Хязгаарлагдмал хаалттай муж дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг хэрхэн олох вэ? Функцууд Хэд хэдэн хувьсагчтай функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга

Теорем 1.5 Битүү мужид байг Д функцийг тодорхойлсон z=z(x,y) , эхний эрэмбийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай. Хил Г бүс нутаг Д хэсэгчлэн гөлгөр (өөрөөр хэлбэл "хүртэл тэгш" муруй эсвэл шулуун шугамын хэсгүүдээс бүрдэнэ). Дараа нь тухайн газарт Д функц z (x,y) дээд цэгтээ хүрдэг М ба хамгийн бага м үнэт зүйлс.

Нотлох баримт байхгүй.

Та олохын тулд дараах төлөвлөгөөг санал болгож болно М Тэгээд м .
1. Бид зураг зурж, талбайн хилийн бүх хэсгийг сонгоно Д хилийн бүх "булангийн" цэгүүдийг олоорой.
2. Дотор нь хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг ол Д .
3. Хил тус бүрийн хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг ол.
4. Бид бүх суурин болон булангийн цэгүүдийг тооцоолж, дараа нь хамгийн томыг нь сонгоно М ба хамгийн бага м утга.

Жишээ 1.14 Хамгийн ихийг ол М ба хамгийн бага м функцийн утгууд z = 4x2-2xy+y2-8x хаалттай газар Д , хязгаарлагдмал: x = 0, у = 0, 4х+3у=12 .

1. Талбай байгуулъя Д (Зураг 1.5) онгоцонд Өө .

Булангийн цэгүүд: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Хил Г бүс нутаг Д гурван хэсгээс бүрдэнэ:

2. Бүсийн доторх суурин цэгүүдийг ол Д :

3. Хил дээрх суурин цэгүүд л 1, л 2, л 3 :

4. Бид зургаан утгыг тооцоолно:

Жишээ

Жишээ 1.

Энэ функц нь хувьсагчийн бүх утгын хувьд тодорхойлогддог x Тэгээд y , хуваарь нь тэг рүү очдог эхээс бусад.

Олон гишүүнт x 2 +y 2 хаа сайгүй үргэлжилдэг тул тасралтгүй функцийн квадрат язгуур үргэлжилдэг.

Бутархай нь хуваарь нь тэгтэй тэнцүү цэгүүдээс бусад газарт үргэлжилдэг. Өөрөөр хэлбэл, авч үзэж буй функц нь бүхэл бүтэн координатын хавтгайд тасралтгүй байна Өө , гарал үүслийг эс тооцвол.

Жишээ 2.

Функцийн тасралтгүй байдлыг шалгана уу z=tg (x,y) . Шүргэгч хэмжигдэхүүний сондгой тоотой тэнцүү утгуудаас бусад аргументийн бүх хязгаарлагдмал утгуудын хувьд тодорхой бөгөөд тасралтгүй байна. π /2 , өөрөөр хэлбэл хаана байгаа цэгүүдийг эс тооцвол

Тогтмол бүрийн хувьд "к" тэгшитгэл (1.11) нь гиперболыг тодорхойлно. Тиймээс авч үзэж буй функц нь тасралтгүй функц юм x болон y , муруй (1.11) дээр байрлах цэгүүдийг оруулаагүй болно.

Жишээ 3.

Функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол u=z -xy , z > 0 .

Жишээ 4.

Энэ функцийг харуул

шинж чанарыг хангаж байна:

- энэ тэгш байдал бүх цэгүүдэд хүчинтэй М(x;y;z) , цэгээс бусад M 0 (a;b;c) .

Хоёр бие даасан хувьсагчийн z=f(x,y) функцийг авч үзээд хэсэгчилсэн хувьсагчийн геометрийн утгыг тогтооцгооё. z"x =f"x (x,y) Тэгээд z" y =f" y (x,y) .

Энэ тохиолдолд тэгшитгэл z=f (x,y) зарим гадаргуугийн тэгшитгэл байдаг (Зураг 1.3). Онгоц зурцгаая y = const . Энэ гадаргуугийн хавтгайн хэсэгт z=f (x,y) чи ямар нэгэн мөр авна л 1 Зөвхөн хэмжигдэхүүнүүд өөрчлөгддөг огтлолцол X Тэгээд z .

Хэсэгчилсэн дериватив z" x (түүний геометрийн утга нь нэг хувьсагчийн функцийн деривативын мэдэгдэж буй геометрийн утгаас шууд гардаг) өнцгийн тангенстай тоон хувьд тэнцүү байна. α тэнхлэгтэй харьцуулахад хазайлт Өө , шүргэгч L 1 муруй руу л 1 , үр дүнд нь гадаргуугийн хэсэг z=f (x,y) онгоц y = const цэг дээр M(x,y,f(xy)): z" x = tanα .

Гадаргуугийн хэсэгт z=f (x,y) онгоц X = const Та огтлолцох шугам авах болно л 2 , үүний дагуу зөвхөн тоо хэмжээ өөрчлөгддөг цагт Тэгээд z . Дараа нь хэсэгчилсэн дериватив z" y тоон хувьд өнцгийн тангенстай тэнцүү байна β тэнхлэгтэй харьцуулахад хазайлт Өө , шүргэгч L 2 заасан мөрөнд л 2 нэг цэгийн уулзварууд M(x,y,f(xy)): z" x = tanβ .

Жишээ 5.

Энэ нь тэнхлэгтэй ямар өнцөг үүсгэдэг вэ? Өө шугаманд шүргэгч:

цэг дээр М(2,4,5) ?

Бид хувьсагчийн хувьд хэсэгчилсэн деривативын геометрийн утгыг ашигладаг X (тогтмол цагт ):

Жишээ 6.

(1.31) дагуу:

Жишээ 7.

Тэгшитгэл гэж үзвэл

функцийг далд байдлаар тодорхойлдог

олох z" x , z" y .

Тиймээс (1.37) дагуу бид хариултыг авна.

Жишээ 8.

Хэт ихийг судлах:

1. (1.41) системийг шийдэх замаар суурин цэгүүдийг ол:

өөрөөр хэлбэл дөрвөн суурин цэг олддог.
2.

1.4 теоремоор тухайн цэг дээр хамгийн бага байна.

Түүнээс гадна

4. Бид зургаан утгыг тооцоолно:

Олж авсан зургаан утгуудаас хамгийн том, хамгийн жижигийг сонгоно уу.

Лавлагаа:

ü Белко И.В., Кузьмич К.К. Эдийн засагчдад зориулсан дээд математик. I семестер: Экспресс курс. – М.: Шинэ мэдлэг, 2002. – 140 х.

ü Gusak A. A.. Математик анализ ба дифференциал тэгшитгэл – Mn.: TetraSystems, 1998. – 416 х.

ü Гусак A. A.. Дээд математик. Их дээд сургуулийн оюутнуудад зориулсан сурах бичиг 2 боть. – Мн., 1998. – 544 х. (1 боть), 448 х. (2 т.).

ü Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Эдийн засагчдад зориулсан дээд математик: Их дээд сургуулиудад зориулсан сурах бичиг / Ed. проф. Н.Ш.Кремер – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 х.

ü Yablonsky A.I., Kuznetsov A.V., Shilkina E.I. болон бусад. Ерөнхий хичээл: Сурах бичиг / Ерөнхий. ed. С.А. Самал - Мн.: Выш. сургууль, 2000. – 351 х.

Үүнийг шийдэхийн тулд та сэдвийн талаар хамгийн бага мэдлэгтэй байх хэрэгтэй. Өөр нэг хичээлийн жил дуусч байна, бүгд амралтаараа явахыг хүсч байгаа бөгөөд энэ мөчийг ойртуулахын тулд би тэр дороо цэг рүү орох болно.

Бүс нутгаас эхэлье. Нөхцөл байдалд дурдсан талбай нь хязгаарлагдмал хаалттай хавтгай дээрх цэгүүдийн багц. Жишээлбэл, БҮХЭЛ гурвалжинг оруулаад гурвалжингаар хүрээлэгдсэн цэгүүдийн багц (хэрэвээс хил хязгаарДор хаяж нэг цэгийг "хатгавал" бүс хаагдахаа болино). Практикт тэгш өнцөгт, дугуй, арай илүү төвөгтэй хэлбэрийн хэсгүүд бас байдаг. Математик анализын онолд хатуу тодорхойлолт өгдөг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй хязгаарлалт, тусгаарлалт, хил хязгаар гэх мэт., гэхдээ хүн бүр эдгээр ойлголтуудыг зөн совингийн түвшинд мэддэг гэж би бодож байна, одоо өөр юу ч хэрэггүй.

Хавтгай талбайг ихэвчлэн үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд дүрмээр бол аналитик байдлаар - хэд хэдэн тэгшитгэлээр тодорхойлогддог. (заавал шугаман биш); тэгш бус байдал бага тохиолддог. Ердийн үг хэллэг: "шугамаар хүрээлэгдсэн хаалттай хэсэг".

Харж буй ажлын салшгүй хэсэг бол зураг дээрх талбайг барих явдал юм. Үүнийг яаж хийх вэ? Та жагсаасан бүх шугамыг зурах хэрэгтэй (энэ тохиолдолд 3 шулуун ) болон юу болсныг шинжлэх. Хайж буй хэсэг нь ихэвчлэн бага зэрэг сүүдэрлэдэг бөгөөд түүний хил нь зузаан шугамаар тэмдэглэгдсэн байдаг.

Үүнтэй ижил талбайг тохируулж болно шугаман тэгш бус байдал : , ямар нэг шалтгааны улмаас бус харин тоологдсон жагсаалт хэлбэрээр бичигдсэн байдаг систем .
Хил нь тухайн бүс нутагт хамаарах тул бүх тэгш бус байдал нь мэдээжийн хэрэг, сул.

Одоо даалгаврын мөн чанар. Тэнхлэг нь гарал үүслээсээ шууд өөр рүүгээ гарч байна гэж төсөөлөөд үз дээ. гэсэн функцийг авч үзье тасралтгүй тус бүртбүсийн цэг. Энэ функцийн график нь заримыг харуулж байна гадаргуу , мөн өчүүхэн аз жаргал нь өнөөдрийн асуудлыг шийдэхийн тулд бид энэ гадаргуу ямар харагддагийг мэдэх шаардлагагүй юм. Энэ нь илүү өндөр, доогуур байрлаж, онгоцыг огтолж болно - энэ бүхэн хамаагүй. Дараах нь чухал юм: дагуу Вейерштрассын теоремууд, тасралтгүй В хязгаарлагдмал хаалттайталбарт функц хамгийн их утгад хүрнэ ("хамгийн өндөр")ба хамгийн бага ("хамгийн бага")олох шаардлагатай үнэт зүйлс. Ийм үнэт зүйлд хүрдэг эсвэлВ суурин цэгүүд , бүс нутагт харьяалагддагД , эсвэлэнэ хэсгийн хил дээр байрлах цэгүүдэд. Энэ нь энгийн бөгөөд ил тод шийдлийн алгоритмд хүргэдэг:

Жишээ 1

Хязгаарлагдмал хаалттай бүсэд

Шийдэл: Юуны өмнө та зураг дээрх талбайг дүрслэх хэрэгтэй. Харамсалтай нь би асуудлын интерактив загварыг гаргах нь техникийн хувьд хэцүү тул судалгааны явцад олдсон бүх "сэжигтэй" цэгүүдийг харуулсан эцсийн дүрслэлийг нэн даруй танилцуулах болно. Тэдгээрийг ихэвчлэн илрүүлсний дараа дараалан жагсаадаг.

Оршил хэсэгт үндэслэн шийдвэрийг хоёр хэсэгт хувааж болно.

I) Хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг ол. Энэ бол бидний хичээл дээр олон удаа хийдэг стандарт үйлдэл юм. хэд хэдэн хувьсагчийн экстремумуудын тухай :

Хөдөлгөөнгүй цэгийг оллоо харьяалагддагбүсүүд: (зураг дээр тэмдэглэнэ үү), энэ нь өгөгдсөн цэг дээрх функцийн утгыг тооцоолох ёстой гэсэн үг юм.

- нийтлэлд байгаа шиг Сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд , Би тод үсгээр чухал үр дүнг тодруулах болно. Тэднийг тэмдэглэлийн дэвтэрт харандаагаар зурах нь тохиромжтой.

Бидний хоёр дахь аз жаргалд анхаарлаа хандуулаарай - шалгах нь утгагүй юм экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл . Яагаад? Тухайн үед функц хүрч байсан ч, жишээлбэл, орон нутгийн доод хэмжээ, тэгвэл энэ нь гарах утга нь байх болно гэсэн үг биш хамгийн багабүс нутаг даяар (хичээлийн эхлэлийг үзнэ үү болзолгүй туйлшралын тухай ) .

Хөдөлгөөнгүй цэг тухайн бүсэд хамаарахгүй бол яах вэ? Бараг юу ч биш! Үүнийг тэмдэглээд дараагийн цэг рүү шилжих хэрэгтэй.

II) Бид бүс нутгийн хилийг судалж байна.

Хил нь гурвалжингийн талуудаас бүрддэг тул судалгааг 3 дэд хэсэгт хуваахад тохиромжтой. Гэхдээ ямар ч байсан үүнийг хийхгүй байх нь дээр. Миний бодлоор эхлээд координатын тэнхлэгүүдтэй параллель сегментүүдийг, юуны түрүүнд тэнхлэг дээр хэвтэж буй хэсгүүдийг авч үзэх нь илүү ашигтай байдаг. Үйлдлүүдийн бүх дараалал, логикийг ойлгохын тулд "нэг амьсгалаар" төгсгөлийг судлахыг хичээ.

1) Гурвалжны доод талыг авч үзье. Үүнийг хийхийн тулд функцэд шууд орлуулна уу:

Эсвэл та үүнийг дараах байдлаар хийж болно.

Геометрийн хувьд энэ нь координатын хавтгай гэсэн үг юм (энэ нь мөн тэгшитгэлээр өгөгдсөн)-аас "сийлдэг" гадаргуу "орон зайн" парабол, түүний орой нь тэр даруй сэжиглэгдэж байна. Үүнийг олж мэдье тэр хаана байрладаг вэ :

- үүссэн утга нь тухайн хэсэгт "унасан" бөгөөд энэ нь тухайн үед гарч ирж магадгүй юм (зураг дээр тэмдэглэгдсэн)функц нь бүх бүс нутгийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгад хүрдэг. Ямар нэг байдлаар тооцооллыг хийцгээе:

Бусад "нэр дэвшигчид" нь мэдээжийн хэрэг сегментийн төгсгөлүүд юм. Функцийн утгыг цэгүүдээр тооцоолъё (зураг дээр тэмдэглэгдсэн):

Энд, дашрамд хэлэхэд, та "хуулагдсан" хувилбарыг ашиглан аман мини шалгалт хийж болно.

2) Гурвалжны баруун талыг судлахын тулд үүнийг функцэд орлуулж, "юмыг эмх цэгцтэй болго":

Энд бид нэн даруй бүдүүлэг шалгалт хийж, сегментийн аль хэдийн боловсруулсан төгсгөлийг "дуугана":
, Гайхалтай.

Геометрийн нөхцөл байдал нь өмнөх цэгтэй холбоотой:

- үүссэн утга нь "бидний ашиг сонирхлын хүрээнд орж ирсэн" бөгөөд энэ нь гарч ирсэн цэг дээрх функц нь юутай тэнцүү болохыг тооцоолох шаардлагатай гэсэн үг юм.

Сегментийн хоёр дахь төгсгөлийг авч үзье:

Функцийг ашиглах , хяналтын шалгалт хийцгээе:

3) Үлдсэн талыг хэрхэн судлахыг хүн бүр тааж магадгүй юм. Бид үүнийг функцэд орлуулж, хялбаршуулж байна:

Сегментийн төгсгөлүүд аль хэдийн судлагдсан боловч ноорог дээр бид функцийг зөв олсон эсэхийг шалгасаар байна :
- 1-р дэд хэсгийн үр дүнтэй давхцсан;
– 2-р заалтын үр дүнтэй давхцсан.

Сегмент дотор ямар нэгэн сонирхолтой зүйл байгаа эсэхийг олж мэдэхэд л үлдлээ.

- Байгаа! Шулуун шугамыг тэгшитгэлд орлуулснаар бид энэхүү "сонирхолтой байдлын" ординатыг олж авна.

Бид зураг дээрх цэгийг тэмдэглээд функцийн харгалзах утгыг олно.

"Төсөв" хувилбарыг ашиглан тооцооллыг шалгацгаая :
, захиалга.

Мөн эцсийн алхам: Бид бүх "том" тоонуудыг анхааралтай ажиглаж байгаа тул эхлэгчдэд нэг жагсаалт гаргахыг зөвлөж байна.

үүнээс бид хамгийн том ба хамгийн бага утгыг сонгоно. ХариулахОлж буй бодлогын хэв маягаар бичье сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд :

Ямар ч тохиолдолд би үр дүнгийн геометрийн утгыг дахин нэг удаа тайлбарлах болно.
- энэ бүс нутгийн гадаргуугийн хамгийн өндөр цэг;
- энэ бол тухайн газрын гадаргуугийн хамгийн доод цэг юм.

Шинжилгээнд хамрагдсан даалгаварт бид 7 "сэжигтэй" цэгийг тодорхойлсон боловч тэдгээрийн тоо ажил бүрд өөр өөр байдаг. Гурвалжин бүсийн хувьд хамгийн бага "судалгааны багц" нь гурван цэгээс бүрдэнэ. Энэ нь функц, жишээлбэл, зааж өгөх үед тохиолддог онгоц - Тогтвортой цэгүүд байхгүй нь тодорхой бөгөөд функц нь зөвхөн гурвалжны оройд хамгийн их / хамгийн бага утгуудад хүрч чаддаг. Гэхдээ үүнтэй төстэй ганц эсвэл хоёр жишээ байдаг - ихэвчлэн та ямар нэгэн зүйлтэй тулгардаг 2-р эрэмбийн гадаргуу .

Хэрэв та ийм даалгавруудыг бага зэрэг шийдвэл гурвалжин таны толгойг эргүүлж чадна, тиймээс би танд зориулж дөрвөлжин болгох ер бусын жишээ бэлдсэн :))

Жишээ 2

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол шугамаар хязгаарлагдсан битүү талбайд

Жишээ 3

Хязгаарлагдмал хаалттай талбайд функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол.

Бүс нутгийн хил хязгаарыг судлах оновчтой дараалал, техник, түүнчлэн завсрын шалгалтын гинжин хэлхээнд онцгой анхаарал хандуулах нь тооцооллын алдаанаас бараг бүрэн зайлсхийх болно. Ерөнхийдөө та үүнийг хүссэнээрээ шийдэж болно, гэхдээ зарим асуудалд, жишээлбэл, 2-р жишээнд таны амьдралыг илүү хэцүү болгох бүх боломж бий. Хичээлийн төгсгөлд хийх эцсийн даалгаврын ойролцоо жишээ.

Шийдлийн алгоритмыг системчилье, эс тэгвээс аалз шиг хичээнгүйлэн ажилласнаар энэ нь 1-р жишээний тайлбарын урт хэлхээнд ямар нэгэн байдлаар төөрсөн:

– Эхний шатанд бид талбайг барьж байгаа тул түүнийг сүүдэрлэж, хилийг тод зураасаар тодруулахыг зөвлөж байна. Шийдэл хийх явцад зураг дээр тэмдэглэх шаардлагатай цэгүүд гарч ирнэ.

– Хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг олж, функцийн утгыг тооцоол зөвхөн тэдний доторбүс нутагт харьяалагддаг. Бид текст дэх үр дүнгийн утгыг тодруулна (жишээлбэл, харандаагаар дугуйлна уу). Хэрэв хөдөлгөөнгүй цэг нь тухайн бүсэд хамаарахгүй бол бид энэ баримтыг дүрс эсвэл аман хэлбэрээр тэмдэглэнэ. Хэрэв суурин цэгүүд огт байхгүй бол бид тэдгээр нь байхгүй гэсэн дүгнэлтийг бичгээр гаргадаг. Ямар ч тохиолдолд энэ цэгийг алгасах боломжгүй юм!

– Бүс нутгийн хилийг судалж байна. Нэгдүгээрт, координатын тэнхлэгүүдтэй параллель шулуун шугамуудыг ойлгох нь ашигтай байдаг (хэрэв байгаа бол). Бид мөн "сэжигтэй" цэгүүдэд тооцоолсон функцийн утгыг онцлон тэмдэглэв. Уусмалын аргын талаар дээр маш их зүйлийг хэлсэн бөгөөд доор өөр зүйлийг хэлэх болно - унш, дахин унш, гүнзгийрээрэй!

– Сонгосон тоонуудаас хамгийн том, хамгийн бага утгыг сонгоод хариултаа өгнө үү. Заримдаа функц нь нэг дор хэд хэдэн цэг дээр ийм утгуудад хүрдэг - энэ тохиолдолд эдгээр бүх цэгүүдийг хариултанд тусгах ёстой. Жишээлбэл, Энэ нь хамгийн бага үнэ цэнэ болох нь тогтоогдсон. Дараа нь бид үүнийг бичнэ

Эцсийн жишээнүүд нь практикт хэрэг болох бусад ашигтай санаануудыг багтаасан болно.

Жишээ 4

Хаалттай муж дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол .

Талбайг давхар тэгш бус хэлбэрээр өгсөн зохиогчийн томъёоллыг би хэвээр үлдээсэн. Энэ нөхцлийг ижил төстэй системээр эсвэл энэ асуудлын хувьд илүү уламжлалт хэлбэрээр бичиж болно:

Би үүнийг танд сануулж байна шугаман бусдээр бид тэгш бус байдалтай тулгарсан бөгөөд хэрэв та тэмдэглэгээний геометрийн утгыг ойлгохгүй байгаа бол хойшлуулж болохгүй бөгөөд нөхцөл байдлыг яг одоо тодруулна уу;-)

Шийдэл, урьдын адил нэг төрлийн "ул"-ыг төлөөлөх талбайг барьж эхэлдэг:

Хмм, заримдаа зөвхөн шинжлэх ухааны боржин чулууг зажлах хэрэгтэй ...

I) Хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг ол:

Систем бол тэнэг хүний мөрөөдөл :)

Хөдөлгөөнгүй цэг нь тухайн бүс нутагт хамаардаг, тухайлбал түүний хил дээр байрладаг.

За тэгэхээр... хичээл амжилттай боллоо - зөв цай ууна гэдэг энэ л гэсэн үг =)

II) Бид бүс нутгийн хилийг судалж байна. Захиалахгүйгээр x тэнхлэгээс эхэлье.

1) Хэрэв бол

Параболагийн орой хаана байгааг олъё.
- ийм мөчүүдийг үнэлээрэй - та бүх зүйл аль хэдийн тодорхой болох хүртэл "цохисон". Гэхдээ бид шалгахаа мартдаггүй:

Сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг тооцоолъё.

2) "Нэг суултаар" "ул" -ын доод хэсгийг авч үзье - ямар ч цогцолборгүйгээр бид үүнийг функцэд орлуулж, зөвхөн сегментийг сонирхох болно.

Хяналт:

Энэ нь дугуйтай зам дагуу нэгэн хэвийн жолоодлого хийхэд зарим нэг сэтгэл хөдлөлийг аль хэдийн авчирдаг. Чухал цэгүүдийг олцгооё:

Ингээд шийдье квадрат тэгшитгэл , та энэ талаар өөр зүйл санаж байна уу? ...Гэхдээ мэдээжийн хэрэг, эс тэгвээс та эдгээр мөрүүдийг уншихгүй байх байсан гэдгийг санаарай =) Хэрэв өмнөх хоёр жишээн дээр аравтын бутархайгаар тооцоолох нь тохиромжтой байсан бол (энэ нь ховор тохиолддог), энд ердийн энгийн бутархайнууд байдаг. биднийг хүлээж байгаарай. Бид "X" үндсийг олж, "нэр дэвшигч" цэгүүдийн харгалзах "тоглоомын" координатыг тодорхойлохын тулд тэгшитгэлийг ашиглана.

Олдсон цэгүүд дээрх функцийн утгыг тооцоолъё.

Функцийг өөрөө шалгана уу.

Одоо бид хожсон цомуудыг сайтар судалж, бичиж байна хариулах:

Эдгээр нь "нэр дэвшигчид", эдгээр нь "нэр дэвшигчид"!

Үүнийг өөрөө шийдэхийн тулд:

Жишээ 5

Функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгыг ол хаалттай газар

Буржгар хаалттай оруулга нь "тогтоосон цэгүүд" гэж бичнэ.

Заримдаа ийм жишээнд тэд ашигладаг Лагранжийн үржүүлэгчийн арга , гэхдээ үүнийг ашиглах бодит шаардлага байхгүй байх магадлалтай. Жишээлбэл, хэрэв "de" талбайтай ижил функц өгөгдсөн бол түүнийг орлуулсны дараа - ямар ч бэрхшээлээс үүссэн дериватив; Түүнээс гадна дээд ба доод хагас тойргийг тусад нь авч үзэх шаардлагагүйгээр бүх зүйлийг "нэг мөрөнд" (тэмдэглэгээтэй) зурдаг. Гэхдээ мэдээжийн хэрэг, Лагранж функцгүй тохиолдолд илүү төвөгтэй тохиолдол байдаг (жишээлбэл, тойрогтой ижил тэгшитгэл байна)Сайн амрахгүйгээр явахад хэцүү байдаг шиг үүнийг даван туулахад хэцүү байдаг!

Бүгдээрээ сайхан амраарай, дараа улирал удахгүй уулзацгаая!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2: Шийдэл: Зураг дээрх талбайг дүрсэлцгээе:

§ Хэд хэдэн хувьсагчийн функцүүдийн экстремум, хамгийн их ба хамгийн бага утгууд - хуудас №1/1

§ 8. Хэд хэдэн хувьсагчийн функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд.

1. Хэд хэдэн хувьсагчийн функцүүдийн экстремум.

онгоц

энэ талбар дахь цэг юм.

Цэг
дуудсан хамгийн дээд цэг функцууд
, хэрэв ямар нэгэн цэгийн хувьд

тэгш бус байдал бий

Үүнтэй адил оноо
дуудсан хамгийн бага цэг функцууд
, хэрэв ямар нэгэн цэгийн хувьд
нэг цэгийн хөршөөс
тэгш бус байдал бий

Тэмдэглэл. 1) Тодорхойлолтуудын дагуу функц
тухайн цэгийн зарим хөршид тодорхойлогдсон байх ёстой
. Тэдгээр. функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүд
зөвхөн бүс нутгийн дотоод цэгүүд байж болно
.

2) Хэрэв тухайн цэгийн хөрш байгаа бол
, аль ч цэгийн хувьд
-аас ялгаатай
тэгш бус байдал бий

(

), дараа нь цэг
дуудсан хатуу дээд цэг (тус тус хатуу доод цэг ) функцууд
. Үүнтэй холбогдуулан дээр дурдсан хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг заримдаа хатуу бус дээд ба хамгийн бага оноо гэж нэрлэдэг.

Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг түүний гэж нэрлэдэг экстремум цэгүүд . Хамгийн их ба хамгийн бага цэг дээрх функцын утгыг тус тус дуудна өндөр Тэгээд доод хэмжээ , эсвэл товчхондоо, туйлшрал энэ функц.

Экстремын тухай ойлголтууд нь орон нутгийн шинж чанартай байдаг: тухайн цэг дэх функцийн утга
нэлээн ойрхон цэгүүдийн функцын утгуудтай харьцуулна. Тухайн хэсэгт функц нь экстремумгүй байж болно, эсвэл хэд хэдэн минимум, хэд хэдэн максимум, бүр хязгааргүй тооны аль алинтай байж болно. Түүнчлэн, зарим доод хэмжээ нь түүний зарим дээд хэмжээнээс их байж болно. Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг түүний хамгийн их ба хамгийн бага утгатай андуурч болохгүй.

Экстремум үүсэхэд шаардлагатай нөхцлийг олцгооё. Жишээлбэл,
- функцийн хамгийн дээд цэг
. Дараа нь тодорхойлолтоор бол gif" align=absmiddle width="17px" height="18px">-цэгний хөрш байна.
тиймэрхүү
ямар ч цэгийн хувьд
энэ орчмоос. Ялангуяа,

(1)

Хаана
,
, Мөн

(2)

Хаана
,
. Гэхдээ (1) нь нэг хувьсагчийн функц гэсэн үг
цэг дээр байна хамгийн их буюу интервал дээр байна
тогтмол. Тиймээс,

эсвэл
- байхгүй,

⇒
эсвэл
- байхгүй.

Үүний нэгэн адил, (2) -аас бид үүнийг олж авдаг

эсвэл
- байхгүй.

Тиймээс дараах теорем хүчинтэй байна.

ТЕОРЕМ 8.1. (экстремумын зайлшгүй нөхцөл). Хэрэв функц
цэг дээр
нь экстремумтай бол энэ үед түүний эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудын аль аль нь тэгтэй тэнцүү эсвэл эдгээр хэсэгчилсэн деривативуудын ядаж нэг нь байхгүй байна.

Геометрийн хувьд теорем 8.1 нь хэрэв
– функцийн экстремум цэг
, тэгвэл цэг дээрх энэ функцийн графиктай шүргэгч хавтгай нь хавтгайтай параллель байна
, эсвэл огт байхгүй. Үүнийг шалгахын тулд гадаргуутай шүргэгч хавтгайн тэгшитгэлийг хэрхэн олохыг санахад хангалттай (томъёо (4.6)-г үзнэ үү).

Теорем 8.1-ийн нөхцлийг хангасан цэгүүдийг дуудна чухал цэгүүд функцууд
. Нэг хувьсагчийн функцийн хувьд экстремумд шаардлагатай нөхцөл хангалтгүй байдаг. Тэдгээр. Функцийн эгзэгтэй цэг бүр нь түүний экстремум цэг болохгүй.

ЖИШЭЭ.Функцийг авч үзье
. Цэг
Энэ функцийн хувьд чухал ач холбогдолтой, учир нь энэ үед түүний нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив хоёулаа
Тэгээд
тэгтэй тэнцүү байна. Гэсэн хэдий ч энэ нь туйлын цэг биш байх болно. Үнэхээр,
, гэхдээ цэгийн аль ч хөршид
Функц эерэг утгыг авдаг цэгүүд ба сөрөг утгыг авдаг цэгүүд байдаг. Хэрэв та гиперболын параболоид функцийн графикийг бүтээвэл үүнийг шалгахад хялбар байдаг.

Хоёр хувьсагчийн функцийн хувьд хамгийн тохиромжтой хангалттай нөхцлийг дараах теоремоор өгөгдсөн.

ТЕОРЕМ 8.2. (хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумын хангалттай нөхцөл). Болъё
- функцийн чухал цэг
мөн цэгийн зарим хөршид
функц нь хоёр дахь эрэмбэ хүртэл тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай. гэж тэмдэглэе

,
,
.

Дараа нь 1) хэрэв
, дараа нь зааж өгнө үү
туйлын цэг биш;

Хэрэв бид эгзэгтэй цэгийг судлахын тулд теорем 8.2-ыг ашиглавал
амжилтгүй болсон (жишээ нь
эсвэл функц нь хөршдөө ямар ч утгагүй юм
шаардлагатай дарааллын тасралтгүй хэсэгчилсэн дериватив), тухайн цэг дээр байгаа эсэх талаархи асуултын хариулт
extremum нь энэ үед функцийн өсөлтийн тэмдгийг өгнө.

Үнэн хэрэгтээ, тодорхойлолтоос харахад хэрэв функц бол
цэг дээр байна
дараа нь хатуу дээд хэмжээ

бүх онооны хувьд
нэг цэгийн хөршөөс
, эсвэл, өөрөөр

бүх хангалттай жижиг
Тэгээд
. Үүний нэгэн адил, хэрэв
нь хатуу хамгийн бага цэг юм, дараа нь бүх хангалттай бага
Тэгээд
тэгш бус байдлыг хангах болно
.

Тэгэхээр эгзэгтэй цэг мөн эсэхийг мэдэхийн тулд
экстремум цэг бол энэ цэг дэх функцийн өсөлтийг шалгах шаардлагатай. Хэрэв бүх зүйл хангалттай жижиг бол
Тэгээд
энэ нь тэмдгийг хадгалах болно, дараа нь цэг дээр
функц нь хатуу экстремумтай (хамгийн бага бол
, хэрэв дээд тал нь
).

Сэтгэгдэл. Энэ дүрэм нь хатуу бус экстремумын хувьд үнэн хэвээр байгаа боловч зарим утгын хувьд нэмэлт өөрчлөлт оруулав
Тэгээд
функцийн өсөлт тэг болно
ЖИШЭЭ. Функцийн туйлшралыг олох:

1)
; 2)
.

1) функц

Тэгээд

бас хаа сайгүй байдаг. Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

хоёр чухал цэгийг ол

Тэгээд

Чухал цэгүүдийг судлахын тулд бид 8.2 теоремыг ашиглана. Бидэнд:

,
,
.

Гол санааг нь судалцгаая
:

,
,
,

;
.

Тиймээс, цэг дээр
Энэ функц нь хамгийн бага, тухайлбал
.

Чухал цэгийг судалж байна
:

,
,
,

.

Тиймээс хоёр дахь чухал цэг нь функцийн экстремум цэг биш юм.

2) функц

хаа сайгүй тодорхойлсон. Түүний эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд

мөн тэд хаа сайгүй байдаг. Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

цорын ганц чухал цэгийг олъё

Чухал цэгийг судлахын тулд бид 8.2 теоремыг ашиглана. Бидэнд:

,
,
,

,
,
,

.

Нэг цэгт экстремум байгаа эсэхийг тодорхойлох
Теорем 8.2-ыг ашиглах нь амжилтгүй болсон.

Цэг дэх функцийн өсөлтийн тэмдгийг шалгая
:

Хэрэв
, Тэр
;

Хэрэв
, Тэр
.

Түүнээс хойш
цэгийн ойролцоо тэмдэг хадгалдаггүй
, тэгвэл энэ үед функц нь экстремумгүй болно.

Экстремумын хамгийн их ба хамгийн бага утга, шаардлагатай нөхцлийн тодорхойлолтыг гурав ба түүнээс дээш хувьсагчийн функцүүдэд хялбархан шилжүүлдэг. Функцийн экстремумын хангалттай нөхцөл

(

) хувьсагчдыг нарийн төвөгтэй байдлаас шалтгаалан энэ хичээлд авч үзэхгүй. Энэ тохиолдолд бид чухал цэгүүдийн шинж чанарыг функцийн өсөлтийн тэмдгээр тодорхойлно.

2. Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд.

Хоёр хувьсагчийн функцийг үзье

зарим хэсэгт тодорхойлсон

онгоц

- энэ бүсийн цэгүүд. Нэг цэг дэх функцийн утга

дуудсан хамгийн том , хэрэв ямар нэгэн цэгийн хувьд

бүс нутгаас

тэгш бус байдал бий

Үүний нэгэн адил цэг дээрх функцийн утга
дуудсан хамгийн жижиг , хэрэв ямар нэгэн цэгийн хувьд
бүс нутгаас
тэгш бус байдал бий

.

Өмнө нь бид аль хэдийн хэлсэн бол функц тасралтгүй ба талбай
- хаалттай бөгөөд хязгаарлагдмал бол функц нь энэ хэсэгт хамгийн их, хамгийн бага утгыг авдаг. Үүний зэрэгцээ оноо
Тэгээд
талбайн дотор аль аль нь хэвтэж болно
, мөн түүний хил дээр. Хэрэв цэг бол
(эсвэл
) бүс нутагт оршдог
, тэгвэл энэ нь функцийн хамгийн их (хамгийн бага) цэг болно
, өөрөөр хэлбэл бүс доторх функцийн чухал цэг
. Тиймээс функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох
бүс нутагт
хэрэгтэй:
.

Хамгийн дээд ба хамгийн бага утгууд

Хязгаарлагдмал хаалттай мужид хязгаарлагдсан функц нь суурин цэгүүд эсвэл тухайн бүсийн хил дээр байрлах цэгүүдэд хамгийн их ба хамгийн бага утгуудад хүрдэг.

Функцийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг олохын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:

1. Энэ талбайн дотор байрлах хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг олж, тэдгээрт байгаа функцийн утгыг тооцоол.

2. Бүс нутгийн зааг дээрх функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утгыг ол.

3. Бүх олж авсан функцийн утгыг харьцуулна уу: хамгийн том (хамгийн бага) нь энэ талбар дахь функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утга байх болно.

Жишээ 2. Функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утгыг ол: тойрог дотор.

Шийдэл.

хөдөлгөөнгүй цэг; .

2 .Энэ хаалттай хэсгийн хил нь тойрог буюу , энд .

Бүс нутгийн хил дээрх функц нь нэг хувьсагчийн функц болж хувирна: , энд . Энэ функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олцгооё.

x=0 үед; (0,-3) ба (0,3) нь чухал цэгүүд юм.

Сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг тооцоолъё

3 . Бид үнэ цэнийг бие биетэйгээ харьцуулж,

А ба В цэгүүдэд.

C ба D цэгүүдэд.

Жишээ 3.Тэгш бус байдлаар тодорхойлогдсон хаалттай муж дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол.

Шийдэл. Талбай нь координатын тэнхлэгүүд ба x+y=1 шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн гурвалжин юм.

1. Бид бүс доторх суурин цэгүүдийг олдог:

; ; y = - 1/ 8; x = 1/8.

Хөдөлгөөнгүй цэг нь авч үзэж буй бүсэд хамаарахгүй тул z утгыг тооцохгүй.

2 .Бид функцийг зааг дээр судалдаг. Хил нь гурван өөр тэгшитгэлээр тодорхойлсон гурван хэсгээс бүрддэг тул бид хэсэг тус бүрийн функцийг тусад нь судална.

А) 0А хэсэгт: y=0 - тэгшитгэл 0А, тэгвэл ; тэгшитгэлээс харахад функц 0-ээс 1 хүртэл 0А-аар нэмэгдэх нь тодорхой байна.Энэ нь .

б) 0B хэсэгт: x=0 - тэгшитгэл 0B, дараа нь ; –6ж+1=0; - чухал цэг.

В) x+y = 1: y=1-x мөрөнд функцийг авна

B(0,1) цэг дээрх z функцийн утгыг бодъё.

3 .Тоонуудыг харьцуулж үзвэл бид үүнийг олж авна

Шулуун AB дээр.

В цэг дээр.

Мэдлэгээ өөрөө хянах тестүүд.

1. Функцийн экстремум нь

a) түүний эхний эрэмбийн деривативууд

б) түүний тэгшитгэл

в) түүний хуваарь