Хүчин чадлын функцийн деривативын томъёоны гарал үүсэл (х-ийг а-ын зэрэгт). x-ийн үндэсээс үүссэн деривативуудыг авч үзнэ. Дээд зэрэглэлийн чадлын функцийн деривативын томъёо. Деривативыг тооцоолох жишээ.

Агуулга

Мөн үзнэ үү: Хүчин чадлын функц ба үндэс, томъёо, график
Эрчим хүчний функцийн графикууд

Үндсэн томъёо

X-ийн а-ын дериватив нь х-ийг хасах нэгийн хүчинтэй тэнцүү байна.
(1) .

x-ийн n-р язгуураас m-р зэрэглэлийн дериватив нь:
(2) .

Хүчин чадлын функцийн деривативын томъёоны гарал үүсэл

Тохиолдол x > 0

a илтгэгчтэй x хувьсагчийн чадлын функцийг авч үзье.
(3) .
Энд a нь дурын бодит тоо юм. Эхлээд хэргийг авч үзье.

(3) функцийн деривативыг олохын тулд бид чадлын функцийн шинж чанарыг ашиглан дараах хэлбэрт шилжүүлнэ.
.

Одоо бид деривативыг дараах байдлаар олно.
;
.
Энд.

Формула (1) нь батлагдсан.

x-ийн n зэрэгтэй язгуурыг m зэрэгтэй болгох томъёоны гарал үүсэлтэй

Дараах хэлбэрийн үндэс болох функцийг авч үзье.
(4) .

Деривативыг олохын тулд язгуурыг чадлын функц болгон хувиргана.
.
Томъёо (3)-тай харьцуулбал бид үүнийг харж байна
.
Дараа нь
.

(1) томъёог ашиглан бид деривативыг олно:
(1) ;
;
(2) .

Практикт томьёо (2) цээжлэх шаардлагагүй. Эхлээд үндсийг хүч чадлын функц болгон хувиргаж, дараа нь (1) томъёог ашиглан тэдгээрийн деривативыг олох нь илүү тохиромжтой (хуудасны төгсгөлд байгаа жишээг үзнэ үү).

Тохиолдол x = 0

Хэрэв бол х = хувьсагчийн утгад чадлын функц тодорхойлогдоно 0 . (3) функцийн деривативыг x = дээр олъё 0 . Үүнийг хийхийн тулд бид деривативын тодорхойлолтыг ашигладаг.
.

x =-г орлуулъя 0 :
.
Энэ тохиолдолд дериватив гэж бид баруун талын хязгаарыг хэлнэ.

Тиймээс бид олсон:
.
Эндээс харахад , .
-д.
-д.
Энэ үр дүнг томъёо (1) -ээс олж авна.
(1) .
Иймд (1) томъёо нь x =-д мөн хүчинтэй байна 0 .

Тохиолдол x< 0

(3) функцийг дахин авч үзье:
(3) .
a тогтмолын тодорхой утгуудын хувьд энэ нь x хувьсагчийн сөрөг утгуудын хувьд мөн тодорхойлогддог. Тухайлбал, a нь рационал тоо байг. Дараа нь үүнийг бууруулж болохгүй бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно:
,
Энд m ба n нь нийтлэг хуваагчгүй бүхэл тоо юм.

Хэрэв n нь сондгой бол х хувьсагчийн сөрөг утгуудын хувьд чадлын функцийг мөн тодорхойлно. Жишээлбэл, n = үед 3 ба m = 1 Бид x-ийн шоо язгууртай:
.
Энэ нь мөн x хувьсагчийн сөрөг утгуудын хувьд тодорхойлогддог.

Тодорхойлогдсон a тогтмолын оновчтой утгуудын (3) чадлын функцийн деривативыг олцгооё. Үүний тулд x-г дараах хэлбэрээр төлөөлүүлье.
.
Дараа нь,
.
Тогтмолыг деривативын тэмдгийн гадна байрлуулж, цогц функцийг ялгах дүрмийг ашиглан деривативыг олно.

.
Энд. Гэхдээ
.
Түүнээс хойш
.
Дараа нь
.
Өөрөөр хэлбэл (1) томъёо нь дараахь тохиолдолд хүчинтэй байна.
(1) .

Дээд зэрэглэлийн деривативууд

Одоо чадлын функцийн дээд эрэмбийн деривативуудыг олцгооё
(3) .
Бид эхний эрэмбийн деривативыг аль хэдийн олсон:
.

Деривативын тэмдгийн гадна а тогтмолыг авбал бид хоёрдугаар эрэмбийн деривативыг олно.
.
Үүний нэгэн адил бид гурав, дөрөв дэх дарааллын деривативуудыг олдог.
;

.

Үүнээс харахад энэ нь тодорхой байна дурын n-р эрэмбийн деривативдараах хэлбэртэй байна:
.

анзаараарай, тэр хэрэв a нь натурал тоо юм, тэгвэл n-р дериватив тогтмол байна:
.
Дараа нь бүх деривативууд тэгтэй тэнцүү байна:
,
цагт.

Деривативыг тооцоолох жишээ

Жишээ

Функцийн деривативыг ол:
.

Үндэсийг хүч болгон хөрвүүлье:
;
.
Дараа нь анхны функц нь дараах хэлбэрийг авна.
.

Хүчин чадлын деривативуудыг олох:
;
.
Тогтмолын дериватив нь тэг байна:
.

Нарийн төвөгтэй деривативууд. Логарифмын дериватив.
Хүч-экспоненциал функцийн дериватив

Бид ялгах техникээ үргэлжлүүлэн сайжруулсаар байна. Энэ хичээлээр бид авч үзсэн материалаа нэгтгэж, илүү төвөгтэй деривативуудыг авч үзэхээс гадна дериватив, ялангуяа логарифмын дериватив олох шинэ арга техник, заль мэхтэй танилцах болно.

Бэлтгэл багатай уншигчид энэ нийтлэлд хандаарай Деривативыг хэрхэн олох вэ? Шийдлийн жишээ, энэ нь танд ур чадвараа бараг эхнээс нь дээшлүүлэх боломжийг олгоно. Дараа нь та хуудсыг сайтар судлах хэрэгтэй Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив, ойлгож, шийдвэрлэх Бүгдминий өгсөн жишээнүүд. Энэ хичээл нь логикийн хувьд гурав дахь дараалсан хичээл бөгөөд үүнийг эзэмшсэний дараа та нэлээд төвөгтэй функцуудыг итгэлтэйгээр ялгах болно. “Өөр хаана байна? Энэ хангалттай!", учир нь бүх жишээ, шийдлийг бодит туршилтаас авсан бөгөөд практикт ихэвчлэн тулгардаг.

Дахин давтахаас эхэлцгээе. Хичээл дээр Нарийн төвөгтэй функцийн деривативБид нарийвчилсан тайлбар бүхий хэд хэдэн жишээг авч үзсэн. Дифференциал тооцоолол болон математикийн шинжилгээний бусад салбарыг судлах явцад та маш олон удаа ялгах шаардлагатай бөгөөд жишээг нарийвчлан тайлбарлах нь үргэлж тохиромжтой биш (мөн үргэлж шаардлагатай биш). Тиймээс бид үүсмэл хэлбэрийг амаар олох дасгал хийх болно. Үүнд хамгийн тохиромжтой "нэр дэвшигчид" нь хамгийн энгийн нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативууд юм, жишээлбэл:

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу :

Ирээдүйд бусад матан сэдвүүдийг судлахдаа ийм нарийвчилсан бичлэг хийх шаардлагагүй байдаг тул оюутан автомат жолоодлого дээр ийм деривативыг хэрхэн олохыг мэддэг гэж үздэг. Шөнийн 3 цагт утас дуугарч, "Хоёр X-ийн шүргэгчийн дериватив нь юу вэ?" гэж аятайхан хоолой асуув гэж төсөөлөөд үз дээ. Үүний дараа бараг шуурхай бөгөөд эелдэг хариу өгөх ёстой: .

Эхний жишээ нь нэн даруй бие даасан шийдэлд зориулагдсан болно.

Жишээ 1

Дараах деривативуудыг нэг үйлдлээр амаар олоорой, жишээлбэл: . Даалгавраа дуусгахын тулд та зөвхөн ашиглах хэрэгтэй энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгт(хэрэв та үүнийг хараахан санахгүй байгаа бол). Хэрэв танд ямар нэгэн бэрхшээл тулгарвал би хичээлээ дахин уншихыг зөвлөж байна Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Хичээлийн төгсгөлд хариултууд

Нарийн төвөгтэй деривативууд

Урьдчилсан артиллерийн бэлтгэл хийсний дараа 3-4-5 үүрний функц бүхий жишээнүүд нь аймшигтай биш байх болно. Дараах хоёр жишээ зарим хүмүүст төвөгтэй мэт санагдаж болох ч хэрэв та тэдгээрийг ойлговол (хэн нэгэн нь зовох болно) дифференциал тооцооллын бараг бүх зүйл хүүхдийн тоглоом шиг санагдах болно.

Жишээ 2

Функцийн деривативыг ол

Өмнө дурьдсанчлан, нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олохдоо юуны түрүүнд шаардлагатай болно ЗөвХөрөнгө оруулалтаа ОЙЛГООРОЙ. Эргэлзээтэй байгаа тохиолдолд би танд хэрэгтэй аргыг сануулж байна: жишээ нь бид "x"-ийн туршилтын утгыг авч, (сэтгэцийн хувьд эсвэл ноорог хэлбэрээр) энэ утгыг "аймшигтай илэрхийлэл" болгон орлуулахыг оролддог.

1) Эхлээд бид илэрхийллийг тооцоолох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь нийлбэр нь хамгийн гүн шигтгээ гэсэн үг юм.

2) Дараа нь та логарифмыг тооцоолох хэрэгтэй:

4) Дараа нь косинусыг куб болгоно:

5) Тав дахь шатанд ялгаа:

6) Эцэст нь, хамгийн гадна талын функц нь квадрат язгуур юм:

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах томъёо хамгийн гадна талын функцээс хамгийн дотоод хүртэл урвуу дарааллаар хэрэгжинэ. Бид шийднэ:

Алдаа байхгүй юм шиг байна...

(1) Квадрат язгуурын деривативыг ав.

(2) Бид дүрмийг ашиглан ялгааны деривативыг авдаг

(3) Гурав дахины дериватив нь тэг байна. Хоёр дахь гишүүнд бид градусын деривативыг (шоо) авна.

(4) Косинусын деривативыг ав.

(5) Логарифмын деривативыг ав.

(6) Эцэст нь бид хамгийн гүн шингээлтийн деривативыг авдаг.

Энэ нь хэтэрхий хэцүү мэт санагдаж болох ч энэ нь хамгийн харгис жишээ биш юм. Жишээлбэл, Кузнецовын цуглуулгыг авбал дүн шинжилгээ хийсэн деривативын бүх гоо үзэсгэлэн, энгийн байдлыг үнэлэх болно. Оюутан нийлмэл функцийн деривативыг хэрхэн олохыг ойлгож байна уу, эсвэл ойлгохгүй байна уу гэдгийг шалгахын тулд шалгалтанд ижил төстэй зүйл өгөх дуртай болохыг би анзаарсан.

Дараах жишээ нь та өөрөө шийдэх болно.

Жишээ 3

Функцийн деривативыг ол

Зөвлөгөө: Эхлээд бид шугаман байдлын дүрэм болон бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг хэрэгжүүлнэ

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Илүү жижиг, илүү сайхан зүйл рүү шилжих цаг болжээ.
Хоёр биш, гурван функцийн үржвэрийг жишээгээр харуулах нь ердийн зүйл биш юм. Гурван хүчин зүйлийн үржвэрийн деривативыг хэрхэн олох вэ?

Жишээ 4

Функцийн деривативыг ол

Эхлээд бид гурван функцийн үржвэрийг хоёр функцийн үржвэр болгон хувиргах боломжтой юу? Жишээлбэл, хэрэв бид үржвэрт хоёр олон гишүүнтэй байсан бол хаалтыг нээж болно. Гэхдээ авч үзэж буй жишээн дээр бүх функцууд өөр өөр байдаг: градус, экспонент, логарифм.

Ийм тохиолдолд зайлшгүй шаардлагатай дараалсанбүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг хэрэглэнэ хоёр удаа

Энэ заль мэх нь "y" -ээр бид хоёр функцийн үржвэрийг тэмдэглэдэг: "ve" -ээр бид логарифмыг тэмдэглэдэг. Яагаад үүнийг хийж болох вэ? Үнэхээр тийм үү – энэ нь хоёр хүчин зүйлийн үр дүн биш бөгөөд дүрэм ажиллахгүй байна уу? Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй:

Одоо энэ дүрмийг хоёр дахь удаагаа хэрэглэх л үлдлээ хаалтанд:

Та мөн мушгиж, хаалтанд ямар нэгэн зүйл хийж болно, гэхдээ энэ тохиолдолд хариултыг яг энэ хэлбэрээр үлдээх нь дээр - шалгахад хялбар байх болно.

Үзсэн жишээг хоёр дахь аргаар шийдэж болно.

Хоёр шийдэл нь туйлын тэнцүү юм.

Жишээ 5

Функцийн деривативыг ол

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ бөгөөд дээж дээр эхний аргыг ашиглан шийддэг.

Бутархайтай ижил төстэй жишээнүүдийг авч үзье.

Жишээ 6

Функцийн деривативыг ол

Энд та хэд хэдэн арга замаар явж болно:

Эсвэл иймэрхүү:

Гэхдээ эхлээд хуваалтыг ялгах дүрмийг ашиглавал шийдэл илүү нягт бичигдэх болно , бүхэл тоологчийг авч үзвэл:

Зарчмын хувьд жишээ нь шийдэгдсэн, хэрэв байгаагаар нь үлдээвэл алдаа гарахгүй. Гэхдээ хэрэв танд цаг байгаа бол хариултыг хялбарчлах боломжтой эсэхийг шалгахын тулд ноорог шалгаж үзэхийг зөвлөж байна уу? Тоолуурын илэрхийллийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулъя Гурван давхар фракцаас салцгаая:

Нэмэлт хялбаршуулсан сул тал нь деривативыг олохдоо бус харин сургуулийн өмнөх өөрчлөлтийн үед алдаа гаргах эрсдэлтэй байдаг. Нөгөөтэйгүүр, багш нар даалгавраас татгалзаж, деривативыг "санах" гэж хүсдэг.

Өөрөө шийдэх энгийн жишээ:

Жишээ 7

Функцийн деривативыг ол

Бид дериватив олох аргуудыг үргэлжлүүлэн эзэмшсээр байгаа бөгөөд одоо "аймшигтай" логарифмыг ялгахын тулд санал болгож буй ердийн тохиолдлыг авч үзэх болно.

Жишээ 8

Функцийн деривативыг ол

Энд та нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашиглан урт замыг туулж чадна:

Гэхдээ хамгийн эхний алхам нь таныг шууд цөхрөлд автуулдаг - та бутархай, дараа нь бутархайгаас тааламжгүй деривативыг авах хэрэгтэй.

Тийм ч учраас өмнө"нарийн төвөгтэй" логарифмын деривативыг хэрхэн яаж авах вэ, үүнийг эхлээд сургуулийн алдартай шинж чанаруудыг ашиглан хялбаршуулсан болно.

! Хэрэв танд дасгалын дэвтэр байгаа бол эдгээр томъёог шууд хуулж ав. Хэрэв танд дэвтэр байхгүй бол тэдгээрийг цаасан дээр хуулж ав, учир нь хичээлийн үлдсэн жишээнүүд эдгээр томьёог тойрон эргэлдэх болно.

Шийдлийг өөрөө дараах байдлаар бичиж болно.

Функцийг өөрчилье:

Деривативыг олох нь:

Функцийг урьдчилан хөрвүүлэх нь шийдлийг маш хялбаршуулсан. Тиймээс ижил төстэй логарифмыг ялгахын тулд санал болгож байгаа бол үүнийг "задлах" нь үргэлж тохиромжтой байдаг.

Одоо та өөрөө шийдэх хэд хэдэн энгийн жишээ байна:

Жишээ 9

Функцийн деривативыг ол

Жишээ 10

Функцийн деривативыг ол

Бүх өөрчлөлтүүд болон хариултууд хичээлийн төгсгөлд байна.

Логарифмын дериватив

Хэрэв логарифмын дериватив нь ийм сайхан хөгжим юм бол асуулт гарч ирнэ: зарим тохиолдолд логарифмыг зохиомлоор зохион байгуулах боломжтой юу? Чадах! Тэгээд бүр шаардлагатай.

Жишээ 11

Функцийн деривативыг ол

Саяхан бид ижил төстэй жишээнүүдийг харлаа. Юу хийх вэ? Та хуваалтыг ялгах дүрмийг дараалан хэрэглэж болно, дараа нь бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг хэрэглэж болно. Энэ аргын сул тал нь та гурван давхар том хэсэгтэй болж, үүнийг огтхон ч шийдвэрлэхийг хүсэхгүй байгаа явдал юм.

Гэхдээ онол, практикт логарифмын дериватив гэх гайхалтай зүйл байдаг. Логарифмуудыг хоёр талд нь "өлгөх" замаар зохиомлоор зохион байгуулж болно.

Анхаарна уу : учир нь Функц нь сөрөг утгыг авч болох тул ерөнхийдөө та модулиудыг ашиглах хэрэгтэй: , энэ нь ялгаатай байдлын үр дүнд алга болно. Гэсэн хэдий ч одоогийн загварыг хүлээн авах боломжтой бөгөөд үүнийг анхдагчаар харгалзан үздэг цогцолборутга. Гэхдээ хэрэв бүх зүйл хатуу байвал аль алинд нь захиалга өгөх хэрэгтэй.

Одоо та баруун талын логарифмыг аль болох "задлах" хэрэгтэй (таны нүдний өмнө томьёо уу?). Би энэ үйл явцыг нарийвчлан тайлбарлах болно:

Ялгахаас эхэлцгээе.
Бид хоёр хэсгийг үндсэн хэсэгт дүгнэж байна:

Баруун талын дериватив нь маш энгийн бөгөөд би энэ талаар тайлбар хийхгүй, учир нь та энэ текстийг уншиж байгаа бол үүнийг өөртөө итгэлтэйгээр даван туулах чадвартай байх ёстой.

Зүүн тал нь яах вэ?

Зүүн талд нь бид байна нарийн төвөгтэй функц. "Яагаад логарифмын доор нэг "Y" үсэг байгаа юм бэ?" Гэсэн асуултыг би таамаглаж байна.

Үнэн хэрэгтээ энэ "нэг үсэгтэй тоглоом" - ӨӨРӨӨ ФУНКЦ ҮҮ(хэрэв энэ нь тийм ч тодорхой биш бол далд хэлбэрээр заасан функцийн дериватив өгүүллийг үзнэ үү). Тиймээс логарифм нь гадаад функц, "y" нь дотоод функц юм. Мөн бид нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашигладаг :

Зүүн талд нь ид шидтэй мэт бид деривативтай. Дараа нь пропорциональ дүрмийн дагуу бид "y" -ийг зүүн талын хуваагчаас баруун талын дээд талд шилжүүлнэ.

Одоо бид ялгах явцад ямар төрлийн "тоглогч" функцийн талаар ярилцсанаа санацгаая? Нөхцөл байдлыг харцгаая:

Эцсийн хариулт:

Жишээ 12

Функцийн деривативыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Энэ төрлийн жишээний загвар дизайныг хичээлийн төгсгөлд оруулсан болно.

Логарифмын деривативыг ашиглан №4-7 жишээнүүдийн аль нэгийг нь шийдэх боломжтой байсан, өөр нэг зүйл бол тэнд байгаа функцууд нь илүү энгийн, магадгүй логарифмын деривативыг ашиглах нь тийм ч үндэслэлгүй юм.

Хүч-экспоненциал функцийн дериватив

Бид энэ функцийг хараахан авч үзээгүй байна. Чадлын экспоненциал функц нь түүнд зориулагдсан функц юм зэрэг ба суурь нь "x" -ээс хамаарна.. Аливаа сурах бичиг, лекц дээр танд өгөх сонгодог жишээ:

Хүч-экпоненциал функцийн деривативыг хэрхэн олох вэ?

Энэ нь саяхан хэлэлцсэн техникийг ашиглах шаардлагатай - логарифмын дериватив. Бид хоёр талдаа логарифмуудыг өлгөдөг.

Дүрмээр бол баруун талд градусыг логарифмын доороос авна.

Үүний үр дүнд баруун талд бид хоёр функцийн үржвэртэй байгаа бөгөөд үүнийг стандарт томъёоны дагуу ялгах болно. .

Бид деривативыг олдог бөгөөд үүнийг хийхийн тулд бид хоёр хэсгийг зураасаар хавсаргана.

Цаашдын үйлдлүүд нь энгийн:

Эцэст нь:

Хэрэв ямар нэгэн хөрвүүлэлт бүрэн тодорхойгүй байвал Жишээ №11-ийн тайлбарыг анхааралтай уншина уу.

Практик даалгаврын хувьд чадлын экспоненциал функц нь авч үзсэн лекцийн жишээнээс илүү төвөгтэй байх болно.

Жишээ 13

Функцийн деривативыг ол

Бид логарифмын деривативыг ашигладаг.

Баруун талд нь тогтмол ба хоёр хүчин зүйлийн үржвэр байдаг - "x" ба "логарифм x" (өөр логарифм логарифмын доор байрладаг). Ялгахдаа, бидний санаж байгаагаар тогтмолыг үүсмэл тэмдгээс нэн даруй шилжүүлэх нь дээр бөгөөд ингэснээр саад болохгүй; Мэдээжийн хэрэг, бид мэддэг дүрмийг хэрэгжүүлдэг :

Үүний дээр бид хамгийн энгийн деривативуудыг судалж, мөн ялгах дүрэм, дериватив олох техникийн зарим техниктэй танилцсан. Тиймээс, хэрэв та функцийн деривативын талаар тийм ч сайн биш эсвэл энэ нийтлэлийн зарим зүйл бүрэн ойлгомжгүй байвал эхлээд дээрх хичээлийг уншина уу. Ноцтой сэтгэл хөдлөлөө аваарай - материал нь тийм ч энгийн биш, гэхдээ би үүнийг энгийн бөгөөд ойлгомжтой байдлаар танилцуулахыг хичээх болно.

Практик дээр та нарийн төвөгтэй функцийн деривативтай маш олон удаа харьцах хэрэгтэй болдог, тэр ч байтугай дериватив олох даалгавар өгөх үед бараг үргэлж гэж хэлэх болно.

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн (№ 5) хүснэгтийг бид харж байна.

Үүнийг олж мэдье. Юуны өмнө оруулгад анхаарлаа хандуулъя. Энд бид хоёр функцтэй - ба , функц нь дүрсээр хэлбэл функц дотор байрласан байна. Ийм төрлийн функцийг (нэг функц нөгөөд нь үүрлэсэн үед) нийлмэл функц гэж нэрлэдэг.

Би функцийг дуудах болно гадаад функц, болон функц – дотоод (эсвэл үүрлэсэн) функц.

! Эдгээр тодорхойлолтууд нь онолын хувьд биш бөгөөд даалгаврын эцсийн загварт тусгагдаагүй байх ёстой. Би зөвхөн материалыг ойлгоход хялбар болгох үүднээс "гадаад функц", "дотоод" функцийг албан бус хэллэгээр ашигладаг.

Нөхцөл байдлыг тодруулахын тулд дараахь зүйлийг анхаарч үзээрэй.

Жишээ 1

Функцийн деривативыг ол

Синусын доор бид зөвхөн "X" үсэг биш, харин бүхэл бүтэн илэрхийлэл байдаг тул үүсмэлийг хүснэгтээс шууд олох нь ажиллахгүй болно. Эхний дөрвөн дүрмийг энд хэрэглэх боломжгүй гэдгийг бид анзаарч байна, ялгаа байгаа юм шиг байгаа юм, гэхдээ синусыг "хэсэг болгон хувааж" болохгүй.

Энэ жишээнд функц нь нийлмэл функц, олон гишүүнт нь дотоод функц (суулгах), гадаад функц болох нь миний тайлбараас аль хэдийн ойлгомжтой болсон.

Эхний алхамнийлмэл функцийн деривативыг олоход юу хийх хэрэгтэй вэ? аль функц нь дотоод, аль нь гадаад болохыг ойлгох.

Энгийн жишээнүүдийн хувьд синусын дор олон гишүүнт багтсан байгаа нь тодорхой харагдаж байна. Гэхдээ бүх зүйл тодорхойгүй байвал яах вэ? Аль функц нь гадаад, аль нь дотоод гэдгийг хэрхэн зөв тодорхойлох вэ? Үүнийг хийхийн тулд оюун ухаанаар эсвэл ноорог хэлбэрээр хийж болох дараах техникийг ашиглахыг санал болгож байна.

Тооны машин дээр илэрхийллийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ (нэгний оронд ямар ч тоо байж болно).

Бид эхлээд юуг тооцох вэ? Юуны өмнөта дараах үйлдлийг гүйцэтгэх хэрэгтэй болно: , тиймээс олон гишүүнт нь дотоод функц болно:

Хоёрдугаартолох шаардлагатай тул синус нь гадаад функц болно:

Бидний дараа ХУДАЛДААдотоод болон гадаад функцтэй бол нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг хэрэглэх цаг болжээ .

Шийдвэрлэж эхэлцгээе. Хичээлээс Деривативыг хэрхэн олох вэ?Аливаа деривативын шийдлийн загвар үргэлж ингэж эхэлдэг гэдгийг бид санаж байна - бид илэрхийлэлийг хаалтанд хийж, баруун дээд буланд зураас тавьдаг:

Хамгийн эхэндбид гадаад функцийн деривативыг (синус) олоод, анхан шатны функцүүдийн деривативын хүснэгтийг хараад . Хэрэв "x"-г нийлмэл илэрхийллээр сольсон бол хүснэгтийн бүх томьёо мөн хамаарна, энэ тохиолдолд:

Дотоод функцийг анхаарна уу өөрчлөгдөөгүй, бид үүнд хүрдэггүй.

За, энэ нь ойлгомжтой

Томьёог хэрэглэсний үр дүн эцсийн хэлбэрээр энэ нь дараах байдалтай байна.

Тогтмол хүчин зүйлийг ихэвчлэн илэрхийллийн эхэнд байрлуулдаг.

Хэрэв үл ойлголцол байвал шийдлийг цаасан дээр бичиж, тайлбарыг дахин уншина уу.

Жишээ 2

Функцийн деривативыг ол

Жишээ 3

Функцийн деривативыг ол

Бид үргэлж бичдэг:

Бидэнд гаднах функц, дотоод функц хаана байгааг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд бид (сэтгэцийн хувьд эсвэл ноорог хэлбэрээр) илэрхийллийн утгыг тооцоолохыг оролддог. Та эхлээд юу хийх ёстой вэ? Юуны өмнө та суурь нь юутай тэнцүү болохыг тооцоолох хэрэгтэй: тиймээс олон гишүүнт нь дотоод функц юм.

Зөвхөн дараа нь экспонентацийг гүйцэтгэдэг тул чадлын функц нь гадаад функц болно.

Томъёоны дагуу , эхлээд та гадаад функцийн деривативыг олох хэрэгтэй, энэ тохиолдолд зэрэг. Хүснэгтээс шаардлагатай томъёог хайж байна: . Бид дахин давтана: Хүснэгтийн аливаа томьёо нь зөвхөн "X"-д төдийгүй нийлмэл илэрхийлэлд хүчинтэй байна. Тиймээс нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг хэрэглэсний үр дүн дараачийн:

Бид гадаад функцийн деривативыг авахад бидний дотоод функц өөрчлөгдөхгүй гэдгийг би дахин онцолж байна.

Одоо зөвхөн дотоод функцийн маш энгийн деривативыг олж, үр дүнг бага зэрэг өөрчлөхөд л үлдлээ.

Жишээ 4

Функцийн деривативыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд хариулах).

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативын талаархи ойлголтоо нэгтгэхийн тулд би тайлбаргүйгээр жишээ өгөх болно, үүнийг өөрөө олж мэдэхийг хичээ, гадаад, дотоод функц хаана байгааг, яагаад даалгавруудыг ингэж шийддэг вэ?

Жишээ 5

a) Функцийн деривативыг ол

б) Функцийн деривативыг ол

Жишээ 6

Функцийн деривативыг ол

Энд бид язгууртай бөгөөд уг үндсийг ялгахын тулд түүнийг хүч гэж төлөөлөх ёстой. Тиймээс бид эхлээд функцийг ялгахад тохиромжтой хэлбэрт оруулна.

Функцийг задлан шинжилж үзэхэд бид гурван гишүүний нийлбэр нь дотоод функц, хүчирхэг болгох нь гадаад функц гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Бид нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг ашигладаг :

Бид дахин градусыг радикал (үндэс) болгон төлөөлдөг бөгөөд дотоод функцийн деривативын хувьд бид нийлбэрийг ялгах энгийн дүрмийг ашигладаг.

Бэлэн. Та мөн илэрхийллийг хаалтанд нийтлэг хуваагч болгон бууруулж, бүгдийг нэг бутархай болгон бичиж болно. Энэ нь мэдээжийн хэрэг үзэсгэлэнтэй, гэхдээ урт урт деривативуудыг олж авбал үүнийг хийхгүй байх нь дээр (төөрөлдөх, шаардлагагүй алдаа гаргах, багш шалгахад эвгүй байх болно).

Жишээ 7

Функцийн деривативыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд хариулах).

Заримдаа та нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн оронд хуваалтыг ялгах дүрмийг ашиглаж болно гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм. , гэхдээ ийм шийдэл нь ер бусын гажуудал мэт харагдах болно. Энд ердийн жишээ байна:

Жишээ 8

Функцийн деривативыг ол

Энд та хуваалтыг ялгах дүрмийг ашиглаж болно , гэхдээ цогц функцийг ялгах дүрмээр дамжуулан деривативыг олох нь илүү ашигтай байдаг.

Бид функцийг ялгахад бэлтгэдэг - бид хасах тэмдгийг дериватив тэмдгээс гаргаж, косинусыг тоологч руу өсгөнө.

Косинус нь дотоод функц, экспоненциал нь гадаад функц юм.
Өөрийн дүрмээ ашиглацгаая :

Бид дотоод функцийн деривативыг олж, косинусыг дахин тохируулна:

Бэлэн. Үзэж буй жишээн дээр шинж тэмдгүүдэд андуурахгүй байх нь чухал юм. Дашрамд хэлэхэд, дүрмийг ашиглан үүнийг шийдэхийг хичээ , хариултууд таарч байх ёстой.

Жишээ 9

Функцийн деривативыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд хариулах).

Одоогоор бид нарийн төвөгтэй функцэд зөвхөн нэг үүртэй байсан тохиолдлуудыг авч үзсэн. Практик даалгаврын хувьд та үүрлэх хүүхэлдэй гэх мэт 3 эсвэл бүр 4-5 функцийг нэг дор байрлуулдаг деривативуудыг олж болно.

Жишээ 10

Функцийн деривативыг ол

Энэ функцийн хавсралтыг ойлгоцгооё. Туршилтын утгыг ашиглан илэрхийллийг тооцоолохыг оролдъё. Бид тооцоолуур дээр яаж тооцох вэ?

Эхлээд та олох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь нуман синус нь хамгийн гүн шигтгээ гэсэн үг юм:

Дараа нь нэгийн энэ нуманыг квадрат болгох хэрэгтэй:

Эцэст нь бид долоог хүчирхэг болгож өсгөв:

Өөрөөр хэлбэл, энэ жишээн дээр бид гурван өөр функц, хоёр оруулгатай байгаа бол хамгийн дотоод функц нь арксинус, хамгийн гадна талын функц нь экспоненциал функц юм.

Шийдвэрлэж эхэлцгээе

Дүрмийн дагуу Эхлээд та гадаад функцийн деривативыг авах хэрэгтэй. Бид деривативын хүснэгтийг хараад экспоненциал функцийн деривативыг олно: Цорын ганц ялгаа нь "x"-ийн оронд нийлмэл илэрхийлэл байгаа нь энэ томъёоны хүчинтэй байдлыг үгүйсгэхгүй. Тиймээс нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг хэрэглэсний үр дүн дараачийн.

Мөн нийлмэл функцийн деривативын тухай теорем, томъёолол нь дараах байдалтай байна.

1) $u=\varphi (x)$ функц нь хэзээ нэгэн цагт $x_0$ дериватив $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) $y=f(u)$ функцтэй байг. харгалзах цэг дээр $u_0=\varphi (x_0)$ дериватив $y_(u)"=f"(u)$ байна. Дараа нь дурдсан цэг дэх $y=f\left(\varphi (x) \right)$ нийлмэл функц нь мөн $f(u)$ ба $\varphi ( функцүүдийн деривативын үржвэртэй тэнцүү деривативтай болно. x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \баруун)\cdot \varphi"(x_0) $$

эсвэл богино тэмдэглэгээгээр: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Энэ хэсгийн жишээнүүдэд бүх функцууд нь $y=f(x)$ хэлбэртэй байна (өөрөөр хэлбэл, бид зөвхөн нэг хувьсагчийн $x$ функцийг авч үздэг). Үүний дагуу бүх жишээн дээр $y"$ деривативыг $x$ хувьсагчтай холбоотойгоор авдаг. Дериватив нь $x$ хувьсагчтай холбоотой гэдгийг онцлон тэмдэглэхийн тулд $y"_x$ гэж ихэвчлэн $y-ийн оронд бичдэг. "$.

1, 2, 3 дугаар жишээнүүд нь нийлмэл функцүүдийн деривативыг олох нарийвчилсан үйл явцыг тоймлон харуулав. Жишээ №4 нь дериватив хүснэгтийг илүү бүрэн дүүрэн ойлгоход зориулагдсан бөгөөд үүнтэй танилцах нь зүйтэй юм.

1-3-р жишээн дэх материалыг судалсны дараа 5, 6, 7-р жишээнүүдийг бие даан шийдвэрлэхийг зөвлөж байна. №5, №6, 7-р жишээнүүд нь богино хэмжээний шийдлийг агуулдаг бөгөөд ингэснээр уншигч өөрийн үр дүнгийн зөв эсэхийг шалгах боломжтой болно.

Жишээ №1

$y=e^(\cos x)$ функцийн уламжлалыг ол.

Бид $y"$ нийлмэл функцийн деривативыг олох хэрэгтэй. $y=e^(\cos x)$ тул $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. $ \left(e^(\cos x)\right)"$ деривативыг ол. Бид деривативын хүснэгтээс 6-р томьёог ашиглана. 6-р томьёог ашиглахын тулд бидний тохиолдолд $u=\cos x$ гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Цаашдын шийдэл нь 6-р томьёонд $u$-ийн оронд $\cos x$ илэрхийллийг орлуулахад л оршино.

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Одоо бид $(\cos x)"$ илэрхийллийн утгыг олох хэрэгтэй. Бид үүнээс 10-р томьёог сонгон деривативын хүснэгт рүү дахин шилжинэ. $u=x$-г 10-р томьёонд орлуулбал бид дараах байдалтай байна. : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Одоо (1.1) тэгш байдлыг үргэлжлүүлж, олсон үр дүнгээр нэмэгдүүлье:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

$x"=1$ тул бид тэгш байдлыг үргэлжлүүлнэ (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Тэгэхлээр (1.3) тэгшитгэлээс бидэнд: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$ байна. Мэдээжийн хэрэг, тайлбар болон завсрын тэгшитгэлийг ихэвчлэн алгасаж, деривативын олдворыг нэг мөрөнд бичнэ. тэгш байдлын хувьд ( 1.3) Тэгэхээр нийлмэл функцийн дериватив олдсон тул хариултыг бичих л үлдлээ.

Хариулт: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Жишээ №2

$y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ функцийн уламжлалыг ол.

Бид $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ деривативыг тооцоолох хэрэгтэй. Эхлэхийн тулд тогтмолыг (жишээ нь 9-ийн тоог) дериватив тэмдгээс хасаж болно гэдгийг анхаарна уу.

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \баруун)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Одоо $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ илэрхийлэл рүү шилжье. Деривативын хүснэгтээс хүссэн томьёо сонгоход хялбар болгохын тулд би илэрхийллийг танилцуулъя. Энэ хэлбэрээр асуултанд: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Одоо 2-р томъёог ашиглах шаардлагатай байгаа нь тодорхой байна, i.e. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Энэ томьёонд $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ болон $\alpha=12$-г орлуулъя:

Хүлээн авсан үр дүнд тэгш байдлыг (2.1) нэмбэл бид:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \баруун)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \баруун)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \баруун)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Ийм нөхцөлд шийдвэр гаргагч эхний алхамд томьёоны оронд $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ томьёог сонгоход алдаа гардаг. $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Гол нь гадаад функцийн дериватив хамгийн түрүүнд байх ёстой. $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ илэрхийллийн гаднах функцийг ойлгохын тулд $\arctg^(12)(4\cdot 5^) илэрхийллийн утгыг тооцоолж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. x)$ тодорхой хэмжээгээр $x$. Эхлээд та $5^x$-ийн утгыг тооцоолж, үр дүнг 4-өөр үржүүлж, $4\cdot 5^x$ авна. Одоо бид энэ үр дүнгээс арктангенсыг авч, $\arctg(4\cdot 5^x)$-г олж авна. Дараа нь бид гарсан тоог арван хоёр дахь зэрэглэлд хүргэж, $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ авна. Сүүлийн үйлдэл, өөрөөр хэлбэл. 12-ын хүчийг нэмэгдүүлэх нь гадаад функц болно. Эндээс бид тэгш байдлын дагуу хийгдсэн деривативыг олж эхлэх ёстой (2.2).

Одоо бид $(\arctg(4\cdot \ln x))"$-г олох хэрэгтэй. Бид деривативын хүснэгтийн 19-р томьёог ашиглаж, $u=4\cdot \ln x$-г орлуулна:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

$(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$-г харгалзан үр дүнгийн илэрхийлэлийг бага зэрэг хялбарчилж үзье.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Тэгш байдал (2.2) одоо болно:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \баруун)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \баруун)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

$(4\cdot \ln x)"$-г олоход л үлдлээ. Дериватив тэмдгээс тогтмолыг (өөрөөр хэлбэл 4) гаргая: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. For $(\ln x)"$-г олохын тулд бид 8-р томьёог ашиглан $u=x$ гэж орлуулна: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. $x"=1$ тул $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Хүлээн авсан үр дүнг (2.3) томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \баруун)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \баруун)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \баруун)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ доллар

Сүүлчийн тэгшитгэлд бичсэн шиг нийлмэл функцийн дериватив нэг мөрөнд ихэвчлэн олддог гэдгийг сануулъя. Тиймээс стандарт тооцоо, хяналтын ажлыг бэлтгэхдээ шийдлийг нарийвчлан тайлбарлах шаардлагагүй болно.

Хариулт: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Жишээ №3

$y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ функцийн $y"$-г ол.

Эхлээд $y$ функцийг бага зэрэг хувиргаж, радикал (үндэс)-ийг хүч болгон илэрхийлье: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Одоо деривативыг хайж эхэлцгээе. $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ тул:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\баруун)" \tag (3.1) $$

$u=\sin(5\cdot 9^x)$ болон $\alpha=\frac(3)(7)$-г орлуулж, деривативын хүснэгтээс 2-р томьёог ашиглая:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Хүлээн авсан үр дүнг ашиглан тэгш байдлыг (3.1) үргэлжлүүлье.

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\баруун)^(\frac(3)(7))\баруун)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Одоо бид $(\sin(5\cdot 9^x))"$-г олох хэрэгтэй. Үүний тулд бид деривативын хүснэгтээс 9-р томьёог ашиглан $u=5\cdot 9^x$-г орлуулна.

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Хүлээн авсан үр дүнд тэгш байдлыг (3.2) нэмснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\баруун)^(\frac(3)(7))\баруун)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9) ^x)" \tag (3.3) $$

$(5\cdot 9^x)"$-г олоход л үлдлээ. Эхлээд дериватив тэмдгийн гаднах тогтмолыг ($5$ тоо) авч үзье, өөрөөр хэлбэл $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9). ^x) "$. $(9^x)"$ деривативыг олохын тулд деривативын хүснэгтийн 5-р томьёог ашиглан $a=9$, $u=x$-ийг орлуулан: $(9^x) )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. $x"=1$ тул $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Одоо бид тэгш байдлыг (3.3) үргэлжлүүлж болно:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\баруун)^(\frac(3)(7))\баруун)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9) ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\баруун) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Бид $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$-г $\ хэлбэрээр бичиж, хүчнээс радикалууд (жишээ нь, үндэс) рүү дахин буцаж болно. frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\баруун)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$. Дараа нь деривативыг дараах хэлбэрээр бичнэ.

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Хариулт: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

Жишээ № 4

Деривативын хүснэгтийн 3, 4-р томьёо нь энэ хүснэгтийн 2-р томьёоны онцгой тохиолдол болохыг харуул.

Деривативын хүснэгтийн 2-р томьёо нь $u^\alpha$ функцийн деривативыг агуулна. №2 томьёонд $\alpha=-1$-г орлуулснаар бид дараахыг авна.

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

$u^(-1)=\frac(1)(u)$ ба $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$ тул тэгш байдлыг (4.1) дараах байдлаар дахин бичиж болно. $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Энэ бол деривативын хүснэгтийн 3-р томъёо юм.

Деривативын хүснэгтийн 2-р томьёог дахин авч үзье. Үүнд $\alpha=\frac(1)(2)$ орлъё:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\баруун)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Учир нь $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ ба $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, тэгш байдлыг (4.2) дараах байдлаар дахин бичиж болно.

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Үүссэн $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ нь деривативын хүснэгтийн 4-р томьёо юм. Таны харж байгаагаар дериватив хүснэгтийн 3, 4-р томьёог 2-р томъёоноос харгалзах $\alpha$ утгыг орлуулах замаар олж авсан.

"Хуучин" сурах бичигт үүнийг "гинжин" дүрэм гэж бас нэрлэдэг. Тэгэхээр хэрэв y = f (u) ба u = φ (x), тэр бол

y = f (φ (x))

цогцолбор - нийлмэл функц (функцын бүрдэл) дараа нь

Хаана , тооцооны дараа авч үзнэ u = φ (x).

Энд бид ижил функцээс "өөр өөр" найрлагыг авсан бөгөөд ялгах үр дүн нь "холих" дарааллаас шууд хамааралтай болохыг анхаарна уу.

Гинжин дүрэм нь мэдээжийн хэрэг гурав ба түүнээс дээш функцтэй найрлагад хамаарна. Энэ тохиолдолд деривативыг бүрдүүлдэг "гинжин хэлхээнд" гурав ба түүнээс дээш "холбоос" байх болно. Үржүүлэхтэй ижил төстэй байдал энд байна: деривативын хүснэгт "бидэнд байна"; "тэнд" - үржүүлэх хүснэгт; "Бидэнтэй хамт" нь гинжин дүрэм, "байдаг" нь "багана" үржүүлэх дүрэм юм. Ийм "цогцолбор" деривативуудыг тооцоолохдоо мэдээжийн хэрэг туслах аргументуудыг (u¸v гэх мэт) оруулдаггүй, гэхдээ найрлагад хамаарах функцүүдийн тоо, дарааллыг тэмдэглээд харгалзах холбоосууд нь "тэгсэн" байна. заасан дарааллаар.

. Энд "y"-ийн утгыг олж авахын тулд "x"-ийн тусламжтайгаар таван үйлдлийг гүйцэтгэдэг, өөрөөр хэлбэл таван функцийн найрлагатай: "гадаад" (тэдгээрийн сүүлчийнх нь) - экспоненциал - e  ; дараа нь урвуу дарааллаар, хүч. (♦) 2 ; тригонометрийн нүгэл(); тайвшруулах. () 3 ба эцэст нь логарифм ln.(). Тийм ч учраас

Дараах жишээнүүдийн дагуу бид "нэг чулуугаар хэд хэдэн шувуу алах" болно: нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дасгал хийж, үндсэн функцүүдийн деривативын хүснэгтэд нэмнэ. Тэгэхээр:

4. Хүчин чадлын функцийн хувьд - y = x α - үүнийг сайн мэддэг "үндсэн логарифмын ижилсэл" - b=e ln b - ашиглан x α = x α ln x хэлбэрээр дахин бичихэд бид олж авна.

5. Дурын экспоненциал функцийн хувьд ижил аргыг ашиглана

6. Дурын логарифм функцийн хувьд шинэ суурь руу шилжих сайн мэддэг томьёог ашиглан бид тогтмол олж авна.

.

7. Шүргэгч (котангенс)-ийг ялгахын тулд бид хуваалтыг ялгах дүрмийг ашигладаг.

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн деривативыг олж авахын тулд бид хоёр харилцан урвуу функцийн деривативуудаар хангагдсан хамаарлыг ашигладаг, өөрөөр хэлбэл харилцаанд хамаарах φ (x) ба f (x) функцуудыг ашигладаг.

Энэ бол харьцаа юм

Энэ нь харилцан урвуу функцүүдийн хувьд энэ томъёоноос юм

Тэгээд
,

Эцэст нь дараах хүснэгтээс хялбархан олж авч болох эдгээр болон бусад деривативуудыг нэгтгэн дүгнэж үзье.