1-ээс 10 хүртэлх тооны чадлын хүснэгт. Онлайн чадлын тооцоолуур. Интерактив хүснэгт, зэрэглэлийн хүснэгтийн зургийг өндөр чанартайгаар.

Зэрэг тооцоолуур

Тоо

Зэрэг

Тооцоол Тодорхой

\эхлэх(зэрэгцүүлэх) \төгсгөл(зэрэгцүүлэх)

Энэхүү тооцоолуураар та ямар ч натурал тооны хүчийг онлайнаар тооцоолж болно. Тоо, зэрэглэлээ оруулаад "тооцоолох" товчийг дарна уу.

1-ээс 10 хүртэлх градусын хүснэгт

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1н	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2н	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
3 n	3	9	27	81	243	729	2187	6561	19683	59049
4н	4	16	64	256	1024	4096	16384	65536	262144	1048576
5н	5	25	125	625	3125	15625	78125	390625	1953125	9765625
6н	6	36	216	1296	7776	46656	279936	1679616	10077696	60466176
7н	7	49	343	2401	16807	117649	823543	5764801	40353607	282475249
8н	8	64	512	4096	32768	262144	2097152	16777216	134217728	1073741824
9н	9	81	729	6561	59049	531441	4782969	43046721	387420489	3486784401
10н	10	100	1000	10000	100000	1000000	10000000	100000000	1000000000	10000000000

1-ээс 10 хүртэлх градусын хүснэгт

1 1 = 1 1 2 = 1 1 3 = 1 1 4 = 1 1 5 = 1 1 6 = 1 1 7 = 1 1 8 = 1 1 9 = 1 1 10 = 1	2 1 = 2 2 2 = 4 2 3 = 8 2 4 = 16 2 5 = 32 2 6 = 64 2 7 = 128 2 8 = 256 2 9 = 512 2 10 = 1024	3 1 = 3 3 2 = 9 3 3 = 27 3 4 = 81 3 5 = 243 3 6 = 729 3 7 = 2187 3 8 = 6561 3 9 = 19683 3 10 = 59049	4 1 = 4 4 2 = 16 4 3 = 64 4 4 = 256 4 5 = 1024 4 6 = 4096 4 7 = 16384 4 8 = 65536 4 9 = 262144 4 10 = 1048576	5 1 = 5 5 2 = 25 5 3 = 125 5 4 = 625 5 5 = 3125 5 6 = 15625 5 7 = 78125 5 8 = 390625 5 9 = 1953125 5 10 = 9765625
6 1 = 6 6 2 = 36 6 3 = 216 6 4 = 1296 6 5 = 7776 6 6 = 46656 6 7 = 279936 6 8 = 1679616 6 9 = 10077696 6 10 = 60466176	7 1 = 7 7 2 = 49 7 3 = 343 7 4 = 2401 7 5 = 16807 7 6 = 117649 7 7 = 823543 7 8 = 5764801 7 9 = 40353607 7 10 = 282475249	8 1 = 8 8 2 = 64 8 3 = 512 8 4 = 4096 8 5 = 32768 8 6 = 262144 8 7 = 2097152 8 8 = 16777216 8 9 = 134217728 8 10 = 1073741824	9 1 = 9 9 2 = 81 9 3 = 729 9 4 = 6561 9 5 = 59049 9 6 = 531441 9 7 = 4782969 9 8 = 43046721 9 9 = 387420489 9 10 = 3486784401	10 1 = 10 10 2 = 100 10 3 = 1000 10 4 = 10000 10 5 = 100000 10 6 = 1000000 10 7 = 10000000 10 8 = 100000000 10 9 = 1000000000 10 10 = 10000000000

Онол

зэрэггэдэг нь тоог өөрөө дахин дахин үржүүлэх үйлдлийн товчилсон хэлбэр юм. Энэ тохиолдолд дугаарыг өөрөө нэрлэдэг - зэрэглэлийн суурь, мөн үржүүлэх үйлдлүүдийн тоо байна илтгэгч.

a n = a×a ... ×a

оруулгад: "a" нь "n"-ийн хүч.

"a" нь зэрэг олгох суурь юм

"n" - илтгэгч

4 6 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4096

Энэ илэрхийлэл нь: 4-ийг 6-ын зэрэглэлд эсвэл дөрөв дэх тооны зургаа дахь зэрэглэлд, эсвэл дөрөв дэх тоог зургаа дахь зэрэгт шилжүүлнэ.

Зэрэглэлийн хүснэгтийг татаж авах

• Зураг дээр дарж томруулж харна уу.
• Зургийг компьютер дээрээ хадгалахын тулд "Татаж авах" дээр дарна уу. Зураг нь өндөр нарийвчлалтай, сайн чанартай байх болно.

Хэзээтоо өөрөө үрждэг өөртөө, ажилдуудсан зэрэг.

Тэгэхээр 2.2 = 4, квадрат буюу 2-ын хоёр дахь зэрэг
2.2.2 = 8, шоо буюу гурав дахь хүч.
2.2.2.2 = 16, дөрөвдүгээр зэрэг.

Мөн 10.10 = 100, 10-ын хоёр дахь зэрэг.
10.10.10 = 1000, гурав дахь хүч.
10.10.10.10 = 10000 дөрөв дэх хүч.

Мөн a.a = aa, a-ийн хоёр дахь зэрэг
a.a.a = aaa, a-ийн гурав дахь зэрэг
a.a.a.a = aaaa, a-ийн дөрөв дэх зэрэг

Жинхэнэ дугаарыг дуудаж байна үндэсЭнэ тооны хүчнүүд, учир нь энэ нь эрх мэдлийг бий болгосон тоо юм.

Гэсэн хэдий ч, ялангуяа өндөр эрх мэдлийн хувьд эрх мэдлийг бүрдүүлдэг бүх хүчин зүйлийг бичих нь тийм ч тохиромжтой биш юм. Тиймээс богино тэмдэглэгээний аргыг ашигладаг. Зэрэглэлийн язгуурыг зөвхөн нэг удаа бичих ба баруун талд нь, хажууд нь арай өндөр, харин арай жижиг фонтоор хэдэн удаа бичдэг. үндэс нь хүчин зүйл болдог. Энэ тоо эсвэл үсгийг дууддаг илтгэгчэсвэл зэрэгтоо. Тэгэхээр 2 нь a.a эсвэл aa-тай тэнцүү, учир нь a язгуурыг өөрөө 2 дахин үржүүлж, aa хүчийг авах ёстой. Мөн 3 гэдэг нь ааа гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл энд а давтагдана гурван удааүржүүлэгч байдлаар.

Нэгдүгээр зэргийн илтгэгч нь 1 боловч ихэвчлэн бичдэггүй. Тиймээс 1-ийг a гэж бичдэг.

Та зэрэгтэй андуурч болохгүй коэффициентүүд. Коэффициент нь утгыг хэр олон удаа авч байгааг харуулдаг Хэсэгбүхэл. Хүч нь тухайн хэмжигдэхүүнийг хэр олон удаа авч байгааг харуулдаг хүчин зүйлажилд.
Тэгэхээр 4a = a + a + a + a. Гэхдээ 4 = a.a.a.a

Эрчим хүчний тэмдэглэгээний схем нь бидэнд илэрхийлэх боломжийг олгодог өвөрмөц давуу талтай үл мэдэгдэхзэрэг. Үүний тулд тооны оронд илтгэгчийг бичнэ захидал. Асуудлыг шийдвэрлэх явцад бид мэддэг хэмжигдэхүүнийг олж авах боломжтой зарим ньөөр хэмжээний зэрэг. Гэхдээ энэ нь дөрвөлжин, шоо эсвэл өөр, илүү өндөр зэрэгтэй эсэхийг бид одоогоор мэдэхгүй байна. Тэгэхээр a x илэрхийлэлд илтгэгч нь энэ илэрхийлэл байгаа гэсэн үг юм зарим ньзэрэг нь тодорхойгүй ч гэсэн ямар зэрэгтэй. Тиймээс b m ба d n нь m ба n-ийн зэрэглэлд нэмэгдэв. Экспонент олдвол, тооүсгийн оронд орлуулсан байна. Тэгэхээр m=3 бол b m = b 3; гэхдээ m = 5 бол b m = b 5 болно.

Хүчийг ашиглан утгыг бичих арга нь ашиглахад том давуу тал юм илэрхийллүүд. Тиймээс (a + b + d) 3 нь (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), өөрөөр хэлбэл гурвалсан шоо (a + b + d) байна. . Гэхдээ бид энэ илэрхийллийг шоо болгон өсгөсний дараа бичвэл иймэрхүү харагдах болно
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Хэрэв илтгэгч нь 1-ээр нэмэгдэж эсвэл буурч байгаа хэд хэдэн хүчийг авбал үржвэр нь 1-ээр нэмэгдэхийг олж мэднэ. нийтлэг үржүүлэгчэсвэл буурдаг нийтлэг хуваагч, мөн энэ хүчин зүйл буюу хуваагч нь хүчин чадал руу өссөн анхны тоо юм.

Ингээд цувралд ааааа, аааа, ааа, аа, а;
эсвэл 5, 4, 3, 2, 1;
үзүүлэлтүүдийг баруунаас зүүн тийш тоолж үзвэл 1, 2, 3, 4, 5; ба тэдгээрийн утгын ялгаа нь 1. Хэрэв бид эхлэх юм бол баруун талд үржүүлэх a гэхэд бид олон утгыг амжилттай авах болно.

Тэгэхээр a.a = a 2, хоёр дахь гишүүн. Мөн 3.a = a 4
a 2 .a = a 3 , гурав дахь гишүүн. a 4 .a = a 5 .

Хэрэв бид эхэлбэл зүүн хуваахнь,
бид 5:a = a 4 ба 3:a = a 2-ыг авна.
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Гэхдээ энэ хуваах үйл явцыг цаашид үргэлжлүүлэх боломжтой бөгөөд бид шинэ үнэт зүйлсийг олж авдаг.

Тэгэхээр a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Бүрэн мөр нь: аааа, аааа, ааа, аа, а, 1, 1/а, 1/аа, 1/ааа байх болно.

Эсвэл 5, 4, 3, 2, а, 1, 1/а, 1/а 2, 1/а 3.

Энд үнэт зүйлс байна баруун талднэгээс нь байдаг урвуунэгний зүүн талд байгаа утгууд. Тиймээс эдгээр зэрэглэлийг нэрлэж болно урвуу хүча. Зүүн талын эрх мэдэл нь баруун талын хүчнүүдийн урвуу тал гэж бид бас хэлж болно.

Тэгэхээр 1:(1/а) = 1.(а/1) = a. Мөн 1:(1/a 3) = a 3.

Үүнтэй ижил бичлэг хийх төлөвлөгөөг ашиглаж болно олон гишүүнт. Тиймээс, a + b-ийн хувьд бид багцыг авна.
(а + б) 3 , (а + б) 2 , (а + б), 1, 1/(а + б), 1/(а + б) 2 , 1/(а + б) 3 .

Тохиромжтой болгохын тулд харилцан эрх мэдлийг бичих өөр хэлбэрийг ашигладаг.

Энэ хэлбэрийн дагуу 1/a эсвэл 1/a 1 = a -1. Мөн 1/aaa эсвэл 1/a 3 = a -3 .
1/aa эсвэл 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa эсвэл 1/a 4 = a -4 .

Мөн илтгэгчийн нийт зөрүү 1-тэй бүрэн цуваа гаргахын тулд a/a эсвэл 1-ийг зэрэггүй зүйл гэж үзэж, 0 гэж бичдэг.

Дараа нь шууд ба урвуу хүчийг харгалзан үзнэ
aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa-ын оронд
та 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4 гэж бичиж болно.
Эсвэл +4, +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3, -4.

Зөвхөн бие даасан зэрэгтэй цувралууд дараах байдлаар харагдах болно.
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Зэрэглэлийн үндсийг нэгээс олон үсгээр илэрхийлж болно.

Ийнхүү аа.аа буюу (аа) 2 нь аагийн хоёр дахь зэрэг болно.
Мөн аа.аа.аа буюу (аа) 3 нь аагийн 3-р зэрэглэл юм.

1-ийн тооны бүх хүч ижил байна: 1.1 эсвэл 1.1.1. 1-тэй тэнцүү байх болно.

Экспоненциал гэдэг нь дурын тооны утгыг өөрөө үржүүлэх замаар олох явдал юм. Үржүүлэх дүрэм:

Хэмжигдэхүүнийг тоон хүчинд заасан хэмжээгээр өөрөө үржүүлнэ.

Энэ дүрэм нь экспоненциацийн явцад гарч болох бүх жишээнүүдэд нийтлэг байдаг. Гэхдээ энэ нь тодорхой тохиолдлуудад хэрхэн хамаарах талаар тайлбар өгөх нь зөв юм.

Хэрэв зөвхөн нэг гишүүнийг хүчин чадал болгон өсгөсөн бол түүнийг илтгэгчийн заасан хэмжээгээр өөрөө үржүүлнэ.

a-ийн дөрөв дэх хүч нь 4 эсвэл аааа. (195-р зүйл.)
y-ийн зургаа дахь зэрэг нь y 6 эсвэл yyyyyy.
x-ийн N-р зэрэглэл нь x n эсвэл xxx..... n удаа давтагдана.

Хэд хэдэн нэр томьёоны илэрхийлэлийг эрх мэдэлд хүргэх шаардлагатай бол зарчим хэд хэдэн хүчин зүйлийн үржвэрийн хүч нь эдгээр хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Тэгэхээр (ay) 2 =a 2 y 2; (а) 2 = сар.
Харин ай.ай = аяй = aayy = a 2 y 2.
Тэгэхээр (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 м 3 x 3.

Тиймээс, бүтээгдэхүүний хүчийг олохдоо бид бүхэл бүтэн бүтээгдэхүүнтэй нэг дор ажиллах эсвэл хүчин зүйл бүрийг тусад нь ажиллуулж, дараа нь тэдгээрийн утгыг хүчээр үржүүлж болно.

Жишээ 1. Dhy-ийн дөрөв дэх хүч нь (dhy) 4 буюу d 4 h 4 y 4.

Жишээ 2. Гурав дахь зэрэг нь 4b, тэнд (4b) 3, эсвэл 4 3 b 3, эсвэл 64b 3 байна.

Жишээ 3. 6ad-ийн N-р зэрэглэл нь (6ad) n эсвэл 6 n a n d n байна.

Жишээ 4. 3м.2y-ийн гуравдахь чадал нь (3м.2у) 3 буюу 27м 3 .8у 3.

+ ба --ээр холбосон нэр томъёоноос бүрдэх хоёр гишүүний зэрэг нь түүний гишүүний үржвэрээр тодорхойлогдоно. Тиймээ

(a + b) 1 = a + b, нэгдүгээр зэрэг.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, хоёр дахь хүч (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, гуравдахь зэрэглэл.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, дөрөвдүгээр зэрэглэл.

a - b-ийн квадрат нь a 2 - 2ab + b 2 байна.

a + b + h-ийн квадрат нь 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2 байна.

Дасгал 1. a + 2d + 3 шоо ол

Дасгал 2. b + 2-ын дөрөв дэх хүчийг ол.

Дасгал 3. x+1-ийн тав дахь хүчийг ол.

Дасгал 4. Зургаа дахь хүчийг олоорой 1 - b.

Нийлбэрийн квадратууд хэмжээТэгээд ялгаабиномууд алгебрт маш олон тохиолддог тул тэдгээрийг маш сайн мэдэх шаардлагатай.

Хэрэв бид a + h өөрөө эсвэл a - h үржүүлбэл,
бид авна: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 мөн, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Эндээс харахад тухайн тохиолдол бүрт эхний болон сүүлчийн гишүүн нь a ба h-ийн квадратууд, дунд гишүүн нь a ба h-ийн үржвэрээс хоёр дахин их байна. Эндээс хоёр гишүүний нийлбэр ба ялгааны квадратыг дараах дүрмийг ашиглан олж болно.

Хоёр гишүүний квадрат нь аль аль нь эерэг бөгөөд эхний гишүүний квадрат + хоёр гишүүний үржвэрийн үржвэр + сүүлийн гишүүний квадраттай тэнцүү байна.

Дөрвөлжин ялгаахоёр гишүүний квадратыг хоёр гишүүний хоёр дахин үржвэрийг нэмсэн хоёр дахь гишүүний квадратыг хассантай тэнцүү байна.

Жишээ 1. Дөрвөлжин 2a + b, 4a 2 + 4ab + b 2 байна.

Жишээ 2. Дөрвөлжин ab + cd, 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 байна.

Жишээ 3. Талбай 3d - h, 9d 2 + 6dh + h 2 байна.

Жишээ 4. a - 1 квадрат нь 2 - 2a + 1 байна.

Хоёр гишүүний өндөр хүчийг олох аргыг дараах хэсгүүдээс үзнэ үү.

Ихэнх тохиолдолд бичих нь үр дүнтэй байдаг градусүржүүлэхгүйгээр.

Тэгэхээр a + b-ийн квадрат нь (a + b) 2 байна.
bc + 8 + x-ийн N-р зэрэг нь (bc + 8 + x) n

Ийм тохиолдолд хашилтыг хамарна Бүгдзэрэгтэй гишүүд.

Харин зэрэглэлийн үндэс нь хэд хэдэн хэсгээс бүрддэг бол үржүүлэгчид, хаалт нь илэрхийллийг бүхэлд нь хамарч болно, эсвэл ая тухтай байдлаас хамааран хүчин зүйлүүдэд тусад нь хэрэглэж болно.

Тиймээс (a + b)(c + d) квадрат нь [(a + b).(c + d)] 2 эсвэл (a + b) 2 .(c + d) 2 байна.

Эдгээр илэрхийллүүдийн эхнийх нь үр дүн нь хоёр хүчин зүйлийн үржвэрийн квадрат, хоёрдугаарт үр дүн нь тэдгээрийн квадратуудын үржвэр юм. Гэхдээ тэд бие биетэйгээ тэнцүү.

Шоо a.(b + d), нь 3, эсвэл a 3.(b + d) 3.

Оролцсон гишүүдийн урд байгаа тэмдгийг бас анхаарч үзэх хэрэгтэй. Эрдмийн язгуур эерэг байвал түүний бүх эерэг хүч ч эерэг байдаг гэдгийг санах нь маш чухал юм. Гэхдээ үндэс нь сөрөг байвал утгууд нь байна хачинэрх мэдэл нь сөрөг, харин үнэ цэнэ бүрзэрэг эерэг байна.

Хоёр дахь зэрэг (- a) нь +a 2 байна
Гурав дахь зэрэг (-a) нь -a 3 байна
Дөрөв дэх хүч (-a) нь +a 4
Тав дахь хүч (-a) нь -a 5

Тиймээс ямар ч хачинзэрэг нь тоотой ижил тэмдэгтэй байна. Гэхдээ бүртоо нь сөрөг эсвэл эерэг тэмдэгтэй эсэхээс үл хамааран зэрэг нь эерэг байна.
Тэгэхээр +a.+a = +a 2
Мөн -a.-a = +a 2

Аль хэдийн нэг зэрэглэлд хүрсэн хэмжигдэхүүнийг илтгэгчийг үржүүлснээр дахин ихэсгэнэ.

2-ын гурав дахь хүч нь 2.3 = a 6.

2 = aa-ийн хувьд; шоо aa нь aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; Энэ нь a-ийн зургаа дахь зэрэг, харин 2-ын гурав дахь зэрэг юм.

a 3 b 2-ийн дөрөв дэх хүч нь 3.4 b 2.4 = a 12 b 8

4a 2 x-ийн гурав дахь хүч нь 64a 6 x 3 байна.

(a + b) 2-ын тав дахь зэрэг нь (a + b) 10.

3-ын N-р зэрэглэл нь 3n байна

(x - y) m-ийн N-р зэрэг нь (x - y) mn байна

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Дүрэм нь адил хамаарна сөрөгградус.

Жишээ 1. a -2-ын гурав дахь зэрэг нь -3.3 =a -6.

Учир нь -2 = 1/aa ба үүний гурав дахь зэрэг
(1/аа).(1/аа).(1/аа) = 1/аааааа = 1/а 6 = а -6

2 b -3-ийн дөрөв дэх хүч нь 8 b -12 эсвэл 8 / b 12 байна.

Квадрат нь b 3 x -1, b 6 x -2 байна.

ax -m-ийн N-р зэрэглэл нь x -mn буюу 1/x байна.

Гэсэн хэдий ч, хэрэв тэмдэг байгаа бол бид энд санаж байх ёстой өмнөхзэрэг нь "-" бол зэрэг нь тэгш тоо байх бүрд "+" болгож өөрчлөх ёстой.

Жишээ 1. -a 3 квадрат нь +a 6 байна. -a 3-ын квадрат нь -a 3 .-a 3 бөгөөд үржүүлэх тэмдгийн дүрмийн дагуу +a 6 байна.

2. Харин шоо -a 3 нь -a 9 байна. -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9-ийн хувьд.

3. N-р хүч -a 3 нь 3n байна.

Энд үр дүн нь n нь тэгш эсвэл сондгой байхаас хамаарч эерэг эсвэл сөрөг байж болно.

Хэрэв бутархайзэрэгт дээшлүүлсний дараа хүртэгч ба хуваагч нь зэрэглэлд нэмэгдэнэ.

a/b-ийн квадрат нь a 2 /b 2 байна. Бутархайг үржүүлэх дүрмийн дагуу,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

1/a-ийн хоёр, гурав, n-р зэрэглэл нь 1/a 2, 1/a 3, 1/a n байна.

Жишээ биномууд, аль нэг нэр томъёо нь бутархай байна.

1. x + 1/2 ба x - 1/2-ийн квадратыг ол.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. a + 2/3-ын квадрат нь 2 + 4a/3 + 4/9 байна.

3. Талбай x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.

4 x - b/m-ийн квадрат нь x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 байна.

Үүнийг өмнө нь харуулсан бутархай коэффициенттоологчоос хуваагч руу эсвэл хуваагчаас хүртэгч рүү шилжүүлж болно. Харилцан эрх мэдлийг бичих схемийг ашиглах нь тодорхой байна аливаа үржүүлэгчбас хөдөлгөж болно, зэрэглэлийн тэмдэг өөрчлөгдсөн бол.

Тэгэхээр, ax -2 /y бутархайд бид х-г тоологчоос хуваагч руу шилжүүлж болно.
Дараа нь ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2).

a/3-ын бутархайд бид хуваагчаас y-г тоологч руу шилжүүлж болно.
Дараа нь a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Үүний нэгэн адил бид эерэг илтгэгчтэй хүчин зүйлийг тоологч руу эсвэл сөрөг илтгэгчтэй хүчин зүйлийг хуваагч руу шилжүүлж болно.

Тэгэхээр сүх 3 /b = a/bx -3. x 3-ын хувьд урвуу нь x -3 бөгөөд энэ нь x 3 = 1/x -3 юм.

Иймд илэрхийллийн утгыг өөрчлөхгүйгээр аливаа бутархайн хуваагчийг бүрмөсөн хасч, эсвэл тоологчийг нэг болгож багасгаж болно.

Тэгэхээр, a/b = 1/ba -1 , эсвэл ab -1 .

Энгийнээр хэлэхэд эдгээр нь тусгай жорын дагуу усанд чанаж болгосон хүнсний ногоо юм. Би эхний хоёр бүрэлдэхүүн хэсэг (хүнсний ногооны салат ба ус) болон эцсийн үр дүн - borscht-ийг авч үзэх болно. Геометрийн хувьд нэг тал нь шанцайны ургамал, нөгөө тал нь усыг төлөөлдөг тэгш өнцөгт гэж үзэж болно. Эдгээр хоёр талын нийлбэр нь борцыг заана. Ийм "борщ" тэгш өнцөгтийн диагональ ба талбай нь цэвэр математикийн ойлголт бөгөөд борщны жоронд хэзээ ч ашиглагддаггүй.

Математикийн үүднээс шанцайны ургамал, ус хэрхэн борщ болж хувирдаг вэ? Хоёр шугамын сегментийн нийлбэр хэрхэн тригонометр болох вэ? Үүнийг ойлгохын тулд шугаман өнцгийн функц хэрэгтэй.

Математикийн сурах бичгүүдээс шугаман өнцгийн функцийн талаар юу ч олж харахгүй. Гэхдээ тэдэнгүйгээр математик байж чадахгүй. Математикийн хуулиуд нь байгалийн хуулиудтай адил бидний оршин тогтнох эсэхээс үл хамааран ажилладаг.

Шугаман өнцгийн функцууд нь нэмэх хууль юм.Алгебр хэрхэн геометр, геометр нь тригонометр болж хувирахыг хараарай.

Шугаман өнцгийн функцгүйгээр хийх боломжтой юу? Энэ нь боломжтой, учир нь математикчид тэдэнгүйгээр удирддаг. Математикчдын заль мэх нь тэд өөрсдөө хэрхэн шийдэхээ мэддэг асуудлуудаа л бидэнд хэлдэг бөгөөд шийдэж чадахгүй байгаа асуудлынхаа талаар хэзээ ч бидэнд хэлдэггүй. Хараач. Хэрэв бид нэмэх болон нэг гишүүний үр дүнг мэддэг бол нөгөө гишүүнийг олохын тулд хасах аргыг ашигладаг. Бүгд. Бид бусад асуудлуудыг мэдэхгүй бөгөөд тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэхээ мэдэхгүй байна. Хэрэв бид зөвхөн нэмэлтийн үр дүнг мэдэж, хоёр нэр томъёог мэдэхгүй бол яах ёстой вэ? Энэ тохиолдолд нэмэлтийн үр дүнг шугаман өнцгийн функцийг ашиглан хоёр гишүүнд задлах ёстой. Дараа нь бид өөрсдөө нэг нэр томъёо байж болохыг сонгодог бөгөөд шугаман өнцгийн функцууд нь хоёр дахь гишүүн ямар байх ёстойг харуулдаг бөгөөд ингэснээр нэмэлтийн үр дүн нь бидэнд яг хэрэгтэй болно. Ийм хос нэр томъёо хязгааргүй олон байж болно. Өдөр тутмын амьдралдаа бид нийлбэрийг задлахгүйгээр зүгээр л таарч байна, хасах нь бидэнд хангалттай. Гэхдээ байгалийн хуулиудын шинжлэх ухааны судалгаанд нийлбэрийг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд нь задлах нь маш ашигтай байдаг.

Математикчдын ярих дургүй нэмэлт хууль (тэдний өөр нэг заль мэх) нь нэр томьёо нь ижил хэмжүүртэй байхыг шаарддаг. Салат, ус, борщны хувьд эдгээр нь жин, эзэлхүүн, үнэ цэнэ эсвэл хэмжих нэгж байж болно.

Зураг нь математикийн хувьд хоёр түвшний зөрүүг харуулж байна. Эхний түвшин бол заасан тоонуудын ялгаа юм а, б, в. Үүнийг математикчид хийдэг. Хоёрдахь түвшин нь дөрвөлжин хаалтанд тэмдэглэгдсэн, үсгээр тэмдэглэгдсэн хэмжлийн нэгжийн талбайн ялгаа юм. У. Үүнийг физикчид хийдэг. Гурав дахь түвшинг бид ойлгож чадна - тайлбарлаж буй объектуудын талбайн ялгаа. Өөр өөр объектууд ижил тооны ижил хэмжилтийн нэгжтэй байж болно. Энэ нь хэр чухал болохыг бид borscht тригонометрийн жишээнээс харж болно. Хэрэв бид өөр өөр объектуудын ижил нэгжийн тэмдэглэгээнд дэд тэмдэгтүүдийг нэмбэл тодорхой объектыг ямар математикийн хэмжигдэхүүн дүрсэлж, энэ нь цаг хугацааны явцад эсвэл бидний үйлдлээс шалтгаалан хэрхэн өөрчлөгдөхийг яг таг хэлж чадна. Захидал ВБи усыг үсгээр зааж өгнө СБи салатыг бичгээр зааж өгнө Б- борщ. Borscht-ийн шугаман өнцгийн функцүүд иймэрхүү харагдах болно.

Хэрэв бид усны зарим хэсгийг, салатны зарим хэсгийг авбал тэд хамтдаа borscht-ийн нэг хэсэг болж хувирна. Энд би борщ идэхээсээ бага зэрэг завсарлаж, алс холын бага насаа эргэн санахыг санал болгож байна. Бид туулай, нугас хоёрыг хэрхэн нийлүүлж сургасныг санаж байна уу? Хэдэн мал байхыг олох шаардлагатай байсан. Тэр үед бидэнд юу хийхийг зааж өгсөн бэ? Хэмжилтийн нэгжийг тооноос салгаж, тоо нэмэхийг бидэнд заасан. Тиймээ, дурын нэг дугаарыг өөр ямар ч дугаарт нэмж болно. Энэ бол орчин үеийн математикийн аутизмын шууд зам юм - бид үүнийг ойлгомжгүй байдлаар хийдэг, яагаад үүнийг ойлгомжгүй, энэ нь бодит байдалтай хэрхэн холбогдож байгааг маш муу ойлгодог, учир нь гурван түвшний ялгаанаас болж математикчид зөвхөн нэгээр ажилладаг. Хэмжилтийн нэг нэгжээс нөгөөд шилжихийг сурах нь илүү зөв байх болно.

Бөжин, нугас, бяцхан амьтдыг хэсэг хэсгээр нь тоолж болно. Янз бүрийн объектын хэмжүүрийн нэг нийтлэг нэгж нь тэдгээрийг нэгтгэх боломжийг бидэнд олгодог. Энэ бол асуудлын хүүхдийн хувилбар юм. Насанд хүрэгчдэд зориулсан ижил төстэй асуудлыг авч үзье. Бөжин, мөнгө нэмбэл юу авах вэ? Энд хоёр боломжит шийдэл байна.

Эхний сонголт. Бид туулайн зах зээлийн үнэ цэнийг тодорхойлж, бэлэн мөнгөний хэмжээнд нэмнэ. Бид баялгийнхаа нийт үнэ цэнийг мөнгөн дүнгээр авсан.

Хоёр дахь сонголт. Бидэнд байгаа мөнгөн дэвсгэртийн тоо дээр та туулайн тоог нэмж болно. Хөдлөх эд хөрөнгийн хэмжээг хэсэгчлэн авна.

Таны харж байгаагаар ижил нэмэлт хууль нь өөр өөр үр дүнд хүрэх боломжийг олгодог. Энэ бүхэн бидний яг юу мэдэхийг хүсч байгаагаас хамаарна.

Харин борц руугаа буцъя. Одоо бид шугаман өнцгийн функцүүдийн өөр өөр өнцгийн утгуудад юу тохиолдохыг харж болно.

Өнцөг нь тэг байна. Бид салаттай, гэхдээ усгүй. Бид борщ чанаж чаддаггүй. Борщны хэмжээ бас тэг байна. Энэ нь тэг борщ нь тэг устай тэнцүү гэсэн үг биш юм. Тэг салат (зөв өнцөг) бүхий тэг borscht байж болно.

Миний хувьд энэ бол . Тэг нэмэхэд тоог өөрчлөхгүй. Зөвхөн нэг гишүүн, хоёр дахь гишүүн байхгүй бол нэмэх боломжгүй учраас энэ нь тохиолддог. Та үүнийг хүссэнээрээ мэдэрч болно, гэхдээ санаарай - тэгтэй бүх математик үйлдлүүдийг математикчид өөрсдөө зохион бүтээсэн тул логикоо хаяж, математикчдын зохион бүтээсэн "тэгээр хуваах боломжгүй", "ямар ч тоог үржүүлбэл" гэсэн тодорхойлолтыг тэнэг байдлаар хий. тэг нь тэгтэй тэнцүү" , "цоорох цэгээс давсан" болон бусад утгагүй зүйл. Тэг бол тоо биш гэдгийг нэг удаа санахад хангалттай бөгөөд тэг нь натурал тоо мөн үү, үгүй ​​юу гэсэн асуулт танд дахин хэзээ ч төрөхгүй, учир нь ийм асуулт бүх утгыг алддаг: тоо биш зүйлийг яаж тоо гэж үзэх вэ? ? Энэ нь үл үзэгдэх өнгийг ямар өнгөөр ​​ангилах ёстойг асуухтай адил юм. Тоон дээр тэг нэмэх нь байхгүй будгаар будсантай адил юм. Бид хуурай бийрээр даллаж, бүгдэд нь "бид зурсан" гэж хэлэв. Гэхдээ би бага зэрэг ухарч байна.

Өнцөг нь тэгээс их боловч дөчин таван градусаас бага байна. Бидэнд маш их шанцайны ургамал байдаг, гэхдээ хангалттай ус байхгүй. Үүний үр дүнд бид зузаан borscht авах болно.

Өнцөг нь дөчин таван градус байна. Бид ижил хэмжээний ус, салаттай. Энэ бол төгс борщ (намайг уучлаарай, тогооч нар, энэ бол зүгээр л математик юм).

Өнцөг нь дөчин таван градусаас их, харин ерэн градусаас бага. Бидэнд ус ихтэй, салат багатай. Та шингэн борщ авах болно.

Зөв өнцөг. Бидэнд ус байна. Нэгэн цагт салатыг тэмдэглэсэн шугамаас өнцгийг хэмжсээр байгаа тул салатаас үлдсэн бүх зүйл нь дурсамж юм. Бид борщ чанаж чаддаггүй. Борщны хэмжээ тэг байна. Энэ тохиолдолд устай байхдаа барьж аваад уугаарай)))

Энд. Энэ нь иймэрхүү зүйл. Би эндээс илүү тохиромжтой бусад түүхийг энд ярьж болно.

Хоёр найз нийтлэг бизнест хувь эзэмшдэг байв. Нэгийг нь алсны дараа бүх зүйл нөгөө рүүгээ шилжсэн.

Манай гараг дээр математикийн үүсэл.

Эдгээр бүх түүхийг шугаман өнцгийн функцийг ашиглан математикийн хэлээр өгүүлдэг. Өөр нэг удаа би эдгээр функцүүдийн математикийн бүтэц дэх бодит байр суурийг харуулах болно. Энэ хооронд борщын тригонометр рүү буцаж, төсөөллийг авч үзье.

2019 оны аравдугаар сарын 26, Бямба гараг

2019 оны наймдугаар сарын 7, Лхагва гараг

Яриагаа дуусгахдаа бид хязгааргүй олонлогийг авч үзэх хэрэгтэй. Гол нь “хязгааргүй” гэдэг ойлголт нь математикчдад боа туулайнд нөлөөлдөг шиг нөлөөлдөг. Хязгааргүй байдлын чичирхийлсэн аймшиг нь математикчдыг эрүүл ухаангүй болгодог. Энд нэг жишээ байна:

Анхны эх сурвалж нь байрладаг. Альфа нь бодит тоог илэрхийлдэг. Дээрх илэрхийлэл дэх тэнцүү тэмдэг нь хэрэв та хязгааргүйд тоо эсвэл хязгаарыг нэмбэл юу ч өөрчлөгдөхгүй, үр дүн нь ижил хязгааргүй болно гэдгийг харуулж байна. Хэрэв бид натурал тоонуудын хязгааргүй багцыг жишээ болгон авч үзвэл авч үзсэн жишээнүүдийг дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Тэдний зөв гэдгийг тодорхой нотлохын тулд математикчид олон янзын арга бодож олжээ. Би хувьдаа энэ бүх аргыг бөө хэнгэрэг бариад бүжиглэж байгаа мэтээр хардаг. Үндсэндээ, тэд бүгд нэг бол зарим өрөөнүүд эзэнгүй, шинэ зочид нүүж ирж байгаа, эсвэл зочдод өрөө гаргахын тулд зарим зочдыг коридор руу шиддэг (маш хүнлэг байдлаар). Би ийм шийдвэрийн талаархи өөрийн үзэл бодлыг шаргал үстийн тухай уран зөгнөлт түүх хэлбэрээр танилцуулсан. Миний үндэслэл юунд үндэслэсэн бэ? Хязгааргүй тооны зочдыг нүүлгэн шилжүүлэхэд хязгааргүй их цаг зарцуулдаг. Биднийг зочдод зориулж эхний өрөөг чөлөөлсний дараа зочдын нэг нь цаг дуусах хүртэл коридороор өөрийн өрөөнөөс дараагийн өрөө рүү үргэлж алхах болно. Мэдээжийн хэрэг, цаг хугацааны хүчин зүйлийг үл тоомсорлож болох ч энэ нь "Тэнэгүүдэд зориулж хууль бичдэггүй" гэсэн ангилалд багтах болно. Энэ бүхэн бидний хийж байгаа зүйлээс хамаарна: бодит байдлыг математикийн онолд тохируулах эсвэл эсрэгээр.

"Төгсгөлгүй зочид буудал" гэж юу вэ? Хязгааргүй зочид буудал гэдэг нь хэдэн өрөө байрлаж байгаагаас үл хамааран хэдэн ч хоосон ортой зочид буудал юм. Төгсгөлгүй "зочин" коридорын бүх өрөөг эзэлдэг бол "зочин" өрөөнүүдтэй өөр нэг төгсгөлгүй коридор байдаг. Ийм коридорууд хязгааргүй олон байх болно. Түүгээр ч барахгүй “хязгааргүй зочид буудал” нь хязгааргүй олон тооны бурхадын бүтээсэн хязгааргүй олон орчлон ертөнц дэх хязгааргүй тооны гаригууд дээрх хязгааргүй олон барилгад хязгааргүй олон давхартай байдаг. Математикчид өдөр тутмын асуудлаас холдож чаддаггүй: үргэлж ганц Бурхан-Алла-Будда байдаг, ганц зочид буудал байдаг, ганц коридор байдаг. Тиймээс математикчид зочид буудлын өрөөнүүдийн серийн дугаарыг хооронд нь тааруулахыг хичээж, биднийг "боломжгүй зүйл рүү түлхэх" боломжтой гэж итгүүлж байна.

Би хязгааргүй натурал тоонуудын жишээн дээр өөрийн үндэслэлийн логикийг харуулах болно. Эхлээд та маш энгийн асуултанд хариулах хэрэгтэй: хэдэн олон тооны натурал тоо байдаг - нэг эсвэл олон уу? Энэ асуултад зөв хариулт алга, учир нь бид тоонуудыг өөрсдөө зохион бүтээсэн; тоо нь байгальд байдаггүй. Тийм ээ, Байгаль тоолохдоо гайхалтай, гэхдээ үүний тулд тэрээр бидэнд танил бус бусад математик хэрэгслийг ашигладаг. Байгаль юу гэж бодож байгааг би өөр нэг удаа хэлье. Бид тоог зохион бүтээсэн тул хэдэн олон тооны натурал тоо байгааг бид өөрсдөө шийдэх болно. Жинхэнэ эрдэмтдэд тохирсон хоёр хувилбарыг авч үзье.

Сонголт нэг. Тавиур дээр тайван орших натурал тоонуудын нэг багц "Бидэнд өгөгдье". Бид энэ багцыг тавиур дээрээс авдаг. Ингээд л, тавиур дээр өөр натурал тоо үлдсэнгүй, тэднийг авч явах газар ч алга. Бидэнд аль хэдийн байгаа тул энэ багцад нэгийг нэмж чадахгүй. Хэрэв та үнэхээр хүсч байвал яах вэ? Асуудалгүй. Бид аль хэдийн авсан багцаасаа нэгийг нь аваад тавиур дээр буцааж өгч болно. Үүний дараа бид тавиур дээрээс нэгийг нь аваад үлдсэн зүйл дээрээ нэмж болно. Үүний үр дүнд бид дахин хязгааргүй натурал тооны багцыг авах болно. Та бидний бүх заль мэхийг дараах байдлаар бичиж болно.

Би үйлдлүүдийг алгебрийн тэмдэглэгээ болон олонлогийн онолын тэмдэглэгээгээр, олонлогийн элементүүдийн дэлгэрэнгүй жагсаалтаар бичсэн. Доод тэмдэг нь бидэнд нэг бөгөөд цорын ганц натурал тооны багц байгааг харуулж байна. Үүнээс нэгийг хасч, ижил нэгжийг нэмбэл натурал тоонуудын олонлог өөрчлөгдөхгүй байх болно.

Хоёр дахь сонголт. Бидний тавиур дээр олон янзын хязгааргүй олон тооны натурал тоонууд бий. Би онцлон тэмдэглэж байна - Хэдийгээр тэдгээр нь бараг ялгаагүй ч гэсэн ӨӨР. Эдгээр багцуудын нэгийг авч үзье. Дараа нь бид өөр натурал тооны багцаас нэгийг нь авч, аль хэдийн авсан олонлогт нэмнэ. Бид хоёр натурал тоог нэмж болно. Энэ бол бидний авах зүйл юм:

"Нэг" ба "хоёр" гэсэн дэд тэмдэгтүүд нь эдгээр элементүүд нь өөр олонлогт харьяалагддаг болохыг харуулж байна. Тиймээ, хэрэв та хязгааргүй олонлог дээр нэгийг нэмбэл үр дүн нь мөн төгсгөлгүй олонлог болох боловч энэ нь анхны олонлогтой ижил биш байх болно. Хэрэв та нэг хязгааргүй олонлог дээр өөр нэг хязгааргүй олонлог нэмбэл үр дүн нь эхний хоёр олонлогийн элементүүдээс бүрдсэн шинэ хязгааргүй олонлог болно.

Натурал тоонуудын багцыг захирагчийг хэмжихтэй адил тоолоход ашигладаг. Одоо та захирагч дээр нэг сантиметр нэмсэн гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ нь анхны шугамтай тэнцүү биш өөр шугам байх болно.

Та миний үндэслэлийг хүлээн зөвшөөрөх эсвэл хүлээн зөвшөөрөхгүй байж болно - энэ бол таны хувийн хэрэг. Гэхдээ хэрэв та математикийн асуудалтай тулгарвал үе үеийн математикчдийн гишгэсэн худал сэтгэх замаар явж байгаа эсэхээ бодоорой. Эцсийн эцэст, математикийг судлах нь юуны түрүүнд бидний сэтгэлгээний тогтвортой хэвшмэл ойлголтыг бий болгож, зөвхөн дараа нь бидний оюун ухааны чадварыг нэмэгдүүлдэг (эсвэл эсрэгээр биднийг чөлөөт сэтгэлгээнээс холдуулдаг).

pozg.ru

2019 оны наймдугаар сарын 4, Ням гараг

Би энэ тухай нийтлэлийн бичлэгийг дуусгаж байгаад Википедиа дээрх гайхалтай текстийг олж харав:

Бид уншдаг: "... Вавилоны математикийн онолын баялаг үндэс нь нэгдмэл шинж чанартай байгаагүй бөгөөд нийтлэг систем, нотлох баримтын баазаас ангид ялгаатай олон тооны арга техник болгон бууруулсан юм."

Хөөх! Бид ямар ухаантай, бусдын дутагдлыг хэр сайн харж чаддаг вэ. Орчин үеийн математикийг ижил нөхцөл байдалд авч үзэх нь бидэнд хэцүү байдаг уу? Дээрх текстийг бага зэрэг тайлбарлахад би хувьдаа дараахь зүйлийг олж авлаа.

Орчин үеийн математикийн баялаг онолын үндэс нь нэгдмэл шинж чанартай биш бөгөөд нийтлэг систем, нотлох үндэслэлгүй, салангид хэсгүүдэд хуваагддаг.

Би үгээ батлахын тулд хол явахгүй - энэ нь математикийн бусад салбаруудын хэл, хэллэгээс ялгаатай хэл, дүрэм журамтай. Математикийн өөр өөр салбар дахь ижил нэрс өөр өөр утгатай байж болно. Би орчин үеийн математикийн хамгийн тод алдаануудад бүхэл бүтэн цуврал нийтлэлээ зориулахыг хүсч байна. Удахгүй уулзацгаая.

2019 оны наймдугаар сарын 3-ны Бямба гараг

Олонлогийг дэд олонлогт хэрхэн хуваах вэ? Үүнийг хийхийн тулд та сонгосон багцын зарим элементүүдэд байгаа шинэ хэмжилтийн нэгжийг оруулах хэрэгтэй. Нэг жишээ авч үзье.

Бидэнд элбэг дэлбэг байх болтугай Адөрвөн хүний ​​бүрэлдэхүүнтэй. Энэ олонлог нь "хүмүүс" гэсэн үндсэн дээр үүсдэг. Энэ олонлогийн элементүүдийг үсгээр тэмдэглэе. А, тоо бүхий дэд тэмдэг нь энэ багц дахь хүн бүрийн серийн дугаарыг заана. "Хүйс" хэмжилтийн шинэ нэгжийг нэвтрүүлж, үсгээр тэмдэглэе б. Бэлгийн шинж чанар нь бүх хүмүүст байдаг тул бид багцын элемент бүрийг үржүүлдэг Ахүйс дээр суурилсан б. Манай "хүмүүс" нь одоо "хүйсийн онцлогтой хүмүүс" болж хувирсныг анзаараарай. Үүний дараа бид бэлгийн шинж чанарыг эрэгтэй гэж хувааж болно bmболон эмэгтэйчүүдийн bwбэлгийн шинж чанар. Одоо бид математик шүүлтүүр хэрэглэж болно: эрэгтэй, эмэгтэй аль нь ч хамаагүй эдгээр бэлгийн шинж чанаруудын аль нэгийг нь сонгоно. Хэрэв хүнд байгаа бол бид үүнийг нэгээр үржүүлдэг, хэрэв тийм тэмдэг байхгүй бол тэгээр үржүүлдэг. Тэгээд бид ердийн сургуулийн математикийг ашигладаг. Юу болсныг хар.

Үржүүлэх, багасгах, дахин зохион байгуулсны дараа бид хоёр дэд олонлогтой болсон: эрэгтэй дэд олонлог. Bmмөн эмэгтэйчүүдийн хэсэг Bw. Математикчид олонлогын онолыг практикт хэрэгжүүлэхдээ ойролцоогоор ижил аргаар сэтгэдэг. Гэхдээ тэд бидэнд нарийн ширийн зүйлийг хэлэхгүй, харин эцсийн үр дүнг өгдөг - "маш олон хүмүүс эрэгтэйчүүдийн дэд хэсэг, эмэгтэйчүүдийн дэд хэсэгээс бүрддэг." Мэдээжийн хэрэг, танд асуулт гарч ирж магадгүй юм: дээр дурдсан өөрчлөлтүүдэд математикийг хэр зөв ашигласан бэ? Үндсэндээ өөрчлөлтүүд зөв хийгдсэн гэдгийг батлан ​​хэлье, зөвхөн арифметик, Булийн алгебр болон математикийн бусад салбаруудын математик үндэслэлийг мэдэхэд хангалттай. Энэ юу вэ? Өөр нэг удаа би энэ тухай танд хэлэх болно.

Супер олонлогуудын хувьд та эдгээр хоёр багцын элементүүдэд байгаа хэмжих нэгжийг сонгосноор хоёр багцыг нэг супер олонлогт нэгтгэж болно.

Таны харж байгаагаар хэмжлийн нэгж ба ердийн математик нь олонлогын онолыг өнгөрсөн үеийн үлдэгдэл болгож байна. Олонлогийн онолын хувьд бүх зүйл сайн биш байгаагийн шинж тэмдэг бол математикчид олонлогийн онолын өөрийн хэл, тэмдэглэгээг гаргаж ирсэн явдал юм. Математикчид нэгэн цагт бөөгийн адил ажилладаг байсан. "Мэдлэгээ" хэрхэн "зөв" хэрэгжүүлэхийг бөө нар л мэддэг. Тэд бидэнд энэ "мэдлэг"-ийг заадаг.

Эцэст нь хэлэхэд би математикчид хэрхэн удирддагийг харуулахыг хүсч байна.

2019 оны нэгдүгээр сарын 7, Даваа гараг

МЭӨ 5-р зуунд эртний Грекийн философич Зено Элеа өөрийн алдартай апориа томъёолсон бөгөөд хамгийн алдартай нь "Ахиллес ба яст мэлхий" апориа юм. Энэ нь дараах байдалтай байна.

Ахиллес яст мэлхийгээс арав дахин хурдан гүйж, түүнээс мянган алхмын ард байна гэж бодъё. Ахиллес энэ зайг гүйхэд шаардагдах хугацаанд яст мэлхий нэг чиглэлд зуун алхам мөлхөх болно. Ахиллес зуун алхам гүйхэд яст мэлхий дахиад арван алхам мөлхдөг гэх мэт. Энэ үйл явц эцэс төгсгөлгүй үргэлжлэх бөгөөд Ахиллес яст мэлхийг хэзээ ч гүйцэхгүй.

Энэ үндэслэл нь дараагийн бүх үеийнхний хувьд логик цочрол болсон. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Тэд бүгд нэг талаараа Зеногийн апориа гэж үзсэн. Цочрол маш хүчтэй байсан тул " ... хэлэлцүүлэг өнөөдрийг хүртэл үргэлжилж, шинжлэх ухааны нийгэмлэг парадоксуудын мөн чанарын талаар нэгдсэн саналд хүрч чадаагүй байна ... уг асуудлыг судлахад математик анализ, олонлогын онол, физик, философийн шинэ хандлагуудыг оролцуулсан. ; Тэдгээрийн аль нь ч асуудлыг шийдвэрлэх нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн шийдэл болсонгүй ..."[Википедиа, "Зеногийн Апориа". Хүн бүр хууртагдаж байгааг ойлгодог, гэхдээ хууран мэхлэлт юунаас бүрддэгийг хэн ч ойлгодоггүй.

Математикийн үүднээс авч үзвэл Зено өөрийн апориадаа хэмжигдэхүүнээс . Энэ шилжилт нь байнгын бус хэрэглээг илэрхийлдэг. Миний ойлгож байгаагаар хувьсах хэмжлийн нэгжийг ашиглах математикийн аппарат хараахан боловсруулагдаагүй эсвэл Зеногийн апорид ашиглагдаагүй байна. Ердийн логикоо ашиглах нь биднийг урхинд оруулдаг. Бид сэтгэлгээний инерцийн улмаас цаг хугацааны тогтмол нэгжийг харилцан хамааралтай утгад ашигладаг. Физик талаас нь авч үзвэл, Ахиллес яст мэлхийг гүйцэх тэр мөчид цаг бүрэн зогсох хүртэл удааширч байгаа мэт харагдаж байна. Хэрэв цаг хугацаа зогсвол Ахиллес яст мэлхийг гүйцэж чадахгүй.

Хэрэв бид ердийн логикоо эргүүлбэл бүх зүйл байрандаа орно. Ахиллес тогтмол хурдтайгаар гүйдэг. Түүний замын дараагийн хэсэг бүр өмнөхөөсөө арав дахин богино байна. Үүний дагуу үүнийг даван туулахад зарцуулсан хугацаа өмнөхөөсөө арав дахин бага байна. Хэрэв бид энэ нөхцөлд "хязгааргүй" гэсэн ойлголтыг ашиглавал "Ахиллес яст мэлхийг хязгааргүй хурдан гүйцэх болно" гэж хэлэх нь зөв байх болно.

Энэ логик урхинаас хэрхэн зайлсхийх вэ? Цагийн тогтмол нэгжид үлдэж, харилцан адилгүй нэгж рүү бүү шилжинэ. Зеногийн хэлээр энэ нь дараах байдалтай байна.

Ахиллес мянган алхам гүйхэд яст мэлхий нэг зүгт зуун алхам мөлхөх болно. Эхнийхтэй тэнцэх дараагийн хугацааны интервалд Ахиллес дахиад мянган алхам гүйж, яст мэлхий зуун алхам мөлхөх болно. Одоо Ахиллес яст мэлхийнээс найман зуун алхмын өмнө байна.

Энэ хандлага нь бодит байдлыг ямар ч логик парадоксгүйгээр хангалттай дүрсэлдэг. Гэхдээ энэ нь асуудлыг шийдэх бүрэн шийдэл биш юм. Эйнштейний гэрлийн хурдыг үл тоомсорлодог тухай мэдэгдэл нь Зеногийн "Ахиллес ба яст мэлхий" апориатай тун төстэй юм. Бид энэ асуудлыг судалж, дахин бодож, шийдвэрлэх шаардлагатай хэвээр байна. Мөн шийдлийг хязгааргүй олон тоогоор бус хэмжилтийн нэгжээр хайх ёстой.

Зеногийн өөр нэг сонирхолтой апориа нь нисдэг сумны тухай өгүүлдэг.

Нисдэг сум цаг мөч бүрт амарч, цаг мөч бүрт амарч байдаг тул хөдөлгөөнгүй байдаг.

Энэ апорид логик парадоксыг маш энгийнээр даван туулдаг - цаг мөч бүрт нисдэг сум сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдэд амарч байгаа бөгөөд энэ нь үнэндээ хөдөлгөөн юм гэдгийг тодруулахад хангалттай. Энд бас нэг зүйлийг анхаарах хэрэгтэй. Зам дээрх машины нэг гэрэл зургаас түүний хөдөлгөөний баримт, түүнд хүрэх зайг тодорхойлох боломжгүй юм. Машин хөдөлж байгаа эсэхийг тодорхойлохын тулд цаг хугацааны өөр өөр цэгээс нэг цэгээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй боловч тэдгээрийн хоорондох зайг тодорхойлж чадахгүй. Машин хүртэлх зайг тодорхойлохын тулд танд сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй, гэхдээ тэдгээрээс та хөдөлгөөний баримтыг тодорхойлж чадахгүй (мэдээжийн хэрэг, танд тооцоололд нэмэлт мэдээлэл хэрэгтэй, тригонометр танд туслах болно. ). Миний онцгой анхаарал хандуулахыг хүсч байгаа зүйл бол цаг хугацааны хоёр цэг, орон зайн хоёр цэг нь судалгаа хийх өөр өөр боломжийг олгодог тул андуурч болохгүй өөр зүйл юм.
Би үйл явцыг жишээгээр харуулах болно. Бид "батга дахь улаан хатуулаг" -ыг сонгодог - энэ бол бидний "бүхэл бүтэн" юм. Үүний зэрэгцээ эдгээр зүйлүүд нь нумтай, нумгүй байдаг гэдгийг бид харж байна. Үүний дараа бид "бүхэл бүтэн" хэсгийг сонгоод "нумтай" багц үүсгэдэг. Бөө нар олонлогийн онолоо бодит байдалтай уялдуулан хоол ундгаа ингэж авдаг.

Одоо жаахан заль мэх хийцгээе. "Нумтай батгатай хатуу" -ыг аваад улаан өнгийн элементүүдийг сонгон өнгөний дагуу эдгээр "бүхэл" -ийг нэгтгэж үзье. Бид маш их "улаан" авсан. Одоо эцсийн асуулт: "нумтай" ба "улаан" иж бүрдэл нь ижил эсвэл хоёр өөр багц уу? Хариултыг нь бөө нар л мэднэ. Бүр тодруулбал, тэд өөрсдөө юу ч мэдэхгүй, гэхдээ тэдний хэлснээр ийм байх болно.

Энэхүү энгийн жишээ нь олонлогийн онол бодит байдалд хүрэхэд огт хэрэггүй болохыг харуулж байна. Нууц нь юу вэ? Бид "батгатай, нумтай улаан хатуу" багцыг үүсгэсэн. Энэхүү формац нь өнгө (улаан), хүч чадал (цул), барзгар (батга), чимэглэл (нумтай) гэсэн дөрвөн өөр хэмжүүрээр явагдсан. Зөвхөн хэмжлийн нэгжийн багц нь бодит объектыг математикийн хэлээр хангалттай дүрслэх боломжийг олгодог.. Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна.

Өөр өөр индекс бүхий "а" үсэг нь өөр өөр хэмжлийн нэгжийг илэрхийлдэг. Урьдчилсан шатанд "бүхэл" -ийг ялгах хэмжлийн нэгжийг хаалтанд тэмдэглэв. Багц бүрдүүлэх хэмжүүрийн нэгжийг хаалтнаас гаргана. Сүүлийн мөрөнд эцсийн үр дүн - багцын элементийг харуулав. Таны харж байгаагаар хэрэв бид багц үүсгэхийн тулд хэмжлийн нэгжийг ашигладаг бол үр дүн нь бидний үйлдлийн дарааллаас хамаардаггүй. Энэ бол математик болохоос бөө нарын хэнгэрэг барин бүжиглэх биш. Хэмжилтийн нэгж нь тэдний "шинжлэх ухааны" арсеналын нэг хэсэг биш учраас бөө нар "мэдээжийн" гэж маргаж "зөн совингоор" ижил үр дүнд хүрч чадна.

Хэмжилтийн нэгжийг ашигласнаар нэг багцыг хуваах эсвэл хэд хэдэн багцыг нэг супер багц болгон нэгтгэхэд маш хялбар байдаг. Энэ үйл явцын алгебрийг нарийвчлан авч үзье.

Тоо, зэргийг оруулаад = дарна уу.

^

Зэрэглэлийн хүснэгт

Жишээ нь: 2 3 =8 Зэрэг: Тоо 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1 024 3 9 27 81 243 729 2 187 6 561 19 683 59 049 4 16 64 256 1 024 4 096 16 384 65 536 262 144 1 048 576 5 25 125 625 3 125 15 625 78 125 390 625 1 953 125 9 765 625 6 36 216 1 296 7 776 46 656 279 936 1 679 616 10 077 696 60 466 176 7 49 343 2 401 16 807 117 649 823 543 5 764 801 40 353 607 282 475 249 8 64 512 4 096 32 768 262 144 2 097 152 16 777 216 134 217 728 1 073 741 824 9 81 729 6 561 59 049 531 441 4 782 969 43 046 721 387 420 489 3 486 784 401 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 10 000 000 000 11 121 1 331 14 641 161 051 1 771 561 19 487 171 214 358 881 2 357 947 691 25 937 424 601 12 144 1 728 20 736 248 832 2 985 984 35 831 808 429 981 696 5 159 780 352 61 917 364 224 13 169 2 197 28 561 371 293 4 826 809 62 748 517 815 730 721 10 604 499 373 137 858 491 849 14 196 2 744 38 416 537 824 7 529 536 105 413 504 1 475 789 056 20 661 046 784 289 254 654 976 15 225 3 375 50 625 759 375 11 390 625 170 859 375 2 562 890 625 38 443 359 375 576 650 390 625 16 256 4 096 65 536 1 048 576 16 777 216 268 435 456 4 294 967 296 68 719 476 736 1 099 511 627 776 17 289 4 913 83 521 1 419 857 24 137 569 410 338 673 6 975 757 441 118 587 876 497 2 015 993 900 449 18 324 5 832 104 976 1 889 568 34 012 224 612 220 032 11 019 960 576 198 359 290 368 3 570 467 226 624 19 361 6 859 130 321 2 476 099 47 045 881 893 871 739 16 983 563 041 322 687 697 779 6 131 066 257 801 20 400 8 000 160 000 3 200 000 64 000 000 1 280 000 000 25 600 000 000 512 000 000 000 10 240 000 000 000 21 441 9 261 194 481 4 084 101 85 766 121 1 801 088 541 37 822 859 361 794 280 046 581 16 679 880 978 201 22 484 10 648 234 256 5 153 632 113 379 904 2 494 357 888 54 875 873 536 1 207 269 217 792 26 559 922 791 424 23 529 12 167 279 841 6 436 343 148 035 889 3 404 825 447 78 310 985 281 1 801 152 661 463 41 426 511 213 649 24 576 13 824 331 776 7 962 624 191 102 976 4 586 471 424 110 075 314 176 2 641 807 540 224 63 403 380 965 376 25 625 15 625 390 625 9 765 625 244 140 625 6 103 515 625 152 587 890 625 3 814 697 265 625 95 367 431 640 625

Зэрэглэлийн шинж чанарууд - 2 хэсэг

Алгебрийн үндсэн зэрэглэлийн хүснэгтийг авсаархан хэлбэрээр (зураг, хэвлэхэд тохиромжтой), тоон дээр, зэрэглэлийн хажуу талд байрлуулна.

Эхнийх нь 1-тэй тэнцүү, дараагийнх бүр нь хоёр дахин их тоонуудын дарааллыг авч үзье: 1, 2, 4, 8, 16, ... Экспонентуудыг ашиглан үүнийг тэнцүү хэлбэрээр бичиж болно: 2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, ... Үүнийг нэлээд хүлээгдэж буйгаар нэрлэдэг: хоёр хүчний дараалал.Үүнд гайхалтай зүйл байхгүй юм шиг санагдаж байна - тууштай байдал нь тууштай адил, бусдаас илүү сайн биш, муу ч биш юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь маш гайхалтай шинж чанартай байдаг.

Шатрын тавцангийн эхний дөрвөлжинд нэг үр тариа, хоёр дахь нь хоёр, гурав дахь нь дөрөв гэх мэтээр захирагчаас гуйсан шатар зохион бүтээгчийн тухай сонгодог түүхээс олон уншигчид тааралдсан нь дамжиггүй. дээр, үргэлж үр тарианы тоог хоёр дахин нэмэгдүүлнэ. Тэдний нийт тоо тэнцүү байгаа нь тодорхой байна

С= 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 63 . (1)

Гэвч энэ хэмжээ нь гайхалтай том бөгөөд дэлхий даяар жилийн үр тарианы ургацаас хэд дахин давж байгаа тул мэргэн захирагчийг саваа шиг нүүлгэсэн нь тогтоогджээ.

Гэсэн хэдий ч одоо өөр нэг асуултыг өөрөөсөө асууя: хамгийн бага хөдөлмөрөөр үнэ цэнийг хэрхэн тооцоолох вэ С? Тооцоологч (эсвэл компьютер) эзэмшигчид ойрын хугацаанд үржүүлэлтийг хялбархан хийж, дараа нь 64 тоог нэмж, хариултыг хүлээн авна: 18,446,744,073,709,551,615. Тооцооллын хэмжээ нэлээд их тул алдаа гарах магадлал маш өндөр байна. өндөр.

Илүү зальтай хүмүүс энэ дарааллыг анзаарч чадна геометрийн прогресс. Энэ ойлголтыг сайн мэдэхгүй хүмүүс (эсвэл геометрийн прогрессийн нийлбэрийн стандарт томъёог мартсан хүмүүс) дараах үндэслэлийг ашиглаж болно. Тэгш байдлын (1) хоёр талыг 2-оор үржүүлье. Хоёрын зэрэглэлийг хоёр дахин нэмэгдүүлэхэд илтгэгч нь 1-ээр нэмэгддэг тул бид 2 гарна.

2С = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 64 . (2)

Одоо (2) -аас бид (1) хасна. Зүүн талд нь мэдээж 2 болж хувирна С – С = С. Баруун талд нь 2 1-ээс 2 63 хүртэлх бараг бүх хоёр хүчийг асар их хэмжээгээр устгаж, зөвхөн 2 64 – 2 0 = 2 64 – 1 л үлдэнэ. Тэгэхээр:

S= 2 64 – 1.

За, илэрхийлэл нь мэдэгдэхүйц хялбаршуулсан бөгөөд одоо хүчийг нэмэгдүүлэх боломжийг олгодог тооцоолууртай бол та энэ хэмжигдэхүүний утгыг өчүүхэн ч асуудалгүйгээр олох боломжтой.

Хэрэв танд тооны машин байхгүй бол яах ёстой вэ? 64 хоёрыг багана болгон үржүүлэх үү? Өөр юу дутагдаж байв! Туршлагатай инженер эсвэл хэрэглээний математикч, түүний хувьд цаг хугацаа гол хүчин зүйл нь хурдан байх болно тооцоохариулах, өөрөөр хэлбэл. зөвшөөрөгдөх нарийвчлалтайгаар ойролцоогоор олох. Дүрмээр бол, өдөр тутмын амьдралд (мөн ихэнх байгалийн шинжлэх ухаанд) 2-3% -ийн алдаа нэлээд хүлээн зөвшөөрөгддөг бөгөөд хэрэв энэ нь 1% -иас хэтрэхгүй бол энэ нь зүгээр л гайхалтай юм! Та манай үр тариаг ийм алдаатай тооцоолуургүйгээр, хэдхэн минутын дотор тооцоолж болно. Хэрхэн? Та одоо харах болно.

Тиймээс бид 64 хоёрын үржвэрийг аль болох нарийвчлалтай олох хэрэгтэй (бид ач холбогдолгүй тул нэгийг нь шууд хаях болно). Тэднийг 4 хоёрын тусдаа бүлэгт, 10 хоёрын өөр 6 бүлэгт хуваая. Тусдаа бүлэгт хоёрын үржвэр нь 2 4 = 16-тай тэнцүү байна. Мөн бусад бүлэг тус бүрт 10 хоёрын үржвэр нь 2 10 = 1024-тэй тэнцүү байна (эргэлзэж байгаа эсэхийг харна уу!). Гэхдээ 1024 нь 1000 орчим, өөрөөр хэлбэл. 10 3. Тийм ч учраас С 16-ийн тооны үржвэрт 6-аар ойр байх ёстой бөгөөд тус бүр нь 10 3-тай тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. S ≈ 16·10 18 (18 = 3·6 оноос хойш). Үнэн бол энд алдаа их хэвээр байна: эцэст нь 1024-ийг 1000-аар солиход бид 6 удаа 1.024 удаа андуурч, харахад амархан 1.024 6 удаа андуурсан. Тэгэхээр одоо яах вэ - 1.024-ийг зургаа дахин үржүүлэх үү? Үгүй ээ, бид даван туулах болно! Энэ нь дугаарын хувьд мэдэгдэж байна X 1-ээс олон дахин бага бол дараах ойролцоо томъёо нь өндөр нарийвчлалтайгаар хүчинтэй байна: (1 + x) n ≈ 1 + xn.

Тиймээс 1.024 6 = (1 + 0.24) 6 ≈ 1 + 0.24 6 = 1.144. Тиймээс бид олсон 16·10 18 тоог 1.144 тоогоор үржүүлэх шаардлагатай бөгөөд үр дүнд нь 18,304,000,000,000,000,000 болох ба энэ нь зөв хариултаас 1%-иас бага зөрүүтэй байна. Энэ бол бидний хүссэн зүйл!

Энэ тохиолдолд бид маш их азтай байсан: хоёрын нэг (арав дахь) нь аравтын аль нэгэнд (тухайлбал, гурав дахь) маш ойрхон байв. Энэ нь 64-р биш хоёрын аль ч хүчний утгыг хурдан үнэлэх боломжийг бидэнд олгодог. Бусад тооны хүчнүүдийн дунд энэ нь ховор тохиолддог. Жишээлбэл, 5 10 нь 10 7-оос 1.024 дахин ялгаатай боловч ... бага хэмжээгээр. Гэсэн хэдий ч, энэ нь ижил зүйл юм: 2 10 5 10 = 10 10, дараа нь хэдэн удаа 2 10 давуу 10 3, ижил тооны үржүүлгийн тоо 5 10 бага, 10 7-аас илүү.

Энэ дарааллын өөр нэг сонирхолтой онцлог нь ямар ч натурал тоог үүсгэж болно янз бүрийнхоёрын эрх мэдэл, цорын ганц арга замаар. Жишээлбэл, энэ жилийн тоо бидэнд байна

2012 = 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 .

Энэ боломж, өвөрмөц байдлыг батлах нь тийм ч хэцүү биш юм. -ээс эхэлье боломжууд.Бид тодорхой натурал тоог хоёрын өөр зэрэглэлийн нийлбэрээр илэрхийлэх хэрэгтэй гэж бодъё Н. Эхлээд нийлбэрээр бичье Ннэгж. Нэг нь 2 0 тул эхлээд Ннийлбэр байна адилханхоёрын эрх мэдэл. Дараа нь бид тэдгээрийг хос хосоор нь нэгтгэж эхэлнэ. 2 0-тэй тэнцүү хоёр тооны нийлбэр нь 2 1 тул үр дүн нь байна бага байх нь ойлгомжтой 2 1-тэй тэнцүү гишүүний тоо, хэрэв хос олдоогүй бол нэг тоо 2 0 байж болно. Дараа нь бид 2 1 гэсэн ижил нэр томъёог хос хосоор нь нэгтгэж, бүр бага тооны 2 2 тоог олж авдаг (энд мөн хоёр 2 1-ийн хосгүй хүч гарч ирэх боломжтой). Дараа нь бид дахин ижил нэр томъёог хосоор нь нэгтгэх гэх мэт. Эрт орой хэзээ нэгэн цагт үйл явц дуусах болно, учир нь нэгдэл бүрийн дараа хоёр ижил хүчний тоо буурдаг. Энэ нь 1-тэй тэнцүү болоход асуудал дуусна. Үлдсэн бүх зүйл бол хоёрын хосгүй хүчийг нэгтгэх явдал бөгөөд гүйцэтгэл бэлэн болно.

Нотлох баримтын хувьд өвөрмөц байдалТөлөөлөгчдийн хувьд "зөрчилдөөний" арга нь энд маш тохиромжтой. Үүнтэй ижил тоо гаргаарай Нхэлбэрээр төлөөлөх боломжтой болсон хоёрбүрэн давхцдаггүй хоёрын өөр өөр чадлын багц (өөрөөр хэлбэл нэг багцад багтсан хоёрын хүч байдаг боловч нөгөөд ороогүй ба эсрэгээр). Эхлээд хоёр багцаас (хэрэв байгаа бол) хоёрын тохирох бүх хүчийг хасъя. Та ижил тооны хоёр дүрслэлийг авах болно (бага эсвэл тэнцүү Н) хоёр янзын хүчний нийлбэрээр, ба Бүгдтөлөөллийн зэрэг өөр. Төлөвлөлт бүрт бид онцлон тэмдэглэв хамгийн агуузэрэг. Дээрхээс шалтгаалан хоёр дүрслэлийн хувьд эдгээр зэрэг болно өөр. Энэ зэрэг нь илүү байгаа төлөөллийг бид гэж нэрлэдэг эхлээд, бусад - хоёрдугаарт. Тиймээс эхний дүрслэлд хамгийн их зэрэг нь 2 байна м, дараа нь хоёрдугаарт энэ нь 2-оос хэтрэхгүй байх нь ойлгомжтой м-1. Гэхдээ (мөн бид шатрын самбар дээрх үр тариаг тоолоход дээр дурдсантай тулгарсан) тэгш байдал үнэн юм.

2м = (2м –1 + 2м –2 + ... + 2 0) + 1,

дараа нь 2 м хатуу илүү 2-ын бүх чадлын нийлбэр 2-оос ихгүй байна м-1. Ийм учраас эхний төлөөлөлд орсон хоёрын хамгийн том хүч нь нийлбэрээс их байх нь гарцаагүй хүн бүрхоёр дахь төлөөлөлд багтсан хоёрын эрх мэдэл. Зөрчилдөөн!

Уг нь бид тоо бичих боломжийг сая л зөвтгөсөн хоёртынтооллын систем. Та бүхний мэдэж байгаагаар энэ нь зөвхөн тэг ба нэг гэсэн хоёр цифрийг ашигладаг бөгөөд натурал тоо бүрийг хоёртын системд өвөрмөц байдлаар бичдэг (жишээлбэл, дээр дурдсан 2012 он - 11 111 011 100 гэх мэт). Хэрэв бид цифрүүдийг (хоёртын цифрүүд) баруунаас зүүн тийш 0-ээс эхлэн дугаарлавал нэг нь байгаа цифрүүдийн тоо нь дүрслэлд багтсан хоёрын чадлын үзүүлэлт байх болно.

Хоёрын сөрөг бус бүхэл тооны олонлогийн дараах шинж чанар төдийлөн сайн мэддэггүй. Тэдгээрийн заримд нь дур мэдэн хасах тэмдэг өгье, өөрөөр хэлбэл эерэгийг сөрөг болгон хувиргая. Цорын ганц шаардлага бол эерэг ба сөрөг тоонуудын үр дүн байх явдал юм хязгааргүй тоо.Жишээлбэл, та хоёрын тав дахь хүч тутамд хасах тэмдэг тавьж болно, эсвэл жишээлбэл, зөвхөн 2 10, 2 100, 2 1000 гэх мэт тоонуудыг үлдээж болно - хүссэн хэмжээгээрээ олон сонголт байна.

Гайхалтай нь ямар ч бүхэлд ньЭнэ тоог (мөн цорын ганц аргаар) бидний "эерэг сөрөг" дарааллын янз бүрийн нөхцлийн нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болно. Үүнийг нотлох нь тийм ч хэцүү биш юм (жишээлбэл, хоёрын хүчийг илтгэх индукц). Нотолгооны гол санаа нь дур зоргоороо том үнэмлэхүй утгатай эерэг ба сөрөг нөхцлүүд байгаа явдал юм. Өөрөө нотлох баримтыг туршиж үзээрэй.

Хоёр зэрэглэлийн дарааллын нөхцлийн сүүлийн цифрүүдийг ажиглах нь сонирхолтой юм. Дараалсан тоо бүрийг өмнөх тоог хоёр дахин нэмэгдүүлэх замаар олж авдаг тул тэдгээрийн сүүлчийн орон нь өмнөх тооны сүүлийн цифрээр бүрэн тодорхойлогддог. Хязгаарлагдмал тооны өөр цифрүүд байдаг тул хоёрын зэрэглэлийн сүүлийн цифрүүдийн дараалал нь энгийн үүрэг хүлээсэнүе үе байх! Мэдээжийн хэрэг, хугацааны үргэлжлэх хугацаа нь 10-аас хэтрэхгүй (үүнд бид хичнээн тооны тоог ашигладаг), гэхдээ энэ нь хэт их үнэлэгдсэн утга юм. Одоохондоо дарааллыг өөрөө бичихгүйгээр дүгнэхийг хичээцгээе. 2 1-ээс эхлэн хоёрын бүх зэрэглэлийн сүүлийн цифрүүд нь тодорхой байна. бүр. Нэмж дурдахад, тэдгээрийн дунд тэг байх боломжгүй - учир нь тэгээр төгссөн тоо нь 5-д хуваагддаг тул үүнийг хоёрын зэрэглэл гэж сэжиглэж болохгүй. Тэггүй зөвхөн дөрвөн тэгш оронтой тул хугацааны урт 4-өөс хэтрэхгүй.

Туршилтаас харахад энэ нь тийм бөгөөд үе үе бараг тэр даруй гарч ирдэг: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ... - онолын дагуу!

Хоёр зэрэглэлийн дарааллын сүүлийн хос цифрүүдийн хугацааны уртыг тооцоолох нь тийм ч амжилттай биш юм. 2 2-оос эхлэн хоёрын бүх зэрэглэл 4-т хуваагддаг тул тэдгээрийн сүүлийн хоёр цифрээр үүсгэгдсэн тоонууд 4-т хуваагдана. 4-т хуваагдах хоёр оронтой тоо 25-аас илүүгүй байна (нэг оронтой тоонд, Бид тэгийг эцсийн өмнөх цифр гэж үздэг ), гэхдээ тэдгээрээс та тэгээр төгссөн таван тоог хасах хэрэгтэй: 00, 20, 40, 60, 80. Тиймээс үе нь 25 - 5 = 20 тооноос ихгүй байж болно. Шалгах нь ийм байгааг харуулж байна, үе нь 2 2 тоогоор эхэлж, 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68 гэсэн хос тоонуудыг агуулна. 36, 72, 44, 88, 76, 52, дараа нь дахин 04 гэх мэт.

Үүний нэгэн адил сүүлчийнх нь хугацааны урт гэдгийг баталж болно мхоёрын зэрэглэлийн дарааллын цифрүүд 45-аас ихгүй байна м-1 (түүнээс гадна тэр тэнцүү 4·5 м-1, гэхдээ үүнийг батлахад илүү хэцүү байдаг).

Тиймээс хоёрын эрх мэдлийн сүүлчийн орон дээр нэлээд хатуу хязгаарлалт тавьдаг. Яах вэ эхлээдтоо? Энд байдал бараг эсрэгээрээ байна. Үүний төлөө болж байна ямар чцифрүүдийн багц (эхнийх нь тэг биш), энэ олон тооны цифрээс эхлэн хоёрын хүч байна. Мөн ийм хоёр эрх мэдэл хязгааргүй олон!Жишээлбэл, 2012 буюу 3,333,333,333,333,333,333,333 гэсэн цифрүүдээс эхэлсэн хоёрын хязгааргүй тооны зэрэглэлүүд байдаг.

Хэрэв бид хоёр янзын хүчний зөвхөн нэг эхний цифрийг авч үзвэл ямар утгыг авч болох вэ? 1-ээс 9-ийг багтаасан эсэхийг шалгахад хялбар байдаг (мэдээжийн хэрэг, тэдгээрийн дунд тэг байхгүй). Гэхдээ тэдгээрийн аль нь илүү түгээмэл, аль нь бага байдаг вэ? Яагаад нэг тоо нөгөөгөөсөө илүү олон удаа гарч ирэх ёстой нь тодорхойгүй байна. Гэсэн хэдий ч илүү гүнзгий эргэцүүлэл нь тоонуудын яг адилхан тохиолдлыг хүлээх боломжгүй гэдгийг харуулж байна. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв хоёрын аль нэг түвшний эхний цифр нь 5, 6, 7, 8 эсвэл 9 байвал дараагийн хоёр түвшний эхний цифр нь заавал байх болно. нэгж!Тиймээс ядаж эв нэгдлийн төлөөх “газар” байх ёстой. Тиймээс үлдсэн тоо нь “тэнцүү төлөөлөлтэй” байх нь юу л бол.

Дадлага нь (жишээлбэл, хоёрын эхний хэдэн арван мянган хүчийг компьютерийн шууд тооцоолол) бидний сэжиглэлийг баталж байна. Хоёрын зэрэглэлийн эхний цифрүүдийн харьцангуй хувь хэмжээг аравтын бутархайн 4 орон болгон бөөрөнхийлж байна.

1 - 0,3010
2 - 0,1761
3 - 0,1249
4 - 0,0969
5 - 0,0792
6 - 0,0669
7 - 0,0580
8 - 0,0512
9 - 0,0458

Бидний харж байгаагаар тоо нэмэгдэхийн хэрээр энэ утга буурч байна (тиймээс ижил нэгж нь есөөс хоёрын зэрэглэлийн эхний орон байх магадлал ойролцоогоор 6.5 дахин их байдаг). Хачирхалтай мэт санагдаж байгаа ч эхний цифрүүдийн тоонуудын бараг ижил харьцаа нь бараг бүх дараалалд тохиолдох болно - зөвхөн хоёр биш, гурав, тав, найм, ерөнхийдөө бараг хэн чтоонууд, түүний дотор бүхэл бус тоонууд (цорын ганц үл хамаарах зүйл нь зарим "тусгай" тоонууд юм). Үүний шалтгаан нь маш гүнзгий бөгөөд нарийн төвөгтэй бөгөөд тэдгээрийг ойлгохын тулд та логарифмыг мэдэх хэрэгтэй. Тэднийг мэддэг хүмүүсийн хувьд хөшигөө сөхье: аравтын тэмдэглэгээ нь тооноос эхэлдэг хоёр хүчний харьцангуй хувь хэмжээ юм. Ф(Тийм Ф= 1, 2, ..., 9), лог ( Ф+ 1) – lg ( Ф), энд lg гэж нэрлэгддэг аравтын логарифм,логарифмын тэмдгийн доорх тоог гаргахын тулд 10-ын тоог өсгөх ёстой илтгэгчтэй тэнцүү.

Дээр дурдсан хоёр ба тавын хүчний хоорондын холбоог ашиглан А.Канел нэгэн сонирхолтой үзэгдлийг олж илрүүлжээ. Хоёр (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, ...) зэрэглэлийн эхний цифрүүдийн дарааллаас хэд хэдэн тоог сонгоцгооё. гэрээмөн урвуу дарааллаар бичнэ үү. Эдгээр тоонууд гарцаагүй таарах нь харагдаж байна бас дараалан, тодорхой газраас эхлэн тавын зэрэглэлийн эхний цифрүүдийн дарааллаар.

Хоёрын эрх мэдэл нь алдартай бүтээгдэхүүнийг үйлдвэрлэх нэгэн төрлийн "үүсгүүр" юм төгс тоо, энэ нь бүх хуваагчийн нийлбэртэй тэнцүү, өөрийгөө хассан. Жишээ нь 6 тоо нь 1, 2, 3, 6 гэсэн дөрвөн хуваагчтай. 6 гэсэн тоотой тэнцэх тоог хасъя. Гурван хуваагч үлдэж, тэдгээрийн нийлбэр нь яг 1 + 2 + 3 = 6. Иймд. , 6 бол төгс тоо юм.

Төгс тоог гаргахын тулд хоёр дараалсан хоёр хүчийг авна: 2 n-1 ба 2 n. Тэдгээрийн хамгийн томыг 1-ээр багасгавал бид 2-ыг авна n– 1. Хэрэв энэ анхны тоо бол өмнөх хоёрын тоогоор үржүүлбэл төгс тоо 2 болно. n –1 (2n- 1). Жишээлбэл, хэзээ П= 3 бол бид 4 ба 8 гэсэн анхны тоог авна. 8 – 1 = 7 нь анхны тоо тул 4·7 = 28 төгс тоо болно. Түүгээр ч барахгүй нэгэн цагт Леонард Эйлер бүх зүйлийг нотолсон бүртөгс тоонууд яг ийм хэлбэртэй байна. Сондгой төгс тоо хараахан олдоогүй байна (мөн тэдний оршин тогтнолд итгэдэг хүмүүс цөөхөн).

Хоёрын эрх мэдэл гэдэгтэй нягт холбоотой Каталан тоо, дараалал нь 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429... Төрөл бүрийн комбинаторын бодлогуудыг шийдвэрлэх үед ихэвчлэн үүсдэг. Жишээлбэл, гүдгэрийг хэдэн аргаар хувааж болно n-заалагдсан диагональтай гурвалжин руу орох уу? Үүнтэй ижил Эйлер энэ утга нь ( n– 1) каталан тоо руу (бид үүнийг тэмдэглэнэ Kn-1), тэр бас үүнийг олж мэдсэн Kn = Kn-14 n – 6)/n. Каталоны тооны дараалал нь олон сонирхолтой шинж чанартай бөгөөд тэдгээрийн нэг нь (энэ нийтлэлийн сэдэвтэй холбоотой) бүх сондгой каталан тоонуудын дарааллын тоо нь хоёрын зэрэглэл юм!

Хоёрын эрх мэдэл нь зөвхөн нөхцөл байдалд төдийгүй хариултуудад янз бүрийн асуудалд ихэвчлэн олддог. Жишээлбэл, нэгэн цагт алдартай байсан (одоо ч мартаагүй) Ханой цамхаг. Энэ нь 19-р зуунд Францын математикч Э.Люкийн зохион бүтээсэн оньсого тоглоомын нэр байв. Энэ нь гурван саваа агуулдаг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь бэхлэгдсэн байна nтус бүрийн дунд нүхтэй дискүүд. Бүх дискнүүдийн диаметр нь өөр өөр бөгөөд тэдгээрийг доороос дээш доош чиглэсэн дарааллаар байрлуулсан, өөрөөр хэлбэл хамгийн том диск нь доод талд байрладаг (зураг харна уу). Энэ нь дискний цамхаг шиг болсон.

Та энэ цамхгийг өөр саваа руу зөөж, дараах дүрмийг баримтлах хэрэгтэй: дискүүдийг нэг нэгээр нь шилжүүлж (дээд дискийг ямар ч саваанаас салгаж), зөвхөн жижиг дискийг том дээр нь байрлуулна, гэхдээ эсрэгээр биш. Асуулт нь: үүнд хамгийн бага хэдэн нүүдэл хийх шаардлагатай вэ? (Бид нэг саваанаас дискийг салгаж, нөгөөд нь тавихыг хөдөлгөөн гэж нэрлэдэг.) Хариулт: энэ нь 2-той тэнцүү. n– 1, энэ нь индукцээр амархан нотлогддог.

Заавал nдискний хувьд шаардлагатай хамгийн бага хөдөлгөөн нь тэнцүү байна X n. Бид олох болно X n+1. Ажлын явцад эрт орой хэзээ нэгэн цагт та бүх дискийг анх байрлуулсан бариулаас хамгийн том дискийг салгах хэрэгтэй болно. Энэ дискийг зөвхөн хоосон саваа дээр байрлуулж болох тул (эсвэл энэ нь жижиг дискийг "доош дарах" бөгөөд үүнийг хориглоно), дараа нь бүх дээд nдискийг эхлээд гурав дахь саваа руу шилжүүлэх шаардлагатай болно. Энэ нь үүнээс бага зүйл шаардахгүй X nхөдөлдөг. Дараа нь бид хамгийн том дискийг хоосон саваа руу шилжүүлдэг - энд өөр нэг алхам байна. Эцэст нь, дээрээс нь жижиг зүйлээр "шахах" тулд nдиск, дахин танд багагүй зүйл хэрэгтэй болно X nхөдөлдөг. Тэгэхээр, X n +1 ≥ X n + 1 +Xn = 2X n+ 1. Нөгөө талаар дээр дурдсан алхмууд нь 2-р даалгаврыг хэрхэн даван туулахыг харуулж байна X n+ 1 хөдөлгөөн. Тиймээс, эцэст нь X n +1 =2X n+ 1. Дахин давтагдах хамаарлыг олж авсан боловч "хэвийн" хэлбэрт оруулахын тулд бид олох шаардлагатай хэвээр байна. X 1 . За, энэ нь маш энгийн: X 1 = 1 (энэ нь зүгээр л бага байж болохгүй!). Эдгээр өгөгдөл дээр үндэслэн үүнийг олж мэдэх нь тийм ч хэцүү биш юм X n = 2n– 1.

Энд бас нэг сонирхолтой асуудал байна:

Хэд хэдэн (дор хаяж хоёр) дараалсан натурал тооны нийлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй бүх натурал тоог ол.

Эхлээд хамгийн бага тоонуудыг шалгая. Энэ маягт дахь 1-ийн тоог төлөөлөх боломжгүй нь тодорхой байна. Гэхдээ 1-ээс их сондгой бүх тоог мэдээжийн хэрэг төсөөлж болно. Үнэндээ 1-ээс их сондгой тоог 2 гэж бичиж болно к + 1 (к- натурал), энэ нь дараалсан хоёр натурал тооны нийлбэр юм: 2 к + 1 = к + (к + 1).

Тэгш тоонуудыг яах вэ? 2 ба 4-ийн тоог шаардлагатай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй гэдгийг харахад хялбар байдаг. Магадгүй энэ нь бүх тэгш тоонуудын хувьд үнэн юм болов уу? Харамсалтай нь дараагийн тэгш тоо нь бидний таамаглалыг няцааж байна: 6 = 1 + 2 + 3. Гэхдээ 8-ын тоо дахин тохирохгүй. Дараах тоонууд дахин дайралтанд өртөж байгаа нь үнэн: 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5, 14 = 2 + 3 + 4 + 5, гэхдээ 16 нь дахин төсөөлөхийн аргагүй юм.

За, хуримтлагдсан мэдээлэл нь урьдчилсан дүгнэлт гаргах боломжийг бидэнд олгодог. Анхаарна уу: заасан маягтаар илгээх боломжгүй зөвхөн хоёрын эрх мэдэл. Үлдсэн тоонуудын хувьд энэ үнэн үү? Тийм ээ! Үнэн хэрэгтээ бүх натурал тоонуудын нийлбэрийг авч үзье мөмнө nбагтаасан. Нөхцөл байдлын дагуу дор хаяж хоёр нь байдаг тул n > м. Та бүхний мэдэж байгаагаар арифметик прогрессийн дараалсан гишүүдийн нийлбэр (мөн энэ нь бидний ярьж байгаа зүйл юм!) нь эхний ба сүүлчийн гишүүний хагас нийлбэр ба тэдгээрийн тооны үржвэртэй тэнцүү байна. Хагас нийлбэр нь ( n + м)/2, мөн тооны тоо байна n – м+ 1. Тиймээс нийлбэр нь ( n + м)(n – м+ 1)/2. Тоолуур нь тус бүрдээ хоёр хүчин зүйл агуулдаг гэдгийг анхаарна уу хатуу илүү 1 бөгөөд тэдгээрийн паритет өөр байна. Энэ нь бүх натурал тоонуудын нийлбэр болох нь харагдаж байна мөмнө n 1-ээс их сондгой тоонд хуваагддаг тул хоёрын зэрэглэл байж болохгүй. Тэгэхээр яагаад хоёрын эрх мэдлийг шаардлагатай хэлбэрээр төлөөлөх боломжгүй байсан нь тодорхой болсон.

Үүнийг баталгаажуулах нь хэвээр байна хоёрын эрх бишта төсөөлж чадна. Сондгой тоонуудын хувьд бид аль хэдийн дээр дурдсан. Хоёрын зэрэглэлгүй тэгш тоог авъя. Хоёрт хуваагдах хамгийн их хүчийг 2 гэж үзье а (а- байгалийн). Дараа нь тоо нь 2-т хуваагдвал а, энэ нь аль хэдийн бүтэх болно хачин 1-ээс их тоо, бидний мэддэг хэлбэрээр бичдэг - 2 гэж к+ 1 (к- мөн байгалийн). Энэ нь ерөнхийдөө хоёрын зэрэглэлгүй тэгш тоо нь 2 гэсэн үг юм а (2к+ 1). Одоо хоёр сонголтыг авч үзье:

1. 2 а+1 > 2к+ 1. 2-ын нийлбэрийг авна к+ 1 дараалсан натурал тоо, дундажүүнээс 2-той тэнцүү байна а. Тэр үед үүнийг харахад амархан хамгийн багадааүүнээс 2-той тэнцүү a–k, хамгийн том нь 2 а + к, хамгийн жижиг нь (мөн бусад нь) эерэг, өөрөөр хэлбэл үнэхээр байгалийн юм. За, нийлбэр нь ердөө 2 байх нь ойлгомжтой а(2к + 1).
2. 2 а+1 < 2к+ 1. 2-ын нийлбэрийг авна а+1 дараалсан натурал тоо. Энд зааж өгөх боломжгүй дундажтоо, учир нь тооны тоо тэгш, гэхдээ заана хэд хэдэн дундтоонууд боломжтой: эдгээр нь тоо байг кТэгээд к+ 1. Дараа нь хамгийн багадаабүх тооны тэнцүү к+ 1 – 2а(мөн эерэг!), хамгийн их нь тэнцүү байна к+ 2а. Тэдний нийлбэр нь бас 2 байна а(2к + 1).

Тэгээд л болоо. Тиймээс хариулт нь: төлөөлөх боломжгүй тоо нь хоёрын хүч бөгөөд зөвхөн тэдгээр нь юм.

Энд бас нэг асуудал байна (үүнийг анх В. Произволов санал болгосон боловч арай өөр томъёолсон):

Цэцэрлэгийн талбай нь N хавтангаар хийсэн тасралтгүй хашаагаар хүрээлэгдсэн байдаг. Том Сойер авга эгч Поллигийн тушаалаар хашааг шохойдог боловч өөрийн системээр: цагийн зүүний дагуу байнга хөдөлж, эхлээд дурын самбарыг цайруулж, дараа нь нэг самбарыг алгасаад дараагийнхыг нь цайруулж, дараа нь хоёр самбарыг алгасаж, дараагийнхыг нь шохойдог. нэг, дараа нь гурван хавтанг алгасаад дараагийнхыг нь цайруулж, дахин нэг самбар алгасах бүртээ (энэ тохиолдолд зарим хавтанг хэд хэдэн удаа цайруулж болно - энэ нь Томыг зовоохгүй).

Том ийм схемээр эрт орой хэзээ нэгэн цагт бүх хавтанг цайруулах болно гэдэгт итгэдэг бөгөөд Полли авга эгч Том хэчнээн ажилласан ч гэсэн ядаж нэг самбар цайраагүй хэвээр байх болно гэдэгт итгэлтэй байна. N-ийн хувьд Томын зөв, N-ийн хувьд Полли эгч зөв бэ?

Тайлбарласан цайруулах систем нь нэлээд эмх замбараагүй мэт санагддаг тул эхэндээ энэ нь хэн нэгэнд (эсвэл бараг лямар ч) НСамбар бүр хэзээ нэгэн цагт шохойн хувиа авах болно, өөрөөр хэлбэл. ихэвчлэн, Томын зөв. Гэхдээ анхны сэтгэгдэл нь хууран мэхэлж байна, учир нь үнэндээ Том зөвхөн үнэт зүйлсийн хувьд зөв юм Н, эдгээр нь хоёрын хүч юм. Бусдын хувьд Нмөнхөд цайрахгүй байх самбар байдаг. Энэ баримтын нотолгоо нь нэлээд төвөгтэй (зарчмын хувьд хэцүү биш ч гэсэн). Уншигч та өөрөө үүнийг хийхийг урьж байна.

Энэ бол тэд хоёрын эрх мэдэл юм. Гаднаас нь харахад лийрийг буудаж байгаа юм шиг энгийн зүйл, гэхдээ нэг л удаа ухаад үзвэл... Мөн бид энд энэ дарааллын бүх гайхалтай, нууцлаг шинж чанаруудыг хөндөөгүй, зөвхөн бидний анхаарлыг татсан зүйлсийг л хөндсөн. Уншигч танд энэ чиглэлээр бие даан судалгаа хийх эрхийг өгсөн. Тэд үр дүнтэй байх нь дамжиггүй.

Тэдний тоо тэг байна).
Дээр дурдсанчлан зөвхөн хоёр биш!
Дэлгэрэнгүйг мэдэхийг хүссэн хүмүүс В.Болтянскийн “Хоёрын хүч нэгээс эхэлдэг үү?” гэсэн нийтлэлийг уншиж болно. (“Quantum” No5, 1978), түүнчлэн В.Арнольдын “Хоёрын хүчний эхний цифрүүдийн статистик ба дэлхийн дахин хуваарилалт” өгүүлэл (“Quantum” No1, 1998).
M1599 асуудлыг "Квантын асуудлын ном"-оос үзнэ үү ("Квант" 1997 оны 6-р дугаар).
Одоогоор мэдэгдэж байгаа 43 төгс тоо байгаагийн хамгийн том нь 2 30402456 (2 30402457 – 1) юм. Энэ нь 18-аас дээш хувийг агуулдаг сая саятоо