"Геометрийн олон талт" - Эхнийх нь дээд эрэмбийн тооноос доод эрэмбийн тоо руу хөтөлсөн. Олон өнцөгтийн гадаргуу нь хязгаарлагдмал тооны олон өнцөгт (нүүр) -ээс бүрдэнэ. Тэгш өнцөгт параллелепипед бүх нүүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байдаг. “Зарчмууд”-ын XI дэвтэрт дараах агуулгын теоремуудыг толилуулж байна. Тэнцүү өндөр, ижил суурьтай параллелепипед нь ижил хэмжээтэй байна.

"Олон талт бүтэц" - Додекаэдр нь 12 нүүр, 20 орой, 30 ирмэгтэй. Платон Афин хотод төрсөн. Ердийн олон талт таван төрөл байдаг. Додекаэдр байгуулах нь кубыг тойруулан дүрсэлсэн. Куб ашиглан барилгын ажил. Ердийн олон талтуудын тэгш хэмийн элементүүд. Шоо хэлбэрээр бичээстэй икосаэдрон бүтээх. Ердийн тетраэдр барих.

"Эргэлтийн биеүүд" - Эргэлтийн биеүүд. Аль олон өнцөгт, аль тэнхлэгийг эргүүлснээр энэ геометрийн биеийг олж авах боломжтой вэ? Суурийн талууд нь 6 см, 8 см, өндөр нь 4 см хэмжээтэй ижил өнцөгт трапецийг жижиг суурийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан геометрийн биеийн эзэлхүүнийг тооцоолно уу? Энэ гурвалжинг заасан тэнхлэгийн дагуу эргүүлснээр ямар геометрийн биетэй болох вэ?

"Хагас тогтмол олон талт" - тетраэдр. Дөрөвдүгээр бүлэг Архимед хатуу биетүүд: Та буруу хариулт өгсөн байна. Таслагдсан октаэдрон. Таслагдсан тетраэдр. Зөв. Санаж үзье. Заавар. Архимедийн хатуу биетүүдийн тав дахь бүлэг нь ромбикосидодекаэдр гэсэн нэг олон өнцөгтөөс бүрдэнэ. Хяналтын товчлуурууд. Хагас зөв. Шоо шоо. Олон талт. Псевдо-ромбокубуоктаэдр.

"Ердийн олон талт" - Бид "автоморфизм" ба "тэгш хэм" гэсэн ойлголтуудын хооронд тодорхой ялгааг гаргадаг. Далд тэгш хэмтэй тэмцэх нь Коксетерийн парадигмыг хэрэгжүүлэх арга зам юм. Харолд Скотт Макдоналд (“Дональд”) Коксетер (1907-2003). Жижиг одтой додекаэдр. Бүх автоморфизмууд нь геометрийн BTG загварын далд тэгш хэм болж хувирдаг.

"Ердийн олон талт" - Шоо бүрийн орой нь гурван квадратын орой юм. Додекаэдрын орой тус бүрийн хавтгай өнцгүүдийн нийлбэр нь 324?. 9 Икосаэдрийн орой бүр нь таван гурвалжны орой юм. Дэлхийн икозаэдр-додекаэдр бүтэц. Шоо бүрийн орой дээрх хавтгай өнцгүүдийн нийлбэр нь 270?. Тогтмол олон талт ба байгаль.

Хэсэгүүд: Технологи

Хичээлийн зорилго:

• геометрийн биетүүдийн талаархи мэдлэгийг нэгтгэх, олон өнцөгтийн зургийг бүтээх ур чадвар;
• орон зайн үзэл баримтлал, орон зайн сэтгэлгээг хөгжүүлэх;
• график соёлыг төлөвшүүлэх.

Хичээлийн төрөл:нэгтгэсэн.

Хичээлийн тоног төхөөрөмж:интерактив самбар MIMIO, мультимедиа проектор, компьютер, интерактив самбарт зориулсан mimo төсөл, мультимедиа танилцуулга, Compass-3D LT програм.

ХИЧЭЭЛИЙН ҮЕД

I. Зохион байгуулалтын мөч

1. Мэндлэх;

2. Сурагчдын ирцийг шалгах;

3. Хичээлийн бэлэн байдлыг шалгах;

4. Ангийн дэвтэр бөглөх (болон цахим)

II. Өмнө нь сурсан материалыг давтах

Мимо төсөл интерактив самбар дээр нээлттэй байна

1-р хуудас.Математикийн хичээл дээр та геометрийн биетүүдийг судалсан. Та дэлгэцэн дээр хэд хэдэн цогцсыг харж байна. Тэдний нэрийг санацгаая. Оюутнууд геометрийн биетүүдэд нэр өгдөг, хэрэв хүндрэл гарвал би тусалдаг. (Зураг 1).

1 - дөрвөлжин призм
2 - таслагдсан конус
3 - гурвалжин призм
4 - цилиндр
5 - зургаан өнцөгт призм
6 - конус
7 - шоо
8 - таслагдсан зургаан өнцөгт пирамид

4-р хуудас. Даалгавар 2. Өгөгдсөн геометрийн бие ба геометрийн биеийн нэр. Бид сурагчийг самбар дээр дуудаж, түүнтэй хамт олон талт болон хувьсгалын биетүүдийг нэрээр нь чирч, дараа нь геометрийн биетүүдийн нэрийг чирнэ (Зураг 2).

Бүх биеийг олон талт болон хувьсгалын биетүүдэд хуваадаг гэж бид дүгнэж байна.

Бид "Геометр биетүүд" танилцуулгыг асаадаг ( Өргөдөл ). Танилцуулга нь 17 слайдтай. Та танилцуулгыг хэд хэдэн хичээлд ашиглаж болно, энэ нь нэмэлт материал агуулсан (слайд 14-17). 8-р слайдаас Presentation 2-ын холбоос (шоо боловсруулах) байна. Танилцуулга 2 нь 1 слайдыг агуулсан бөгөөд 11 шоо хөгжлийг харуулсан (тэдгээр нь видео бичлэгийн холбоосууд). Хичээл нь MIMIO интерактив самбарыг ашигладаг бөгөөд оюутнууд компьютер дээр ажилладаг (практик ажил хийдэг).

Слайд 2.Бүх геометрийн биетүүд нь олон талт ба эргэлтийн биетүүдэд хуваагддаг. Олон өнцөгт: призм ба пирамид. Хувьсгалын биетүүд: цилиндр, конус, бөмбөг, торус. Сурагчид диаграммыг ажлын дэвтэртээ зурна.

III. Шинэ материалын тайлбар

Слайд 3.Пирамидыг авч үзье. Пирамидын тодорхойлолтыг бичье. Пирамидын дээд хэсэг нь бүх нүүрний нийтлэг дээд хэсэг бөгөөд S үсгээр тэмдэглэгдсэн байна. Пирамидын өндөр нь пирамидын оройноос унасан перпендикуляр юм (Зураг 3).

Слайд 4.Зөв пирамид. Хэрэв пирамидын суурь нь ердийн олон өнцөгт бөгөөд өндөр нь суурийн төв рүү унасан бол пирамид нь тогтмол байна.
Ердийн пирамидын хувьд бүх хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү, хажуугийн бүх нүүр нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
Ердийн пирамидын хажуугийн гурвалжны өндрийг - гэж нэрлэдэг. ердийн пирамидын апотем.

Слайд 5.Үндсэн элементүүдийн тэмдэглэгээ бүхий ердийн зургаан өнцөгт пирамид барих анимейшн (Зураг 4).

Слайд 6. Бид призмийн тодорхойлолтыг дэвтэрт бичдэг. Призм нь хоёр суурьтай (тэнцүү, зэрэгцээ олон өнцөгт) олон өнцөгт бөгөөд хажуугийн нүүр нь параллелограмм юм. Призм нь дөрвөлжин, таван өнцөгт, зургаан өнцөгт гэх мэт байж болно. Призмийг түүний суурь дээр байгаа дүрс гэж нэрлэдэг. Үндсэн элементүүдийн тэмдэглэгээ бүхий ердийн зургаан өнцөгт призмийг бүтээх хөдөлгөөнт дүрс (Зураг 5).

Слайд 7.Энгийн призм нь суурин дээрээ ердийн олон өнцөгт хэлбэртэй шулуун призм юм. Параллелепипед нь ердийн дөрвөлжин призм юм (Зураг 6).

Слайд 8.Шоо нь параллелепипед бөгөөд бүх нүүр нь дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг (Зураг 7).

(Нэмэлт материал: слайд дээр куб хөгжүүлэлт, нийт 11 өөр боловсруулалт бүхий танилцуулгын холбоос байна).
Слайд 9.Цилиндрийн тодорхойлолтыг бичье.Тэгш өнцөгтийг түүний аль нэг талыг дайран өнгөрөх тэнхлэгийг тойрон эргүүлснээр үүссэн цилиндрийг эргэлтийн бие гэнэ. Цилиндр хүлээн авах хөдөлгөөнт дүрс (Зураг 8).

Слайд 10.Конус нь тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хөлийг нь дайран өнгөрөх тэнхлэгийг тойрон эргэх замаар үүссэн эргэлтийн бие юм (Зураг 9).

Слайд 11.Таслагдсан конус нь тэгш өнцөгт трапецийг өндрөөр нь дайран өнгөрч буй тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн эргэлтийн бие юм (Зураг 10).

Слайд 12.Бөмбөлөг нь түүний диаметрийг дайран өнгөрч буй тэнхлэгийг тойрон эргэх замаар үүссэн эргэлтийн бие юм (Зураг 11).

Слайд 13.Торус гэдэг нь тойргийн диаметртэй параллель тэнхлэгийг тойрон эргэхэд үүссэн эргэлтийн бие юм (Зураг 12).

Сурагчид геометрийн хатуу биетүүдийн тодорхойлолтыг дэвтэртээ бичдэг.

IV. "Ердийн призмийн зургийг бүтээх" практик ажил

Мимио төсөл рүү шилжиж байна

Хуудас 7. Гурвалжин ердийн призмийг өгөв. Суурь нь ердийн гурвалжин юм. Призмийн өндөр = 70 мм, суурийн тал = 40 мм. Бид призмийг шалгаж (үндсэн үзэгдэх чиглэлийг сумаар харуулсан), урд, дээд, зүүн талд харагдах хавтгай дүрсүүдийг тодорхойлно. Бид үзэмжийн зургуудыг гаргаж аваад зургийн талбар дээр байрлуулна (Зураг 13).

Оюутнууд Луужин - 3D программд ердийн зургаан өнцөгт призмийн зургийг бие даан зурдаг. Призмийн хэмжээсүүд: өндөр - 60 мм, суурийн эргэн тойрон дахь тойргийн диаметр - 50 мм.
Дээд талаас нь зураг зурах (Зураг 14).

Дараа нь урд талын үзэмжийг бүтээдэг (Зураг 15).

Дараа нь зүүн талын үзэмжийг барьж, хэмжээсийг хэрэглэнэ (Зураг 16).

Ажлыг оюутнууд компьютер дээр шалгаж, хадгалдаг.

V. Сэдвийн талаархи нэмэлт материал

Слайд 14. Тогтмол таслагдсан пирамид (Зураг 17).

Слайд 15.Налуу хавтгайгаар таслагдсан пирамид (Зураг 18).

Слайд 16.Тогтмол гурвалжин пирамидын хөгжил (Зураг 19).

Слайд 17.Параллелепипедийн хөгжил (Зураг 20).

БҮТЭЭЛЧ ХИЧЭЭЛИЙН скрипт зохиох ЗАГВАР

Ерөнхий шаардлага:

Боловсролын байгууллагын бүтэн нэр:Томск муж, Северск хотын "90-р дунд сургууль" хотын төсвийн боловсролын байгууллага

Сэдэв: геометр

Сэдэв: Олон өнцөгт ба эргэлтийн биетүүд.

Анги: 11

Хичээлийн цаг: 2 хичээл (90 мин.)

Хичээлийн зорилго: судалсан материалыг давтах.

Хичээлийн зорилго:

Боловсролын:материалын шингээлтийн түвшинг хянах.

Боловсролын: бизнесийн үр бүтээлтэй харилцах, бүлгийн шийдвэр гаргах чадварыг хөгжүүлэх.

Боловсролын: хариуцлага, нэгдэл, түншийн санаа бодлыг хүндэтгэх.

Хичээлийн төрөл: ерөнхий хичээл

Хичээлийн хэлбэр:

• Хичээл - дуудлага худалдаа;

Тоног төхөөрөмж: зөөврийн самбар, асуултын карт, тоглоомын мөнгө.

Хичээлийн төлөвлөгөө:

Хичээлийн үеэр:

Хичээл дуудлага худалдаа нь энэ том сэдвээр оюутнуудын мэдлэг, ур чадварыг шалгах нэг хэлбэр юм.

Тоглоомын дүрэм.

Анги нь гурван багт хуваагдаж, шүүгчид сонгогддог. Дуудлага худалдаа эхлэхээс өмнө бүх багууд "банк" -аас (банкны үүргийг тангарагтны гишүүдийн аль нэг нь эсвэл багш гүйцэтгэдэг) анхны капиталыг жилийн 30% -ийн хүүтэй богино хугацааны зээл хэлбэрээр авдаг. 1000 мөнгө (эсвэл бусад мөнгөн тэмдэгт)Хавсралт No1.

Энэ нь тоглоомын төгсгөлд зээл авсан хүн бүр банкинд 1300д буцааж өгөх ёстой гэсэн үг юм. (1000д. – зээл өөрөө ба 300д. зээлийн үнийн дүнгийн 30 хувийг бүрдүүлнэ);

Багийн ахлагч "Зээл олгох" дэвтэрт гарын үсэг зурснаар мөнгөн тэмдэгтийн хамт дуудлага худалдаанд оролцогчийн дугаар, багийн хувийн дансыг хүлээн авна.Хавсралт No2 . Зөвхөн дугаартай байж л баг тодорхой багцыг авах хүсэлт гаргаж болно (зөв хариулт нь дуудлага худалдаагаар тухайн багт тодорхой орлого авчирдаг асуулт).

Тоглоом нь хоёр ба түүнээс дээш тойргоос бүрдэнэ.

Дараагийн шатны шалгаруулалтын өмнө дуудлага худалдаа зохион байгуулагч (дуудлага худалдааг удирдаж буй багш) санал болгож буй багцын шинж чанар, дуудлага худалдаа явуулах журмыг зарлана.

Анхны аялал" Тодорхой асуулт".

Аялал нь дараах дүрмийн дагуу явагдана.

• "Polyhedra, эргэлтийн бие" сэдвээр тодорхой асуулт асуусан;
• хариу өгөх эрхийг ямар ч дугаартай баг нээлттэй тендерээр бага хэмжээний төлбөр төлж худалдан авах боломжтой;
• Багц тус бүрийн анхны эхлэх үнэ (хариу өгөх эрх) нь 100d., арилжааны (дуудлага худалдаа) алхам нь 50d., өөрөөр хэлбэл, арилжааг 50d-ийн үржвэрээр хийдэг. Жишээлбэл, багуудын нэг нь дуудлага худалдаа зохион байгуулагчийн санал болгосон тодорхой асуудлын үнийг нэрлэв - 150d. Хэрэв өөр баг мөн энэ багцыг худалдаж авахыг хүсч байвал (хариу өгөх эрх) үнийг нь нэрлэнэ - 200d. (250д. 300д. гэх мэт), өөрөөр хэлбэл үнэ 50д-ээр нэмэгдэх бүрт. (эсвэл нэн даруй 100d., эсвэл 200d. гэх мэт);
• Үнийг нэрлэхдээ багийн ахлагч дуудлага худалдаа эхлэхээс өмнө хүлээн авсан дугаараа өсгөж, дуудлага худалдаачинд үзүүлэх ёстой;
• дараагийн багцыг худалдаж авсан баг энэ үзэсгэлэнгийн багцыг худалдаж авсан дүнг банкинд төлдөг;
• худалдан авсан асуултын зөв хариултын хувьд баг асуултын нарийн төвөгтэй байдлаас хамааран 500-аас 1500 рубль хүртэл мөнгөн шагнал авдаг;
• Хэрэв багийн гишүүд асуултанд буруу хариулсан бол банкинд 200 рублийн торгууль төлж, дуудлага худалдаанаас хасагдаж, эхний шатны төгсгөлд дахин худалдах боломжтой.

Дуудлага худалдаа эрхлэгч оролцогчдын асуултад хариулж, тендерийг нээнэ.

1.1 Шулуун цилиндрийн суурийн хавтгай ба цилиндрийн үүсгэгчийг дайран өнгөрөх хавтгай хоорондын өнцөг ямар байх вэ? Эхлэх үнэ 100д. Шагнал 500d. Хамгийн өндөр үнийг хэн өгдөг вэ?

1.2 Конус ба суурийн хавтгайн хоорондох өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байна уу? Эхлэх үнэ 100д. Шагнал 500d.

[Тэгш, учир нь тэнхлэгийн хэсэг

конус тэгш өнцөгт гурвалжин]

1.3 Сансрын нисгэгч сансар огторгуйн хачирхалтай биет илрүүлсэн тухайгаа баазад мэдээлэв. Энэ нь геометрийн хувьд ердийн хатуу биет бөгөөд аль нүүрээ эргүүлсэн ч адилхан харагддаг. Энэ нь сансрын нисгэгч түүнд хүрэх хүртэл байсан. Үүний дараа сансрын биеийн гурван нүүр улаан гэрлээр, гурав нь тагтаа, үлдсэн зургаа нь ногоон гэрлээр лугшиж байна. Суурийн эрдэмтэд эдгээр гэрлүүд юу болохыг тодорхойлохыг хичээсээр байна: Гэсэн хэдий ч одоо тэд сансрын биетийн бүх нүүрний хэлбэрийг мэддэг болсон. Чи мэдэх үү? Шагнал 1500d.

[Гэрлүүд ямар өнгөтэй байх нь хамаагүй - улаан, ногоон эсвэл цэнхэр.

Уг объект нь 12 нүүртэй геометрийн бие юм.

Энэ нь зөвхөн декаэдр (додекаэдр) байж болно гэсэн үг юм. Түүний нүүр бүр нь ердийн таван өнцөгт юм.]

Талтай тэгш өнцөгт гурвалжны оройнууд 4см байж болох уу?см радиустай бөмбөрцөг дээр байрладагсм? Шагнал 1000d.

[Үгүй]

1.4 Дугуй мод 30 кг жинтэй. Хоёр дахин зузаан боловч хагас урт мод хэр жинтэй вэ? Шагнал 1500d.

[Дугуй логны эзлэхүүн хоёр дахин нэмэгддэг

дөрвөн удаа; хагасаар богиносгосноор логоны хэмжээ багасна

Нийт хоёр удаа. Тиймээс зузаан богино лог байх ёстой

урт нимгэнээс хоёр дахин хүнд байх, өөрөөр хэлбэл; 60 кг жинтэй.]

1.5 Зурагт үзүүлсэн хоёр лаазны аль нь вэ? 1, илүү өргөн - өргөн, эсвэл гурав дахин өндөр, гэхдээ хоёр дахин нарийн уу? Шагнал 1500 рубль.

[Өндөр савны багтаамж бага. Үүнийг шалгахад хялбар. Өргөн лаазны суурь нь 2 байна2, өөрөөр хэлбэл нарийссанаас дөрөв дахин их; өндөр нь ердөө гурав дахин бага. Энэ нь өргөн лаазны эзэлхүүн гэсэн үг юмВ нарийссанаас дахин их. Хэрэв өндөр савны агууламжийг цутгаж байвалВ өргөн, зөвхөн дүүргэх болнотүүний хэмжээ.]

1.6 Кубын нүүрэн дээр зурсан хэрчмүүдийн хоорондох өнцөг хэд вэ (Зураг 2)? Шагнал 1000d.

[60° (Зураг 3, a); 120°, (Зураг 3, b).]

1.7 Торхны доторх зүйлийн талаар хоёр хүн маргалдсан. Нэг мэтгэлцэгч торхонд усны талаас илүү нь байгаа гэж, нөгөө нь бага гэж маргаж байв.

Та мод, олс, ямар нэгэн хэмжих хэрэгсэл ашиглахгүйгээр хэний зөв гэдэгт яаж итгэлтэй байх вэ? Шагнал 1500d.

[Хэрэв торхон дахь усыг яг хагасаар дүүргэсэн бол усны түвшин торхны яг ирмэг дээр байхаар торхыг хазайлгахад бид хамгийн өндөр цэг хоёр нь усны түвшинд байгааг харах болно. Торхны дээд ба доод тойргийн огторгуйн эсрэг талын цэгүүдээр дамжсан онгоц нь түүнийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваасан нь тодорхой байна. Хэрэв усыг хагасаас бага хэмжээгээр дүүргэсэн бол торхны ижил хазайлтаар том эсвэл жижиг хоёр хэсэг нь уснаас цухуйх ёстой. Эцэст нь, хэрэв торхон дахь усны талаас илүү хувь нь байвал хазайсан үед ёроолын дээд хэсэг нь усан дор байх болно.]

1.8 Хүчин чадлыг хэрхэн олох вээзлэхүүн масштабтай нүдний шил? Шагнал 1000d.

[Нэг аяга ус уунамөн усгүй,

тэгээд хаана - нягтрал; усны хувьд.]

1.9 "Гэнэтийн бэлэг". Энэ багцыг худалдан авсан баг нь "Та дуудлага худалдааны 2-р шатны багцын нэгийг анхны үнээр нь худалдан авах эсвэл банкнаас 500d-ийн урамшуулал авах эрхтэй" гэсэн картыг хүлээн авдаг.

1.10 Хэрэв танд утас болон хэмжих хэмжүүр байгаа бол бөмбөгний эзлэхүүнийг ойролцоогоор тооцоол. Шагнал 1500d.

[Бөмбөлгийн диаметрийг D гэж үзье, l - хамгийн урт урт

Бөмбөгний гадаргуу дээрх тойрог, олдсон

утас болон захирагч ашиглан, дараа нь

1.11 Шилэн аяга ашиглан түүнд багтах бөмбөгний радиусыг тодорхойлно. Шагнал 1500d.

[Шишиг шил ашиглан бид олдогВ нь бөмбөгний эзэлхүүн ба түүний

радиусыг томъёогоор тооцоолно.]

1.12 Ухаан чадвараа сургахын тулд ийм албадан нөхцөл байдлыг төсөөлөөд үз дээ: шингэнээр хэсэгчлэн дүүргэсэн лонхны хэмжээг (дугуй, дөрвөлжин эсвэл тэгш өнцөгт ёроолтой) зөвхөн масштабын захирагч ашиглан тодорхойлох хэрэгтэй. Лонхны ёроолыг хавтгай гэж үздэг. Шингэнийг асгах, нэмэхийг хориглоно. Шагнал 1500d.

[Лонхны ёроол нь дугуй, дөрвөлжин эсвэл тэгш өнцөгт хэлбэртэй байдаг тул түүний талбайг зөвхөн масштабын захирагч ашиглан хялбархан тодорхойлох боломжтой. Доод талын талбайг S-ээр тэмдэглэе. Өндөр h хэмжинэ 1 , саванд шингэн. Дараа нь лонхны шингэний эзэлдэг хэсгийн эзэлхүүнийг Ш 1 , (Зураг b). Лонхыг доош нь эргүүлж, өндөрийг хэмжинэ h 2 , түүний хэсгүүд нь шингэний түвшингээс лонхны ёроол хүртэл. Лонхны энэ хэсгийн эзэлхүүн нь тэнцүү байнаШ 2. Лонхны үлдсэн хэсгийг шингэн эзэлдэг бөгөөд түүний эзэлхүүнийг аль хэдийн тодорхойлсон байдаг - энэ нь Ш-тэй тэнцүү байна. 1 . Үүнээс үзэхэд бүх лонхны эзэлхүүн тэнцүү байна]

Гурав дахь тойрог. Хаалттай хэсэг"Үл мэдэгдэх асуулт."

Энэ тойрогт багууд тухайн багцад ямар асуулт байхыг мэдэхгүйгээр хаалттай багцыг худалдаж авдаг. Үгүй бол дуудлага худалдааны дүрэм хэвээр үлдэнэ, зөвхөн багцаас худалдаж авсан асуултын зөв хариултын үнэ нэмэгдэж, 1500d хооронд хэлбэлздэг. 3000д хүртэл. асуудлын нарийн төвөгтэй байдлаас хамаарна. Асуултыг аль ч баг худалдаж авсны дараа л гаргадаг.

"Үл мэдэгдэх асуултууд":

1. Эхлэх үнэ 100д., дуудлага худалдааны шат 50д.Асуулт. Цилиндрийн тодорхойлолтыг хэлнэ үү.

1. Зөв хариултын мөнгөн шагнал 1500d.Дасгал хийх. Конусын тодорхойлолтыг хэл.

1. Зөв хариултын мөнгөн шагнал 1500d. Анхны үнэ 100д.Асуулт. Цилиндрийн үүсгүүртэй параллель хавтгайд ямар хөндлөн огтлолтой байх вэ?

1. Зөв хариултын мөнгөн шагнал 1500d.Асуулт. Гурвалжин призмийг дээд суурийн орой ба доод суурийн эсрэг талыг дайран өнгөрч буй хавтгайгаар ямар олон өнцөгтийг зүссэн бэ? [Хоёр пирамид руу: гурвалжин ба дөрвөлжин хэлбэртэй (Зураг 5).

1. "Гэнэтийн". Энэ багцыг худалдаж авсан баг "Та амжилттай хэлцэл хийсэн, таны бэлэн мөнгө 50% нэмэгдэнэ" гэсэн картыг хүлээн авдаг.

1. Зөв хариултын мөнгөн шагнал 1500d.Асуулт. Аль дүрсийг эргүүлсний үр дүнд тайрсан конусыг авч болох вэ?

1. Дасгал хийх. Призмийн тодорхойлолтыг томъёол.

1. Дасгал хийх. Суурьтай параллель хавтгайгаар огтолсон пирамидын шинж чанарыг жагсаа.

1. Зөв хариултын мөнгөн шагнал 3000d.Асуулт. Бүх төрлийн призмийг нэрлэ. Тэдний ялгаа юу вэ?

1. Зөв хариултын мөнгөн шагнал 2500d.Дасгал хийх. Пирамид ба таслагдсан пирамидын тодорхойлолтыг томъёол.

1. Зөв хариулт өгсөн хүнд мөнгөн шагнал өгөх үү?Асуулт. Конусын оройг нь дайран өнгөрч буй хавтгай ямар хэсэг вэ?

1. Зөв хариултын мөнгөн шагнал 1500d.Асуулт. Гурвалжин пирамидын бүх нүүр нь тэгш өнцөгт гурвалжин байж чадах уу?

1. Зөв хариултын мөнгөн шагнал 1500d.Асуулт. Бие махбод ямар бие махбодоос бүрддэг вэ?, том суурийн эргэн тойронд ижил өнцөгт трапецийг эргүүлснээр олж авсан бэ? [Үүссэн бие нь хоёр тэнцүү конус ба цилиндрээс бүрдэнэ].

1. Зөв хариултын мөнгөн шагнал 1500d.Асуулт. Эсрэг хоёр нүүр нь пирамидын сууринд перпендикуляр байрладаг дөрвөн өнцөгт пирамид байдаг уу?

1. Зөв хариултын мөнгөн шагнал 2000d.Асуулт. Бөмбөг ба бөмбөрцгийн тодорхойлолтыг томъёол.

Тоглоомын төгсгөлд дуудлага худалдаа зохион байгуулагч бүх оролцогчдоос бэлэн мөнгөний хэмжээг тооцоолж, банкнаас авсан зээлээ буцааж, жилийн 30% (жишээ нь 1300) авахыг хүсдэг. Тоглоомын ялагч нь тэдний гарт хамгийн их мөнгө үлдсэн баг юм.

Ялагч багийн бүх оюутнууд онц дүн авдаг; Бусад багийн хамгийн идэвхтэй оюутнуудад онц дүн өгдөг, бусад бүх оюутнуудад үнэлгээ өгдөггүй.

Тэмдэглэл

Дуудлага худалдааны хоёр үе шатанд томилогдсон асуултуудыг нарийвчилсан хариулт шаарддаг илүү төвөгтэй асуултууд эсвэл илүү энгийн бөгөөд хүртээмжтэй асуултуудаар сольж болно.

Асуултуудын тоо тойрог бүрийг нэмэгдүүлэх боломжтойэсвэл багшид өгөх цаг эсвэл сурагчдын сонирхлоос хамааран багасгах.

Дуудлага худалдааны тоглоомыг бараг бүх эрдэм шинжилгээний хичээлийг судлахад ашиглаж болно. Үүнийг хийхийн тулд та аль хэдийн хамрагдсан материалын талаар тодорхой, тодорхой асуултуудыг бодож, дуудлага худалдааны хоёр үе шатанд тараах хэрэгтэй.

Нэмэлтүүд.

Дуудлага худалдаанд оролцох бүх багууд хувийн дансаа үүсгэнэ.Хавсралт No2.

"Ирж буй" баганад багууд бүх бэлэн мөнгөний орлогыг, "Зардал" баганад бүх төлбөрийг, "Үлдэгдэл" баганад - одоогийн байдлаар үлдсэн мөнгийг тусгана.

Баг бүрийн хувийн дансанд хийсэн эхний бичилт: "Орлого" баганад банкнаас авсан зээлийг бүртгэнэ (1000d.)

Жишээлбэл, 1-р багийн гишүүд эхний шатанд 2-р асуултыг худалдаж авсан нь хамгийн их дүн 350d-ийг харуулж байна. Энэ нь худалдан авалт хийсний дараа багийн ахлагч (эсвэл түүний аль нэг гишүүн) багийнхаа хувийн дансанд бичилт хийж, хөрөнгийн үлдэгдлийг тооцдог гэсэн үг юм.

Хэрэв №1 баг худалдан авсан асуултанд зөв хариулсан бол 500d мөнгөн шагнал авна. (дуудлага худалдааны эхний шатны журмын дагуу) "Ирж буй" баганад гурав дахь бичилт хийнэ.

Ижил хувийн дансыг тангарагтны гишүүн (түүний ажлыг үнэлж байгаа багийн данс) хөтөлдөг.

Ийнхүү байнгын бүртгэл хөтөлснөөр баг нь тоглолтын аль ч үед өөрийн хөрөнгийн бодит үлдэгдлийг хардаг. Багийн зээлжих чадварыг шалгах шаардлагатай бол энэ нь багшийн хувьд бас тохиромжтой.

Хэрэв аль нэг баг мөнгөгүй бол ахмад багшийн зөвшөөрлөөр банкнаас нэмэлт зээл авах боломжтой (1000 рубльээс ихгүй), гэхдээ жилийн 50%.

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт:

1. Кордемский Б.А. Гайхамшигтай тооны ертөнц. - М., Боловсрол, 1986.
   

   Цилиндр гэж нэрлэдэг призмийн талаар тайлбарлав , хэрэв цилиндрийн суурийн тойргийг призмийн суурийн эргэн тойронд дүрсэлсэн бол призмийн хажуугийн ирмэгүүд нь цилиндрийн генераторууд юм. Үүний дагуу призмийг нэрлэдэг бичээстэй цилиндрт хийнэ.

   Теорем. Цилиндрийг призмийг тойруулан дүрслэхийн тулд призм шулуун байх шаардлагатай бөгөөд түүний суурийг тойруулан тойрог дүрслэх нь хангалттай юм.

   Цилиндр гэж нэрлэдэг призм дээр сийлсэн , хэрэв түүний суурийн тойргууд нь призмийн сууринд сийлсэн бөгөөд хажуугийн гадаргуу нь призмийн хажуугийн гадаргууд хүрдэг.

   Теорем. Цилиндрийг призмд сийлбэрлэхийн тулд призм шулуун байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай бөгөөд түүний сууринд тойрог дүрслэгдэх боломжтой.

   Конус гэж нэрлэдэг пирамидын ойролцоо дүрсэлсэн , хэрэв конусын суурийн тойргийг пирамидын суурийн эргэн тойронд дүрсэлсэн бол пирамидын хажуугийн ирмэгүүд нь конусын генераторууд юм. Пирамидыг зохих ёсоор нь нэрлэдэг бичээстэй конус руу.

   Теорем. Пирамидын эргэн тойронд конус дүрслэхийн тулд пирамидын хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

   Конус гэж нэрлэдэг пирамид бичээстэй , хэрэв түүний суурийн тойрог нь пирамидын суурь дээр бичигдсэн бөгөөд хажуугийн гадаргуу нь пирамидын хажуугийн нүүрэнд хүрч байвал. Пирамидыг зохих ёсоор нь нэрлэдэг тодорхойлсон конусын ойролцоо.

   Теорем. Конусыг пирамид руу сийлбэрлэхийн тулд пирамидын ёроолд тойрог бичиж, пирамидын оройг энэ тойргийн төв рүү ортогональ байдлаар дүрсэлсэн байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

   Жишээ 1.Бөмбөгийг баруун призмд дүрсэлсэн бөгөөд түүний суурь нь хөлтэй тэгш өнцөгт гурвалжин юм аба түүний эсрэг талын хурц өнцөг α . Призмийн эзэлхүүнийг ол.

   Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 12.48). Бөмбөгийг шулуун призм дотор сийлсэн бөгөөд энэ нь призмийн өндөр нь бөмбөгний диаметртэй тэнцүү байх ба суурийн гурвалжинд радиус нь бөмбөгний радиустай тэнцүү тойрог дүрслэгдсэн байна. . Тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье ABC, хөлтэй МЭӨ = а, үүний эсрэг талд Р BAC = α . Хөлийг нь олъё А.С.ба гипотенуз AB:

   

   
   

   Гурвалжны талбай ABCтэнцүү байна:

   Гурвалжин дотор дүрслэгдсэн тойргийн радиусыг тооцоолъё.

   

   Бид томьёог ашиглан призмийн эзэлхүүнийг тооцоолно

   

   Бид хариултыг авна:

   Жишээ 2. Ердийн дөрвөлжин пирамидын хажуугийн ирмэг нь тэнцүү байна а.Хажуугийн хажуугийн гадаргуугаас үүссэн хоёр талт өнцөг нь тэнцүү байна β . Энэ пирамидын эргэн тойронд хүрээлэгдсэн бөмбөрцгийн радиусыг ол.

   Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 12.49): A B C D- дөрвөлжин, SO– пирамидын өндөр, Р A.E.C. = б- хоёр талт өнцөг.

   Пирамидын диагональ хэсгийг авч үзье - гурвалжин SBD(С.Б. = SD). Өгөгдсөн пирамидын эргэн тойронд хүрээлэгдсэн бөмбөрцгийн радиус нь гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус болно. SBD. Үүнийг томъёогоор олъё

   

   

   
   

   Гурвалжны ижил төстэй байдлаас (Р SOB = Ð SEO= 90°, Р BSO = Ð O.S.E.) талуудын пропорциональ байдлыг дагаж мөрдөнө: С.Б./SO = Б.О./О.Э..

   Гурвалжингаас Бид оноос хойш олох болно ХК = IN, Тиймээс,

   Тойргийн радиусыг тооцоолох:

   

   Бид хариултыг авна:

   Жишээ 3.Радиустай бөмбөгийг таслагдсан конус хэлбэрээр бичжээ Р. Конусын generatrix нь суурийн хавтгайд өнцгөөр налуу байна а. Таслагдсан конусын эзэлхүүнийг ол.

   Шийдэл.Конусын тэнхлэгийн хэсгийг авч үзье (Зураг 12.50).

   

   
   

   Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя. Р 1 - конусын доод суурийн радиус, Р 2 - дээд суурийн радиус. Энэхүү тайрсан конусын өндөр нь түүн дотор бичигдсэн 2-р бөмбөгний диаметртэй тэнцүү байх болно. Р. Тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье ABC: Ð Б= 90°, Р А = а, МЭӨ = 2Р. Хөлийг нь олъё Б.А.ба гипотенуз А.С.: Б.А. = МЭӨ×ctg а, Бөмбөгийг таслагдсан конус дотор бичдэг тул энэ конусын үүсгэгч нь суурийн радиусуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Бид тэгш байдлыг олж авдаг:

   

   анзаараарай, тэр

   Системийг шийдсэн бид олох болно

   

   Бид (12.8) томъёог ашиглан зүсэгдсэн конусын эзэлхүүнийг тооцоолно.

   

   Бид хариултыг авна:

   Жишээ 4. Радиустай бөмбөг рүү Р generatrix нь суурийн хавтгайтай өнцөг үүсгэдэг конус бичээстэй φ . Конусын нийт гадаргууг ол.

   Шийдэл.Конусын нийт гадаргуугийн талбайг тооцоолохын тулд та суурийн радиус ба конусын үүсгэгчийг мэдэх хэрэгтэй. Энэ конусын тэнхлэгийн хэсгийг авч үзье - тэгш өнцөгт гурвалжин SAB: С.А. = С.Б.- бүрдүүлэх, SD- өндөр, Д.Б.– конусын суурийн радиус (Зураг 12.51).

   

   
   

   Асуудлын нөхцлийн дагуу Р S.A.D. = φ Тиймээс гурвалжин AOS- ижил хажуу тал ( А.О. = OS = Р), тиймээс орой дээрх энэ гурвалжны гадаад өнцөг ТУХАЙтэнцүү: Р AOD = Ð SAO + Ð ASO = х – 2j.

   Гурвалжингаас AOD (Ð Д= 90°, А.О. = Р, Ð AOD = х – 2j) илэрхийлье МЭ:

   Гурвалжингаас A.S.D. (Ð Д= 90°, МЭ = Рнүгэл 2 j) илэрхийлье С.А.:

   

   Олсон илэрхийлэлийг конусын нийт гадаргуугийн талбайг тооцоолох томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

   Тиймээс,

   Жишээ 5. Цилиндр нь баруун параллелепипед дотор бичигдсэн бөгөөд эзэлхүүн нь мпараллелепипедийн эзэлхүүнээс хэд дахин бага. Параллелепипедийн хажуугийн ирмэг дээрх хоёр өнцөгт өнцгийг ол.

   Шийдэл.Өгөгдсөн параллелепипедийн хажуугийн ирмэг дээрх хоёр өнцөгт өнцөг нь түүний суурь дээр байрлах параллелограммын өнцөг юм. Цилиндр нь параллелепипед дотор бичигдсэн бөгөөд энэ нь суурийн параллелограмм дээр тойрог бичигдсэн гэсэн үг юм. Хэрэв тойрог нь дөрвөлжин хэлбэртэй байвал дөрвөлжингийн эсрэг талын уртуудын нийлбэр тэнцүү байна. Тиймээс параллелепипедийн суурь нь ромб юм. Зураг зурцгаая (Зураг 12.52).

   
   

   Хүссэн өнцгийг тэмдэглэе а. Гурвалжингаас ABC (Ð C= 90°, Р А = а) ромбын талыг ол ABба түүний өндөр МЭӨ:

   

   Цилиндр ба параллелепипедийн өндөр тэнцүү тул цилиндрийн суурийн талбай нь мпараллелепипедийн суурийн талбайгаас дахин бага. Тэгш байдлыг бичье: мөн үүнээс илэрхийлнэ Цаашид

   Параллелепипедийн хажуугийн ирмэг дээрх хоёр талт өнцөг нь тэнцүү байна.

   БА

   Даалгаврууд

   би түвшин

   1.1. Конусыг эзэлхүүнтэй ердийн дөрвөлжин пирамид дотор бичжээ. Түүний эзлэхүүнийг ол.

   1.2. Төрөлх хэсэг нь суурийн хавтгайд өнцгөөр хазайсан конус руу а, пирамид бичээстэй байна. Пирамидын суурь нь 3 см ба 4 см талуудтай тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд пирамидын эзэлхүүнийг ол.

   1.3. Цилиндрийн эргэн тойронд ердийн дөрвөлжин призмийг дүрсэлсэн бөгөөд түүний суурь периметр нь 12 см, хажуугийн гадаргуу нь 48 см 2 байна. Цилиндрийн нийт гадаргуугийн талбайг ол.

   1.4. Энгийн зургаан өнцөгт призмийг диагональ тэнхлэгийн хэсэг нь тэнцүү тэнцүү талт цилиндрт сийлсэн байна. Призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоол.

   1.5. Таслагдсан конусыг ердийн гурвалжин тайрсан пирамидын эргэн тойронд дүрсэлсэн байдаг. Дээд суурийн радиус нь конусын доод суурийн радиусаас 2 дахин бага, өндөр нь 4 см, генатрикс нь 5 см. Таслагдсан пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг ол.

   1.6. Бөмбөгийг шоо дөрвөлжинд бичээд бөмбөгийг тойруулан дүрсэлсэн байдаг. Эдгээр бөмбөрцгийн эзлэхүүний харьцааг ол.

   1.7. Бөмбөрцөгт цилиндрийг бичжээ. Цилиндрийн суурийн талбай 16 байна хсм 2, түүний тэнхлэгийн хэсгийн диагональ нь суурийн хавтгайд налуу өнцгийн тангенс 3. Бөмбөрцгийн талбайг ол.

   1.8. Бөмбөгийг конус хэлбэрээр бичсэн бөгөөд түүний хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн талбайгаас 2 дахин их байна. Конусын үүсгэгч 8 см бол бөмбөгний радиусыг ол.

   1.9. 2.5 см диаметртэй цилиндр хэлбэртэй аяганд 1 см диаметртэй дөрвөн тэнцүү төмөр бөмбөгийг буулгаж, тодорхой хэмжээнд усаар дүүргэж, аяганд байгаа усны түвшин хэр их өөрчлөгдөхийг тодорхойл.

   1.10. Бөмбөрцөг давхарга ба цилиндрийн суурь нь давхцдаг. Тэдний хажуугийн гадаргуугийн хооронд бэхлэгдсэн биеийн эзэлхүүн 36 байна хсм 3. Бөмбөрцөг хэлбэрийн давхаргын өндрийг ол.

   II түвшин

   2.1. Тал нь тэнцүү тэгш талт гурвалжин А, гадаад тэнхлэгийн эргэн тойронд түүний өндөртэй зэрэгцээ ба түүнээс хол зайд эргэлдэж, үүссэн эргэлтийн биеийн гадаргуугийн талбайг ол.

   2.2. Таслагдсан конусыг дөрвөлжин тайралттай пирамид дотор сийлсэн бөгөөд түүний суурь нь хажуу талтай ромб юм. Аболон өнцөг а. Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь С, хажуугийн нүүрнүүд нь пирамидын суурь руу өнцгөөр налуу байна б. Таслагдсан конусын эзэлхүүнийг ол.

   2.3. Ердийн гурвалжин призм дээр хажуугийн ирмэг нь суурийн талтай тэнцүү байна. Призмийг тойруулан бөмбөрцөг, бөмбөрцгийг тойруулан конус дүрсэлсэн байдаг. Конусын генатрикс нь тэнцүү байна лба суурийн хавтгайтай өнцөг үүсгэнэ а. Призмийн эзэлхүүнийг ол.

   2.4. Бүх хажуугийн нүүр нь суурийн хавтгайд тэгш налуу байрладаг пирамидын хувьд суурийн хавтгайтай параллель хавтгайг бичээстэй бөмбөгний төвөөр дамжуулна. Энэ хавтгай дээрх пирамидын хөндлөн огтлолын талбайн суурийн талбайн харьцаа нь тэнцүү байна. к. Хажуугийн нүүр ба пирамидын суурийн хоорондох өнцгийг ол.

   2.5. Радиустай бөмбөг рүү Рнийтлэг суурьтай хоёр боргоцойг бичжээ. Конусын оройнууд нь бөмбөгний диаметрийн эсрэг талын төгсгөлүүдтэй давхцдаг. Жижиг конусыг агуулсан бөмбөрцөг сегмент нь тэнхлэгийн хэсэгт нуман хэлбэртэй байдаг а. Эдгээр конусуудад бичээстэй бөмбөлгүүдийн төвүүдийн хоорондох зайг ол.

   2.6. Бөмбөг нь ердийн дөрвөлжин призм ба түүний суурийн бүх хажуугийн ирмэгүүдэд хүрдэг. Призмийн гадна байрлах бөмбөрцгийн гадаргуугийн талбайн нийт гадаргуугийн талбайн харьцааг ол.

   2.7. Энгийн дөрвөлжин пирамид дотор тэгш талт цилиндрийг сийлсэн бөгөөд түүний нэг генатрик нь пирамидын суурийн диагональ дээр байрладаг бөгөөд суурийн тойрог нь пирамидын хоёр зэргэлдээ хажуугийн нүүрэнд хүрдэг. Пирамидын хажуугийн ирмэг нь тэнцүү бол цилиндрийн суурийн радиусыг ол б, ба суурийн хавтгайд түүний налуу өнцөг нь тэнцүү байна а.

   2.8. Тетраэдрийн ирмэг нь 8 см.Цилиндр гадаргуу нь түүний аль нэг ирмэгээр дамжин бүх оройгоор дамжин өнгөрдөг. Цилиндрийн суурийн радиусыг ол.

   2.9. Гурвалжин пирамидын ирмэгүүд оройгоос сунадаг С, хос перпендикуляр ба тэнцүү а, бТэгээд в. Нэг орой нь оройтой давхцаж байгаа пирамид дотор бичигдсэн шоо дөрвөлжингийн эзэлхүүнийг ол. Спирамидууд.

   2.10. Бөмбөлөг нь конусын эзэлхүүнтэй тэнцүү хэмжээтэй таслагдсан конус хэлбэрээр бичигдсэн байдаг. Конусын доод суурийн хавтгайд генатриксийн хазайлтын өнцгийг ол.

   III түвшин

   3.1. Ердийн гурвалжин пирамидын хажуугийн ирмэг нь тэнцүү байна бба суурийн хавтгайтай өнцөг үүсгэнэ α . Тэгш талт цилиндрийг пирамид дотор сийлсэн бөгөөд түүний доод суурь нь пирамидын суурийн хавтгайд байрладаг. Цилиндрийн өндрийг ол.

   3.2. Конусын орой дээр төвлөрсөн бөмбөрцөг нь түүний сууринд хүрч, конусын гадаргууг тэнцүү талбайтай хоёр хэсэгт хуваадаг. Конусын тэнхлэгийн хэсгийн орой дээрх өнцгийг ол.

   3.3. Ирмэг нь тэнцүү шоо руу а, конус нь тэнхлэгийн хэсэгт generatrices хоорондын өнцөгтэй тэнцүү байна α . Хэрэв конусын өндөр нь шоо диагональ дээр байгаа бол генатриксын урт ба суурийн радиусыг ол.

   3.4. Бөмбөлөг ижил оройтой шоо дөрвөлжингийн гурван нүүрэнд хүрч, эхнийх нь эсрэг талын шоогийн оройгоор дамжин өнгөрдөг. Кубын ирмэг нь тэнцүү бол бөмбөгний радиусыг ол а.

   3.5. Цилиндр нь хагас бөмбөрцөг бүхий дээд хэсэгт дууссан. Биеийн хэмжээ 45 π . Бөмбөрцгийн аль радиуст биеийн нийт гадаргуугийн талбай хамгийн бага байх вэ?

   3.6. Суурийн радиустай конус руу Рба өндөр Хцилиндрийг бичсэн байна. Цилиндрийн хэмжээ хамгийн их байх үед түүний шугаман хэмжээсийг ол.

   3.7. Бөмбөлөгт сийлсэн ердийн зургаан өнцөгт пирамидын хамгийн том эзэлхүүнийг ол Р.

   3.8. Цилиндрийг ердийн дөрвөлжин пирамид дотор бичсэн бөгөөд ингэснээр түүний дээд суурийн тойрог нь пирамидын бүх хажуугийн гадаргууд хүрч, доод суурь нь пирамидын суурийн хавтгайд байрладаг. Цилиндрийн эзэлхүүнийг хамгийн их байлгахын тулд пирамидын өндрийн аль хэсэг нь цилиндрийн өндөр байх ёстой вэ?

   Полиэдра нь геометрийн салбарт чухал байр суурь эзэлдэг төдийгүй хүн бүрийн өдөр тутмын амьдралд байдаг. Шүдэнзний хайрцагнаас эхлээд архитектурын элементүүд хүртэл янз бүрийн олон өнцөгт хэлбэрээр зохиомлоор бүтээсэн гэр ахуйн эд зүйлсийг дурдахгүй байхын тулд шоо (давс), призм (болор), пирамид (шеелит), октаэдр (алмаз) хэлбэртэй талстууд байдаг. ), гэх мэт d.

   Олон өнцөгтийн тухай ойлголт, геометрийн олон өнцөгтийн төрлүүд

   Геометр нь шинжлэх ухааны хувьд гурван хэмжээст орон зайд талууд нь "полиэдр" гэж нэрлэгддэг хязгаарлагдмал хавтгай (нүүр) -ээс бүрддэг эзэлхүүний биетүүдийн шинж чанар, шинж чанарыг судалдаг стереометрийн хэсгийг агуулдаг. Нүүрний тоо, хэлбэрээрээ ялгаатай олон талт олон янзын төрөл байдаг.

   Гэсэн хэдий ч бүх олон талт нь нийтлэг шинж чанартай байдаг:

   1. Эдгээр нь бүгд 3 салшгүй бүрэлдэхүүн хэсэгтэй: нүүр (олон өнцөгтийн гадаргуу), орой (нүүрний уулзвар дээр үүссэн булангууд), ирмэг (зургийн тал эсвэл хоёр нүүрний уулзвар дээр үүссэн сегмент). ).
   2. Олон өнцөгтийн ирмэг бүр хоорондоо зэргэлдээ орших хоёр, зөвхөн хоёр нүүрийг холбодог.
   3. Гүдгэр гэдэг нь бие нь аль нэг нүүр нь хэвтэж буй онгоцны зөвхөн нэг талд бүрэн байрладаг гэсэн үг юм. Дүрэм нь олон өнцөгтийн бүх нүүрэнд хамаарна. Стереометрийн хувьд ийм геометрийн дүрсийг гүдгэр олон талт гэж нэрлэдэг. Үл хамаарах зүйл бол ердийн олон талт геометрийн биетүүдийн дериватив болох одтой олон талт юм.

   Олон өнцөгтийг дараахь байдлаар хувааж болно.

   1. Дараах ангиллуудаас бүрдэх гүдгэр полиэдрийн төрлүүд: энгийн эсвэл сонгодог (призм, пирамид, параллелепипед), ердийн (мөн Платоны хатуу биет гэж нэрлэдэг), хагас жигд (өөр нэр нь Архимедийн хатуу биетүүд).
   2. Гүдгэр бус олон талт (од).

   Призм ба түүний шинж чанарууд

   Стереометр нь геометрийн нэг салбар болох гурван хэмжээст дүрсүүдийн шинж чанар, олон өнцөгтийн төрлийг (тэдгээрийн призм) судалдаг. Призм нь параллелограмм хэлбэртэй зэрэгцээ хавтгайд байрлах хоёр бүрэн ижил нүүртэй (тэдгээрийг мөн суурь гэж нэрлэдэг) n-р тооны хажуугийн нүүртэй геометрийн бие юм. Хариуд нь призм нь хэд хэдэн сорттой бөгөөд үүнд дараахь олон талт төрлүүд орно.

   1. Хэрэв суурь нь параллелограмм бол параллелепипед үүснэ - 2 хос тэнцүү эсрэг өнцөгтэй, хоёр хос эсрэг талтай олон өнцөгт.
   2. суурьтай перпендикуляр хавиргатай.
   3. ирмэг ба суурийн хооронд шууд бус өнцөг (90-ээс бусад) байгаагаар тодорхойлогддог.
   4. Ердийн призм нь тэгш хажуугийн нүүр хэлбэртэй суурьтай байдаг.

   Призмийн үндсэн шинж чанарууд:

   • Тохиромжтой суурь.
   • Призмийн бүх ирмэгүүд хоорондоо тэнцүү ба параллель байна.
   • Бүх хажуугийн нүүр нь параллелограмм хэлбэртэй байдаг.

   Пирамид

   Пирамид нь нэг суурь ба нэг цэг дээр холбогдсон гурвалжин нүүрний n-ээс бүрдэх геометрийн бие юм - орой. Хэрэв пирамидын хажуугийн нүүрийг заавал гурвалжингаар дүрсэлсэн бол сууринд гурвалжин олон өнцөгт, дөрвөлжин, таван өнцөгт гэх мэт хязгааргүй байж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ тохиолдолд пирамидын нэр нь суурийн олон өнцөгттэй тохирно. Жишээлбэл, хэрэв пирамидын ёроолд гурвалжин байвал энэ нь дөрвөлжин гэх мэт.

   

   Пирамидууд нь конус хэлбэртэй олон өнцөгт юм. Энэ бүлгийн олон талт төрлүүдэд дээр дурдсан зүйлсээс гадна дараахь төлөөлөгчдийг багтаасан болно.

   1. суурин дээрээ ердийн олон өнцөгт хэлбэртэй бөгөөд түүний өндрийг сууринд нь сийлсэн эсвэл тойруулан хүрээлэгдсэн тойргийн төв рүү тусгав.
   2. Хажуугийн ирмэгүүдийн аль нэг нь суурьтай тэгш өнцөгт огтлолцох үед тэгш өнцөгт пирамид үүсдэг. Энэ тохиолдолд энэ ирмэгийг пирамидын өндөр гэж нэрлэж болно.

   Пирамидын шинж чанарууд:

   • Хэрэв пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд ижил (ижил өндөртэй) байвал бүгд суурьтай ижил өнцгөөр огтлолцох бөгөөд суурийн эргэн тойронд төв нь дээд хэсгийн проекцтой давхцаж байгаа тойрог зурж болно. пирамид.
   • Хэрэв пирамидын ёроолд жирийн олон өнцөгт байрласан бол бүх хажуугийн ирмэгүүд нь хоорондоо тохирч, нүүр нь ижил өнцөгт гурвалжин болно.

   Ердийн олон өнцөгт: олон талтуудын төрөл ба шинж чанарууд

   Стереометрийн хувьд туйлын тэнцүү нүүртэй геометрийн биетүүд онцгой байр эзэлдэг бөгөөд тэдгээрийн орой дээр ижил тооны ирмэгүүд холбогдсон байдаг. Эдгээр биетүүдийг Платоны хатуу биетүүд буюу ердийн олон талт биетүүд гэж нэрлэдэг. Эдгээр шинж чанаруудтай зөвхөн таван төрлийн полиэдр байдаг.

   1. Тетраэдр.
   2. Зургаан өнцөгт.
   3. Октаэдр.
   4. Додекаэдр.
   5. Икосаэдр.

   Тогтмол polyhedra нь эртний Грекийн гүн ухаантан Платоноос нэрлэгдсэн бөгөөд тэрээр эдгээр геометрийн биетүүдийг бүтээлдээ дүрсэлж, тэдгээрийг байгалийн элементүүд болох газар, ус, гал, агаартай холбосон байдаг. Тав дахь дүрсийг Орчлон ертөнцийн бүтэцтэй ижил төстэй байдлаар шагнасан. Түүний бодлоор байгалийн элементийн атомууд ердийн олон талт хэлбэртэй байдаг. Тэдний хамгийн сэтгэл татам шинж чанар болох тэгш хэмийн ачаар эдгээр геометрийн биетүүд эртний математикч, философичид төдийгүй бүх цаг үеийн архитектор, зураач, уран барималчдын сонирхлыг их татдаг байв. Үнэмлэхүй тэгш хэмтэй зөвхөн 5 төрлийн полиэдра байгаа нь үндсэн олдвор гэж тооцогддог байсан бөгөөд тэдгээр нь бурханлаг зарчимтай холбоотой байв.

   Гексаэдр ба түүний шинж чанарууд

   Зургаан өнцөгт хэлбэрээр Платоныг залгамжлагчид дэлхийн атомын бүтэцтэй ижил төстэй гэж үзсэн. Мэдээжийн хэрэг, одоогийн байдлаар энэ таамаглал бүрэн няцаагдсан боловч орчин үеийн дүрүүд алдартай хүмүүсийн оюун санааг гоо зүйн хувьд татахад саад болохгүй.

   

   Геометрийн хувьд шоо гэж нэрлэгддэг зургаан өнцөгтийг параллелепипедийн онцгой тохиолдол гэж үздэг бөгөөд энэ нь эргээд призмийн нэг төрөл юм. Үүний дагуу кубын шинж чанарууд нь кубын бүх нүүр ба булангууд хоорондоо тэнцүү байх цорын ганц ялгаатай холбоотой юм. Үүнээс дараах шинж чанарууд гарч ирнэ.

   1. Кубын бүх ирмэгүүд хоорондоо тохирч, хоорондоо параллель хавтгайд байрладаг.
   2. Бүх нүүрнүүд нь ижил квадратууд (тэдгээрийн 6 нь шоо байдаг), тэдгээрийн аль нэгийг нь суурь болгон авч болно.
   3. Бүх хоорондын өнцөг нь 90-тэй тэнцүү байна.
   4. Орой бүр тэнцүү тооны ирмэгтэй, тухайлбал 3.
   5. Шоо нь 9-тэй бөгөөд тэдгээр нь бүгд тэгш хэмийн төв гэж нэрлэгддэг зургаан өнцөгтийн диагональуудын огтлолцох цэг дээр огтлолцдог.

   Тетраэдр

   Тетраэдр нь гурвалжин хэлбэртэй тэнцүү нүүртэй тетраэдр бөгөөд орой тус бүр нь гурван нүүрний холболтын цэг юм.

   

   Ердийн тетраэдрийн шинж чанарууд:

   1. Тетраэдрийн бүх нүүр - энэ нь тетраэдрийн бүх нүүр нь хоорондоо тохирч байна гэсэн үг юм.
   2. Суурь нь ердийн геометрийн дүрсээр дүрслэгдсэн, өөрөөр хэлбэл тэгш талуудтай тул тетраэдрын нүүрнүүд ижил өнцгөөр нийлдэг, өөрөөр хэлбэл бүх өнцөг нь тэнцүү байна.
   3. Орой тус бүрийн хавтгайн өнцгийн нийлбэр нь 180 байна, учир нь бүх өнцөг нь тэнцүү тул ердийн тетраэдрийн аль ч өнцөг нь 60 байна.
   4. Орой бүрийг эсрэг талын (ортоцентр) нүүрний өндрүүдийн огтлолцлын цэг хүртэл төсөөлдөг.

   Октаэдр ба түүний шинж чанарууд

   Тогтмол олон талтуудын төрлийг тайлбарлахдаа наймалж, суурин дээр наасан хоёр дөрвөлжин ердийн пирамид хэлбэрээр дүрсэлж болох октаэдр гэх мэт объектыг тэмдэглэх нь зүйтэй.

   

   Октаэдроны шинж чанарууд:

   1. Геометрийн биеийн нэр нь түүний нүүрний тоог илэрхийлдэг. Октаэдр нь 8 ижил талт гурвалжингаас бүрдэх бөгөөд тэдгээрийн орой тус бүр дээр ижил тооны нүүрнүүд нийлдэг, тухайлбал 4.
   2. Октаэдрийн бүх нүүрнүүд тэнцүү тул түүний интерфэйсийн өнцөг нь мөн тэнцүү бөгөөд тус бүр нь 60-тай тэнцүү бөгөөд аль ч оройн хавтгайн өнцгийн нийлбэр нь 240 байна.

   Додекаэдр

   Хэрэв бид геометрийн биеийн бүх нүүрийг ердийн таван өнцөгт гэж төсөөлвөл бид хоёр талт буюу 12 олон өнцөгт дүрсийг авна.

   

   Додекаэдрын шинж чанарууд:

   1. Орой бүр дээр гурван нүүр огтлолцдог.
   2. Бүх нүүр нь тэнцүү бөгөөд ижил ирмэгийн урттай, мөн ижил талбайтай.
   3. Додекаэдр нь 15 тэнхлэг ба тэгш хэмийн хавтгайтай бөгөөд тэдгээрийн аль нэг нь нүүрний орой ба түүний эсрэг талын ирмэгийн дундуур дамждаг.

   Икосаэдр

   Додекаэдрээс дутахааргүй сонирхолтой, икосаэдр дүрс нь 20 ижил нүүртэй гурван хэмжээст геометрийн бие юм. Ердийн 20-эдроны шинж чанаруудын дунд дараахь зүйлийг тэмдэглэж болно.

   1. Икосаэдрийн бүх нүүр нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
   2. Олон өнцөгтийн орой бүрт таван нүүр нийлдэг бөгөөд оройн зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр нь 300 байна.
   3. Икосаэдр нь додекаэдр шиг 15 тэнхлэгтэй ба эсрэг талын нүүрний дунд цэгүүдийг дайран өнгөрдөг тэгш хэмийн хавтгайтай.

   

   Хагас тэгш өнцөгт олон өнцөгтүүд

   Платоны хатуу биетүүдээс гадна гүдгэр олон талтуудын бүлэгт Архимедийн хатуу биетүүд багтдаг бөгөөд тэдгээр нь тайрагдсан ердийн олон талт биетүүд юм. Энэ бүлгийн олон талт төрлүүд нь дараахь шинж чанартай байдаг.

   1. Геометрийн биетүүд хэд хэдэн төрлийн хос тэнцүү нүүртэй байдаг, жишээлбэл, таслагдсан тетраэдр нь ердийн тетраэдр шиг 8 нүүртэй байдаг бол Архимед биеийн хувьд 4 нүүр нь гурвалжин хэлбэртэй, 4 нь зургаан өнцөгт хэлбэртэй байна.
   2. Нэг оройн бүх өнцөг нь тэнцүү байна.

   Олон талт од

   Геометрийн биетүүдийн эзэлхүүний бус төрлүүдийн төлөөлөгчид нь нүүр нь бие биетэйгээ огтлолцдог одны олон талт дүрсүүд юм. Тэдгээр нь хоёр ердийн гурван хэмжээст биетүүдийн нэгдэл эсвэл нүүрний өргөтгөлийн үр дүнд үүсч болно.

   

   Иймээс ийм одтой олон талтуудыг: октаэдр, додекаэдр, икосаэдр, кубоктаэдр, икозидодекаэдр зэрэг одтой хэлбэрүүд гэж нэрлэдэг.