§ 1 Координатын систем: барилгын тодорхойлолт ба арга

Энэ хичээлээр бид "координатын систем", "координатын хавтгай", "координатын тэнхлэгүүд" гэсэн ойлголттой танилцаж, координатыг ашиглан хавтгай дээр цэгүүдийг хэрхэн байгуулах талаар сурах болно.

О эх цэгтэй, эерэг чиглэлтэй, нэгж сегменттэй координатын х шулууныг авцгаая.

Координатын гарал үүсэл, х координатын шугамын О цэгээр бид х-тэй перпендикуляр өөр координатын шугамыг зурж, эерэг чиглэлийг дээшээ чиглүүлж, нэгж сегмент нь ижил байна. Тиймээс бид координатын системийг бий болгосон.

Тодорхойлолт өгье:

Нэг цэг дээр огтлолцсон хоёр харилцан перпендикуляр координатын шугам нь координатын эх үүсвэр болох нь координатын системийг бүрдүүлдэг.

§ 2 Координатын тэнхлэг ба координатын хавтгай

Координатын системийг бүрдүүлдэг шулуун шугамуудыг координатын тэнхлэгүүд гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээр нь тус бүр өөрийн гэсэн нэртэй байдаг: координатын шугам x нь абсцисса тэнхлэг, у координатын шугам нь ордны тэнхлэг юм.

Координатын системийг сонгосон хавтгайг координатын хавтгай гэнэ.

Тодорхойлсон координатын системийг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг. Энэ нь ихэвчлэн Францын философич, математикч Рене Декартыг хүндэтгэн Декартын координатын систем гэж нэрлэгддэг.

Координатын хавтгай дээрх цэг бүр нь хоёр координаттай бөгөөд координатын тэнхлэг дээрх цэгээс перпендикуляруудыг буулгах замаар тодорхойлж болно. Хавтгай дээрх цэгийн координатууд нь хос тоо бөгөөд эхний тоо нь абсцисса, хоёр дахь тоо нь ординат юм. Абсцисса нь х тэнхлэгт перпендикуляр, ордината нь у тэнхлэгт перпендикуляр байна.

Координатын хавтгайд А цэгийг тэмдэглээд түүнээс координатын системийн тэнхлэгүүд рүү перпендикуляр зуръя.

Абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр (х тэнхлэг) дагуу бид А цэгийн абсциссыг тодорхойлно, энэ нь 4-тэй тэнцүү, А цэгийн ординат - ординатын тэнхлэгт перпендикуляр дагуу (y-тэнхлэг) 3. координатууд. бидний оноо 4 ба 3. A (4;3). Тиймээс координатын хавтгай дээрх аль ч цэгийн координатыг олж болно.

§ 3 Хавтгай дээр цэг байгуулах

Өгөгдсөн координат бүхий хавтгай дээр цэгийг хэрхэн яаж барих вэ, i.e. Хавтгай дээрх цэгийн координатыг ашиглан түүний байрлалыг тодорхойлно уу? Энэ тохиолдолд бид алхмуудыг урвуу дарааллаар гүйцэтгэдэг. Координатын тэнхлэгүүд дээр бид өгөгдсөн координатад тохирох цэгүүдийг олж, х, у тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамуудыг зурдаг. Перпендикуляруудын огтлолцох цэг нь хүссэн цэг байх болно, өөрөөр хэлбэл. өгөгдсөн координаттай цэг.

Даалгавраа гүйцээцгээе: координатын хавтгайд M (2;-3) цэгийг байгуул.

Үүний тулд х тэнхлэг дээрх координат 2-той цэгийг олж, энэ цэгээр х тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамыг татна. Ординатын тэнхлэг дээр бид -3 координаттай цэгийг олж, үүгээр дамжуулан y тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамыг зурна. Перпендикуляр шугамуудын огтлолцлын цэг нь байх болно өгсөн онооМ.

Одоо хэд хэдэн онцгой тохиолдлыг авч үзье.

Координатын хавтгайд A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4) цэгүүдийг тэмдэглэе.

Эдгээр цэгүүдийн абсцисс нь 0-тэй тэнцүү байна. Зураг дээр бүх цэгүүд ординатын тэнхлэг дээр байгааг харуулж байна.

Үүний үр дүнд абсцисс нь 0-тэй тэнцүү цэгүүд ординатын тэнхлэг дээр байрладаг.

Эдгээр цэгүүдийн координатыг сольж үзье.

Үр дүн нь A (2;0), B (-3;0) C (4; 0) болно. Энэ тохиолдолд бүх ординатууд нь 0-тэй тэнцүү байх ба цэгүүд нь x тэнхлэг дээр байна.

Энэ нь ординат нь тэгтэй тэнцүү цэгүүд абсцисса тэнхлэг дээр байрладаг гэсэн үг юм.

Өөр хоёр тохиолдлыг авч үзье.

Координатын хавтгайд M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4) цэгүүдийг тэмдэглэнэ.

Цэгүүдийн бүх абсцисс ижил байгааг харахад хялбар байдаг. Хэрэв эдгээр цэгүүд холбогдсон бол та ординатын тэнхлэгтэй параллель, абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамыг авна.

Дүгнэлт нь өөрийгөө харуулж байна: ижил абсциссатай цэгүүд нь ординатын тэнхлэгтэй параллель, абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр байдаг нэг шулуун дээр байрладаг.

Хэрэв та M, N, P цэгүүдийн координатыг сольж байвал M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3) болно. Цэгүүдийн ординатууд ижил байх болно. Энэ тохиолдолд хэрэв та эдгээр цэгүүдийг холбовол абсцисса тэнхлэгтэй параллель, ордны тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамыг авна.

Ийнхүү ординаттай ижил цэгүүд абсцисса тэнхлэгтэй параллель ба ординат тэнхлэгт перпендикуляр нэг шулуун дээр байрладаг.

Энэ хичээлээр та "координатын систем", "координатын хавтгай", "координатын тэнхлэгүүд - абсцисса тэнхлэг ба ординатын тэнхлэг" гэсэн ойлголттой танилцсан. Бид координатын хавтгай дээрх цэгийн координатыг хэрхэн олохыг сурч, түүний координатыг ашиглан хавтгай дээр цэгүүдийг хэрхэн байгуулах талаар сурсан.

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт:

1. Математик. 6-р анги: хичээлийн төлөвлөгөөсурах бичигт I.I. Зубарева, А.Г. Мордкович // Зохиогч эмхэтгэгч Л.А. Топилина. - Mnemosyne, 2009.
2. Математик. 6-р анги: сурагчдад зориулсан сурах бичиг боловсролын байгууллагууд. И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович.- М.: Мнемосине, 2013.
3. Математик. 6-р анги: Ерөнхий боловсролын сургалтын байгууллагын сурах бичиг/Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворов болон бусад/Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина; Оросын Шинжлэх Ухааны Академи, Оросын Боловсролын Академи. - М.: "Гэгээрэл", 2010 он
4. Математикийн гарын авлага - http://lyudmilanik.com.ua
5. Оюутны гарын авлага ахлах сургууль http://shkolo.ru

цэгүүд нь "бүртгэгдсэн" - "оршин суугчид", цэг бүр өөрийн "байшингийн дугаар" - координаттай байдаг. Хэрэв цэгийг онгоцонд авбал "бүртгүүлэх" тулд та зөвхөн "байшингийн дугаар" төдийгүй "орон сууцны дугаар" -ыг зааж өгөх хэрэгтэй. Үүнийг хэрхэн хийснийг танд сануулъя.

Бид хоёр харилцан перпендикуляр координатын шугам зурж, тэдгээрийн огтлолцлын цэг гэж хоёр шугам дээр лавлагааны гарал үүслийг авч үзье - цэг O. Тиймээс, тэгш өнцөгт координатын системийг хавтгай дээр зааж өгсөн (Зураг 20), энэ нь ердийн эргэдэг. онгоцзохицуулах. О цэгийг координатын эх, координатын шугамыг (х тэнхлэг ба у тэнхлэг) координатын тэнхлэг, координатын тэнхлэгээр үүссэн тэгш өнцгийг координатын өнцөг гэнэ. Координатын тэгш өнцөгт өнцгийг 20-р зурагт үзүүлсний дагуу дугаарлав.

Одоо тэгш өнцөгт координатын системийг дүрсэлж, M цэгийг тэмдэглэсэн 21-р зураг руу оръё.Түүгээр y тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам татъя. Шулуун шугам нь х тэнхлэгийг тодорхой цэг дээр огтолж, энэ цэг нь координаттай - x тэнхлэг дээр. Зураг 21-т үзүүлсэн цэгийн хувьд энэ координат нь -1.5-тай тэнцүү, үүнийг M цэгийн абсцисса гэж нэрлэдэг. Дараа нь бид M цэгээр х тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зурна. Шулуун шугам нь у тэнхлэгийг тодорхой цэгээр огтолж, энэ цэг нь координаттай - y тэнхлэг дээр.

21-р зурагт үзүүлсэн М цэгийн хувьд энэ координат нь 2-той тэнцүү, үүнийг М цэгийн ординат гэж нэрлэдэг. Товчхондоо дараах байдлаар бичнэ: M (-1.5; 2). Нэгдүгээрт абсцисс, хоёрдугаарт ординат бичнэ. Шаардлагатай бол тэмдэглэгээний өөр хэлбэрийг ашиглана: x = -1.5; y = 2.

Тайлбар 1 . Практикт М цэгийн координатыг олохын тулд ихэвчлэн координатын тэнхлэгүүдтэй параллель, М цэгийг дайран өнгөрөх шулуунуудын оронд эдгээр шулуун шугамын М цэгээс координатын тэнхлэг хүртэлх хэсгүүдийг байгуулдаг (Зураг 22).

Тайлбар 2. Өмнөх догол мөрөнд бид тоон интервалын өөр өөр тэмдэглэгээг танилцуулсан. Ялангуяа бидний тохиролцсоны дагуу (3, 5) тэмдэглэгээ нь координатын шугам дээр 3 ба 5-р цэгүүдэд төгсгөлтэй интервалыг авч үздэг гэсэн үг юм. Энэ хэсэгт бид хос тоог цэгийн координат гэж үздэг; жишээ нь, (3; 5) нь дээр байгаа цэг юм координатын хавтгайабсцисса 3 ба ординат 5. Бидний ярьж буй зүйлийг симболын тэмдэглэгээнээс хэрхэн зөв тодорхойлох вэ: интервал эсвэл цэгийн координат? Ихэнхдээ энэ нь текстээс тодорхой харагддаг. Хэрэв тодорхойгүй бол яах вэ? Нэг нарийн ширийн зүйлийг анхаарч үзээрэй: бид таслалыг интервал, цэгтэй таслалыг координатыг зааж өгсөн. Энэ нь мэдээжийн хэрэг тийм ч чухал биш, гэхдээ ялгаа хэвээр байна; бид үүнийг ашиглах болно.

Оруулсан нэр томъёо, тэмдэглэгээг харгалзан хэвтээ координатын шугамыг абсцисса буюу х тэнхлэг, босоо координатын шугамыг ординатын тэнхлэг буюу у тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системийг зааж өгөхдөө x, y тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг (20-р зургийг үз) ба ихэвчлэн ингэж хэлдэг: xOy координатын систем өгөгдсөн. Гэсэн хэдий ч бусад тэмдэглэгээ байдаг: жишээлбэл, Зураг 23-т tOs координатын системийг зааж өгсөн болно.
Тэгш өнцөгт координатын xOy системд заасан М цэгийн координатыг олох алгоритм

Зураг 21-ийн М цэгийн координатыг олохдоо яг ийм зүйл хийсэн. Хэрэв М 1 (х; у) цэг нь эхний координатын өнцөгт хамаарах бол x > 0, y > 0; хэрэв M 2 (x; y) цэг нь хоёр дахь координатын өнцөгт хамаарах бол x< 0, у >0; хэрэв M 3 (x; y) цэг нь координатын гурав дахь өнцөгт хамаарах бол x< О, у < 0; если точка М 4 (х; у) принадлежит четвертому координатному углу, то х >OU< 0 (рис. 24).

Хэрэв координатыг нь олох шаардлагатай цэг нь координатын тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд орвол яах вэ? А цэгийг х тэнхлэг дээр, В цэгийг у тэнхлэг дээр хэвтүүлнэ (Зураг 25). А цэгээр дамжуулан у тэнхлэгтэй параллель шугам зурж, энэ шугамын х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олох нь утгагүй, учир нь ийм огтлолцлын цэг аль хэдийн байдаг - энэ бол А цэг, түүний координат (абсцисса) 3. Үүний нэгэн адил цэгээр зурах шаардлагагүй Мөн х тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам нь х тэнхлэг нь өөрөө бөгөөд энэ нь у тэнхлэгийг О цэг дээр координат (ординат) 0-тэй огтлолцдог. Үүний үр дүнд А цэгийн хувьд бид A(3; 0)-ийг авна. Үүний нэгэн адил B цэгийн хувьд бид B(0; - 1.5)-ийг авна. Мөн O цэгийн хувьд бид O(0; 0) байна.

Ерөнхийдөө x тэнхлэг дээрх дурын цэг нь координаттай (х; 0), у тэнхлэгийн аль ч цэг (0; у) координаттай байдаг.

Тиймээс бид координатын хавтгай дахь цэгийн координатыг хэрхэн олох талаар ярилцав. Урвуу асуудлыг хэрхэн шийдэх вэ, өөрөөр хэлбэл координатыг өгөөд харгалзах цэгийг хэрхэн яаж барих вэ? Алгоритм боловсруулахын тулд бид хоёр туслах, гэхдээ нэгэн зэрэг чухал үндэслэлийг хийх болно.

Эхний үндэслэл. Би xOy координатын системд у тэнхлэгтэй параллель ба х тэнхлэгийг координат (абсцисса) 4-тэй цэгээр огтолж зуръя.

(Зураг 26). Энэ шулуун дээр байрлах аливаа цэг нь абсциссатай 4. Тэгэхээр M 1, M 2, M 3 цэгүүдийн хувьд M 1 (4; 3), M 2 (4; 6), M 3 (4; - 2) байна. Өөрөөр хэлбэл, шулуун дээрх дурын М цэгийн абсцисса нь x = 4 нөхцөлийг хангана. Тэд x = 4 - гэж хэлдэг. тэгшитгэл l шугам эсвэл тэр I шугам нь x = 4 тэгшитгэлийг хангана.

Зураг 27-д x = - 4 (I мөр 1), x = - 1 тэгшитгэлийг хангасан шулуун шугамуудыг үзүүлэв.
(шулуун I 2) x = 3.5 (шулуун I 3). Аль шугам x = 0 тэгшитгэлийг хангах вэ? Та таамагласан уу? Y тэнхлэг

Хоёр дахь үндэслэл. X тэнхлэгтэй параллель, координат (ординат) 3-тай цэг дээр у тэнхлэгийг огтолж буй I шулууныг xOy координатын системд зуръя (Зураг 28). Энэ шулуун дээр байрлах аливаа цэгийн ординат нь 3 байна. Тэгэхээр M 1, M 2, M 3 цэгүүдийн хувьд: M 1 (0; 3), M 2 (4; 3), M 3 (- 2; 3) байна. ). Өөрөөр хэлбэл, I шулууны аль ч М цэгийн ординат нь y = 3 нөхцөлийг хангадаг. Тэд у = 3 нь I шугамын тэгшитгэл эсвэл I шулуун нь у = 3 тэгшитгэлийг хангадаг гэж хэлдэг.

Зураг 29-д y = - 4 (шулуун шугам l 1), y = - 1 (шулуун шугам I 2), y = 3.5 (шулуун шугам I 3) - тэгшитгэлийг хангасан шулуун шугамуудыг үзүүлэв. 01 Та таамагласан уу? x тэнхлэг

Товчхон байхыг эрмэлздэг математикчид "х = 4 тэгшитгэлийг хангасан шугам" биш "х = 4 шугам" гэж хэлдэг болохыг анхаарна уу. Үүний нэгэн адил тэд "y = 3 тэгшитгэлийг хангасан шугам" гэхээсээ илүү "у = 3 шугам" гэж хэлдэг. Бид ч мөн адил хийх болно. Одоо 21-р зураг руу буцъя. Тэнд дүрслэгдсэн М (- 1.5; 2) цэг нь x = -1.5 шулуун ба y = 2 шулуун шугамын огтлолцох цэг гэдгийг анхаарна уу. Одоо харагдаж байна. цэг байгуулах алгоритм нь түүний өгөгдсөн координатын дагуу тодорхой болно.

Тэгш өнцөгт координатын систем xOy дотор M (a; b) цэгийг байгуулах алгоритм

ЖИШЭЭ xOy координатын системд A (1; 3), B (- 2; 1), C (4; 0), D (0; - 3) гэсэн цэгүүдийг байгуул.

Шийдэл. А цэг нь x = 1 ба y = 3 шулуунуудын огтлолцох цэг юм (30-р зургийг үз).

B цэг нь x = - 2 ба y = 1 шулуунуудын огтлолцох цэг юм (Зураг 30). С цэг нь x тэнхлэгт, D цэг нь у тэнхлэгт хамаарна (30-р зургийг үз).

Хэсгийн төгсгөлд бид анх удаа хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системийг алгебрийг орлуулахын тулд идэвхтэй ашиглаж эхэлснийг тэмдэглэв. загваруудФранцын геометрийн гүн ухаантан Рене Декарт (1596-1650). Тиймээс заримдаа "Картезийн координатын систем", "Картезийн координат" гэж хэлдэг.

Сэдвүүдийн бүрэн жагсаалт, ангиллын дагуу хуанлийн төлөвлөгөө сургуулийн сургалтын хөтөлбөрматематикийн онлайн, видео материал 7-р ангид зориулсан математикийн хичээл татаж авах

А.В.Погорелов, 7-11-р ангийн геометр, боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг

Хичээлийн агуулга хичээлийн тэмдэглэлдэмжих хүрээ хичээл танилцуулга хурдасгах аргууд интерактив технологи Дасгал хийх даалгавар, дасгал бие даан шалгах семинар, сургалт, кейс, даалгавар бие даалт хэлэлцүүлгийн асуултууд сурагчдын уран илтгэлийн асуулт Зураглал аудио, видео клип, мультимедиагэрэл зураг, зураг, график, хүснэгт, диаграмм, хошигнол, анекдот, хошигнол, хошин шог, сургаалт зүйрлэл, хэллэг, кроссворд, ишлэл Нэмэлтүүд хураангуйнийтлэл, сониуч хүүхдийн ор сурах бичиг, нэр томьёоны үндсэн болон нэмэлт толь бичиг бусад Сурах бичиг, хичээлийг сайжруулахсурах бичгийн алдааг засахсурах бичгийн хэсэг, хичээл дэх инновацийн элементүүдийг шинэчлэх, хуучирсан мэдлэгийг шинэ зүйлээр солих Зөвхөн багш нарт зориулагдсан төгс хичээлүүджилийн хуанлийн төлөвлөгөө удирдамжхэлэлцүүлгийн хөтөлбөрүүд Нэгдсэн хичээлүүд

Хичээлийн ерөнхий сэдэв дэх газар:

Ерөнхий сэдэв "Эерэг ба сөрөг тоо"

Энэ бол "Координат" сэдвээр 1 хичээл юм.

• оюутнууд эерэг ба тодорхойлолтыг мэддэг сөрөг тоонууд
• оюутнууд координатын шугамын тухай ойлголтыг мэддэг
• координатын шулуун дээрх цэгүүдийн координатыг тодорхойлох чадвартай
• өгөгдсөн координатын дагуу координатын шулуун дээрх цэгүүдийг тэмдэглэх чадвартай

Хичээлийн зорилго:

1) боловсролын:

• координатын тухай ойлголтыг танилцуулна
• координатын систем, координатын тэнхлэг, координатын хавтгай гэсэн ойлголтыг танилцуулах
• цэгийн координатын тухай ойлголтыг танилцуулах: абсцисса ба ординат
• цэгийн координатыг тодорхойлохыг заах
• координатын хавтгай дээрх цэгүүдийг өгөгдсөн координатын дагуу тэмдэглэхийг заах
• Дасгал хийх явцад олж авсан мэдлэгээ нэгтгэх

2) хөгжүүлэх:

• оюутнуудад оюун санааны болон практик үйлдлийг гүйцэтгэх эерэг сэдлийг бий болгох
• оюутнуудын харилцааны болон мэдээллийн чадварыг хөгжүүлэх
• оюутнуудын зөвхөн агуулгын хувьд төдийгүй мэдлэг олж авах үйл явцын сонирхлыг хөгжүүлэхэд тусална
• олж авсан мэдлэгээ хэрэгжүүлэх чадварыг хөгжүүлэх тодорхой нөхцөл байдал
• хөгжүүлэх логик сэтгэлгээ, санах ой, бие даасан байдал

3) өсгөх:

1. оюутнуудад зөвхөн математикийн төдийгүй сургуулийн мэдлэгийн бусад чиглэлээр ангидаа мэдлэгээ харуулах боломжоос сэтгэл ханамжийн мэдрэмжийг бий болгох.
2. математик судлах сонирхлыг хөгжүүлэх
3. сурагчдын оюун ухааны цар хүрээг өргөжүүлэх, сургуулийн сурагчдад математикийн нийгмийн түүхэнд гүйцэтгэх үүргийг илүү сайн ойлгоход нь туслах
4. сахилга бат, зохион байгуулалтыг төлөвшүүлэх

Хичээлийн төрөл:шинэ мэдлэг сурах хичээл

Хичээлийн төрлөөс хамааран хичээлийн дараах үе шатуудыг сонгосон

• Зохион байгуулах цаг
• шинэчилж байна
• шинэ материалыг идэвхтэй, ухамсартайгаар шингээхэд бэлтгэх
• шинэ материал сурах
• ойлгох дасгалууд
• мэдлэгийг нэгтгэх, системчлэх
• хичээлийн хураангуй
• гэрийн даалгаврын зарлал

Хичээлийн үеэр

I. Зохион байгуулалтын мөч.

Мэндчилгээ. Хичээлийн сэдэв, зорилтын талаар оюутнуудад урт хугацааны зорилго тавих.

II. Аман ажил

Оюутнуудыг шинэ материалыг идэвхтэй, ухамсартай сурахад бэлтгэх зорилготой.

Координатууд амьдралын нөхцөл байдалмаш өргөн хэрэглэгддэг.

1. Координатыг амьдралд хэрхэн ашигладаг талаар жишээ хэлнэ үү.

2. Суралцагчдыг ярилцсан жишээн дээр үндэслэн координатын тухай ойлголтыг өгөхөд урь.

III. Шинэ материал сурах.

1. Координатын систем, координатын хавтгай гэсэн ойлголтыг танилцуулна.

Суралцагчдаас зургийг харж, юу харуулж байгааг хэлэх эсвэл асуултанд хариулахыг хүсдэг.

Зураг нь координатын шугамыг харуулсан гэж хэлж болох уу? Яагаад?

Эдгээр шугамууд хоорондоо ямар өнцгөөр байрладаг вэ?

Эдгээр шугамын огтлолцлын цэгийг тодорхойл.

Бичлэг танд юуг сануулж байна вэ? Энэ нь координатын шулуун дээр цэгийн координатыг бичихээс юугаараа ялгаатай вэ?

А цэгээс координатын шугам руу сумнууд ямар өнцгөөр татагдсан бэ?

Сумнууд болон тэмдэглэгээгээр заасан координатын шугамын цэгүүд ямар хамааралтай вэ?

Сурагчдын хариултыг сонс. Дүгнэлт хийж, координатын систем, координатын тэнхлэг, координатын хавтгай, цэгийн координатын тухай ойлголтыг танилцуулна.

Цэгийн координат гэдэг нь хавтгай дээрх цэгийн байрлалыг тодорхойлох хос тоо бөгөөд эхний байранд абсцисс, хоёрдугаарт энэ цэгийн ординат байна.

2. Заасан цэгүүдийн координатыг тодорхойлох дүрмийг оруулна.

Оюутнууд зургийг харж, тэмдэглэсэн цэгүүдийн координатыг тодорхойлохыг хүснэ.

Суралцагчдаас цэгийн координатыг тодорхойлох дүрмийг боловсруулахыг хүс. Үүнийг давт.

Цэгийн координатыг тодорхойлохын тулд цэгээс перпендикуляруудыг координатын тэнхлэгүүд рүү буулгаж, перпендикулярын суурь нь координатын тэнхлэгт ямар тоотой тохирч байгааг тодорхойлох хэрэгтэй.

Энэ дүрмийг бататгахын тулд оюутнуудыг дэлгэцэн дээр харуулсан координатын хавтгайн тэмдэглэсэн цэгүүдийн координатыг бие даан тодорхойлохыг хүснэ. Дараа нь дэлгэцэн дээр байгаа зүйлээр шийдлээ шалгаарай.

3. Мэдэгдэж буй координатуудыг ашиглан координатын хавтгай дээрх цэгийн байрлалыг тодорхойлох.

Оюутнуудад өгөгдсөн координат бүхий цэгийг өгдөг. Даалгавар нь мэдэгдэж буй координатуудыг ашиглан координатын хавтгай дээрх цэгийн байрлалыг тодорхойлох явдал юм.

Координатын хавтгай дээрх цэгийн байрлалыг тодорхойлох дүрмийг зохио.

Координатын хавтгай дээрх цэгийн байрлалыг тодорхойлохын тулд тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугам зурж, тэдгээрийн огтлолцлын цэгийг олох хэрэгтэй.

IV. Судалсан материалыг нэгтгэх.

1. Оюутнууд дэвтэртээ солбицлын хавтгай байгуулж, заасан координатаар цэгүүдийг тэмдэглэж, дараа нь баталгаажуулахыг даалгана.

2. Нөөц ажил. Тэгш өнцөгтийн оройн координат нь мэдэгдэж байгаа бол түүний талбайг ол.

V. Хичээлийг дүгнэж байна. Дүгнэлт.

Та өнөөдөр ангидаа ямар шинэ зүйл сурсан бэ? Та юу сурсан бэ?

Та ямар ойлголттой танилцсан бэ?

Та өнөөдөр ямар дүрмийг сурсан бэ?

VI. Гэрийн даалгавар.

Практик даалгавар:Координатын системийг дөрвөлжин цаасан дээр зурж, 1 см урт (хоёр дэвтрийн дөрвөлжин) нэг сегментийг ав. Арван цэгийн координатыг заалгүйгээр санамсаргүй байдлаар тэмдэглэ.

Координатын хавтгайн тухай ойлголт

Объект бүр (жишээлбэл, байшин, танхимын газар, газрын зураг дээрх цэг) өөрийн гэсэн захиалгат хаягтай (координат), тоон эсвэл үсгийн тэмдэглэгээтэй байдаг.

Математикчид объектын байрлалыг тодорхойлох боломжийг олгодог загвар зохион бүтээжээ координатын хавтгай.

Координатын хавтгайг бүтээхийн тулд та $2$ хэмжээтэй перпендикуляр шулуун шугам зурах хэрэгтэй бөгөөд төгсгөлд нь "баруун тийш" ба "дээш" чиглэлийг сумаар зааж өгсөн болно. Шугамануудад хуваалт хийх ба шугамын огтлолцлын цэг нь хоёр масштабын тэг тэмдэг юм.

Тодорхойлолт 1

хэвтээ шугам гэж нэрлэдэг x тэнхлэгба х-ээр тэмдэглэгдсэн, босоо шугамыг дуудна у тэнхлэгба y-ээр тэмдэглэнэ.

Хуваалттай хоёр перпендикуляр х ба у тэнхлэг бүрддэг тэгш өнцөгт, эсвэл Декарт, координатын систем, үүнийг Францын философич, математикч Рене Декарт санал болгосон.

Координатын хавтгай

Цэгийн координат

Координатын хавтгай дээрх цэгийг хоёр координатаар тодорхойлно.

Координатын хавтгай дээрх $A$ цэгийн координатыг тодорхойлохын тулд координатын тэнхлэгүүдтэй параллель шулуун шугамыг зурах хэрэгтэй (зураг дээр тасархай шугамаар тэмдэглэсэн). Шугамын х тэнхлэгтэй огтлолцох нь $A$ цэгийн $x$ координатыг, у тэнхлэгтэй огтлолцох нь $A$ цэгийн у координатыг өгнө. Цэгийн координатыг бичихдээ эхлээд $x$ координат, дараа нь $y$ координат бичнэ.

Зураг дээрх $A$ цэг нь $(3; 2)$, $B (–1; 4)$ цэгийн координаттай байна.

Координатын хавтгай дээрх цэгийг зурахын тулд урвуу дарааллаар үргэлжлүүлнэ үү.

Заасан координат дээр цэг байгуулах

Жишээ 1

Координатын хавтгайд $A(2;5)$ ба $B(3; –1) цэгүүдийг байгуул.

Шийдэл.

$A$ цэгийг барих:

• $2$ тоог $x$ тэнхлэгт тавиад перпендикуляр шугам татах;
• Y тэнхлэг дээр бид $5$ тоог зурж $y$ тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамыг зурна. Перпендикуляр шулуунуудын огтлолцол дээр $(2; 5)$ координаттай $A$ цэгийг олж авна.

$B$ цэгийг барих:

• $3$ тоог $x$ тэнхлэг дээр зурж, x тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамыг зурцгаая;
• $y$ тэнхлэг дээр бид $(–1)$ тоог зурж $y$ тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамыг зурна. Перпендикуляр шулуунуудын огтлолцол дээр $(3; –1)$ координаттай $B$ цэгийг олж авна.

Жишээ 2

Өгөгдсөн $C (3; 0)$ ба $D(0; 2)$ координат бүхий координатын хавтгай дээр цэгүүдийг байгуул.

Шийдэл.

$C$ цэгийг барих:

• $3$ тоог $x$ тэнхлэгт тавих;
• $y$ координат нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь $C$ цэг $x$ тэнхлэгт байрлана гэсэн үг.

$D$ цэгийг барих:

• $2$ тоог $y$ тэнхлэгт тавих;
• $x$ координат нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь $D$ цэг $y$ тэнхлэгт байрлана гэсэн үг.

Тайлбар 1

Иймд $x=0$ координат дээр цэг нь $y$ тэнхлэг дээр, $y=0$ координат дээр цэг нь $x$ тэнхлэг дээр байрлана.

Жишээ 3

A, B, C, D цэгүүдийн координатыг тодорхойлно.$

Шийдэл.

$A$ цэгийн координатыг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд бид $2$ цэгээр координатын тэнхлэгүүдтэй параллель шулуун шугамуудыг татна. Шугамын х тэнхлэгтэй огтлолцвол $x$ координат, у тэнхлэгтэй огтлолцох нь $y$ координатыг өгнө. Ийнхүү бид $A (1; 3) цэгийг олж авна

$B$ цэгийн координатыг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд бид $2$ цэгээр координатын тэнхлэгүүдтэй параллель шулуун шугамуудыг татна. Шугамын х тэнхлэгтэй огтлолцвол $x$ координат, у тэнхлэгтэй огтлолцох нь $y$ координатыг өгнө. Бид $B (–2; 4) цэгийг олдог.$

$C$ цэгийн координатыг тодорхойлъё. Учир нь энэ нь $y$ тэнхлэг дээр байрласан бол энэ цэгийн $x$ координат тэг болно. y координат нь $–2$ байна. Тиймээс $C (0; –2)$ цэг.

$D$ цэгийн координатыг тодорхойлъё. Учир нь $x$ тэнхлэг дээр байвал $y$ координат тэг болно. Энэ цэгийн $x$ координат нь $–5$ байна. Тиймээс $D цэг (5; 0).$

Жишээ 4

$E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0) цэгүүдийг байгуул.$

Шийдэл.

$E$ цэгийг барих:

• $(–3)$ тоог $x$ тэнхлэгт тавиад перпендикуляр шугам татах;
• $y$ тэнхлэг дээр бид $(–2)$ тоог зурж, $y$ тэнхлэгт перпендикуляр шугам зурна;
• перпендикуляр шулуунуудын огтлолцол дээр $E (–3; –2) цэгийг авна.$

$F$ цэгийг барих:

• координат $y=0$, энэ нь цэг нь $x$ тэнхлэг дээр байрладаг гэсэн үг;
• $5$ тоог $x$ тэнхлэг дээр зурж $F(5; 0) цэгийг олъё.

$G$ цэгийг барих:

• $3$ тоог $x$ тэнхлэгт тавиад $x$ тэнхлэгт перпендикуляр шугам татах;
• $y$ тэнхлэг дээр бид $4$ тоог зурж $y$ тэнхлэгт перпендикуляр шугам зурна;
• перпендикуляр шулуунуудын огтлолцол дээр $G(3; 4) цэгийг авна.$

$H$ цэгийг барих:

• координат $x=0$, энэ нь цэг нь $y$ тэнхлэгт байрладаг гэсэн үг;
• $(–4)$ тоог $y$ тэнхлэг дээр зурж $H(0;–4) цэгийг олъё.

$O$ цэгийг барих:

• цэгийн координат хоёулаа тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь цэг нь $y$ тэнхлэг ба $x$ тэнхлэгт нэгэн зэрэг оршдог тул энэ нь хоёр тэнхлэгийн огтлолцлын цэг (координатын эхлэл) юм.

Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем нь хоёр харилцан перпендикуляр координатын X’X ба Y'Y тэнхлэгээр үүсгэгддэг. Координатын тэнхлэгүүд нь О цэг дээр огтлолцдог бөгөөд үүнийг эх гэж нэрлэдэг бөгөөд тэнхлэг тус бүр дээр эерэг чиглэл сонгогддог.Тэнхлэгүүдийн эерэг чиглэлийг (баруун гарт координатын системд) X'X тэнхлэгийг эргүүлэх үед сонгосон. цагийн зүүний эсрэг 90°, түүний эерэг чиглэл нь Y'Y тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй давхцдаг. X'X ба Y'Y координатын тэнхлэгүүдээс үүссэн дөрвөн өнцгийг (I, II, III, IV) координатын өнцөг гэж нэрлэдэг (1-р зургийг үз).

Хавтгай дээрх А цэгийн байрлалыг х ба у хоёр координатаар тодорхойлно. Х координат нь OB сегментийн урттай, у координат нь сонгосон хэмжилтийн нэгж дэх OC сегментийн урттай тэнцүү байна. OB ба OC сегментүүд нь А цэгээс Y’Y ба X’X тэнхлэгт параллель татсан шугамаар тодорхойлогддог. х координатыг А цэгийн абсцисса, у координатыг А цэгийн ординат гэнэ.Үүнийг дараах байдлаар бичнэ: A(x, y).

Хэрэв А цэг нь координатын I өнцөгт оршдог бол А цэг нь эерэг абсцисса ба ординататай байна. Хэрэв А цэг нь II координатын өнцөгт оршдог бол А цэг нь сөрөг абсцисса ба эерэг ординаттай байна. Хэрэв А цэг нь координатын III өнцөгт оршдог бол А цэг нь сөрөг абсцисса ба ординататай байна. Хэрэв А цэг нь координатын IV өнцөгт оршдог бол А цэг нь эерэг абсцисса ба сөрөг ординаттай байна.

Орон зай дахь тэгш өнцөгт координатын систем OX, OY, OZ харилцан перпендикуляр гурван координатын тэнхлэгээр үүсгэгддэг. Координатын тэнхлэгүүд нь гарал үүсэл гэж нэрлэгддэг О цэг дээр огтлолцдог бөгөөд тэнхлэг тус бүр дээр эерэг чиглэлийг сонгож, сумаар зааж, тэнхлэг дээрх сегментүүдийн хэмжилтийн нэгжийг сонгоно. Хэмжилтийн нэгжүүд бүх тэнхлэгт ижил байна. OX - abscissa тэнхлэг, OY - ординатын тэнхлэг, OZ - хэрэглэх тэнхлэг. Тэнхлэгүүдийн эерэг чиглэлийг сонгосон бөгөөд ингэснээр OX тэнхлэгийг цагийн зүүний эсрэг 90 ° эргүүлэхэд түүний эерэг чиглэл нь OZ тэнхлэгийн эерэг чиглэлээс ажиглагдвал OY тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй давхцдаг. Ийм координатын системийг баруун гар гэж нэрлэдэг. Хэрэв эрхий хуруу баруун гар X чиглэлийг X чиглэл, индекс нэгийг Y чиглэл, дунд хэсгийг Z чиглэл болгон авбал баруун гар координатын систем үүснэ. Зүүн гарын ижил төстэй хуруунууд нь зүүн координатын системийг бүрдүүлдэг. Харгалзах тэнхлэгүүд давхцахын тулд баруун ба зүүн координатын системийг нэгтгэх боломжгүй (2-р зургийг үз).

А цэгийн орон зайн байрлалыг x, y, z гэсэн гурван координатаар тодорхойлно. х координат нь OB сегментийн урттай тэнцүү, у координат нь OC сегментийн урт, z координат нь сонгосон хэмжилтийн нэгж дэх OD сегментийн урт юм. OB, OC ба OD хэрчмүүд нь А цэгээс YOZ, XOZ, XOY хавтгайтай параллель татсан хавтгайгаар тодорхойлогддог. х координатыг А цэгийн абсцисса, у координатыг А цэгийн ординат, z координатыг А цэгийн аппликейшн гэнэ.Үүнийг дараах байдлаар бичнэ: A(a, b, c).

Орти

Тэгш өнцөгт координатын системийг (ямар ч хэмжигдэхүүнтэй) координатын тэнхлэгүүдтэй зэрэгцүүлсэн нэгж векторуудын багцаар дүрсэлсэн байдаг. Нэгж векторын тоо нь координатын системийн хэмжээстэй тэнцүү бөгөөд тэдгээр нь бүгд бие биедээ перпендикуляр байна.

Гурван хэмжээст тохиолдолд ийм нэгж векторуудыг ихэвчлэн тэмдэглэдэг би j кэсвэл д x д y д z. Энэ тохиолдолд координатын баруун талын системийн хувьд векторуудын вектор үржвэртэй дараах томъёонууд хүчинтэй байна.

• [би j]=к ;
• [j к]=би ;
• [к би]=j .

Өгүүллэг

Тэгш өнцөгт координатын системийг анх Рене Декарт 1637 онд "Аргын тухай яриа" бүтээлдээ нэвтрүүлсэн. Тиймээс тэгш өнцөгт координатын системийг бас нэрлэдэг - Декартын координатын систем. Геометрийн объектуудыг дүрслэх координатын арга нь аналитик геометрийн эхлэлийг тавьсан юм. Пьер Ферма мөн координатын аргыг хөгжүүлэхэд хувь нэмрээ оруулсан боловч түүний бүтээлүүд нас барсны дараа анх хэвлэгджээ. Декарт, Фермат нар координатын аргыг зөвхөн хавтгайд ашигласан.

Координатын арга гурван хэмжээст орон зайАнх 18-р зуунд Леонхард Эйлер ашигласан.

бас үзнэ үү

Холбоосууд

Викимедиа сан. 2010 он.

Бусад толь бичгүүдээс "Координатын хавтгай" гэж юу болохыг хараарай.

огтлох онгоц- (Pn) Харгалзах цэгийн зүсэлтийн ирмэгтэй шүргэгч координатын хавтгай ба үндсэн хавтгайд перпендикуляр. [...

Топографийн хувьд эргэн тойронд байгаа төсөөллийн шугамын сүлжээ Дэлхийөргөргийн болон меридианаль чиглэлд, үүний тусламжтайгаар та дэлхийн гадаргуу дээрх аль ч цэгийн байрлалыг нарийн тодорхойлох боломжтой. Өргөргийг экватороос хэмждэг - их тойрог ... ... Газарзүйн нэвтэрхий толь бичиг

Топографийн хувьд дэлхийн бөмбөрцгийг өргөрөг ба меридианаль чиглэлд тойрсон төсөөллийн шугамын сүлжээ бөгөөд тэдгээрийн тусламжтайгаар дэлхийн гадаргын аль ч цэгийн байрлалыг нарийн тодорхойлох боломжтой. Өргөргийг их тойргийн экватороос хэмждэг,...... ... Коллиерийн нэвтэрхий толь бичиг

Энэ нэр томъёо нь өөр утгатай, харна уу Фазын диаграм. Фазын хавтгай нь координатын тэнхлэгүүдийн дагуу дурын хоёр хувьсагчийг (фазын координат) дүрсэлсэн координатын хавтгай бөгөөд системийн төлөвийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог... ... Wikipedia

үндсэн зүсэх онгоц- (Pτ) Үндсэн ба огтлох хавтгайн огтлолцолтой перпендикуляр солбицлын хавтгай. [ГОСТ 25762 83] Сэдэв: зүсэх боловсруулалт Ерөнхий нэр томьёо: координатын хавтгайн систем ба координатын хавтгай... Техникийн орчуулагчийн гарын авлага

багажийн үндсэн зүсэх онгоц- (Pτi) Багажны үндсэн ба зүсэх хавтгайн огтлолцох шугамтай перпендикуляр солбицлын хавтгай. [ГОСТ 25762 83] Сэдэв: зүсэх боловсруулалт Ерөнхий нэр томьёо: координатын хавтгайн систем ба координатын хавтгай... Техникийн орчуулагчийн гарын авлага

багаж зүсэгч онгоц- (Pni) Харгалзан үзэж буй цэгийн зүсэлтийн ирмэгтэй шүргэгч координатын хавтгай ба багажийн үндсэн хавтгайд перпендикуляр. [ГОСТ 25762 83] Зүсэх боловсруулалтын сэдэв Координатын хавтгай системийн ерөнхий нэр томъёо ба... ... Техникийн орчуулагчийн гарын авлага

кинематик үндсэн огтлох хавтгай- (Pτк) Кинематик үндсэн хавтгай ба огтлох хавтгайн огтлолцох шугамтай перпендикуляр солбицлын хавтгай ... Техникийн орчуулагчийн гарын авлага

кинематик огтлох онгоц- (Pnк) Кинематик үндсэн хавтгайд перпендикуляр бөгөөд авч үзэж буй цэгийн зүсэлтийн ирмэгтэй шүргэгч координатын хавтгай ... Техникийн орчуулагчийн гарын авлага

үндсэн онгоц- (Pv) Энэ цэг дэх үндсэн буюу үүсэх зүсэлтийн хөдөлгөөний хурдны чиглэлд перпендикуляр зүсэх ирмэг дээрх сонирхлын цэгээр татсан координатын хавтгай. Тайлбар Багажны координатын системд чиглэл ... ... Техникийн орчуулагчийн гарын авлага