Санамсаргүй хувьсагчИжил нөхцөлд хийсэн туршилтын үр дүнд санамсаргүй хүчин зүйлээс хамаарч өөр өөр утгыг авч үздэг хэмжигдэхүүн гэж нэрлэгддэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний жишээ: шоо дээр өнхрүүлсэн цэгийн тоо, багц дахь гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо, сумны цохилтын цэгийн зорилтот цэгээс хазайлт, төхөөрөмжийн ажиллах хугацаа гэх мэт. Салангид бөгөөд тасралтгүй байдаг. санамсаргүй хэмжигдэхүүн. ДискретСанамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэгддэг бөгөөд боломжит утгууд нь тоолж болох олонлог, төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй (өөрөөр хэлбэл элементүүдийг дугаарлаж болох олонлог) үүсгэдэг.

ҮргэлжилсэнСанамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэгддэг бөгөөд түүний боломжит утгууд нь тооны шугамын төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй интервалыг тасралтгүй дүүргэдэг. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын тоо үргэлж хязгааргүй байдаг.

Бид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг латин цагаан толгойн төгсгөлөөс том үсгээр тэмдэглэнэ. X, Ю, ...; санамсаргүй хувьсагчийн утгууд - жижиг үсгээр: X, y,... . Тиймээс, X Санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын бүхэл бүтэн багцыг илэрхийлнэ X -Түүний тодорхой утгын зарим нь.

Хуваарилалтын хуульДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын хооронд ямар ч хэлбэрээр заасан захидал харилцаа юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудыг үзье X байна . Туршилтын үр дүнд санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь эдгээр утгуудын аль нэгийг авна, өөрөөр хэлбэл. Хосоор үл нийцэх үйл явдлуудын бүрэн бүлгээс нэг үйл явдал тохиолдох болно.

Эдгээр үйл явдлын магадлалыг мөн мэдэгдээрэй.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль X нэртэй хүснэгт хэлбэрээр бичиж болно Түгээлтийн ойролцооДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн:

Тархалтын цувааны хувьд тэгш байдал (хэвийн нөхцөл) байна.

Жишээ 3.1.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг ол X – хоёр зоос шидэхэд толгой гарч ирэх тоо.

Тархалтын функц нь салангид болон тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг тодорхойлох бүх нийтийн хэлбэр юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцX Функцийг дууддаг Ф(X), Бүх тооны мөрөнд дараах байдлаар тодорхойлогдоно.

Ф(X)= П(X< х ),

Тэр бол Ф(X) санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлал байдаг X -аас бага утгыг авна X.

Түгээлтийн функцийг графикаар дүрсэлж болно. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд график шаталсан хэлбэртэй байна. Жишээлбэл, дараах цувралаар өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийн графикийг байгуулъя (Зураг 3.1).

Цагаан будаа. 3.1. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийн график

Функцийн үсрэлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгатай тохирох цэгүүдэд тохиолддог бөгөөд эдгээр утгуудын магадлалтай тэнцүү байна. Тасархайн цэгүүдэд функц Ф(X) тасралтгүй үлдсэн байна.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийн график нь тасралтгүй муруй юм.

X

Цагаан будаа. 3.2. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийн график

Түгээлтийн функц нь дараахь тодорхой шинж чанартай байдаг.

1) , 2) , 3) ,

4) цагт.

Энэ үйл явдлыг бид санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэнэ X Үнэ цэнээ авдаг X,Зарим хагас хаалттай интервалд хамаарах А£ X< Б, Санамсаргүй хэмжигдэхүүн [ интервал дээр унах үед А, Б).

Теорем 3.1. [ интервалд санамсаргүй хэмжигдэхүүн орох магадлал А, Б) нь энэ интервал дээрх тархалтын функцийн өсөлттэй тэнцүү байна:

Хэрэв та интервалыг багасгавал [ А, Б), , тэгвэл хязгаарын томъёонд (3.1) интервалд хүрэх магадлалын оронд цэгийг онох магадлалыг өгнө, өөрөөр хэлбэл санамсаргүй хэмжигдэхүүн утгыг авах магадлалыг өгнө. А:

Хэрэв тархалтын функц нь цэг дээр тасалдалтай байвал А, Дараа нь (3.2) хязгаар нь функцийн үсрэлтийн утгатай тэнцүү байна Ф(X) цэг дээр X=А, Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь утгыг авах магадлал юм А (Зураг 3.3, А). Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн тасралтгүй байвал функц тасралтгүй байна Ф(X), тэгвэл хязгаар (3.2) тэгтэй тэнцүү байна (Зураг 3.3, Б)

Тиймээс тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тодорхой утгын магадлал нь тэг байна. Гэсэн хэдий ч энэ нь үйл явдал боломжгүй гэсэн үг биш юм X=А, Энэ нь зөвхөн туршилтын тоо хязгааргүй нэмэгдэхийн хэрээр энэ үйл явдлын харьцангуй давтамж тэг болно гэж хэлдэг.

А) Б)

Цагаан будаа. 3.3. Түгээх функцийн үсрэлт

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд тархалтын функцийн хамт тархалтын хуулийг тодорхойлох өөр нэг хэлбэрийг ашигладаг - тархалтын нягт.

Хэрэв интервалд унах магадлал байвал харьцаа нь тухайн цэгийн ойролцоо тархсан магадлалын нягтыг тодорхойлдог. X. Энэ харьцааны хязгаар нь, i.e. e. дериватив, гэж нэрлэдэг Түгээлтийн нягтралсанамсаргүй хэмжигдэхүүний (магадлалын тархалтын нягт, магадлалын нягт). X. Тархалтын нягтыг тэмдэглэхийг зөвшөөрье

.

Тиймээс тархалтын нягт нь цэгийн ойролцоо санамсаргүй хэмжигдэхүүн унах магадлалыг тодорхойлдог. X.

Тархалтын нягтын график гэж нэрлэдэг Муухай уралдаануудХязгаарлалт(Зураг 3.4).

Цагаан будаа. 3.4. Түгээлтийн нягтын төрөл

Түгээлтийн функцийн тодорхойлолт, шинж чанарт үндэслэн Ф(X), тархалтын нягтын дараах шинж чанаруудыг тогтооход хялбар байдаг Ф(X):

1) Ф(X)³0

2)

3)

4)

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд цэгийг онох магадлал 0 байх тул дараах тэнцүү байна.

Жишээ 3.2.Санамсаргүй утга X Түгээлтийн нягтралаар өгөгдсөн

Шаардлагатай:

A) коэффициентийн утгыг ол A;

B) тархалтын функцийг олох;

C) (0, ) интервалд санамсаргүй хэмжигдэхүүн унах магадлалыг ол.

Түгээлтийн функц буюу тархалтын нягт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүрэн дүрсэлдэг. Гэсэн хэдий ч ихэнхдээ практик шийдвэр гаргахдаа хуваарилалтын хуулийн талаар бүрэн мэдлэгтэй байх шаардлагагүй бөгөөд зөвхөн түүний зарим шинж чанарыг мэдэхэд л хангалттай. Энэ зорилгоор магадлалын онол нь тархалтын хуулийн янз бүрийн шинж чанарыг илэрхийлдэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг ашигладаг. Үндсэн тоон шинж чанарууд нь МатематикХүлээлт, хэлбэлзэл ба стандарт хазайлт.

Хүлээгдэж буй үнэ цэнэТооны тэнхлэг дээрх санамсаргүй хэмжигдэхүүний байрлалыг тодорхойлдог. Энэ бол санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга бөгөөд түүний эргэн тойронд түүний бүх боломжит утгыг бүлэглэсэн болно.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт X Тэмдгээр илэрхийлсэн М(X) эсвэл Т. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын хосолсон бүтээгдэхүүний нийлбэр ба эдгээр утгуудын магадлал юм.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг буруу интеграл ашиглан тодорхойлно.

Тодорхойлолт дээр үндэслэн математикийн хүлээлтийн дараах шинж чанаруудын үнэн зөвийг шалгахад хялбар байдаг.

1. (санамсаргүй бус утгын математикийн хүлээлт ХАМТХамгийн санамсаргүй бус утгатай тэнцүү).

2. Хэрэв ³0 бол ³0.

4. Хэрэв ба Бие даасан, Тэр .

Жишээ 3.3.Тархалтын цуваагаар өгөгдсөн дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол:

Шийдэл.

=0×0,2 + 1×0,4 + 2×0,3 + 3×0,1=1,3.

Жишээ 3.4.Тархалтын нягтар өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол:

.

Шийдэл.

Вариаци ба стандарт хазайлтЭдгээр нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын шинж чанар бөгөөд математикийн хүлээлттэй харьцуулахад түүний боломжит утгуудын тархалтыг тодорхойлдог.

Зөрчил Д(X) Санамсаргүй хувьсагч X Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтээс квадрат хазайх математик хүлээлтийг хэлнэ.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд дисперсийг нийлбэрээр илэрхийлнэ.

(3.3)

Мөн тасралтгүй хувьд - интегралаар

(3.4)

Дисперс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадратын хэмжээтэй байна. Тархалтын шинж чанар Ижил хэмжээтэйСанамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй Sti, стандарт хазайлт болж үйлчилнэ.

Тархалтын шинж чанарууд:

1) - тогтмол. Тухайлбал,

3)

Тухайлбал,

Томьёо (3.5) ашиглан хэлбэлзлийг тооцоолох нь ихэвчлэн (3.3) эсвэл (3.4) томъёог ашиглахаас илүү тохиромжтой байдаг гэдгийг анхаарна уу.

Тоо хэмжээ гэж нэрлэдэг Ковариацсанамсаргүй хэмжигдэхүүн.

Хэрэв , дараа нь утга

Дуудсан Корреляцийн коэффициентсанамсаргүй хэмжигдэхүүн.

Үүнийг харуулж болно, хэрэв , тэгвэл хэмжигдэхүүнүүд нь шугаман хамааралтай байна: хаана

Хэрэв тэд бие даасан байвал анхаарна уу

Жишээ 3.5.Жишээ 1-ээс тархалтын цуваагаар өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.

Шийдэл. Вариацийг тооцоолохын тулд та математикийн хүлээлтийг мэдэх хэрэгтэй. Өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дээр дурдсан болно. М=1.3. Бид (3.5) томъёог ашиглан дисперсийг тооцоолно.

Жишээ 3.6.Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын нягтаар тодорхойлно

Дисперс ба стандарт хазайлтыг ол.

Шийдэл. Эхлээд бид математикийн хүлээлтийг олдог:

(тэгш хэмийн интервал дээрх сондгой функцийн интеграл хэлбэрээр).

Одоо бид дисперс ба стандарт хазайлтыг тооцоолно.

1. Бином тархалт. Бернулли схемийн "АМЖИЛТ"-ын тоотой тэнцүү санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь бином тархалттай байна. , .

Хоёр гишүүний хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт тэнцүү байна

.

Энэ тархалтын хэлбэлзэл нь .

2. Пуассоны тархалт ,

Пуассон тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт ба дисперс, .

Пуассоны хуваарилалтыг бид тодорхой цаг хугацаа эсвэл орон зайд тохиолдох үйл явдлын тоо, тухайлбал: нэг цагийн дотор машин угаалгын газарт ирэх машины тоо, долоо хоногт машин зогсох тоо, тоо гэх мэтийг авч үзэхэд ихэвчлэн ашиглагддаг. зам тээврийн осол гэх мэт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн байна Геометрийн тархалтмагадлал бүхий утгыг авч байгаа бол параметртэй . Ийм тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь утга учиртай Эхний амжилттай тестийн тооАмжилтанд хүрэх магадлал бүхий Бернулли схемд. Түгээлтийн хүснэгт дараах байдлаар харагдаж байна.

3. Хэвийн тархалт. Магадлалын тархалтын ердийн хууль нь бусад тархалтын хуулиудын дунд онцгой байр суурь эзэлдэг. Магадлалын онолоор бие даасан буюу нийлбэрийн магадлалын нягтрал нь батлагдсан Бага зэрэг хамааралтай, жигд жижиг (өөрөөр хэлбэл, ойролцоогоор ижил үүрэг гүйцэтгэдэг) нэр томъёо, тэдгээрийн тоо хязгааргүй нэмэгдэж, эдгээр нэр томъёо нь ямар тархалтын хуулиудтай байгаагаас үл хамааран хэвийн тархалтын хуульд ойртдог (А. М. Ляпуновын төв хязгаарын теорем).

Математикийн хүлээлтийн тухай ойлголтууд М(X) ба хэлбэлзэл Д(X), дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнд зориулж өмнө нь нэвтрүүлсэн бөгөөд тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн болгон өргөтгөж болно.

· Математикийн хүлээлт М(X) тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог.

энэ интеграл нийлэх тохиолдолд.

· Зөрчлийн D(X) тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xтэгшитгэлээр тодорхойлогддог:

· Стандарт хэлбэлзэлσ( X) Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тэгшитгэлээр тодорхойлно:

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд өмнө авч үзсэн математикийн хүлээлт ба дисперсийн бүх шинж чанарууд нь тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүдэд мөн хүчинтэй байна.

Асуудал 5.3.Санамсаргүй утга Xдифференциал функцээр өгөгдсөн е(x):

Хай М(X), Д(X), σ( X), болон П(1 < X< 5).

Шийдэл:

М(X)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

Д(X)=

= = /

П 1 =

Даалгаврууд

5.1. X

е(x), болон

Р(‒1/2 < X< 1/2).

5.2. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xтүгээлтийн функцээр өгөгдсөн:

Дифференциал тархалтын функцийг ол е(x), болон

Р(2π /9< X< π /2).

5.3. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X

Олно: a) тоо -тай; б) М(X), Д(X).

5.4. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xтархалтын нягтаар өгөгдсөн:

Олно: a) тоо -тай; б) М(X), Д(X).

5.5. X:

Олох) Ф(X) болон түүний графикийг байгуулах; б) М(X), Д(X), σ( X); в) дөрвөн бие даасан туршилтаар үнэ цэнийн магадлал X(1;4) интервалд хамаарах утгыг яг 2 дахин авна.

5.6. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын нягтыг өгөв X:

Олох) Ф(X) болон түүний графикийг байгуулах; б) М(X), Д(X), σ( X); в) гурван бие даасан туршилтаар үнэ цэнийн магадлал Xсегментэд хамаарах утгыг яг 2 дахин авна.

5.7. Чиг үүрэг е(X) дараах хэлбэрээр өгөгдсөн.

-тай X; б) түгээлтийн функц Ф(x).

5.8. Чиг үүрэг е(x) дараах хэлбэрээр өгөгдсөн.

Ол: a) тогтмолын утгыг -тай, энэ үед функц нь зарим санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтрал байх болно X; б) түгээлтийн функц Ф(x).

5.9. Санамсаргүй утга X, интервал дээр төвлөрч (3;7) хуваарилалтын функцээр тодорхойлогддог Ф(X)= Xутгыг авна: a) 5-аас бага, б) 7-оос багагүй.

5.10. Санамсаргүй утга X, интервал дээр төвлөрсөн (-1;4) нь тархалтын функцээр тодорхойлогддог Ф(X)= . Санамсаргүй хэмжигдэхүүн болох магадлалыг ол Xутгыг авна: a) 2-оос бага, б) 4-өөс бага.

5.11.

Олно: a) тоо -тай; б) М(X); в) магадлал Р(X > М(X)).

5.12. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дифференциал тархалтын функцээр тодорхойлно.

Олох) М(X); б) магадлал Р(X ≤ М(X)).

5.13. Rem тархалтыг магадлалын нягтар тодорхойлно.

Үүнийг нотол е(x) нь үнэхээр магадлалын нягтын функц юм.

5.14. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын нягтыг өгөв X:

Тоогоо ол -тай.

5.15. Санамсаргүй утга X[-2;2] сегмент дээр Симпсоны хуулийн дагуу тархсан (зураг 5.4). Магадлалын нягтын аналитик илэрхийллийг ол е(x) бүхэл тооны мөрөнд.

Цагаан будаа. 5.4 Зураг. 5.5

5.16. Санамсаргүй утга X(0;4) интервалд “тэгш гурвалжин” хуулийн дагуу тархсан (Зураг 5.5). Магадлалын нягтын аналитик илэрхийллийг ол е(x) бүхэл тооны мөрөнд.

Хариултууд

П (-1/2<X<1/2)=2/3.

П(2π /9<X< π /2)=1/2.

5.3. A) -тай=1/6, b) М(X)=3, в) Д(X)=26/81.

5.4. A) -тай=3/2, b) М(X)=3/5, в) Д(X)=12/175.

б) М(X)= 3 , Д(X)= 2/9, σ( X)= /3.

б) М(X)=2 , Д(X)= 3 , σ( X)= 1,893.

5.7. a) c =; б)

5.8. A) -тай=1/2; б)

5.9. a) 1/4; б) 0.

5.10. a)3/5; б) 1.

5.11. A) -тай= 2; б) М(X)= 2; 1-д ln 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. A) М(X)= π /2; б) 1/2

Математикийн хүлээлтдискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг:

Хязгааргүй олон тооны утгуудын хувьд (4.4) -ийн баруун талд цуврал байгаа бөгөөд бид зөвхөн X-ийн утгуудыг авч үзэх болно.

М(X)санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж хүлээгдэж буй утгыг илэрхийлнэ. Энэ нь дараах шинж чанаруудтай.

1) M(C)=C, энд C=const

2) M (CX)=CM (X) (4.5)

3) M (X+Y)=M(X)+M(Y), дурын X ба Y хувьд.

4) M (XY)=M (X)M(Y), хэрэв X ба Y бие даасан байвал.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын дундаж утгын эргэн тойронд тархалтын түвшинг тооцоолох M(X)= А ойлголтуудыг танилцуулж байна зөрүүD(X)ба дундаж квадрат (стандарт) хазайлт. Зөрчилквадрат зөрүүний математик хүлээлт гэж нэрлэдэг (X-),тэдгээр. :

D(X)=M(X- ) 2 = p i ,

Хаана =M(X);дисперсийн квадрат язгуур гэж тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл. .

Зөрчлийг тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглана.

(4.6)

Тархалт ба стандарт хазайлтын шинж чанарууд:

1) D(C)=0, энд C=const

2) D(CX)=C 2 D(X), (CX)= çCç (X) (4.7)

3) D(X+Y) =D(X)+D(Y),

хэрэв X ба Y бие даасан байвал.

Хэмжигдэхүүний хэмжигдэхүүн нь X санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжигдэхүүнтэй давхцаж байгаа бөгөөд D(X) хэмжээ нь X санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжээсийн квадраттай тэнцүү байна.

4.3. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн дээрх математик үйлдлүүд.

X санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг магадлал бүхий утгыг, Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг магадлал бүхий утгыг ав. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний KX үржвэр ба K тогтмол утга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй ижил магадлал бүхий шинэ санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. X хувьсагч нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний X-ийн K утгуудын бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү утгыг авдаг. Тиймээс түүний тархалтын хууль Хүснэгт 4.2 хэлбэртэй байна.

Хүснэгт 4.2

			...
			...

Дөрвөлжинсанамсаргүй хэмжигдэхүүн X, i.e. , нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-тэй ижил магадлал бүхий шинэ санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд түүний утгуудын квадраттай тэнцүү утгыг авдаг.

нийлбэр X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь X санамсаргүй хэмжигдэхүүн утгыг авах магадлалыг илэрхийлдэг маягтын бүх утгыг авдаг шинэ санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд Y нь утга юм.

(4.8)

Хэрэв X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байвал:

X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүний ялгавар ба үржвэрийг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно.

Ялгаа X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд - энэ нь маягтын бүх утгыг авдаг шинэ санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. ажил- Магадлал бүхий маягтын бүх утгыг томъёогоор (4.8), хэрэв X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байвал (4.9) томъёогоор тодорхойлно.

4.4. Бернулли ба Пуассоны хуваарилалт.

Дараах нөхцлийг хангасан n ижил давтагдсан туршилтын дарааллыг авч үзье.

1. Туршилт бүр амжилттай, бүтэлгүйтсэн гэсэн хоёр үр дүнтэй байдаг.

Эдгээр хоёр үр дүн нь бие биедээ үл нийцэх, эсрэг тэсрэг үйл явдал юм.

2. Амжилтанд хүрэх магадлалыг p гэж тэмдэглэсэн нь туршилтаас туршилтын хооронд тогтмол хэвээр байна. Амжилтгүй болох магадлалыг q гэж тэмдэглэнэ.

3. Бүх n тест нь бие даасан байна. Энэ нь n удаа давтагдсан туршилтын аль нэгэнд тохиолдох үйл явдлын магадлал нь бусад туршилтын үр дүнгээс хамаарахгүй гэсэн үг юм.

Үйл явдлын магадлал нь тэнцүү байх n бие даасан давтан туршилтад тухайн үйл явдал яг m удаа (ямар ч дарааллаар) тохиолдох магадлал нь тэнцүү байна.

(4.10)

Илэрхийллийг (4.10) Бернуллигийн томъёо гэж нэрлэдэг.

Үйл явдал болох магадлал:

a) м-ээс бага удаа,

б) м-ээс дээш удаа,

в) дор хаяж m удаа,

г) м-ээс ихгүй удаа - томъёоны дагуу олно.

Бином гэдэг нь салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль юм X - n бие даасан туршилтын явцад тохиолдсон үйл явдлын тоо, тус бүрт тохиолдох магадлал нь p-тэй тэнцүү байна; X = 0,1,2,..., m,...,n боломжит утгуудын магадлалыг Бернулли томъёог ашиглан тооцоолно (Хүснэгт 4.3).

Хүснэгт 4.3

Амжилтын тоо X=m				...	м	...	n
магадлал P				...		...

Томъёоны баруун тал (4.10) нь бином тэлэлтийн ерөнхий нэр томъёог илэрхийлдэг тул энэхүү тархалтын хуулийг нэрлэнэ. бином. Хоёр гишүүний хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн хувьд бид байна.

Санамсаргүй хувьсагчид

Жишээ 2.1.Санамсаргүй утга Xтүгээлтийн функцээр өгөгдсөн

Туршилтын үр дүнд гарах магадлалыг ол Xинтервалд агуулагдах утгуудыг авна (2.5; 3.6).

Шийдэл: Xинтервал дахь (2.5; 3.6) хоёр аргаар тодорхойлж болно.

Жишээ 2.2.Ямар параметрийн утгууд дээр АТэгээд INфункц Ф(x) = A + Be - xсанамсаргүй хэмжигдэхүүний сөрөг бус утгуудын тархалтын функц байж болно X.

Шийдэл:Учир нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгууд Xинтервалд хамаарах бөгөөд функц нь хуваарилалтын функц байхын тулд X, эд хөрөнгө нь дараахь зүйлийг хангасан байх ёстой.

.

Хариулт: .

Жишээ 2.3.Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын функцээр тодорхойлогддог

Дөрвөн бие даасан туршилтын үр дүнд үнэ цэнэ гарах магадлалыг ол Xяг 3 удаа (0.25;0.75) интервалд хамаарах утгыг авна.

Шийдэл:Утга хүрэх магадлал X(0.25; 0.75) интервалд бид дараах томъёог ашиглан олно.

Жишээ 2.4.Бөмбөгийг нэг цохилтоор сагсанд онох магадлал 0.3 байна. Гурван шидэлтийн цохилтын тоог хуваарилах хуулийг гарга.

Шийдэл:Санамсаргүй утга X– гурван цохилтоор сагсанд хийсэн цохилтын тоо – дараах утгыг авч болно: 0, 1, 2, 3. Магадлал X

X:

Жишээ 2.5.Хоёр буудагч тус бүр бай руу нэг удаа бууддаг. Эхний мэргэн бууч цохих магадлал 0.5, хоёр дахь нь 0.4 байна. Зорилтот онох тоог хуваарилах хуулийг гарга.

Шийдэл:Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг олъё X- зорилтот цохилтын тоо. Үйл явдал нь байг оносон эхний харваач байх, хоёр дахь мэргэн буудагч нь байг онож, тэдний алдаж онох явдал байг.

SV-ийн магадлалын тархалтын хуулийг зохиоё X:

Жишээ 2.6.Бие биенээсээ хамааралгүй ажилладаг гурван элементийг туршиж үздэг. Элементүүдийн гэмтэлгүй ажиллах хугацаа (цагаар) нь тархалтын нягтын функцтэй байдаг: эхнийх нь: Ф 1 (т) =1-э- 0,1 т, хоёр дахь нь: Ф 2 (т) = 1-э- 0,2 т, гурав дахь нь: Ф 3 (т) =1-э- 0,3 т. 0-ээс 5 цаг хүртэлх хугацааны интервалд зөвхөн нэг элемент бүтэлгүйтэх магадлалыг ол; зөвхөн хоёр элемент амжилтгүй болно; бүх гурван элемент амжилтгүй болно.

Шийдэл:Магадлал үүсгэх функцийн тодорхойлолтыг ашиглая:

Бие даасан туршилтуудын магадлал, эхнийх нь үйл явдал тохиолдох магадлал А-тэй тэнцүү, хоёрдугаарт гэх мэт үйл явдал А-ын зэрэглэлд үүсгэгч функцийг өргөтгөх коэффициенттэй тэнцүү яг нэг удаа гарч ирнэ. 0-ээс 5 цагийн хооронд эхний, хоёр, гурав дахь элементийн бүтэлгүйтлийн болон бүтэлгүйтлийн магадлалыг олъё.

Үүсгэх функцийг үүсгэцгээе:

at коэффициент нь тухайн үйл явдлын магадлалтай тэнцүү байна Аяг гурван удаа гарч ирэх болно, өөрөөр хэлбэл бүх гурван элементийн бүтэлгүйтлийн магадлал; at коэффициент нь яг хоёр элемент бүтэлгүйтэх магадлалтай тэнцүү; at коэффициент нь зөвхөн нэг элемент бүтэлгүйтэх магадлалтай тэнцүү байна.

Жишээ 2.7.Магадлалын нягтыг өгөгдсөн е(x) санамсаргүй хувьсагч X:

F(x) тархалтын функцийг ол.

Шийдэл:Бид томъёог ашигладаг:

.

Тиймээс түгээлтийн функц дараах байдалтай байна.

Жишээ 2.8.Төхөөрөмж нь бие даасан гурван элементээс бүрдэнэ. Нэг туршилтын элемент тус бүрийн бүтэлгүйтлийн магадлал 0.1 байна. Нэг туршилтаар бүтэлгүйтсэн элементийн тоог хуваарилах хуулийг гарга.

Шийдэл:Санамсаргүй утга X– нэг туршилтанд бүтэлгүйтсэн элементүүдийн тоо – дараах утгыг авч болно: 0, 1, 2, 3. Магадлал XЭдгээр утгыг авч үзвэл бид Бернуллигийн томъёог ашиглан олно.

Ингээд бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын дараах хуулийг олж авна X:

Жишээ 2.9. 6 хэсгээс бүрдсэн багцад 4 стандарт байдаг. 3 хэсгийг санамсаргүй байдлаар сонгосон. Сонгогдсон хэсгүүдийн стандарт хэсгүүдийн тоог хуваарилах хуулийг гарга.

Шийдэл:Санамсаргүй утга XСонгогдсон хэсгүүдийн стандарт хэсгүүдийн тоо - дараах утгыг авч болно: 1, 2, 3 ба гипергеометрийн тархалттай байна. Тийм байх магадлал X

Хаана -- багц дахь хэсгүүдийн тоо;

-- багц дахь стандарт хэсгүүдийн тоо;

– сонгосон хэсгүүдийн тоо;

-- сонгосон хэсгүүдийн дундах стандарт хэсгүүдийн тоо.

.

.

.

Жишээ 2.10.Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь тархалтын нягтралтай байдаг

мөн мэдэгддэггүй, гэхдээ , a ба . олох ба.

Шийдэл:Энэ тохиолдолд санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xинтервал дээр гурвалжин тархалттай (Симпсон тархалт) [ а, б]. Тоон шинж чанар X:

Тиймээс, . Энэ системийг шийдэж, бид хоёр хос утгыг олж авна: . Асуудлын нөхцлийн дагуу бид эцэст нь: .

Хариулт: .

Жишээ 2.11.Дунджаар гэрээний 10% -д даатгалын компани даатгалын тохиолдол гарсантай холбогдуулан даатгалын дүнг төлдөг. Санамсаргүй байдлаар сонгогдсон дөрвөн гэрээний дундах ийм гэрээний тоог математикийн хүлээлт ба тархалтыг тооцоол.

Шийдэл:Математикийн хүлээлт ба дисперсийг дараах томъёогоор олж болно.

.

SV-ийн боломжит утга (даатгалын тохиолдол гарсан гэрээний тоо (дөрвөөс)): 0, 1, 2, 3, 4.

Даатгалын төлбөрийг төлсөн өөр өөр тооны гэрээний магадлалыг (дөрвөөс) тооцоолохдоо Бернуллигийн томъёог ашигладаг.

.

IC түгээлтийн цуврал (даатгалын тохиолдол гарсан гэрээний тоо) дараах хэлбэртэй байна.

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Хариулт: , .

Жишээ 2.12.Таван сарнайн хоёр нь цагаан. Нэгэн зэрэг авсан хоёр цагаан сарнайн тоог илэрхийлэх санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг зур.

Шийдэл:Хоёр сарнайг сонгоход цагаан сарнай байхгүй, эсвэл нэг эсвэл хоёр цагаан сарнай байж болно. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xутгыг авч болно: 0, 1, 2. Магадлал XЭдгээр утгыг авбал бид үүнийг томъёогоор олно:

Хаана -- сарнайн тоо;

-- цагаан сарнайн тоо;

– нэгэн зэрэг авсан сарнайн тоо;

-- авсан хүмүүсийн дунд цагаан сарнайн тоо.

.

.

.

Дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль дараах байдалтай байна.

Жишээ 2.13.Угсарсан 15 нэгжийн 6 нь нэмэлт тосолгооны материал шаарддаг. Нийт тооноос санамсаргүй байдлаар сонгогдсон таваас нэмэлт тослох шаардлагатай нэгжийн тоог хуваарилах хуулийг гарга.

Шийдэл:Санамсаргүй утга XСонгосон таван нэгжийн дотор нэмэлт тосолгооны материал шаардагдах нэгжийн тоо - 0, 1, 2, 3, 4, 5 гэсэн утгыг авч, гипергеометрийн тархалттай байна. Тийм байх магадлал XЭдгээр утгыг авбал бид үүнийг томъёогоор олно:

Хаана -- угсарсан нэгжийн тоо;

-- нэмэлт тосолгооны материал шаардагдах нэгжийн тоо;

– сонгосон нэгжийн тоо;

-- сонгосон хүмүүсийн дунд нэмэлт тослох шаардлагатай нэгжийн тоо.

.

.

.

.

.

.

Дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль дараах байдалтай байна.

Жишээ 2.14.Засвар хийхээр хүлээн авсан 10 цагны 7 нь механизмыг ерөнхий цэвэрлэх шаардлагатай. Цагийг засварын төрлөөр нь ангилдаггүй. Мастер цэвэрлэх шаардлагатай цагийг хайж олохыг хүсч, нэг нэгээр нь шалгаж үзээд ийм цаг олоод цаашид үзэхээ больжээ. Үзсэн цагийн тооны математикийн хүлээлт ба хэлбэлзлийг ол.

Шийдэл:Санамсаргүй утга X– сонгогдсон таваас нэмэлт тослох шаардлагатай нэгжийн тоо – дараах утгыг авч болно: 1, 2, 3, 4. Магадлал XЭдгээр утгыг авбал бид үүнийг томъёогоор олно:

.

.

.

.

Дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль дараах байдалтай байна.

Одоо хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг тооцоолъё:

Хариулт: , .

Жишээ 2.15.Захиалагч өөрт хэрэгтэй утасны дугаарын сүүлийн цифрийг мартсан боловч энэ нь сондгой гэдгийг санаж байна. Хэрэв тэр сүүлийн цифрийг санамсаргүй байдлаар залгаж, дараа нь залгасан дугаараа залгаагүй бол хүссэн дугаартаа хүрэхээс өмнө утасны дугаараа хэдэн удаа залгасны математик хүлээлт ба зөрүүг ол.

Шийдэл:Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дараах утгыг авч болно: . Захиалагч ирээдүйд залгасан дугаараа залгахгүй тул эдгээр утгуудын магадлал тэнцүү байна.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цувааг эмхэтгэе.

	0,2

Математикийн хүлээлт ба залгах оролдлогын зөрүүг тооцоолъё.

Хариулт: , .

Жишээ 2.16.Цуврал дахь төхөөрөмж бүрийн найдвартай байдлын туршилтын явцад бүтэлгүйтэх магадлал тэнцүү байна х. Туршилт хийсэн тохиолдолд бүтэлгүйтсэн төхөөрөмжүүдийн тооны математик хүлээлтийг тодорхойл Нтөхөөрөмжүүд.

Шийдэл:Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь бүтэлгүйтсэн төхөөрөмжүүдийн тоо юм Нбие даасан туршилтууд, тус бүрт бүтэлгүйтэх магадлал тэнцүү байна p,бином хуулийн дагуу хуваарилагдана. Дуран тархалтын математикийн хүлээлт нь туршилтын тоог нэг туршилтанд тохиолдох үйл явдлын магадлалаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Жишээ 2.17.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X 3 боломжит утгыг авна: магадлалаар ; магадлал болон магадлалаар. М( X) = 8.

Шийдэл:Бид математикийн хүлээлт ба салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийн тодорхойлолтыг ашигладаг.

Бид олдог: .

Жишээ 2.18.Техникийн хяналтын хэлтэс нь бүтээгдэхүүний стандартыг шалгадаг. Бүтээгдэхүүн нь стандарт байх магадлал 0.9 байна. Багц бүр 5 бүтээгдэхүүнтэй. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол X– 50 багцад хяналт шалгалт хийх тохиолдолд тус бүр нь яг 4 стандартын бүтээгдэхүүн агуулсан багцын тоо.

Шийдэл:Энэ тохиолдолд хийсэн бүх туршилтууд нь бие даасан бөгөөд багц бүр нь яг 4 стандарт бүтээгдэхүүн агуулсан байх магадлал ижил тул математикийн хүлээлтийг дараах томъёогоор тодорхойлж болно.

,

талуудын тоо хаана байна;

Багц нь яг 4 стандарт бүтээгдэхүүн агуулсан байх магадлал.

Бернуллигийн томъёог ашиглан магадлалыг олно:

Хариулт: .

Жишээ 2.19.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол X- үйл явдлын тохиолдлын тоо Абие даасан хоёр туршилтын явцад, хэрэв эдгээр туршилтын явцад тохиолдох үйл явдлын магадлал ижил бөгөөд энэ нь мэдэгдэж байгаа бол М(X) = 0,9.

Шийдэл:Асуудлыг хоёр аргаар шийдэж болно.

1) SV-ийн боломжит утгууд X: 0, 1, 2. Бернулли томъёог ашиглан бид эдгээр үйл явдлын магадлалыг тодорхойлно.

, , .

Дараа нь хуваарилалтын хууль Xхэлбэртэй байна:

Математикийн хүлээлтийн тодорхойлолтоос бид магадлалыг тодорхойлно.

SV-ийн дисперсийг олцгооё X:

.

2) Та томъёог ашиглаж болно:

.

Хариулт: .

Жишээ 2.20.Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт ба стандарт хазайлт Xтус тус 20 ба 5-тай тэнцүү. Туршилтын үр дүнд гарах магадлалыг ол Xинтервалд агуулагдах утгыг авна (15; 25).

Шийдэл:Ердийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнд хүрэх магадлал X-аас хүртэлх хэсэгт Лаплас функцээр илэрхийлэгдэнэ.

Жишээ 2.21.Өгөгдсөн функц:

Ямар параметрийн утгаар CЭнэ функц нь зарим тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт юм X? Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг ол X.

Шийдэл:Функц нь зарим санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт байхын тулд сөрөг биш байх ёстой бөгөөд энэ нь дараах шинж чанарыг хангасан байх ёстой.

.

Тиймээс:

Математикийн хүлээлтийг томъёогоор тооцоолъё.

.

Дараах томъёог ашиглан дисперсийг тооцоолъё.

T тэнцүү байна х. Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперсийг олох шаардлагатай.

Шийдэл:Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын хууль - бие даасан туршилтын явцад тохиолдох үйл явдлын тоо тус бүрд тохиолдох магадлал нь -тэй тэнцүү байгааг бином гэж нэрлэдэг. Дуран тархалтын математикийн хүлээлт нь туршилтын тоо ба нэг туршилтанд А үйл явдал тохиолдох магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

.

Жишээ 2.25.Зорилтот руу гурван бие даасан буудлага хийдэг. Цохилт бүрт онох магадлал 0.25 байна. Гурван цохилтоор цохилтын тооны стандарт хазайлтыг тодорхойлно уу.

Шийдэл:Гурван бие даасан туршилт хийгдэж, туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох магадлал (цохилт) ижил байдаг тул бид X салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг - байн дээр цохилтын тоо - хуваарилалтын дагуу хуваарилагдана гэж үзнэ. бином хууль.

Хоёр гишүүний тархалтын дисперс нь туршилтын тоо ба нэг туршилтын явцад тохиолдох болон тохиолдохгүй байх магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Жишээ 2.26.Даатгалын компанид 10 минутын дотор ханддаг үйлчлүүлэгчийн дундаж тоо гурав байна. Дараагийн 5 минутын дотор дор хаяж нэг үйлчлүүлэгч ирэх магадлалыг ол.

5 минутын дотор ирсэн үйлчлүүлэгчдийн дундаж тоо: . .

Жишээ 2.29.Процессорын дараалалд байгаа програмыг хүлээх хугацаа нь дунджаар 20 секундын утга бүхий экспоненциал түгээлтийн хуульд захирагддаг. Дараагийн (санамсаргүй) хүсэлт процессор дээр 35 секундээс илүү хугацаагаар хүлээх магадлалыг ол.

Шийдэл:Энэ жишээнд математикийн хүлээлт , мөн бүтэлгүйтлийн хувь тэнцүү байна.

Дараа нь хүссэн магадлал:

Жишээ 2.30.Тус бүр нь 10 суудалтай 20 эгнээ бүхий танхимд 15 оюутны бүлэг хурал хийдэг. Оюутан бүр танхимд санамсаргүй байдлаар байр эзэлдэг. Гураваас илүүгүй хүн эгнээний долдугаар байранд орох магадлал хэд вэ?

Шийдэл:

Жишээ 2.31.

Дараа нь магадлалын сонгодог тодорхойлолтын дагуу:

Хаана -- багц дахь хэсгүүдийн тоо;

-- багц дахь стандарт бус хэсгүүдийн тоо;

– сонгосон хэсгүүдийн тоо;

-- сонгосон хүмүүсийн дунд стандарт бус хэсгүүдийн тоо.

Тэгвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль дараах байдалтай байна.

Түгээлтийн нягтрал магадлал Xфункцийг дуудна f(x)– тархалтын функцийн анхны дериватив F(x):

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын нягтын тухай ойлголт Xсалангид хэмжигдэхүүнүүдэд хамаарахгүй.

Магадлалын тархалтын нягт f(x)– дифференциал тархалтын функц гэж нэрлэдэг:

Үл хөдлөх хөрөнгө 1.Тархалтын нягт нь сөрөг бус хэмжигдэхүүн юм:

Үл хөдлөх хөрөнгө 2.-аас хүртэлх муж дахь тархалтын нягтын буруу интеграл нь нэгдэлтэй тэнцүү байна.

Жишээ 1.25.Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц өгөгдсөн X:

f(x).

Шийдэл:Тархалтын нягт нь түгээлтийн функцийн эхний деривативтай тэнцүү байна.

1. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц өгөгдсөн X:

Тархалтын нягтыг ол.

2. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц өгөгдсөн X:

Тархалтын нягтыг ол f(x).

1.3. Тасралтгүй санамсаргүй тоон шинж чанарууд

тоо хэмжээ

Хүлээгдэж буй үнэ цэнэтасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X, боломжит утгууд нь бүх тэнхлэгт хамаарах болно Өө, тэгшитгэлээр тодорхойлогддог:

Интеграл нь туйлын нийлдэг гэж үздэг.

а,б), Тэр нь:

f(x)– санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт.

Тархалт тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X, боломжит утгууд нь бүх тэнхлэгт хамаарах тэгшитгэлээр тодорхойлогддог.

Онцгой тохиолдол. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд интервалд хамаарах бол ( а,б), Тэр нь:

Тийм магадлал Xинтервалд хамаарах утгыг авна ( а,б), тэгшитгэлээр тодорхойлогддог:

.

Жишээ 1.26.Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнд хүрэх математикийн хүлээлт, дисперс ба магадлалыг ол Xинтервалд (0;0.7).

Шийдэл:Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь (0,1) интервалаар тархсан байна. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягтыг тодорхойлъё X:

a) Математикийн хүлээлт :

б) зөрүү

V)

Бие даасан ажилд зориулсан даалгавар:

1. Санамсаргүй хувьсагч Xтүгээлтийн функцээр өгөгдсөн:

М(х);

б) зөрүү D(x);

Xинтервалд (2,3).

2. Санамсаргүй хувьсагч X

Олно: a) математикийн хүлээлт М(х);

б) зөрүү D(x);

в) санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг цохих магадлалыг тодорхойлно Xинтервал руу (1;1.5).

3. Санамсаргүй хувьсагч Xхуримтлагдсан тархалтын функцээр өгөгдсөн:

Олно: a) математикийн хүлээлт М(х);

б) зөрүү D(x);

в) санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг цохих магадлалыг тодорхойлно Xинтервалд

1.4. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулиуд

1.4.1. Нэг төрлийн хуваарилалт

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xсегмент дээр жигд тархалттай байна [ а,б], хэрэв энэ сегмент дээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын нягт тогтмол, гадна талд нь тэгтэй тэнцүү бол, өөрөөр хэлбэл:

Цагаан будаа. 4.

; ; .

Жишээ 1.27.Тодорхой чиглэлийн автобус 5 минутын зайтай жигд хөдөлдөг. Нэг жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлалыг ол X– автобусны хүлээлгийн хугацаа 3 минутаас бага байх болно.

Шийдэл:Санамсаргүй утга X– интервалд жигд тархсан.

Магадлалын нягт: .

Хүлээлгийн хугацаа 3 минутаас хэтрэхгүй байхын тулд зорчигч өмнөх автобус хөдөлснөөс хойш 2-5 минутын дотор зогсоол дээр гарч ирэх ёстой. санамсаргүй утга X(2;5) интервалд орох ёстой. Тэр. шаардлагатай магадлал:

Бие даасан ажилд зориулсан даалгавар:

1. а) санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол Xинтервалд жигд тархсан (2;8);

б) санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс ба стандарт хазайлтыг ол X,интервалд жигд тархсан (2;8).

2.Цахилгаан цагийн зүү минут бүрийн төгсгөлд огцом хөдөлдөг. Тухайн агшинд цаг нь жинхэнэ цагаас 20 секундээс ихгүй зөрүүтэй цагийг харуулах магадлалыг ол.

1.4.2. Экспоненциал тархалт

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xмагадлалын нягт нь дараах хэлбэртэй байвал экспоненциал хуулийн дагуу хуваарилагдана.

экспоненциал тархалтын параметр хаана байна.

Тиймээс

Цагаан будаа. 5.

Тоон шинж чанарууд:

Жишээ 1.28.Санамсаргүй утга X– чийдэнгийн ажиллах хугацаа – экспоненциал тархалттай. Дундаж ажиллах хугацаа 400 цаг бол гэрлийн чийдэнгийн ажиллах хугацаа хамгийн багадаа 600 цаг байх магадлалыг тодорхойл.

Шийдэл:Бодлогын нөхцлийн дагуу санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт X 400 цагтай тэнцэх тул:

;

Шаардлагатай магадлал, хаана

Эцэст нь:

Бие даасан ажилд зориулсан даалгавар:

1. параметртэй бол экспоненциал хуулийн нягт ба тархалтын функцийг бич.

2. Санамсаргүй хувьсагч X

Хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг ол X.

3. Санамсаргүй хувьсагч Xмагадлалын тархалтын функцээр өгөгдсөн:

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба стандарт хазайлтыг ол.

1.4.3. Хэвийн тархалт

Ердийнтасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтыг гэнэ X, нягтрал нь дараах хэлбэртэй байна.

Хаана А– математикийн хүлээлт, – стандарт хазайлт X.

Тийм магадлал Xинтервалд хамаарах утгыг авна:

, Хаана

- Лаплас функц.

Үүний хуваарилалт; , өөрөөр хэлбэл магадлалын нягтралтай стандарт гэж нэрлэдэг.

Цагаан будаа. 6.

Эерэг тооноос бага үнэмлэхүй утгыг үгүйсгэх магадлал:

.

Ялангуяа хэзээ a= 0 тэгш байдал нь үнэн:

Жишээ 1.29.Санамсаргүй утга Xхэвийн тархсан. Стандарт хэлбэлзэл. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс үнэмлэхүй утгын хазайлт 0.3-аас бага байх магадлалыг ол.

Шийдэл: .

Бие даасан ажилд зориулсан даалгавар:

1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэвийн тархалтын магадлалын нягтыг бич X, үүнийг мэдэж байгаа M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт ба стандарт хазайлт Xтус тус 20 ба 5-тай тэнцүү. Туршилтын үр дүнд гарах магадлалыг ол X(15;20) интервалд агуулагдах утгыг авна.

3. Санамсаргүй хэмжилтийн алдаа нь стандарт хазайлттай мм, математикийн хүлээлттэй ердийн хуулинд хамаарна. a= 0. Бие даасан 3 хэмжилтээс ядаж нэгийнх нь алдаа үнэмлэхүй утгаараа 4 мм-ээс хэтрэхгүй байх магадлалыг ол.

4. Тодорхой бодисыг системчилсэн алдаагүйгээр жинлэнэ. Санамсаргүй жинлэлтийн алдаа нь стандарт хазайлттай r хэвийн хуульд хамаарна.Үнэмлэхүй утгаараа 10г-аас ихгүй алдаатай жинлэх магадлалыг ол.