Пифагорын теоремд заасан шинж чанар нь тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанар болох нь гайхалтай юм. Энэ нь Пифагорын теоремын эсрэг теоремоос үүдэлтэй.

Теорем: Гурвалжны нэг талын квадрат нь нөгөө хоёр талын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү бол гурвалжин тэгш өнцөгт байна.

Хероны томъёо

Гурвалжны хавтгайг талуудын уртаар илэрхийлэх томьёог гаргая. Энэ томьёо нь МЭ 1-р зуунд амьдарч байсан эртний Грекийн математикч, механикч болох Александрын Хероны нэртэй холбоотой юм. Херон геометрийн практик хэрэглээнд ихээхэн анхаарал хандуулсан.

Теорем. Талууд нь a,b,c-тэй тэнцүү гурвалжны S талбайг S= томьёогоор тооцдог ба энд p нь гурвалжны хагас периметр юм.

Баталгаа.

Өгөгдсөн: ?ABC, AB= c, BC= a, AC= b.А ба В өнцөг нь хурц байна. CH - өндөр.

Нотлох:

Нотолгоо:

AB=c, BC=a, AC=b байх ABC гурвалжинг авч үзье. Гурвалжин бүр дор хаяж хоёр хурц өнцөгтэй байдаг. A ба B гурвалжны ABC гурвалжны хурц өнцөг гэж үзье. Тэгвэл гурвалжны CH өндрийн H суурь нь AB талд байна. Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя: CH = h, AH=y, HB=x. Пифагорын теоремоор a 2 - x 2 = h 2 =b 2 -y 2, эндээс

Y 2 - x 2 = b 2 - a 2, эсвэл (y - x) (y + x) = b 2 - a 2, y + x = c-аас хойш у- x = (b2 - a2).

Сүүлийн хоёр тэгшитгэлийг нэмснээр бид дараахь зүйлийг авна.

2y = +c, хаанаас

y=, тэгэхээр h 2 = b 2 -y 2 =(b - y)(b+y)=

Ван дер Ваерденийн хэлснээр энэ харьцаа ерөнхий хэлбэрээр МЭӨ 18-р зууны үед Вавилонд мэдэгдэж байсан байх магадлалтай. д.

МЭӨ 400 орчим. МЭӨ, Проклусын хэлснээр Платон алгебр, геометрийг хослуулан Пифагорын гурвалсан гурвыг олох аргыг өгсөн. МЭӨ 300 орчим. д. Пифагорын теоремын хамгийн эртний аксиоматик нотолгоо нь Евклидийн элементүүдэд гарч ирэв.

Найрлага

Үндсэн томъёолол нь алгебрийн үйлдлүүдийг агуулдаг - тэгш өнцөгт гурвалжинд урт нь тэнцүү байна a (\displaystyle a)Тэгээд b (\displaystyle b), ба гипотенузын урт нь байна c (\displaystyle c), дараах харьцаа хангагдсан байна.

.

Зургийн талбайн тухай ойлголтыг ашиглан ижил төстэй геометрийн томъёолол бас боломжтой: тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенуз дээр баригдсан квадратын талбай нь дээр баригдсан квадратуудын талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна. хөл. Теоремыг Евклидийн элементүүдэд ийм хэлбэрээр томъёолсон болно.

Пифагорын теоремыг эргүүл- талуудын урт нь харьцаагаар хамааралтай аливаа гурвалжны тэгш өнцөгт байдлын тухай мэдэгдэл a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Үүний үр дүнд эерэг тоонуудын гурав дахин бүрд a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)Тэгээд c (\displaystyle c), ийм a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), хөлтэй тэгш өнцөгт гурвалжин бий a (\displaystyle a)Тэгээд b (\displaystyle b)ба гипотенуз c (\displaystyle c).

Баталгаа

Шинжлэх ухааны уран зохиолд Пифагорын теоремын дор хаяж 400 нотолгоо байдаг бөгөөд үүнийг геометрийн үндсэн ач холбогдол, үр дүнгийн энгийн шинж чанараар тайлбарладаг. Баталгаажуулах үндсэн чиглэлүүд нь гурвалжны элементүүдийн хоорондын харилцааны алгебрийн хэрэглээ (жишээлбэл, ижил төстэй байдлын түгээмэл арга), талбайн арга, мөн янз бүрийн чамин нотлох баримтууд байдаг (жишээлбэл, дифференциал тэгшитгэлийг ашиглах).

Ижил төстэй гурвалжингаар

Евклидийн сонгодог нотолгоо нь гипотенузын дээрх квадратыг хөл дээрх квадратуудтай тэгш өнцөгтийн өндрөөр задлах замаар үүссэн тэгш өнцөгтүүдийн хоорондох талбайн тэгш байдлыг тогтооход чиглэгддэг.

Баталгаажуулахад ашигласан бүтээц нь дараах байдалтай байна: тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд C (\displaystyle C), хөлний дээгүүр квадратууд ба гипотенузын дээгүүр квадратууд A B I K (\displaystyle ABIK)өндөр баригдаж байна CHмөн түүнийг үргэлжлүүлж буй туяа s (\displaystyle s), гипотенузын дээрх квадратыг хоёр тэгш өнцөгт болгон хуваах ба . Нотолгоо нь тэгш өнцөгтийн талбайн тэгш байдлыг тогтоох зорилготой юм A H J K (\displaystyle AHJK)хөлний дээгүүр дөрвөлжин хэлбэртэй A C (\displaystyle AC); Гипотенузын дээрх дөрвөлжин ба нөгөө хөлний дээрх тэгш өнцөгтийг бүрдүүлдэг хоёр дахь тэгш өнцөгтийн талбайн тэгш байдлыг ижил төстэй байдлаар тогтооно.

Тэгш өнцөгтийн талбайн тэгш байдал A H J K (\displaystyle AHJK)Тэгээд A C E D (\displaystyle ACED)гурвалжны конгруэнцээр тогтоогддог △ A C K ​​(\displaystyle \гурвалжин ACK)Тэгээд △ A B D (\displaystyle \triangle ABD), тус бүрийн талбай нь квадратуудын талбайн талтай тэнцүү байна A H J K (\displaystyle AHJK)Тэгээд A C E D (\displaystyle ACED)Үүний дагуу дараахь шинж чанартай холбоотой: гурвалжны талбай нь хэрэв дүрс нь нийтлэг талтай бол гурвалжны талбайн хагастай тэнцүү, гурвалжны нийтлэг тал хүртэлх өндөр нь нөгөө тал нь байна. тэгш өнцөгт. Гурвалжны конгруэнц нь хоёр тал (квадратуудын талууд) ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн тэгшитгэлээс (тэгш өнцөг ба өнцгөөс бүрддэг) үүсдэг. A (\displaystyle A).

Тиймээс гипотенузаас дээш дөрвөлжин талбай нь тэгш өнцөгтүүдээс бүрддэг болохыг нотолж байна. A H J K (\displaystyle AHJK)Тэгээд B H J I (\displaystyle BHJI), хөл дээрх квадратуудын талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Леонардо да Винчигийн нотолгоо

Талбайн аргад мөн Леонардо да Винчигийн олж авсан нотлох баримтууд багтсан болно. Тэгш өнцөгт гурвалжинг өгье △ A B C (\displaystyle \гурвалжин ABC)зөв өнцгөөр C (\displaystyle C)болон квадратууд A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG)Тэгээд A B H J (\displaystyle ABHJ)(зураг харна уу). Хажуу талд байгаа энэ нотолгоонд HJ (\displaystyle HJ)Сүүлчийнх нь гадна талд нь гурвалжин хэлбэртэй, тохирч байна △ A B C (\displaystyle \гурвалжин ABC), үүнээс гадна, гипотенузтай харьцуулахад болон түүний өндөртэй харьцуулахад хоёуланг нь тусгасан (өөрөөр хэлбэл, J I = B C (\displaystyle JI=BC)Тэгээд H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Чигээрээ C I (\displaystyle CI)гипотенуз дээр баригдсан квадратыг гурвалжингаас хойш хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана △ A B C (\displaystyle \гурвалжин ABC)Тэгээд △ J H I (\displaystyle \triangle JHI)барилгын хувьд тэнцүү. Нотолгоо нь дөрвөн өнцөгтийн тохирлыг тогтоодог C A J I (\displaystyle CAJI)Тэгээд D A B G (\displaystyle DABG), тус бүрийн талбай нь нэг талаас хөл дээрх квадратуудын тал ба анхны гурвалжны талбайн нийлбэртэй тэнцүү, нөгөө талаас тал нь Гипотенуз дээрх квадратын талбай дээр анхны гурвалжны талбайг нэмнэ. Нийтдээ хөл дээрх квадратуудын талбайн нийлбэрийн хагас нь гипотенуз дээрх квадратын талбайн талтай тэнцүү бөгөөд энэ нь Пифагорын теоремын геометрийн томъёололтой тэнцүү юм.

Хязгааргүй жижиг аргаар нотлох

Дифференциал тэгшитгэлийн техникийг ашигласан хэд хэдэн нотолгоо байдаг. Ялангуяа Хардиг хөлний хязгааргүй жижиг алхмуудыг ашиглан нотолсон гэж үздэг a (\displaystyle a)Тэгээд b (\displaystyle b)ба гипотенуз c (\displaystyle c), мөн анхны тэгш өнцөгттэй ижил төстэй байдлыг хадгалах, өөрөөр хэлбэл дараахь дифференциал харилцааны биелэлтийг хангах.

d a d c = c a (\ displaystyle (\ frac (da) (dc)) = (\ frac (c) (a))), d b d c = c b (\ displaystyle (\ frac (db) (dc)) = (\ frac (c) (b))).

Хувьсагчдыг салгах аргыг ашиглан тэдгээрээс дифференциал тэгшитгэлийг гаргаж авдаг c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), түүний интеграл нь хамаарлыг өгдөг c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Анхны нөхцлийн хэрэглээ a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)тогтмолыг 0 гэж тодорхойлдог бөгөөд энэ нь теоремийн илэрхийлэлд хүргэдэг.

Эцсийн томъёоны квадрат хамаарал нь гурвалжны талууд ба өсөлтүүдийн хоорондох шугаман пропорциональ байдлаас шалтгаалан гарч ирдэг бол нийлбэр нь янз бүрийн хөлийн өсөлтөөс бие даасан хувь нэмэртэй холбоотой байдаг.

Хувилбар ба ерөнхий дүгнэлт

Гурван талдаа ижил төстэй геометрийн дүрсүүд

Пифагорын теоремын чухал геометрийн ерөнхий дүгнэлтийг Евклид элементүүдэд өгсөн бөгөөд хажуу тал дээрх квадратуудын талбайгаас дурын ижил төстэй геометрийн дүрсүүдийн талбай руу шилжсэн: хөл дээр барьсан ийм дүрсүүдийн талбайн нийлбэр нь тэнцүү байх болно. гипотенуз дээр баригдсан ижил төстэй дүрсийн талбай.

Энэхүү ерөнхий ойлголтын гол санаа нь ийм геометрийн дүрсийн талбай нь түүний аль ч шугаман хэмжээсийн квадрат, ялангуяа аль ч талын уртын квадраттай пропорциональ байх явдал юм. Тиймээс талбайтай ижил төстэй тоонуудын хувьд A (\displaystyle A), B (\displaystyle B)Тэгээд C (\displaystyle C), урттай хөл дээр баригдсан a (\displaystyle a)Тэгээд b (\displaystyle b)ба гипотенуз c (\displaystyle c)Үүний дагуу дараахь хамаарал бий болно.

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B) )(b^(2))))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Баруун сум \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Пифагорын теоремын дагуу a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), дараа нь хийсэн.

Нэмж дурдахад, Пифагорын теоремыг ашиглахгүйгээр, тэгш өнцөгт гурвалжны талууд дээрх ижил төстэй гурван геометрийн дүрсийн талбай нь хамаарлыг хангадаг гэдгийг батлах боломжтой бол. A + B = C (\displaystyle A+B=C), дараа нь Евклидийн ерөнхий ойлголтын нотолгоог урвуу байдлаар ашигласнаар Пифагорын теоремын баталгааг гаргаж болно. Жишээлбэл, хэрэв гипотенуз дээр бид талбайтай анхны гурвалжинтай тэнцүү тэгш өнцөгт гурвалжинг байгуулна. C (\displaystyle C), мөн талууд дээр - талбайтай ижил төстэй хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин A (\displaystyle A)Тэгээд B (\displaystyle B), тэгвэл эхний гурвалжинг өндрөөр нь хуваасны үр дүнд талуудын гурвалжин үүсдэг, өөрөөр хэлбэл гурвалжны хоёр жижиг талбайн нийлбэр нь гурав дахь хэсгийн талбайтай тэнцүү байна. A + B = C (\displaystyle A+B=C)ба ижил төстэй тоонуудын хамаарлыг ашигласнаар Пифагорын теорем гарна.

Косинусын теорем

Пифагорын теорем нь дурын гурвалжин дахь талуудын уртыг холбодог илүү ерөнхий косинусын теоремын онцгой тохиолдол юм.

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

талуудын хоорондох өнцөг хаана байна a (\displaystyle a)Тэгээд b (\displaystyle b). Хэрэв өнцөг нь 90 ° байвал cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), мөн томьёо нь ердийн Пифагорын теоремыг хялбаршуулдаг.

Чөлөөт гурвалжин

Пифагорын теоремыг зөвхөн талуудын уртын харьцаагаар ажилладаг дурын гурвалжинд нэгтгэсэн ерөнхий ойлголт байдаг бөгөөд үүнийг Сабийн одон орон судлаач Табит ибн Курра анх бий болгосон гэж үздэг. Үүний дотор талуудтай дурын гурвалжны хувьд хажуу талдаа суурьтай тэгш өнцөгт гурвалжин багтдаг. c (\displaystyle c), орой нь хажуугийн эсрэг талын анхны гурвалжны оройтой давхцаж байна c (\displaystyle c)ба суурь дахь өнцөг нь өнцөгтэй тэнцүү байна θ (\displaystyle \theta), эсрэг тал c (\displaystyle c). Үүний үр дүнд анхныхтай төстэй хоёр гурвалжин үүсдэг: эхнийх нь талуудтай a (\displaystyle a), бичээстэй тэгш өнцөгт гурвалжны түүнээс хамгийн алслагдсан тал, ба r (\displaystyle r)- хажуугийн хэсгүүд c (\displaystyle c); хоёр дахь нь - хажуу талаас нь тэгш хэмтэй b (\displaystyle b)талтай s (\displaystyle s)- хажуугийн харгалзах хэсэг c (\displaystyle c). Үүний үр дүнд дараахь харьцаа хангагдана.

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

үед Пифагорын теорем руу доройтох θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Энэ харилцаа нь үүссэн гурвалжингийн ижил төстэй байдлын үр дагавар юм.

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c)) (b))=(\frac (b)(s))\,\Баруун сум \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Талбайн тухай Паппусын теорем

Евклидийн бус геометр

Пифагорын теорем нь Евклидийн геометрийн аксиомуудаас гаралтай бөгөөд Евклидийн бус геометрийн хувьд хүчин төгөлдөр бус - Пифагорын теоремын биелэлт нь Евклидийн параллелизмын постулаттай тэнцэнэ.

Евклидийн бус геометрийн хувьд тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын хоорондын хамаарал нь Пифагорын теоремоос өөр хэлбэртэй байх ёстой. Жишээлбэл, бөмбөрцөг геометрийн хувьд нэгж бөмбөрцгийн октантыг холбосон тэгш өнцөгт гурвалжны бүх гурван тал нь урттай байдаг. π / 2 (\displaystyle \pi /2), энэ нь Пифагорын теоремтой зөрчилдөж байна.

Түүгээр ч барахгүй гурвалжин тэгш өнцөгт байх шаардлагыг гурвалжны хоёр өнцгийн нийлбэр нь гурав дахь нь тэнцүү байх нөхцөлөөр сольсон тохиолдолд Пифагорын теорем гипербол ба эллипс геометрт хүчинтэй байна.

Бөмбөрцөг геометр

Радиустай бөмбөрцөг дээрх дурын тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд R (\displaystyle R)(жишээлбэл, гурвалжин дахь өнцөг зөв байвал) талуудтай a , b , c (\displaystyle a,b,c)талуудын хоорондын харилцаа нь:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\баруун)=\cos \left((\frac) (a)(R))\баруун)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\баруун)).

Энэ тэгш байдлыг бүх бөмбөрцөг гурвалжинд хүчинтэй бөмбөрцөг косинусын теоремын онцгой тохиолдол болгон гаргаж болно.

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac () c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ нүгэл \left((\frac (a)(R))\баруун)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

Хаана ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- гиперболкосинус. Энэ томьёо нь бүх гурвалжинд хүчинтэй гипербол косинусын теоремын онцгой тохиолдол юм.

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operator name) (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \gamma ),

Хаана γ (\displaystyle \гамма)- орой нь хажуугийн эсрэг талын өнцөг c (\displaystyle c).

Гипербол косинусын хувьд Тейлорын цувралыг ашиглах ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\ойролцоогоор 1+x^(2)/2)) хэрэв гипербол гурвалжин буурвал (өөрөөр хэлбэл, хэзээ a (\displaystyle a), b (\displaystyle b)Тэгээд c (\displaystyle c)тэг рүү чиглэдэг), тэгвэл тэгш өнцөгт гурвалжин дахь гиперболын хамаарал нь Пифагорын сонгодог теоремын хамааралд ойртоно.

Өргөдөл

Хоёр хэмжээст тэгш өнцөгт систем дэх зай

Пифагорын теоремын хамгийн чухал хэрэглээ бол тэгш өнцөгт координатын системийн хоёр цэгийн хоорондох зайг тодорхойлох явдал юм: зай s (\displaystyle s)координат бүхий цэгүүдийн хооронд (a , b) (\displaystyle (a,b))Тэгээд (c , d) (\displaystyle (c,d))тэнцүү байна:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Комплекс тоонуудын хувьд Пифагорын теорем нь комплекс тооны модулийг олох байгалийн томъёог өгдөг. z = x + y i (\displaystyle z=x+yi)урттай тэнцүү байна

Хичээлийн зорилго:

Ерөнхий боловсрол:

• оюутнуудын онолын мэдлэг (тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанар, Пифагорын теорем), тэдгээрийг асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах чадварыг шалгах;
• Асуудалтай нөхцөл байдлыг бий болгосны дараа оюутнуудыг Пифагорын урвуу теоремыг "нээлтэд" чиглүүл.

хөгжиж буй:

• онолын мэдлэгийг практикт хэрэгжүүлэх чадварыг хөгжүүлэх;
• ажиглалтаас дүгнэлт гаргах чадварыг хөгжүүлэх;
• санах ой, анхаарал, ажиглалтыг хөгжүүлэх:
• нээлтийн сэтгэл хөдлөлийн сэтгэл ханамж, математикийн үзэл баримтлалын хөгжлийн түүхийн элементүүдийг нэвтрүүлэх замаар суралцах сэдлийг хөгжүүлэх.

боловсролын:

• Пифагорын амьдралын үйл ажиллагааг судлах замаар тухайн сэдвээр тогтвортой сонирхлыг бий болгох;
• харилцан бие биенээ шалгах замаар ангийнхны мэдлэгийг бодитой үнэлэх, харилцан туслалцаа үзүүлэх.

Хичээлийн хэлбэр: анги-хичээл.

Хичээлийн төлөвлөгөө:

• Зохион байгуулах цаг.
• Гэрийн даалгавраа шалгаж байна. Мэдлэгийг шинэчлэх.
• Пифагорын теоремыг ашиглан практик асуудлыг шийдвэрлэх.
• Шинэ сэдэв.
• Мэдлэгийг анхдагч нэгтгэх.
• Гэрийн даалгавар.
• Хичээлийн хураангуй.
• Бие даасан ажил (Пифагорын афоризмуудыг таах бие даасан картуудыг ашиглах).

Хичээлийн үеэр.

Зохион байгуулах цаг.

Гэрийн даалгавраа шалгаж байна. Мэдлэгийг шинэчлэх.

Багш:Та гэртээ ямар даалгавар хийсэн бэ?

Оюутнууд:Тэгш өнцөгт гурвалжны өгөгдсөн хоёр талыг ашиглан гурав дахь талыг олж, хариултуудыг хүснэгт хэлбэрээр үзүүл. Ромб ба тэгш өнцөгтийн шинж чанарыг давт. Нөхцөл гэж нэрлэгддэг зүйлийг давтаж, теоремын дүгнэлт юу вэ. Пифагорын амьдрал, ажлын талаар тайлан бэлтгэ. 12 зангилаа уясан олс авчир.

Багш:Хүснэгтийг ашиглан гэрийн даалгаврынхаа хариултыг шалгана уу

(мэдээлэл хараар тодорсон, хариулт нь улаан өнгөтэй байна).

Багш: Тайлбарыг самбар дээр бичдэг. Хэрэв та тэдэнтэй санал нийлж байгаа бол холбогдох асуултын дугаарын хажууд байгаа цаасан дээр "+", хэрэв та санал нийлэхгүй бол "-" гэж тэмдэглээрэй.

Тайлбарыг самбар дээр урьдчилан бичсэн байдаг.

1. Гипотенуз нь хөлөөс урт байдаг.
2. Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгүүдийн нийлбэр 180 0 байна.
3. Хөлтэй тэгш өнцөгт гурвалжны талбай АТэгээд Втомъёогоор тооцоолно S=ab/2.
4. Пифагорын теорем нь бүх тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд үнэн юм.
5. Тэгш өнцөгт гурвалжинд 30 0 өнцгийн эсрэг талын хөл нь гипотенузын хагастай тэнцүү байна.
6. Хөлийн квадратуудын нийлбэр нь гипотенузын квадраттай тэнцүү байна.
7. Хөлийн квадрат нь гипотенуз ба хоёр дахь хөлийн квадратуудын зөрүүтэй тэнцүү байна.
8. Гурвалжны тал нь нөгөө хоёр талын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Ажлыг харилцан баталгаажуулалтыг ашиглан шалгадаг. Маргаан үүсгэсэн мэдэгдлүүдийг хэлэлцдэг.

Онолын асуултуудын түлхүүр.

Оюутнууд бие биенээ дараах системээр үнэлдэг.

8 зөв хариулт "5";
6-7 зөв хариулт "4";
4-5 зөв хариулт "3";
4-өөс бага зөв хариулт "2".

Багш:Өнгөрсөн хичээл дээр бид юу ярьсан бэ?

Оюутан:Пифагор ба түүний теоремын тухай.

Багш:Пифагорын теоремыг хэл. (Хэд хэдэн сурагч томъёог уншдаг, энэ үед 2-3 сурагч самбар дээр, 6 сурагч эхний ширээн дээр цаасан дээр нотолж байна).

Математикийн томъёог соронзон самбар дээрх картууд дээр бичдэг. Пифагорын теоремын утгыг тусгасан хүмүүсийг сонгоно уу, хаана А Тэгээд В - хөл, -тай - гипотенуз.

1) c 2 = a 2 + b 2	2) c = a + b	3) a 2 = 2-оос - 2-д
4) 2 = a 2 - 2-т	5) 2 = c 2 - a 2-д	6) a 2 = c 2 + c 2

Самбар болон талбай дээр теоремоо баталж байгаа оюутнууд бэлэн биш байхад Пифагорын амьдрал, уран бүтээлийн талаар илтгэл бэлтгэсэн хүмүүст үг хэлж байна.

Талбайд ажиллаж буй сургуулийн хүүхдүүд цаас гарган, самбарт ажиллаж байсан хүмүүсийн нотлох баримтыг сонсдог.

Пифагорын теоремыг ашиглан практик асуудлыг шийдвэрлэх.

Багш:Би танд судалж буй теоремыг ашиглан практик бодлогуудыг санал болгож байна. Бид эхлээд ойд, шуурганы дараа, дараа нь хотын захын бүсэд очно.

Асуудал 1. Шуурганы дараа гацуур хагарчээ. Үлдсэн хэсгийн өндөр нь 4,2 м.Суураас унасан орой хүртэлх зай нь 5,6 м.Шурганы өмнөх гацуурын өндрийг ол.

Асуудал 2. Байшингийн өндөр нь 4,4 м Байшингийн эргэн тойрон дахь зүлэгний өргөн нь 1,4 м.Зүлгэн дээр саад болохгүй, байшингийн дээвэрт хүрэх шатыг хэр уртаар хийх вэ?

Шинэ сэдэв.

Багш:(хөгжмийн дуу чимээ)Нүдээ аниад хэдхэн минутын турш бид түүхэнд орох болно. Эртний Египтэд бид тантай хамт байна. Энд, усан онгоцны үйлдвэрүүдэд египетчүүд алдартай хөлөг онгоцоо бүтээдэг. Гэхдээ судлаачид Нил мөрний үерийн дараа хил хязгаар нь урсан алга болсон газар нутгийг хэмждэг. Барилгачид биднийг гайхамшигтай байдлаараа гайхшруулдаг асар том пирамидуудыг барьдаг. Эдгээр бүх үйл ажиллагаанд египетчүүд зөв өнцгийг ашиглах шаардлагатай байв. Тэд бие биенээсээ ижил зайд 12 зангилаа уясан олс ашиглан хэрхэн яаж барихаа мэддэг байв. Эртний Египетчүүд шиг олсоороо тэгш өнцөгт гурвалжин бүтээхийг хичээ. (Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд залуус 4-өөр бүлгээрээ ажилладаг. Хэсэг хугацааны дараа хэн нэгэн самбарын ойролцоох таблет дээр гурвалжин бүтээж байгааг харуулж байна).

Үүссэн гурвалжны талууд нь 3, 4, 5 байна. Хэрэв та эдгээр зангилааны хооронд дахин нэг зангилаа уявал талууд нь 6, 8, 10 болно. Хэрэв тус бүр хоёр байвал - 9, 12, 15. Эдгээр бүх гурвалжингууд нь тэгш өнцөгт учир

5 2 = 3 2 + 4 2, 10 2 = 6 2 + 8 2, 15 2 = 9 2 + 12 2 гэх мэт.

Гурвалжин тэгш өнцөгт байхын тулд ямар шинж чанартай байх ёстой вэ? (Оюутнууд Пифагорын урвуу теоремыг өөрсдөө томъёолохыг оролддог; эцэст нь хэн нэгэн амжилтанд хүрсэн).

Энэ теорем нь Пифагорын теоремоос юугаараа ялгаатай вэ?

Оюутан:Нөхцөл байдал, дүгнэлт нь байраа өөрчилсөн.

Багш:Гэртээ та ийм теоремуудыг юу гэж нэрлэдэгийг давтсан. Тэгэхээр бид одоо юутай уулзсан бэ?

Оюутан: Пифагорын урвуу теоремоор.

Багш: Хичээлийн сэдвийг дэвтэртээ бичье. Сурах бичгээ 127-р хуудас руу нээж, энэ мэдэгдлийг дахин уншиж, дэвтэртээ бичиж, нотолгоонд дүн шинжилгээ хийнэ үү.

(Сурах бичигтэй бие даан ажилласны дараа хэдэн минутын дараа, хэрэв хүсвэл самбар дээр нэг хүн теоремын нотолгоог өгнө).

1. 3, 4, 5 талтай гурвалжинг юу гэж нэрлэдэг вэ? Яагаад?
2. Ямар гурвалжныг Пифагорын гурвалжин гэж нэрлэдэг вэ?
3. Та гэрийн даалгавар дээрээ ямар гурвалжингаар ажилласан бэ? Нарс мод, шаттай холбоотой асуудлуудыг яах вэ?

Мэдлэгийг анхдагч нэгтгэх

.

Энэ теорем нь гурвалжин зөв өнцөгтэй эсэхийг олж мэдэх шаардлагатай асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална.

Даалгаварууд:

1) Гурвалжингийн талууд тэнцүү бол тэгш өнцөгт эсэхийг олж мэд.

a) 12,37 ба 35; б) 21, 29, 24.

2) 6, 8, 10 см талуудтай гурвалжны өндрийг тооцоол.

Гэрийн даалгавар

.

Хуудас 127: урвуу Пифагорын теорем. No498(a,b,c) No497.

Хичээлийн хураангуй.

Хичээл дээр та ямар шинэ зүйл сурсан бэ?

Египетэд Пифагорын урвуу теоремыг хэрхэн ашигласан бэ?

Ямар асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг вэ?

Та ямар гурвалжинтай уулзсан бэ?

Та юуг хамгийн их санаж, юунд дуртай вэ?

Бие даасан ажил (бие даасан карт ашиглан гүйцэтгэнэ).

Багш:Гэртээ та ромб ба тэгш өнцөгтийн шинж чанарыг давтсан. Тэднийг жагсаа (Ангийнхантай яриа байдаг). Сүүлийн хичээл дээр бид Пифагор хэрхэн олон талт зан чанартай байсан талаар ярилцсан. Тэрээр анагаах ухаан, хөгжим, одон орон судлалд суралцаж, мөн тамирчин байсан бөгөөд Олимпийн наадамд оролцож байжээ. Пифагор бас философич байсан. Түүний олон афоризмууд өнөөдөр бидний хувьд хамааралтай хэвээр байна. Одоо та бие даасан ажил хийх болно. Даалгавар бүрийн хувьд хэд хэдэн хариултын сонголтыг өгсөн бөгөөд үүний хажууд Пифагорын афоризмын хэсгүүдийг бичсэн болно. Таны даалгавар бол бүх даалгаврыг шийдэж, хүлээн авсан хэсгүүдээс мэдэгдэл зохиож, бичих явдал юм.

Хичээлийн зорилго:

Боловсрол: Пифагорын теорем ба урвуу теоремыг томьёолж, нотлох. Тэдний түүхэн болон практик ач холбогдлыг харуул.

Хөгжүүлэх: сурагчдын анхаарал, ой санамж, логик сэтгэлгээ, үндэслэл, харьцуулах, дүгнэлт гаргах чадварыг хөгжүүлэх.

Боловсролын: сэдвийн сонирхол, хайрыг төлөвшүүлэх, үнэн зөв байдал, нөхдүүд, багш нарыг сонсох чадварыг хөгжүүлэх.

Тоног төхөөрөмж: Пифагорын хөрөг, нэгтгэх даалгавар бүхий зурагт хуудас, 7-9-р ангийн "Геометр" сурах бичиг (И.Ф. Шарыгин).

Хичээлийн төлөвлөгөө:

I. Зохион байгуулалтын үе - 1 мин.

II. Гэрийн даалгавар шалгах - 7 мин.

III. Багшийн танилцуулга, түүхэн мэдээлэл – 4-5 мин.

IV. Пифагорын теоремын томъёолол, баталгаа – 7 мин.

V. Пифагорын теоремын эсрэг теоремын томъёолол ба баталгаа – 5 мин.

Шинэ материалыг нэгтгэх:

a) аман - 5-6 минут.
б) бичгээр - 7-10 минут.

VII. Гэрийн даалгавар - 1 мин.

VIII. Хичээлийг дүгнэх - 3 мин.

Хичээлийн үеэр

I. Зохион байгуулалтын мөч.

II. Гэрийн даалгавраа шалгаж байна.

7.1-р зүйл, No3 (дууссан зургийн дагуу самбар дээр).

Нөхцөл: Тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр нь гипотенузыг 1 ба 2 урттай хэрчмүүдэд хуваана. Энэ гурвалжны хөлийг ол.

BC = a; CA = b; BA = c; BD = a 1; DA = b 1 ; CD = hC

Нэмэлт асуулт: харьцааг тэгш өнцөгт гурвалжинд бич.

Хэсэг 7.1, No 5. Тэгш өнцөгт гурвалжинг гурван ижил төстэй гурвалжин болгон хайчилж ав.

Тайлбарлах.

ASN ~ ABC ~ SVN

(ижил төстэй гурвалжны харгалзах оройг зөв бичихэд сурагчдын анхаарлыг хандуулах)

III. Багшийн танилцуулга, түүхэн сурвалж.

Үнэнийг сул дорой хүн таньж мэдэнгүүт мөнхийн үлдэнэ!

Одоо Пифагорын теорем нь түүний алс холын насных шиг үнэн юм.

Би хичээлээ Германы зохиолч Чамиссогийн үгээр эхэлсэн нь санамсаргүй хэрэг биш юм. Өнөөдрийн бидний хичээл бол Пифагорын теорем юм. Хичээлийн сэдвийг бичье.

Таны өмнө агуу Пифагорын хөрөг байна. МЭӨ 576 онд төрсөн. 80 жил амьдарсан тэрээр МЭӨ 496 онд нас баржээ. Эртний Грекийн гүн ухаантан, багш гэдгээрээ алдартай. Тэрээр худалдаачин Мнесархусын хүү байсан бөгөөд түүнийг аялалдаа байнга авч явдаг байсан тул хүүд сониуч зан, шинэ зүйл сурах хүслийг бий болгосон. Пифагор гэдэг нь түүнийг уран илтгэх чадварынх нь төлөө өгсөн хоч юм ("Пифагор" гэдэг нь "үгээрээ ятгадаг" гэсэн утгатай). Тэр өөрөө юу ч бичээгүй. Түүний бүх бодлыг шавь нар нь бичиж үлдээжээ. Анхны лекцийнхээ үр дүнд Пифагор 2000 оюутантай болсон бөгөөд тэд эхнэр, хүүхдүүдийнхээ хамт асар том сургууль байгуулж, Пифагорын хууль, дүрэмд үндэслэсэн "Их Грек" хэмээх улсыг байгуулжээ. тэнгэрлэг зарлигуудын адил. Тэрээр амьдралын утга учрын тухай өөрийн үндэслэлийг философи (философи) гэж нэрлэсэн анхны хүн юм. Тэрээр ид шидийн зан үйл, харуулах хандлагатай байсан. Нэгэн өдөр Пифагор газар доор нуугдаж, ээжээсээ болж буй бүх зүйлийн талаар олж мэдэв. Дараа нь араг яс шиг хатсан тэрээр олон нийтийн хурал дээр Үхэгсдийн оронд очсон гэдгээ зарлаж, дэлхийн үйл явдлын талаар гайхалтай мэдлэгээ харуулсан. Үүний тулд сэтгэл хөдөлсөн оршин суугчид түүнийг Бурхан гэж хүлээн зөвшөөрсөн. Пифагор хэзээ ч уйлж байгаагүй бөгөөд ерөнхийдөө хүсэл тэмүүлэл, сэтгэлийн хөөрөлд хүрдэггүй байв. Тэр өөрийгөө хүнээс илүү үрнээс гаралтай гэж итгэсэн. Пифагорын бүхэл бүтэн амьдрал бол бидний цаг үе хүртэл ирсэн домог бөгөөд эртний ертөнцийн хамгийн авъяаслаг хүний ​​тухай өгүүлдэг.

IV. Пифагорын теоремын томъёолол ба нотолгоо.

Та Пифагорын теоремын томъёололыг алгебрийн хичээлээсээ мэддэг. Түүнийг санацгаая.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенузын квадрат нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Гэсэн хэдий ч энэ теоремыг Пифагороос олон жилийн өмнө мэддэг байсан. Пифагороос 1500 жилийн өмнө эртний египетчүүд 3, 4, 5 талтай гурвалжинг тэгш өнцөгт гэдгийг мэддэг байсан бөгөөд энэ өмчийг газрын төлөвлөлт, барилга байгууламж барихдаа зөв өнцгөөр барихад ашигладаг байжээ. Пифагороос 600 жилийн өмнө бичигдсэн "Чжу-би" хэмээх манайд хүрч ирсэн хамгийн эртний Хятадын математик, одон орон судлалын бүтээлд зөв гурвалжинтай холбоотой бусад саналуудын дунд Пифагорын теорем агуулагдсан байдаг. Өмнө нь энэ теоремыг Хиндучууд мэддэг байсан. Тиймээс Пифагор тэгш өнцөгт гурвалжны энэ шинж чанарыг нээгээгүй бөгөөд тэрээр үүнийг анх удаа ерөнхийлж, нотолж, практик талаас шинжлэх ухааны талбарт шилжүүлсэн байх магадлалтай.

Эрт дээр үеэс математикчид Пифагорын теоремын нотолгоог улам бүр олсоор ирсэн. Тэдний нэг хагас зуу гаруй нь мэдэгдэж байна. Алгебрийн хичээлээс бидэнд мэдэгдэж байсан Пифагорын теоремын алгебрийн баталгааг санацгаая. (“Математик. Алгебр. Функци. Өгөгдлийн шинжилгээ” Г.В. Дорофеев, М., “Дрофа”, 2000).

Суралцагчдыг зургийн нотолгоог санаж, самбар дээр бичихэд урь.

(a + b) 2 = 4 1/2 a * b + c 2 b a

a 2 + 2a * b + b 2 = 2a * b + c 2

a 2 + b 2 = c 2 a a b

Энэхүү үндэслэлтэй эртний Хиндучууд үүнийг ихэвчлэн бичдэггүй, харин "Хараач" гэсэн ганцхан үгтэй зургийг дагалддаг байв.

Орчин үеийн танилцуулгад Пифагорын нотлох баримтуудын нэгийг авч үзье. Хичээлийн эхэнд бид тэгш өнцөгт гурвалжин дахь харилцааны тухай теоремыг санав.

h 2 = a 1* b 1 a 2 = a 1* c b 2 = b 1* c

Сүүлийн хоёр тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмье:

b 2 + a 2 = b 1* c + a 1* c = (b 1 + a 1) * c 1 = c * c = c 2 ; a 2 + b 2 = c 2

Энэхүү нотлох баримт нь илт энгийн хэдий ч энэ нь хамгийн энгийнээс хол байна. Эцсийн эцэст, үүний тулд өндрийг тэгш өнцөгт гурвалжинд зурж, ижил төстэй гурвалжингуудыг авч үзэх шаардлагатай байв. Энэ нотлох баримтыг дэвтэртээ бичнэ үү.

V. Пифагорын теоремтой эсрэгээр теоремын томъёолол ба баталгаа.

Ямар теоремыг энэ теоремын эсрэг гэж нэрлэдэг вэ? (...нөхцөл ба дүгнэлт эсрэгээр байвал.)

Одоо Пифагорын теоремын эсрэг теоремыг томъёолохыг хичээцгээе.

Хэрэв a, b, c талуудтай гурвалжинд c 2 = a 2 + b 2 тэгшитгэл хангагдсан бол энэ гурвалжин нь тэгш өнцөгт, тэгш өнцөг нь в талын эсрэг байна.

(Зурагт хуудас дээрх эсрэг теоремын баталгаа)

ABC, BC = a,

AC = b, BA = c.

a 2 + b 2 = c 2

Нотлох:

ABC - тэгш өнцөгт,

Нотолгоо:

A 1 B 1 C 1 тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье.

Энд C 1 = 90 °, A 1 C 1 = a, A 1 C 1 = b.

Дараа нь Пифагорын теоремоор B 1 A 1 2 = a 2 + b 2 = c 2 болно.

Энэ нь B 1 A 1 = c A 1 B 1 C 1 = ABC гурван талдаа ABC тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

C = 90 °, энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.

VI. Судалсан материалыг нэгтгэх (амаар).

1. Бэлэн зурсан зурагт хуудас дээр үндэслэсэн.

Зураг 1: ВD = 8, ВDA = 30° бол AD-ийг ол.

Зураг 2: BE = 5, BAE = 45 ° бол CD-г ол.

Зураг.3: BC = 17, AD = 16 бол BD-ийг ол.

2. Талуудыг нь тоогоор илэрхийлбэл гурвалжин тэгш өнцөгт мөн үү:

5 2 + 6 2? 7 2 (үгүй)	9 2 + 12 2 = 15 2 (тийм)	15 2 + 20 2 = 25 2 (тийм)

Сүүлийн хоёр тохиолдлын тоонуудын гурвалсан тоог юу гэж нэрлэдэг вэ? (Пифагор).

VI. Асуудлыг шийдвэрлэх (бичгээр).

No 9. Адил талт гурвалжны тал нь a-тай тэнцүү. Энэ гурвалжны өндөр, хүрээлэгдсэн тойргийн радиус, бичээстэй тойргийн радиусыг ол.

No 14. Тэгш өнцөгт гурвалжинд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус нь гипотенуз руу татсан медиантай тэнцүү ба гипотенузын хагастай тэнцүү болохыг батал.

VII. Гэрийн даалгавар.

7.1-р догол мөр, 175-177-р тал, теорем 7.4 (Пифагорын ерөнхий теорем), No1 (амаар), No2, No4-ийг шалгана уу.

VIII. Хичээлийн хураангуй.

Та өнөөдөр ангидаа ямар шинэ зүйл сурсан бэ? …………

Пифагор бол юуны түрүүнд философич байсан. Одоо би та бүхэнд түүний бидний цаг үед ч, танд ч, миний хувьд ч хамаатай хэвээр байгаа түүний хэдэн үгийг уншихыг хүсч байна.

• Амьдралын замд тоос бүү өргө.
• Хожим нь чамайг гомдоохгүй, наманчлахад хүргэхгүй зүйлийг л хий.
• Мэдэхгүй зүйлээ хэзээ ч бүү хий, харин мэдэх ёстой бүх зүйлээ сур, тэгвэл чи тайван амьдрах болно.
• Өнгөрсөн өдрийн бүх үйлдлээ цэгцэлгүйгээр унтахыг хүссэн үедээ нүдээ бүү ани.
• Энгийн бөгөөд тансаглалгүйгээр амьдарч сур.

Сэдэв: Теорем нь Пифагорын теоремтой эсрэг байна.

Хичээлийн зорилго: 1) Пифагорын теоремын эсрэг теоремыг авч үзэх; асуудлыг шийдвэрлэх явцад түүний хэрэглээ; Пифагорын теоремыг нэгтгэх, түүнийг хэрэгжүүлэхэд асуудал шийдвэрлэх ур чадварыг сайжруулах;

2) логик сэтгэлгээ, бүтээлч эрэл хайгуул, танин мэдэхүйн сонирхлыг хөгжүүлэх;

3) оюутнуудад суралцах хариуцлагатай хандлага, математикийн ярианы соёлыг төлөвшүүлэх.

Хичээлийн төрөл. Шинэ мэдлэг сурах хичээл.

Хичээлийн үеэр

І. Зохион байгуулах цаг

ІІ. Шинэчлэх мэдлэг

Надад сургамжболноби хүссэнквадратаас эхэл.

Тийм ээ, мэдлэгийн зам гөлгөр биш

Гэхдээ бид сургуулийн жилүүдээс мэддэг

Хариултаас илүү нууцлаг зүйл бий

Мөн хайлтанд хязгаарлалт байхгүй!

Тиймээс та сүүлийн хичээлээр Пифагорын теоремыг сурсан. Асуултууд:

Пифагорын теорем аль дүрсийн хувьд үнэн бэ?

Аль гурвалжинг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг вэ?

Пифагорын теоремыг хэл.

Гурвалжин бүрийн хувьд Пифагорын теоремыг хэрхэн бичих вэ?

Аль гурвалжныг тэнцүү гэж нэрлэдэг вэ?

Гурвалжны тэгш байдлын шалгуурыг томъёолоорой?

Одоо бага зэрэг бие даасан ажил хийцгээе:

Зураг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх.

№1

(1 б.) Олно: AB.

№2

(1 б.) Олно: VS.

№3

( 2 б.)Хай: AC

№4

(1 оноо)Хай: AC

№5 Өгөгдсөн: ABCДромб

(2 б.) AB = 13 см

АС = 10 см

ОлооройД

Өөрийгөө шалгах №1. 5

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Сурч байна шинэ материал.

Эртний египетчүүд газар дээр тэгш өнцөгтүүдийг ийм байдлаар барьдаг: тэд олсыг зангилаагаар 12 тэнцүү хэсэгт хувааж, үзүүрийг нь боож, дараа нь олсыг газарт сунгаж, 3, 4 талтай гурвалжин үүсгэв. 5 хэлтэс. 5 хуваагдсан талын эсрэг талд байрлах гурвалжны өнцөг зөв байв.

Та энэ шийдвэрийн үнэн зөвийг тайлбарлаж чадах уу?

Асуултын хариултыг хайсны үр дүнд оюутнууд математикийн үүднээс гурвалжин тэгш өнцөгт байх уу гэсэн асуулт гарч ирж байгааг ойлгох ёстой.

Өгөгдсөн талуудтай гурвалжин тэгш өнцөгт байх эсэхийг хэмжилт хийхгүйгээр хэрхэн тодорхойлох вэ гэдэг асуудал тулгардаг. Энэ асуудлыг шийдвэрлэх нь хичээлийн зорилго юм.

Хичээлийн сэдвийг бичнэ үү.

Теорем. Гурвалжны хоёр талын квадратуудын нийлбэр нь гурав дахь талын квадраттай тэнцүү бол гурвалжин тэгш өнцөгт байна.

Теоремыг бие даан нотлох (сурах бичгийг ашиглан нотлох төлөвлөгөө гаргах).

Энэ теоремоос харахад 3, 4, 5 талтай гурвалжин нь тэгш өнцөгт (Египет) байна.

Ерөнхийдөө тэгш байдал хангагдсан тоонууд , Пифагорын гурвалсан гэж нэрлэдэг. Хажуугийн уртыг нь Пифагорын гурвалжингаар (6, 8, 10) илэрхийлсэн гурвалжингууд нь Пифагорын гурвалжин юм.

Нэгтгэх.

Учир нь , тэгвэл 12, 13, 5 талтай гурвалжин тэгш өнцөгт биш байна.

Учир нь , тэгвэл 1, 5, 6 талтай гурвалжин тэгш өнцөгт байна.

№ 430 (а, б, в)

( - биш)