Олно:
a) параметр А;
б) тархалтын функц F(x) ;
в) санамсаргүй хэмжигдэхүүн X интервалд орох магадлал;
г) математикийн хүлээлт MX ба дисперсийн DX.
f(x) ба F(x) функцуудын графикийг зур.
Даалгавар 2. Интеграл функцээр өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х-ийн дисперсийг ол.
Даалгавар 3. Тархалтын функц өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн математик хүлээлтийг ол.
Даалгавар 4. Зарим санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтыг дараах байдлаар өгөв: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
А коэффициент, тархалтын функц F(x), математикийн хүлээлт ба дисперс, мөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалд утгыг авах магадлалыг ол. f(x) ба F(x) графикийг зур.
Даалгавар. Зарим тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг дараах байдлаар өгөв.
a ба b параметрүүдийг тодорхойлж, f(x) магадлалын нягтрал, математикийн хүлээлт ба дисперсийн илэрхийлэл, түүнчлэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалд утга авах магадлалыг ол. f(x) ба F(x)-ийн графикийг зур.
Тархалтын нягтын функцийг тархалтын функцийн дериватив хэлбэрээр олъё.
F′=f(x)=a
Бид a параметрийг олох болно гэдгийг мэдвэл: 
эсвэл 3a=1, үүнээс a = 1/3
Бид b параметрийг дараах шинж чанаруудаас олно.
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 эндээс b = -1/3
Тиймээс тархалтын функц нь F(x) = (x-1)/3 хэлбэртэй байна
Тархалт.
1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалд утга авах магадлалыг олъё
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3
Жишээ №1. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн магадлалын тархалтын нягт f(x) өгөгдсөн. Шаардлагатай:
- А коэффициентийг тодорхойлно.
- F(x) тархалтын функцийг ол.
- F(x) ба f(x)-ийн графикуудыг схемээр байгуул.
- X-ийн математик хүлээлт ба дисперсийг ол.
- (2;3) интервалаас X утга авах магадлалыг ол.
Шийдэл:
X санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг f(x) тархалтын нягтаар тодорхойлно:
Нөхцөлөөс А параметрийг олъё.
эсвэл
14/3*A-1 = 0
Хаана,
A = 3/14
Түгээлтийн функцийг томъёог ашиглан олж болно.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтрал, түүний тодорхойлолт, шинж чанар, график.
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг нягтрал бүхий тархалт (тархалт) гэж нэрлэдэг 
x тэнхлэгийн тодорхой хэсэг дээр. Магадлалын нягт 
, F(x) тархалтын функцтэй адил тархалтын хуулийн нэг хэлбэр боловч тархалтын функцээс ялгаатай нь зөвхөн оршин байдаг. тасралтгүй хувьд
санамсаргүй хэмжигдэхүүн
. Магадлалын нягтыг заримдаа гэж нэрлэдэг дифференциал функц
эсвэл дифференциал тархалтын хууль
. Магадлалын нягтын график 
дуудсан тархалтын муруй
.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтын шинж чанарууд.
☺
монотон буурахгүй F(x) функцийн дериватив хэлбэрээр. ☻
☺ 
Хуваарилалтын функцийн 4-р өмчийн дагуу. F(x) нь магадлалын нягтын эсрэг дериватив учраас 
(учир нь 
, дараа нь Ньютон-Лейбницийн томъёоны дагуу [a,b] сегмент дэх эсрэг деривативын өсөлт нь тодорхой интеграл болно. 
.
☻
Геометрийн аргаар олж авсан магадлал нь дээд хэсэгт тархалтын муруйгаар хязгаарлагдсан зургийн талбайтай тэнцүү бөгөөд [a,b] сегмент дээр суурилдаг (Зураг 3.8).
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг томъёоны дагуу магадлалын нягтаар илэрхийлж болно.:
.
Геометрийн хувьд тархалтын функц нь тархалтын муруйгаас дээш хүрээлэгдсэн, x цэгийн зүүн талд байрлах зургийн талбайтай тэнцүү байна (Зураг 3.9).
Геометрийн хувьд магадлалын нягтын 1 ба 4-р шинж чанарууд нь түүний график - тархалтын муруй нь абсцисса тэнхлэгээс доогуур биш, тархалтын муруй ба абсцисса тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн нийт талбай нэгтэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.
Хоёр гишүүний хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн, түүний математик хүлээлт ба дисперс. Пуассоны тархалтын хууль.
Тодорхойлолт. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X байна бином тархалтын хууль npq параметртэй, хэрэв энэ нь 0, 1, 2,..., m,... ,n утгыг авбал магадлал бүхий
хаана 0<р Бидний харж байгаагаар P(X=m) магадлалыг Бернуллигийн томьёо ашиглан олдог тул бином тархалтын хууль нь n бие даасан туршилт дахь А үйл явдлын X=m тохиолдлын тооны тархалтын хууль юм. ижил магадлалаар тохиолдож болно p . Хоёр гишүүний хуулийн тархалтын цуваа нь дараах хэлбэртэй байна. Хоёр гишүүний хуулийн тодорхойлолт зөв гэдэг нь ойлгомжтой, учир нь түгээлтийн цувралын үндсэн өмч Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ
дурангийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X, Тодорхойлолт.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X байна Пуассоны тархалтын хууль
λ > 0 параметртэй, хэрэв энэ нь магадлал бүхий 0, 1, 2,..., m, ... (хязгааргүй боловч тоолж болохуйц утгуудын багц) утгуудыг авбал Пуассоны хуулийн тархалтын цуврал нь дараах хэлбэртэй байна. Мэдээжийн хэрэг, Пуассоны хуулийн тодорхойлолт нь зөв, учир нь түгээлтийн цувралын үндсэн шинж чанар юм Зураг дээр. Зураг 4.1-д λ = 0.5, λ = 1, λ = 2, λ = 3.5 параметртэй Р(Х=m)=Р m (λ) Пуассоны хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын олон өнцөгтийг (олон өнцөгт) үзүүлэв. Теорем.
Хүлээлт ба зөрүү
Пуассоны хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь давхцаж, энэ хуулийн λ параметртэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. Дээр тархалтын функцийг ашиглан тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлсон. Даалгаврын энэ арга нь цорын ганц биш юм. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг мөн нэртэй функцийг ашиглан тодорхойлж болно түгээлтийн нягтрал
эсвэл магадлалын нягт
(ихэвчлэн дууддаг дифференциал функц
). Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын нягт Xфункцийг дуудна f(x)-тархалтын функцийн анхны дериватив F(x):
f (x) = F" (x). Энэ тодорхойлолтоос харахад түгээлтийн функц нь байна эсрэг дериватив
түгээлтийн нягтын хувьд. Тархалтын нягтыг мэдсэнээр та тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь өгөгдсөн интервалд хамаарах утгыг авах магадлалыг тооцоолж болно. Теорем. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлал Xинтервалд хамаарах утгыг авна ( а, б), хүртэлх мужид авсан тархалтын нягтын тодорхой интегралтай тэнцүү байна Аөмнө б: Тархалтын нягтыг мэдэх f(x), бид түгээлтийн функцийг олж чадна F(x)томъёоны дагуу Тархалтын нягтын шинж чанарууд: Үл хөдлөх хөрөнгө 1.Түгээлтийн нягтрал нь сөрөг бус функц юм: Геометрийн хувьд энэ шинж чанар нь тархалтын нягтын графикт хамаарах цэгүүд тэнхлэгийн аль нэг дээр байрладаг гэсэн үг юм. Өө, эсвэл энэ тэнхлэгт. Тархалтын нягтын график гэж нэрлэдэг тархалтын муруй
. Үл хөдлөх хөрөнгө 2. хүртэлх тархалтын нягтын буруу интеграл Геометрийн хувьд энэ нь Ox тэнхлэг ба тархалтын муруйгаар хязгаарлагдсан муруйн трапецын талбай бүхэлдээ нэгтэй тэнцүү байна гэсэн үг юм. Ялангуяа санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх утгууд интервалд хамаарах бол ( а, б), Тэр Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт Тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүрэн тодорхойлдог. Гэсэн хэдий ч энэ нь ихэвчлэн урьдчилан мэдэгддэггүй бөгөөд шууд бус мэдээллийг ашиглах шаардлагатай болдог. Ихэнх тохиолдолд эдгээр шууд бус шинж чанарууд нь практик асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай бөгөөд хуваарилалтын хуулийг тодорхойлох шаардлагагүй байдаг. Ийм шинж чанаруудыг нэрлэдэг тоон шинж чанар
санамсаргүй хувьсагчийн хачиг. Тэдний эхнийх нь математикийн хүлээлт юм. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт XЭнэ нь түүний бүх боломжит утгуудын бүтээгдэхүүний нийлбэр юм ( x 1 , x 2 , …, x n) тэдгээрийн магадлал дээр ( х 1 , х 2 , …, p n):
Үүнийг тэмдэглэх нь зүйтэй М(x) Байна санамсаргүй бус
(тогтмол. Үүнийг баталж болно М(x) нь ойролцоогоор тэнцүү байна (мөн илүү нарийвчлалтай байх тусам тестийн тоо их болно n) санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж. Математикийн хүлээлт нь дараах байдалтай байна шинж чанарууд:
· Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ тогтмол
хамгийн тогтмолтой тэнцүү: · Тогтмол үржүүлэгч
Математикийн хүлээлтийн шинж тэмдэг болгон авч болно: · Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ ажилладаг
хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн XТэгээд Ю(жишээ нь, тэдгээрийн аль нэгнийх нь тархалтын хууль нь нөгөөгийнхөө боломжит утгаас хамаарахгүй) нь тэдний математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна. · Хүлээгдэж буй үнэ цэнэ хэмжээ
Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь нэр томъёоны математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Энд доор хэмжээ
X+Yсанамсаргүй хэмжигдэхүүнийг утга тус бүрийн нийлбэртэй тэнцүү байх шинэ санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж ойлгодог. Xболомжтой бүх үнэ цэнээр Ю; боломжит утгуудын магадлал X+Yбие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд XТэгээд ЮНөхцөлүүдийн магадлалын үржвэртэй, харин хамааралтай хүмүүсийн хувьд нэг гишүүний магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна. Тэгэхээр, хэрэв XТэгээд Ю– тэдгээрийн хуваарилалтын хууль нь мөн бие даасан байдаг · Хэрэв үйлдвэрлэсэн бол nбие даасан тестүүд, in тус бүр нь үйл явдлын магадлал юм Атогтмол бөгөөд тэнцүү байна х, дараа нь математикийн хүлээлт харагдах тоо
үйл явдал Ацувралд: Гурав ба дөрөв дэх шинж чанаруудыг дурын тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүнд хялбархан ерөнхийд нь хэлнэ гэдгийг анхаарна уу. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс Хүлээгдэж буй утга нь тохиромжтой шинж чанар боловч санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд эсвэл тэдгээрийг хэрхэн үнэлэхэд хангалтгүй байдаг. тараагдсан
дундаж утгын ойролцоо. Тиймээс бусад тоон шинж чанаруудыг танилцуулж байна. Болъё X– математикийн хүлээлттэй санамсаргүй хэмжигдэхүүн М(X). Хазайлт
X 0 нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба түүний математик хүлээлт хоёрын ялгаа юм. Математикийн хазайлтын хүлээлт М(X 0) = 0. Жишээ. Хэмжээг хуваарилах хуулийг өгье X: Хазайлт нь завсрын шинж чанар бөгөөд үүний үндсэн дээр бид илүү тохиромжтой шинж чанарыг нэвтрүүлдэг. Зөрчил
(тархалт
) Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадрат хазайлтын математик хүлээлт юм. Жишээлбэл, хэмжигдэхүүний дисперсийг олъё Xдараах хуваарилалтын хуулиар: Энд. Шаардлагатай хэлбэлзэл: Вариацын хэмжээг зөвхөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд төдийгүй тэдгээрийн магадлалаар тодорхойлдог. Тиймээс, хэрэв хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь ижил эсвэл ижил төстэй математик хүлээлттэй байвал (энэ нь ихэвчлэн тохиолддог) хэлбэлзэл нь ихэвчлэн өөр байдаг. Энэ нь судалж буй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг цаашид тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодог. Дисперсийн шинж чанарыг жагсаацгаая: · Өөрчлөлт тогтмол
тоо хэмжээ нь тэгтэй тэнцүү байна: · Тогтмол үржүүлэгч
Үүнийг квадрат болгосноор дисперсийн тэмдгээс гаргаж болно. · Өөрчлөлт хэмжээ
Тэгээд ялгаа
Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь эдгээр хувьсагчдын дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна: · Өөрчлөлт харагдах тоо
үйл явдал АВ nбие даасан тестүүд, тус бүрд нь магадлал Пүйл явдал тохиолдох тогтмол
-ийг дараах томъёогоор тодорхойлно. Хаана Тохиромжтой туслах шинж чанарыг тооцоолоход илүү олон удаа ашигладаг Д(X), байна стандарт хэлбэлзэл
(эсвэл Стандарт
) санамсаргүй хэмжигдэхүүн: Бодит байдал ийм л байна Д(X) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжигдэхүүний квадратын хэмжээс, стандарт хэмжигдэхүүнтэй байна. X) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй ижил байна X. Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтыг тооцоолоход маш тохиромжтой. Жишээ. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтаар өгье. Бид тооцоолно: м, ба стандарт: м. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай XБид аль нэгийг нь хэлж болно - түүний математикийн хүлээлт нь 13.04 м 2 тархалттай 6.4 м, эсвэл түүний математик хүлээлт нь тархалттай 6.4 м байна. Тэрийг тэмдэглэ хэмжээний хувьд
nбие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд: Анхдагч ба гол онолын цэгүүд Дээр дурдсан тоон үзүүлэлтүүдийн ихэнх практик тооцооллын хувьд МX),ДX)ба X) хангалттай. Гэсэн хэдий ч санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн зан төлөвийг судлахын тулд та санамсаргүй хэмжигдэхүүний зан байдлын нарийн ширийн зүйлийг хянах, дээрх онолыг ерөнхийд нь нэгтгэх боломжийг олгодог зарим нэмэлт тоон шинж чанаруудыг ашиглаж болно. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний k-р эрэмбийн эхний момент Xхэмжигдэхүүний математик хүлээлт гэж нэрлэдэг X к :
$X$ нь $F(x)$ магадлалын тархалтын функцтэй тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн байг. Түгээлтийн функцийн тодорхойлолтыг эргэн санацгаая. Тодорхойлолт 1 Түгээлтийн функц нь $F\left(x\right)=P(X) нөхцөлийг хангадаг $F(x)$ функц юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн үргэлжилдэг тул бидний мэдэж байгаачлан магадлалын тархалтын функц $F(x)$ нь тасралтгүй функц байх болно. $F\left(x\right)$-г мөн тодорхойлолтын бүх домайн дээр ялгах боломжтой байг. $(x,x+\triangle x)$ интервалыг авч үзье (энд $\гурвалжин x$ нь $x$ утгын өсөлт). Түүний дээр Одоо $ \ гурвалжин x $ -ийн өсөлтийн утгыг тэг рүү чиглүүлснээр бид дараахь зүйлийг олж авна. Зураг 1. Ингэснээр бид дараахь зүйлийг авна. Тархалтын нягт нь тархалтын функцийн нэгэн адил санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийн нэг хэлбэр юм. Гэхдээ тархалтын хуулийг зөвхөн тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд тархалтын нягтар дамжуулан бичиж болно. Тодорхойлолт 3 Тархалтын муруй нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягтын $\varphi \left(x\right)$ функцийн график юм (Зураг 1). Зураг 2. Нягтын тархалтын график. Геометрийн утга 1:Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн $(\альфа ,\бета)$ интервалд орох магадлал нь $\varphi \left(x\right)$ тархалтын функцийн графикаар хязгаарлагдсан муруйн трапецын талбайтай тэнцүү байна. $x=\alpha ,$ $x=\beta $ ба $y=0$ шулуун шугамууд (Зураг 2). Зураг 3. $(\alpha ,\beta)$ интервалд тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн орох магадлалын геометрийн дүрслэл. Геометрийн утга 2:$\varphi \left(x\right)$ тархалтын функц, $y=0$ шугам болон $x$ шугамын хувьсагчийн графикаар хязгаарлагдсан хязгааргүй муруй шугаман трапецын талбай нь тархалтын функцээс өөр зүйл биш юм. $F(x)$ (Зураг 3). Зураг 4. $F(x)$ магадлалын функцийг $\varphi \left(x\right)$ тархалтын нягтар дамжуулан геометрээр дүрсэлсэн. Жишээ 1 $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний $F(x)$ тархалтын функцийг дараах хэлбэртэй болгоё. Тархалтын нягтын шинж чанарууд Эхлээд түгээлтийн нягтрал гэж юу болохыг эргэн санацгаая. Тархалтын нягтын шинж чанарыг авч үзье. Өмч 1:$\varphi (x)$ тархалтын нягтын функц нь сөрөг биш: Баталгаа. $F(x)$ тархалтын функц нь буурахгүй функц гэдгийг бид мэднэ. Тодорхойлолтоос харахад $\varphi \left(x\right)=F"(x)$ бөгөөд буурахгүй функцийн дериватив нь сөрөг бус функц байна. Геометрийн хувьд энэ шинж чанар нь тархалтын нягтын $\varphi \left(x\right)$ функцийн график нь $Ox$ тэнхлэгийн өөрөө дээр эсвэл дээр байна гэсэн үг юм (Зураг 1). Зураг 1. $\varphi (x)\ge 0$ тэгш бус байдлын дүрслэл. Үл хөдлөх хөрөнгө 2:$-\infty $-аас $+\infty $ хүртэлх муж дахь тархалтын нягтын функцийн буруу интеграл нь 1-тэй тэнцүү байна. Баталгаа. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $(\alpha ,\beta)$ интервалд орох магадлалыг олох томъёог эргэн санацгаая. Зураг 2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $(-\infty ,+\infty $) интервалд орох магадлалыг олцгооё: Зураг 3. Мэдээжийн хэрэг, санамсаргүй хэмжигдэхүүн $(-\infty ,+\infty $) интервалд үргэлж ордог тул ийм цохилтын магадлал нэгтэй тэнцүү байна. Бид авах: Геометрийн хувьд хоёрдахь шинж чанар нь $\varphi (x)$ тархалтын нягтын функц ба x тэнхлэгийн графикаар хязгаарлагдсан муруйн трапецын талбай нь тоон хувьд нэгтэй тэнцүү байна гэсэн үг юм. Бид мөн урвуу шинж чанарыг томъёолж болно: Үл хөдлөх хөрөнгө 3:$\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right)dx)=1$ тэгш байдлыг хангасан ямар ч сөрөг бус $f(x)\ge 0$ функц нь тархалтын нягтын функц зарим тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн. $x$ хувьсагчийг $\triangle x$-ийн өсөлтөөр өгье. Тархалтын нягтын магадлалын утга: $X$ тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн $(x,x+\гурвалжин x)$ интервалаас утгыг авах магадлал нь $x$ цэг дэх магадлалын тархалтын нягтын үржвэртэй ойролцоогоор тэнцүү байна. $\гурвалжин x$ өсөлтөөр: Зураг 4. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягтын магадлалын утгын геометрийн дүрслэл. Жишээ 1 Магадлалын нягтын функц нь дараах хэлбэртэй байна. Зураг 5. Зураг 6. 2-р өмчийг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна. \[-2\альфа =1,\] \[\альфа =-\frac(1)(2).\] Өөрөөр хэлбэл, тархалтын нягтын функц нь дараах хэлбэртэй байна. Зураг 7. Зураг 8. Жишээ 2 Түгээлтийн нягтын функц нь $\varphi \left(x\right)=\frac(\alpha )(chx)$ хэлбэртэй байна. ($chx$ нь гипербол косинус гэдгийг санаарай). $\alpha $ коэффициентийн утгыг ол. Шийдэл. Хоёрдахь өмчийг ашиглацгаая: \[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(\alpha )(chx)dx)=1,\] \[\alpha \int\limits^(+\infty )_ (-\infty )(\frac(dx)(chx))=1,\] \[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=( \mathop(lim)_(a\to -\infty ) \int\limits^0_a(\frac(dx)(chx))\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \int \хязгаар^b_0(\frac(dx)(chx))\ )\] $chx=\frac(e^x+e^(-x))(2)$ учраас \[\int(\frac(dx)(chx))=2\int(\frac(dx)(e^x+e^(-x)))=2\int(\frac(de^x)( (1+e)^(2х)))=2arctge^x+C\] \[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=(\mathop(lim)_(a\to -\infty ) \left(-2arctge^ a\right)\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \left(2arctge^b\right)\ )=\pi \] Тиймээс: \[\pi \alpha =1,\] \[\alpha =\frac(1)(\pi )\]
хийсэн учраас 
Энэ нь Ньютоны биномийн тэлэлтийн бүх нөхцлийн нийлбэрээс өөр зүйл биш юм.
ба түүний хэлбэлзэл 
,
сэтгэл хангалуун, учир нь цувралын нийлбэр.
Тэгээд 
.
.
өмнө 
нэгтэй тэнцүү:
.
.
.
.
.
.
.
.
,
- үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлал.
. X
2м 3м 10м
П
0,1
0,4
0,5
m.Хоёр дахь томъёолол нь илүү тодорхой болсон нь ойлгомжтой.
Тархалтын нягтын магадлалын утга
Тархалтын нягтын шинж чанарыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх жишээ
