Тооны утга(үндсэн "пи") нь харьцаатай тэнцүү математикийн тогтмол юм
Грек цагаан толгойн "pi" үсгээр тэмдэглэсэн. Хуучин нэр - Людольфын дугаар.
Pi нь хэдтэй тэнцүү вэ?Энгийн тохиолдолд эхний 3 шинж тэмдгийг мэдэхэд хангалттай (3.14). Гэхдээ илүү ихийг
нарийн төвөгтэй тохиолдлууд, илүү нарийвчлалтай байх шаардлагатай тохиолдолд та 3-аас илүү цифрийг мэдэх хэрэгтэй.
Пи гэж юу вэ? pi тооны эхний 1000 аравтын орон:
3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989...
Хэвийн нөхцөлд pi-ийн ойролцоо утгыг дараах алхмуудыг дагаж тооцоолж болно.
доор өгөгдсөн:
- Тойрог аваад утсыг ирмэгээр нь нэг удаа боож өгнө.
- Бид утасны уртыг хэмждэг.
- Бид тойргийн диаметрийг хэмждэг.
- Утасны уртыг диаметрийн уртаар хуваана. Бид pi тоог авсан.
Pi-ийн шинж чанарууд.
- пи- иррационал тоо, өөрөөр хэлбэл. pi-ийн утгыг хэлбэрээр зөв илэрхийлэх боломжгүй
бутархай м/н, Хаана мТэгээд nбүхэл тоонууд байна. Эндээс харахад аравтын дүрслэл
pi хэзээ ч дуусдаггүй бөгөөд энэ нь үе үе биш юм.
- пи- трансцендент тоо, өөрөөр хэлбэл. энэ нь бүхэл тоотой олон гишүүнтийн үндэс байж болохгүй
коэффициентүүд. 1882 онд профессор Коенигсбергский трансцендентийг нотолсон pi тоонууд, А
Дараа нь Мюнхений их сургуулийн профессор Линдеман. Нотлох баримтыг хялбаршуулсан
Феликс Клейн 1894 онд.
- Учир нь Евклидийн геометрт тойргийн талбай ба тойрог нь pi-ийн функцууд юм.
Пи-ийн давж гарсан нотолгоо нь тойргийн квадратын талаарх маргааныг эцэс болгов.
2.5 мянган жил.
- пицагирагийн элемент (өөрөөр хэлбэл тооцоолж болох ба арифметик тоо).
Гэхдээ энэ нь сарын тэмдгийн цагирагт хамаарах эсэхийг хэн ч мэдэхгүй.
Pi тооны томъёо.
- Франсуа Вьетнам:
- Уоллис томъёо:
- Лейбницийн цуврал:
- Бусад мөрүүд:
Pi нь хэдтэй тэнцүү вэ?Бид сургуулиасаа мэддэг, санаж байна. Энэ нь 3.1415926-тай тэнцүү гэх мэт... Энгийн хүн тойргийн тойргийг голчоор нь хуваахад энэ тоо гарна гэдгийг мэдэхэд л хангалттай. Гэхдээ Пи тоо нь зөвхөн математик, геометрийн төдийгүй физикийн санаанд оромгүй салбарт гарч ирдэг гэдгийг олон хүмүүс мэддэг. За, хэрэв та энэ тооны мөн чанарын нарийн ширийнийг судалбал эцэс төгсгөлгүй цуврал тоонуудын дунд олон гайхалтай зүйлийг анзаарах болно. Пи орчлон ертөнцийн хамгийн гүн нууцыг нууж байгаа болов уу?
Хязгааргүй тоо
Пи тоо нь өөрөө манай ертөнцөд диаметр нь нэгтэй тэнцүү тойргийн урт мэт харагддаг. Гэхдээ Pi-тэй тэнцэх сегмент нэлээд хязгаарлагдмал хэдий ч Pi тоо 3.1415926-аас эхэлж, хэзээ ч давтагдахгүй тооны эгнээнд хязгааргүйд хүрдэг. Хамгийн эхний гайхмаар зүйл бол геометрт ашигладаг энэ тоог бүхэл тооны бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй юм. Өөрөөр хэлбэл, та үүнийг a/b хоёр тооны харьцаагаар бичиж болохгүй. Үүнээс гадна Пи тоо нь трансцендент юм. Энэ нь шийдэл нь Pi тоо болох бүхэл тооны коэффициент бүхий тэгшитгэл (олон гишүүн) байхгүй гэсэн үг юм.
Пи тоо трансцендентал гэдгийг 1882 онд Германы математикч фон Линдеман нотолсон. Энэ нь тухайн тойргийн талбайтай тэнцүү талбайг луужин, захирагч ашиглан зурах боломжтой юу гэсэн асуултын хариулт болсон нотолгоо болсон юм. Энэ асуудал нь эрт дээр үеэс хүн төрөлхтний санааг зовоож ирсэн тойрог квадратыг хайх гэж нэрлэгддэг. Энэ асуудал энгийн шийдэлтэй, шийдэгдэх гэж байгаа юм шиг санагдсан. Гэхдээ яг Pi тооны үл ойлгогдох шинж чанар нь тойргийг квадрат болгох асуудлыг шийдэх ямар ч шийдэл байхгүй гэдгийг харуулсан.
Дор хаяж дөрвөн ба хагас мянган жилийн турш хүн төрөлхтөн Pi-ийн илүү нарийвчлалтай утгыг олж авахыг хичээсээр ирсэн. Жишээлбэл, Хаадын гуравдугаар ном дахь Библид (7:23) Пи тоог 3 гэж авсан байдаг.
Гайхамшигтай нарийвчлалын Pi утгыг Гиза пирамидуудаас олж болно: пирамидын периметр ба өндрийн харьцаа нь 22/7 байна. Энэ бутархай нь 3.142-той тэнцэх Pi-ийн ойролцоо утгыг өгдөг... Мэдээж египетчүүд энэ харьцааг санамсаргүйгээр тогтоогоогүй бол. МЭӨ 3-р зуунд агуу Архимед Пи тоог тооцоолохтой холбоотой ижил утгыг аль хэдийн олж авсан.
МЭӨ 1650 онд хамаарах эртний Египетийн математикийн сурах бичиг болох Ахмесийн папирус дээр Пи 3.160493827 гэж тооцсон байдаг.
МЭӨ 9-р зууны үеийн эртний Энэтхэгийн бичвэрүүдэд хамгийн зөв утгыг 339/108 тоогоор илэрхийлсэн бөгөөд энэ нь 3.1388...
Архимедээс хойш бараг хоёр мянган жилийн турш хүмүүс Пиг тооцоолох арга замыг хайж олохыг хичээсэн. Тэдний дунд алдартай, үл мэдэгдэх математикчид байсан. Тухайлбал, Ромын архитектор Маркус Витрувий Поллио, Египетийн одон орон судлаач Клаудиус Птолемей, Хятадын математикч Лю Хуй, Энэтхэгийн мэргэн Арьябхата, Фибоначчи гэгддэг дундад зууны математикч Пизагийн Леонардо, Арабын эрдэмтэн Аль-Хорезми, түүний нэрнээс гаралтай үг. "алгоритм" гарч ирэв. Тэд бүгдээрээ болон бусад олон хүмүүс Пи-г тооцоолох хамгийн зөв аргыг хайж байсан боловч 15-р зууныг хүртэл тооцооллын нарийн төвөгтэй байдлаас болж аравтын бутархай 10-аас илүүгүй байв.
Эцэст нь 1400 онд Энэтхэгийн математикч Мадхава Сангамаграммаас Пи-г 13 оронтой нарийвчлалтайгаар тооцоолжээ (хэдийгээр сүүлийн хоёрт андуурсан хэвээр).
Тэмдгийн тоо
17-р зуунд Лейбниц, Ньютон нар хязгааргүй бага хэмжигдэхүүнүүдийн шинжилгээг нээсэн бөгөөд энэ нь Пи-г илүү дэвшилтэт байдлаар - хүчний цуваа ба интегралаар тооцоолох боломжтой болгосон. Ньютон өөрөө аравтын бутархайн 16 орон тоог тооцоолсон боловч номондоо үүнийг дурдаагүй - энэ нь түүнийг нас барсны дараа тодорхой болсон. Ньютон уйдсандаа л Пи-г тооцоолсон гэж мэдэгджээ.
Ойролцоогоор тэр үед бусад нэрд гарсан математикчид ч гарч ирж, тригонометрийн функцээр Пи тоог тооцоолох шинэ томъёог санал болгов.
Жишээлбэл, 1706 онд одон орон судлалын багш Жон Махины Пи-г тооцоолоход ашигласан томъёо нь энэ юм: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Махин аналитик аргуудыг ашиглан энэ томьёоноос аравтын орон хүртэлх Pi тоог гаргаж авсан.
Дашрамд дурдахад, мөн 1706 онд Пи тоо нь Грек үсгийн хэлбэрээр албан ёсны тэмдэглэгээг хүлээн авсан: Уильям Жонс үүнийг математикийн ажилд ашиглаж, "тойрог" гэсэн утгатай грек үгийн эхний үсгийг "захын" гэж авчээ. .” 1707 онд төрсөн агуу Леонхард Эйлер энэ нэрийг алдаршуулсан бөгөөд одоо ямар ч сургуулийн сурагчид мэддэг.
Компьютерийн эрин үеэс өмнө математикчид аль болох олон тэмдгийг тооцоолоход анхаарлаа хандуулдаг байв. Үүнтэй холбоотойгоор заримдаа инээдтэй зүйл гарч ирдэг. Сонирхогч математикч В.Шэнкс 1875 онд Пигийн 707 оронтой тоог тооцоолжээ. Эдгээр долоон зуун тэмдгийг 1937 онд Парис дахь Дисковерийн ордны хананд мөнхөлжээ. Гэсэн хэдий ч есөн жилийн дараа ажиглагч математикчид зөвхөн эхний 527 тэмдэгтийг зөв тооцоолсон болохыг олж мэдэв. Алдааг засахын тулд музей их хэмжээний зардал гаргах шаардлагатай болсон - одоо бүх тоо зөв байна.
Компьютер гарч ирэхэд Пи-ийн цифрүүдийн тоог огт төсөөлшгүй дарааллаар тооцоолж эхлэв.
1946 онд бүтээгдсэн анхны электрон компьютеруудын нэг болох ENIAC нь асар том хэмжээтэй бөгөөд маш их дулаан ялгаруулж, өрөө Цельсийн 50 хэм хүртэл дулаарч, Pi-ийн эхний 2037 оронтой тоог тооцоолжээ. Энэ тооцоонд машин 70 цаг зарцуулсан.
Компьютер хөгжихийн хэрээр бидний Пи-ийн талаарх мэдлэг улам бүр хязгааргүй рүү шилжсэн. 1958 онд 10 мянган оронтой тооны тоог тооцоолсон. 1987 онд Япончууд 10,013,395 тэмдэгтийг тооцоолжээ. 2011 онд Японы судлаач Шигэрү Хондо 10 триллион тэмдэгтийн босгыг давжээ.
Питэй өөр хаана уулзаж болох вэ?
Тиймээс, Пи тооны талаарх бидний мэдлэг ихэвчлэн сургуулийн түвшинд хэвээр үлддэг бөгөөд энэ тоо нь юуны түрүүнд геометрийн хувьд орлуулшгүй гэдгийг бид мэднэ.
Тойргийн урт ба талбайн томъёоноос гадна Pi тоог эллипс, бөмбөрцөг, конус, цилиндр, эллипсоид гэх мэт томъёонд ашигладаг: зарим газарт томъёо нь энгийн бөгөөд санахад хялбар байдаг. бусад нь маш нарийн төвөгтэй интеграл агуулдаг.
Дараа нь бид Пи тоог математикийн томъёогоор олж харах боломжтой бөгөөд энэ нь эхлээд харахад геометр харагдахгүй байна. Жишээлбэл, 1/(1-x^2)-ийн тодорхойгүй интеграл нь Pi-тэй тэнцүү байна.
Pi-г ихэвчлэн цуврал шинжилгээнд ашигладаг. Жишээлбэл, Pi-д нийлдэг энгийн цуврал энд байна:
1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4
Цувралуудын дунд Пи нь алдарт Riemann zeta функцэд хамгийн гэнэтийн байдлаар гарч ирдэг. Энэ тухай товчхон ярих боломжгүй, хэзээ нэгэн цагт Пи тоо анхны тоог тооцоолох томъёог олоход тусална гэж хэлье.
Гайхалтай нь: Пи нь математикийн хамгийн үзэсгэлэнтэй "хааны" хоёр томьёонд гарч ирдэг - Стирлингийн томъёо (энэ нь хүчин зүйлийн болон гамма функцийн ойролцоо утгыг олоход тусалдаг) болон Эйлерийн томъёо (энэ нь таван математикийн тогтмолыг холбодог).
Гэсэн хэдий ч магадлалын онолын математикчдыг хамгийн гэнэтийн нээлт хүлээж байв. Пи тоо бас байдаг.
Жишээлбэл, хоёр тоо харьцангуй анхны байх магадлал 6/PI^2 байна.
Пи нь 18-р зуунд томъёолсон Буффоны зүү шидэх асуудалд гардаг: доторлогоотой цаасан дээр шидсэн зүү аль нэг зураасыг давах магадлал хэд вэ. Хэрэв зүүний урт L, зураас хоорондын зай нь L, r > L байвал бид 2L/rPI магадлалын томъёогоор Pi-ийн утгыг ойролцоогоор тооцоолж болно. Зүгээр л төсөөлөөд үз дээ - бид санамсаргүй үйл явдлуудаас Pi-г авч чадна. Дашрамд хэлэхэд, Pi нь ердийн магадлалын тархалтад байдаг бөгөөд алдартай Гауссын муруйн тэгшитгэлд илэрдэг. Энэ нь Pi нь тойрог ба диаметрийн харьцаанаас илүү чухал гэсэн үг үү?
Бид Пи-тэй физикийн чиглэлээр ч уулзаж болно. Пи нь хоёр цэнэгийн харилцан үйлчлэлийн хүчийг тодорхойлсон Кулоны хуульд, Кеплерийн гуравдугаар хуульд гаригийн нарны эргэн тойронд эргэх хугацааг харуулсан, тэр ч байтугай устөрөгчийн атомын электрон тойрог замын зохион байгуулалтад ч гардаг. Хамгийн гайхалтай нь Пи тоо нь квант физикийн үндсэн хууль болох Гейзенбергийн тодорхойгүй байдлын зарчмын томъёонд нуугдаж байгаа явдал юм.
Пигийн нууцууд
Ижил нэртэй киног бүтээдэг Карл Саганы "Холбоо барих" роман дээр харь гарагийнхан Пигийн шинж тэмдгүүдийн дунд бурхнаас ирсэн нууц мэдээ байдаг гэж баатар бүсгүйд хэлдэг. Тодорхой байрлалаас харахад тоон дахь тоонууд санамсаргүй байхаа больж, Орчлон ертөнцийн бүх нууцыг бичсэн кодыг илэрхийлдэг.
Энэхүү роман нь дэлхийн өнцөг булан бүрт байгаа математикчдын оюун ухааныг эзэмдсэн нууцыг тусгаж өгсөн: Пи нь цифрүүд нь ижил давтамжтайгаар тархсан хэвийн тоо мөн үү, эсвэл энэ тоонд ямар нэг буруу зүйл байна уу? Эрдэмтэд эхний хувилбарт хандах хандлагатай байгаа ч (гэхдээ үүнийг баталж чадахгүй) Пи тоо маш нууцлаг харагдаж байна. Япон хүн нэг удаа Пигийн эхний триллион оронтой тоонд 0-ээс 9 хүртэлх тоо хэдэн удаа байдгийг тооцоолжээ. Тэгээд би 2, 4, 8 гэсэн тоонууд бусдаас илүү нийтлэг байгааг олж харсан. Энэ нь Pi нь огт хэвийн биш бөгөөд доторх тоонууд нь санамсаргүй биш гэдгийг илтгэх нэг санаа байж магадгүй юм.
Дээр уншсан бүхнээ санаж, өөр ямар иррационал, трансцендент тоо бодит ертөнцөд байнга олддог вэ?
Мөн илүү олон хачирхалтай зүйлс дэлгүүрт байна. Жишээлбэл, Пи-ийн эхний хорин цифрийн нийлбэр нь 20, эхний 144 цифрийн нийлбэр нь “араатны тоо” 666-тай тэнцүү байна.
Америкийн "Сэжигтэн" олон ангит киноны гол дүр, профессор Финч оюутнуудад Пи тооны хязгааргүйн улмаас таны төрсөн огнооны тооноос эхлээд илүү төвөгтэй тоо хүртэл ямар ч тооны хослол байж болно гэж оюутнуудад хэлэв. . Жишээлбэл, 762-р байрлалд зургаан есийн дараалал байна. Энэхүү сонирхолтой хослолыг анзаарсан алдарт физикчийн нэрээр энэ байрлалыг Фейнманы цэг гэж нэрлэдэг.
Пи тоо нь 0123456789 гэсэн дарааллыг агуулж байгаа ч 17,387,594,880 дахь цифрт байрлаж байгааг бид мэднэ.
Энэ бүхэн нь Пи тооны хязгааргүйд тоонуудын сонирхолтой хослолууд төдийгүй "Дайн ба энх"-ийн кодлогдсон текст, Библи, тэр ч байтугай орчлон ертөнцийн гол нууцыг олж болно гэсэн үг юм.
Дашрамд хэлэхэд Библийн тухай. Математикийн алдартай дэлгэрүүлэгч Мартин Гарднер 1966 онд Пи-ийн сая дахь орон (тэр үед тодорхойгүй байсан) 5 тоо байх болно гэж мэдэгдсэн. Тэрээр өөрийн тооцоогоо Библийн англи хувилбарт 3-р хэсэгт бичсэнтэй холбон тайлбарлав. ном, 14-р бүлэг, 16 ишлэл (3-14-16) долоо дахь үг нь таван үсэгтэй. Найман жилийн дараа сая дахь тоонд хүрсэн. Энэ бол тавын дугаар байсан.
Үүний дараа Пи тоог санамсаргүй гэж батлах нь зүйтэй болов уу?
PI, тоо - тойргийн диаметртэй периметрийн харьцааг илэрхийлдэг математикийн тогтмол. Пи тоо нь иррациональ трансценденталь тоо бөгөөд түүний дижитал дүрслэл нь төгсгөлгүй үе бус аравтын бутархай - 3.141592653589793238462643... гэх мэт хязгааргүй.Аравтын бутархайн дараах тоонуудад мөчлөг, систем байхгүй, өөрөөр хэлбэл Pi-ийн аравтын бутархайд таны төсөөлж чадах тооны дараалал байдаг (үүнд математикт маш ховор тохиолддог, урьдчилан таамагласан нэг сая жижиг тэгийн дараалал орно) Германы математикч Бернхардт Риман 1859 онд).
Энэ нь Pi нь кодлогдсон хэлбэрээр бичигдсэн болон бичигдээгүй бүх ном, ерөнхийдөө байгаа аливаа мэдээллийг агуулна гэсэн үг (ийм учраас саяхан Пи тоог 12411 триллион аравтын орон болгон тодорхойлсон Японы профессор Ясумаса Канадагийн тооцоолол тэр дороо хийгдсэн) ангилсан - ийм хэмжээний өгөгдлийн хувьд 1956 оноос өмнө хэвлэгдсэн аливаа нууц баримт бичгийн агуулгыг сэргээн засварлахад хэцүү биш боловч энэ өгөгдөл нь аливаа хүний байршлыг тодорхойлоход хангалтгүй боловч дор хаяж 236,734 их наяд аравтын бутархай шаардлагатай гэж үздэг. Ийм ажил одоо Пентагонд хийгдэж байна (цагийн хурд нь дууны хурдад аль хэдийн ойртож байгаа квант компьютер ашиглан).
Нарийн бүтцийн тогтмол (альфа), алтан харьцааны тогтмол (f=1.618...) гэх мэт өөр ямар ч тогтмолыг Pi тоогоор тодорхойлж болно, е тоог дурдахгүй бол pi тоо зөвхөн олддоггүй. геометрийн чиглэлээр, гэхдээ харьцангуйн онол, квант механик, цөмийн физик гэх мэт. Түүгээр ч зогсохгүй эрдэмтэд саяхан Pi-ээр дамжуулан элементийн бөөмсийн хүснэгтэд (өмнө нь Вудигийн хүснэгтээр дамжуулан үүнийг хийхийг оролдсон) энгийн бөөмсийн байршлыг тодорхойлох боломжтой болохыг олж мэдсэн бөгөөд саяхан тайлагдсан хүний ДНХ-д байгаа мэдээг олж мэдсэн. , Пи тоо нь ДНХ-ийн бүтцийг өөрөө хариуцдаг (хангалттай нийлмэл гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй), тэсрэх бөмбөг дэлбэрэх нөлөөг бий болгосон!
Түүний удирдлаган дор ДНХ-г тайлсан доктор Чарльз Канторын хэлснээр: “Орчлон ертөнцийн бидэнд тулгасан үндсэн асуудлын шийдэлд бид хүрсэн бололтой. Пи тоо хаа сайгүй байдаг бөгөөд энэ нь бидний мэддэг бүх үйл явцыг хянадаг бөгөөд өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна! Пи тоог өөрөө хэн хянадаг вэ? Одоогоор хариу ирээгүй байна." Үнэн хэрэгтээ, Кантор үнэнч шударга бус, хариулт бий, энэ нь үнэхээр гайхалтай бөгөөд эрдэмтэд өөрсдийнхөө амь насаас эмээж, үүнийг олон нийтэд зарлахгүй байхыг илүүд үздэг (энэ талаар дараа нь): Пи-ийн тоо өөрөө өөрийгөө хянадаг, энэ нь үндэслэлтэй юм! Дэмий юм уу? Битгий яар.
Эцсийн эцэст Фонвизин мөн хэлэхдээ "Хүний мунхаг байдалд бүх зүйлийг таны мэдэхгүй дэмий хоосон зүйл гэж үзэх нь маш их тайвшруулдаг.
Нэгдүгээрт, тоонуудын үндэслэлтэй байдлын талаархи таамаглалыг манай үеийн олон алдартай математикчид эртнээс үзэж байсан. Норвегийн математикч Нильс Хенрик Абел 1829 оны 2-р сард ээждээ бичсэн захидалдаа: "Би эдгээрийн аль нэг нь үндэслэлтэй гэсэн баталгааг хүлээн авсан. Би түүнтэй ярьсан! Гэхдээ намайг айлгаж байгаа зүйл бол энэ тоо юу болохыг олж мэдэх боломжгүй байна. Гэхдээ магадгүй энэ нь илүү сайн байх болно. Энэ нь илчлэгдвэл шийтгэгдэх болно гэдгийг Дугаар надад сануулсан.” Хэн мэдлээ, Нилс өөртэй нь ярьсан тооны утгыг илчлэх байсан ч 1829 оны 3-р сарын 6-нд нас баржээ.
1955 онд Японы Ютака Танияма "зууван муруй бүр тодорхой модуль хэлбэртэй тохирч байна" гэсэн таамаглал дэвшүүлэв (энэ таамаглал дээр үндэслэн Фермагийн теорем батлагдсан гэдгийг мэддэг). 1955 оны 9-р сарын 15-нд Токиод болсон олон улсын математикийн симпозиум дээр Таниама өөрийн таамаглалыг зарлаж, сэтгүүлчийн асуултад хариулахдаа "Та үүнийг яаж гаргасан бэ?" - Таниама хариуд нь: "Би энэ талаар бодоогүй, утасны дугаар надад энэ тухай хэлсэн."
Сэтгүүлч бүсгүй үүнийг хошигнол гэж бодоод “Утасны дугаарыг чинь хэлсэн үү?” хэмээн “дэмжэхээр” шийдэв. Таниама үүнд нухацтай хариулав: "Би энэ дугаарыг удаан хугацаанд мэддэг байсан юм шиг санагдаж байна, гэхдээ би одоо гурван жил, 51 хоног, 15 цаг 30 минутын дараа л мэдээлэх боломжтой." 1958 оны арваннэгдүгээр сард Таниама амиа хорложээ. Гурван жил, 51 хоног, 15 цаг 30 минут бол 3.1415. Тохиолдол уу? Байж магадгүй. Гэхдээ энд өөр нэг, бүр хачин юм. Италийн математикч Селла Квитино ч мөн адил тодорхой бус хэлснээр "нэг хөөрхөн тоотой холбоотой байж" хэдэн жилийг өнгөрөөжээ. Тухайн үед сэтгэцийн эмнэлэгт хэвтэн эмчлүүлж байсан Квитиногийн хэлснээр энэ хүн "төрсөн өдрөөрөө нэрийг нь хэлнэ гэж амласан." Квитино Пи тоог тоо гэж хэлэхээр ухаан алдаж чадах болов уу, эсвэл эмч нарыг санаатайгаар төөрөлдүүлсэн болов уу? Энэ нь тодорхойгүй байгаа ч 1827 оны 3-р сарын 14-нд Квитино таалал төгсөв.
Хамгийн нууцлаг түүх бол "агуу Харди" (Та бүхний мэдэж байгаачлан английн агуу математикч Годфри Харолд Харди гэж үе үеийнхэн нь нэрлэдэг) бөгөөд тэрээр өөрийн найз Жон Литлвудын хамт тооны онолын чиглэлээр алдартай болсон. (ялангуяа Диофантийн ойролцоо тооцооллын талбарт) ба функциональ онол (найз нөхөд тэгш бус байдлын судалгаагаараа алдартай болсон). Харди "манай дэлхийн хатан хаантай сүй тавьсан" гэж удаа дараа мэдэгдэж байсан ч албан ёсоор гэрлээгүй байсныг та мэдэж байгаа. Түүний ажлын өрөөндөө хэн нэгэнтэй ярилцаж байхыг бусад эрдэмтэд нэг бус удаа сонссон; түүний төмөрлөг, бага зэрэг жиргэрсэн хоолой нь сүүлийн жилүүдэд түүний ажиллаж байсан Оксфордын их сургуульд удаан хугацаанд яригдаж байсан ч түүний ярилцагчийг хэн ч хараагүй. 1947 оны 11-р сард эдгээр яриа тасарч, 1947 оны 12-р сарын 1-нд Харди хотын хогийн цэгээс гэдсэндээ сумтай олджээ. Амиа хорлосон хувилбарыг Хардигийн гарт бичсэн "Жон, чи надаас хатан хааныг хулгайлсан, би чамайг буруутгахгүй, гэхдээ би түүнгүйгээр цаашид амьдарч чадахгүй" гэж бичсэн тэмдэглэлээр батлагдсан.
Энэ түүх Пи тоотой холбоотой юу? Энэ нь тодорхойгүй хэвээр байгаа ч сонирхолтой биш гэж үү?+
Энэ түүх Пи тоотой холбоотой юу? Энэ нь тодорхойгүй хэвээр байгаа ч сонирхолтой биш гэж үү?
Ерөнхийдөө та ижил төстэй олон түүхийг цуглуулж чадна, мэдээжийн хэрэг, бүгд эмгэнэлтэй биш юм.
Гэхдээ "хоёрдугаарт" руу шилжье: тоо яаж үндэслэлтэй байж чадах вэ? Тийм ээ, маш энгийн. Хүний тархи нь 100 тэрбум мэдрэлийн эсийг агуулдаг бөгөөд Pi-ийн аравтын орны тоо хязгааргүй байх хандлагатай байдаг, ерөнхийдөө албан ёсны шалгуурын дагуу энэ нь үндэслэлтэй байж болно. Харин та Америкийн физикч Дэвид Бэйли, Канадын математикч Питер нарын бүтээлд итгэдэг бол
Борвин, Саймон Плооф нар, Пи дахь аравтын бутархайн дараалал нь эмх замбараагүй байдлын онолд хамаарна; ойролцоогоор хэлэхэд Пи тоо нь анхны хэлбэрээрээ эмх замбараагүй байдал юм. Эмх замбараагүй байдал нь ухаалаг байж чадах уу? Мэдээжийн хэрэг! Яг л вакуум шиг, хэдийгээр илт хоосон байсан ч энэ нь хоосон биш юм.
Түүнээс гадна, хэрэв та хүсвэл энэ эмх замбараагүй байдлыг графикаар дүрсэлж болно - энэ нь үндэслэлтэй байх болно. 1965 онд Польш гаралтай Америкийн математикч Станислав М.Улам (тэр термоядролын бөмбөг зохион бүтээх гол санааг гаргасан хүн) нэгэн маш урт бөгөөд уйтгартай (түүний хэлснээр) хуралд оролцож байхдаа. ямар нэгэн байдлаар зугаацахын тулд алаг цаасан дээр тоо бичиж эхлэв, Пи тоонд багтсан.
3-ыг голд нь байрлуулж, цагийн зүүний эсрэг спираль хэлбэрээр хөдөлж, аравтын бутархайн араас 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 болон бусад тоог бичжээ. Тэр ямар ч бодолгүйгээр бүх анхны тоог хар дугуйгаар нэгэн зэрэг дугуйлав. Удалгүй түүний гайхшралыг төрүүлэв, гайхалтай хатуужилтай тойрог шулуун шугамын дагуу эгнэж эхлэв - юу болсон нь үндэслэлтэй зүйлтэй маш төстэй байв. Ялангуяа Улам тусгай алгоритм ашиглан энэ зурган дээр үндэслэн өнгөт зургийг гаргасны дараа.
Үнэндээ тархи болон оддын мананцартай харьцуулж болох энэ зургийг "Пигийн тархи" гэж нэрлэх нь гарцаагүй. Ойролцоогоор ийм бүтцийн тусламжтайгаар энэ тоо (орчлон ертөнцийн цорын ганц боломжийн тоо) манай ертөнцийг удирддаг. Гэхдээ энэ хяналт хэрхэн явагддаг вэ? Дүрмээр бол физик, хими, физиологи, одон орон судлалын бичигдээгүй хуулиудын тусламжтайгаар боломжийн тоогоор удирдаж, тохируулдаг. Дээрх жишээнүүд нь ухаалаг тоог мөн зориудаар дүрсэлж, эрдэмтэдтэй нэгэн төрлийн супер бие хүн болгон харилцаж байгааг харуулж байна. Харин тийм бол бидний ертөнцөд Пи тоо жирийн хүний дүрд орж ирсэн үү?
Нарийн төвөгтэй асуудал. Ирсэн байж магадгүй, ирээгүй байж магадгүй, үүнийг тодорхойлох найдвартай арга байхгүй, байж ч болохгүй, гэхдээ энэ тоо бүх тохиолдолд өөрөө тодорхойлогддог бол тэр өдөр бидний ертөнцөд хүн болж ирсэн гэж үзэж болно. түүний утгатай тохирч байна. Мэдээжийн хэрэг, Пигийн хамгийн тохиромжтой төрсөн он сар өдөр нь 1592 оны 3-р сарын 14 (3.141592) боловч харамсалтай нь энэ жилийн найдвартай статистик мэдээ байхгүй байна - бид зөвхөн энэ жил буюу 3-р сарын 14-нд Жорж Виллиерс Букингем, "Шадар гурван цэрэг" киноны Букингемийн гүн. Тэр маш сайн хашаачин байсан, морь, шонхор агнуурын талаар маш сайн мэддэг байсан, гэхдээ тэр Пи байсан уу? Бараг. 1592 оны 3-р сарын 14-нд Шотландын уулархаг нутагт төрсөн Дункан Маклеод хэрвээ тэр жинхэнэ хүн байсан бол Пи тооны хүний дүрийн дүрд тоглох боломжтой.
Гэхдээ оныг (1592) Пи-ийн хувьд илүү логик хуанлийн дагуу тодорхойлж болно. Хэрэв бид энэ таамаглалыг хүлээн зөвшөөрвөл Пигийн дүрд нэр дэвших олон хүн гарч ирнэ.+
Тэдний хамгийн тод нь 1879 оны гуравдугаар сарын 14-нд төрсөн Альберт Эйнштейн юм. Гэхдээ 1879 он бол МЭӨ 287 онтой харьцуулахад 1592 он юм! Яагаад яг 287 гэж? Тийм ээ, яагаад гэвэл энэ онд дэлхийд анх удаа Пи тоог тойргийн диаметртэй харьцуулсан харьцаагаар тооцож, ямар ч тойрогт адилхан гэдгийг баталсан Архимед мэндэлсэн юм!
Тохиолдол уу? Гэхдээ санамсаргүй тохиолдлууд их байдаггүй гэж бодож байна уу?
Өнөөдөр Пи-г ямар зан чанараар дүрсэлсэн нь тодорхойгүй байгаа ч манай ертөнцөд энэ тооны утга учрыг олж мэдэхийн тулд та математикч байх шаардлагагүй: Пи биднийг хүрээлж буй бүх зүйлд илэрдэг. Дашрамд хэлэхэд, энэ нь ямар ч ухаалаг оршихуйн хувьд маш ердийн зүйл бөгөөд энэ нь эргэлзээгүй Пи юм!
Саяхан 1995 онд Дэвид Бэйли, Питер Борвейн, Саймон Плоуфф нарын гаргасан Pi-г тооцоолох гоёмсог томъёо гарч ирэв.
Энэ нь юугаараа онцлог юм бэ - Пи-г тооцоолох маш олон томьёо байдаг: Монте-Карло сургуулийн аргаас эхлээд ойлгомжгүй Пуассон интеграл, дундад зууны сүүл үеийн Франсуа Виета томъёо хүртэл. Гэхдээ энэ томъёонд онцгой анхаарал хандуулах нь зүйтэй бөгөөд энэ нь өмнөх тоог олохгүйгээр pi-ийн n-р цифрийг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Энэ нь хэрхэн ажилладаг талаар мэдээлэл болон 1,000,000 дахь цифрийг тооцоолох C хэл дээрх бэлэн кодыг авахыг хүсвэл бүртгүүлнэ үү.
Pi-ийн N-р цифрийг тооцоолох алгоритм хэрхэн ажилладаг вэ?
Жишээлбэл, хэрэв бидэнд Pi-ийн 1000 дахь арван арван арван цифр хэрэгтэй бол бид томьёог бүхэлд нь 16^1000-аар үржүүлж, хаалтны өмнөх хүчин зүйлийг 16^(1000-k) болгон хувиргана. Экспоненциаллахдаа бид хоёртын экспонентацийн алгоритмыг ашигладаг эсвэл доорх жишээн дээр модулийн экспонентацийг ашигладаг. Үүний дараа бид цувралын хэд хэдэн нөхцлийн нийлбэрийг тооцоолно. Түүнээс гадна, маш их тооцоолох шаардлагагүй: k нэмэгдэх тусам 16 ^ (N-k) хурдан буурч, дараагийн нөхцлүүд шаардлагатай тооны утгад нөлөөлөхгүй). Энэ бол бүх ид шид юм - гайхалтай бөгөөд энгийн.
Бэйли-Борвин-Плоуффын томъёог Саймон Плоуфф PSLQ алгоритмыг ашиглан олсон бөгөөд 2000 онд Зууны шилдэг 10 алгоритмын жагсаалтад багтсан. PSLQ алгоритмыг өөрөө Бэйли боловсруулсан. Математикчдын тухай Мексикийн цувралыг хүргэж байна.
Дашрамд хэлэхэд, алгоритмын ажиллах хугацаа нь O(N), санах ойн хэрэглээ нь O(log N), N нь хүссэн тэмдгийн серийн дугаар юм.
Алгоритм зохиогч Дэвид Бэйлигийн шууд бичсэн Си хэл дээрх кодыг иш татах нь зүйтэй гэж би бодож байна.
/* Энэ програм нь өгөгдсөн байрлалын id-ийн дараа шууд эхлэх буюу өөрөөр хэлбэл id + 1 байрлалаас эхэлдэг хэдэн арван арван арван цифрийг үүсгэхийн тулд BBP алгоритмыг хэрэгжүүлдэг. IEEE 64 битийн хөвөгч цэгийн арифметик ашигладаг ихэнх системд энэ код зөв ажилладаг. d нь ойролцоогоор 1.18 x 10^7-аас бага байвал. Хэрэв 80 битийн арифметик ашиглах боломжтой бол энэ хязгаар нь хамаагүй өндөр байна. Ямар ч арифметик ашигласан бай, өгөгдсөн байрлалын id-ийн үр дүнг id-1 эсвэл id+1-ээр давтаж, ардаа байгаа хэд хэдэн цифрээс бусад тохиолдолд зургаан өнцөгт орон нэгийн офсеттэй төгс давхцаж байгаа эсэхийг шалгаж болно. Үүссэн бутархай нь ихэвчлэн аравтын бутархайн 11 орон, 9-өөс доошгүй оронтой тоо хүртэл нарийвчлалтай байдаг. */ /* Дэвид Х.Бэйли 2006-09-08 */ #include
Энэ нь ямар боломжийг олгож байна вэ? Жишээ нь: бид Pi тоог тооцоолдог тархсан тооцоолох системийг бий болгож, бүх Хабрын тооцооллын нарийвчлалын шинэ дээд амжилтыг тогтоож чадна (дашрамд хэлэхэд энэ нь одоо аравтын бутархайн 10 их наяд байна). Эмпирик мэдээллээс үзэхэд Pi тооны бутархай хэсэг нь ердийн тооны дараалал (гэхдээ энэ нь хараахан батлагдаагүй байгаа) бөгөөд энэ нь тоонуудын дарааллыг нууц үг, зүгээр л санамсаргүй тоо үүсгэх эсвэл криптограф хийхэд ашиглаж болно гэсэн үг юм. алгоритмууд (жишээ нь, хэш). Та үүнийг ашиглах маш олон янзын арга замыг олж чадна - та зөвхөн өөрийн төсөөллийг ашиглах хэрэгтэй.
Та энэ сэдвийн талаар дэлгэрэнгүй мэдээллийг Дэвид Бэйлигийн бичсэн нийтлэлээс олж авах боломжтой бөгөөд тэрээр алгоритм ба түүний хэрэгжилтийн талаар дэлгэрэнгүй ярьдаг (pdf);
Та RuNet дээр энэ алгоритмын тухай орос хэл дээрх анхны нийтлэлийг уншсан бололтой - би өөр зүйл олж чадсангүй.
Гуравдугаар сарын 14-нд дэлхий даяар маш ер бусын баяр болох Пигийн өдрийг тэмдэглэдэг. Сургуулиас хойш бүгд мэддэг. Оюутнуудад Pi тоо нь математикийн тогтмол, тойргийн тойргийн диаметрийг түүний диаметртэй харьцуулсан харьцаа бөгөөд энэ нь хязгааргүй утгатай болохыг шууд тайлбарладаг. Энэ тоотой холбоотой олон сонирхолтой баримтууд байгаа нь харагдаж байна.
1. Тооны түүх бараг л математикийн шинжлэх ухаан оршин тогтнож байсан тэр цагаас хойш мянга гаруй жилийн түүхтэй. Мэдээжийн хэрэг, энэ тооны яг утгыг шууд тооцоогүй. Эхлээд тойргийн диаметрийг 3-тай тэнцүү гэж үздэг байсан ч цаг хугацаа өнгөрөхөд архитектур хөгжиж эхлэхэд илүү нарийвчлалтай хэмжилт хийх шаардлагатай болсон. Дашрамд хэлэхэд энэ тоо байсан боловч зөвхөн 18-р зууны эхээр (1706) үсгийн тэмдэглэгээг хүлээн авсан бөгөөд "тойрог", "периметр" гэсэн утгатай хоёр грек үгийн эхний үсгээс гаралтай. Энэ тоонд "π" үсгийг математикч Жонс өгсөн бөгөөд энэ нь 1737 онд аль хэдийн математикт бат бөх суурьшиж эхэлсэн.
2. Өөр өөр эрин үед болон өөр өөр ард түмний дунд Пи тоо өөр өөр утгатай байсан. Жишээлбэл, Эртний Египтэд энэ нь 3.1604-тэй тэнцэж байсан бол Хиндучуудын дунд 3.162-ийн утгыг олж авсан бөгөөд Хятадууд 3.1459-тэй тэнцэх тоог ашигласан. Цаг хугацаа өнгөрөх тусам π-ийг илүү нарийвчлалтай тооцож, тооцоолох технологи, өөрөөр хэлбэл компьютер гарч ирэхэд 4 тэрбум гаруй тэмдэгтийг тоолж эхлэв.
3. Бабелийн цамхаг барихад Пи тоог ашигласан гэсэн домог байдаг, эс тэгвээс мэргэжилтнүүд үздэг. Гэсэн хэдий ч түүний сүйрэлд хүргэсэн нь Бурханы уур хилэн биш, харин барилгын ажлын явцад буруу тооцоолол хийсэн. Эртний мастерууд буруу байсан шиг. Соломоны сүмийн тухай ижил төстэй хувилбар байдаг.
4. Тэд Пигийн үнэ цэнийг улсын хэмжээнд хүртэл, өөрөөр хэлбэл хуулиар нэвтрүүлэхийг оролдсон нь анхаарал татаж байна. 1897 онд Индиана муж хуулийн төслийг боловсруулжээ. Баримт бичгийн дагуу Pi нь 3.2 байсан. Гэсэн хэдий ч эрдэмтэд цаг тухайд нь хөндлөнгөөс оролцож, алдаа гарахаас сэргийлсэн. Тодруулбал, хууль тогтоох хуралд оролцсон профессор Пердю хуулийн төслийн эсрэг байр сууриа илэрхийлжээ.
5. Хязгааргүй Pi дарааллын хэд хэдэн тоо өөрийн гэсэн нэртэй байдаг нь сонирхолтой юм. Тиймээс зургаан есөн Пи нь Америкийн физикчийн нэрээр нэрлэгдсэн. Ричард Фейнман нэг удаа лекц уншиж, нэгэн үгээр үзэгчдийг алмайруулжээ. Тэрээр Пигийн зургаан ес хүртэлх цифрийг цээжлэхийг хүссэн боловч түүхийн төгсгөлд зургаан удаа "есөн" гэж хэлсэн нь утга учир нь оновчтой гэсэн үг юм. Үнэн хэрэгтээ энэ нь үндэслэлгүй юм.
6. Дэлхийн математикчид Пи тоотой холбоотой судалгаагаа зогсоодоггүй. Энэ нь шууд утгаараа ямар нэгэн нууцлаг зүйлээр бүрхэгдсэн байдаг. Зарим онолчид үүнийг бүх нийтийн үнэнийг агуулдаг гэж хүртэл үздэг. Пи-ийн тухай мэдлэг, шинэ мэдээлэл солилцох зорилгоор Пи клубыг зохион байгууллаа. Нэгдэх амаргүй, та ер бусын дурсамжтай байх хэрэгтэй. Тиймээс клубын гишүүн болох хүсэлтэй хүмүүсийг шалгадаг: хүн Пи тооны шинж тэмдгийг аль болох олон удаа санах ёстой.
7. Аравтын бутархайн араас Пи тоог санах янз бүрийн арга техникийг хүртэл гаргаж ирсэн. Жишээлбэл, тэд бүхэл бүтэн текстийг гаргаж ирдэг. Тэдгээрийн дотор үгс нь аравтын бутархайн дараах харгалзах тоотой ижил тооны үсэгтэй байдаг. Ийм урт тоог санахад илүү хялбар болгохын тулд тэд ижил зарчмаар шүлэг зохиодог. Пи клубын гишүүд ихэвчлэн ийм маягаар хөгжилдөж, ой санамж, оюун ухаанаа сургадаг. Жишээлбэл, Майк Кит ийм хоббитой байсан бөгөөд арван найман жилийн өмнө үг бүр нь Пи-ийн эхний цифрүүдийн бараг дөрвөн мянга (3834)-тэй тэнцэх түүхийг гаргаж иржээ.
8. Пи тэмдгийг цээжилж дээд амжилт тогтоосон хүмүүс ч бий. Тиймээс Японд Акира Харагучи наян гурван мянга гаруй тэмдэгт цээжилсэн байна. Гэхдээ дотоодын рекорд тийм ч гайхалтай биш юм. Челябинскийн оршин суугч Пи-ийн аравтын бутархайгаас хойш ердөө хоёр ба хагас мянган тоог цээжээр уншиж чаджээ.
"Пи" хэтийн төлөв
9. Пи өдрийг 1988 оноос хойш дөрөвний нэг зуун гаруй жил тэмдэглэж байна. Нэгэн өдөр Сан Францискогийн шинжлэх ухааны алдартай музейн физикч Ларри Шоу 3-р сарын 14-ний өдрийг бичихдээ Пи тоотой давхцаж байгааг анзаарчээ. Огноо, сар, өдөр нь 3.14-т бичигдэнэ.
10. Пи өдрийг яг оригинал байдлаар биш харин хөгжилтэй байдлаар тэмдэглэдэг. Мэдээж нарийн шинжлэх ухаанд оролцдог эрдэмтэд үүнийг андахгүй. Тэдний хувьд энэ нь дуртай зүйлээсээ салахгүй, харин нэгэн зэрэг амрах арга юм. Энэ өдөр хүмүүс цуглаж, Пигийн дүрстэй олон төрлийн амттан бэлддэг. Ялангуяа нарийн боовны тогооч нар тэнүүчлэх зайтай. Тэд пи гэж бичсэн бялуу, ижил төстэй хэлбэртэй жигнэмэг хийж болно. Амттаныг амтласны дараа математикчид янз бүрийн асуулт хариултыг зохион байгуулдаг.
11. Сонирхолтой давхцал байдаг. Гуравдугаар сарын 14-нд бидний мэдэх харьцангуйн онолыг бүтээсэн агуу эрдэмтэн Альберт Эйнштейн мэндэлжээ. Физикчид ч гэсэн Пи өдрийг тэмдэглэх арга хэмжээнд нэгдэж болно.
