Энэ нийтлэл нь бутархайн үйлдлийг авч үздэг. А В хэлбэрийн бутархайг нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, нэмэгдүүлэх дүрмийг бий болгож, зөвтгөх бөгөөд А ба В нь тоо, тоон илэрхийлэл эсвэл хувьсагчтай илэрхийлэл байж болно. Дүгнэж хэлэхэд нарийвчилсан тайлбар бүхий шийдлүүдийн жишээг авч үзэх болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ерөнхий тоон бутархайтай үйлдэл хийх дүрэм

Ерөнхий бутархай нь натурал тоо эсвэл тоон илэрхийллийг агуулсан тооны болон хуваагчтай байдаг. Хэрэв бид 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π зэрэг бутархайг авч үзвэл, 2 0, 5 ln 3, тэгвэл тоологч ба хуваагч нь зөвхөн тоо төдийгүй янз бүрийн хэлбэрийн илэрхийлэлтэй байж болох нь тодорхой байна.

Тодорхойлолт 1

Энгийн бутархайтай үйлдэл хийх дүрэм байдаг. Энэ нь ерөнхий фракцуудад тохиромжтой:

• Ижил хуваагчтай бутархайг хасахдаа зөвхөн тоологчийг нэмж, хуваагч нь ижил хэвээр байна, тухайлбал: a d ± c d = a ± c d, a, c ба d ≠ 0 утгууд нь зарим тоо эсвэл тоон илэрхийлэл юм.
• Янз бүрийн хуваарьтай бутархайг нэмэх, хасахдаа нийтлэг хуваагч болгон бууруулж, дараа нь ижил илтгэгчтэй бутархайг нэмэх, хасах шаардлагатай. Энэ нь шууд утгаараа иймэрхүү харагдаж байна: a b ± c d = a · p ± c · r s, энд a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 нь бодит тоонууд, ба b · p = d · r = s. p = d ба r = b үед a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
• Бутархайг үржүүлэхдээ үйлдлийг тоологчоор гүйцэтгэдэг бөгөөд үүний дараа хуваагчтай бол бид b · c d = a · c b · d авна, энд a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 нь бодит тоогоор ажилладаг.
• Бутархайг бутархайд хуваахдаа бид эхнийхийг хоёр дахь урвуугаар үржүүлнэ, өөрөөр хэлбэл бид тоологч ба хуваагчийг солино: a b: c d = a b · d c.

Дүрэм журмын үндэслэл

Тодорхойлолт 2

Тооцоолохдоо найдах ёстой математикийн дараах цэгүүд байдаг.

• налуу зураас нь хуваах тэмдэг гэсэн үг;
• тоогоор хуваахыг түүний харилцан утгаар үржүүлэх гэж үзнэ;
• бодит тоо бүхий үйл ажиллагааны шинж чанарыг ашиглах;
• бутархай ба тоон тэгш бус байдлын үндсэн шинж чанарыг ашиглах.

Тэдгээрийн тусламжтайгаар та маягтын хувиргалтыг хийж болно:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s ; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

Жишээ

Өмнөх догол мөрөнд бутархайтай үйлдлийн талаар хэлсэн. Үүний дараа фракцыг хялбарчлах шаардлагатай. Энэ сэдвийг бутархай хөрвүүлэх тухай догол мөрөнд нарийвчлан авч үзсэн.

Эхлээд ижил хуваарьтай бутархайг нэмэх, хасах жишээг авч үзье.

Жишээ 1

8 2, 7 ба 1 2, 7 бутархайг өгвөл дүрмийн дагуу тоологчийг нэмж, хуваагчийг дахин бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Дараа нь бид 8 + 1 2, 7 хэлбэрийн бутархай хэсгийг авна. Нэмэлтийг хийсний дараа бид 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3 хэлбэрийн бутархай хэсгийг авна. Тэгэхээр 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Хариулт: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Өөр нэг шийдэл бий. Эхлэхийн тулд бид энгийн бутархай хэлбэрт шилжиж, дараа нь хялбаршуулах ажлыг гүйцэтгэдэг. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Жишээ 2

1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 -ээс 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 хэлбэрийн бутархайг хасъя.

Тэнцүү хуваагч өгөгдсөн тул бид ижил хуваагчтай бутархайг тооцоолж байна гэсэн үг юм. Бид үүнийг ойлгодог

1 - 2 3 бүртгэл 2 3 бүртгэл 2 5 + 1 - 2 3 3 лог 2 3 бүртгэл 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 лог 2 3 бүртгэл 2 5 + 1

Янз бүрийн хуваагчтай бутархайг тооцоолох жишээнүүд байдаг. Нэг чухал зүйл бол нийтлэг хуваагч руу бууруулах явдал юм. Үүнгүйгээр бид бутархайтай цаашдын үйлдлүүдийг хийх боломжгүй болно.

Энэ үйл явц нь нийтлэг зүйл болгон бууруулсаныг бүдэг бадаг санагдуулдаг. Өөрөөр хэлбэл, хуваагч дахь хамгийн бага нийтлэг хуваагчийг хайж, дараа нь дутуу хүчин зүйлсийг бутархайд нэмнэ.

Хэрэв нэмж буй бутархайд нийтлэг хүчин зүйл байхгүй бол тэдгээрийн бүтээгдэхүүн нэг болж болно.

Жишээ 3

2 3 5 + 1 ба 1 2 бутархайг нэмэх жишээг харцгаая.

Шийдэл

Энэ тохиолдолд нийтлэг хуваагч нь хуваагчдын үржвэр юм. Дараа нь бид 2 · 3 5 + 1-ийг авна. Дараа нь нэмэлт хүчин зүйлийг тогтоохдоо бид эхний бутархайн хувьд 2, хоёр дахь нь 3 5 + 1 байна. Үржүүлсний дараа бутархайг 4 2 · 3 5 + 1 хэлбэрт оруулна. 1 2-ын ерөнхий бууралт нь 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 болно. Бид үүссэн бутархай илэрхийлэлүүдийг нэмээд үүнийг авна

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Хариулт: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Бид ерөнхий бутархайтай харьцахдаа хамгийн бага нийтлэг хувагчийн тухай ярьдаггүй. Тоолууруудын үржвэрийг хуваагч болгон авах нь ашиггүй юм. Эхлээд та тэдний бүтээгдэхүүнээс бага үнэ цэнэтэй тоо байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй.

Жишээ 4

1 6 · 2 1 5 ба 1 4 · 2 3 5-ын үржвэр нь 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5-тай тэнцүү байх жишээг авч үзье. Дараа нь бид 12 · 2 3 5-ыг нийтлэг хуваагч болгон авна.

Ерөнхий бутархайг үржүүлэх жишээг авч үзье.

Жишээ 5

Үүнийг хийхийн тулд та 2 + 1 6 ба 2 · 5 3 · 2 + 1-ийг үржүүлэх хэрэгтэй.

Шийдэл

Дүрмийг дагаж, тоологчдын үржвэрийг хуваагч болгон дахин бичиж, бичих шаардлагатай. Бид 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1-ийг авна. Бутархайг үржүүлсний дараа та үүнийг хялбарчлахын тулд бууралт хийж болно. Дараа нь 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

Хуваахаас үржүүлэхэд шилжих дүрмийг ашиглан эсрэг бутархайгаар өгөгдсөн бутархайг олж авна. Үүнийг хийхийн тулд тоологч ба хуваагчийг солино. Нэг жишээг харцгаая:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Дараа нь тэд үржүүлж, үүссэн бутархайг хялбарчлах ёстой. Шаардлагатай бол хуваагч дахь үндэслэлгүй байдлаас ангижрах. Бид үүнийг ойлгодог

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Хариулт: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Энэ догол мөрийг тоо эсвэл тоон илэрхийлэлийг 1-тэй тэнцүү хуваагчтай бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжтой бол ийм бутархайтай үйлдлийг тусдаа догол мөр гэж үзнэ. Жишээлбэл, 1 6 · 7 4 - 1 · 3 илэрхийлэл нь 3-ын үндэсийг өөр 3 1 илэрхийллээр сольж болохыг харуулж байна. Дараа нь энэ оруулга нь 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1 хэлбэрийн хоёр бутархайг үржүүлж байгаа мэт харагдах болно.

Хувьсагч агуулсан бутархайн дээр үйлдэл хийх

Эхний зүйлд дурдсан дүрмүүд нь хувьсагч агуулсан бутархай үйлдэлд хамаарна. Хугацаа ижил байх үед хасах дүрмийг авч үзье.

A, C ба D (D тэгтэй тэнцүү биш) ямар ч илэрхийлэл байж болохыг батлах шаардлагатай бөгөөд A D ± C D = A ± C D тэгшитгэл нь түүний зөвшөөрөгдөх утгын мужтай тэнцүү байна.

ODZ хувьсагчийн багцыг авах шаардлагатай. Дараа нь A, C, D нь 0, c 0 ба харгалзах утгуудыг авах ёстой d 0. A D ± C D хэлбэрийг орлуулснаар a 0 d 0 ± c 0 d 0 хэлбэрийн зөрүү гарах ба энд нэмэх дүрмийг ашиглан a 0 ± c 0 d 0 хэлбэрийн томьёог олж авна. Хэрэв бид A ± C D илэрхийллийг орлуулах юм бол бид a 0 ± c 0 d 0 хэлбэрийн ижил хэсгийг авна. Эндээс бид ODZ, A ± C D ба A D ± C D-ийг хангасан сонгосон утгыг тэнцүү гэж дүгнэж байна.

Хувьсагчдын аль ч утгын хувьд эдгээр илэрхийллүүд тэнцүү байх болно, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг ижил тэнцүү гэж нэрлэдэг. Энэ нь энэ илэрхийлэл нь A D ± C D = A ± C D хэлбэрийн нотлогдох тэгш байдал гэж тооцогддог гэсэн үг юм.

Хувьсагчтай бутархайг нэмэх, хасах жишээ

Та ижил хуваагчтай бол зөвхөн тоог нэмэх эсвэл хасах хэрэгтэй. Энэ хэсгийг хялбаршуулж болно. Заримдаа та ижил тэнцүү бутархай хэсгүүдтэй ажиллах хэрэгтэй болдог, гэхдээ эхлээд харахад энэ нь мэдэгдэхүйц биш, учир нь зарим хувиргалтыг хийх ёстой. Жишээлбэл, x 2 3 x 1 3 + 1 ба x 1 3 + 1 2 эсвэл 1 2 sin 2 α ба sin a cos a. Ихэнх тохиолдолд ижил хуваагчийг харахын тулд анхны илэрхийллийг хялбарчлах шаардлагатай байдаг.

Жишээ 6

Тооцоол: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1.

Шийдэл

1. Тооцооллыг хийхийн тулд та ижил хуваагчтай бутархайг хасах хэрэгтэй. Дараа нь бид x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 болно. Үүний дараа та хаалтыг өргөжүүлж, ижил төстэй нэр томъёог нэмж болно. Бид x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2 гэдгийг олж авна.
2. Хуваагч нь адилхан тул хуваагчийг үлдээж, тоологчдыг нэмэх л үлдлээ: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x) + 2)
   Нэмэлт ажил дууссан. Энэ нь фракцыг багасгах боломжтой гэдгийг харж болно. Түүний тоологчийг нийлбэрийн квадратын томъёог ашиглан нугалж болно, дараа нь бид (l g x + 2) 2 авна. үржүүлэх товчилсон томъёоноос. Дараа нь бид үүнийг авдаг
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Өөр өөр хуваагчтай x - 1 x - 1 + x x + 1 хэлбэрийн өгөгдсөн бутархай. Өөрчлөлтийн дараа та нэмэлт рүү шилжиж болно.

Хоёр талын шийдлийг авч үзье.

Эхний арга нь эхний бутархайн хуваагчийг квадрат ашиглан үржвэрлэх, дараа нь багасгах явдал юм. Бид маягтын нэг хэсгийг авдаг

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Тэгэхээр x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1.

Энэ тохиолдолд хуваагч дахь үндэслэлгүй байдлаас салах хэрэгтэй.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Хоёрдахь арга нь хоёр дахь бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг x - 1 илэрхийллээр үржүүлэх явдал юм. Тиймээс бид оновчгүй байдлаас ангижирч, ижил хуваагчтай бутархай нэмэх рүү шилждэг. Дараа нь

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

Хариулт: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

Сүүлчийн жишээнээс бид нийтлэг хуваагч руу буурах нь зайлшгүй гэдгийг олж мэдсэн. Үүнийг хийхийн тулд та бутархайг хялбарчлах хэрэгтэй. Нэмэх, хасах үед та үргэлж нийтлэг хуваагчийг хайх хэрэгтэй бөгөөд энэ нь тоологчдод нэмсэн нэмэлт хүчин зүйлтэй хуваагчдын үржвэр мэт харагдах болно.

Жишээ 7

Бутархайн утгыг тооцоолно уу: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Шийдэл

1. хуваагч ямар ч нарийн төвөгтэй тооцоо шаарддаггүй, тиймээс та хэлбэр 3 x 7 + 2 · 2, дараа нь нэмэлт хүчин зүйл болгон эхний бутархай нь x 7 + 2 · 2 сонгох хэрэгтэй, хоёр дахь нь 3 тэдний үржвэрийг сонгох хэрэгтэй. Үржүүлэх үед бид x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 хэлбэрийн бутархай хэсгийг авна. x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Эндээс харахад хуваагчийг бүтээгдэхүүн хэлбэрээр харуулсан бөгөөд энэ нь нэмэлт өөрчлөлт хийх шаардлагагүй гэсэн үг юм. Нийтлэг хуваагчийг x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 хэлбэрийн үржвэр гэж үзнэ. Тиймээс x 4 нь эхний бутархайн нэмэлт хүчин зүйл бөгөөд ln(x + 1) хоёр дахь нь. Дараа нь бид хасаад:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1) ) · 2 x - 4 - sin x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - sin x · ln (x + 1) ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 х - 4)
3. Энэ жишээ нь бутархай хуваагчтай ажиллахад утга учиртай болно. 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x +) хэлбэрийн илэрхийлэл рүү шилжих боломжтой тул квадратуудын зөрүү ба нийлбэрийн квадратын томъёог ашиглах шаардлагатай. x) 2. Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулж байгааг харж болно. Бид cos x - x · cos x + x 2-г авна.

Дараа нь бид үүнийг авдаг

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

Хариулт:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2.

Бутархайг хувьсагчтай үржүүлэх жишээ

Бутархайг үржүүлэхдээ хүртэгчийг хуваагчаар, хуваагчийг хуваагчаар үржүүлнэ. Дараа нь та бууруулах шинж чанарыг ашиглаж болно.

Жишээ 8

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 ба 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x бутархайг үржүүл.

Шийдэл

Үржүүлэх ажлыг хийх шаардлагатай. Бид үүнийг ойлгодог

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 нүгэл (2 x - x)

Тооцоолол хийхэд хялбар байх үүднээс 3-ын тоог эхний байранд шилжүүлсэн бөгөөд та бутархайг x 2-оор багасгаж болно, дараа нь бид маягтын илэрхийлэлийг авна.

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 нүгэл (2 x - x)

Хариулт: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · нүгэл (2 · x - x) .

Хэлтэс

Бутархайг хуваах нь үржүүлэхтэй төстэй, учир нь эхний бутархайг хоёр дахь удаагаа үржүүлдэг. Хэрэв бид жишээ нь x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 бутархайг аваад 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x-т хуваавал үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , дараа нь x + 2 · x хэлбэрийн үржвэрээр солино. 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 нүгэл (2 x - x)

Экспоненциал

Экспоненциар ерөнхий бутархайтай үйлдлүүдийг авч үзье. Хэрэв байгалийн илтгэгчтэй хүч байгаа бол үйлдлийг тэнцүү бутархайг үржүүлэх гэж үзнэ. Гэхдээ зэрэглэлийн шинж чанарт суурилсан ерөнхий аргыг ашиглахыг зөвлөж байна. C нь тэгтэй ижил биш A ба C илэрхийллүүд ба A C r тэгшитгэл A C r = A r C r хэлбэрийн илэрхийлэлд зориулсан ODZ дээрх аливаа бодит r хүчинтэй байна. Үр дүн нь фракцыг хүчирхэг болгох явдал юм. Жишээ нь:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Бутархайтай үйлдэл хийх журам

Бутархай дээрх үйлдлийг тодорхой дүрмийн дагуу гүйцэтгэдэг. Практикт илэрхийлэл нь хэд хэдэн бутархай эсвэл бутархай илэрхийлэл агуулж болохыг бид анзаардаг. Дараа нь бүх үйлдлүүдийг хатуу дарааллаар гүйцэтгэх шаардлагатай: хүчийг өсгөх, үржүүлэх, хуваах, дараа нь нэмэх, хасах. Хэрэв хаалт байгаа бол эхний үйлдлийг тэдгээрт хийнэ.

Жишээ 9

1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x -ийг тооцоол.

Шийдэл

Бид ижил хуваагчтай тул 1 - x cos x ба 1 c o s x байна, гэхдээ дүрмийн дагуу хасах үйлдлийг хийх боломжгүй; эхлээд хаалтанд байгаа үйлдлүүдийг хийж, дараа нь үржүүлж, дараа нь нэмнэ. Дараа нь тооцоолохдоо бид үүнийг олж авдаг

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Илэрхийлэлийг эх хувилбараар нь орлуулахдаа бид 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x болно. Бутархайг үржүүлэхэд бид: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x байна. Бүх орлуулалтыг хийсний дараа бид 1 - x cos x - x + 1 cos x · x болно. Одоо та өөр өөр хуваагчтай бутархайтай ажиллах хэрэгтэй. Бид авах:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos х х

Хариулт: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x .

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Энэ хэсэгт энгийн бутархайтай үйлдлүүд багтана. Хэрэв холимог тоогоор математикийн үйлдлийг хийх шаардлагатай бол холимог бутархайг ер бусын бутархай болгон хувиргаж, шаардлагатай үйлдлүүдийг хийж, шаардлагатай бол эцсийн үр дүнг дахин холимог тоо хэлбэрээр үзүүлэхэд хангалттай. . Энэ үйлдлийг доор тайлбарлах болно.

Бутархай хэсгийг багасгах

Математик үйлдэл. Бутархай хэсгийг багасгах

\frac(m)(n) бутархайг багасгахын тулд та түүний хуваагч ба хуваагчийн хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох хэрэгтэй: gcd(m,n), дараа нь бутархайн хуваагч ба хуваагчийг энэ тоонд хуваах хэрэгтэй. Хэрэв GCD(m,n)=1 бол бутархайг багасгах боломжгүй. Жишээ: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Ихэвчлэн хамгийн их нийтлэг хуваагчийг шууд олох нь хэцүү ажил мэт санагддаг бөгөөд практикт бутархайг хэд хэдэн үе шаттайгаар багасгаж, тодорхой нийтлэг хүчин зүйлийг тоологч ба хуваагчаас алхам алхмаар тусгаарладаг. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах

Математик үйлдэл. Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах

\frac(a)(b) ба \frac(c)(d) хоёр бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчрахын тулд танд хэрэгтэй:

• хуваагчийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол: M=LMK(b,d);
• эхний бутархайн хуваагч ба хуваагчийг M/b-ээр үржүүлэх (дараа нь бутархайн хуваагч нь M тоотой тэнцүү болно);
• хоёр дахь бутархайн хуваагч ба хуваагчийг M/d-ээр үржүүлнэ (дараа нь бутархайн хуваагч нь M тоотой тэнцүү болно).

Тиймээс бид анхны бутархайг ижил хуваагчтай бутархай болгон хувиргадаг (энэ нь M тоотой тэнцүү байх болно).

Жишээлбэл, \frac(5)(6) ба \frac(4)(9) бутархайнууд LCM(6,9) = 18 байна. Дараа нь: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Тиймээс үүссэн бутархай нь нийтлэг хуваагчтай байна.

Практикт хуваагчийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) олох нь үргэлж энгийн ажил биш юм. Иймд анхны бутархайн хуваагчийн үржвэртэй тэнцүү тоог нийтлэг хуваагчаар сонгоно. Жишээлбэл, \frac(5)(6) ба \frac(4)(9) бутархайг N=6\cdot9 нийтлэг хуваагч болгон бууруулна.

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Бутархайн харьцуулалт

Математик үйлдэл. Бутархайн харьцуулалт

Хоёр энгийн бутархайг харьцуулахын тулд танд хэрэгтэй:

• үүссэн бутархайн тоог харьцуулах; илүү том тоологчтой бутархай нь том байх болно.

Жишээ нь, \frac(9)(14)

Бутархайг харьцуулахдаа хэд хэдэн онцгой тохиолдол байдаг:

1. Хоёр бутархайгаас ижил хуваагчтайТоолуур нь их байгаа бутархай нь их байна. Жишээ нь, \frac(3)(15)
2. Хоёр бутархайгаас ижил тоологчтойИх байх нь хуваарь нь бага байх бутархай юм. Жишээ нь, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. Тэр хэсэг нь нэгэн зэрэг илүү том, бага хуваагч, илүү. Жишээлбэл, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Анхаар!Дүрэм 1 аливаа бутархайн нийтлэг хуваагч нь эерэг тоо байвал хамаарна. 2 ба 3-р дүрмүүд нь эерэг бутархай (тоо ба хуваагч хоёулаа тэгээс их байдаг) хамаарна.

Бутархайг нэмэх, хасах

Математик үйлдэл. Бутархайг нэмэх, хасах

Хоёр бутархай нэмэхийн тулд танд хэрэгтэй:

• тэдгээрийг нийтлэг зүйлд хүргэх;
• тэдгээрийн тоог нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй орхи.

Жишээ: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49) )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Нэг бутархайгаас нөгөө хэсгийг хасахын тулд танд дараахь зүйл хэрэгтэй болно.

• бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах;
• Эхний бутархайн хуваагчаас хоёр дахь бутархайг хасч, хуваагчийг өөрчлөхгүй орхино.

Жишээ: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Хэрэв анхны бутархай нь нийтлэг хуваагчтай бол 1-р алхамыг (нийтлэг хуваагч болгон бууруулах) алгасна.

Холимог тоог буруу бутархай болон эсрэгээр хөрвүүлэх

Математик үйлдэл. Холимог тоог буруу бутархай болон эсрэгээр хөрвүүлэх

Холимог бутархайг буруу бутархай болгон хувиргахын тулд холимог бутархайн бүх хэсгийг бутархай хэсэгтэй нийлэхэд л болно. Ийм нийлбэрийн үр дүн нь буруу бутархай байх бөгөөд түүний хуваагч нь бүхэл хэсгийн үржвэрийн нийлбэр нь холимог бутархайн хуваагчтай тэнцүү байх ба хуваагч нь ижил хэвээр байх болно. Жишээлбэл, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Бутархай бутархайг холимог тоо руу хөрвүүлэхийн тулд:

• бутархайн хуваагчийг хуваагчаар нь хуваах;
• хуваалтын үлдэгдлийг тоонд бичиж, хуваагчийг хэвээр үлдээнэ;
• хуваалтын үр дүнг бүхэл тоогоор бичнэ.

Жишээ нь, бутархай \frac(23)(4) . 23:4=5.75-ыг хуваахад бүхэл хэсэг нь 5, үлдсэн хэсэг нь 23-5*4=3 болно. Дараа нь холимог тоо бичнэ: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Аравтын тоог бутархай болгон хөрвүүлэх

Математик үйлдэл. Аравтын тоог бутархай болгон хөрвүүлэх

Аравтын бутархайг энгийн бутархай болгон хөрвүүлэхийн тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

1. аравын n-р зэрэглэлийг хуваагчаар авна (энд n нь аравтын бутархайн тоо);
2. тоологчийн хувьд аравтын бутархайн дараах тоог авна (хэрэв анхны тооны бүхэл хэсэг нь тэгтэй тэнцүү биш бол тэргүүлэгч бүх тэгийг авна);
3. тэг биш бүхэл хэсэг нь тоологчийн хамгийн эхэнд бичигдсэн; тэг бүхэл тоо хасагдсан.

Жишээ 1: 0.0089=\frac(89)(10000) (4 аравтын оронтой тул хуваагч нь 10 4 =10000 байна, бүхэл тоо нь 0 тул тоологч нь аравтын бутархайн дараах тоог тэгээр эхлээгүй) агуулна)

Жишээ 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (тоологч дээр бид аравтын бутархайн дараах тоог бүх тэгээр бичнэ: "0109", дараа нь түүний өмнө "31" анхны тооны бүхэл хэсгийг нэмнэ)

Хэрэв аравтын бутархай бүхэл хэсэг нь тэг биш бол түүнийг холимог бутархай болгон хувиргаж болно. Үүнийг хийхийн тулд бид бүхэл хэсэг нь тэгтэй тэнцүү юм шиг (1 ба 2-р цэгүүд) тоог энгийн бутархай болгон хувиргаж, бутархайн өмнө бүхэл хэсгийг дахин бичнэ - энэ нь холимог тооны бүхэл хэсэг байх болно. . Жишээ:

3.014=3\frac(14)(100)

Бутархайг аравтын бутархай руу хөрвүүлэхийн тулд тоологчийг хуваагчаар хуваана. Заримдаа та төгсгөлгүй аравтын бутархай болдог. Энэ тохиолдолд хүссэн аравтын бутархай руу дугуйлах шаардлагатай. Жишээ нь:

\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\ойролцоогоор 0.6667

Бутархайг үржүүлэх, хуваах

Математик үйлдэл. Бутархайг үржүүлэх, хуваах

Хоёр энгийн бутархайг үржүүлэхийн тулд та бутархайн тоо болон хуваагчийг үржүүлэх хэрэгтэй.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Нэг энгийн бутархайг нөгөөд хуваахын тулд эхний бутархайг хоёр дахь бутархайгаар үржүүлэх хэрэгтэй ( харилцан бутархай- тоологч ба хуваагчийг сольж буй бутархай.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Хэрэв бутархайн аль нэг нь натурал тоо байвал дээрх үржүүлэх, хуваах дүрэм хүчинтэй хэвээр байна. Та бүхэл тоо нь ижил бутархай, хуваагч нь нэгтэй тэнцүү гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Жишээ нь: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

Одоо бид бие даасан бутархайг хэрхэн нэмэх, үржүүлэх талаар сурсан тул илүү төвөгтэй бүтцийг харж болно. Жишээлбэл, ижил бодлого нь бутархайг нэмэх, хасах, үржүүлэхтэй холбоотой байвал яах вэ?

Юуны өмнө та бүх бутархайг буруу болгон хөрвүүлэх хэрэгтэй. Дараа нь бид шаардлагатай үйлдлүүдийг дарааллаар гүйцэтгэдэг - энгийн тоонуудтай ижил дарааллаар. Тухайлбал:

1. Экспонентацийг эхлээд хийдэг - илтгэгчийг агуулсан бүх илэрхийллээс ангижрах;
2. Дараа нь - хуваах ба үржүүлэх;
3. Сүүлийн алхам бол нэмэх, хасах явдал юм.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв илэрхийлэлд хаалт байгаа бол үйлдлийн дараалал өөрчлөгддөг - хаалт дотор байгаа бүх зүйлийг эхлээд тоолох ёстой. Мөн зохисгүй бутархайн талаар санаарай: бусад бүх үйлдлүүд аль хэдийн дууссан үед л хэсгийг бүхэлд нь тодруулах хэрэгтэй.

Эхний илэрхийлэлээс бүх бутархайг буруу болгон хөрвүүлээд дараах алхмуудыг хийцгээе.

Одоо хоёр дахь илэрхийллийн утгыг олъё. Бүхэл хэсэгтэй бутархай байхгүй, гэхдээ хаалтууд байдаг тул бид эхлээд нэмэх, дараа нь хуваах ажлыг гүйцэтгэдэг. 14 = 7 · 2 гэдгийг анхаарна уу. Дараа нь:

Эцэст нь гурав дахь жишээг авч үзье. Энд хаалт, зэрэг байдаг - тэдгээрийг тусад нь тоолох нь дээр. 9 = 3 3 гэж үзвэл бид дараах байдалтай байна.

Сүүлийн жишээнд анхаарлаа хандуулаарай. Бутархайг зэрэглэлд хүргэхийн тулд тоологчийг тусад нь, хуваагчийг тус тусад нь өсгөх ёстой.

Та өөрөөр шийдэж болно. Хэрэв бид градусын тодорхойлолтыг эргэн санах юм бол асуудал нь ердийн бутархай үржүүлэх хүртэл буурах болно.

Олон давхар бутархай

Өнөөдрийг хүртэл бид зөвхөн "цэвэр" бутархайг авч үзсэн бөгөөд хүртэгч ба хуваагч нь энгийн тоо юм. Энэ нь эхний хичээл дээр өгөгдсөн тооны бутархайн тодорхойлолттой нэлээд нийцэж байна.

Харин илүү төвөгтэй объектыг тоологч эсвэл хуваарьт оруулбал яах вэ? Жишээлбэл, өөр тоон бутархай? Ийм бүтээн байгуулалтууд, ялангуяа урт илэрхийлэлтэй ажиллах үед ихэвчлэн үүсдэг. Энд хэд хэдэн жишээ байна:

Олон түвшний бутархайтай ажиллах цорын ганц дүрэм байдаг: та тэдгээрийг даруй арилгах хэрэгтэй. "Нэмэлт" шалыг арилгах нь маш энгийн, хэрэв та налуу зураас нь хуваах стандарт үйлдлийг илэрхийлдэг гэдгийг санаж байвал. Тиймээс дурын бутархайг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

Энэ баримтыг ашиглан, процедурын дагуу бид ямар ч олон давхар бутархайг энгийн нэг болгон хялбархан багасгаж чадна. Жишээнүүдийг харна уу:

Даалгавар. Олон давхар бутархайг энгийн болгон хөрвүүлэх:

Аль ч тохиолдолд бид хуваах шугамыг хуваах тэмдгээр сольж, үндсэн бутархайг дахин бичдэг. Мөн ямар ч бүхэл тоог 1 хуваарьтай бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно гэдгийг санаарай. Өөрөөр хэлбэл 12 = 12/1; 3 = 3/1. Бид авах:

Сүүлийн жишээнд эцсийн үржүүлэхийн өмнө бутархайг цуцалсан.

Олон түвшний бутархайтай ажиллах онцлог

Олон түвшний фракцуудад нэг нарийн зүйл байдаг бөгөөд үүнийг үргэлж санаж байх ёстой, эс тэгвээс бүх тооцоолол зөв байсан ч та буруу хариулт авах боломжтой. Энийг хар даа:

1. Тоолуур нь ганц тоо 7, хуваагч нь 12/5 бутархайг агуулна;
2. Тоолуур нь 7/12 бутархай, хуваагч нь 5 гэсэн тусдаа тоог агуулна.

Тэгэхээр нэг бичлэгийн хувьд бид хоёр тэс өөр тайлбар авсан. Хэрэв та тоолох юм бол хариултууд бас өөр байх болно:

Бичлэгийг үргэлж хоёрдмол утгагүй уншихын тулд энгийн дүрмийг хэрэглээрэй: үндсэн бутархайг хуваах шугам нь үүрлэсэн бутархайн шугамаас урт байх ёстой. Хэд хэдэн удаа хийх нь дээр.

Хэрэв та энэ дүрмийг дагаж мөрдвөл дээрх бутархайг дараах байдлаар бичнэ.

Тийм ээ, энэ нь магадгүй үзэмжгүй, хэтэрхий их зай эзэлдэг. Гэхдээ та зөв тоолох болно. Эцэст нь хэлэхэд, олон давхар фракцууд үүсдэг хэд хэдэн жишээ:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Тиймээс эхний жишээн дээр ажиллацгаая. Бүх бутархайг буруу болгон хувиргаж, дараа нь нэмэх, хуваах үйлдлүүдийг хийцгээе.

Хоёр дахь жишээн дээр ижил зүйлийг хийцгээе. Бүх бутархайг буруу болгон хувиргаж, шаардлагатай үйлдлүүдийг хийцгээе. Уншигчдыг уйдаахгүйн тулд би зарим тодорхой тооцооллыг орхих болно. Бидэнд байгаа:

Үндсэн бутархайн хуваагч болон хуваагч нь нийлбэрийг агуулсан байдаг тул олон давхар бутархай бичих дүрмийг автоматаар мөрддөг. Мөн сүүлийн жишээнд бид хуваагдлыг гүйцэтгэхийн тулд 46/1-ийг бутархай хэлбэрээр зориудаар үлдээсэн.

Хоёр жишээн дээр бутархай мөр нь хашилтыг орлуулж байгааг би бас тэмдэглэх болно: юуны түрүүнд бид нийлбэрийг олж, зөвхөн дараа нь хуваана.

Хоёр дахь жишээн дээр буруу бутархай руу шилжих нь илт илүүц байсан гэж зарим хүмүүс хэлэх болно. Магадгүй энэ үнэн байх. Гэхдээ үүнийг хийснээр бид алдаанаас өөрийгөө хамгаалдаг, учир нь дараагийн удаа жишээ нь илүү төвөгтэй болж магадгүй юм. Хурд эсвэл найдвартай байдлын аль нь илүү чухал болохыг өөрөө сонго.

Хичээлийн агуулга

Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх

Бутархай нэмэх хоёр төрөл байдаг:

1. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх
2. Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх

Эхлээд ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийг сурцгаая. Энд бүх зүйл энгийн. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй. Жишээлбэл, бутархай ба . Тоолуурыг нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй:

Хэрэв бид дөрвөн хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай санаж байвал энэ жишээг хялбархан ойлгож болно. Хэрэв та пицца дээр пицца нэмбэл та пицца авах болно:

Жишээ 2.Бутархай ба .

Хариулт нь буруу бутархай болж хувирав. Даалгаврын төгсгөл ирэхэд буруу бутархай хэсгүүдээс салах нь заншилтай байдаг. Буруу фракцаас салахын тулд та түүний бүх хэсгийг сонгох хэрэгтэй. Манай тохиолдолд бүхэл хэсэг нь амархан тусгаарлагддаг - хоёрыг хоёр хуваасан нь нэгтэй тэнцүү:

Хэрэв бид хоёр хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай санаж байвал энэ жишээг амархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццадаа нэмж пицца нэмбэл нэг бүтэн пицца авах болно:

Жишээ 3. Бутархай ба .

Дахин хэлэхэд бид тоологчдыг нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээнэ.

Гурван хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай санаж байвал энэ жишээг амархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццадаа нэмж пицца нэмбэл та пицца авах болно:

Жишээ 4.Илэрхийллийн утгыг ол

Энэ жишээг өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил шийддэг. Тоолуурыг нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй байх ёстой.

Зургийг ашиглан шийдлээ дүрслэхийг хичээцгээе. Хэрэв та пицца дээр пицца нэмээд нэмж пицца нэмбэл 1 бүхэл пицца, илүү олон пицца авах болно.

Таны харж байгаагаар ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхэд төвөгтэй зүйл байхгүй. Дараах дүрмийг ойлгоход хангалттай.

1. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй;

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх

Одоо өөр өөр хуваагчтай бутархайг хэрхэн нэмэх талаар сурцгаая. Бутархайг нэмэхдээ бутархайн хуваагч ижил байх ёстой. Гэхдээ тэд үргэлж ижил байдаггүй.

Жишээлбэл, бутархай нь ижил хуваагчтай тул нэмж болно.

Гэхдээ бутархайг шууд нэмэх боломжгүй, учир нь эдгээр бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай байдаг. Ийм тохиолдолд бутархайг ижил (нийтлэг) хуваагч болгон бууруулах ёстой.

Бутархайг ижил хуваагч болгон бууруулах хэд хэдэн арга байдаг. Бусад аргууд нь эхлэгчдэд төвөгтэй мэт санагдаж болох тул өнөөдөр бид тэдгээрийн зөвхөн нэгийг нь авч үзэх болно.

Энэ аргын мөн чанар нь эхлээд хоёр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг хайж олох явдал юм. Дараа нь LCM-ийг эхний нэмэлт хүчин зүйлийг олж авахын тулд эхний бутархайн хуваарьт хуваана. Тэд хоёр дахь фракцтай ижил зүйлийг хийдэг - LCM-ийг хоёр дахь фракцын хуваарьт хувааж, хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйлийг олж авна.

Дараа нь бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлнэ. Эдгээр үйлдлүүдийн үр дүнд өөр өөр хуваагчтай бутархайнууд ижил хуваарьтай бутархай болж хувирдаг. Ийм бутархайг хэрхэн нэмэхийг бид аль хэдийн мэддэг болсон.

Жишээ 1. ба бутархайг нэмье

Юуны өмнө бид хоёр бутархайн хуваагчийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олно. Эхний бутархайн хуваагч нь 3, хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 2. Эдгээр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 6 байна.

LCM (2 ба 3) = 6

Одоо бутархай ба . Эхлээд LCM-ийг эхний бутархайн хуваагчаар хувааж, эхний нэмэлт хүчин зүйлийг авна. LCM нь 6-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 6-г 3-т хуваавал бид 2-ыг авна.

Үр дүнгийн тоо 2 нь эхний нэмэлт үржүүлэгч юм. Бид үүнийг эхний бутархай хүртэл бичдэг. Үүнийг хийхийн тулд бутархай дээр жижиг ташуу зураас хийж, дээр нь олдсон нэмэлт хүчин зүйлийг бичнэ үү.

Бид хоёр дахь бутархайтай ижил зүйлийг хийдэг. Бид LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хувааж, хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйлийг авна. LCM нь 6-ын тоо, хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 2. 6-г 2-т хуваавал бид 3-ыг авна.

Үр дүнгийн тоо 3 нь хоёр дахь нэмэлт үржүүлэгч юм. Бид үүнийг хоёр дахь бутархай хүртэл бичдэг. Дахин хэлэхэд, бид хоёр дахь бутархай дээр жижиг ташуу зураас хийж, дээр нь олдсон нэмэлт хүчин зүйлийг бичнэ.

Одоо бид нэмэлт зүйл хийхэд бэлэн байна. Бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлэхэд л үлддэг.

Бидний юунд хүрснийг анхааралтай ажигла. Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил хуваарьтай бутархай болж хувирдаг гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Ийм бутархайг хэрхэн нэмэхийг бид аль хэдийн мэддэг болсон. Энэ жишээг эцэс хүртэл авч үзье:

Энэ нь жишээг гүйцээнэ. Энэ нь нэмэх болж байна.

Зургийг ашиглан шийдлээ дүрслэхийг хичээцгээе. Хэрэв та пиццанд пицца нэмбэл нэг бүтэн пицца, зургааны нэг пицца авна.

Бутархайг ижил (нийтлэг) хуваагч болгон багасгахыг мөн зураг ашиглан дүрсэлж болно. Бутархай болон нийтлэг хуваагчийг багасгаснаар бид бутархай ба . Эдгээр хоёр фракцыг ижил пиццаны хэсгүүдээр төлөөлөх болно. Цорын ганц ялгаа нь энэ удаад тэд тэнцүү хувьцаанд хуваагдана (ижил хуваарьт хүртэл бууруулна).

Эхний зураг нь бутархайг (зургаагаас дөрөв), хоёр дахь зураг нь бутархайг (зургаагаас гурав) илэрхийлнэ. Эдгээр хэсгүүдийг нэмснээр бид (зургаагаас долоон ширхэг) авна. Энэ хэсэг нь зохисгүй тул бид түүний бүх хэсгийг онцолсон. Үүний үр дүнд бид (нэг бүтэн пицца, өөр зургаа дахь пицца) авсан.

Бид энэ жишээг хэтэрхий дэлгэрэнгүй тайлбарласныг анхаарна уу. Боловсролын байгууллагуудад ийм дэлгэрэнгүй бичих нь заншилгүй байдаг. Та хуваагч болон тэдгээрийн нэмэлт хүчин зүйлийн LCM-ийг хурдан олох, түүнчлэн олсон нэмэлт хүчин зүйлийг өөрийн тоо болон хуваагчаар хурдан үржүүлэх чадвартай байх хэрэгтэй. Хэрэв бид сургуульд байсан бол энэ жишээг дараах байдлаар бичих хэрэгтэй болно.

Гэхдээ зоосны бас нэг тал бий. Хэрэв та математикийн хичээлийн эхний шатанд нарийвчилсан тэмдэглэл хөтлөөгүй бол ийм төрлийн асуулт гарч ирж эхэлдэг. "Энэ тоо хаанаас гардаг вэ?", "Яагаад бутархайнууд гэнэт тэс өөр бутархай болж хувирдаг вэ? «.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэхэд хялбар болгохын тулд та дараах алхам алхмаар зааварчилгааг ашиглаж болно.

1. Бутархай бутархайн хуваагчийн LCM-ийг олох;
2. LCM-ийг бутархай бүрийн хуваарьт хувааж, бутархай тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлийг олж авах;
3. Бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлэх;
4. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх;
5. Хэрэв хариулт нь буруу бутархай болж хувирвал түүний бүх хэсгийг сонгоно уу;

Жишээ 2.Илэрхийллийн утгыг ол .

Дээр дурдсан зааврыг ашиглацгаая.

Алхам 1. Бутархай бутархайн хуваагчдыг ол

Хоёр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг ол. Бутархайн хуваагч нь 2, 3, 4 гэсэн тоонууд юм

Алхам 2. LCM-ийг бутархай тус бүрийн хуваарьт хувааж, бутархай тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлийг авна.

LCM-ийг эхний бутархайн хуваагчаар хуваа. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 2-ын тоо юм. 12-ыг 2-т хуваавал бид 6-г авна. Бид эхний нэмэлт хүчин зүйл 6-г авсан. Бид үүнийг эхний бутархайн дээр бичнэ.

Одоо бид LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хуваана. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 12-ыг 3-т хуваавал бид 4-ийг авна. Бид хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйл 4-ийг авна. Бид үүнийг хоёр дахь бутархайн дээр бичнэ.

Одоо бид LCM-ийг гурав дахь бутархайн хуваагчаар хуваана. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд гурав дахь бутархайн хуваагч нь 4-ийн тоо юм. 12-ыг 4-т хуваавал бид 3-ыг авна. Гурав дахь нэмэлт хүчин зүйл 3. Гурав дахь бутархайн дээр бид үүнийг бичнэ.

Алхам 3. Бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүл

Бид тоологч ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлдэг.

Алхам 4. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмнэ

Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил (нийтлэг) хуваагчтай бутархай болж хувирсан гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Эдгээр бутархайг нэмэх л үлдлээ. Үүнийг нэмнэ үү:

Нэмэлт нь нэг мөрөнд тохирохгүй байсан тул бид үлдсэн илэрхийлэлийг дараагийн мөрөнд шилжүүлсэн. Үүнийг математикт зөвшөөрдөг. Илэрхийлэл нэг мөрөнд багтахгүй бол дараагийн мөрөнд шилжих ба эхний мөрийн төгсгөл, шинэ мөрийн эхэнд тэнцүү (=) тэмдэг тавих шаардлагатай. Хоёр дахь мөрөнд байгаа тэнцүү тэмдэг нь эхний мөрөнд байсан илэрхийллийн үргэлжлэл гэдгийг харуулж байна.

Алхам 5. Хэрэв хариулт нь буруу бутархай гэж үзвэл түүний бүх хэсгийг сонгоно уу

Бидний хариулт буруу бутархай болж хувирав. Бид түүний бүхэл бүтэн хэсгийг тодруулах ёстой. Бид онцолж байна:

Бид хариулт авсан

Ижил хуваагчтай бутархайг хасах

Бутархайг хасах хоёр төрөл байдаг:

1. Ижил хуваагчтай бутархайг хасах
2. Өөр өөр хуваагчтай бутархайг хасах

Эхлээд ижил хуваарьтай бутархайг хэрхэн хасах талаар сурцгаая. Энд бүх зүйл энгийн. Нэг бутархайгаас өөр нэгийг хасахын тулд эхний бутархайгаас хоёр дахь бутархайг хасах хэрэгтэй, харин хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй.

Жишээлбэл, илэрхийллийн утгыг олъё. Энэ жишээг шийдэхийн тулд эхний бутархайн хуваагчаас хоёр дахь бутархайн тоог хасч, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй. Үүнийг хийцгээе:

Хэрэв бид дөрвөн хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай санаж байвал энэ жишээг хялбархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццанаас пицца хайчилж авбал та пицца авах болно:

Жишээ 2.Илэрхийллийн утгыг ол.

Дахин хэлэхэд, эхний бутархайн тоологчоос хоёр дахь бутархайг хасч, хуваагчийг хэвээр үлдээнэ үү.

Гурван хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай санаж байвал энэ жишээг амархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццанаас пицца хайчилж авбал та пицца авах болно:

Жишээ 3.Илэрхийллийн утгыг ол

Энэ жишээг өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил шийддэг. Эхний бутархайн тоологчоос үлдсэн бутархайн тоог хасах хэрэгтэй.

Таны харж байгаагаар ижил хуваагчтай бутархайг хасахад төвөгтэй зүйл байхгүй. Дараах дүрмийг ойлгоход хангалттай.

1. Нэг бутархайгаас өөр нэгийг хасахын тулд эхний бутархайгаас хоёр дахь бутархайг хасч, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй;
2. Хэрэв хариулт нь буруу бутархай болж хувирвал та түүний бүх хэсгийг тодруулах хэрэгтэй.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг хасах

Жишээлбэл, бутархай нь ижил хуваагчтай тул бутархайг бутархайгаас хасаж болно. Гэхдээ та бутархайг бутархайгаас хасах боломжгүй, учир нь эдгээр бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай байдаг. Ийм тохиолдолд бутархайг ижил (нийтлэг) хуваагч болгон бууруулах ёстой.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэхэд ашигладаг ижил зарчмыг ашиглан нийтлэг хуваагчийг олно. Юуны өмнө хоёр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг ол. Дараа нь LCM-ийг эхний бутархайн хуваарьт хувааж, эхний нэмэлт хүчин зүйлийг олж авах бөгөөд энэ нь эхний бутархайн дээр бичигдэнэ. Үүний нэгэн адил LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваарьт хувааж, хоёр дахь бутархайн дээр бичигдсэн хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйлийг олж авна.

Дараа нь бутархайг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлнэ. Эдгээр үйлдлүүдийн үр дүнд өөр өөр хуваагчтай бутархайг ижил хуваарьтай бутархай болгон хувиргадаг. Ийм бутархайг хэрхэн хасахаа бид аль хэдийн мэддэг болсон.

Жишээ 1.Илэрхийллийн утгыг ол:

Эдгээр бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай тул тэдгээрийг ижил (нийтлэг) хуваагч болгон багасгах хэрэгтэй.

Эхлээд бид хоёр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг олно. Эхний бутархайн хуваагч нь 3, хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 4. Эдгээр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 12 байна.

LCM (3 ба 4) = 12

Одоо бутархай ба руу буцъя

Эхний бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд LCM-ийг эхний бутархайн хуваагчаар хуваана. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 12-ыг 3-т хуваавал бид 4-ийг авна. Эхний бутархайн дээр дөрөв бичнэ үү.

Бид хоёр дахь бутархайтай ижил зүйлийг хийдэг. LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хуваа. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 4-ийн тоо юм. 12-ыг 4-т хуваавал бид 3-ыг авна. Хоёр дахь бутархай дээр гурвыг бичнэ үү.

Одоо бид хасахад бэлэн боллоо. Бутархайг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлэхэд л үлддэг.

Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил хуваарьтай бутархай болж хувирдаг гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Ийм бутархайг хэрхэн хасахаа бид аль хэдийн мэддэг болсон. Энэ жишээг эцэс хүртэл авч үзье:

Бид хариулт авсан

Зургийг ашиглан шийдлээ дүрслэхийг хичээцгээе. Хэрэв та пиццанаас пицца хайчилж авбал та пицца авах болно

Энэ бол шийдлийн нарийвчилсан хувилбар юм. Хэрэв бид сургуульд байсан бол энэ жишээг арай богино хугацаанд шийдэх ёстой байсан. Ийм шийдэл нь иймэрхүү харагдах болно.

Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгахыг мөн зураг ашиглан дүрсэлж болно. Эдгээр бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулснаар бид бутархай ба . Эдгээр фракцууд нь ижил пиццаны зүсмэлүүдээр илэрхийлэгдэх боловч энэ удаад ижил хэсгүүдэд хуваагдах болно (ижил хуваагч хүртэл бууруулсан):

Эхний зураг нь бутархай (арван хоёроос найман хэсэг), хоёр дахь зураг нь бутархай (арван хоёроос гурван хэсэг) харуулж байна. Найман хэсгээс гурван ширхэгийг тасласнаар бид арван хоёроос таван ширхэгийг авдаг. Бутархай нь эдгээр таван хэсгийг дүрсэлдэг.

Жишээ 2.Илэрхийллийн утгыг ол

Эдгээр бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай тул эхлээд ижил (нийтлэг) хуваагч болгон багасгах хэрэгтэй.

Эдгээр бутархайн хуваагчдын LCM-ийг олъё.

Бутархайн хуваагч нь 10, 3, 5 гэсэн тоонууд юм. Эдгээр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 30 юм.

LCM(10, 3, 5) = 30

Одоо бид бутархай тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлийг олдог. Үүнийг хийхийн тулд LCM-ийг бутархай тус бүрийн хуваагчаар хуваана.

Эхний бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг олъё. LCM нь 30-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 10-ын тоо юм. 30-ыг 10-д хуваавал бид эхний нэмэлт хүчин зүйл 3-ыг авна. Бид үүнийг эхний бутархайн дээр бичнэ.

Одоо бид хоёр дахь бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг оллоо. LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хуваа. LCM нь 30-ын тоо бөгөөд хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 30-ыг 3-т хуваавал бид хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйл 10-ыг авна. Бид үүнийг хоёр дахь бутархайн дээр бичнэ.

Одоо бид гурав дахь бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг оллоо. LCM-ийг гурав дахь бутархайн хуваагчаар хуваа. LCM нь 30-ын тоо бөгөөд гурав дахь бутархайн хуваагч нь 5-ын тоо юм. 30-ыг 5-д хуваавал бид гурав дахь нэмэлт хүчин зүйл 6-г авна. Гурав дахь бутархайн дээр бид үүнийг бичнэ.

Одоо бүх зүйл хасахад бэлэн боллоо. Бутархайг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлэхэд л үлддэг.

Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил (нийтлэг) хуваагчтай бутархай болж хувирсан гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Ийм бутархайг хэрхэн хасахаа бид аль хэдийн мэддэг болсон. Энэ жишээг дуусгая.

Жишээний үргэлжлэл нь нэг мөрөнд багтахгүй тул бид үргэлжлэлийг дараагийн мөрөнд шилжүүлнэ. Шинэ мөрөнд тэнцүү (=) тэмдгийн талаар бүү мартаарай:

Хариулт нь ердийн бутархай болж хувирсан бөгөөд бүх зүйл бидэнд тохирсон мэт боловч энэ нь хэтэрхий төвөгтэй, муухай юм. Бид үүнийг илүү хялбар болгох ёстой. Юу хийж болох вэ? Та энэ хэсгийг богиносгож болно.

Бутархайг багасгахын тулд түүний хүртэгч ба хуваагчийг 20 ба 30 тоонуудын (GCD) тоонд хуваах хэрэгтэй.

Тиймээс бид 20 ба 30 тоонуудын gcd-г олно.

Одоо бид жишээ рүүгээ буцаж, бутархайн хуваагч ба хуваагчийг олсон gcd, өөрөөр хэлбэл 10-д хуваана.

Бид хариулт авсан

Бутархайг тоогоор үржүүлэх

Бутархайг тоогоор үржүүлэхийн тулд бутархайн тоог тэр тоогоор үржүүлж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй.

Жишээ 1. Бутархайг 1-ээр үржүүл.

Бутархайн тоог 1-ээр үржүүлнэ

Бичлэгийг хагас 1 удаа авдаг гэж ойлгож болно. Жишээлбэл, та нэг удаа пицца авбал пицца авдаг

Үржүүлэх хуулиас бид үржүүлэгч ба хүчин зүйлийг сольсон тохиолдолд үржвэр өөрчлөгдөхгүй гэдгийг бид мэднэ. Хэрэв илэрхийлэл гэж бичсэн бол үржвэр нь -тэй тэнцүү хэвээр байх болно. Дахин хэлэхэд бүхэл тоо ба бутархайг үржүүлэх дүрэм ажиллана.

Энэ тэмдэглэгээ нь нэгийн талыг авсан гэж ойлгож болно. Жишээлбэл, хэрэв 1 бүтэн пицца байгаа бол бид хагасыг нь авбал бид пиццатай болно:

Жишээ 2. Илэрхийллийн утгыг ол

Бутархайн тоог 4-өөр үржүүлнэ

Хариулт нь буруу бутархай байв. Үүний бүх хэсгийг тодруулъя:

Энэ илэрхийлэл нь дөрөвний хоёрыг 4 удаа авна гэж ойлгож болно. Жишээлбэл, та 4 пицца авбал хоёр бүтэн пицца авах болно

Хэрэв бид үржүүлэгч ба үржүүлэгчийг солих юм бол бид илэрхийллийг авна. Энэ нь мөн 2-той тэнцүү байх болно. Энэ илэрхийлэл нь дөрвөн бүх пиццанаас хоёр пицца авах гэж ойлгож болно.

Бутархайгаар үржүүлж буй тоо болон бутархайн хуваагч нь нэгээс их нийтлэг хүчин зүйлтэй бол шийдэгдэнэ.

Жишээлбэл, илэрхийлэлийг хоёр аргаар үнэлж болно.

Эхний арга. 4-ийн тоог бутархайн хуваагчаар үржүүлж, бутархайн хуваагчийг өөрчлөхгүй орхи.

Хоёр дахь арга зам. Дөрөвийг үржүүлж, бутархайн хуваагч дахь дөрөвийг багасгаж болно. Хоёр дөрвийн хамгийн том нийтлэг хуваагч нь дөрөв өөрөө байдаг тул эдгээр дөрвийг 4-өөр багасгаж болно.

Бид ижил үр дүнд хүрсэн 3. Дөрөвийг багасгасны дараа тэдний оронд шинэ тоо бий болно: хоёр нэг. Гэхдээ нэгийг гураваар үржүүлээд дараа нь нэгээр хуваахад юу ч өөрчлөгдөхгүй. Тиймээс шийдлийг товчхон бичиж болно:

Бид эхний аргыг ашиглахаар шийдсэн ч гэсэн бууралтыг хийж болно, гэхдээ 4 тоо ба 3 дугаарыг үржүүлэх үе шатанд бид бууралтыг ашиглахаар шийдсэн.

Гэхдээ жишээ нь, илэрхийллийг зөвхөн эхний аргаар тооцоолж болно - 7-г бутархайн хуваагчаар үржүүлж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээнэ үү.

Энэ нь 7-ын тоо болон бутархайн хуваагч нь нэгээс их нийтлэг хуваагчгүй, үүний дагуу цуцлагдахгүй байгаатай холбоотой юм.

Зарим оюутнууд үржүүлж буй тоо болон бутархайн хуваагчийг андуурч богиносгодог. Та үүнийг хийж чадахгүй. Жишээлбэл, дараах оруулга буруу байна:

Бутархайг багасгах нь үүнийг хэлнэ тоологч ба хуваагч хоёулааижил тоогоор хуваагдана. Илэрхийлэлтэй нөхцөлд хуваах нь зөвхөн тоологч дээр хийгддэг, учир нь үүнийг бичих нь бичихтэй адил юм. Бид хуваах нь зөвхөн тоологч хэсэгт хийгддэг бөгөөд хуваалт нь хуваалтад тохиолддоггүй гэдгийг бид харж байна.

Бутархайг үржүүлэх

Бутархайг үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн тоо болон хуваагчийг үржүүлэх хэрэгтэй. Хэрэв хариулт нь буруу бутархай болж хувирвал та түүний бүх хэсгийг тодруулах хэрэгтэй.

Жишээ 1.Илэрхийллийн утгыг ол.

Бид хариулт авсан. Энэ хэсгийг багасгахыг зөвлөж байна. Бутархайг 2-оор багасгаж болно. Дараа нь эцсийн шийдэл нь дараах хэлбэртэй болно.

Энэ илэрхийлэл нь хагас пиццанаас пицца авах гэж ойлгож болно. Бидэнд хагас пицца байна гэж бодъё:

Энэ хагасаас гуравны хоёрыг яаж авах вэ? Эхлээд та энэ хагасыг гурван тэнцүү хэсэгт хуваах хэрэгтэй.

Мөн эдгээр гурван хэсгээс хоёрыг аваарай:

Бид пицца хийх болно. Гурван хэсэгт хуваахад пицца ямар байдгийг санаарай.

Энэ пиццаны нэг хэсэг болон бидний авсан хоёр хэсэг ижил хэмжээтэй байна:

Өөрөөр хэлбэл, бид ижил хэмжээтэй пиццаны тухай ярьж байна. Тиймээс илэрхийллийн утга нь байна

Жишээ 2. Илэрхийллийн утгыг ол

Эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар, эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар үржүүлнэ.

Хариулт нь буруу бутархай байв. Үүний бүх хэсгийг тодруулъя:

Жишээ 3.Илэрхийллийн утгыг ол

Эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар, эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар үржүүлнэ.

Хариулт нь жирийн бутархай болж таарсан ч богиносговол зүгээр. Энэ бутархайг багасгахын тулд та энэ бутархайн хуваагч ба хуваагчийг 105 ба 450 тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагч (GCD)-д хуваах хэрэгтэй.

Ингээд 105 ба 450 тоонуудын gcd-г олъё:

Одоо бид хариултынхаа тоологч ба хуваагчийг одоо олсон gcd-д, өөрөөр хэлбэл 15-д хуваана.

Бүхэл тоог бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх

Аливаа бүхэл тоог бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Жишээлбэл, 5-ын тоог . Энэ нь тавын утгыг өөрчлөхгүй, учир нь "тавын тоог нэгээр хуваасан" гэсэн утгатай бөгөөд энэ нь бидний мэдэж байгаагаар тавтай тэнцүү юм.

Харилцан тоо

Одоо бид математикийн маш сонирхолтой сэдэвтэй танилцах болно. Үүнийг "урвуу тоо" гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Тоо руу буцаха нь үржүүлбэл тоо юма нэгийг өгдөг.

Энэ тодорхойлолтод хувьсагчийн оронд орлуулъя адугаар 5 ба тодорхойлолтыг уншиж үзээрэй:

Тоо руу буцах 5 нь үржүүлбэл тоо юм 5 нэгийг өгдөг.

5-аар үржүүлэхэд нэгийг өгөх тоог олох боломжтой юу? Энэ нь боломжтой болж байна. Тавыг бутархай гэж төсөөлье:

Дараа нь энэ бутархайг өөрөө үржүүлж, зөвхөн тоологч ба хуваагчийг солино. Өөрөөр хэлбэл, бутархайг зөвхөн урвуугаар нь үржүүлье:

Үүний үр дүнд юу болох вэ? Хэрэв бид энэ жишээг үргэлжлүүлэн шийдвэл бид нэгийг авна.

Энэ нь 5-ын урвуу нь тоо гэсэн үг, учир нь 5-аар үржүүлснээр та нэг болно.

Тооны эсрэг тоог бусад бүхэл тоонд мөн олж болно.

Та мөн бусад бутархайн хариуг олж болно. Үүнийг хийхийн тулд зүгээр л эргүүлээрэй.

Бутархайг тоонд хуваах

Бидэнд хагас пицца байна гэж бодъё:

Үүнийг хоёрт тэнцүү хувааж авъя. Хүн бүр хэр их пицца авах вэ?

Пиццаны талыг хуваасны дараа хоёр тэнцүү хэсгийг олж авсан бөгөөд тус бүр нь пицца болж байна. Тиймээс хүн бүр пицца авдаг.

Бутархайг үржүүлэх, хуваах.

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
Тусгай хэсгийн 555 дахь материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Энэ үйлдэл нь нэмэх хасахаас хамаагүй гоё! Учир нь энэ нь илүү хялбар байдаг. Сануулахад, бутархайг бутархайгаар үржүүлэхийн тулд та тоологч (энэ нь үр дүнгийн тоо байх болно) болон хуваагчийг (энэ нь хуваагч болно) үржүүлэх хэрэгтэй. Тэр бол:

Жишээлбэл:

Бүх зүйл туйлын энгийн. Мөн нийтлэг хуваагч хайх хэрэггүй! Энд түүнд ямар ч хэрэггүй ...

Бутархайг бутархайд хуваахын тулд буцаах хэрэгтэй хоёрдугаарт(энэ нь чухал!) бутархай ба тэдгээрийг үржүүлнэ, өөрөөр хэлбэл:

Жишээлбэл:

Хэрэв та бүхэл тоо, бутархайгаар үржүүлэх, хуваах үйлдэлтэй таарвал зүгээр. Нэмэлтийн нэгэн адил бид хуваарьт нэгтэй бүхэл тооноос бутархай гаргаж, цаашаа яваарай! Жишээлбэл:

Ахлах сургуульд байхдаа та ихэвчлэн гурван давхар (эсвэл бүр дөрвөн давхар!) фракцтай тулгарах хэрэгтэй болдог. Жишээлбэл:

Би яаж энэ фракцыг зохистой харагдуулах вэ? Тийм ээ, маш энгийн! Хоёр цэгийн хуваалтыг ашигла:

Гэхдээ хуваах дарааллыг бүү мартаарай! Үржүүлэхээс ялгаатай нь энэ нь энд маш чухал юм! Мэдээж 4:2, 2:4-ийг андуурахгүй. Гэхдээ гурван давхарт алдаа гаргахад амархан. Жишээ нь анхаарна уу:

Эхний тохиолдолд (зүүн талд байгаа илэрхийлэл):

Хоёрдугаарт (баруун талд байгаа илэрхийлэл):

Та ялгааг мэдэрч байна уу? 4 ба 1/9!

Хуваах дарааллыг юу тодорхойлдог вэ? Хаалттай эсвэл (энд байгаа шиг) хэвтээ шугамын урттай. Нүдээ хөгжүүл. Хэрэв хаалт эсвэл зураас байхгүй бол дараах байдалтай байна.

дараа нь хувааж, үржүүлнэ дарааллаар, зүүнээс баруун тийш!

Мөн өөр нэг маш энгийн бөгөөд чухал техник. Зэрэгтэй үйлдлүүдэд энэ нь танд маш их хэрэгтэй байх болно! Нэгийг дурын бутархайд хуваая, жишээлбэл, 13/15:

Буудлага эргэсэн! Мөн энэ нь үргэлж тохиолддог. 1-ийг дурын бутархайд хуваахад үр дүн нь ижил бутархай, зөвхөн урвуу байна.

Энэ нь бутархайтай үйлдлүүд юм. Энэ нь маш энгийн, гэхдээ энэ нь хангалттай алдаа гаргадаг. Практик зөвлөгөөг анхаарч үзээрэй, тэгвэл тэдний тоо (алдаа) бага байх болно!

Практик зөвлөмжүүд:

1. Бутархай илэрхийлэлтэй ажиллахад хамгийн чухал зүйл бол нарийвчлал, анхааралтай байх явдал юм! Эдгээр нь ерөнхий үгс биш, сайн сайхан хүсэл биш юм! Энэ бол туйлын хэрэгцээ юм! Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх тооцоог бүрэн, төвлөрсөн, тодорхой даалгавар болгон хий. Оюун санааны тооцоо хийхдээ будилахаас илүү хоёр мөрийг ноорог дээрээ бичсэн нь дээр.

2. Янз бүрийн төрлийн бутархайтай жишээн дээр бид энгийн бутархай руу шилждэг.

3. Бид бүх бутархайг зогсоох хүртэл бууруулна.

4. Бид олон түвшний бутархай илэрхийллийг хоёр цэгээр хуваах замаар энгийн болгон бууруулна (бид хуваах дарааллыг дагаж мөрддөг!).

5. Нэгжийг толгойдоо бутархайд хувааж, зүгээр л бутархайг эргүүл.

Энд таны заавал биелүүлэх ёстой ажлууд байна. Бүх даалгаврын дараа хариултуудыг өгдөг. Энэ сэдвээр материал, практик зөвлөмжийг ашиглана уу. Та хичнээн жишээг зөв шийдэж чадсанаа тооцоол. Анх удаа! Тооцоологчгүйгээр! Тэгээд зөв дүгнэлт хий...

Санаж байна уу - зөв хариулт Хоёр дахь (ялангуяа гурав дахь) удаад хүлээн авсан нь тооцогдохгүй!Ийм л хатуу амьдрал.

Тэгэхээр, шалгалтын горимоор шийдвэрлэх ! Энэ дашрамд хэлэхэд, энэ нь улсын нэгдсэн шалгалтанд аль хэдийн бэлтгэл юм. Бид жишээг шийдэж, шалгаад дараагийнхыг нь шийднэ. Бид бүгдийг шийдсэн - эхнээс нь сүүлчийнх хүртэл дахин шалгасан. Гэхдээ зөвхөн Дараа ньхариултуудыг харна уу.

Тооцоолох:

Та шийдсэн үү?

Бид танд тохирсон хариултуудыг хайж байна. Би тэднийг зориудаар эмх замбараагүй, уруу таталтаас холдуулан бичлээ... Энд хариултууд нь цэг таслалтай бичигдсэн байна.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Одоо бид дүгнэлт хийж байна. Хэрэв бүх зүйл амжилттай болсон бол би танд баяртай байна! Бутархайтай үндсэн тооцоо нь таны асуудал биш юм! Та илүү ноцтой зүйлийг хийж чадна. Хэрвээ биш бол...

Тэгэхээр танд хоёр асуудлын нэг байна. Эсвэл хоёулаа нэг дор.) Мэдлэг дутмаг ба (эсвэл) анхаарал болгоомжгүй байдал. Гэхдээ энэ шийдвэрлэх боломжтой Асуудлууд.

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.