Оруул гурван хэмжээст орон зайтогтмол тэгш өнцөгт координатын систем Оксиз, өгөгдсөн цэг, шулуун шугам амөн цэгээс зайг олох хэрэгтэй Ашулуун шугам руу а.

Бид орон зайн цэгээс шугам хүртэлх зайг тооцоолох хоёр аргыг харуулах болно. Эхний тохиолдолд цэгээс зайг олох М 1 шулуун шугам руу ацэгээс зайг олоход бууж ирдэг М 1 цэг хүртэл Х 1 , Хаана Х 1 - цэгээс унасан перпендикулярын суурь М 1 шууд а. Хоёр дахь тохиолдолд бид цэгээс хавтгай хүртэлх зайг параллелограммын өндрөөр олох болно.

Ингээд эхэлцгээе.

Орон зайн цэгээс a шулуун хүртэлх зайг олох эхний арга.

Тодорхойлолтоор бол цэгээс зай М 1 шулуун шугам руу ань перпендикулярын урт юм М 1 Х 1 , дараа нь цэгийн координатыг тодорхойлсны дараа Х 1 , бид шаардлагатай зайг цэгийн хоорондох зайгаар тооцоолж болно Тэгээд томъёоны дагуу.

Тиймээс цэгээс босгосон перпендикулярын суурийн координатыг олох асуудал гарч ирнэ. М 1 шулуун шугам руу а. Үүнийг хийхэд маш энгийн: үе Х 1 шугамын огтлолцлын цэг юм ацэгээр дамжин өнгөрөх онгоцтой М 1 шугаманд перпендикуляр а.

Тиймээс, цэгээс зайг тодорхойлох боломжийг олгодог алгоритм шулуун шугам рууа сансарт, нь:

Хоёрдахь арга нь орон зайн цэгээс a шулуун хүртэлх зайг олох боломжийг олгодог.

Асуудлын тайлбарт бидэнд шулуун шугам өгөгдсөн тул а, тэгвэл бид түүний чиглэлийн векторыг тодорхойлж болно ба зарим цэгийн координатууд М 3 , шулуун шугам дээр хэвтэж байна а. Дараа нь цэгүүдийн координатын дагуу ба бид векторын координатыг тооцоолж болно: (шаардлагатай бол векторын эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүдийн координатаар дамжуулан векторын нийтлэлийн координатыг үзнэ үү).

Векторуудыг хойш тавья мөн цэгээс М 3 ба тэдгээр дээр параллелограмм байгуул. Энэ параллелограмм дээр бид өндрийг зурна М 1 Х 1 .

Өндөр нь ойлгомжтой М 1 Х 1 баригдсан параллелограмм нь цэгээс шаардагдах зайтай тэнцүү байна М 1 шулуун шугам руу а. Олъё л доо.

Нэг талд нь параллелограммын талбай (үүнийг тэмдэглэе С) векторуудын вектор үржвэрээр олж болно мөн томъёоны дагуу . Нөгөө талаас параллелограммын талбай нь түүний хажуугийн урт ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл, , Хаана - вектор урт , урттай тэнцүүПараллелограммын талууд. Тиймээс хол зайд өгсөн оноо М 1 өгөгдсөн шулуун шугам руу атэгш байдлаас олж болно Хэрхэн .

Тэгэхээр, цэгээс зайг олох шулуун шугам рууа шаардлагатай орон зайд

Сансар огторгуйн өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн шулуун хүртэлх зайг олох бодлого бодох.

Шийдлийн жишээг авч үзье.

Жишээ.

Цэгээс зайг ол шулуун шугам руу .

Шийдэл.

Эхний арга.

Цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг бичье М 1 Өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр:

Цэгийн координатыг ол Х 1 - хавтгай ба өгөгдсөн шулуун шугамын огтлолцох цэгүүд. Үүнийг хийхийн тулд шулуун шугамын каноник тэгшитгэлээс огтлолцсон хоёр хавтгайн тэгшитгэл рүү шилжье.

Үүний дараа бид шугаман тэгшитгэлийн системийг шийднэ Крамерын арга:

Ийнхүү, .

Нэг цэгээс шугам хүртэлх шаардлагатай зайг цэгийн хоорондох зай гэж тооцоход л үлддэг Мөн :.

Хоёр дахь арга зам.

Шугамын каноник тэгшитгэл дэх бутархайн хуваагч дахь тоонууд нь энэ шугамын чиглэлийн векторын харгалзах координатыг илэрхийлнэ, өөрөөр хэлбэл: - шууд вектор . Түүний уртыг тооцоолъё: .

Мэдээж шулуун цэгээр дамждаг , дараа нь цэг дээр эхтэй вектор мөн цэг дээр төгсдөг Байна . Векторуудын вектор үржвэрийг олъё Тэгээд :
тэгвэл энэ вектор бүтээгдэхүүний урт нь байна .

Одоо бид өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн хавтгай хүртэлх зайг тооцоолох томъёог ашиглах бүх өгөгдөлтэй байна. .

Хариулт:

Орон зай дахь шугамуудын харьцангуй байрлал

Хавтгай дээрх цэгээс шулуун хүртэлх зайг тооцоолох томъёо

Ax + By + C = 0 шулууны тэгшитгэл өгөгдсөн бол M(M x , M y) цэгээс шулуун хүртэлх зайг дараах томъёогоор олно.

Хавтгай дээрх цэгээс шулуун хүртэлх зайг тооцоолох асуудлын жишээ

Жишээ 1.

3x + 4y - 6 = 0 шулуун ба M(-1, 3) цэгийн хоорондох зайг ол.

Шийдэл.Шугамын коэффициент ба цэгийн координатыг томъёонд орлуулж үзье

Хариулт:цэгээс шулуун хүртэлх зай 0.6 байна.

векторт перпендикуляр цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэл Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл

Өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр тэгээс ялгаатай векторыг гэнэ хэвийн вектор (эсвэл товчхондоо, хэвийн ) энэ онгоцны хувьд.

Дараахыг координатын орон зайд (тэгш өнцөгт координатын системд) өгье.

цэг ;

b) тэг биш вектор (Зураг 4.8, а).

Та цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг үүсгэх хэрэгтэй векторт перпендикуляр Нотлох баримтын төгсгөл.

Одоо хавтгай дээрх шулуун шугамын янз бүрийн төрлийн тэгшитгэлүүдийг авч үзье.

1) Хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлП .

Тэгшитгэлийн гарал үүслээр нэгэн зэрэг гарч ирнэ А, БТэгээд C 0-тэй тэнцүү биш (яагаад гэдгийг тайлбарла).

Цэг нь онгоцонд хамаарна Птүүний координатууд нь хавтгайн тэгшитгэлийг хангасан тохиолдолд л. Боломжоос шалтгаална А, Б, CТэгээд Донгоц Пнэг эсвэл өөр байр суурийг эзэлдэг:

- хавтгай нь координатын системийн гарал үүслээр дамжин өнгөрдөг, - хавтгай нь координатын системийн эхлэлийг өнгөрөөгүй;

- тэнхлэгтэй параллель хавтгай X,

X,

- тэнхлэгтэй параллель хавтгай Ю,

- онгоц тэнхлэгтэй параллель биш байна Ю,

- тэнхлэгтэй параллель хавтгай З,

- онгоц тэнхлэгтэй параллель биш байна З.

Эдгээр мэдэгдлийг өөрөө нотол.

(6) тэгшитгэлийг (5) тэгшитгэлээс амархан гаргаж болно. Үнэн хэрэгтээ, цэг нь онгоцон дээр хэвтэж байг П. Дараа нь түүний координатууд тэгшитгэлийг хангана.(5) тэгшитгэлээс (7) тэгшитгэлийг хасч, гишүүдийг бүлэглэвэл (6) тэгшитгэлийг гаргана. Одоо координаттай хоёр векторыг авч үзье. Томъёо (6)-аас харахад тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна. Иймд вектор нь векторт перпендикуляр байна.Сүүлийн векторын эхлэл ба төгсгөл нь хавтгайд хамаарах цэгүүдэд тус тус байрлана. П. Тиймээс вектор нь хавтгайд перпендикуляр байна П. Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зай П, хэний ерөнхий тэгшитгэл томъёогоор тодорхойлно Энэ томьёоны баталгаа нь цэг ба шугамын хоорондох зайны томъёоны нотолгоотой бүрэн төстэй юм (2-р зургийг үз).
Цагаан будаа. 2. Хавтгай ба шулуун шугамын хоорондох зайны томьёог гаргаж авах.

Үнэн бол зай гшулуун ба хавтгай хоёрын хооронд тэнцүү байна

Онгоцонд хэвтэж буй цэг хаана байна. Эндээс 11-р лекцийн нэгэн адил дээрх томьёо гарна. Хэвийн векторууд нь параллель байвал хоёр хавтгай зэрэгцээ байна. Эндээс бид хоёр хавтгайн зэрэгцээ байх нөхцөлийг олж авдаг - магадлал ерөнхий тэгшитгэлонгоцууд. Хоёр хавтгай нь хэвийн векторууд нь перпендикуляр бол перпендикуляр байдаг тул тэдгээрийн ерөнхий тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа бол хоёр хавтгайн перпендикуляр байх нөхцөлийг олж авна.

Булан ехоёр хавтгайн хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн хэвийн векторуудын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү (3-р зургийг үз) тул томъёог ашиглан тооцоолж болно.
Онгоц хоорондын өнцгийг тодорхойлох.

(11)

Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зай, түүнийг олох аргууд

Цэгээс хүртэлх зай онгоц– нэг цэгээс энэ хавтгайд унасан перпендикулярын урт. Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг олох дор хаяж хоёр арга бий. геометрийнТэгээд алгебрийн.

Геометрийн аргаарТа эхлээд нэг цэгээс хавтгайд перпендикуляр хэрхэн байрлаж байгааг ойлгох хэрэгтэй: энэ нь ямар нэгэн тохиромжтой хавтгайд байрладаг, ямар нэгэн тохиромжтой (эсвэл тийм ч тохиромжтой биш) гурвалжин дахь өндөр эсвэл энэ перпендикуляр нь ерөнхийдөө пирамидын өндөр байж магадгүй юм.

Энэ эхний бөгөөд хамгийн төвөгтэй үе шатын дараа асуудал нь хэд хэдэн тодорхой планиметрийн асуудалд хуваагддаг (магадгүй өөр өөр хавтгайд).

Алгебрийн аргаарцэгээс хавтгай хүртэлх зайг олохын тулд та координатын системд орж, цэгийн координат ба хавтгайн тэгшитгэлийг олж, дараа нь цэгээс хавтгай хүртэлх зайны томъёог ашиглах хэрэгтэй.

155*. Шулуун шугамын AB сегментийн байгалийн хэмжээг ерөнхий байрлалд тодорхойлно (Зураг 153, а).

Шийдэл. Мэдэгдэж байгаагаар аливаа хавтгай дээрх шулуун шугамын сегментийн проекц нь хэрвээ энэ хавтгайтай параллель байвал тухайн сегменттэй тэнцүү байна (зургийн масштабыг харгалзан).

(Зураг 153, b). Эндээс харахад зургийг өөрчилснөөр энэ сегментийн квадратын параллелизмд хүрэх шаардлагатай байна. V эсвэл дөрвөлжин H эсвэл V, H системийг квадрат руу перпендикуляр өөр хавтгайгаар нэмнэ. V эсвэл pl. H ба нэгэн зэрэг энэ сегменттэй зэрэгцээ байна.

Зураг дээр. 153, в нь квадрат руу перпендикуляр нэмэлт S хавтгайг танилцуулж байгааг харуулж байна. H ба өгөгдсөн AB сегменттэй параллель.

a s b s проекц нь AB сегментийн натурал утгатай тэнцүү байна.

Зураг дээр. 153, d нь өөр нэг техникийг харуулж байна: AB сегментийг B цэгийг дайран өнгөрч, квадрат руу перпендикуляр шулуун шугамын эргэн тойронд эргүүлнэ. H, зэрэгцээ байрлал руу

pl. V. Энэ тохиолдолд В цэг байрандаа үлдэх ба А цэг нь А 1 шинэ байрлалыг авна. Тэнгэрийн хаяа шинэ байрлалд байна. проекц a 1 b || x тэнхлэг a" 1 b" проекц нь AB сегментийн натурал хэмжээтэй тэнцүү байна.

156. SABCD пирамид өгөгдсөн (Зураг 154). Пирамидын AS ба CS ирмэгүүдийн бодит хэмжээг проекцын хавтгайг өөрчлөх аргыг ашиглан, BS ба DS ирмэгийг эргүүлэх аргыг ашиглан тодорхойлж, эргэлтийн тэнхлэгийг квадрат руу перпендикуляр авна. Х.

157*. А цэгээс BC шулуун шугам хүртэлх зайг тодорхойл (Зураг 155, а).

Шийдэл. Нэг цэгээс шугам хүртэлх зайг тухайн цэгээс шугам хүртэл татсан перпендикуляр хэрчмээр хэмждэг.

Хэрэв шулуун шугам нь аль нэг хавтгайд перпендикуляр байвал (Зураг 155.6) цэгээс шулуун шугам хүртэлх зайг цэгийн проекц ба энэ хавтгай дээрх шулуун шугамын цэгийн проекцын хоорондох зайгаар хэмжинэ. Хэрэв шулуун шугам системд V, H-г эзэлдэг ерөнхий байр суурь, дараа нь проекцын хавтгайг өөрчлөх замаар цэгээс шулуун хүртэлх зайг тодорхойлохын тулд V, H системд нэмэлт хоёр хавтгай оруулах шаардлагатай.

Эхлээд (Зураг 155, в) бид квадрат руу орно. S, BC сегменттэй параллель (шинэ S/H тэнхлэг нь bc проекцтэй параллель байна) b s c s ба a s проекцуудыг байгуул. Дараа нь (Зураг 155, d) бид өөр нэг квадратыг танилцуулж байна. T, BC шулуун шугамд перпендикуляр (шинэ тэнхлэг T/S нь b s-тэй s-тэй перпендикуляр). Бид шулуун ба цэгийн проекцийг t (b t) ба a t-тэй хийдэг. a t ба c t (b t) цэгүүдийн хоорондох зай нь А цэгээс ВС шулуун шугам хүртэлх l зайтай тэнцүү байна.

Зураг дээр. 155, d, ижил ажлыг зэрэгцээ хөдөлгөөний арга гэж нэрлэдэг эргэлтийн аргыг ашиглан гүйцэтгэдэг. Нэгдүгээрт, BC шулуун шугам ба А цэг нь харьцангуй байрлалаа өөрчлөлгүй, квадраттай перпендикуляр зарим (зураг дээр заагаагүй) шулуун шугамын эргэн тойронд эргэлддэг. H, ингэснээр BC шулуун нь квадраттай параллель байна. V. Энэ нь квадраттай параллель хавтгайд байрлах A, B, C цэгүүдийг хөдөлгөхтэй тэнцүү юм. H. Үүний зэрэгцээ тэнгэрийн хаяа. проекц өгөгдсөн систем(BC + A) нь хэмжээ, тохиргооны хувьд өөрчлөгддөггүй, зөвхөн x тэнхлэгтэй харьцуулахад байрлал нь өөрчлөгддөг. Бид тэнгэрийн хаяаг байрлуулна. BC шулуун шугамын проекцийг х тэнхлэгтэй параллель (b 1 c 1 байрлал) ба c 1 1 1 = c-1 ба a 1 1 1 = a-1, a 1 1 зэргийг хойш тавьж a 1 проекцийг тодорхойлно. 1 ⊥ c 1 1 1. Х тэнхлэгтэй параллель b"b" 1, a"a" 1, c"c" 1 шулуун шугамуудыг зурж, бид тэдгээрийн урд талыг олно. төсөөлөл b" 1, a" 1, c" 1. Дараа нь бид B 1, C 1, A 1 цэгүүдийг V талбайтай параллель хавтгайд шилжүүлнэ (мөн тэдгээрийг өөрчлөхгүйгээр) харьцангуй байрлал), B 2 C 2 ⊥ pl-ийг авахын тулд. H. Энэ тохиолдолд шулуун шугамын проекц нь урд талын перпендикуляр байх болно x,b тэнхлэгүүд 2 c" 2 = b" 1 c" 1 бөгөөд a" 2 проекцийг бүтээхийн тулд та b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1, 2"a" 2 ⊥ b" 2 c"-ийг зурах хэрэгтэй. 2 ба a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1-ийг хойш тавь. Одоо 1-тэй 2, 1-тэй 2 || x 1 бид 2 ба a 2-оос b 2 проекц, А цэгээс BC шулуун шугам хүртэлх хүссэн l зайг олж авна. А цэгээс ВС хүртэлх зайг А цэгээр тодорхойлсон хавтгай ба ВС шулуун шугамыг энэ хавтгайн хэвтээ орчимд эргүүлж T || pl. H (Зураг 155, f).

А цэг ба BC шулуун шугамаар тодорхойлогдсон хавтгайд хэвтээ шугамыг A-1 (Зураг 155, g) зурж, В цэгийг тойруулан эргүүлнэ.В цэг квадрат руу шилжинэ. R (R h-ийн хажууд байгаа зурагт заасан), перпендикуляр A-1; O цэг дээр B цэгийн эргэлтийн төв байна. Одоо бид VO эргэлтийн радиусын байгалийн утгыг тодорхойлно (Зураг 155, в). Шаардлагатай байрлалд, өөрөөр хэлбэл pl. А цэг ба ВС шулуун шугамаар тодорхойлогдсон T нь || болно pl. H, B цэг нь O цэгээс Ob 1 зайд R h дээр байх болно (ижил мөр R h дээр өөр байрлал байж болно, гэхдээ O-ийн нөгөө талд). b 1 цэг нь тэнгэрийн хаяа юм. А цэг ба ВС шулуун шугамаар тодорхойлогдсон хавтгай T байрлалыг авсан үед В цэгийг орон зайд B 1 байрлалд шилжүүлсний дараа проекц.

Зураг (Зураг 155, i) шулуун шугам b 1 1, бид тэнгэрийн хаяаг олж авна. аль хэдийн байрласан BC шулуун шугамын проекц || pl. H нь A-тай ижил хавтгайд байна. Энэ байрлалд a-аас b 1 1 хүртэлх зай нь хүссэн l зайтай тэнцүү байна. Өгөгдсөн элементүүд байрлах P хавтгайг квадраттай нэгтгэж болно. H (Зураг 155, j), дөрвөлжин эргэх. Түүний эргэн тойронд R бол тэнгэрийн хаяа юм. ул мөр. Хавтгайг А цэг ба ВС шулуун шугамаар зааж байснаас ВС ба А-1 шулуун шугамыг зааж өгөх рүү шилжиж (Зураг 155, l) бид эдгээр шулуунуудын ул мөрийг олж, тэдгээрийн дундуур P ϑ ба P h ул мөрийг зурна. Бид талбайтай хослуулсан (Зураг 155, м) барьж байна. H байрлалын урд. ул мөр - P ϑ0.

А цэгээр дамжуулан бид тэнгэрийн хаяаг зурдаг. урд талын төсөөлөл; хосолсон фронтал нь P ϑ0-тай параллель P h ул мөрний 2-р цэгийг дайран өнгөрдөг. А цэг 0 - квадраттай хослуулсан. H нь А цэгийн байрлал. Үүний нэгэн адил бид B цэгийг 0 олно. Нарны шууд тусгал дөрвөлжинтэй хослуулсан. H байрлал нь B 0 цэг ба m цэгээр дамждаг (шулуун шугамын хэвтээ ул мөр).

A 0 цэгээс B 0 C 0 шулуун шугам хүртэлх зай нь шаардлагатай l зайтай тэнцүү байна.

P h-ийн зөвхөн нэг ул мөрийг олох замаар заасан барилгын ажлыг хийж болно (Зураг 155, n ба o). Бүхэл бүтэн барилга нь хэвтээ эргэн тойронд эргэлттэй төстэй (155-р зургийг үз, g, c, i): ул мөр P h нь хэвтээ хэсгүүдийн нэг юм. Р.

Энэ асуудлыг шийдэх аргуудаас зургийг хувиргах хамгийн тохиромжтой арга бол хэвтээ эсвэл урд талын эргэн тойронд эргүүлэх арга юм.

158. SABC пирамид өгөгдсөн (Зураг 156). Зайг тодорхойлох:

a) суурийн В дээд хэсгээс хажуугийн АС хүртэл зэрэгцээ хөдөлгөөний аргаар;

б) пирамидын дээд S хэсгээс суурийн ВС ба АВ тал хүртэл хэвтээ тэнхлэгийг тойрон эргүүлэх;

в) проекцын хавтгайг өөрчлөх замаар дээд S-ээс суурийн АС тал руу.

159. Призмийг өгөв (Зураг 157). Зайг тодорхойлох:

а) проекцын хавтгайг өөрчлөх замаар AD ба CF хавирганы хооронд;

б) урд талын эргэн тойронд эргэлдэж BE ба CF хавирганы хооронд;

в) AD ба BE ирмэгүүдийн хооронд зэрэгцээ хөдөлгөөнөөр.

160. ABCD дөрвөлжингийн бодит хэмжээг (Зураг 158) квадраттай зэрэгцүүлэн тодорхойл. N. Зөвхөн онгоцны хэвтээ ул мөрийг ашиглана.

161*. AB ба CD огтлолцох шулуун шугамуудын хоорондох зайг тодорхойлж (Зураг 159, а) тэдгээрт нийтлэг перпендикуляр проекцуудыг байгуул.

Шийдэл. Хөндлөнгийн шугамын хоорондох зайг хоёр шулууны перпендикуляр сегментээр (MN) хэмжинэ (Зураг 159, b). Мэдээжийн хэрэг, хэрэв шулуун шугамын аль нэгийг аль нэг квадрат руу перпендикуляр байрлуулсан бол. Т, тэгвэл

хоёр шулууны перпендикуляр MN хэрчим квадраттай параллель байна. Энэ хавтгай дээрх түүний төсөөлөл нь шаардлагатай зайг харуулна. Төсөл зөв өнцөг Menad MN n AB on pl. Зөв өнцгийн нэг тал нь AMN, тухайлбал MN тул T нь мөн m t n t ба a t b t хоёрын хоорондох тэгш өнцөг болно. квадраттай зэрэгцээ Т.

Зураг дээр. 159, c ба d, шаардлагатай зай l нь проекцын хавтгайг өөрчлөх аргаар тодорхойлогдоно. Эхлээд бид нэмэлт квадратыг танилцуулж байна. квадраттай перпендикуляр S проекцууд. H ба CD шулуун шугамтай зэрэгцээ (Зураг 159, в). Дараа нь бид өөр нэг нэмэлт квадратыг танилцуулж байна. T, квадраттай перпендикуляр. S ба ижил шулуун шугамын перпендикуляр CD (Зураг 159, d). Одоо та a t b t проекц руу перпендикуляр c t (d t) цэгээс m t n t зурж ерөнхий перпендикулярын проекцийг байгуулж болно. m t ба n t цэгүүд нь энэ перпендикулярын AB ба CD шулуун шугамуудтай огтлолцох цэгүүдийн проекц юм. m t цэгийг ашиглан (Зураг 159, e) a s b s дээр m s-ийг олно: m s n s-ийн проекц нь T/S тэнхлэгтэй параллель байх ёстой. Дараа нь m s ба n s-ээс бид m ба n-ийг ab ба cd дээр, тэдгээрээс m" ба n" -ийг a"b" ба c"d" дээр олно.

Зураг дээр. 159, c параллель хөдөлгөөний аргыг ашиглан энэ асуудлын шийдлийг харуулав. Эхлээд бид шулуун CD-г квадраттай зэрэгцээ байрлуулна. V: проекц c 1 d 1 || X. Дараа нь бид CD ба AB шулуун шугамуудыг C 1 D 1 ба A 1 B 1 байрлалаас C 2 B 2 ба A 2 B 2 байрлал руу шилжүүлснээр C 2 D 2 нь H-д перпендикуляр байх болно: проекц c" 2 d" 2 ⊥ x. Шаардлагатай перпендикулярын сегмент нь || байрлана pl. H, тиймээс m 2 n 2 нь AB ба CD хоорондын хүссэн l зайг илэрхийлнэ. Бид a" 2 b" 2 ба c" 2 d" 2 дээрх m" 2 ба n" 2 проекцуудын байрлалыг олж, дараа нь m 1 ба m" 1, n 1 ба n" 1 проекцуудыг олно. проекцууд m" ба n ", m ба n.

162. SABC пирамид өгөгдсөн (Зураг 160). Пирамидын суурийн SB ирмэг ба хажуугийн АС хоорондын зайг тодорхойлж, проекцын хавтгайг өөрчлөх аргыг ашиглан SB ба АС-д нийтлэг перпендикуляр проекцуудыг байгуулна.

163. SABC пирамид өгөгдсөн (Зураг 161). Пирамидын суурийн SH ирмэг ба ВС хажуугийн хоорондох зайг тодорхойлж, SX ба BC-ийн нийтлэг перпендикулярын проекцийг параллель шилжилтийн аргаар байгуул.

164*. Хавтгайг тодорхойлсон тохиолдолд А цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тодорхойлно: a) гурвалжин BCD (Зураг 162, а); б) ул мөр (Зураг 162, b).

Шийдэл. Та бүхний мэдэж байгаагаар цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тухайн цэгээс хавтгайд татсан перпендикулярын утгаар хэмждэг. Энэ зайг аль ч хэсэгт төсөөлдөг. амьдралын хэмжээний төсөөлөл, хэрэв өгсөн онгоцквадратад перпендикуляр төсөөлөл (Зураг 162, в). Энэ нөхцөл байдалд зургийг өөрчлөх замаар, жишээлбэл, талбайг өөрчлөх замаар хүрч болно. төсөөлөл. pl танилцуулъя. S (Зураг 16c, d), квадраттай перпендикуляр. гурвалжин BCD. Үүнийг хийхийн тулд бид талбайд зарцуулдаг. гурвалжин B-1 хэвтээ ба проекцын S тэнхлэгийг b-1 проекцод перпендикуляр хэвтээ байрлуулна. Бид цэг ба хавтгайн проекцийг бүтээдэг - a s ба c s d s сегмент. a s-ээс c s d s хүртэлх зай нь тухайн цэгээс хавтгай хүртэлх хүссэн l зайтай тэнцүү байна.

Рио руу. 162, d зэрэгцээ хөдөлгөөний аргыг ашигласан. B-1 хэвтээ хавтгай V хавтгайд перпендикуляр болох хүртэл бид бүхэл системийг хөдөлгөдөг: b 1 1 1 проекц нь x тэнхлэгт перпендикуляр байх ёстой. Энэ байрлалд гурвалжны хавтгай урд талын проекц болж, А цэгээс l хүртэлх зай нь pl байх болно. V гажуудалгүйгээр.

Зураг дээр. 162, b хавтгай нь ул мөрөөр тодорхойлогддог. Бид (Зураг 162, e) нэмэлт квадратыг танилцуулж байна. S, квадраттай перпендикуляр. P: S/H тэнхлэг нь P h-тэй перпендикуляр байна. Үлдсэн хэсэг нь зурагнаас тодорхой харагдаж байна. Зураг дээр. 162, g асуудлыг нэг хөдөлгөөн ашиглан шийдсэн: pl. P нь P 1 байрлалд ордог, өөрөөр хэлбэл энэ нь урд талын проекц болж хувирдаг. Мөр. P 1h нь x тэнхлэгт перпендикуляр байна. Бид онгоцны энэ байрлалд урд хэсгийг барьдаг. хэвтээ мөр нь n" 1,n 1 цэг юм. P 1ϑ мөр нь P 1x ба n 1-ээр дамжин өнгөрөх болно. a" 1-ээс P 1ϑ хүртэлх зай нь шаардлагатай l зайтай тэнцүү байна.

165. SABC пирамид өгөгдсөн (160-р зургийг үз). Зэрэгцээ хөдөлгөөний аргыг ашиглан А цэгээс SBC пирамидын ирмэг хүртэлх зайг тодорхойлно.

166. SABC пирамид өгөгдсөн (161-р зургийг үз). Зэрэгцээ шилжилтийн аргыг ашиглан пирамидын өндрийг тодорхойлно.

167*. AB ба CD огтлолцох шугамуудын хоорондох зайг (159,а-р зургийг үз) эдгээр шугамаар татсан параллель хавтгайн хоорондын зайгаар тодорхойлно.

Шийдэл. Зураг дээр. 163 ба P ба Q хавтгайнууд хоорондоо параллель, үүнээс pl. Q-г CD-ээр AB ба pl-тэй параллель зурсан. P - AB-ээр дамжуулан квадраттай параллель. А.Ийм хавтгайн хоорондох зайг AB ба CD шулуун шугамыг огтлолцох зай гэж үзнэ. Гэсэн хэдий ч, та зөвхөн нэг хавтгай, жишээ нь Q, AB-тай параллель байхаар хязгаарлаж, дараа нь хамгийн багадаа А цэгээс энэ хавтгай хүртэлх зайг тодорхойлж болно.

Зураг дээр. 163, c нь CD-ээр AB-тай параллель зурсан Q хавтгайг харуулав; "e" || ашиглан хийсэн төсөөлөлд a"b" ба ce || ab. pl-г өөрчлөх аргыг ашиглах. төсөөлөл (Зураг 163, в), бид нэмэлт квадратыг танилцуулж байна. S, квадраттай перпендикуляр. V ба нэгэн зэрэг

квадраттай перпендикуляр Q. S/V тэнхлэгийг зурахын тулд энэ хавтгайд урд талын D-1-ийг авна. Одоо бид d"1"-д перпендикуляр S/V зурна (Зураг 163, в). Pl. Q-г талбай дээр дүрсэлсэн болно. S нь s d s-тэй шулуун шугам. Үлдсэн хэсэг нь зурагнаас тодорхой харагдаж байна.

168. SABC пирамид өгөгдсөн (160-р зургийг үз). SC ба AB хавирганы хоорондох зайг тодорхойлох.Хэрэглэх: 1) талбайг өөрчлөх арга. төсөөлөл, 2) зэрэгцээ хөдөлгөөний арга.

169*. Нэг нь AB ба АС шулуун шугамаар, нөгөө нь DE ба DF шулуун шугамаар тодорхойлогддог параллель хавтгай хоорондын зайг тодорхойл (Зураг 164, а). Мөн онгоцыг ул мөрөөр тодорхойлсон тохиолдолд барилгын ажлыг гүйцэтгэнэ (Зураг 164, б).

Шийдэл. Нэг хавтгайн аль ч цэгээс нөгөө хавтгайд перпендикуляр зурах замаар параллель хавтгай хоорондын зайг (Зураг 164, в) тодорхойлж болно. Зураг дээр. 164, g нэмэлт квадратыг нэвтрүүлсэн. S квадраттай перпендикуляр. H ба өгөгдсөн онгоц хоёуланд нь. S.H тэнхлэг нь хэвтээ чиглэлд перпендикуляр байна. аль нэг хавтгайд зурсан хэвтээ проекц. Бид энэ хавтгайн проекц болон дөрвөлжин дээрх өөр хавтгайн цэгийг байгуулдаг. 5. d s цэгээс шулуун шугам хүртэлх зай l s a s нь параллель хавтгайн хоорондох шаардлагатай зайтай тэнцүү байна.

Зураг дээр. 164, d өөр барилга байгууламжийг өгсөн (зэрэгцээ хөдөлгөөний аргын дагуу). АВ ба АС огтлолцсон шулуунаар илэрхийлсэн хавтгай квадраттай перпендикуляр байхын тулд. V, давхрага. Бид энэ хавтгайн хэвтээ проекцийг x тэнхлэгт перпендикуляр тогтооно: 1 1 2 1 ⊥ x. Урд талын хоорондох зай D цэгийн d" 1 проекц ба шулуун шугам a" 1 2" 1 (хавтгайн урд талын проекц) нь хавтгайн хоорондох шаардлагатай зайтай тэнцүү байна.

Зураг дээр. 164, e нэмэлт квадратын танилцуулгыг харуулж байна. S, H талбай ба өгөгдсөн P ба Q хавтгайд перпендикуляр (S/H тэнхлэг нь P h ба Q h ул мөртэй перпендикуляр). Бид P ба Q s-ийн ул мөрийг бүтээдэг. Тэдгээрийн хоорондох зай (164-р зургийг үз, в) нь P ба Q хавтгайн хоорондох хүссэн зай l-тэй тэнцүү байна.

Зураг дээр. 164, g нь давхрага байх үед P 1 n Q 1, байрлалд P 1 ба Q 1-ийн хөдөлгөөнийг харуулав. ул мөр нь х тэнхлэгт перпендикуляр болж хувирав. Шинэ фронтуудын хоорондох зай. P 1ϑ ба Q 1ϑ ул мөр нь шаардлагатай l зайтай тэнцүү байна.

170. ABCDEFGH параллелепипед өгөгдсөн (Зураг 165). Зайг тодорхойлно уу: a) параллелепипедийн суурийн хооронд - l 1; б) ABFE ба DCGH нүүрний хооронд - l 2; в) ADHE ба BCGF-l 3-ийн нүүрний хооронд.

Оршил

Энэхүү курсын ажилд би "цэгээс шулуун хүртэлх зай" сэдвийг судалж үзсэн: цэгээс шулуун хүртэлх зайны тодорхойлолт, график дүрслэлийг өгсөн. Хавтгай ба орон зайн цэгээс шулуун хүртэлх зайг координатын аргаар олох талаар ярилцана. Блок бүрийн дараа онолуудыг харуулав нарийвчилсан шийдлүүдцэгээс шулуун хүртэлх зайг олох жишээ, бодлого.

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай - тодорхойлолт

Хавтгай эсвэл гурван хэмжээст орон зайд a шулуун ба M 1 цэгийг а шулуун дээр хэвтэхгүй гэж үзье. М 1 цэгээр a шулуунд перпендикуляр b шулууныг татъя. a ба b шулуунуудын огтлолцох цэгийг H 1 гэж тэмдэглэе. M 1 H 1 хэрчмийг M 1 цэгээс a шулуун руу татсан перпендикуляр гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт.

M 1 цэгээс a шулуун шугам хүртэлх зай нь M 1 ба H 1 цэгүүдийн хоорондох зай юм.

Гэсэн хэдий ч цэгээс шугам хүртэлх зайны хамгийн түгээмэл тодорхойлолт бол перпендикулярын урт юм.

Тодорхойлолт.

Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зай нь өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн шугам руу татсан перпендикулярын урт юм.

Энэ тодорхойлолт нь цэгээс шулуун хүртэлх зайны анхны тодорхойлолттой тэнцүү юм.

Зураг 1

Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зай нь энэ цэгээс өгөгдсөн шугамын цэг хүртэлх зайн хамгийн бага нь гэдгийг анхаарна уу. Үүнийг үзүүлье.

M 1 цэгтэй давхцахгүй a шулуун дээрх Q цэгийг авъя. M 1 Q хэрчмийг M 1 цэгээс a шулуун хүртэл татсан налуу сегмент гэж нэрлэдэг. М 1 цэгээс а шулуун руу татсан перпендикуляр нь M 1 цэгээс а шулуун руу татсан ямар ч ташуугаас бага гэдгийг харуулах хэрэгтэй. Энэ нь үнэн: гурвалжин M 1 QH 1 нь M 1 Q гипотенузтай тэгш өнцөгт хэлбэртэй бөгөөд гипотенузын урт нь хөлийн аль нэгний уртаас үргэлж их байдаг.

Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зай нь тухайн цэгээс шулуун хүртэл татсан перпендикулярын урт юм. Дүрслэх геометрийн хувьд доор өгөгдсөн алгоритмыг ашиглан графикаар тодорхойлно.

Алгоритм

1. Шулуун шугамыг аливаа проекцын хавтгайтай параллель байх байрлалд шилжүүлнэ. Энэ зорилгоор ортогональ проекцийг хувиргах аргыг ашигладаг.
2. Нэг цэгээс шулуун руу перпендикуляр татагдана. Энэхүү бүтээн байгуулалт нь зөв өнцгийн проекцын тухай теорем дээр суурилдаг.
3. Перпендикулярын уртыг проекцийг хувиргах эсвэл тэгш өнцөгт гурвалжны аргыг ашиглан тодорхойлно.

Дараах зурагт CD сегментээр тодорхойлогдсон М цэг ба b шугамын нийлмэл зургийг үзүүлэв. Та тэдгээрийн хоорондох зайг олох хэрэгтэй.

Бидний алгоритмын дагуу хамгийн түрүүнд хийх зүйл бол шугамыг проекцын хавтгайтай параллель байрлал руу шилжүүлэх явдал юм. Өөрчлөлтийг хийсний дараа цэг ба шугамын хоорондох бодит зай өөрчлөгдөх ёсгүй гэдгийг ойлгох нь чухал юм. Тийм ч учраас сансарт хөдөлж буй дүрсийг оролцуулдаггүй онгоцыг солих аргыг ашиглах нь тохиромжтой.

Барилгын эхний шатны үр дүнг доор харуулав. Зураг дээр b-тэй зэрэгцээ нэмэлт урд талын P 4 хавтгайг хэрхэн нэвтрүүлж байгааг харуулж байна. Шинэ системд (P 1, P 4) C"" 1, D"" 1, M"" 1 цэгүүд нь X 1 тэнхлэгээс C"", D"", M""-ээс ижил зайд байна. X тэнхлэг.

Алгоритмын хоёр дахь хэсгийг гүйцэтгэснээр M"" 1-ээс бид перпендикуляр M"" 1 N"" 1-ийг b"" 1 шулуун руу буулгана, учир нь b ба MN хоорондох MND зөв өнцгийг P хавтгайд тусгасан болно. 4 бүрэн хэмжээтэй. Холбооны шугамыг ашиглан бид N" цэгийн байрлалыг тодорхойлж, MN сегментийн M"N" проекцийг гүйцэтгэнэ.

Эцсийн шатанд та MN сегментийн хэмжээг M"N" ба M"" 1 N"" 1 проекцуудаас тодорхойлох хэрэгтэй. Үүний тулд бид барьж байна зөв гурвалжин M"" 1 N"" 1 N 0, түүний хөл N"" 1 N 0 нь X 1 тэнхлэгээс M" ба N" цэгүүдийн зайны зөрүүтэй (Y M 1 – Y N 1) тэнцүү байна. M"" 1 N"" 1 N 0 гурвалжны M"" 1 N 0 гипотенузын урт нь M-ээс b хүртэлх хүссэн зайтай тохирч байна.

Хоёр дахь шийдэл

• CD-тэй зэрэгцэн бид шинэ урд талын P 4 онгоцыг танилцуулж байна. Энэ нь X 1 тэнхлэгийн дагуу P 1, X 1 ∥C"D"-тэй огтлолцоно. Хавтгайг солих аргын дагуу бид зурагт үзүүлсэн шиг C"" 1, D"" 1 ба M"" 1 цэгүүдийн төсөөллийг тодорхойлно.
• C"" 1 D"" 1 перпендикуляраар бид нэмэлт хэвтээ P 5 хавтгайг барьж, түүн дээр b шулуун C" 2 = b" 2 цэг рүү чиглэнэ.
• М цэг ба b шугамын хоорондох зайг улаанаар тэмдэглэсэн M" 2 C" 2 сегментийн уртаар тодорхойлно.

Үүнтэй төстэй ажлууд: