Логарифмын үндсэн шинж чанарууд, логарифмын график, тодорхойлолтын муж, утгын багц, үндсэн томьёо, өсөх, буурах зэргийг өгөв. Логарифмын деривативыг олохыг авч үзнэ. Түүнчлэн интеграл, чадлын цуваа өргөтгөл, комплекс тоо ашиглан дүрслэх.
АгуулгаДомэйн, утгын багц, нэмэгдэж, буурч байна
Логарифм нь монотон функц тул экстремумгүй. Логарифмын үндсэн шинж чанаруудыг хүснэгтэд үзүүлэв.
| Домэйн | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| Утгын хүрээ | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Монотон | монотоноор нэмэгддэг | монотоноор буурдаг |
| Тэг, у = 0 | x = 1 | x = 1 |
| Ординатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд, x = 0 | Үгүй | Үгүй |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
Хувийн үнэт зүйлс
10 суурь хүртэлх логарифмыг нэрлэнэ аравтын логарифмба дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
Суурь руу логарифм ддуудсан байгалийн логарифм:
Логарифмын үндсэн томъёо
Урвуу функцийн тодорхойлолтоос үүссэн логарифмын шинж чанарууд:
Логарифмын үндсэн шинж чанар ба түүний үр дагавар
Суурь солих томъёо
Логарифм гэдэг нь логарифм авах математик үйлдэл юм. Логарифм авахдаа хүчин зүйлийн үржвэрийг нэр томъёоны нийлбэр болгон хувиргадаг.
Потенциац гэдэг нь логарифмын урвуу математик үйлдэл юм. Потенциацийн үед өгөгдсөн суурь нь потенциацийг гүйцэтгэсэн илэрхийлэлийн зэрэг хүртэл нэмэгддэг. Энэ тохиолдолд нэр томъёоны нийлбэр нь хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн болж хувирдаг.
Логарифмын үндсэн томъёоны баталгаа
Логарифмтай холбоотой томьёо нь экспоненциал функцийн томъёо болон урвуу функцийн тодорхойлолтоос гардаг.
Экспоненциал функцийн шинж чанарыг авч үзье
.
Дараа нь
.
Экспоненциал функцийн шинж чанарыг хэрэглэцгээе
:
.
Суурь орлуулах томъёог баталцгаая.
;
.
c = b гэж үзвэл бидэнд:
Урвуу функц
a-г суурь болгох логарифмын урвуу нь экспоненциал функцилтгэгч a.
Хэрэв бол
Хэрэв бол
Логарифмын дериватив
X модулийн логарифмын дериватив:
.
n-р эрэмбийн дериватив:
.
Томьёог гарган авах > > >
Логарифмын деривативыг олохын тулд түүнийг суурь болгон багасгах шаардлагатай д.
;
.
Интеграл
Логарифмын интегралыг дараах хэсгүүдээр интегралчилж тооцно.
Тэгэхээр,
Комплекс тоо ашигласан илэрхийлэл
Комплекс тооны функцийг авч үзье z:
.
илэрхийлье нийлмэл тоо zмодулиар дамжуулан rболон маргаан φ
:
.
Дараа нь логарифмын шинж чанарыг ашиглан бид:
.
Эсвэл
Гэсэн хэдий ч аргумент φ
өвөрмөц байдлаар тодорхойлогдоогүй. Хэрэв та тавьсан бол
, энд n нь бүхэл тоо,
дараа нь энэ нь өөр өөр тоо байх болно n.
Тиймээс логарифм нь нийлмэл хувьсагчийн функцийн хувьд нэг утгатай функц биш юм.
Эрчим хүчний цувралын өргөтгөл
Өргөтгөх үед:
Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.
“Үржүүлэх товчилсон томьёо” - Хоёр олон гишүүнтийг үржүүлэхдээ эхний олон гишүүнт гишүүн бүрийг хоёр дахь олон гишүүнт гишүүн бүрээр үржүүлж үржвэрийг нэмнэ. Үржүүлэх товчилсон томъёо. Олон гишүүнт нэмэх, хасах үед хаалт нээх дүрмийг ашиглана. Мономиалууд нь тоо, хувьсагч ба тэдгээрийн байгалийн хүчний бүтээгдэхүүн юм.
"Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх" - График арга (алгоритм). Тэгшитгэл гэдэг нь нэг буюу хэд хэдэн хувьсагчийг агуулсан тэгшитгэл юм. Тэгшитгэл ба түүний шинж чанарууд. Тодорхойлогчдын арга (алгоритм). Тэгшитгэлийн систем ба түүний шийдэл. Харьцуулах аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх. Шугаман тэгшитгэлхоёр хувьсагчтай. Нэмэх аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх.
"Тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх" - Интервалууд. Математикийн диктант. Шийдвэрлэх системийн жишээг авч үзнэ шугаман тэгш бус байдал. Тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх. Шугаман тэгш бус байдлын системийг шийдэхийн тулд түүнд багтсан тэгш бус байдал бүрийг шийдэж, тэдгээрийн шийдлийн олонлогийн огтлолцлыг олоход хангалттай. Шийдлийн олонлог нь интервал болох тэгш бус байдлыг бич.
"Үлгэр тэгш бус байдал" - Тэгш бус байдлын тэмдэг. Тэгш бус байдлыг шийд. Хамгийн энгийн шийдэл экспоненциал тэгш бус байдал. Экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх. Экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ юуг анхаарах ёстой вэ? Энгийн экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх. Үл мэдэгдэх илтгэгчийг агуулсан тэгш бус байдлыг экспоненциал тэгш бус байдал гэнэ.
"Тооны хамаарал" - Пропорц гэж юу вэ? a: m = n: b пропорциональ m ба n тоонуудыг юу гэж нэрлэдэг вэ? Хоёр тооны харьцааг хоёр тооны харьцаа гэнэ. Маркетинг Лан. Зөв харьцаатай бол туйлын нөхцлийн үржвэр нь дунд гишүүний үржвэртэй тэнцүү ба эсрэгээр байна. Хандлага гэж юу вэ? Пропорц. Харьцааг хувиар илэрхийлж болно.
"Квадрат тэгшитгэлийн ялгаварлагч" - Виетийн теорем. Квадрат тэгшитгэл. Ялгаварлан гадуурхагч. Ямар тэгшитгэлийг бүрэн бус квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг вэ? Дискриминант бол тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ? тэгтэй тэнцүү? Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Дискриминант нь сөрөг тоо бол тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?
Энэ сэдвээр нийт 14 илтгэл тавигдсан
Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифмууд нь яг энгийн тоо биш тул энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.
Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - тэдгээргүйгээр логарифмын ноцтой асуудлыг шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.
Логарифм нэмэх, хасах
Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: log а xболон бүртгэл а y. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:
- бүртгэл а x+ бүртгэл а y=лог а (x · y);
- бүртгэл а x- бүртгэл а y=лог а (x : y).
Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй болно!
Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:
Бүртгэл 6 4 + бүртгэл 6 9.
Логарифмууд ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 2 48 − log 2 3.
Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 3 135 − log 3 5.
Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Олон хүмүүс энэ баримт дээр суурилдаг тестийн цаас. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөгдөөгүй) санал болгодог.
Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна
Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.
Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооны хэмжээг эрс багасгах болно.
Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно. а > 0, а ≠ 1, x> 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур, i.e. Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 7 49 6 .
Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
бүртгэл 7 49 6 = 6 бүртгэл 7 49 = 6 2 = 12
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
[Зургийн тайлбар]
Хуваагч нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг тэнцүү зэрэгтэй: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Бидэнд байгаа:
[Зургийн тайлбар] Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүчнүүдийн хэлбэрээр гаргаж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.
Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 учраас бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний хариу нь: 2.
Шинэ суурь руу шилжих
Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?
Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.
Логарифмын бүртгэлийг өгье а x. Дараа нь дурын тооны хувьд втиймэрхүү в> 0 ба в≠ 1, тэгш байдал нь үнэн:
[Зургийн тайлбар]
Ялангуяа, хэрэв бид тавьсан бол в = x, бид авах:
[Зургийн тайлбар]
Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.
Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Шийдвэрлэх замаар тэд хэр тохиромжтой вэ гэдгийг үнэлэх боломжтой логарифм тэгшитгэлба тэгш бус байдал.
Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 5 16 log 2 25.
Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг гэдгийг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:
[Зургийн тайлбар]Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log 9 100 lg 3.
Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.
[Зургийн тайлбар]Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.
[Зургийн тайлбар]Үндсэн логарифмын таних тэмдэг
Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёонууд бидэнд туслах болно.
Эхний тохиолдолд тоо nмаргаанд хэр зэрэг байр суурьтай байгаагийн үзүүлэлт болдог. Тоо nюу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.
Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: үндсэн логарифмын таних тэмдэг.
Уг нь тоо гарвал яах бол бтоог ийм хүч хүртэл нэмэгдүүлэх бэнэ хүчинд тоог өгдөг а? Энэ нь зөв: та ижил дугаарыг авах болно а. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн гацах болно.
Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
[Зургийн тайлбар]
log 25 64 = log 5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.
[Зургийн тайлбар]Мэдэхгүй хүн байвал Улсын нэгдсэн шалгалтаас авсан жинхэнэ даалгавар байсан шүү :)
Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг
Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.
- бүртгэл а а= 1 нь логарифмын нэгж юм. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: дурын суурь руу логарифм аэнэ суурь нь нэгтэй тэнцүү байна.
- бүртгэл а 1 = 0 нь логарифмын тэг юм. Суурь аюу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь а 0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.
Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.
Логарифмын зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ (APV).
Одоо хязгаарлалтын талаар ярилцъя (ODZ - хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ).
Жишээлбэл, бид үүнийг санаж байна. Квадрат язгуурсөрөг тооноос гаргаж авах боломжгүй; эсвэл бид бутархайтай бол хуваагч нь тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. Логарифмууд ижил төстэй хязгаарлалттай байдаг:
Өөрөөр хэлбэл, аргумент болон суурь хоёулаа тэгээс их байх ёстой, гэхдээ суурь нь тэнцүү байж чадахгүй.
Яагаад тэр вэ?
Энгийн зүйлээс эхэлье: үүнийг хэлье. Дараа нь, жишээ нь, тоо байхгүй, учир нь бид ямар ч хүчийг өсгөсөн бай үргэлж гарч ирдэг. Түүнээс гадна энэ нь хэнд ч байхгүй. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн ямар ч зүйлтэй тэнцүү байж болно (ижил шалтгаанаар - ямар ч зэрэгтэй тэнцүү). Тиймээс объект нь ямар ч сонирхолгүй бөгөөд энэ нь зүгээр л математикаас хаягдсан юм.
Бидэнд ийм асуудал тулгардаг: энэ нь ямар ч эерэг хүчинд байдаг, гэхдээ үүнийг сөрөг хүчин болгон нэмэгдүүлэх боломжгүй, учир нь тэгээр хуваагдах болно (үүнийг танд сануулъя).
Бид бутархай хүчийг өсгөх асуудалтай тулгарсан үед (энэ нь язгуураар илэрхийлэгддэг: . Жишээ нь, (энэ нь), гэхдээ энэ нь байхгүй.
Тиймээс сөрөг шалтгааныг хаях нь тэдэнтэй харьцахаас илүү хялбар байдаг.
Манай а суурь зөвхөн эерэг байж болох тул бид үүнийг ямар ч хүчинд өсгөхөөс үл хамааран бид үргэлж эерэг тоо авах болно. Тиймээс аргумент эерэг байх ёстой. Жишээлбэл, энэ нь байхгүй, учир нь энэ нь ямар ч хэмжээгээр сөрөг тоо биш (эсвэл бүр тэг, тиймээс энэ нь бас байхгүй).
Логарифмын асуудалд хамгийн түрүүнд хийх зүйл бол ODZ-г бичих явдал юм. Би танд жишээ хэлье:
Тэгшитгэлээ шийдье.
Тодорхойлолтыг санацгаая: логарифм нь аргументыг олж авахын тулд суурийг өсгөх ёстой хүч юм. Мөн нөхцөлийн дагуу энэ зэрэг нь: .
Бид ердийнхөө авдаг квадрат тэгшитгэл: . Үүнийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдье: язгууруудын нийлбэр тэнцүү ба үржвэр. Авахад хялбар, эдгээр нь тоонууд ба.
Харин хариуд нь энэ хоёр тоог шууд аваад бичвэл бодлогод 0 оноо авах боломжтой. Яагаад? Хэрэв бид эдгээр язгуурыг анхны тэгшитгэлд орлуулбал юу болох талаар бодож үзье.
Суурь нь сөрөг байж болохгүй, өөрөөр хэлбэл үндэс нь "гуравдагч этгээд" учраас энэ нь илт буруу юм.
Ийм таагүй бэрхшээлээс зайлсхийхийн тулд тэгшитгэлийг шийдэж эхлэхээсээ өмнө ODZ-ийг бичих хэрэгтэй.
Дараа нь үндсийг нь хүлээн авсны дараа бид тэр даруй үндсийг нь хаяж, зөв хариултыг бичнэ.
Жишээ 1(өөрөө шийдэхийг хичээ) :
Тэгшитгэлийн язгуурыг ол. Хэрэв хэд хэдэн үндэс байгаа бол тэдгээрийн хамгийн жижигийг нь хариултдаа зааж өгнө үү.
Шийдэл:
Юуны өмнө ODZ-г бичье:
Одоо логарифм гэж юу болохыг санацгаая: аргументыг олж авахын тулд суурийг ямар хүчээр өсгөх хэрэгтэй вэ? Хоёр дахь руу. Тэр бол:
Жижиг үндэс нь тэнцүү юм шиг санагдаж байна. Гэхдээ энэ нь тийм биш юм: ODZ-ийн дагуу үндэс нь гаднах, өөрөөр хэлбэл энэ тэгшитгэлийн үндэс нь огт биш юм. Тиймээс тэгшитгэл нь зөвхөн нэг үндэстэй байна: .
Хариулт: .
Үндсэн логарифмын таних тэмдэг
Логарифмын тодорхойлолтыг ерөнхий хэлбэрээр эргэн санацгаая.
Логарифмыг хоёр дахь тэгшитгэлд орлъё:
Энэ тэгш байдлыг гэж нэрлэдэг үндсэн логарифмын ижилсэл. Хэдийгээр энэ нь үндсэндээ тэгш байдал юм - зүгээр л өөрөөр бичсэн логарифмын тодорхойлолт:
Энэ бол таны авахын тулд өсгөх ёстой хүч юм.
Жишээлбэл:
Дараах жишээнүүдийг шийднэ үү.
Жишээ 2.
Илэрхийллийн утгыг ол.
Шийдэл:
Хэсэг дэх дүрмийг санацгаая: өөрөөр хэлбэл хүчийг хүчирхэг болгон өсгөхөд илтгэгчийг үржүүлнэ. Үүнийг хэрэгжүүлье:
Жишээ 3.
Үүнийг нотол.
Шийдэл:
Логарифмын шинж чанарууд
Харамсалтай нь даалгаврууд нь үргэлж тийм ч энгийн байдаггүй - ихэнхдээ та эхлээд илэрхийлэлийг хялбарчилж, ердийн хэлбэрт оруулах хэрэгтэй бөгөөд зөвхөн дараа нь утгыг тооцоолох боломжтой болно. Хэрэв та мэддэг бол үүнийг хийх нь хамгийн хялбар юм логарифмын шинж чанарууд. Тиймээс логарифмын үндсэн шинж чанаруудыг сурцгаая. Би тэдгээрийг тус бүрээр нь батлах болно, учир нь хэрэв та хаанаас ирснийг мэдэж байвал аливаа дүрмийг санах нь илүү хялбар байдаг.
Эдгээр бүх шинж чанаруудыг санаж байх ёстой бөгөөд тэдгээргүйгээр логарифмын ихэнх асуудлыг шийдэх боломжгүй юм.
Одоо логарифмын бүх шинж чанаруудын талаар илүү дэлгэрэнгүй.
Өмч 1:
Нотолгоо:
Тэгээд байг.
Бидэнд:, гэх мэт.
2-р шинж чанар: Логарифмын нийлбэр
Ижил суурьтай логарифмын нийлбэр нь бүтээгдэхүүний логарифмтай тэнцүү байна. .
Нотолгоо:
Тэгээд байг. Тэгээд байг.
Жишээ:Илэрхийллийн утгыг ол: .
Шийдэл: .
Таны дөнгөж сурсан томьёо нь ялгааг бус логарифмын нийлбэрийг хялбарчлахад тусалдаг тул эдгээр логарифмуудыг шууд нэгтгэх боломжгүй юм. Гэхдээ та эсрэгээр нь хийж болно - эхний логарифмыг хоёр болгон "хуваах": Энд амласан хялбарчлал байна:
.
Энэ яагаад хэрэгтэй вэ? За, жишээ нь: энэ нь юутай тэнцэх вэ?
Одоо энэ нь тодорхой боллоо.
Одоо Үүнийг өөрөө хялбарчлах:
Даалгаварууд:
Хариултууд:
3-р шинж чанар: Логарифмын ялгаа:
Нотолгоо:
Бүх зүйл 2-р зүйлтэй яг ижил байна:
Тэгээд байг.
Тэгээд байг. Бидэнд байгаа:
Өмнөх догол мөрний жишээ одоо бүр хялбар болсон:
Илүү төвөгтэй жишээ: . Та өөрөө яаж шийдэхээ бодож чадах уу?
Энд бид логарифмын квадратын талаархи ганц томьёо байхгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ бол илэрхийлэлтэй төстэй зүйл бөгөөд үүнийг шууд хялбарчлах боломжгүй юм.
Тиймээс логарифмын тухай томьёосоо түр завсарлаж, математикт ямар томьёог ихэвчлэн ашигладаг талаар бодож үзье? 7-р ангиасаа хойш!
Энэ -. Тэд хаа сайгүй байдаг гэдэгт та дасах хэрэгтэй! Эдгээр нь экспоненциал, тригонометрийн болон иррациональ бодлогод тохиолддог. Тиймээс тэдгээрийг санаж байх ёстой.
Хэрэв та эхний хоёр нэр томъёог сайтар ажиглавал энэ нь тодорхой болно квадратуудын ялгаа:
Шалгах хариулт:
Үүнийг өөрөө хялбарчлаарай.
Жишээ
Хариултууд.
4-р шинж чанар: Логарифмын аргументаас илтгэгчийг авах:
Нотолгоо:Энд бид логарифмын тодорхойлолтыг ашигладаг: let, тэгвэл. Бидэнд:, гэх мэт.
Энэ дүрмийг дараах байдлаар ойлгож болно.
Өөрөөр хэлбэл аргументийн зэрэг нь логарифмын өмнө коэффициент болгон шилждэг.
Жишээ:Илэрхийллийн утгыг ол.
Шийдэл: .
Өөрийнхөө төлөө шийд:
Жишээ нь:
Хариултууд:
5-р шинж чанар: Логарифмын суурийн илтгэгчийг авах:
Нотолгоо:Тэгээд байг.
Бидэнд:, гэх мэт.
Санаж байна уу: -аас үндэслэлзэрэг нь дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ эсрэгээрээөмнөх тохиолдлоос ялгаатай нь тоо!
6-р шинж чанар: Логарифмын суурь ба аргументаас илтгэгчийг хасах:
Эсвэл зэрэг нь ижил байвал: .
Өмч 7: Шинэ суурь руу шилжих:
Нотолгоо:Тэгээд байг.
Бидэнд:, гэх мэт.
8-р шинж чанар: Логарифмын суурь ба аргументыг соль.
Нотолгоо:Энэ бол 7-р томъёоны онцгой тохиолдол юм: хэрэв бид орлуулбал: гэх мэтийг авна.
Өөр хэдэн жишээг харцгаая.
Жишээ 4.
Илэрхийллийн утгыг ол.
Бид 2-р логарифмын өмчийг ашигладаг - ижил суурьтай логарифмын нийлбэр нь бүтээгдэхүүний логарифмтай тэнцүү байна.
Жишээ 5.
Илэрхийллийн утгыг ол.
Шийдэл:
Бид 3 ба 4-р логарифмын шинж чанарыг ашигладаг.
Жишээ 6.
Илэрхийллийн утгыг ол.
Шийдэл:
7-р өмчийг ашиглацгаая - 2-р суурь руу шилжинэ:
Жишээ 7.
Илэрхийллийн утгыг ол.
Шийдэл:
Нийтлэл танд хэр таалагдаж байна вэ?
Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол нийтлэлийг бүхэлд нь уншсан гэсэн үг.
Энэ бол дажгүй!
Одоо энэ нийтлэл танд хэр таалагдаж байгааг хэлээч?
Та логарифмыг хэрхэн шийдэж сурсан уу? Хэрэв тийм биш бол ямар асуудал байна вэ?
Доорх сэтгэгдэл дээр бидэнд бичээрэй.
Тийм ээ, шалгалтанд тань амжилт хүсье.
Улсын нэгдсэн шалгалт, улсын нэгдсэн шалгалт, ерөнхийдөө амьдрал дээр
(Грек хэлнээс λόγος - "үг", "харилцаа" ба ἀριθμός - "тоо") тоонууд бдээр суурилсан а(лог α б) ийм тоо гэж нэрлэдэг в, Мөн б= а в, өөрөөр хэлбэл α-г бүртгэнэ б=вТэгээд b=aвтэнцүү байна. Хэрэв a > 0, a ≠ 1, b > 0 байвал логарифм утга учиртай болно.
Өөрөөр хэлбэл логарифмтоо бдээр суурилсан Атоог өсгөх ёстой илтгэгч болгон томъёолсон адугаарыг авахын тулд б(логарифм нь зөвхөн эерэг тоонуудад байдаг).
Энэ томьёоллоос харахад x= log α гэсэн тооцоо гарч байна б, a x =b тэгшитгэлийг шийдвэрлэхтэй тэнцүү байна.
Жишээлбэл:
log 2 8 = 3 учир 8 = 2 3 .
Логарифмын заасан томъёолол нь нэн даруй тодорхойлох боломжтой гэдгийг онцлон тэмдэглэе логарифмын утга, логарифмын тэмдгийн доорх тоо нь суурийн тодорхой чадлын үүргийг гүйцэтгэх үед. Үнэн хэрэгтээ логарифмын томъёолол нь хэрэв гэдгийг зөвтгөх боломжтой болгодог b=a c, дараа нь тооны логарифм бдээр суурилсан атэнцүү байна -тай. Мөн логарифмын сэдэв нь тухайн сэдэвтэй нягт холбоотой болох нь ойлгомжтой тооны хүч.
Логарифмыг тооцоолох гэж нэрлэдэг логарифм. Логарифм гэдэг нь логарифм авах математик үйлдэл юм. Логарифм авахдаа хүчин зүйлийн үржвэрийг нэр томъёоны нийлбэр болгон хувиргадаг.
Потенциацинь логарифмын урвуу математик үйлдэл юм. Потенциацийн үед өгөгдсөн суурь нь потенциацийг гүйцэтгэсэн илэрхийлэлийн зэрэг хүртэл нэмэгддэг. Энэ тохиолдолд нэр томъёоны нийлбэр нь хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн болж хувирдаг.
2 (хоёртын) суурьтай бодит логарифмуудыг ихэвчлэн ашигладаг, e Эйлерийн тоо e ≈ 2.718 ( байгалийн логарифм) ба 10 (аравтын тоо).
Асаалттай энэ үе шатандавч үзэх нь зүйтэй юм логарифмын дээжбүртгэл 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
Мөн lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 гэсэн оруулгууд нь утгагүй, учир нь эхнийх нь логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо, хоёрдугаарт - сөрөг тоосууринд, гуравдугаарт - логарифмын тэмдгийн дор сөрөг тоо, суурь дахь нэгж хоёулаа.
Логарифмыг тодорхойлох нөхцөл.
Бид олж авах a > 0, a ≠ 1, b > 0 нөхцөлүүдийг тусад нь авч үзэх нь зүйтэй. логарифмын тодорхойлолт.Эдгээр хязгаарлалтыг яагаад авсан бэ гэдгийг авч үзье. Үүнд x = log α хэлбэрийн тэгш байдал бидэнд тусална б, дээр өгөгдсөн логарифмын тодорхойлолтоос шууд гардаг үндсэн логарифмын ижилсэл гэж нэрлэдэг.
Нөхцөлийг авч үзье a≠1. Аль ч зэрэгт нэг нь нэгтэй тэнцүү тул x=log α тэнцүү байна бүед л оршин тогтнох боломжтой b=1, гэхдээ log 1 1 нь ямар ч бодит тоо байх болно. Энэ хоёрдмол байдлыг арилгахын тулд бид авдаг a≠1.
Нөхцөл байдлын зайлшгүй шаардлагатайг баталцгаая a>0. At a=0логарифмын томъёоллын дагуу зөвхөн үед л оршин байж болно b=0. Тэгээд үүний дагуу бүртгэл 0 0тэгээс тэгээс өөр ямар ч хүчин чадал нь тэг учраас тэгээс өөр ямар ч бодит тоо байж болно. Энэ хоёрдмол байдлыг нөхцөлөөр арилгаж болно a≠0. Тэгээд хэзээ а<0 Рационал ба иррациональ илтгэгчтэй зэрэг нь зөвхөн сөрөг бус суурийн хувьд тодорхойлогддог тул бид логарифмын рационал ба иррационал утгын шинжилгээг үгүйсгэх хэрэгтэй болно. Энэ шалтгааны улмаас нөхцөлийг тогтоожээ a>0.
Мөн сүүлчийн нөхцөл b>0тэгш бус байдлаас үүдэлтэй a>0, учир нь x=log α б, эерэг суурьтай зэрэглэлийн утга аүргэлж эерэг байдаг.
Логарифмын онцлог.
Логарифмонцлогтойгоор тодорхойлогддог онцлог, энэ нь шаргуу тооцооллыг ихээхэн хөнгөвчлөхийн тулд тэдгээрийг өргөнөөр ашиглахад хүргэсэн. "Логарифмын ертөнцөд" шилжих үед үржүүлэх нь илүү хялбар нэмэх, хуваах нь хасах, экспонентаци болон үндсийг задлах нь тус бүр нь экспонентээр үржүүлэх, хуваах болгон хувиргадаг.
Логарифмын томъёолол ба тэдгээрийн утгын хүснэгтийг (тригонометрийн функцүүдийн хувьд) анх 1614 онд Шотландын математикч Жон Непьер хэвлүүлсэн. Бусад эрдэмтдийн томруулж, нарийвчилсан логарифмын хүснэгтүүд нь шинжлэх ухаан, инженерийн тооцоололд өргөн хэрэглэгддэг байсан бөгөөд электрон тооны машин, компьютер ашиглах хүртэл хамааралтай хэвээр байв.
