувирах нь бидэнд болон өөр хүнд тодорхой болох хууль, дүрэм юм.

Ихэвчлэн энэ нь тэдний хийдэг зүйл юм - даалгаварт бид томъёогоор тодорхойлогдсон бэлэн функцуудыг хардаг, гэхдээ хүн бүр мартдаг функцийг тохируулах өөр аргууд байдаг тул "өөр функцийг яаж тохируулах вэ?" Гэсэн асуулт гарч ирдэг. хаалтууд. Бүгдийг дарааллаар нь ойлгож, аналитик аргаар эхэлье.

Функцийг тодорхойлох аналитик арга

Аналитик арга нь томьёо ашиглан функцийг тодорхойлох явдал юм. Энэ бол хамгийн түгээмэл, өргөн хүрээтэй, хоёрдмол утгагүй арга юм. Хэрэв та томьёотой бол функцийн талаар бүх зүйлийг мэддэг - та үүнээс утгуудын хүснэгт хийж, график байгуулж, функц хаана нэмэгдэж, хаана буурч байгааг тодорхойлох боломжтой, ерөнхийдөө үүнийг судалж болно. бүрэн.

Функцийг авч үзье. Ялгаа нь юу юм?

"Юу гэсэн үг вэ?" - Та асуух. Би одоо тайлбарлая.

Тэмдэглэгээнд хаалтанд байгаа илэрхийллийг аргумент гэж нэрлэдэг гэдгийг сануулъя. Мөн энэ аргумент нь энгийн байх албагүй ямар ч илэрхийлэл байж болно. Үүний дагуу ямар ч аргумент (хаалтанд байгаа илэрхийлэл) бид илэрхийлэлд бичнэ.

Бидний жишээнд энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

Шалгалтанд танд өгөх функцийг тодорхойлох аналитик аргатай холбоотой өөр нэг даалгаврыг авч үзье.

гэсэн илэрхийллийн утгыг ол.

Та ийм илэрхийлэлийг хараад эхэндээ айж байсан гэдэгт би итгэлтэй байна, гэхдээ үүнд ямар ч аймшигтай зүйл байхгүй!

Өмнөх жишээн дээрх бүх зүйл ижил байна: ямар ч аргумент (хаалтанд байгаа илэрхийлэл) бид үүнийг илэрхийлэлд бичнэ. Жишээлбэл, функцийн хувьд.

Бидний жишээн дээр юу хийх хэрэгтэй вэ? Үүний оронд та бичих хэрэгтэй бөгөөд оронд нь -:

үүссэн илэрхийллийг богиносго:

Тэгээд л болоо!

Бие даасан ажил

Одоо дараах хэллэгүүдийн утгыг өөрөө олохыг хичээ.

1. , Хэрэв
2. , Хэрэв

Та удирдаж чадсан уу? Хариултуудаа харьцуулж үзье: Функц нь хэлбэртэй байдагт бид дассан

Бидний жишээн дээр ч бид функцийг яг ийм байдлаар тодорхойлдог боловч аналитик байдлаар функцийг далд хэлбэрээр зааж өгөх боломжтой.

Энэ функцийг өөрөө бүтээж үзээрэй.

Та удирдаж чадсан уу?

Би үүнийг ингэж барьсан.

Эцэст нь бид ямар тэгшитгэл гаргасан бэ?

Зөв! Шугаман, энэ нь график нь шулуун шугам болно гэсэн үг юм. Манай шугамд аль цэгүүд хамаарахыг хүснэгт үүсгэцгээе.

Энэ бол яг бидний ярьж байсан зүйл ... Нэг нь хэд хэдэнтэй тохирч байна.

Юу болсныг зурахыг хичээцгээе:

Бидэнд байгаа зүйл функц мөн үү?

Энэ нь зөв, үгүй! Яагаад? Энэ асуултанд зургийн тусламжтайгаар хариулахыг хичээгээрэй. Та юу авсан бэ?

"Учир нь нэг утга нь хэд хэдэн утгатай тохирч байна!"

Үүнээс бид ямар дүгнэлт хийж болох вэ?

Энэ нь зөв, функцийг үргэлж тодорхой илэрхийлэх боломжгүй бөгөөд функцээр "далдлагдсан" зүйл нь үргэлж функц биш юм!

Функцийг тодорхойлох хүснэгтийн арга

Нэрнээс нь харахад энэ арга нь энгийн тэмдэг юм. Тийм тийм. Чи бид хоёрын аль хэдийн хийсэн шиг. Жишээлбэл:

Энд та тэр даруй хэв маягийг анзаарсан - Y нь X-ээс гурав дахин том байна. Одоо "маш болгоомжтой бодох" даалгавар: Хүснэгт хэлбэрээр өгсөн функц нь функцтэй тэнцүү гэж та бодож байна уу?

Удаан ярихгүй, харин зурцгаая!

Тэгэхээр. Бид ханын цаасны заасан функцийг дараах байдлаар зурдаг.

Та ялгааг харж байна уу? Энэ бүхэн тэмдэглэсэн цэгүүдийн тухай биш юм! Ойролцоогоор харна уу:

Та одоо харсан уу? Функцийг хүснэгтийн хэлбэрээр тодорхойлохдоо бид график дээр зөвхөн хүснэгтэд байгаа цэгүүдийг харуулдаг бөгөөд шугам (манай тохиолдолд) зөвхөн тэдгээрээр дамждаг. Бид функцийг аналитик байдлаар тодорхойлохдоо дурын цэгүүдийг авч болох бөгөөд бидний үүрэг зөвхөн үүгээр хязгаарлагдахгүй. Энэ бол онцлог юм. Санаж байна уу!

Функцийг бүтээх график арга

Функцийг бүтээх график арга нь тийм ч тохиромжтой биш юм. Бид функцээ зурж, өөр нэг сонирхсон хүн тодорхой x дээр y нь хэдтэй тэнцүү болохыг олж чадна гэх мэт. График ба аналитик аргуудхамгийн нийтлэг зарим нь.

Гэсэн хэдий ч, энд та бидний эхэнд юу ярьж байсныг санах хэрэгтэй - координатын системд зурсан "зайвар" бүр функц биш юм! Чи санаж байна уу? Ямар ч тохиолдолд би функц гэж юу болох тухай тодорхойлолтыг энд хуулах болно.

Дүрмээр бол хүмүүс бидний ярилцсан функцийг тодорхойлох гурван аргыг ихэвчлэн нэрлэдэг - аналитик (томьёог ашиглан), хүснэгт, график, функцийг амаар тайлбарлаж болно гэдгийг бүрэн мартдаг. Үүн шиг? Тийм ээ, маш энгийн!

Функцийн аман тайлбар

Функцийг амаар хэрхэн тодорхойлох вэ? Саяхны жишээг авч үзье - . Энэ функцийг "х-ийн бодит утга бүр түүний гурвалсан утгатай тохирч байна" гэж тодорхойлж болно. Тэгээд л болоо. Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Та мэдээж эсэргүүцэх болно - "тийм байна нарийн төвөгтэй функцууд, үүнийг амаар асуух боломжгүй!" Тийм ээ, ийм байдаг, гэхдээ томъёогоор тодорхойлохоос илүү амаар тайлбарлахад хялбар функцүүд байдаг. Жишээ нь: "х-ийн натурал утга бүр нь түүний бүрдэх цифрүүдийн хоорондох зөрүүтэй тохирч байгаа бол хасах тоог тухайн тооны тэмдэглэгээнд агуулагдах хамгийн том орон гэж авна." Одоо функцын аман тайлбар практикт хэрхэн хэрэгжиж байгааг харцгаая.

Өгөгдсөн тооны хамгийн том цифр нь хасах тоо, тэгвэл:

Функцийн үндсэн төрлүүд

Одоо хамгийн сонирхолтой хэсэг рүүгээ орцгооё - сургууль, коллежийн математикийн хичээл дээр ажиллаж байсан/ажиллаж байгаа болон ажиллах үндсэн функцүүдийн төрлүүдийг харцгаая, өөрөөр хэлбэл тэдэнтэй танилцъя. , мөн тэдэнд өгөх Товч танилцуулга. Холбогдох хэсгээс функц бүрийн талаар дэлгэрэнгүй уншина уу.

Шугаман функц

Бодит тоонууд болох хэлбэрийн функц.

Энэ функцийн график нь шулуун шугам тул шугаман функц байгуулах нь хоёр цэгийн координатыг олоход хүргэдэг.

Шугамын байрлал дээр координатын хавтгайналуугаас хамаарна.

Функцийн хамрах хүрээ (хүчин төгөлдөр аргументын утгуудын хүрээ) нь .

Утгын хүрээ - .

Квадрат функц

Маягтын функц, хаана

Функцийн график нь парабола бөгөөд параболын мөчрүүд доош, мөчрүүд нь дээш чиглэсэн үед.

Квадрат функцийн олон шинж чанар нь дискриминантын утгаас хамаардаг. Дискриминантыг томъёогоор тооцоолно

Утга ба коэффициенттэй харьцуулахад координатын хавтгай дээрх параболын байрлалыг зурагт үзүүлэв.

Домэйн

Утгын хүрээ нь өгөгдсөн функцийн экстремум (параболын оройн цэг) ба коэффициент (параболын мөчрүүдийн чиглэл) -ээс хамаарна.

Урвуу пропорциональ байдал

Томъёогоор өгөгдсөн функц, энд

Энэ тоог урвуу пропорциональ коэффициент гэж нэрлэдэг. Утгааас хамааран гиперболын мөчрүүд нь өөр өөр квадрат хэлбэртэй байна.

Домэйн - .

Утгын хүрээ - .

ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН Формулууд

1. Функц гэдэг нь олонлогийн элемент бүр олонлогийн нэг элементтэй холбогдох дүрэм юм.

• - энэ нь функцийг илэрхийлдэг томъёо, өөрөөр хэлбэл нэг хувьсагчийн нөгөөгөөс хамаарлыг илэрхийлдэг;
• - хувьсах хэмжигдэхүүн, эсвэл, аргумент;
• - хамааралтай хэмжигдэхүүн - аргумент өөрчлөгдөхөд өөрчлөгддөг, өөрөөр хэлбэл нэг хэмжигдэхүүнээс нөгөө хэмжигдэхүүнээс хамаарлыг тусгасан аливаа тодорхой томъёоны дагуу.

2. Аргументуудын хүчинтэй утгууд, эсвэл функцийн домэйн нь тухайн функцийн утга учиртай болох боломжуудтай холбоотой зүйл юм.

3. Функцийн хүрээ- Энэ бол хүлээн зөвшөөрөгдсөн үнэ цэнийг харгалзан үзэх үнэлэмж юм.

4. Функцийг тохируулах 4 арга байдаг:

• аналитик (томьёог ашиглах);
• хүснэгт;
• график
• аман тайлбар.

5. Функцийн үндсэн төрлүүд:

• : , хаана, бодит тоонууд;
• : , Хаана;
• : , Хаана.

Үндэсний судалгааны их сургууль

Хэрэглээний геологийн тэнхим

Дээд математикийн тухай хураангуй

Сэдвийн талаар: "Үндсэн үндсэн функцууд,

тэдгээрийн шинж чанар ба графикууд"

Дууссан:

Шалгасан:

багш

Тодорхойлолт. y=a x (a>0, a≠1) томъёогоор өгөгдсөн функцийг a суурьтай экспоненциал функц гэнэ.

Экспоненциал функцийн үндсэн шинж чанарыг томъёолъё.

1. Тодорхойлолтын домэйн - бүхний багц (R). бодит тоо.

2. Range - бүх эерэг бодит тоонуудын багц (R+).

3. a > 1-ийн хувьд функц нь бүх тооны шугамын дагуу нэмэгддэг; 0-д<а<1 функция убывает.

4. Ерөнхий хэлбэрийн функц юм.

, xО [-3;3] интервал дээр , xО [-3;3] интервал дээр

n нь OR тоо болох y(x)=x n хэлбэрийн функцийг чадлын функц гэнэ. N тоо нь янз бүрийн утгыг авч болно: бүхэл ба бутархай, тэгш ба сондгой аль аль нь. Үүнээс хамаарч чадлын функц өөр хэлбэртэй байна. Хүчин чадлын функц болох тусгай тохиолдлуудыг авч үзье, энэ төрлийн муруйн үндсэн шинж чанарыг дараах дарааллаар авч үзье: чадлын функц y=x² (тэгш илтгэгчтэй функц - парабола), чадлын функц y=x³ (сондгой илтгэгчтэй функц) - куб парабол) ба y=√x функц (х-ийн ½-ийн зэрэгтэй) (бутархай илтгэгчтэй функц), сөрөг бүхэл тоон үзүүлэлттэй функц (гипербол).

Эрчим хүчний функц y=x²

1. D(x)=R – функц нь бүхэл тоон тэнхлэгт тодорхойлогддог;

2. E(y)= ба интервал дээр нэмэгдэнэ

Эрчим хүчний функц y=x³

1. y=x³ функцийн графикийг куб парабол гэнэ. y=x³ чадлын функц нь дараах шинж чанартай байна.

2. D(x)=R – функц нь бүхэл тоон тэнхлэгт тодорхойлогддог;

3. E(y)=(-∞;∞) – функц нь өөрийн тодорхойлолтын муж дахь бүх утгыг авдаг;

4. x=0 y=0 үед – функц нь О(0;0) координатын эхийг дайран өнгөрдөг.

5. Функц нь тодорхойлолтын бүх домэйн дээр нэмэгддэг.

6. Функц нь сондгой (гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй).

, xО [-3;3] интервал дээр

x³-ийн өмнөх тоон хүчин зүйлээс хамааран функц нь эгц/хавтгай, нэмэгдэж/багасч болно.

Сөрөг бүхэл тоон үзүүлэлттэй чадлын функц:

Хэрэв n илтгэгч сондгой байвал ийм чадлын функцийн графикийг гипербола гэнэ. Бүхэл сөрөг үзүүлэлттэй чадлын функц нь дараах шинж чанартай байна.

1. Дурын n-ийн хувьд D(x)=(-∞;0)U(0;∞);

2. n нь сондгой тоо бол E(y)=(-∞;0)U(0;∞); E(y)=(0;∞), хэрэв n нь тэгш тоо бол;

3. Хэрэв n нь сондгой тоо бол функц нь тодорхойлолтын бүх мужид буурдаг; n нь тэгш тоо бол функц (-∞;0) интервалд нэмэгдэж, (0;∞) интервалд буурна.

4. Хэрэв n нь сондгой тоо бол функц нь сондгой (эх үүслийн хувьд тэгш хэмтэй); n нь тэгш тоо бол функц нь тэгш тоо юм.

5. Функц нь n нь сондгой тоо бол (1;1) ба (-1;-1) цэгүүдээр, n нь тэгш тоо бол (1;1) ба (-1;1) цэгүүдээр дамждаг.

, xО [-3;3] интервал дээр

Бутархай илтгэгчтэй чадлын функц

Бутархай илтгэгч (зураг) бүхий чадлын функц нь зурагт үзүүлсэн функцийн графиктай байна. Бутархай илтгэгчтэй чадлын функц нь дараах шинж чанартай байна: (зураг)

1. D(x) ОР, хэрэв n нь сондгой тоо бөгөөд D(x)= , xО интервал дээр, xО [-3;3] интервал дээр

y = log a x логарифм функц нь дараах шинж чанартай байна.

1. Тодорхойлолтын муж D(x)О (0; + ∞).

2. Утгын муж E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Функц нь тэгш, сондгой ч биш (ерөнхий хэлбэрийн).

4. Функц нь a > 1 үед (0; + ∞) интервал дээр нэмэгдэж, 0 үед (0; + ∞) буурна.< а < 1.

y = log a x функцийн графикийг y = a x функцийн графикаас y = x шулууны тэгш хэмийн хувиргалт ашиглан гаргаж болно. Зураг 9-д графикийг үзүүлэв логарифм функц a > 1-ийн хувьд, 10-р зурагт - 0-ийн хувьд< a < 1.

; хО интервал дээр; xО интервал дээр

y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x функцуудыг тригонометрийн функц гэнэ.

y = sin x, y = tan x, y = ctg x функцууд сондгой, у = cos x функц нь тэгш байна.

y = sin(x) функц.

1. Тодорхойлолтын бүс D(x) OR.

2. Утгын хүрээ E(y) О [ - 1; 1].

3. Функц нь үе үе; гол үе нь 2π.

4. Функц нь сондгой.

5. Функц [ -π/2 + 2πn интервалаар нэмэгддэг; π/2 + 2πn] ба [π/2 + 2πn] интервалд буурдаг; 3π/2 + 2πn], n О Z.

y = sin (x) функцийн графикийг Зураг 11-д үзүүлэв.

Мэдлэг үндсэн энгийн функцууд, тэдгээрийн шинж чанар, графикуудүржүүлэх хүснэгтийг мэдэхээс дутуугүй чухал. Тэд суурь шиг, бүх зүйл түүн дээр суурилдаг, бүх зүйл тэднээс бүтээгддэг, бүх зүйл тэдэн дээр ирдэг.

Энэ нийтлэлд бид бүх үндсэн үндсэн функцуудыг жагсааж, тэдгээрийн графикийг гаргаж, дүгнэлт, нотлох баримтгүйгээр өгөх болно. үндсэн үндсэн функцүүдийн шинж чанаруудсхемийн дагуу:

• тодорхойлолтын домэйны хил дэх функцийн зан төлөв, босоо асимптотууд (шаардлагатай бол функцийн тасалдалын цэгүүдийн ангиллыг үзнэ үү);
• тэгш ба сондгой;
• гүдгэр (гүдгэр дээшээ) ба хонхорхой (доош гүдгэр), гулзайлтын цэгүүд (шаардлагатай бол функцийн гүдгэр байдал, гүдгэрийн чиглэл, гулзайлтын цэг, гүдгэр ба гулзайлтын нөхцөлийг үзнэ үү);
• ташуу ба хэвтээ асимптотууд;
• функцүүдийн ганц цэгүүд;
• зарим функцүүдийн тусгай шинж чанарууд (жишээлбэл, тригонометрийн функцүүдийн хамгийн бага эерэг үе).

Хэрэв та сонирхож байгаа бол эсвэл, дараа нь та онолын эдгээр хэсгүүдэд очиж болно.

Үндсэн үндсэн функцуудҮүнд: тогтмол функц (тогтмол), n-р үндэс, чадлын функц, экспоненциал, логарифм функц, тригонометр ба урвуу тригонометрийн функцууд.

Хуудасны навигаци.

Байнгын функц.

Тогтмол функц нь бүх бодит тоонуудын олонлог дээр томьёогоор тодорхойлогддог бөгөөд C нь бодит тоо юм. Тогтмол функц нь бие даасан х хувьсагчийн бодит утга бүрийг хамааралтай хувьсагчийн y-ийн утга С-тэй холбодог. Тогтмол функцийг мөн тогтмол гэж нэрлэдэг.

Тогтмол функцийн график нь х тэнхлэгтэй параллель, координаттай (0,С) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам юм. Жишээ болгон бид доорх зурган дээр хар, улаан, цэнхэр зураастай харгалзах y=5, y=-2 ба тогтмол функцуудын графикуудыг үзүүлнэ.

Тогтмол функцийн шинж чанарууд.

• Домэйн: бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц.
• Тогтмол функц нь тэгш байна.
• Утгын хүрээ: ганц тоо C-ээс бүрдэх олонлог.
• Тогтмол функц нь өсдөггүй, буурахгүй байдаг (тиймээс энэ нь тогтмол байдаг).
• Тогтмол хэмжигдэхүүний гүдгэр, хонхор байдлын тухай ярих нь утгагүй юм.
• Асимптот байхгүй.
• Функц нь координатын хавтгайн (0,C) цэгээр дамждаг.

n-р зэргийн үндэс.

n – томъёогоор өгөгдсөн үндсэн үндсэн функцийг авч үзье. натурал тоо, нэгээс их.

n-р зэргийн үндэс, n нь тэгш тоо юм.

n язгуур илтгэгчийн тэгш утгуудын n-р язгуур функцээс эхэлцгээе.

Үүний жишээ болгон функцийн графикуудын зурагтай зургийг энд оруулав ба , тэдгээр нь хар, улаан, цэнхэр шугамтай тохирч байна.

Тэгш градусын язгуур функцүүдийн графикууд нь экспонентийн бусад утгуудын хувьд ижил төстэй харагдаж байна.

Тэгш n-ийн n-р язгуур функцийн шинж чанарууд.

n-р үндэс, n нь сондгой тоо юм.

n сондгой язгуур илтгэгчтэй n-р язгуур функц нь бүхэл бүтэн бодит тоон дээр тодорхойлогддог. Жишээлбэл, энд функцийн графикууд байна ба , тэдгээр нь хар, улаан, цэнхэр муруйтай тохирч байна.

Үндэс экспонентын бусад сондгой утгуудын хувьд функцын графикууд ижил төстэй харагдах болно.

Сондгой n-ийн n-р язгуур функцийн шинж чанарууд.

Эрчим хүчний функц.

Хүчин чадлын функцийг хэлбэрийн томъёогоор өгөгдсөн.

Хүчин чадлын функцийн графикийн хэлбэр, илтгэгчийн утгаас хамааран чадлын функцийн шинж чанарыг авч үзье.

Бүхэл тоо a-тай чадлын функцээр эхэлье. Энэ тохиолдолд чадлын функцүүдийн графикуудын харагдах байдал, функцүүдийн шинж чанарууд нь экспонентийн тэгш эсвэл сондгой байдал, түүнчлэн түүний тэмдгээс хамаарна. Тиймээс бид эхлээд а илтгэгчийн сондгой эерэг утгуудын, дараа нь тэгш эерэг илтгэгчийн, дараа нь сондгой сөрөг илтгэгчийн, эцэст нь бүр сөрөг а үзүүлэлтийн хувьд чадлын функцуудыг авч үзэх болно.

Бутархай ба иррационал илтгэгчтэй чадлын функцүүдийн шинж чанар (түүнчлэн ийм чадлын функцүүдийн графикийн төрөл) нь илтгэгчийн утгаас хамаарна. Бид тэдгээрийг нэгдүгээрт, тэгээс нэг хүртэл, хоёрдугаарт, нэгээс их бол, гуравдугаарт, хасах нэгээс тэг хүртэл, дөрөвдүгээрт, хасах нэгээс бага бол авч үзэх болно.

Энэ хэсгийн төгсгөлд бүрэн гүйцэд байхын тулд бид тэг илтгэгчтэй чадлын функцийг тайлбарлах болно.

Сондгой эерэг илтгэгчтэй чадлын функц.

Сондгой эерэг илтгэгчтэй чадлын функцийг авч үзье, өөрөөр хэлбэл a = 1,3,5,....

Доорх зурагт хар шугам, цэнхэр шугам, улаан шугам, ногоон шугам зэрэг чадлын функцүүдийн графикийг харуулав. a=1-ийн хувьд бидэнд байна шугаман функц y=x.

Сондгой эерэг илтгэгчтэй чадлын функцийн шинж чанарууд.

Эерэг илтгэгчтэй чадлын функц.

Тэгш эерэг илтгэгчтэй чадлын функцийг авч үзье, өөрөөр хэлбэл a = 2,4,6,....

Жишээлбэл, бид хар шугам, цэнхэр шугам, улаан шугам зэрэг чадлын функцүүдийн графикийг өгдөг. a=2-ын хувьд бидэнд байна квадрат функц, хэний график байна квадрат парабол.

Тэгш эерэг илтгэгчтэй чадлын функцийн шинж чанарууд.

Сондгой сөрөг экспоненттай чадлын функц.

Экспонентийн сондгой сөрөг утгуудын хувьд чадлын функцийн графикуудыг харна уу, өөрөөр хэлбэл a = -1, -3, -5,....

Зурагт чадлын функцүүдийн графикуудыг жишээ болгон үзүүлэв - хар шугам, - цэнхэр шугам, - улаан шугам, - ногоон шугам. a=-1-ийн хувьд бидэнд байна урвуу пропорциональ байдал, хэний график байна гипербол.

Сондгой сөрөг илтгэгчтэй чадлын функцийн шинж чанарууд.

Бүр сөрөг үзүүлэлттэй чадлын функц.

a=-2,-4,-6,…-ийн чадлын функц руу шилжье.

Зураг дээр хар шугам, цэнхэр шугам, улаан шугам зэрэг чадлын функцүүдийн графикийг харуулав.

Тэгш сөрөг илтгэгчтэй чадлын функцийн шинж чанарууд.

Утга нь тэгээс их, нэгээс бага байх рационал эсвэл иррационал илтгэгчтэй чадлын функц.

Анхаар!Хэрэв а нь сондгой хуваарьтай эерэг бутархай бол зарим зохиогчид чадлын функцийн тодорхойлолтын мужийг интервал гэж үздэг. А илтгэгч нь бууруулж болохгүй бутархай байна гэж заасан. Одоо алгебр, шинжилгээний зарчмуудын талаархи олон сурах бичгүүдийн зохиогчид аргументийн сөрөг утгуудын хувьд сондгой хуваарьтай бутархай хэлбэрээр экспонент бүхий чадлын функцийг ТОДОРХОЙЛдоггүй. Бид яг энэ үзэл бодлыг баримтлах болно, өөрөөр хэлбэл бид олонлогийг бутархай эерэг илтгэгчтэй чадлын функцийг тодорхойлох талбарууд гэж үзэх болно. Оюутнууд санал зөрөлдөхөөс зайлсхийхийн тулд энэ нарийн зүйлийн талаар багшийнхаа бодлыг олж мэдэхийг зөвлөж байна.

Рационал эсвэл иррациональ a, ба , илтгэгчтэй чадлын функцийг авч үзье.

a=11/12 (хар шугам), a=5/7 (улаан шугам), (цэнхэр шугам), a=2/5 (ногоон шугам) -ийн чадлын функцын графикуудыг үзүүлье.

Нэгээс их бүхэл бус рационал эсвэл иррационал илтгэгчтэй чадлын функц.

Бүхэл бус рационал ба иррационал илтгэгч a, ба -тай чадлын функцийг авч үзье.

Томъёогоор өгөгдсөн чадлын функцүүдийн графикуудыг үзүүлье (хар, улаан, цэнхэр, ногоон шугам тус тус).

>

Экспонентийн бусад утгуудын хувьд функцийн графикууд ижил төстэй харагдах болно.

үед чадлын функцийн шинж чанарууд.

Хасах нэгээс их, тэгээс бага бодит илтгэгчтэй чадлын функц.

Анхаар!Хэрэв а нь сондгой хуваарьтай сөрөг бутархай бол зарим зохиогчид чадлын функцийн тодорхойлолтын мужийг интервал гэж үздэг. . А илтгэгч нь бууруулж болохгүй бутархай байна гэж заасан. Одоо алгебр, шинжилгээний зарчмуудын талаархи олон сурах бичгүүдийн зохиогчид аргументийн сөрөг утгуудын хувьд сондгой хуваарьтай бутархай хэлбэрээр экспонент бүхий чадлын функцийг ТОДОРХОЙЛдоггүй. Бид яг энэ үзэл бодлыг баримтлах болно, өөрөөр хэлбэл бутархай бутархай сөрөг илтгэгчтэй чадлын функцүүдийн тодорхойлолтын мужуудыг тус тус олонлог гэж үзэх болно. Оюутнууд санал зөрөлдөхөөс зайлсхийхийн тулд энэ нарийн зүйлийн талаар багшийнхаа бодлыг олж мэдэхийг зөвлөж байна.

Эрчим хүчний функц руу шилжье, kgod.

Эрчим хүчний функцүүдийн графикуудын талаар сайн ойлголттой байхын тулд бид функцүүдийн графикуудын жишээг өгдөг. (хар, улаан, цэнхэр, ногоон муруй тус тус).

a, илтгэгчтэй чадлын функцийн шинж чанарууд.

Хасах нэгээс бага бүхэл бус бодит илтгэгчтэй чадлын функц.

Эрчим хүчний функцүүдийн графикуудын жишээг өгье , тэдгээрийг хар, улаан, хөх, ногоон шугамаар тус тус дүрсэлсэн.

Хасах нэгээс бага бүхэл бус сөрөг илтгэгчтэй чадлын функцийн шинж чанарууд.

a = 0 үед бид функцтэй байна - энэ нь (0;1) цэгийг хассан шулуун шугам юм (0 0 илэрхийлэлд ямар ч ач холбогдол өгөхгүй байхаар тохиролцсон).

Экспоненциал функц.

Үндсэн үндсэн функцүүдийн нэг бол экспоненциал функц юм.

Экспоненциал функцийн график, хаана ба авдаг өөр төрлийнсуурийн үнэ цэнээс хамаарч а. Үүнийг олж мэдье.

Нэгдүгээрт, экспоненциал функцийн суурь нь тэгээс нэг хүртэлх утгыг авдаг тохиолдлыг авч үзье.

Жишээ болгон бид a = 1/2 – цэнхэр шугам, a = 5/6 – улаан шугамын экспоненциал функцийн графикуудыг үзүүлэв. Экспоненциал функцийн графикууд нь интервалаас суурийн бусад утгуудын хувьд ижил төстэй харагдаж байна.

Нэгээс бага суурьтай экспоненциал функцийн шинж чанарууд.

Экспоненциал функцийн суурь нь нэгээс их байх тохиолдол руу шилжье, өөрөөр хэлбэл .

Дүрслэл болгон бид экспоненциал функцүүдийн графикуудыг үзүүлэв - цэнхэр шугам ба улаан шугам. Нэгээс их суурийн бусад утгуудын хувьд экспоненциал функцийн графикууд ижил төстэй харагдах болно.

Нэгээс их суурьтай экспоненциал функцийн шинж чанарууд.

Логарифм функц.

Дараагийн үндсэн энгийн функц нь логарифм функц бөгөөд энд , . Логарифмын функц нь зөвхөн аргументийн эерэг утгуудын хувьд тодорхойлогддог.

Логарифм функцийн график нь суурийн утгаас хамааран өөр өөр хэлбэртэй байна a.

Хэзээ тохиолдлоос эхэлье.

Жишээ болгон бид a = 1/2 – цэнхэр шугам, a = 5/6 – улаан шугамын логарифмын функцийн графикуудыг үзүүлэв. Нэгээс хэтрэхгүй суурийн бусад утгуудын хувьд логарифмын функцийн графикууд ижил төстэй харагдах болно.

Нэгээс бага суурьтай логарифм функцийн шинж чанарууд.

Логарифмын функцийн суурь нь нэгээс () их байх тохиолдол руу шилжье.

Логарифмын функцүүдийн графикуудыг үзүүлье - цэнхэр шугам, - улаан шугам. Нэгээс их суурийн бусад утгуудын хувьд логарифмын функцийн графикууд ижил төстэй харагдах болно.

Нэгээс их суурьтай логарифм функцийн шинж чанарууд.

Тригонометрийн функцууд, тэдгээрийн шинж чанар, графикууд.

Бүх тригонометрийн функцууд (синус, косинус, тангенс, котангенс) үндсэн элементар функцүүдэд хамаарна. Одоо бид тэдгээрийн графикуудыг харж, шинж чанаруудыг нь жагсаах болно.

Тригонометрийн функцууд нь ойлголттой байдаг давтамж(функцийн утгуудын давтагдах чадвар өөр өөр утгатайаргументууд бие биенээсээ хугацаанд ялгаатай , энд T нь үе), тиймээс тригонометрийн функцүүдийн шинж чанаруудын жагсаалтад зүйл нэмэгдсэн. "хамгийн бага эерэг үе". Мөн тригонометрийн функц бүрийн хувьд бид харгалзах функц алга болох аргументийн утгыг зааж өгнө.

Одоо бүх тригонометрийн функцуудыг дарааллаар нь авч үзье.

Синусын функц y = sin(x) .

Синусын функцийн графикийг зуръя, үүнийг "синус долгион" гэж нэрлэдэг.

Синусын функцийн шинж чанарууд y = sinx.

Косинусын функц y = cos(x) .

Косинусын функцийн график ("косинус" гэж нэрлэдэг) дараах байдалтай байна.

Косинусын функцийн шинж чанарууд y = cosx.

Шүргэх функц y = tan(x) .

Шүргэх функцийн график ("tangentoid" гэж нэрлэдэг) дараах байдалтай байна.

Шүргэх функцийн шинж чанарууд y = tanx.

Котангентын функц y = ctg(x) .

Котангентын функцийн графикийг зурцгаая (үүнийг "котангентоид" гэж нэрлэдэг):

Котангенсийн функцийн шинж чанарууд y = ctgx.

Урвуу тригонометрийн функцууд, тэдгээрийн шинж чанар, графикууд.

Урвуу тригонометрийн функцууд (нуман синус, нуман котангенс, нуман тангенс ба нуман котангенс) нь үндсэн элементар функцууд юм. Ихэнхдээ "нуман" угтвараас болж урвуу тригонометрийн функцийг нуман функц гэж нэрлэдэг. Одоо бид тэдгээрийн графикуудыг харж, шинж чанаруудыг нь жагсаах болно.

Арксинусын функц у = arcsin(x) .

Арксинусын функцийг зуръя:

Арккотангенсийн функцийн шинж чанарууд y = acctg(x) .

Ном зүй.

• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. болон бусад Алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Прок. 10-11 ангийн хувьд. ерөнхий боловсролын байгууллагууд.
• Выгодский М.Я. Бага ангийн математикийн гарын авлага.
• Новоселов С.И. Алгебр ба энгийн функцууд.
• Туманов С.И. Анхан шатны алгебр. Өөрийгөө боловсролд зориулсан гарын авлага.