Энэ материал нь хоёр огтлолцох шугамын хоорондох өнцөг гэх мэт ойлголтод зориулагдсан болно. Эхний догол мөрөнд бид энэ нь юу болохыг тайлбарлаж, чимэглэлээр харуулах болно. Дараа нь бид энэ өнцгийн синус, косинус ба өнцгийг өөрөө олох аргуудыг авч үзэх болно (бид хавтгай ба гурван хэмжээст орон зайтай тохиолдлыг тусад нь авч үзэх болно), бид шаардлагатай томьёог өгч, яг жишээгээр харуулах болно. тэдгээрийг практикт хэрхэн ашигладаг.

Хоёр шугам огтлолцох үед үүссэн өнцөг гэж юу болохыг ойлгохын тулд өнцөг, перпендикуляр байдал, огтлолцлын цэгийн тодорхойлолтыг санах хэрэгтэй.

Тодорхойлолт 1

Нэг нийтлэг цэгтэй бол бид огтлолцсон хоёр шулуун гэж нэрлэдэг. Энэ цэгийг хоёр шулууны огтлолцлын цэг гэж нэрлэдэг.

Шулуун шугам бүр огтлолцох цэгээр туяанд хуваагдана. Шулуун шугамууд хоёулаа 4 өнцөг үүсгэдэг бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь босоо, хоёр нь зэргэлдээ байна. Хэрэв бид тэдгээрийн аль нэгнийх нь хэмжүүрийг мэддэг бол үлдсэнийг нь тодорхойлж болно.

Нэг өнцөг нь α-тай тэнцүү гэдгийг бид мэднэ гэж бодъё. Энэ тохиолдолд түүнтэй харьцуулахад босоо өнцөг нь α-тай тэнцүү байх болно. Үлдсэн өнцгийг олохын тулд бид 180 ° - α ялгааг тооцоолох хэрэгтэй. Хэрэв α нь 90 градустай тэнцүү бол бүх өнцөг нь зөв өнцөг болно. Зөв өнцгөөр огтлолцсон шугамыг перпендикуляр гэж нэрлэдэг (перпендикуляр байдлын тухай ойлголтод тусдаа өгүүлэл зориулагдсан).

Зургийг харна уу:

Үндсэн тодорхойлолтыг томъёолох руу шилжье.

Тодорхойлолт 2

Хоёр огтлолцсон шулуунаас үүссэн өнцөг нь эдгээр хоёр шулууныг үүсгэсэн 4 өнцгийн жижиг хэсгийн хэмжүүр юм.

Тодорхойлолтоос чухал дүгнэлт гаргах ёстой: энэ тохиолдолд өнцгийн хэмжээг ямар ч хэлбэрээр илэрхийлэх болно бодит тооинтервалд (0, 90]. Хэрэв шугамууд перпендикуляр байвал тэдгээрийн хоорондох өнцөг ямар ч тохиолдолд 90 градустай тэнцүү байна.

Хоёр огтлолцсон шугамын өнцгийн хэмжигдэхүүнийг олох чадвар нь олон асуудлыг шийдвэрлэхэд тустай практик асуудлууд. Шийдлийн аргыг хэд хэдэн сонголтоос сонгож болно.

Эхлэхийн тулд бид геометрийн аргуудыг авч болно. Хэрэв бид нэмэлт өнцгүүдийн талаар ямар нэг зүйлийг мэддэг бол тэнцүү эсвэл ижил төстэй дүрсүүдийн шинж чанарыг ашиглан тэдгээрийг шаардлагатай өнцөгтэй холбож болно. Жишээлбэл, хэрэв бид гурвалжны талуудыг мэддэг бөгөөд эдгээр талууд байрлах шулуунуудын хоорондох өнцгийг тооцоолох шаардлагатай бол косинусын теорем нь бидний шийдэлд тохиромжтой. Хэрэв бидэнд нөхцөл байгаа бол зөв гурвалжин, дараа нь тооцоололд бид мөн өнцгийн синус, косинус, тангенсийн талаархи мэдлэг хэрэгтэй болно.

Координатын арга нь энэ төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд маш тохиромжтой. Үүнийг хэрхэн зөв ашиглах талаар тайлбарлая.

Бид тэгш өнцөгт (декарт) координатын O x y системтэй бөгөөд үүнд хоёр шулуун шугам өгөгдсөн. Тэдгээрийг a, b үсгээр тэмдэглэе. Шулуун шугамыг зарим тэгшитгэл ашиглан дүрсэлж болно. Анхны шугамууд нь M огтлолцох цэгтэй байна. Эдгээр шулуун шугамын хоорондох шаардлагатай өнцгийг (үүнийг α гэж тэмдэглэе) хэрхэн тодорхойлох вэ?

Өгөгдсөн нөхцөлд өнцгийг олох үндсэн зарчмыг томъёолж эхэлье.

Шулуун шугамын тухай ойлголт нь чиглэлийн вектор, хэвийн вектор гэх мэт ойлголтуудтай нягт холбоотой гэдгийг бид мэднэ. Хэрэв бид тодорхой шулууны тэгшитгэлтэй бол тэдгээр векторуудын координатыг түүнээс авч болно. Бид үүнийг хоёр огтлолцсон шугамын хувьд нэгэн зэрэг хийж болно.

Хоёр огтлолцсон шугамаар тусгаарлагдсан өнцгийг дараах байдлаар олж болно.

• чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг;
• хэвийн векторуудын хоорондох өнцөг;
• нэг шугамын хэвийн вектор ба нөгөө шугамын чиглэлийн вектор хоорондын өнцөг.

Одоо арга тус бүрийг тусад нь авч үзье.

1. Бид a → = (a x, a y) чиглэлтэй вектор бүхий a шулуун ба b → (b x, b y) чиглэлтэй вектортой b шулуун байна гэж үзье. Одоо уулзварын цэгээс a → ба b → хоёр векторыг зуръя. Үүний дараа бид тэдгээр нь тус бүр өөрийн шулуун шугам дээр байрлана гэдгийг харах болно. Дараа нь тэдэнд дөрвөн сонголт байна харьцангуй байрлал. Зураг харна уу:

Хэрэв хоёр векторын хоорондох өнцөг нь мохоо биш бол энэ нь огтлолцох a ба b шулуунуудын хоорондох өнцөг болно. Хэрэв энэ нь мохоо байвал хүссэн өнцөг нь a →, b → ^ өнцөгтэй зэргэлдээх өнцөгтэй тэнцүү байна. Тиймээс α = a → , b → ^ хэрэв a → , b → ^ ≤ 90 ° , α = 180 ° - a → , b → ^ хэрэв a →, b → ^ > 90 ° .

Тэнцүү өнцгүүдийн косинусууд тэнцүү байгааг үндэслэн бид үүссэн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно: cos α = cos a →, b → ^, хэрэв a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, хэрэв a →, b → ^ > 90 °.

Хоёр дахь тохиолдолд багасгах томъёог ашигласан. Тиймээс,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Сүүлийн томъёог үгээр бичье.

Тодорхойлолт 3

Хоёр огтлолцсон шулуун шугамаас үүссэн өнцгийн косинус нь түүний чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын модультай тэнцүү байна.

a → = (a x, a y) ба b → = (b x, b y) гэсэн хоёр векторын хоорондох өнцгийн косинусын томъёоны ерөнхий хэлбэр дараах байдалтай байна.

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Үүнээс бид өгөгдсөн хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийн косинусын томъёог гаргаж болно.

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Дараа нь дараах томъёог ашиглан өнцгийг өөрөө олж болно.

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Энд a → = (a x , a y) ба b → = (b x , b y) нь өгөгдсөн шулуунуудын чиглэлийн векторууд юм.

Асуудлыг шийдэх жишээг хэлье.

Жишээ 1

Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системд a ба b огтлолцох хоёр шулуун өгөгдсөн. Тэдгээрийг x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R ба x 5 = y - 6 - 3 параметрийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно. Эдгээр шугамын хоорондох өнцгийг тооцоол.

Шийдэл

Бидний нөхцөл байдалд параметрийн тэгшитгэл байгаа бөгөөд энэ нь энэ шугамын хувьд бид түүний чиглэлийн векторын координатыг шууд бичиж болно гэсэн үг юм. Үүнийг хийхийн тулд бид параметрийн коэффициентүүдийн утгыг авах хэрэгтэй, жишээлбэл. x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R шулуун шугам нь a → = (4, 1) чиглэлтэй вектортой байна.

Хоёрдахь мөрийг x 5 = y - 6 - 3 каноник тэгшитгэлийг ашиглан тайлбарлав. Энд бид хуваагчаас координатыг авч болно. Иймээс энэ шугам нь b → = (5 , - 3) чиглэлийн вектортой байна.

Дараа нь бид өнцгийг олоход шууд шилждэг. Үүнийг хийхийн тулд дээрх хоёр векторын одоо байгаа координатыг α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 томъёонд орлуулахад л болно. Бид дараахь зүйлийг авна.

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Хариулт: Эдгээр шулуун шугамууд нь 45 градусын өнцөг үүсгэдэг.

Бид ердийн векторуудын хоорондох өнцгийг олох замаар ижил төстэй асуудлыг шийдэж чадна. Хэрэв n a → = (n a x, n a y) хэвийн вектортой a шулуун ба n b → = (n b x , n b y) хэвийн вектортой b шулуун байвал тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь n a → ба хоёрын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байх болно. n b → эсвэл n a →, n b → ^-тэй зэргэлдээ байх өнцөг. Энэ аргыг зурагт үзүүлэв:

Энгийн векторуудын координатыг ашиглан огтлолцсон шугам ба энэ өнцгийн косинусыг тооцоолох томъёо дараах байдалтай байна.

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n a xy + n a y + n a xy2 2

Энд n a → ба n b → өгөгдсөн хоёр шулууны хэвийн векторуудыг тэмдэглэнэ.

Жишээ 2

Тэгш өнцөгт координатын системд 3 x + 5 y - 30 = 0 ба x + 4 y - 17 = 0 тэгшитгэлийг ашиглан хоёр шулуун шугамыг өгдөг. Тэдний хоорондох өнцгийн синус ба косинус болон энэ өнцгийн өөрийнх нь хэмжээг ол.

Шийдэл

Эх мөрүүдийг ашиглан тодорхойлсон хэвийн тэгшитгэл A x + B y + C = 0 хэлбэрийн шулуун шугам. Бид хэвийн векторыг n → = (A, B) гэж тэмдэглэнэ. Нэг шулууны эхний хэвийн векторын координатыг олоод бичье: n a → = (3, 5) . Хоёр дахь шугамын хувьд x + 4 y - 17 = 0, хэвийн вектор нь координат n b → = (1, 4) байна. Одоо олж авсан утгыг томъёонд нэмж, нийт дүнг тооцоолъё.

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Хэрэв бид өнцгийн косинусыг мэддэг бол тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг ашиглан түүний синусыг тооцоолж болно. Шулуун шугамаар үүссэн α өнцөг нь мохоо биш тул sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34 болно.

Энэ тохиолдолд α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Хариулт: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Нэг шулуун шугамын чиглэлийн векторын координат ба нөгөөгийн хэвийн векторын координатыг мэдэж байгаа бол шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох гэсэн сүүлчийн тохиолдлыг шинжлэх болно.

Шулуун а шулуун нь a → = (a x , a y) чиглэлийн вектортой, b шулуун нь хэвийн вектор n b → = (n b x , n b y) байна гэж үзье. Бид эдгээр векторуудыг огтлолцох цэгээс хойш тавьж, тэдгээрийн харьцангуй байрлалын бүх хувилбаруудыг авч үзэх хэрэгтэй. Зураг дээр харна уу:

Хэрэв өгөгдсөн векторуудын хоорондох өнцөг 90 градусаас ихгүй байвал энэ нь a ба b хоорондох өнцгийг тэгш өнцөгт нөхөх болно.

a → , n b → ^ = 90 ° - α хэрэв a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Хэрэв энэ нь 90 градусаас бага байвал бид дараахь зүйлийг авна.

a → , n b → ^ > 90 ° , дараа нь a → , n b → ^ = 90 ° + α

Ижил өнцгийн косинусын тэгш байдлын дүрмийг ашиглан бид дараахь зүйлийг бичнэ.

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = a → , n b → ^ ≤ 90 ° -ийн хувьд sin α.

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - a → , n b → ^ > 90 ° -ийн хувьд sin α.

Тиймээс,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Дүгнэлтийг томъёолъё.

Тодорхойлолт 4

Хавтгай дээр огтлолцсон хоёр шулууны хоорондох өнцгийн синусыг олохын тулд эхний шугамын чиглэлийн вектор ба хоёр дахь хэвийн векторын хоорондох өнцгийн косинусын модулийг тооцоолох хэрэгтэй.

Шаардлагатай томьёо бичье. Өнцгийн синусыг олох:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Өнцгийг өөрөө олох нь:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Энд a → эхний мөрийн чиглэлийн вектор, n b → хоёр дахь шугамын хэвийн вектор байна.

Жишээ 3

Хоёр огтлолцох шулууныг x - 5 = y - 6 3 ба x + 4 y - 17 = 0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Уулзварын өнцгийг ол.

Шийдэл

Өгөгдсөн тэгшитгэлээс чиглүүлэгч ба нормаль векторын координатыг авна. Энэ нь a → = (- 5, 3) ба n → b = (1, 4) болж хувирна. Бид α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 томъёог авч тооцоолно.

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Бид тэгшитгэлийг авсан гэдгийг анхаарна уу өмнөх даалгавармөн яг ижил үр дүнд хүрсэн, гэхдээ өөр арга замаар.

Хариулт:α = a r c sin 7 2 34

Өгөгдсөн шулуун шугамын өнцгийн коэффициентийг ашиглан хүссэн өнцгийг олох өөр аргыг танилцуулъя.

Бидэнд тэгш өнцөгт координатын системд y = k 1 x + b 1 тэгшитгэлээр тодорхойлогддог a шугам, y = k 2 x + b 2 гэж тодорхойлогдсон b шулуун байна. Эдгээр нь налуутай шугамын тэгшитгэл юм. Уулзварын өнцгийг олохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, энд k 1 ба k 2 байна. өнцгийн коэффициентүүдшулуун шугамуудыг өгсөн. Энэ бичлэгийг авахын тулд хэвийн векторуудын координатаар өнцгийг тодорхойлох томъёог ашигласан.

Жишээ 4

Хавтгайд огтлолцсон хоёр шулуун шугам байдаг, тэгшитгэлээр өгөгдсөн y = - 3 5 x + 6 ба y = - 1 4 x + 17 4. Уулзварын өнцгийн утгыг тооцоол.

Шийдэл

Манай шугамын өнцгийн коэффициентүүд нь k 1 = - 3 5 ба k 2 = - 1 4-тэй тэнцүү байна. Тэдгээрийг α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 томъёонд нэмж тооцоолъё.

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Хариулт:α = a r c cos 23 2 34

Энэ догол мөрийн дүгнэлтэд энд өгөгдсөн өнцгийг олох томъёог цээжээр сурах шаардлагагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүнийг хийхийн тулд өгөгдсөн шугамын чиглүүлэгч ба/эсвэл хэвийн векторуудын координатыг мэдэж, тэдгээрийг тодорхойлох чадвартай байхад хангалттай. янз бүрийн төрөлтэгшитгэл. Гэхдээ өнцгийн косинусыг тооцоолох томъёог санаж эсвэл бичих нь дээр.

Орон зайд огтлолцох шугамуудын хоорондох өнцгийг хэрхэн тооцоолох вэ

Ийм өнцгийн тооцоог чиглэлийн векторуудын координатыг тооцоолох, эдгээр векторуудын үүсгэсэн өнцгийн хэмжээг тодорхойлох хүртэл багасгаж болно. Ийм жишээнүүдийн хувьд бидний өмнө нь хэлсэн үндэслэлийг ашигласан болно.

Бид тэгш өнцөгт координатын системтэй байна гэж үзье гурван хэмжээст орон зай. Энэ нь M огтлолцох цэгтэй a ба b хоёр шулуун шугамыг агуулна. Чиглэлийн векторуудын координатыг тооцоолохын тулд бид эдгээр шулуунуудын тэгшитгэлийг мэдэх хэрэгтэй. a → = (a x , a y , a z) ба b → = (b x , b y , b z) чиглэлийн векторуудыг тэмдэглэе. Тэдний хоорондох өнцгийн косинусыг тооцоолохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Өнцгийг өөрөө олохын тулд бидэнд дараах томъёо хэрэгтэй.

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Жишээ 5

Бид x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 тэгшитгэлийг ашиглан гурван хэмжээст орон зайд тодорхойлогдсон шугамтай. Энэ нь O z тэнхлэгтэй огтлолцдог нь мэдэгдэж байна. Таслах өнцөг ба тэр өнцгийн косинусыг тооцоол.

Шийдэл

Тооцоолох шаардлагатай өнцгийг α үсгээр тэмдэглэе. Эхний шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг бичье – a → = (1, - 3, - 2) . Хэрэглээний тэнхлэгийн хувьд бид k → = (0, 0, 1) координатын векторыг хөтөч болгон авч болно. Бид шаардлагатай өгөгдлийг хүлээн авсан бөгөөд үүнийг хүссэн томъёонд нэмж болно:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Үүний үр дүнд бидэнд хэрэгтэй өнцөг нь r c cos 1 2 = 45 ° -тай тэнцүү болохыг олж мэдсэн.

Хариулт: cos α = 1 2, α = 45 ° .

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

ОНГОЦ ХООРОНДЫН ӨНЦӨГ

Тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон α 1 ба α 2 гэсэн хоёр хавтгайг авч үзье.

Доод өнцөгХоёр хавтгайн хооронд бид эдгээр хавтгайнуудаас үүссэн хоёр талт өнцгүүдийн аль нэгийг ойлгох болно. Хэвийн векторууд ба α 1 ба α 2 хавтгайн хоорондох өнцөг нь заасан зэргэлдээ хоёр талт өнцгүүдийн аль нэгтэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой. . Тийм ч учраас . Учир нь Тэгээд , Тэр

.

Жишээ.Онгоц хоорондын өнцгийг тодорхойл x+2y-3z+4=0 ба 2 x+3y+z+8=0.

Хоёр хавтгайн зэрэгцээ байх нөхцөл.

α 1 ба α 2 хоёр хавтгай нь тэдгээрийн хэвийн векторууд параллель байх тохиолдолд л зэрэгцээ байна .

Тиймээс, харгалзах координатын коэффициентүүд пропорциональ байвал хоёр хавтгай бие биетэйгээ параллель байна.

эсвэл

Хавтгайнуудын перпендикуляр байдлын нөхцөл.

Хоёр хавтгай перпендикуляр байх нь зөвхөн тэдгээрийн хэвийн векторууд нь перпендикуляр, тиймээс, эсвэл .

Ийнхүү, .

Жишээ.

САНСАР ШУУД.

Шугамын Вектор тэгшитгэл.

ПАРАМЕТРИЙН ШУУД ТЭГШИГЧИЛГЭЭ

Шугамын орон зай дахь байрлал нь түүний тогтмол цэгүүдийн аль нэгийг зааж өгснөөр бүрэн тодорхойлогддог М 1 ба энэ шулуунтай параллель вектор.

Шугамантай параллель векторыг нэрлэдэг хөтөчүүдэнэ шугамын вектор.

Тиймээс шулуун шугамыг тавь лцэгээр дамждаг М 1 (x 1 , y 1 , z 1), вектортой параллель шугаман дээр хэвтэж байна.

Дурын цэгийг авч үзье М(x,y,z)шулуун шугам дээр. Зурагнаас харахад энэ нь тодорхой байна .

Векторууд ба коллинеар тул ийм тоо байна т, юу , үржүүлэгч хаана байна тямар ч хүлээн зөвшөөрч болно тоон утгацэгийн байрлалаас хамаарна Мшулуун шугам дээр. Хүчин зүйл тпараметр гэж нэрлэдэг. Цэгүүдийн радиус векторуудыг тодорхойлсон М 1 ба Мболон -ээр дамжуулан бид . Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг векторшулуун шугамын тэгшитгэл. Энэ нь параметр бүрийн утгыг харуулж байна тзарим цэгийн радиус вектортой тохирч байна М, шулуун шугам дээр хэвтэж байна.

Энэ тэгшитгэлийг координат хэлбэрээр бичье. Анхаарна уу, мөн эндээс

Үүссэн тэгшитгэлийг нэрлэнэ параметрийншулуун шугамын тэгшитгэл.

Параметрийг өөрчлөх үед ткоординатууд өөрчлөгдөнө x, yТэгээд zба хугацаа Мшулуун шугамаар хөдөлдөг.

ШУУДЫН КАНОНИК тэгшитгэлүүд

Болъё М 1 (x 1 , y 1 , z 1) - шулуун шугам дээр байрлах цэг л, Мөн нь түүний чиглэлийн вектор юм. Шугаман дээрх дурын цэгийг дахин авч үзье М(x,y,z)ба векторыг авч үзье.

Векторууд нь бас коллинеар байх нь тодорхой тул тэдгээрийн харгалзах координатууд нь пропорциональ байх ёстой.

– каноникшулуун шугамын тэгшитгэл.

Тайлбар 1.Шугамын каноник тэгшитгэлийг параметрийг хасах замаар параметрийн тэгшитгэлээс олж авч болохыг анхаарна уу. т. Үнэн хэрэгтээ бид параметрийн тэгшитгэлээс олж авдаг эсвэл .

Жишээ.Шугамын тэгшитгэлийг бичнэ үү параметрийн хэлбэрээр.

гэж тэмдэглэе , эндээс x = 2 + 3т, y = –1 + 2т, z = 1 –т.

Тайлбар 2.Шулуун шугамыг координатын тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд, жишээлбэл тэнхлэгт перпендикуляр болго Үхэр. Дараа нь шугамын чиглэлийн вектор перпендикуляр байна Үхэр, тиймээс, м=0. Үүний үр дүнд шугамын параметрийн тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

Тэгшитгэлээс параметрийг оруулаагүй болно т, бид шугамын тэгшитгэлийг хэлбэрээр олж авна

Гэсэн хэдий ч энэ тохиолдолд бид шугамын каноник тэгшитгэлийг хэлбэрээр албан ёсоор бичихийг зөвшөөрч байна . Тиймээс аль нэг бутархайн хуваагч тэг байвал шулуун шугам нь харгалзах координатын тэнхлэгт перпендикуляр байна гэсэн үг юм.

Каноник тэгшитгэлтэй төстэй тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамтай тохирч байна ҮхэрТэгээд Өөэсвэл тэнхлэгтэй зэрэгцээ Оз.

Жишээ.

ХОЁР ХАТГАЛТЫН УУЛЗАЛТЫН ШУГАМ ГЭДЭГ Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлүүд

Сансар огторгуйн шулуун шугам бүрээр тоо томшгүй олон онгоц байдаг. Тэдгээрийн аль ч хоёр нь огтлолцож, түүнийг орон зайд тодорхойлдог. Иймээс хоёр ийм хавтгайн тэгшитгэлийг хамтад нь авч үзвэл энэ шугамын тэгшитгэлийг илэрхийлнэ.

Ерөнхийдөө аль ч хоёр нь тийм биш юм зэрэгцээ хавтгайнууд, ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн

тэдгээрийн огтлолцлын шулуун шугамыг тодорхойлно. Эдгээр тэгшитгэлийг нэрлэдэг ерөнхий тэгшитгэлЧигээрээ.

Жишээ.

Тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугамыг байгуул

Шулуун шугам барихын тулд түүний дурын хоёр цэгийг олоход хангалттай. Хамгийн хялбар арга бол шугамын огтлолцох цэгүүдийг сонгох явдал юм координатын хавтгайнууд. Жишээлбэл, онгоцтой огтлолцох цэг xOyбид шулуун шугамын тэгшитгэлээс олж авна z= 0:

Энэ системийг шийдсэний дараа бид цэгийг олдог М 1 (1;2;0).

Үүнтэй адилаар таамаглаж байна y= 0, бид шулууны хавтгайтай огтлолцох цэгийг авна xOz:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс түүний каноник эсвэл параметрийн тэгшитгэл рүү шилжиж болно. Үүнийг хийхийн тулд та тодорхой цэгийг олох хэрэгтэй МШулуун шугам дээр 1 ба шулуун шугамын чиглэлийн вектор.

Цэгийн координат М 1-ийг бид энэ тэгшитгэлийн системээс олж, координатуудын аль нэгийг дурын утгыг өгдөг. Чиглэлийн векторыг олохын тулд энэ вектор хоёр хэвийн векторт перпендикуляр байх ёстойг анхаарна уу Тэгээд . Тиймээс шулуун шугамын чиглэлийн вектороос цааш лхэвийн векторуудын вектор үржвэрийг авч болно:

.

Жишээ.Тэргүүлэх ерөнхий тэгшитгэлЧигээрээ каноник хэлбэрт.

Шулуун дээр хэвтэж буй цэгийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид координатуудын аль нэгийг дур мэдэн сонгоно, жишээлбэл, y= 0 ба тэгшитгэлийн системийг шийд:

Шугамыг тодорхойлж буй хавтгайнуудын хэвийн векторууд нь координаттай байдаг Тиймээс чиглэлийн вектор шулуун байх болно

. Тиймээс, л: .

ШУУД ХООРОНДЫН ӨНЦӨГ

ӨнцөгОрон зайн шулуун шугамуудын хооронд бид өгөгдөлтэй параллель дурын цэгээр татсан хоёр шулуун шугамаас үүссэн зэргэлдээх өнцгүүдийн аль нэгийг нэрлэх болно.

Орон зайд хоёр мөр өгье.

Шулуун шугамуудын хоорондох φ өнцгийг тэдгээрийн чиглэлийн векторууд ба -ын хоорондох өнцөг гэж авч болох нь ойлгомжтой. -ээс хойш векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын томъёог ашиглан бид олж авна

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлдэж буй оюутан бүр "Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох" сэдвийг давтах нь ашигтай байх болно. Статистик мэдээллээс харахад гэрчилгээ олгох шалгалтыг давахдаа стереометрийн энэ хэсгийн даалгавар нь олон тооны оюутнуудад хүндрэл учруулдаг. Үүний зэрэгцээ шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох шаардлагатай даалгавруудыг үндсэн болон хоёр талын улсын нэгдсэн шалгалтаас олж болно. профайлын түвшин. Энэ нь хүн бүр тэдгээрийг шийдвэрлэх чадвартай байх ёстой гэсэн үг юм.

Үндсэн мөчүүд

Орон зай дахь шугамын харьцангуй байрлалын 4 төрөл байдаг. Тэд давхцаж, огтлолцож, параллель эсвэл огтлолцож болно. Тэдний хоорондох өнцөг нь хурц эсвэл шулуун байж болно.

Улсын нэгдсэн шалгалтын шугамын хоорондох өнцгийг олохын тулд, эсвэл жишээлбэл, Москва болон бусад хотын сургуулийн сурагчид стереометрийн энэ хэсэгт асуудлыг шийдвэрлэх хэд хэдэн аргыг ашиглаж болно. Та даалгавраа сонгодог бүтцийг ашиглан хийж болно. Үүнийг хийхийн тулд стереометрийн үндсэн аксиом, теоремуудыг сурах нь зүйтэй. Даалгаврыг планиметрийн бодлогод хүргэхийн тулд оюутан логикоор сэтгэж, зураг зурах чадвартай байх шаардлагатай.

Та мөн энгийн томъёо, дүрэм, алгоритм ашиглан координатын вектор аргыг ашиглаж болно. Энэ тохиолдолд гол зүйл бол бүх тооцоог зөв хийх явдал юм. Стереометр болон бусад чиглэлээр асуудлыг шийдвэрлэх ур чадвараа дээшлүүл сургуулийн курсШколково боловсролын төсөл танд туслах болно.

Тодорхойлолт

Нэг цэгээс цацарч буй хоёр цацрагийн хооронд бэхлэгдсэн хавтгайн бүх цэгүүдээс бүрдсэн геометрийн дүрсийг гэнэ. хавтгай өнцөг.

Тодорхойлолт

Хоёрын хоорондох өнцөгогтлолцдог ЧигээрээЭдгээр шугамын огтлолцол дээрх хамгийн бага хавтгай өнцгийн утга. Хэрэв хоёр шугам зэрэгцээ байвал тэдгээрийн хоорондох өнцгийг тэг гэж авна.

Хоёр огтлолцох шугамын хоорондох өнцөг (хэрэв хавтгайн өнцгийг радианаар хэмжвэл) тэгээс $\dfrac(\pi)(2)$ хүртэлх утгыг авч болно.

Тодорхойлолт

Хоёр огтлолцсон шугамын хоорондох өнцөгогтлолцож буй хоёр шулууны параллель огтлолцох өнцөгтэй тэнцүү хэмжигдэхүүн юм. $a$ ба $b$ шулуунуудын хоорондох өнцгийг $\angle (a, b)$ гэж тэмдэглэнэ.

Оруулсан тодорхойлолтын зөв байдал нь дараах теоремоос үүдэлтэй.

Зэрэгцээ талуудтай хавтгай өнцгийн тухай теорем

Зэрэгцээ ба ижил чиглэсэн талуудтай хоёр гүдгэр хавтгай өнцгийн хэмжээ тэнцүү байна.

Баталгаа

Хэрэв өнцөг нь шулуун байвал хоёулаа $\pi$-тэй тэнцүү байна. Хэрэв тэдгээрийг задлаагүй бол $\angle AOB$ ба $\angle A_1O_1B_1$ өнцгүүдийн харгалзах тал дээр $ON=O_1ON_1$ ба $OM=O_1M_1$ тэнцүү сегментүүдийг зурна.

$O_1N_1NO$ дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм бөгөөд учир нь түүний эсрэг талын $ON$ ба $O_1N_1$ нь тэнцүү бөгөөд параллель байна. Үүний нэгэн адил, $O_1M_1MO$ ​​дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм юм. Эндээс $NN_1 = OO_1 = MM_1$ ба $NN_1 \зэрэгцээ OO_1 \зэрэгцээ MM_1$, тиймээс дамжин өнгөрөх чадвараар $NN_1=MM_1$ ба $NN_1 \зэрэгцээ MM_1$ байна. $N_1M_1MN$ дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм бөгөөд түүний эсрэг талууд нь тэнцүү бөгөөд параллель байна. Энэ нь $NM$ ба $N_1M_1$ сегментүүд тэнцүү гэсэн үг. Гурвалжны тэгш байдлын гурав дахь шалгуурын дагуу $ONM$ ба $O_1N_1M_1$ гурвалжин нь тэнцүү бөгөөд энэ нь $\ өнцөг NOM$ ба $\ өнцөг N_1O_1M_1$ тэнцүү гэсэн үг юм.