a (a>0, a нь 1-тэй тэнцүү биш) эерэг тооны b-ийн логарифм нь c тоо бөгөөд a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)       

Эерэг бус тооны логарифм нь тодорхойгүй гэдгийг анхаарна уу. Үүнээс гадна логарифмын суурь нь 1-тэй тэнцүү биш эерэг тоо байх ёстой. Жишээлбэл, хэрэв бид -2-ийн квадрат бол бид 4-ийн тоог авна, гэхдээ энэ нь логарифм нь 4-ийн суурь -2 гэсэн үг биш юм. 2-той тэнцүү байна.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Энэ томъёоны баруун ба зүүн талыг тодорхойлох хүрээ өөр байх нь чухал юм. Зүүн тал нь зөвхөн b>0, a>0 ба a ≠ 1-д тодорхойлогддог. Баруун тал нь дурын b-д тодорхойлогддог бөгөөд a-аас огт хамаарахгүй. Тиймээс тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ үндсэн логарифмын "идентификатор" -ыг ашиглах нь OD-ийг өөрчлөхөд хүргэдэг.

Логарифмын тодорхойлолтын хоёр тодорхой үр дагавар

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Үнэн хэрэгтээ, а тоог эхний зэрэглэлд хүргэхэд бид ижил тоо, тэг рүү өсгөхөд нэг тоог авна.

Үржвэрийн логарифм ба хуваалтын логарифм

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Лог a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Сургуулийн сурагчдад логарифмын тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ эдгээр томьёог бодлогогүй ашиглахаас сэрэмжлүүлмээр байна. Тэдгээрийг "зүүнээс баруун тийш" ашиглах үед ODZ нарийсч, логарифмын нийлбэр эсвэл зөрүүгээс бүтээгдэхүүн эсвэл категоритын логарифм руу шилжих үед ODZ өргөжиж байна.

Үнэн хэрэгтээ log a (f (x) g (x)) илэрхийлэл нь хоёр тохиолдолд тодорхойлогддог: функц нь хоёулаа эерэг байх эсвэл f(x) ба g(x) хоёулаа тэгээс бага байх үед.

Энэ илэрхийлэлийг log a f (x) + log a g (x) нийлбэр болгон хувиргаснаар бид зөвхөн f(x)>0 ба g(x)>0 тохиолдолд л хязгаарлагдахаас өөр аргагүй болно. Зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ нарийсч байгаа бөгөөд энэ нь шийдлийг алдахад хүргэж болзошгүй тул үүнийг хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй юм. Томъёо (6)-д ижил төстэй асуудал бий.

Зэрэгийг логарифмын тэмдгээс хасаж болно

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Дахин хэлэхэд би үнэн зөв байхыг уриалмаар байна. Дараах жишээг авч үзье.

Лог a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Тэгээс бусад f(x)-ийн бүх утгуудын хувьд тэгш байдлын зүүн тал тодорхой тодорхойлогддог. Баруун тал нь зөвхөн f(x)>0! Логарифмаас градусыг авснаар бид ODZ-ийг дахин нарийсгана. Урвуу процедур нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээг өргөжүүлэхэд хүргэдэг. Эдгээр бүх тайлбарууд нь зөвхөн 2-р хүчинд төдийгүй аливаа тэгш эрх мэдэлд хамаарна.

Шинэ суурь руу шилжих томъёо

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Өөрчлөлтийн явцад ODZ өөрчлөгддөггүй ховор тохиолдол. Хэрэв та c суурийг ухаалгаар сонгосон бол (эерэг ба 1-тэй тэнцүү биш) шинэ суурь руу шилжих томъёо нь бүрэн аюулгүй юм.

Хэрэв бид b тоог c шинэ суурь болгон сонговол (8) томъёоны чухал онцгой тохиолдлыг олж авна.

Лог a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Логарифмын зарим энгийн жишээ

Жишээ 1. Тооцоол: log2 + log50.
Шийдэл. log2 + log50 = log100 = 2. Бид логарифмын нийлбэр томъёо (5) болон аравтын бутархай логарифмын тодорхойлолтыг ашигласан.

Жишээ 2. Тооцоол: lg125/lg5.
Шийдэл. log125/log5 = log 5 125 = 3. Бид шинэ суурь руу шилжих томъёог ашигласан (8).

Логарифмтай холбоотой томъёоны хүснэгт

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Байгалийн логарифм

Натурал логарифмын функцийн график. Функц нь нэмэгдэх тусам эерэг хязгааргүйд аажмаар ойртдог xмөн сөрөг хязгааргүйд хурдан ойртох үед xямар ч чадлын функцтэй харьцуулахад 0 ("удаан" ба "хурдан" гэсэн хандлагатай байдаг x).

Байгалийн логарифмсуурийн логарифм юм , Хаана д- ойролцоогоор 2.718281 828-тай тэнцүү иррационал тогтмол. Натурал логарифмыг ихэвчлэн ln( гэж бичдэг. x), бүртгэл д (x) эсвэл заримдаа зүгээр л бүртгэл( x), суурь бол дгэсэн утгатай.

Тооны натурал логарифм x(гэж бичсэн ln(x)) нь тоог өсгөх ёстой илтгэгч юм д, олж авах x. Жишээлбэл, ln(7,389...)учир нь 2-той тэнцүү байна д 2 =7,389... . Тооны натурал логарифм д (ln(e)) нь 1-тэй тэнцүү, учир нь д 1 = д, мөн натурал логарифм нь 1 ( ln(1)) нь 0-тэй тэнцүү, учир нь д 0 = 1.

Натурал логарифмыг ямар ч эерэг бодит тоогоор тодорхойлж болно амуруйн доорх талбай гэж y = 1/x 1-ээс а. Байгалийн логарифмыг ашигладаг бусад олон томьёотой нийцэж байгаа энэхүү тодорхойлолтын энгийн байдал нь "байгалийн" гэсэн нэрийг авахад хүргэсэн. Энэ тодорхойлолтыг доор авч үзсэний дагуу нийлмэл тоонд шилжүүлж болно.

Хэрэв бид натурал логарифмыг бодит хувьсагчийн бодит функц гэж үзвэл энэ нь экспоненциал функцийн урвуу функц бөгөөд ижил төстэй байдалд хүргэдэг.

Бүх логарифмын нэгэн адил натурал логарифм нь үржүүлгийг нэмэхийн тулд:

Тиймээс логарифмын функц нь эерэг бодит тоонуудын бүлгийн изоморфизмыг нэмэхтэй холбоотой бодит тоон бүлэгт үржүүлэхтэй холбоотой бөгөөд үүнийг дараах функцээр илэрхийлж болно.

Логарифмыг зөвхөн 1-ээс бусад эерэг суурийн хувьд тодорхойлж болно д, гэхдээ бусад суурийн логарифмууд нь натурал логарифмаас зөвхөн тогтмол хүчин зүйлээр ялгаатай бөгөөд ихэвчлэн натурал логарифмын хувьд тодорхойлогддог. Логарифм нь үл мэдэгдэхийг илтгэгч болгон оролцуулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хэрэгтэй. Жишээлбэл, логарифмыг хагас задралын тодорхой хугацааны задралын тогтмолыг олох, эсвэл цацраг идэвхт байдлын асуудлыг шийдвэрлэхэд задралын хугацааг олоход ашигладаг. Эдгээр нь математик, хэрэглээний шинжлэх ухааны олон салбарт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд нийлмэл хүүг олох зэрэг олон асуудлыг шийдвэрлэхэд санхүүгийн салбарт ашиглагддаг.

Өгүүллэг

Байгалийн логарифмын тухай анхны дурдлагыг Николас Меркатор өөрийн бүтээлдээ дурдсан байдаг Логарифмотехник, 1668 онд хэвлэгдсэн боловч математикийн багш Жон Спиделл 1619 онд байгалийн логарифмын хүснэгтийг эмхэтгэсэн. Энэ нь гиперболын доорх талбайтай тохирч байгаа тул үүнийг өмнө нь гипербол логарифм гэж нэрлэдэг байсан. Энэ нэр томъёоны анхны утга нь арай өөр байсан ч заримдаа үүнийг Напиер логарифм гэж нэрлэдэг.

Зориулалтын конвенци

Натурал логарифмыг ихэвчлэн “ln() гэж тэмдэглэдэг. x)", 10 суурьтай логарифм - "lg() x)", болон бусад шалтгааныг ихэвчлэн "лог" гэсэн тэмдгээр тодорхой зааж өгдөг.

Дискрет математик, кибернетик, компьютерийн шинжлэх ухааны олон бүтээлд зохиогчид "log(" гэсэн тэмдэглэгээг ашигладаг. x)" гэсэн логарифмын хувьд 2-р суурьтай, гэхдээ энэ конвенцийг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөггүй бөгөөд анх ашигласан тэмдэглэгээний жагсаалт эсвэл (ийм жагсаалт байхгүй тохиолдолд) зүүлт тайлбар эсвэл тайлбараар тодруулах шаардлагатай.

Логарифмын аргументыг тойрсон хаалт (хэрэв энэ нь томьёог алдаатай уншихад хүргэхгүй бол) ихэвчлэн орхигддог бөгөөд логарифмыг зэрэгт хүргэх үед илтгэгчийг логарифмын тэмдэгт шууд оноодог: ln 2 ln 3 4. x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Англо-Америкийн систем

Математикч, статистикч болон зарим инженерүүд ихэвчлэн байгалийн логарифм буюу “лог( x)" эсвэл "ln( x)", мөн суурь 10 логарифмыг тэмдэглэхэд - "лог 10 ( x)».

Зарим инженер, биологич болон бусад мэргэжилтнүүд дандаа “ln( x)" (эсвэл хааяа "лог e ( x)") нь натурал логарифм, "лог( x)" гэсэн үг нь лог 10 ( x).

бүртгэл дЭнэ нь автоматаар тохиолддог бөгөөд математикт маш олон удаа гарч ирдэг тул "байгалийн" логарифм юм. Жишээлбэл, логарифм функцийн деривативын асуудлыг авч үзье.

Хэрэв суурь бол бтэнцүү байна д, тэгвэл дериватив нь ердөө 1/ x, Тэгээд хэзээ x= 1 энэ дериватив нь 1-тэй тэнцүү. Өөр нэг шалтгаан нь суурь дЛогарифмын хамгийн энгийн зүйл бол түүнийг энгийн интеграл эсвэл Тейлорын цуваагаар маш энгийнээр тодорхойлж болох бөгөөд үүнийг бусад логарифмын талаар хэлэх боломжгүй юм.

Байгалийн байдлын талаархи нэмэлт үндэслэлүүд нь тэмдэглэгээтэй холбоогүй болно. Жишээлбэл, байгалийн логарифм бүхий хэд хэдэн энгийн цуврал байдаг. Пьетро Менголи, Николас Меркатор нар тэднийг дуудсан логарифм байгалийнНьютон, Лейбниц нар дифференциал ба интеграл тооцоог бүтээх хүртэл хэдэн арван жил өнгөрчээ.

Тодорхойлолт

Албан ёсоор ln( а) 1/ графикийн муруйн доорх талбай гэж тодорхойлж болно. x 1-ээс а, өөрөөр хэлбэл салшгүй хэсэг болгон:

Энэ нь логарифмын үндсэн шинж чанарыг хангасан тул үнэхээр логарифм юм.

Үүнийг дараах байдлаар нотолж болно.

Тоон утга

Тооны натурал логарифмын тоон утгыг тооцоолохын тулд та түүний Тейлор цувралын өргөтгөлийг дараах хэлбэрээр ашиглаж болно.

Илүү сайн нэгдэх хурдыг авахын тулд та дараах таних тэмдгийг ашиглаж болно.

гэж заасан y = (x−1)/(x+1) ба x > 0.

ln-ийн хувьд x), Хаана x> 1, утга ойртох тусам x 1 хүртэл, нийлэх хурд илүү хурдан болно. Зорилгодоо хүрэхийн тулд логарифмтай холбоотой таних тэмдгийг ашиглаж болно:

Эдгээр аргуудыг тооцоолуур гарч ирэхээс өмнө ашиглаж байсан бөгөөд үүнд тоон хүснэгтүүдийг ашиглаж, дээр дурдсантай ижил төстэй залруулга хийдэг байв.

Өндөр нарийвчлал

Олон тооны нарийвчлалтай цифр бүхий натурал логарифмыг тооцоолоход Тейлорын цуваа нь нийлэх нь удаан байдаг тул үр ашиггүй байдаг. Альтернатив хувилбар нь Ньютоны аргыг ашиглан цуваа нь илүү хурдан нийлдэг экспоненциал функц болгон хувиргах явдал юм.

Тооцооллын маш өндөр нарийвчлалын хувилбар бол дараах томъёо юм.

Хаана М 1 ба 4/с-ийн арифметик-геометрийн дундаж утгыг илэрхийлнэ, мөн

мтэгж сонгосон хнарийвчлалын тэмдэгтэнд хүрсэн. (Ихэнх тохиолдолд m-ийн хувьд 8 гэсэн утга хангалттай байдаг.) ​​Үнэн хэрэгтээ энэ аргыг хэрэглэвэл экспоненциал функцийг үр ашигтай тооцоолохын тулд Ньютоны натурал логарифмын урвуу утгыг ашиглаж болно. (ln 2 ба pi тогтмолуудыг аль нэг мэдэгдэж буй хурдан нийлэх цувааг ашиглан хүссэн нарийвчлалтайгаар урьдчилан тооцоолж болно.)

Тооцооллын нарийн төвөгтэй байдал

Байгалийн логарифмын тооцооллын нарийн төвөгтэй байдал (арифметик-геометрийн дундажийг ашиглан) нь O( М(n)ln n). Энд nнь натурал логарифмыг үнэлэх ёстой нарийвчлалын цифрүүдийн тоо бөгөөд М(n) нь хоёрыг үржүүлэхэд тооцоолох нарийн төвөгтэй байдал юм n- оронтой тоо.

Үргэлжлүүлсэн бутархай

Хэдийгээр логарифмыг илэрхийлэх энгийн үргэлжилсэн бутархай байдаггүй ч хэд хэдэн ерөнхий үргэлжилсэн бутархайг ашиглаж болно, үүнд:

Нарийн төвөгтэй логарифмууд

Экспоненциал функцийг маягтын нийлмэл тоог өгдөг функц болгон өргөтгөж болно д xдурын комплекс тооны хувьд x, энэ тохиолдолд цогцолбор бүхий хязгааргүй цуврал x. Энэхүү экспоненциал функцийг урвуу болгож, энгийн логарифмын ихэнх шинж чанарыг агуулсан цогц логарифм үүсгэх боломжтой. Гэсэн хэдий ч хоёр бэрхшээл бий: үгүй x, Үүний төлөө д x= 0 бөгөөд энэ нь харагдаж байна д 2πi = 1 = д 0 . Үржүүлэх шинж чанар нь нийлмэл экспоненциал функцэд хүчинтэй байдаг тул д z = д z+2nπiбүх цогцолборын хувьд zболон бүхэлд нь n.

Логарифмыг бүхэл бүтэн цогц хавтгайд тодорхойлох боломжгүй, тэр ч байтугай энэ нь олон утгатай - 2-ын бүхэл үржвэрийг нэмснээр аливаа цогц логарифмыг "тэнцүү" логарифмаар сольж болно. πi. Цогцолбор логарифм нь зөвхөн нийлмэл хавтгайн зүсмэл дээр нэг утгатай байж болно. Жишээлбэл, ln би = 1/2 πiэсвэл 5/2 πiэсвэл -3/2 πiгэх мэт, мөн хэдий ч би 4 = 1.4 лог би 2 гэж тодорхойлж болно πi, эсвэл 10 πiэсвэл -6 πi, гэх мэт.

бас үзнэ үү

• Жон Непьер - логарифм зохион бүтээгч

Тэмдэглэл

1. Физик химийн хувьд математик. - 3 дахь. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5, 9-р хуудасны ишлэл
2. JJO"Connor and E F RobertsonТоо e. Математикийн MacTutor түүхийн архив (2001 оны 9-р сар). 2012 оны 2-р сарын 12-нд эх сурвалжаас архивлагдсан.
3. Кажори ФлорианМатематикийн түүх, 5-р хэвлэл. - AMS номын дэлгүүр, 1991. - P. 152. -

b тооны логарифм нь b тоог гаргахын тулд а тоог өсгөх ёстой илтгэгч юм.

Хэрэв тийм бол.

Логарифм - туйлын чухал математик хэмжигдэхүүн, учир нь логарифмын тооцоолол нь экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэх төдийгүй илтгэгчтэй ажиллах, экспоненциал болон логарифм функцийг ялгах, интегралчлах, тооцоолоход илүү тохиромжтой хэлбэрт хүргэх боломжийг олгодог.

-тай холбоотой

Логарифмын бүх шинж чанарууд нь экспоненциал функцүүдийн шинж чанаруудтай шууд холбоотой байдаг. Жишээлбэл, тэр нь гэсэн үг:

Тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхдээ логарифмын шинж чанарууд нь хүч чадалтай ажиллах дүрмээс илүү чухал бөгөөд ашигтай байж болохыг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Зарим таних тэмдгийг танилцуулъя:

Энд алгебрийн үндсэн илэрхийллүүд байна.

;

.

Анхаар!зөвхөн x>0, x≠1, y>0-д л байж болно.

Байгалийн логарифм гэж юу вэ гэсэн асуултыг ойлгохыг хичээцгээе. Математикийн онцгой сонирхол хоёр төрлийг төлөөлдөг- эхнийх нь суурь нь "10" тоо бөгөөд "аравтын логарифм" гэж нэрлэгддэг. Хоёр дахь нь байгалийн гэж нэрлэгддэг. Натурал логарифмын суурь нь "e" тоо юм. Үүнийг бид энэ нийтлэлд нарийвчлан ярих болно.

Тэмдэглэл:

• lg x - аравтын бутархай;
• ln x - байгалийн.

Identity ашиглан бид ln e = 1, мөн lg 10=1 гэдгийг харж болно.

Байгалийн логарифмын график

Стандарт сонгодог аргыг ашиглан натурал логарифмын графикийг цэгээр байгуулъя. Хэрэв та хүсвэл функцийг шалгах замаар бид функцийг зөв бүтээж байгаа эсэхийг шалгаж болно. Гэсэн хэдий ч логарифмыг хэрхэн зөв тооцоолохыг мэдэхийн тулд үүнийг "гараар" хэрхэн бүтээхийг сурах нь утга учиртай юм.

Чиг үүрэг: y = ln x. График өнгөрөх цэгүүдийн хүснэгтийг бичье.

Бид яагаад аргумент x-ийн эдгээр тодорхой утгуудыг сонгосноо тайлбарлая. Энэ нь хэн болохыг тодорхойлох явдал юм: . Натурал логарифмын хувьд энэ таних тэмдэг дараах байдлаар харагдах болно.

Тохиромжтой болгохын тулд бид таван лавлах цэгийг авч болно:

;

;

.

;

.

Тиймээс байгалийн логарифмыг тооцоолох нь нэлээд энгийн ажил бөгөөд үүнээс гадна хүч чадлын үйлдлүүдийн тооцоог хялбарчилж, тэдгээрийг хувиргадаг. энгийн үржүүлэх.

Графикийг цэгээр нь зурснаар бид ойролцоогоор графикийг авна.

Натурал логарифмын тодорхойлолтын домэйн (өөрөөр хэлбэл X аргументийн бүх хүчинтэй утгууд) нь бүх тоонууд тэгээс их байна.

Анхаар!Натурал логарифмын тодорхойлолтын домайн нь зөвхөн эерэг тоонуудыг агуулдаг! Тодорхойлолтын хүрээнд x=0-ийг оруулаагүй болно. Логарифмын оршин тогтнох нөхцлөөс хамааран энэ нь боломжгүй юм.

Утгын хүрээ (жишээ нь y = ln x функцийн бүх хүчинтэй утгууд) нь интервал дахь бүх тоонууд юм.

Байгалийн бүртгэлийн хязгаар

Графикийг судалж үзэхэд функц y үед хэрхэн ажилладаг вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ<0.

Мэдээжийн хэрэг функцийн график нь у тэнхлэгийг гатлах хандлагатай байгаа боловч х-ийн натурал логарифм учраас үүнийг хийх боломжгүй болно.<0 не существует.

Байгалийн хязгаар бүртгэлингэж бичиж болно:

Логарифмын суурийг орлуулах томъёо

Байгалийн логарифмтай харьцах нь дурын суурьтай логарифмтай харьцахаас хамаагүй хялбар юм. Тийм ч учраас бид дурын логарифмийг натурал логарифм болгон багасгах эсвэл дурын суурь болгон илэрхийлэхийг сурахыг хичээх болно.

Логарифмын таних тэмдэгээс эхэлье:

Дараа нь дурын тоо эсвэл y хувьсагчийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Энд x нь дурын тоо (логарифмын шинж чанарын дагуу эерэг).

Энэ илэрхийллийг хоёр талаас нь логарифмын аргаар авч болно. Үүнийг дурын суурь z ашиглан хийцгээе:

Өмчийг ашиглацгаая (зөвхөн "c"-ийн оронд бидэнд илэрхийлэл байна):

Эндээс бид бүх нийтийн томъёог олж авна.

.

Ялангуяа z=e бол:

.

Бид хоёр натурал логарифмын харьцаагаар дурын суурьтай логарифмыг дүрсэлж чадсан.

Бид асуудлыг шийддэг

Байгалийн логарифмуудыг илүү сайн ойлгохын тулд хэд хэдэн асуудлын жишээг авч үзье.

Асуудал 1. ln x = 3 тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай.

Шийдэл:Логарифмын тодорхойлолтыг ашиглан: хэрэв , тэгвэл бид дараахь зүйлийг авна.

Асуудал 2. Тэгшитгэлийг шийд (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Шийдэл: Логарифмын тодорхойлолтыг ашиглан: хэрэв , тэгвэл бид дараахь зүйлийг авна.

.

Логарифмын тодорхойлолтыг дахин ашиглая:

.

Тиймээс:

.

Та хариултыг ойролцоогоор тооцоолж болно, эсвэл энэ маягт дээр үлдээж болно.

Даалгавар 3.Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл:Орлуулалт хийцгээе: t = ln x. Дараа нь тэгшитгэл дараах хэлбэрийг авна.

.

Бидэнд квадрат тэгшитгэл байна. Түүний ялгагчийг олъё:

Статистик ба магадлалын онолд логарифмын хэмжигдэхүүнүүд ихэвчлэн олддог. Энэ нь гайхах зүйл биш юм, учир нь e тоо нь ихэвчлэн экспоненциал хэмжигдэхүүний өсөлтийн хурдыг илэрхийлдэг.

Компьютерийн шинжлэх ухаан, програмчлал, компьютерийн онолд логарифмууд ихэвчлэн N битийг санах ойд хадгалахын тулд тохиолддог.

Фрактал ба хэмжээсийн онолд логарифмыг байнга ашигладаг, учир нь фракталуудын хэмжээсийг зөвхөн тэдгээрийн тусламжтайгаар тодорхойлдог.

Механик, физикийн чиглэлээрЛогарифм ашиглаагүй хэсэг байхгүй. Барометрийн тархалт, статистик термодинамикийн бүх зарчмууд, Циолковскийн тэгшитгэл гэх мэт нь зөвхөн логарифм ашиглан математикийн хувьд тайлбарлах боломжтой процессууд юм.

Химийн шинжлэх ухаанд логарифмыг Нернстийн тэгшитгэл, исэлдэлтийн процессын тайлбарт ашигладаг.

Гайхалтай нь хөгжимд ч гэсэн октавын хэсгүүдийн тоог олохын тулд логарифм ашигладаг.

Натурал логарифм Функц y=ln x түүний шинж чанарууд

Натурал логарифмын үндсэн шинж чанарын баталгаа

ихэвчлэн дугаар авдаг д = 2,718281828 . Энэ суурь дээр үндэслэсэн логарифмуудыг нэрлэдэг байгалийн. Натурал логарифмын тусламжтайгаар тооцоолол хийхдээ тэмдгээр ажиллах нь түгээмэл байдаг лn, гэхдээ үгүй бүртгэл; тоо байхад 2,718281828 , үндэслэлийг тодорхойлох, заагаагүй болно.

Өөрөөр хэлбэл, найрлага нь дараах байдлаар харагдах болно. байгалийн логарифмтоо X- энэ нь тоог өсгөх ёстой экспонент юм д, олж авах x.

Тэгэхээр, ln(7,389...)= 2, оноос хойш д 2 =7,389... . Тооны натурал логарифм д= 1 учир нь д 1 =д, мөн нэгдлийн натурал логарифм нь тэг, учир нь д 0 = 1.

Тоо нь өөрөө дмонотон хязгаарлагдмал дарааллын хязгаарыг тодорхойлно

гэж тооцоолсон д = 2,7182818284... .

Ихэнх тохиолдолд санах ойд тоог засахын тулд шаардлагатай тооны цифрүүд нь тодорхойгүй огноотой холбоотой байдаг. Тооны эхний есөн цифрийг цээжлэх хурд дХэрэв та 1828 он бол Лев Толстойн төрсөн жил болохыг анзаарсан бол аравтын бутархайны дараа нэмэгдэх болно!

Өнөөдөр байгалийн логарифмын бүрэн бүтэн хүснэгтүүд байдаг.

Байгалийн логарифмын график(функц у =ln x) экспонентын график нь шулуун шугамын толин тусгал дүрс болохын үр дагавар юм у = xмөн дараах хэлбэртэй байна:

Натурал логарифмыг эерэг бодит тоо бүрт олж болно амуруйн доорх талбай гэж y = 1/x-аас 1 өмнө а.

Байгалийн логарифм орсон бусад олон томьёотой нийцэж байгаа энэхүү томъёоны энгийн шинж чанар нь "байгалийн" гэсэн нэрийг бий болгох шалтгаан болсон.

Хэрэв та дүн шинжилгээ хийвэл байгалийн логарифм, бодит хувьсагчийн бодит функц болж, дараа нь үйлчилнэ урвуу функцэкспоненциал функц руу, энэ нь ижил төстэй байдал руу буурдаг:

e ln(a) =a (a>0)

ln(e a) =a

Бүх логарифмын адилаар натурал логарифм нь үржүүлэхийг нэмэх, хуваахыг хасах болгон хувиргадаг.

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

Логарифмыг зөвхөн нэгтэй тэнцүү биш эерэг суурь болгонд олж болно д, гэхдээ бусад суурийн логарифм нь натурал логарифмаас зөвхөн тогтмол хүчин зүйлээр ялгаатай бөгөөд ихэвчлэн натурал логарифмын хувьд тодорхойлогддог.

Шинжилгээ хийсний дараа натурал логарифм график,хувьсагчийн эерэг утгуудын хувьд энэ нь байгааг бид олж мэдсэн x. Энэ нь тодорхойлолтын хүрээнд монотоноор нэмэгддэг.

At x → 0 натурал логарифмын хязгаар нь хасах хязгааргүй ( -∞ ).Үд x → +∞ натурал логарифмын хязгаар нь нэмэх хязгааргүй ( + ∞ ). Томоор нь xЛогарифм нь нэлээд удаан өсдөг. Аливаа эрчим хүчний функц хаэерэг илтгэгчтэй алогарифмаас хурдан өсдөг. Натурал логарифм нь нэг хэвийн өсөлттэй функц тул экстремумгүй.

Хэрэглээ байгалийн логарифмууддээд математикийг давахад маш оновчтой. Тиймээс логарифмыг ашиглах нь үл мэдэгдэх нь экспонент хэлбэрээр гарч ирдэг тэгшитгэлийн хариултыг олоход тохиромжтой. Тооцоололд байгалийн логарифм ашиглах нь олон тооны математикийн томъёог хялбаршуулах боломжийг олгодог. Суурь руу логарифмууд д Эдгээр нь физикийн олон тооны асуудлыг шийдвэрлэхэд оролцдог бөгөөд химийн, биологийн болон бусад үйл явцын математик тайлбарт байгалийн жамаар ордог. Тиймээс логарифмыг хагас задралын тодорхой хугацааны задралын тогтмолыг тооцоолох эсвэл цацраг идэвхт байдлын асуудлыг шийдвэрлэхэд задралын хугацааг тооцоолоход ашигладаг. Эдгээр нь математик, практик шинжлэх ухааны олон салбарт тэргүүлэх үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд санхүүгийн салбарт нийлмэл хүүгийн тооцоо зэрэг олон тооны асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглагддаг.

1.1. Бүхэл тоон илтгэгчийн илтгэгчийг тодорхойлох

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X - N удаа

1.2. Тэг градус.

Тодорхойлолтоор аливаа тооны тэг хүч нь 1 байна гэж ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг.

1.3. Сөрөг зэрэг.

X -N = 1/X N

1.4. Бутархай хүч, үндэс.

X 1/N = X-ийн N үндэс.

Жишээ нь: X 1/2 = √X.

1.5. Эрх нэмэх томъёо.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Чадлыг хасах томьёо.

X (N-M) = X N /X M

1.7. Үржүүлэх чадварыг тооцоолох томъёо.

X N*M = (X N) M

1.8. Бутархайг зэрэгт хүргэх томъёо.

(X/Y) N = X N /Y N

2. Тоо e.

e тооны утга нь дараах хязгаартай тэнцүү байна.

E = lim(1+1/N), N → ∞ гэж.

17 цифрийн нарийвчлалтай e тоо нь 2.71828182845904512.

3. Эйлерийн тэгш байдал.

Энэ тэгшитгэл нь математикт онцгой үүрэг гүйцэтгэдэг таван тоог холбодог: 0, 1, e, pi, төсөөллийн нэгж.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Экспоненциал функц exp(x)

exp(x) = e x

5. Экспоненциал функцийн дериватив

Экспоненциал функц нь гайхалтай шинж чанартай: функцийн дериватив нь экспоненциал функцтэй тэнцүү байна.

(exp(x))" = exp(x)

6. Логарифм.

6.1. Логарифмын функцийн тодорхойлолт

Хэрэв x = b y бол логарифм нь функц болно

Y = Лог b(x).

Логарифм нь тоог ямар түвшинд өсгөх ёстойг харуулдаг - өгөгдсөн тоог (X) олж авахын тулд логарифмын суурь (b). Логарифмын функц нь тэгээс их X хувьд тодорхойлогддог.

Жишээ нь: Бүртгэл 10 (100) = 2.

6.2. Аравтын логарифм

Энэ нь 10 суурьтай логарифм юм:

Y = Лог 10 (x) .

Log(x) гэж тэмдэглэсэн: Log(x) = Log 10 (x).

Аравтын бутархай логарифм ашиглах жишээ бол децибел юм.

6.3. Децибел

Энэ зүйлийг Децибелийн тусдаа хуудсан дээр тодруулсан болно

6.4. Хоёртын логарифм

Энэ нь суурь 2 логарифм юм:

Y = Лог 2 (x).

Lg(x)-ээр тэмдэглэсэн: Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Байгалийн логарифм

Энэ нь e суурийн логарифм юм:

Y = Log e (x) .

Ln(x)-ээр тэмдэглэсэн: Ln(x) = Log e (X)
Натурал логарифм нь exp(X) экспоненциал функцийн урвуу функц юм.

6.6. Онцлог цэгүүд

Лога(1) = 0
Лог a (a) = 1

6.7. Бүтээгдэхүүний логарифмын томъёо

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Хэсгийн логарифмын томъёо

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Эрчим хүчний томъёоны логарифм

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Өөр суурьтай логарифм руу хөрвүүлэх томъёо

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Жишээ:

Бүртгэл 2 (8) = Бүртгэл 10 (8) / Бүртгэл 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Амьдралд хэрэгтэй томьёо

Ихэнхдээ эзэлхүүнийг талбай эсвэл урт болгон хувиргах, урвуу асуудал - талбайг эзэлхүүн болгон хувиргах асуудал гардаг. Жишээлбэл, хавтанг шоо (шоо метр) хэлбэрээр зардаг бөгөөд бид хэр их хананы талбайг тодорхой эзэлхүүнтэй хавтангаар бүрхэж болохыг тооцоолох хэрэгтэй, самбаруудын тооцоог үзнэ үү, шоо дөрвөлжин хэр олон самбар байна. Эсвэл хананы хэмжээсийг мэддэг бол тоосгоны тоог тооцоолох хэрэгтэй, тоосгоны тооцоог үзнэ үү.

Эх сурвалжийн идэвхтэй холбоосыг суулгасан тохиолдолд сайтын материалыг ашиглахыг зөвшөөрнө.