Асуудлын дугаар 1
Логик нь энгийн: одоо тригонометрийн функцууд илүү төвөгтэй аргументтай байсан ч бид өмнөх шигээ ажиллах болно!
Хэрэв бид хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдвэл:
Дараа нь бид дараах хариултыг бичнэ.
Эсвэл (түүнээс хойш)
Харин одоо бидний дүрд дараах илэрхийлэл бий.
Дараа нь та бичиж болно:
Та бүхэнтэй хийх бидний зорилго бол зүүнийг энгийн, ямар ч "бохирдолгүй" байлгах явдал юм!
Тэднээс аажмаар салцгаая!
Эхлээд бид хуваагчийг хасна: үүний тулд бид тэгш байдлыг дараах байдлаар үржүүлнэ.
Одоо үүнийг хоёр хэсэгт хувааж салцгаая.
Одоо наймаас салцгаая:
Үүссэн илэрхийлэлийг 2 цуврал шийд хэлбэрээр бичиж болно (квадрат тэгшитгэлийн аналогоор бид ялгаварлагчийг нэмэх эсвэл хасах)
Бид хамгийн том сөрөг үндсийг олох хэрэгтэй! Үүнийг цэгцлэх шаардлагатай нь ойлгомжтой.
Эхлээд эхний цувралыг авч үзье:
Хэрэв бид авбал үр дүнд нь эерэг тоо гарах нь тодорхой бөгөөд тэдгээр нь бидний сонирхлыг татахгүй байх болно.
Тиймээс та үүнийг сөрөг хүлээж авах хэрэгтэй. Болъё.
Үндэс нь аль хэдийн байгаа үед:
Мөн бид хамгийн том сөрөгийг олох хэрэгтэй !! Сөрөг тал руугаа явах нь утгагүй болсон гэсэн үг. Мөн энэ цувралын хамгийн том сөрөг үндэс нь байх болно.
Одоо хоёр дахь цувралыг харцгаая:
Тэгээд бид дахин орлуулна:, дараа нь:
Сонирхолгүй!
Дараа нь ахиж өсгөх нь утгагүй юм! Бид багасгах болно! За тэгвэл:
Тохиромжтой!
Болъё. Дараа нь
Дараа нь - хамгийн том сөрөг үндэс!
Хариулт:
Асуудлын дугаар 2
Нарийн төвөгтэй косинусын аргументаас үл хамааран бид дахин шийднэ.
Одоо бид зүүн тийш дахин илэрхийлж байна:
Бид хоёр талыг нь үржүүлдэг
Бид хоёр талыг нь хуваадаг
Үлдсэн зүйл бол тэмдэглэгээг хасахаас нэмэх болгон өөрчлөх замаар баруун тийш шилжүүлэх явдал юм.
Бид дахин 2 цуврал үндэстэй, нэг нь хамт, нөгөө нь хамт байна.
Бид хамгийн том сөрөг үндсийг олох хэрэгтэй. Эхний цувралыг авч үзье:
Бид эхний сөрөг язгуурыг хүлээн авах нь тодорхой бөгөөд энэ нь 1 цувралын хамгийн том сөрөг язгууртай тэнцүү байх болно.
Хоёр дахь цувралын хувьд
Эхний сөрөг язгуурыг мөн үед авах ба тэнцүү байх болно. Энэ нь тэгшитгэлийн хамгийн том сөрөг язгуур юм.
Хариулт: .
Асуудлын дугаар 3
Нарийн төвөгтэй шүргэгч аргументаас үл хамааран шийд.
Энэ нь төвөгтэй зүйл биш юм шиг санагдаж байна, тийм ээ?
Өмнөх шигээ бид зүүн талд дараахь зүйлийг илэрхийлнэ.
За, энэ бол гайхалтай, энд зөвхөн нэг цуврал үндэс бий! Хамгийн том сөрөгийг дахин ол.
Хэрвээ тавих юм бол гарах нь тодорхой. Мөн энэ үндэс нь тэнцүү юм.
Хариулт:
Одоо дараах асуудлуудыг өөрөө шийдэж үзээрэй.
Бие даан шийдвэрлэх гэрийн даалгавар эсвэл 3 даалгавар.
- Шийдвэр-ши-тэ тэгшитгэл.
- Шийдвэр-ши-тэ тэгшитгэл.
От-вэ-тэр на-пи-ши-тэ-д хамгийн жижиг по-ли-тел-язгуур. - Шийдвэр-ши-тэ тэгшитгэл.
От-вэ-тэр на-пи-ши-тэ-д хамгийн жижиг по-ли-тел-язгуур.
Бэлэн үү? Шалгаж байна. Би шийдлийн алгоритмыг бүхэлд нь нарийвчлан тайлбарлахгүй, надад дээр дурдсан хангалттай анхаарал хандуулсан байх шиг байна.
За, бүх зүйл зөв үү? Өө, эдгээр муухай синусууд, тэдэнтэй үргэлж холбоотой байдаг!
За, одоо та хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэж чадна!
Шийдэл, хариултыг шалгана уу:
Асуудлын дугаар 1
илэрхийлье
Хэрэв бид оноос хойш, дараа нь тавьсан бол хамгийн бага эерэг язгуурыг олж авна
Хариулт:
Асуудлын дугаар 2
Хамгийн бага эерэг язгуурыг хэзээ авдаг.
Энэ нь тэнцүү байх болно.
Хариулт: .
Асуудлын дугаар 3
Авахдаа, авахдаа.
Хариулт: .
Энэхүү мэдлэг нь танд шалгалтанд тулгарах олон асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална.
Хэрэв та "5" үнэлгээ авахаар өргөдөл гаргаж байгаа бол нийтлэлийг уншихад л хангалттай дунд түвшин,Энэ нь илүү төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан болно (даалгавар С1).
ДУНДАЖ ТҮВШИН
Энэ нийтлэлд би тайлбарлах болно илүү төвөгтэй төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхмөн тэдний үндсийг хэрхэн сонгох вэ. Энд би дараах сэдвүүд дээр тулгуурлах болно.
- Элсэлтийн түвшний тригонометрийн тэгшитгэлүүд (дээрхийг үзнэ үү).
Илүү төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлүүд нь илүү төвөгтэй асуудлын үндэс болдог. Тэдгээрийн хувьд тэгшитгэлийг өөрөө ерөнхий хэлбэрээр шийдэх, тодорхой заасан интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн үндсийг олох шаардлагатай.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь дараах хоёр дэд даалгавраас бүрдэнэ.
- Тэгшитгэлийн шийдэл
- Үндэс сонгох
Сүүлийнх нь үргэлж шаардлагатай биш боловч ихэнх жишээн дээр сонголт хийх шаардлагатай хэвээр байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. Хэрэв энэ нь шаардлагагүй бол та өрөвдөх нь дээр - энэ нь тэгшитгэл нь өөрөө нэлээд төвөгтэй гэсэн үг юм.
C1 даалгавруудыг задлан шинжилж байсан миний туршлагаас харахад тэдгээр нь ихэвчлэн эдгээр ангилалд хуваагддаг.
Нарийн төвөгтэй байдлын дөрвөн ангиллын даалгавар (хуучин C1)
- Хүчин зүйлчлэлийг бууруулсан тэгшитгэлүүд.
- Хэлбэр болгон бууруулж буй тэгшитгэлүүд.
- Хувьсагчийн өөрчлөлтөөр шийдэгддэг тэгшитгэлүүд.
- Оновчгүй байдал эсвэл хуваагчаас шалтгаалан үндсийг нэмэлт сонгох шаардлагатай тэгшитгэл.
Энгийнээр хэлэхэд: тааралдвал эхний гурван төрлийн тэгшитгэлийн нэгтэгээд өөрийгөө азтай гэж бод. Тэдний хувьд, дүрмээр бол та тодорхой интервалд хамаарах үндсийг авах хэрэгтэй.
Хэрэв та 4-р төрлийн тэгшитгэлтэй тулгарвал та аз таарч байна: та үүнийг бага зэрэг удаан, илүү нягт нямбай хийх хэрэгтэй, гэхдээ энэ нь ихэвчлэн үндсийг нь сонгох шаардлагагүй байдаг. Гэсэн хэдий ч би энэ төрлийн тэгшитгэлийг дараагийн өгүүллээр шинжлэх бөгөөд үүнийг эхний гурван төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулах болно.
Факторын тэгшитгэл
Энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд санаж байх ёстой хамгийн чухал зүйл бол
Практикаас харахад энэ мэдлэг нь дүрмээр бол хангалттай юм. Зарим жишээг харцгаая:
Жишээ 1. Бууруулах томьёо ба давхар өнцгийн синусыг ашиглан үржвэрлэх тэгшитгэлийг бууруулах
- Res-shi-te тэгшитгэл
- Энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг олж харна уу
Энд миний амласны дагуу цутгах томъёонууд ажилладаг:
Дараа нь миний тэгшитгэл дараах байдлаар харагдах болно.
Дараа нь миний тэгшитгэл дараах хэлбэрийг авна.
Богино хараагүй оюутан ингэж хэлж магадгүй: одоо би хоёр хэсгийг богиносгож, хамгийн энгийн тэгшитгэлийг олж, амьдралаас таашаал авах болно! Мөн энэ нь маш их алдаа гаргах болно!
| САНААРАЙ: ТРИГОНОМЕТРИЙН тэгшитгэлийн ХОЁР ХЭСГИЙГ МЭДЭГДҮҮЛЭГЧИЙГ АГУУЛСАН ФУНКЦЭЭР ХЭЗЭЭ Ч БҮҮ БУУРУУЛ! ТИЙМЭЭС ТА ҮНДЭСНИЙГ АЛДАХ БОЛНО! |
Тэгэхээр чи юу хийдэг вэ? Тийм ээ, бүх зүйл энгийн, бүх зүйлийг нэг чиглэлд шилжүүлж, нийтлэг хүчин зүйлийг хас:
За, бид үүнийг хүчин зүйлд тооцдог, яараарай! Одоо бид шийднэ:
Эхний тэгшитгэл нь үндэстэй:
Мөн хоёр дахь нь:
Энэ нь асуудлын эхний хэсгийг дуусгаж байна. Одоо бид үндсийг сонгох хэрэгтэй:
Цоорхой нь иймэрхүү байна:
Эсвэл үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.
За, үндсийг нь авч үзье:
Эхлээд эхний цувралтай ажиллацгаая (мөн энэ нь илүү хялбар, бид юу хэлэх вэ!)
Бидний интервал бүхэлдээ сөрөг байдаг тул сөрөг бусыг авах шаардлагагүй, бүгд сөрөг бус үндсийг өгөх болно.
Дараа нь авч үзье - арай хэтэрсэн, тохирохгүй байна.
Let, дараа нь - дахин цохисонгүй.
Дахиад нэг оролдлого - тэгвэл - байна, цохи! Анхны үндэс олдлоо!
Би дахин буудаж байна: дараа нь - Би дахин цохив!
За дахиад нэг удаа:: - энэ бол аль хэдийн нислэг.
Тиймээс эхний цувралаас 2 үндэс нь интервалд хамаарна:.
Бид хоёр дахь цувралтай ажиллаж байна (бид барьж байна дүрмийн дагуу тодорхой хэмжээгээр):
Дутуу буулга!
Дахин буудлаа!
Дахин дутуу!
Авчихсан!
Нислэг!
Тиймээс, дараах үндэс нь миний хүрээнд хамаарна.
Энэ алгоритмаар бид бусад бүх жишээг шийдэх болно. Дахин нэг жишээгээр хамтдаа дадлага хийцгээе.
Жишээ 2. Бууруулах томьёог ашиглан хүчин зүйл болгон бууруулсан тэгшитгэл
- Тэгшитгэлийг шийд
Шийдэл:
Дахин алдартай цутгах томъёо:
Дахин хэлэхэд багасгах гэж бүү оролдоорой!
Эхний тэгшитгэл нь үндэстэй:
Мөн хоёр дахь нь:
Одоо үндсийг дахин хай.
Би хоёр дахь цувралаас эхлэх болно, би өмнөх жишээн дээр энэ талаар бүх зүйлийг аль хэдийн мэддэг болсон! Цоорхойд хамаарах үндэс нь дараах байдалтай байгааг анхаарч үзээрэй.
Одоо эхний анги бөгөөд энэ нь илүү хялбар болсон:
Хэрэв - тохирно
Хэрэв - бас сайн
Хэрэв - аль хэдийн нислэг.
Дараа нь үндэс нь дараах байдалтай байна.
Бие даасан ажил. 3 тэгшитгэл.
За, техник нь танд ойлгомжтой байна уу? Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь тийм ч хэцүү биш юм шиг санагдаж байна уу? Дараа нь дараах асуудлуудыг өөрөө хурдан шийдэж, дараа нь та бид бусад жишээнүүдийг шийдэх болно.
- Тэгшитгэлийг шийд
Nay-di-эдгээр нь интервалд хавсаргасан энэ тэгшитгэлийн бүх үндэс юм. - Res-shi-te тэгшитгэл
Тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу - Res-shi-te тэгшитгэл
Nay-di-эдгээр нь бүгд энэ тэгшитгэлийн үндэс юм-non-niy, хавсаргасан-over-le-zha-shi-pro-me-zhut-ku.
Тэгшитгэл 1.
Мөн дахин цутгах томъёо:
Эхний цуврал үндэс:
Хоёр дахь цуврал үндэс:
Цоорхойг сонгох сонголт эхэлж байна
Хариулт: , .
Тэгшитгэл 2. Бие даасан ажлыг шалгах.
Хүчин зүйлийн хувьд нэлээд төвөгтэй бүлэглэл (би давхар өнцгийн синусын томъёог ашиглах болно):
дараа нь эсвэл
Энэ бол ерөнхий шийдэл юм. Одоо бид үндсийг нь сонгох хэрэгтэй. Асуудал нь косинус нь дөрөвний нэгтэй тэнцэх өнцгийн яг утгыг хэлж чадахгүй байгаа явдал юм. Тиймээс би арккосиноос салж чадахгүй - энэ бол үнэхээр ичмээр юм!
Миний хийж чадах зүйл бол юу, яаж гэдгийг ойлгох явдал юм.
Хүснэгт хийцгээе: интервал:
За, зовлонтой хайлтуудын үр дүнд бидний тэгшитгэл заасан интервалд нэг үндэстэй гэсэн сэтгэл дундуур дүгнэлтэд хүрсэн. \ displaystyle arccos \ frac (1) (4) -5 \ pi
Тэгшитгэл 3. Бие даасан ажлыг шалгах.
Аймшигтай тэгшитгэл. Гэсэн хэдий ч давхар өнцгийн синусын томъёог ашиглан үүнийг маш энгийнээр шийдэж болно:
2-оор багасгах:
Эхний гишүүнийг хоёр дахь, гурав дахь нь дөрөв дэх гишүүнтэй бүлэглэж, нийтлэг хүчин зүйлсийг авч үзье.
Эхний тэгшитгэл нь үндэсгүй нь тодорхой бөгөөд одоо хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье.
Ерөнхийдөө би ийм тэгшитгэлийн шийдлийн талаар хэсэг хугацааны дараа ярих гэж байсан, гэхдээ энэ нь гарч ирсэн тул хийх зүйл алга, шийдэх шаардлагатай байна ...
Маягтын тэгшитгэлүүд:
Энэ тэгшитгэлийг хоёр хэсгийг дараахь байдлаар хуваах замаар шийднэ.
Тиймээс бидний тэгшитгэл нь нэг цуврал үндэстэй байна:
Тэдгээрийн интервалд хамаарах хүмүүсийг олох шаардлагатай:.
Өмнө нь хийсэн шигээ дахин ширээ бүтээцгээе.
Хариулт: .
Хэлбэр болгон бууруулсан тэгшитгэлүүд:
За, одоо тэгшитгэлийн хоёр дахь багц руу шилжих цаг болжээ, ялангуяа би шинэ төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл юунаас бүрдэх талаар аль хэдийн ярьчихсан байсан. Гэхдээ энэ хэлбэрийн тэгшитгэлийг давтах нь илүүц байх болно
Үүнийг хоёр хэсгийг косинусаар хуваах замаар шийднэ.
- Res-shi-te тэгшитгэл
Зүсэхээс-хэт-хэт худалдах-ниа биш, тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. - Res-shi-te тэгшитгэл
Тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу-биш-ниа, when-over-le-zha-shi-pro-me-zhut-ku.
Жишээ 1.
Эхнийх нь маш энгийн. Баруун тийш шилжиж, давхар өнцгийн косинусын томъёог хэрэглэнэ.
Аа! Маягтын тэгшитгэл:. Би хоёр хэсэгт хуваагддаг
Бид үндсийг шигших ажлыг хийдэг.
Цоорхой:
Хариулт:
Жишээ 2.
Бүх зүйл маш энгийн: баруун талд байгаа хаалтуудыг өргөжүүлье:
Үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг:
Давхар өнцгийн синус:
Бид эцэст нь:
Үндэс тасрах: цоорхой.
Хариулт: .
За, техник танд хэр таалагдаж байна, энэ нь хэтэрхий төвөгтэй биш гэж үү? Үгүй гэж найдаж байна. Бид нэн даруй тайлбар хийж болно: цэвэр хэлбэрээр нь шууд шүргэгчийн тэгшитгэл болж хувирдаг тэгшитгэлүүд маш ховор байдаг. Ерөнхийдөө энэ шилжилт (косинусаар хуваагдах) нь илүү төвөгтэй асуудлын зөвхөн нэг хэсэг юм. Танд дадлага хийх жишээ энд байна:
- Res-shi-te тэгшитгэл
- Nay-di-эдгээр нь бүгд энэ тэгшитгэлийн үндэс юм-биш-ниа, хавсаргасан-over-le-zha-shi-ku.
Шалгацгаая:
Тэгшитгэл нэн даруй шийдэгдсэн тул хоёр хэсгийг дараахь байдлаар хуваахад хангалттай.
Үндэс тасалдал:
Хариулт: .
Ямар нэг байдлаар бид дөнгөж сая дүн шинжилгээ хийсэн тэгшитгэлүүдтэй уулзаж амжаагүй байна. Гэсэн хэдий ч бид үүнийг дүгнэхэд эрт байна: бидний судалж үзээгүй өөр нэг "давхарга" байна. Тэгэхээр:
Хувьсагчийг өөрчлөх замаар тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Энд бүх зүйл ил тод байна: бид тэгшитгэлийг анхааралтай ажиглаж, аль болох хялбарчилж, орлуулалт хийж, шийдэж, урвуу орлуулалт хийдэг! Өөрөөр хэлбэл, бүх зүйл маш хялбар байдаг. Үйлдлээр нь харцгаая:
Жишээ.
- Тэгшитгэлийг шийд:.
- Nay-di-эдгээр нь бүгд энэ тэгшитгэлийн үндэс юм-биш-ниа, хавсаргасан-over-le-zha-shi-ku.
За, энд орлуулах нь өөрөө бидний гарт байхыг гуйж байна!
Дараа нь бидний тэгшитгэл дараах болж хувирна.
Эхний тэгшитгэл нь үндэстэй:
Мөн хоёр дахь нь:
Одоо бид интервалд хамаарах үндсийг олох болно
Хариулт: .
Хамтдаа арай илүү төвөгтэй жишээг авч үзье:
- Res-shi-te тэгшитгэл
- Өгөгдсөн тэгшитгэлийн язгуурыг зааж өгнө үү-non-niy, when-over-le-za-shi-n-e-zhut-ku.
Энд орлуулах нь нэн даруй харагдахгүй, үүнээс гадна энэ нь тийм ч тодорхой биш юм. Эхлээд бодоцгооё: бид юу хийж чадах вэ?
Жишээлбэл, бид төсөөлж чадна
Мөн тэр үед
Дараа нь миний тэгшитгэл дараах хэлбэртэй болно.
Одоо анхаарлаа хандуулаарай:
Тэгшитгэлийн хоёр талыг дараахь байдлаар хуваая.
Гэнэт та бид хоёрын квадрат тэгшитгэл олов! Орлуулъя, тэгвэл бид дараахыг авна.
Тэгшитгэл нь дараах үндэстэй байна.
Муухай хоёр дахь цуврал үндэс, гэхдээ энэ нь тусалж чадахгүй! Бид интервал дахь үндсийг сонгоно.
Үүнийг бид бас анхаарч үзэх хэрэгтэй
Түүнээс хойш, тэгээд
Хариулт:
Асуудлыг өөрөө шийдэхээсээ өмнө нэгтгэхийн тулд танд өөр нэг дасгал байна:
- Res-shi-te тэгшитгэл
- Nay-di-эдгээр нь бүгд энэ тэгшитгэлийн үндэс юм-non-niy, хавсаргасан-over-le-zha-shi-pro-me-zhut-ku.
Энд та нүдээ нээлттэй байлгах хэрэгтэй: одоо бид тэг байж болох хуваагчтай боллоо! Тиймээс, та үндэст онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй!
Юуны өмнө би тэгшитгэлийг хувиргах хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр би тохирох орлуулалт хийж чадна. Би яг одоо шүргэгчийг синус болон косинусын хувьд дахин бичихээс илүү сайн зүйл бодож чадахгүй байна.
Одоо би тригонометрийн үндсэн шинж чанараар косинусаас синус руу шилжих болно.
Эцэст нь би бүх зүйлийг нийтлэг зүйлд хүргэх болно:
Одоо би тэгшитгэл рүү явж болно:
Гэхдээ цагт (өөрөөр хэлбэл, цагт).
Одоо бүх зүйл солиход бэлэн боллоо:
Дараа нь ч гэсэн
Гэсэн хэдий ч, хэрэв тийм бол, дараа нь нэгэн зэрэг гэдгийг анхаарна уу!
Үүнээс хэн зовж байна вэ? Шүргэгчийн асуудал нь косинус тэг (тэгээр хуваагдах) үед тодорхойгүй байдаг.
Тиймээс тэгшитгэлийн үндэс нь дараах байдалтай байна.
Одоо бид интервал дахь үндсийг нь шүүж авна:
| - тохирно | |
| - харгис хүч |
Тиймээс бидний тэгшитгэл интервалд нэг язгууртай бөгөөд энэ нь тэнцүү байна.
Та харж байна: хуваагчийн дүр төрх (түүнчлэн шүргэгч нь үндэстэй холбоотой тодорхой хүндрэлд хүргэдэг! Энд та илүү болгоомжтой байх хэрэгтэй!).
За, та бид хоёр тригонометрийн тэгшитгэлийн шинжилгээг бараг дуусгалаа, хоёр асуудлыг бие даан шийдвэрлэхэд маш бага зүйл үлдсэн. Тэд энд байна.
- Тэгшитгэлийг шийд
Nay-di-эдгээр нь бүгд энэ тэгшитгэлийн үндэс юм-ниа биш, хавсаргасан-over-le-zha-shi-ku. - Res-shi-te тэгшитгэл
Зүссэн хэсэгт хавсаргасан энэ тэгшитгэлийн үндсийг заана уу.
Шийдсэн үү? Маш хэцүү биш гэж үү? Шалгацгаая:
- Бид бууруулах томъёоны дагуу ажилладаг:
Тэгшитгэлд орлуулах:
Орлуулахад илүү тохиромжтой байхын тулд бүгдийг косинусуудын хувьд дахин бичье.
Одоо орлуулахад хялбар боллоо:
Тэгшитгэлд шийдэл байхгүй тул энэ нь гадны үндэс болох нь тодорхой байна. Дараа нь:
Бид интервалд хэрэгтэй үндсийг хайж байна
Хариулт: .
Энд орлуулалт нэн даруй харагдана:Дараа нь ч гэсэн
- тохирно! - тохирно! - тохирно! - тохирно! - их! - бас маш их! Хариулт:
За, ингээд л боллоо! Гэхдээ тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл үүгээр дуусдаггүй, бид хамгийн хэцүү тохиолдлуудад үлддэг: тэгшитгэлд зохисгүй байдал эсвэл бүх төрлийн "нийлмэл хуваагч" байх үед. Ийм даалгаврыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар бид ахисан түвшний нийтлэлд авч үзэх болно.
АХИСАН ТҮВШИН
Өмнөх хоёр нийтлэлд авч үзсэн тригонометрийн тэгшитгэлээс гадна бид илүү нарийн дүн шинжилгээ хийх шаардлагатай өөр ангиллын тэгшитгэлийг авч үзэх болно. Эдгээр тригонометрийн жишээнүүд нь үндэслэлгүй байдал эсвэл хуваагчийг агуулсан байдаг тул тэдгээрийг шинжлэхэд илүү төвөгтэй болгодог.... Гэсэн хэдий ч та эдгээр тэгшитгэлтэй шалгалтын хуудасны С хэсэгт таарч магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч мөнгөн доторлогоо байдаг: ийм тэгшитгэлийн хувьд дүрмээр бол түүний аль үндэс нь өгөгдсөн интервалд хамаарах вэ гэсэн асуулт гарч ирдэггүй. Бутны эргэн тойронд зодох биш, харин зөвхөн тригонометрийн жишээнүүдийг авч үзье.
Жишээ 1.
Тэгшитгэлийг шийдэж, сегментэд хамаарах үндсийг ол.
Шийдэл:
Бид тэг байх ёсгүй хуваагчтай! Тэгвэл энэ тэгшитгэлийг шийдэх нь системийг шийдэхтэй адил юм
Тэгшитгэл бүрийг шийдье:
Одоо хоёр дахь нь:
Одоо цувралыг харцгаая:
Энэ тохиолдолд хуваагчийг тэглэсэн тул сонголт нь бидэнд тохирохгүй нь тодорхой байна (хоёр дахь тэгшитгэлийн үндэсийн томъёог үзнэ үү)
Гэсэн хэдий ч, бүх зүйл эмх цэгцтэй байгаа бөгөөд хуваагч нь тэг биш юм! Дараа нь тэгшитгэлийн үндэс нь дараах байдалтай байна:,.
Одоо бид интервалд хамаарах үндсийг сонгоно.
| - таарахгүй байх | - тохирно | |
| - тохирно | - тохирно | |
| харгис хүч | харгис хүч |
Дараа нь үндэс нь дараах байдалтай байна.
Та харж байна уу, хуваагч хэлбэрийн жижиг дуу чимээ ч гэсэн тэгшитгэлийн шийдэлд ихээхэн нөлөөлсөн: бид хуваагчийг тэг болгодог хэд хэдэн үндэсийг хаясан. Хэрэв та үндэслэлгүй тригонометрийн жишээнүүдийг олж харвал нөхцөл байдал бүр ч хэцүү болно.
Жишээ 2.
Тэгшитгэлийг шийд:
Шийдэл:
Ядаж үндсийг нь сонгох шаардлагагүй, энэ нь сайн хэрэг! Эхлээд тэгшитгэлийг иррациональ байдлаас үл хамааран шийдье.
Ингээд л болоо юу? Үгүй ээ, харамсалтай нь энэ нь хэтэрхий хялбар байх болно! Үндэс дор зөвхөн сөрөг бус тоо байж болно гэдгийг санах нь зүйтэй. Дараа нь:
Энэ тэгш бус байдлын шийдэл:
Одоо эхний тэгшитгэлийн язгууруудын зарим нь тэгш бус байдал хангагдаагүй газарт санамсаргүй очсон эсэхийг олж мэдэх л үлдлээ.
Үүнийг хийхийн тулд та хүснэгтийг дахин ашиглаж болно:
| : , гэхдээ | Үгүй! | |
| Тийм ээ! | ||
| Тийм ээ! |
Ийнхүү нэг үндэс нь надаас "унасан"! Хэрэв та үүнийг тавьсан бол энэ нь харагдаж байна. Дараа нь хариултыг дараах байдлаар бичиж болно.
Хариулт:
Та харж байна уу, үндэс нь бүр илүү анхаарал шаарддаг! Асуудлыг хүндрүүлэхийн тулд: одоо надад язгуур дор тригонометрийн функцийг оруулъя.
Жишээ 3.
Өмнөх шигээ: эхлээд тус бүрийг тусад нь шийдэж, дараа нь бид юу хийснээ бодох болно.
Одоо хоёр дахь тэгшитгэл:
Одоо хамгийн хэцүү зүйл бол эхний тэгшитгэлийн үндсийг орлуулах юм бол арифметик язгуур дор сөрөг утгууд гарч ирэх эсэхийг олж мэдэх явдал юм.
Энэ тоог радиан гэж ойлгох хэрэгтэй. Радианууд нь градус орчим байдаг тул радианууд нь градус орчим байдаг. Энэ бол хоёрдугаар улирлын булан юм. Хоёрдугаар улирлын косинусын тэмдэг юу вэ? Хасах. Тэгээд синус уу? Нэмэлт. Тэгэхээр илэрхийллийн талаар юу хэлж болох вэ:
Энэ нь тэгээс бага байна!
Энэ нь тэгшитгэлийн үндэс биш гэсэн үг юм.
Одоо ээлж ирлээ.
Энэ тоог тэгтэй харьцуулж үзье.
Котангенс нь дөрөвний нэгээр буурч буй функц юм (аргумент бага байх тусам котангенс их болно). радианууд нь ойролцоогоор градус юм. Нэг цагт
түүнээс хойш, дараа нь, тэгээд эндээс
,
Хариулт: .
Бүр илүү хэцүү байж болох уу? Зүгээр ээ! Хэрэв тригонометрийн функц язгуур доор хэвээр байвал тэгшитгэлийн хоёр дахь хэсэг нь дахин тригонометрийн функц байвал илүү хэцүү байх болно.
Илүү олон тригонометрийн жишээнүүд байх тусмаа сайн, цааш нь үзнэ үү:
Жишээ 4.
Хязгаарлагдмал косинустай тул үндэс нь тохирохгүй
Одоо хоёр дахь нь:
Үүний зэрэгцээ язгуурын тодорхойлолтоор:
Бид нэгж тойргийг санаж байх ёстой: тухайлбал, синус нь тэгээс бага байдаг дөрөвний нэг юм. Тэд аль хороолол вэ? Гурав, дөрөв дэх. Дараа нь бид гурав, дөрөвдүгээр улиралд байрлах эхний тэгшитгэлийн шийдлүүдийг сонирхох болно.
Эхний цуврал нь гурав, дөрөвдүгээр улирлын уулзвар дээр үндэс үүсгэдэг. Үүний эсрэг тэсрэг хоёр дахь цуврал нь эхний болон хоёрдугаар улирлын хил дээр хэвтэж буй үндсийг үүсгэдэг. Тиймээс энэ цуврал бидэнд тохирохгүй байна.
Хариулт: ,
Бас дахин "Хэцүү үндэслэлгүй" тригонометрийн жишээнүүд... Бид язгуурын доор тригонометрийн функцийг дахин оруулаад зогсохгүй, энэ нь мөн хуваагч дээр байна!
Жишээ 5.
За, юу ч хийж чадахгүй - бид өмнөх шигээ ажилладаг.
Одоо бид хуваагчтай ажиллаж байна:
Би тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэхийг хүсэхгүй байгаа тул би зальтай үйлдэл хийх болно: би язгуурын цувааг авч, тэгш бус байдалд орлуулах болно.
Хэрэв - тэгш байвал бидэнд:
хойш, Дараа нь харах бүх өнцөг нь дөрөвдүгээр улиралд худал. Мөн дахин ариун асуулт: дөрөвдүгээр улиралд синусын тэмдэг гэж юу вэ? Сөрөг. Дараа нь тэгш бус байдал
Хэрэв энэ нь хачирхалтай бол:
Булангийн аль хэсэгт байрладаг вэ? Энэ бол хоёрдугаар улирлын булан юм. Дараа нь бүх булангууд нь дахин хоёрдугаар улирлын булангууд юм. Тэнд синус эерэг байна. Зөвхөн танд хэрэгтэй зүйл! Тиймээс цуврал:
Тохиромжтой!
Хоёрдахь цуврал үндэстэй ижил аргаар харьц:
Бид тэгш бус байдлыг орлуулна:
Хэрэв - тэгш, тэгвэл
Эхний улирлын булангууд. Тэнд синус эерэг байдаг тул цуврал нь тохиромжтой. Одоо - сондгой бол:
бас таарч байна!
За, одоо бид хариултаа бичнэ үү!
Хариулт:
Энэ нь магадгүй хамгийн их цаг зарцуулсан тохиолдол байсан. Одоо би танд өөрийн шийдэх асуудлыг санал болгож байна.
Дасгал хийх
- Хэсэгт хамаарах тэгшитгэлийн бүх язгуурыг шийдэж ол.
Шийдэл:
Эхний тэгшитгэл:
эсвэл
ODZ үндэс:Хоёр дахь тэгшитгэл:
Цоорхойд хамаарах үндсийг сонгох
Хариулт:
Эсвэл
эсвэл
Гэхдээ
Анхаарна уу:. Хэрэв - тэгш, тэгвэл
- таарахгүй байх!
Хэрэв - сондгой бол: - тохирно!
Энэ нь бидний тэгшитгэл дараах үндэстэй гэсэн үг юм.
эсвэл
Интервал дахь үндэс сонгох:
| - таарахгүй байх | - тохирно | |
| - тохирно | - их | |
| - тохирно | их |
Хариулт: , .
Эсвэл
Учир нь шүргэгч тодорхойлогдоогүй үед. Бид энэ цуврал үндэсийг нэн даруй устгана!
Хоёр дахь хэсэг:
Үүний зэрэгцээ, ODZ-ийн дагуу үүнийг шаарддаг
Бид эхний тэгшитгэлээс олдсон үндсийг шалгана.
Хэрэв тэмдэг нь:
Шүргэгч эерэг байх эхний улирлын булангууд. Тохирохгүй байна!
Хэрэв тэмдэг нь:
Дөрөвний дөрөвний өнцөг. Тэнд шүргэгч сөрөг байна. Тохиромжтой. Бид хариултыг бичнэ:
Хариулт: , .
Бид энэ нийтлэлд тригонометрийн нарийн төвөгтэй жишээнүүдийг авч үзсэн боловч та тэгшитгэлийг өөрөө шийдэх хэрэгтэй.
ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН Формулууд
Тригонометрийн тэгшитгэл гэдэг нь үл мэдэгдэх нь тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор байдаг тэгшитгэл юм.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх хоёр арга байдаг.
Эхний арга бол томъёог ашиглах явдал юм.
Хоёр дахь арга нь тригонометрийн тойрог юм.
Энэ нь өнцгийг хэмжих, тэдгээрийн синус, косинус гэх мэтийг олох боломжийг олгоно.
Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын профайлын түвшний бэлтгэл. Тригонометрийн талаар хэрэгтэй материалууд, том онолын видео лекцүүд, асуудлын видео шинжилгээ, өнгөрсөн жилүүдийн даалгаврын сонголтууд.
Ашигтай материал
Видео сонголтууд болон онлайн курсууд
Тригонометрийн томъёо
Тригонометрийн томъёоны геометрийн дүрслэл
Нуман функцууд. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд
Тригонометрийн тэгшитгэл
- Асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай онол.
- a) $ 7 \ cos ^ 2 x - \ cos x - 8 = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
b) $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2) интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ баруун] $. - a) $ \ dfrac (6) (\ cos ^ 2 x) - \ dfrac (7) (\ cos x) + 1 = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
b) Энэ тэгшитгэлийн $ \ left [-3 \ pi” интервалд хамаарах бүх язгуурыг ол; - \ pi \ баруун] $. - $ \ sin \ sqrt (16 - x ^ 2) = \ dfrac12 $ тэгшитгэлийг шийд.
- a) $ 2 \ cos 2x - 12 \ cos x + 7 = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [- \ pi; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ баруун] $. - a) $ \ dfrac (5) (\ mathrm (tg) ^ 2 x) - \ dfrac (19) (\ sin x) + 17 = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
- $ \ dfrac (2 \ cos ^ 3 x + 3 \ cos ^ 2 x + \ cos x) (\ sqrt (\ mathrm (ctg) x)) = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
- $ \ dfrac (\ mathrm (tg) ^ 3x - \ mathrm (tg) x) (\ sqrt (- \ sin x)) = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
b) $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) (2) интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; - \ pi \ баруун) $.- a) $ \ cos 2x = \ sin \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ баруун) $ тэгшитгэлийг шийд.
b) $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2) интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ баруун] $. - a) $ 2 \ sin ^ 2 \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) + x \ right) = \ sqrt3 \ cos x $ тэгшитгэлийг шийд.
b) $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2) интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -2 \ pi \ баруун] $.
Даалгаврын видео шинжилгээ
б) $ \ left [\ sqrt (3) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; \ sqrt (20) \ баруун] $.
б) $ \ left [- \ dfrac (9 \ pi) (2) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -3 \ pi \ баруун] $.
б) $ \ left [- \ sqrt (3) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; \ sqrt (30) \ баруун] $.
a) $ \ cos 2x = 1 - \ cos \ left (\ dfrac (\ pi) (2) - x \ баруун) $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) (2) интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; - \ pi \ баруун) $.
a) $ \ cos ^ 2 (\ pi - x) - \ sin \ left (x + \ dfrac (3 \ pi) (2) \ баруун) = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) (2) интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; 4 \ pi \ баруун] $.
б) $ \ left [\ log_5 2 интервалд хамаарах тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; \ log_5 20 \ баруун] $.
a) $ 8 \ sin ^ 2 x + 2 \ sqrt (3) \ cos \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ баруун) = 9 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) (2) интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; - \ pi \ баруун] $.
a) $ 2 \ log_3 ^ 2 (2 \ cos x) - 5 \ log_3 (2 \ cos x) + 2 = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
b) $ \ left [\ pi интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ баруун] $.
a) $ \ left (\ dfrac (1) (49) \ right) ^ (\ sin x) = 7 ^ (2 \ sin 2x) $ тэгшитгэлийг шийд.
b) $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2) интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; 3 \ pi \ баруун] $.
a) $ \ sin x + \ left (\ cos \ dfrac (x) (2) - \ sin \ dfrac (x) (2) \ баруун) \ зүүн (\ cos \ dfrac (x) (2) тэгшитгэлийг шийд. + \ sin \ dfrac (x) (2) \ баруун) = 0 $.
b) $ \ left [\ pi интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ баруун] $.
a) $ \ log_4 (\ sin x + \ sin 2x + 16) = 2 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [-4 \ pi; - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ баруун] $.
Өнгөрсөн жилүүдийн даалгавруудын түүвэр
- a) $ \ dfrac (\ sin x) (\ sin ^ 2 \ dfrac (x) (2)) = 4 \ cos ^ 2 \ dfrac (x) (2) $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [- \ dfrac (9 \ pi) (2) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -3 \ pi \ баруун] $. (USE-2018. Эрт давалгаа) - a) $ \ sqrt (x ^ 3 - 4x ^ 2 - 10x + 29) = 3 - x $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [- \ sqrt (3) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; \ sqrt (30) \ баруун] $. (АШИГЛАЛТ-2018. Эрт давалгаа, нөөцийн өдөр) - a) $ 2 \ sin ^ 2 x + \ sqrt2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (4) \ баруун) = \ cos x $ тэгшитгэлийг шийд.
б) Энэ тэгшитгэлийн $ \ left [-2 \ pi сегментэд хамаарах бүх язгуурыг ол; - \ dfrac (\ pi) (2) \ баруун] $. (USE-2018. Үндсэн долгион) - a) $ \ sqrt6 \ sin ^ 2 x + \ cos x = 2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (6) \ баруун) $ тэгшитгэлийг шийд.
б) Энэ тэгшитгэлийн $ \ left [3 \ pi; \ dfrac (9 \ pi) (2) \ баруун] $. (USE-2018. Үндсэн долгион) - a) $ \ sin x + 2 \ sin \ left (2x + \ dfrac (\ pi) (6) \ баруун) = \ sqrt3 \ sin 2x + 1 $ тэгшитгэлийг шийд.
b) $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -2 \ pi \ баруун] $. (USE-2018. Үндсэн долгион) - a) $ \ cos ^ 2 x + \ sin x = \ sqrt2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (4) \ баруун) $ тэгшитгэлийг шийд.
б) Энэ тэгшитгэлийн $ \ left [-4 \ pi” сегментэд хамаарах бүх язгуурыг ол; - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ баруун] $. (USE-2018. Үндсэн долгион) - a) $ 2 \ sin \ left (2x + \ dfrac (\ pi) (3) \ баруун) - \ sqrt (3) \ sin x = \ sin 2x + \ sqrt3 $ тэгшитгэлийг шийд.
- a) $ 2 \ sqrt3 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (3) \ баруун) - \ cos 2x = 3 \ cos x - 1 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) Энэ тэгшитгэлийн $ \ left [2 \ pi; \ dfrac (7 \ pi) (2) \ баруун] $. (USE-2018. Үндсэн долгион) - a) $ 2 \ sin \ left (2x + \ dfrac (\ pi) (6) \ right) - \ cos x = \ sqrt3 \ sin 2x - 1 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) (2) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; 4 \ pi \ баруун] $. (USE-2018. Үндсэн долгион) - a) $ \ sqrt2 \ sin \ left (\ dfrac (\ pi) (4) + x \ right) + \ cos 2x = \ sin x - 1 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [\ dfrac (7 \ pi) (2) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; 5 \ pi \ баруун] $. (USE-2018. Үндсэн долгион) - a) $ \ sqrt2 \ sin \ left (2x + \ dfrac (\ pi) (4) \ right) + \ sqrt2 \ cos x = \ sin 2x - 1 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [- \ dfrac (5 \ pi) (2) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; - \ pi \ баруун] $. (USE-2018. Үндсэн долгион) - a) $ 2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (3) \ баруун) + \ cos 2x = \ sqrt3 \ cos x + 1 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) Энэ тэгшитгэлийн $ \ left [-3 \ pi сегментэд хамаарах бүх язгуурыг ол; - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ баруун] $. (USE-2018. Үндсэн долгион)
б) Энэ тэгшитгэлийн $ \ left [\ pi сегментэд хамаарах бүх язгуурыг ол; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ баруун] $. (USE-2018. Үндсэн долгион)- a) $ 2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (4) \ баруун) + \ cos 2x = \ sqrt2 \ cos x + 1 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) Энэ тэгшитгэлийн $ \ left [\ pi сегментэд хамаарах бүх язгуурыг ол; \ dfrac (5 \ pi) (2) \ баруун] $. (АШИГЛАЛТ-2018. Үндсэн давалгаа, нөөцийн өдөр) - a) $ 2 \ cos x - \ sqrt3 \ sin ^ 2 x = 2 \ cos ^ 3 x $ тэгшитгэлийг шийд.
b) $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -2 \ pi \ баруун] $. (АШИГЛАЛТ-2018. Үндсэн давалгаа, нөөцийн өдөр) - a) $ 2 \ cos x + \ sin ^ 2 x = 2 \ cos ^ 3 x $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [- \ dfrac (9 \ pi) (2) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -3 \ pi \ баруун] $. (АШИГЛАЛТ-2018. Үндсэн давалгаа, нөөцийн өдөр) - a) $ 2 \ sqrt2 \ sin \ left (x + \ dfrac (\ pi) (3) \ баруун) + 2 \ cos ^ 2 x = 2 + \ sqrt6 \ cos x $ тэгшитгэлийг шийд.
б) Энэ тэгшитгэлийн $ \ left [-3 \ pi сегментэд хамаарах бүх язгуурыг ол; - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ баруун] $. (АШИГЛАЛТ-2018. Үндсэн давалгаа, нөөцийн өдөр) - a) $ x - 3 \ sqrt (x - 1) + 1 = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [\ sqrt (3) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; \ sqrt (20) \ баруун] $. (АШИГЛАЛТ-2018. Үндсэн давалгаа, нөөцийн өдөр) - a) $ 2x \ cos x - 8 \ cos x + x - 4 = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [- \ dfrac (\ pi) (2); \ \ pi \ баруун] $ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2017, үндсэн давалгаа, нөөцийн өдөр) - a) $ \ log_3 (x ^ 2 - 2x) = 1 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [\ log_2 0 (,) 2; \ \ log_2 5 \ right] $ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2017, үндсэн давалгаа, нөөцийн өдөр) - a) $ \ log_3 (x ^ 2 - 24x) = 4 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [\ log_2 0 (,) 1; \ 12 \ sqrt (5) \ right] $ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2017, үндсэн давалгаа, нөөцийн өдөр) - a) $ 0 (,) 4 ^ (\ sin x) + 2 (,) 5 ^ (\ sin x) = 2 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [2 \ pi; \ \ dfrac (7 \ pi) (2) \ баруун] $ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2017, үндсэн долгион) - a) $ \ log_8 \ left (7 \ sqrt (3) \ sin x - \ cos 2x - 10 \ right) = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2); \ 3 \ pi \ баруун] $ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2017, үндсэн долгион) - a) $ \ log_4 \ left (2 ^ (2x) - \ sqrt (3) \ cos x - 6 \ sin ^ 2 x \ right) = x $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) (2); \ 4 \ pi \ баруун] $ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2017, үндсэн долгион) - a) $ 2 \ log_2 ^ 2 \ зүүн (\ sin x \ баруун) - 5 \ log_2 \ зүүн (\ sin x \ баруун) - 3 = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [- 3 \ pi; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ баруун] $ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2017, үндсэн долгион) - a) $ 81 ^ (\ cos x) - 12 \ cdot 9 ^ (\ cos x) + 27 = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [- 4 \ pi; \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ баруун] $ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2017, үндсэн долгион) - a) $ 8 ^ x - 9 \ cdot 2 ^ (x + 1) + 2 ^ (5 - x) = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [\ log_5 2; \ \ log_5 20 \ right] $ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (АШИГЛАЛТ-2017, эрт давалгаа) - a) $ 2 \ log ^ 2_9 x - 3 \ log_9 x + 1 = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [\ sqrt (10); \ \ sqrt (99) \ right] $ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (АШИГЛАЛТ-2016, үндсэн давалгаа, нөөцийн өдөр) - a) $ 6 \ log ^ 2_8 x - 5 \ log_8 x + 1 = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [2; \ 2 (,) 5 \ баруун] $ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (АШИГЛАЛТ-2016, үндсэн давалгаа, нөөцийн өдөр) - a) $ \ sin 2x = 2 \ sin x + \ sin \ left (x + \ dfrac (3 \ pi) (2) \ баруун) + 1 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [-4 \ pi; \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ баруун] $ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (АШИГЛАЛТ-2016, үндсэн давалгаа, нөөцийн өдөр) - a) $ 2 \ cos ^ 2 x + 1 = 2 \ sqrt (2) \ cos \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ баруун) $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2); \ 3 \ pi \ баруун] $ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2016, үндсэн долгион) - a) $ 2 \ log ^ 2_2 (2 \ cos x) - 9 \ log_2 (2 \ cos x) + 4 = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [-2 \ pi; \ - \ dfrac (\ pi) (2) \ баруун] $ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2016, үндсэн долгион) - a) $ 8 ^ x - 7 \ cdot 4 ^ x - 2 ^ (x + 4) + 112 = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [\ log_2 5; \ \ log_2 11 \ right] $ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (АШИГЛАЛТ-2016, эрт давалгаа) - a) $ \ cos 2x + \ cos ^ 2 \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) - x \ right) = 0.25 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [-4 \ pi; \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ баруун] $ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (АШИГЛАЛТ-2016, эрт давалгаа) - a) $ \ dfrac (13 \ sin ^ 2 x - 5 \ sin x) (13 \ cos x + 12) = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [-3 \ pi; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ баруун] $ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (АШИГЛАЛТ-2016, эрт давалгаа) - a) $ \ dfrac (\ sin2x) (\ sin \ left (\ dfrac (7 \ pi) (2) - x \ right)) = \ sqrt (2) $ тэгшитгэлийг шийд.
b) $ \ left $ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2015, үндсэн долгион) - a) $ 4 \ sin ^ 2 x = \ mathrm (tg) x $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [- \ pi; \ 0 \ right] $ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2015, үндсэн долгион) - a) $ 3 \ cos 2x - 5 \ sin x + 1 = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [\ pi; \ \ dfrac (5 \ pi) (2) \ баруун] $ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2015, үндсэн долгион) - a) $ \ cos 2x - 5 \ sqrt (2) \ cos x - 5 = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [-3 \ pi; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ баруун] $ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (USE-2015, үндсэн долгион) - a) $ \ sin 2x + \ sqrt (2) \ sin x = 2 \ cos x + \ sqrt (2) $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [\ pi; \ \ dfrac (5 \ pi) (2) \ баруун] $ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (АШИГЛАЛТ-2015, эрт давалгаа) - a) $ 2 \ cos ^ 3 x - \ cos ^ 2 x + 2 \ cos x - 1 = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [2 \ pi; \ \ dfrac (7 \ pi) (2) \ баруун] $ сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу. (АШИГЛАЛТ-2015, эрт давалгаа) - a) $ \ mathrm (tg) ^ 2 x + (1 + \ sqrt (3)) \ mathrm (tg) x + \ sqrt (3) = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [\ dfrac (5 \ pi) (2) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу; \ 4 \ pi \ баруун] $. (USE-2014, үндсэн долгион) - a) $ 2 \ sqrt (3) \ cos ^ 2 \ left (\ dfrac (3 \ pi) (2) + x \ баруун) - \ sin 2x = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [\ dfrac (3 \ pi) (2) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу; \ 3 \ pi \ баруун] $. (USE-2014, үндсэн долгион) - a) $ \ cos 2x + \ sqrt (2) \ sin \ left (\ dfrac (\ pi) (2) + x \ right) + 1 = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) Энэ тэгшитгэлийн $ \ left [-3 \ pi; \ - \ dfrac (3 \ pi) (2) \ баруун] $. (USE-2014, үндсэн долгион) - a) $ - \ sqrt (2) \ sin \ left (- \ dfrac (5 \ pi) (2) + x \ right) \ cdot \ sin x = \ cos x $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [\ dfrac (9 \ pi) (2) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу; \ 6 \ pi \ баруун] $. (АШИГЛАЛТ-2014, эрт давалгаа) - a) $ \ sin 2x = \ sin \ left (\ dfrac (\ pi) (2) + x \ баруун) $ тэгшитгэлийг шийд.
б) $ \ left [- \ dfrac (7 \ pi) (2) сегментэд хамаарах энэ тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу; \ - \ dfrac (5 \ pi) (2) \ баруун] $. (USE-2013, үндсэн долгион) - a) $ 6 \ sin ^ 2 x + 5 \ sin \ left (\ dfrac (\ pi) (2) - x \ баруун) - 2 = 0 $ тэгшитгэлийг шийд.
б) Энэ тэгшитгэлийн $ \ left [-5 \ pi; \ - \ dfrac (7 \ pi) (2) \ баруун] $. (USE-2012, хоёр дахь давалгаа)
Хичээлийн зорилго:
а) хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадварыг нэгтгэх;
б) өгөгдсөн интервалаас тригонометрийн тэгшитгэлийн үндсийг сонгохыг заах
Хичээлийн үеэр.
1. Мэдлэгийг бодит болгох.
a) Гэрийн даалгаврыг шалгах: ангид урьдчилсан гэрийн даалгавар өгсөн - тэгшитгэлийг шийдэж, өгөгдсөн интервалаас үндэс сонгох арга замыг олох.
1) cos х= -0.5, энд xI [-]. Хариулт:.
2) нүгэл х=, энд xI. Хариулт: ; ...
3) cos 2 х= -, энд хI. Хариулт:
Сурагчид шийдлийг самбар дээр бичиж, хэн нэгэн график ашиглан, хэн нэгэн нь сонгох аргыг ашиглана.
Энэ үед анги амаар ажилладаг.
Илэрхийллийн утгыг ол:
a) tg - нүгэл + cos + нүгэл. Хариулт: 1.
б) 2arccos 0 + 3 arccos 1. Хариулт:?
в) арксин + арксин. Хариулт:.
d) 5 арктан (-) - arccos (-). Хариулт:-.
- Гэрийн даалгавраа шалгацгаая, гэрийн даалгаврын дэвтэрээ нээцгээе.
Та нарын зарим нь тохирох аргаар, зарим нь графикаар шийдлийг олсон.
2. Эдгээр даалгавруудыг хэрхэн шийдвэрлэх тухай дүгнэлт, асуудлын мэдэгдэл, өөрөөр хэлбэл, сэдвийн мессеж, хичээлийн зорилго.
- a) Хэрэв том интервал өгсөн бол сонголтын тусламжтайгаар шийдвэрлэхэд хэцүү.
- б) График арга нь үнэн зөв үр дүнг өгдөггүй, баталгаажуулалт шаарддаг, маш их цаг зарцуулдаг.
- Тиймээс, ядаж өөр нэг арга байх ёстой, хамгийн түгээмэл - үүнийг олохыг хичээцгээе. Тэгэхээр бид өнөөдөр хичээл дээр юу хийх гэж байна? (Тригонометрийн тэгшитгэлийн үндсийг өгөгдсөн интервалаар сонгож сурах.)
- Жишээ 1 (Оюутан самбар руу очно)
cos х= -0.5, энд xI [-].
Асуулт: Энэ даалгаврын хариулт юунаас хамаарах вэ? (Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдээс. Шийдвэрийг ерөнхий хэлбэрээр бичье). Шийдвэрийг самбар дээр бичдэг
х = + 2? k, энд k R.
- Энэ шийдлийг багц хэлбэрээр бичье.
- Та юу гэж бодож байна вэ, шийдлийн ямар бичлэгийн хувьд интервал дахь үндэс сонгох нь тохиромжтой вэ? (хоёр дахь бичлэгээс). Гэхдээ энэ бол дахин сонгох арга юм. Зөв хариулт авахын тулд бид юу мэдэх хэрэгтэй вэ? (Та k-ийн утгыг мэдэх хэрэгтэй).
(к-г олох математик загвар хийцгээе).
kI Z тул k = 0, иймээс X= = |
Энэ тэгш бус байдал нь k-ийн бүхэл тоо байхгүй гэдгийг харуулж байна. |
Дүгнэлт:Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ өгөгдсөн интервалаас үндсийг сонгохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.
- хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх sin x = a, cos x = aтэгшитгэлийн язгуурыг хоёр цуврал язгуураар бичих нь илүү тохиромжтой.
- хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх tg x = a, ctg x = aязгуурын ерөнхий томъёог бичнэ үү.
- Давхар тэгш бус байдлын хэлбэрээр шийдэл тус бүрийн математик загварыг гаргаж, k эсвэл n параметрийн бүхэл утгыг ол.
- эдгээр утгыг үндсэн томъёонд орлуулж, тооцоол.
Олж авсан алгоритмыг ашиглан гэрийн даалгавараас 2, 3-р жишээг шийд. Үүний зэрэгцээ хоёр сурагч самбар дээр ажиллаж, дараа нь ажлыг шалгана.
Энэ нийтлэлд би 2 аргыг тайлбарлахыг хичээх болно тригонометрийн тэгшитгэлийн үндэс сонгох: тэгш бус байдлыг ашиглах, тригонометрийн тойрог ашиглах. Шууд жишээн дээр очиж, хэргийг авч үзье.
A) sqrt (2) cos ^ 2x = sin (Pi / 2 + x) тэгшитгэлийг шийд.
b) [-7Pi / 2 интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол; -2Pi]
А цэгийг шийдье.
Бид синусын синыг багасгах томъёог ашигладаг (Pi / 2 + x) = cos (x)
Sqrt (2) cos ^ 2x = cosx
Sqrt (2) cos ^ 2x - cosx = 0
Cosx (sqrt (2) cosx - 1) = 0
X1 = Pi / 2 + Pin, n ∈ Z
Sqrt (2) cosx - 1 = 0
Cosx = 1 / sqrt (2)
Cosx = sqrt (2) / 2
X2 = arccos (sqrt (2) / 2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos (sqrt (2) / 2) + 2Pin, n ∈ Z
X2 = Pi / 4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi / 4 + 2Pin, n ∈ Z
b цэгийг шийдье.
1) Тэгш бус байдлыг ашиглан үндсийг сонгох
Энд бүх зүйл энгийн байдлаар хийгдсэн, бид өгөгдсөн интервалд олж авсан үндсийг орлуулна [-7Pi / 2; -2Pi], n-ийн бүхэл утгыг ол.
7Pi / 2 Pi-ээс бага буюу тэнцүү / 2 + Pin -2Pi-ээс бага эсвэл тэнцүү
Бүгдийг нэг дор Pi-д хуваа
7/2 нь 1/2-ээс бага буюу тэнцүү + n нь -2-оос бага эсвэл тэнцүү
7/2 - n-ээс 1/2 бага буюу тэнцүү -2 - 1/2
4-ээс бага буюу тэнцүү n -5/2-оос бага буюу тэнцүү
Энэ муж дахь бүхэл n нь -4 ба -3 байна. Тэгэхээр энэ интервалд хамаарах үндэс нь Pi / 2 + Pi (-4) = -7Pi / 2, Pi / 2 + Pi (-3) = -5Pi / 2 байх болно.
Үүний нэгэн адил бид дахин хоёр тэгш бус байдлыг бий болгодог
7Pi / 2 Pi-ээс бага буюу тэнцүү / 4 + 2Pin -2Pi-ээс бага эсвэл тэнцүү
-15/8 бага буюу тэнцүү n -9/8-аас бага буюу тэнцүү
Энэ интервалд n бүхэл тоо байхгүй
7Pi / 2 -Pi-ээс бага буюу тэнцүү / 4 + 2Pin -2Pi-ээс бага эсвэл тэнцүү
-13/8 бага буюу тэнцүү n -7/8-аас бага буюу тэнцүү
Энэ зайд нэг бүхэл тоо n нь -1 байна. Тэгэхээр энэ интервал дээр сонгосон үндэс нь -Pi / 4 + 2Pi * (- 1) = -9Pi / 4 байна.
Тиймээс b цэгийн хариулт: -7Pi / 2, -5Pi / 2, -9Pi / 4
2) Тригонометрийн тойрог ашиглан үндэс сонгох
Энэ аргыг ашиглахын тулд энэ тойрог хэрхэн ажилладагийг ойлгох хэрэгтэй. Би үүнийг хэрхэн ойлгож байгаагаа энгийн хэлээр тайлбарлахыг хичээх болно. Сургуулиудад алгебрийн хичээл дээр энэ сэдвийг багшийн ухаалаг үгс, сурах бичигт нарийн төвөгтэй томъёололоор олон удаа тайлбарласан гэж би бодож байна. Би хувьдаа үүнийг синус болон косинусын функцууд нь үе үе байдаг тул хязгааргүй олон удаа давж болох тойрог гэж ойлгодог.
Нэг удаа цагийн зүүний эсрэг явцгаая
Цагийн зүүний эсрэг 2 удаа тойруулъя
Цагийн зүүний дагуу 1 удаа орцгооё (утгууд сөрөг байх болно)
Асуулт руугаа буцаж орцгооё, бид [-7Pi / 2 интервалд үндэс сонгох хэрэгтэй; -2Pi]
-7Pi / 2 ба -2Pi тоонуудад хүрэхийн тулд та дугуйг цагийн зүүний эсрэг хоёр удаа тойрох хэрэгтэй. Энэ интервал дээр тэгшитгэлийн язгуурыг олохын тулд тооцоолж, орлуулах шаардлагатай.
x = Pi / 2 + Pin гэж үзье. Энэ интервалын хаа нэгтээ x-ийн утга байхын тулд n-ийн ойролцоо утга хэд байх вэ? -2 гэж орлуулснаар бид Pi / 2 - 2Pi = -3Pi / 2 болно, энэ нь бидний интервалд ороогүй нь ойлгомжтой, тиймээс бид -3-аас бага, Pi / 2 - 3Pi = -5Pi / 2-ыг авна. -4 дахин оролдъё, Pi / 2 - 4Pi = -7Pi / 2 бас тохиромжтой.
Pi / 4 + 2Pin ба -Pi / 4 + 2Pin-ийн хувьд ижил төстэй үндэслэлээр бид өөр үндэс -9Pi / 4-ийг олно.
Хоёр аргын харьцуулалт.
Эхний арга (тэгш бус байдлыг ашиглах) нь илүү найдвартай бөгөөд ойлгоход хялбар боловч хэрэв та тригонометрийн тойрог болон хоёр дахь сонголтын аргыг үнэхээр нухацтай авч үзэх юм бол үндсийг сонгох нь илүү хурдан байх болно, та 15 минут хэмнэх боломжтой. шалгалт.
a) Тэгшитгэлийг шийд:.
б) Энэ тэгшитгэлийн сегментэд хамаарах бүх язгуурыг ол.
Асуудлын шийдэл
Энэ хичээл нь тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээг авч үзэх бөгөөд үүнийг математикийн шалгалтанд бэлтгэхдээ C1 төрлийн асуудлыг шийдвэрлэх жишээ болгон ашиглаж болно.
Юуны өмнө функцийн хамрах хүрээг тодорхойлно - аргументийн бүх зөвшөөрөгдсөн утгууд. Дараа нь уусмалын явцад тригонометрийн синусын функцийг багасгах томъёог ашиглан косинус болгон хувиргадаг. Дараа нь тэгшитгэлийн бүх нөхцөлийг зүүн тал руу нь шилжүүлж, нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргаж авдаг. Хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүү болгосон бөгөөд энэ нь тэгшитгэлийн үндсийг тодорхойлох боломжийг танд олгоно. Дараа нь өгөгдсөн сегментэд хамаарах үндсийг эргэлтийн аргаар тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд тогтоосон сегментийн зүүн хилээс баруун тийш баригдсан нэгжийн тойрог дээр гогцоо тэмдэглэгдсэн байна. Цаашилбал, нэгж тойрог дээрх олсон үндсийг түүний төвтэй сегментүүдээр холбож, эдгээр сегментүүд гогцоотой огтлолцох цэгүүдийг тодорхойлно. Эдгээр огтлолцлын цэгүүд нь асуудлын хоёр дахь хэсгийн хүссэн хариулт юм.
