Тогтмол x 0 цэгийн зарим хөршийн дурын цэгийн мөсийг x гэж үзье. x - x 0 ялгааг ихэвчлэн x 0 цэг дээрх бие даасан хувьсагчийн өсөлт (эсвэл аргументийн өсөлт) гэж нэрлэдэг ба Δx гэж тэмдэглэнэ. Энэ замаар,

Δx = x –x 0,

үүнээс үүдэн үүнийг дагадаг

Функцийн өсөлт -функцийн хоёр утгын ялгаа.

Функцийг зөвшөөр цагт = f (x), аргументийн утга тэнцүү байх үед тодорхойлогддог X 0. Аргументад D өсөлтийг өг X, ᴛ.ᴇ. аргументийн утгыг тэнцүү гэж үзнэ х 0 + D X... Энэ аргументын утга мөн энэ функцийн хүрээнд байна гэж бодъё. Дараа нь ялгаа нь D y = f (x 0 + D X) – f (x 0)функцийг нэмэгдэл гэж нэрлэдэг заншилтай. Функцийн өсөлт е(х) цэг дээр хнь ихэвчлэн Δ-ээр тэмдэглэгдсэн функц юм x fшинэ хувьсагч Δ дээр хгэж тодорхойлсон

Δ x f(Δ х) = е(х + Δ х) − е(х).

Хэрэв х 0 цэг дээрх аргументийн өсөлт ба функцийн өсөлтийг ол

Жишээ 2. f (x) = x 2 функцийн өсөлтийг ол, хэрэв x = 1, ∆x = 0.1 бол.

Шийдэл: f (x) = x 2, f (x + ∆x) = (x + ∆x) 2

∆f = f (x + ∆x) - f (x) = (x + ∆x) 2 - x 2 = x 2 + 2x * ∆x + ∆x 2 - x 2 = 2x * функцийн өсөлтийг ол. ∆x + ∆x 2 /

x = 1 ба ∆х = 0.1 утгыг орлуулснаар бид ∆f = 2 * 1 * 0.1 + (0.1) 2 = 0.2 + 0.01 = 0.21 болно.

Х 0 цэг дээрх аргументийн өсөлт ба функцийн өсөлтийг ол

2.f (x) = 2x 3.x 0 = 3 x = 2.4

3.f (x) = 2x 2 +2 x 0 = 1 x = 0.8

4.f (x) = 3x + 4 x 0 = 4 x = 3.8

Тодорхойлолт: ДеривативТухайн цэг дэх функцийг тэглэх хандлагатай байгаа тохиолдолд функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаарыг (хэрэв байгаа бөгөөд төгсгөлтэй бол) гэж нэрлэх нь заншилтай байдаг.

Дараахь дериватив тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг.

Энэ замаар,

Деривативыг олохыг ихэвчлэн нэрлэдэг ялгах ... Танилцуулсан дифференциалагдах функцийн тодорхойлолт: Тодорхой интервалын цэг бүрт деривативтай f функцийг ихэвчлэн тухайн интервал дээр дифференциалагдах гэж нэрлэдэг.

Функцийг цэгийн аль нэг хэсэгт тодорхойлъё; У(х 0) хэлбэрээр төлөөлж болно

е(х 0 + h) = е(х 0) + Аа + о(h)

хэрэв байгаа бол.

Цэг дэх функцийн деривативыг тодорхойлох.

Функцийг зөвшөөр f (x)интервалаар тодорхойлогддог (а; б), ба эдгээр интервалын цэгүүд юм.

Тодорхойлолт... Дериватив функц f (x)нэг цэгт функцийн өсөлтийн харьцааны хязгаарыг аргументийн өсөлт гэж нэрлэх нь заншилтай байдаг. Үүнийг зааж өгсөн.

Сүүлийн хязгаар нь тодорхой эцсийн утгыг авах үед тэд оршин тогтнох тухай ярьдаг цэг дээрх эцсийн дериватив... Хэрвээ хязгаар нь хязгааргүй бол тэд ингэж хэлдэг өгөгдсөн цэг дээр дериватив нь хязгааргүй юм... Хэрэв хязгаарлалт байхгүй бол функцийн дериватив энэ үед байхгүй.

Чиг үүрэг f (x)хязгаарлагдмал дериватив байх үед тухайн цэгийг дифференциал гэж нэрлэдэг.

Хэрэв функц f (x)зарим интервалын цэг бүрт ялгах боломжтой (а; б), тэгвэл функцийг энэ интервал дээр дифференциалагдах гэж нэрлэдэг. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, ямар ч цэг ххооронд нь (а; б)Бид энэ үед функцийн деривативын утгыг холбож болно, өөрөөр хэлбэл, функцийн дериватив гэж нэрлэгддэг шинэ функцийг тодорхойлох боломж бидэнд байна. f (x)интервал дээр (а; б).

Дериватив олох үйлдлийг ихэвчлэн ялгах гэж нэрлэдэг.

1. аргументийн өсөлт ба функцийн өсөлт.

Функц өгье. Аргументийн хоёр утгыг авч үзье: анхны болон өөрчлөгдсөн, үүнийг ихэвчлэн тэмдэглэдэг
, хаана - эхний утгаас хоёр дахь утга руу шилжих үед аргумент өөрчлөгдөх утгыг нэрлэдэг аргументыг нэмэгдүүлэх замаар.

Аргументуудын утгууд ба тодорхой функцийн утгуудтай тохирч байна: эхний болон өөрчлөгдсөн
, үнэ цэнэ , үүгээр аргумент тодорхой хэмжээгээр өөрчлөгдөхөд функцийн утга өөрчлөгддөгийг дууддаг функцын өсөлтөөр.

2. цэг дэх функцийн хязгаарын тухай ойлголт.

Тоо функцийн хязгаар гэж нэрлэдэг
анхаарал тавих үед хэрэв ямар нэгэн дугаарын хувьд
ийм тоо байдаг
энэ бүгдэд зориулагдсан
тэгш бус байдлыг хангаж байна
, тэгш бус байдал
.

Хоёрдахь тодорхойлолт: Хэрэв аль нэг тооны хувьд тухайн цэгийн хөрш байгаа бол тухайн тоог чиглэх функцийн хязгаар гэж нэрлэдэг. тэмдэглэгдсэн
.

3. цэг дэх хязгааргүй том ба хязгааргүй жижиг функцууд. Тухайн цэг рүү чиглэх үед хязгаар нь тэг байх функцийг цэг дээрх хязгааргүй жижиг функц гэнэ. Нэг цэгийн хязгааргүй том функц нь тухайн цэг рүү чиглэх үед хязгаар нь хязгааргүйтэй тэнцүү функц юм.

4. хязгаар ба тэдгээрийн үр дагаврын талаархи үндсэн теоремууд (баталгаагүй).

Үр дагавар: тогтмол хүчин зүйлийг хязгаарын тэмдэгээс гаргаж болно:

Хэрэв дараалал ба нийлэх ба дарааллын хязгаар тэгээс өөр байна

үр дагавар: тогтмол хүчин зүйлийг хязгаарын тэмдэгээс гаргаж болно.

11. хэрэв функцийн хязгаар байгаа бол
болон
функцийн хязгаар нь тэгээс ялгаатай,

Дараа нь функцүүдийн хязгаарын харьцаатай тэнцүү тэдгээрийн харьцааны хязгаар байдаг ба:

.

12. хэрэв
, дараа нь
, эсрэгээр нь бас үнэн.

13. завсрын дарааллын хязгаарын тухай теорем. Хэрэв дараалал
нэгтгэх, ба
болон
тэгээд

5. хязгааргүй дэх функцийн хязгаар.

a тоог хязгааргүйд чиглэсэн функцийн хязгаар гэж нэрлэдэг (х нь хязгааргүй рүү тэмүүлдэг тул) хэрэв хязгааргүй рүү тэмүүлдэг аливаа дарааллын хувьд
тоонд чиглэсэн утгуудын дараалал байдаг а.

6. g нь тоон дарааллын хязгаар.

Тоо аэерэг тооны хувьд тоон дарааллын хязгаар гэж нэрлэдэг бүгдэд зориулагдсан натурал N тоо байдаг n> Нтэгш бус байдал хэвээр байна
.

Үүнийг бэлгэдлийн хувьд дараах байдлаар тодорхойлно.
шударга.

Энэ нь тоо аДараах байдлаар тэмдэглэсэн дарааллын хязгаар юм.

.

7. "e" тоо. байгалийн логарифмууд.

Тоо "Э" тооны дарааллын хязгаарыг илэрхийлнэ, n- хэний гишүүн
, өөрөөр хэлбэл

.

Байгалийн логарифм - суурьтай логарифм д. натурал логарифмуудыг тэмдэглэв
үндэслэлийг тодорхой заагаагүй.

Тоо
аравтын бутархайгаас натурал логарифм руу буцах боломжийг олгоно.

, үүнийг натурал логарифмаас аравтын тоо руу шилжих модуль гэнэ.

8. гайхалтай хязгаар
,

.

Эхний гайхалтай хязгаар:

Тиймээс цагт

завсрын дарааллын хязгаарын теоремоор

Хоёр дахь гайхалтай хязгаар:

.

Хязгаарлалт байгаа эсэхийг нотлохын тулд
ямар ч бодит тооны хувьд лемма-г ашигла
болон
тэгш бус байдал нь үнэн юм
(2) (for
эсвэл
тэгш бус байдал нь тэгш байдал болж хувирдаг.)

Дараалал (1)-ийг дараах байдлаар бичиж болно.

.

Одоо нийтлэг нэр томъёо бүхий туслах дарааллыг авч үзье
багасч, доороос хязгаарлагдмал байгаа эсэхийг шалгаарай:
хэрэв
, дараа нь дараалал буурч байна. Хэрэв
, дараа нь доороос нь хязгаарлагдана. Үүнийг үзүүлье:

тэгш байдлын улмаас (2)

өөрөөр хэлбэл
эсвэл
... Энэ нь дараалал нь доороос хязгаарлагдах тул дараалал буурч байна. Хэрэв дараалал нь буурч, доороос хязгаарлагдмал байвал энэ нь хязгаартай болно. Дараа нь

нь хязгаар ба дараалалтай (1), оноос хойш

болон
.

Энэ хязгаарыг Л.Эйлер нэрлэсэн .

9. нэг талын хязгаар, функциональ зөрүү.

Дурын дарааллын хувьд дараах үнэн байвал А тоо нь зүүн хязгаар юм:.

Хэрэв ямар нэгэн дарааллын хувьд дараах үнэн байвал А тоо зөв хязгаар болно:.

Хэрэв цэг дээр бол афункцийн тодорхойлолтын муж эсвэл түүний хил хязгаарт хамаарах функцийн тасралтгүй байдлын нөхцөл зөрчигдөж, дараа нь цэг афункцийн тасалдал буюу тасалдлын цэг гэж нэрлэдэг.

12. хязгааргүй буурах геометр прогрессийн гишүүдийн нийлбэр. Геометр прогресс гэдэг нь дараагийн болон өмнөх гишүүдийн хоорондын харьцаа өөрчлөгдөөгүй байх дараалал бөгөөд энэ харьцааг прогрессийн хуваагч гэж нэрлэдэг. Эхний нийлбэр nгеометр прогрессийн гишүүдийг томъёогоор илэрхийлнэ
буурч буй геометр прогрессийн хувьд энэ томъёог ашиглах нь тохиромжтой байдаг - түүний хуваарийн үнэмлэхүй утга нь тэгээс бага байх прогресс юм. - анхны гишүүн; - прогрессийн хуваагч; - дарааллын авсан гишүүний дугаар. Хязгааргүй буурах прогрессийн нийлбэр гэдэг нь буурах прогрессийн эхний гишүүдийн нийлбэр нь хязгааргүй өсөхөд хязгааргүй ойртож буй тоог хэлнэ.
тэгээд. Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн гишүүний нийлбэр нь .

Тодорхойлолт 1

Хэрэв тодорхой бүс нутгийн бие даасан хоёр хувьсагчийн $ (x, y) $ хос бүрийн хувьд $ z $ тодорхой утгатай холбоотой бол $ z $ нь $ (x, y) гэсэн хоёр хувьсагчийн функц гэж нэрлэгддэг. у) $. Тэмдэглэгээ: $ z = f (x, y) $.

$ z = f (x, y) $ функцийн тухайд функцийн ерөнхий (бүтэн) болон хэсэгчилсэн өсөлтийн тухай ойлголтуудыг авч үзье.

$ (x, y) $ гэсэн бие даасан хоёр хувьсагчийн $ z = f (x, y) $ функцийг өгье.

Тайлбар 1

$ (x, y) $ хувьсагчид бие даасан байдаг тул тэдгээрийн нэг нь өөрчлөгдөж, нөгөө нь тогтмол хэвээр үлдэнэ.

$ y $ хувьсагчийн утгыг өөрчлөхгүйгээр $ x $ хувьсагчийг $ \ Delta x $ -оор нэмэгдүүлье.

Дараа нь $ z = f (x, y) $ функц нь өсөлтийг хүлээн авах бөгөөд үүнийг $ x $ хувьсагчийн хувьд $ z = f (x, y) $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт гэж нэрлэнэ. Зориулалт:

Үүний нэгэн адил $ x $ хувьсагчийн утгыг хэвээр үлдээж $ y $ хувьсагчид $ \ Delta y $ -ийн өсөлтийг өгье.

Дараа нь $ z = f (x, y) $ функц нь $ y $ хувьсагчийн хувьд $ z = f (x, y) $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт гэж нэрлэгддэг өсөлтийг хүлээн авах болно. Зориулалт:

Хэрэв $ x $ аргументад $ \ Delta x $, аргумент $ y $ - өсөлт $ \ Delta y $ өгөгдсөн бол $ z = f (x, y) $ өгөгдсөн функцийн бүрэн өсөлт нь байна. олж авсан. Зориулалт:

Тиймээс бидэнд:

$ \ Delta _ (x) z = f (x + \ Delta x, y) -f (x, y) $ - $ x $-д хамаарах $ z = f (x, y) $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт;

$ \ Delta _ (y) z = f (x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - $ y $ -д хамаарах $ z = f (x, y) $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - функцийн бүрэн өсөлт $ z = f (x, y) $.

Жишээ 1

Шийдэл:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $ - функцийн хэсэгчилсэн өсөлт $ z = f (x, y) $ -д хамаарах $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $ нь $ z = f (x, y) $ функцийн $ y $-д хамаарах хэсэгчилсэн өсөлт юм.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - $ z = f (x, y) $ функцийн бүрэн өсөлт.

Жишээ 2

$ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1 $-д $ (1; 2) $ цэгийн $ z = xy $ функцийн хуваалт ба нийт өсөлтийг тооцоол.

Шийдэл:

Хувийн өсөлтийн тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг олно.

$ \ Delta _ (x) z = (x + \ Delta x) \ cdot y $ - $ z = f (x, y) $ функцийн $ x $-д хамаарах хэсэгчилсэн өсөлт

$ \ Delta _ (y) z = x \ cdot (y + \ Delta y) $ - $ y $ -д хамаарах $ z = f (x, y) $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт;

Бүрэн өсөлтийн тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг олно.

$ \ Delta z = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) $ - функцийн бүрэн өсөлт $ z = f (x, y) $.

Тиймээс,

\ [\ Дельта _ (х) z = (1 + 0.1) \ cdot 2 = 2.2 \] \ [\ Дельта _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0.1) = 2.1 \] \ [\ Дельта z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) = 1.1 \ cdot 2.1 = 2.31. \]

Тайлбар 2

Өгөгдсөн функцийн нийт өсөлт $ z = f (x, y) $ нь түүний $ \ Delta _ (x) z $ ба $ \ Delta _ (y) z $ хэсэгчилсэн нэмэгдлүүдийн нийлбэртэй тэнцүү биш байна. Математик тэмдэглэгээ: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

Жишээ 3

Функцийн баталгааны тайлбарыг шалгана уу

Шийдэл:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ (1-р жишээнээс авсан)

Өгөгдсөн $ z = f (x, y) $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлтийн нийлбэрийг ол

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z = x + \ Delta x + y + (x + y + \ Delta y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Delta x + \ Дельта жил \]

\ [\ Дельта _ (х) z + \ Дельта _ (y) z \ ne \ Дельта z. \]

Тодорхойлолт 2

Хэрэв тодорхой бүс нутгийн бие даасан гурван хувьсагчийн гурвалсан $ (x, y, z) $ бүрт тодорхой $ w $ утгатай холбоотой бол $ w $ нь гурван хувьсагчийн функц гэж нэрлэгддэг $ ( x, y, z) энэ хэсэгт $.

Тэмдэглэгээ: $ w = f (x, y, z) $.

Тодорхойлолт 3

Хэрэв тодорхой бүс нутгийн бие даасан хувьсагчдын $ (x, y, z, ..., t) $ цуглуулга бүрийн хувьд $ w $-ийн тодорхой утга холбогдсон бол $ w $ нь функц гэнэ. хувьсагчийн $ (x, y, z, ..., t) $ энэ домайн дахь.

Тэмдэглэгээ: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

Гурав ба түүнээс дээш хувьсагчийн функцийн хувьд хоёр хувьсагчийн функцийн нэгэн адил хувьсагч бүрийн хувьд хэсэгчилсэн өсөлтийг тодорхойлно.

$ \ Delta _ (z) w = f (x, y, z + \ Delta z) -f (x, y, z) $ - функцийн хэсэгчилсэн өсөлт $ w = f (x, y, z, .. ., t ) $ by $ z $;

$ \ Delta _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Delta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт w = f (x, y, z, ..., t) $ by $ t $.

Жишээ 4

Функцийн коэффициент ба нийт өсөлтийг бич

Шийдэл:

Хувийн өсөлтийн тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг олно.

$ \ Delta _ (x) w = ((x + \ Delta x) + y) \ cdot z $ - $ x $-д хамаарах $ w = f (x, y, z) $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт

$ \ Delta _ (y) w = (x + (y + \ Delta y)) \ cdot z $ - функцийн хэсэгчилсэн өсөлт $ w = f (x, y, z) $ $ y $ -тэй харьцуулахад;

$ \ Delta _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - $ z $ -д хамаарах $ w = f (x, y, z) $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт;

Бүрэн өсөлтийн тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг олно.

$ \ Delta w = ((x + \ Delta x) + (y + \ Delta y)) \ cdot (z + \ Delta z) $ - функцийн бүрэн өсөлт $ w = f (x, y, z) $ .

Жишээ 5

$ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1; \, $ (1; 2; 1) $ цэг дэх $ w = xyz $ функцийн коэффициент ба нийт өсөлтийг тооцоол. \, \ Delta z = 0.1 $.

Шийдэл:

Хувийн өсөлтийн тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг олно.

$ \ Delta _ (x) w = (x + \ Delta x) \ cdot y \ cdot z $ - $ x $-д хамаарах $ w = f (x, y, z) $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт

$ \ Delta _ (y) w = x \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot z $ - $ y $ -д хамаарах $ w = f (x, y, z) $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт;

$ \ Delta _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Delta z) $ - $ z $-д хамаарах $ w = f (x, y, z) $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт;

Бүрэн өсөлтийн тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг олно.

$ \ Delta w = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - функцийн бүрэн өсөлт $ w = f (x, y, z) $.

Тиймээс,

\ [\ Delta _ (x) w = (1 + 0.1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0.1) \ cdot 1 = 2.1 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0.1) = 2.2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) \ cdot (1 + 0.1) = 1.1 \ cdot 2.1 \ cdot 1.1 = 2.541. \]

Геометрийн үүднээс авч үзвэл функцийн нийт өсөлт $ z = f (x, y) $ (тодорхойлолтоор, $ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x) , y) $) $ M (x, y) $ цэгээс $ M_ (1) (x + \ Delta x) цэг рүү шилжихэд $ z = f (x, y) $ график хэрэглэх функцийн өсөлттэй тэнцүү байна. , y + \ Delta y) $ (Зураг 1).

Зураг 1.

анагаах ухаан, биологийн физикийн чиглэлээр

ЛЕКЦ №1

ҮҮСВЭР БОЛОН ДИФФЕРЕНЦИАЛ функц.

ХУВИЙН үүсмэл үүсмэл .

1. Деривативын тухай ойлголт, түүний механик ба геометрийн утга.

а ) Аргумент ба функцийн өсөлт.

y = f (x) функцийг өгье, энд x нь функцийн мужаас аргументийн утга юм. Хэрэв бид функцийн домэйны тодорхой интервалаас xo ба x аргументын хоёр утгыг сонговол аргументын хоёр утгын зөрүүг аргументийн өсөлт гэж нэрлэдэг: x - xo = ∆x .

X аргументын утгыг x 0 ба түүний өсөлтөөр тодорхойлж болно: x = x o + ∆x.

Функцийн хоёр утгын зөрүүг функцийн өсөлт гэж нэрлэдэг: ∆y = ∆f = f (x o + ∆x) - f (x o).

Аргумент ба функцийн өсөлтийг графикаар дүрсэлж болно (Зураг 1). Аргументийн өсөлт ба функцийн өсөлт нь эерэг эсвэл сөрөг байж болно. Зураг 1-ээс геометрийн хувьд ∆х аргументийн өсөлтийг абсциссийн өсөлтөөр, ∆у функцийн өсөлтийг ординатын өсөлтөөр дүрсэлсэн байна. Функцийн өсөлтийн тооцоог дараах дарааллаар гүйцэтгэнэ.

аргументад ∆x-ийн өсөлтийг өгөөд - x + ∆x утгыг авна;

2) бид аргументийн утгын функцийн утгыг олно (x + ∆x) - f (x + ∆x);

3) ∆f = f (x + ∆x) - f (x) функцийн өсөлтийг олно.

Жишээ:Аргумент x o = 1-ээс x = 3 болж өөрчлөгдсөн бол y = x 2 функцийн өсөлтийг тодорхойл. x o цэгийн хувьд f (x o) = x² o функцийн утга; (x о + ∆х) цэгийн хувьд f (x о + ∆х) = (x о + ∆х) 2 = x² о + 2х о ∆х + ∆х 2, үүнээс ∆f = f функцийн утга. (x о + ∆х) –f (x о) = (х о + ∆х) 2 –х² о = х² о + 2х о ∆х + ∆х 2 –х² о = 2х о ∆х + ∆х 2; ∆f = 2х о ∆х + ∆х 2; ∆х = 3–1 = 2; ∆f = 2 1 2 + 4 = 8.

б)Деривативын тухай ойлголтод хүргэдэг даалгаварууд. Деривативын тодорхойлолт, түүний физик утга.

Аргумент ба функцийн өсөлтийн тухай ойлголт нь тодорхой үйл явцын хурдыг тодорхойлох хэрэгцээ шаардлагаас үүдэн үүссэн деривативын тухай ойлголтыг нэвтрүүлэхэд зайлшгүй шаардлагатай.

Шулуун хөдөлгөөний хурдыг хэрхэн тодорхойлох талаар бодож үзээрэй. Биеийг ∆Ѕ =  · ∆t гэсэн хуулийн дагуу шулуун шугамаар хөдөлгө. Тэгш хөдөлгөөний хувьд:  = ∆Ѕ / ∆t.

Хувьсах хөдөлгөөний хувьд ∆Ѕ / ∆t-ийн утга нь av-ийн утгыг тодорхойлно. , өөрөөр хэлбэл харьц. = ∆Ѕ / ∆t.Гэхдээ дундаж хурд нь биеийн хөдөлгөөний онцлогийг тусгаж, t үеийн жинхэнэ хурдны тухай ойлголт өгөх боломжгүй юм. Хугацааны интервал буурах үед, i.e. ∆t → 0 үед дундаж хурд нь түүний хязгаар руу чиглэдэг - агшин зуурын хурд:

 шуурхай =
 Лхагва гараг =
∆Ѕ / ∆t.

Химийн урвалын агшин зуурын хурдыг дараах байдлаар тодорхойлно.

 шуурхай =
 Лхагва гараг =
∆х / ∆t,

Энд x нь t хугацааны химийн урвалын явцад үүссэн бодисын хэмжээ. Төрөл бүрийн үйл явцын хурдыг тодорхойлох ижил төстэй ажлууд нь математикт функцийн деривативын тухай ойлголтыг нэвтрүүлэхэд хүргэсэн.

[ба түүний өсөлт ∆f = f (x + ∆x) –f (x)-д] a интервал дээр тодорхойлогдсон f (x) тасралтгүй функцийг өгье.Харилцаа
нь ∆x функц бөгөөд функцийн өөрчлөлтийн дундаж хурдыг илэрхийлнэ.

Харьцааны хязгаар , энэ хязгаар байгаа тохиолдолд ∆х → 0 байвал функцийн дериватив гэнэ. :

y "x =

.

Деривативыг дараах байдлаар тэмдэглэв.
- (анхны х цус харвалт); f " (x) - (х-ээр харвалт) ; y "- (зураас); dy / dх – (де игрек по де икс); - (цэгтэй тоглоом).

Деривативын тодорхойлолт дээр үндэслэн шулуун шугамын хөдөлгөөний агшин зуурын хурд нь замын цаг хугацааны дериватив гэж хэлж болно.

 шуурхай = S "t = f " (t).

Тиймээс, х аргументтай холбоотой функцийн дериватив нь f (x) функцийн агшин зуурын өөрчлөлтийн хурд юм гэж дүгнэж болно:

y "x = f " (x) =  агшин зуур.

Энэ бол деривативын физик утга юм. Үүсмэлийг олох үйл явцыг дифференциал гэж нэрлэдэг тул "функцийг ялгах" илэрхийлэл нь "функцийн деривативыг олох" илэрхийлэлтэй тэнцүү байна.

v)Деривативын геометрийн утга.

П
y = f (x) функцийн дериватив нь M цэгийн муруй шугамд шүргэгч гэсэн ойлголттой холбоотой энгийн геометрийн утгатай байна. Түүнээс гадна шүргэгч, i.e. шулуун шугамыг аналитик байдлаар y = kx = tanx гэж илэрхийлнэ, энд – Х тэнхлэгт шүргэгч (шулуун шугам) налуугийн өнцгийг y = f (x) функцээр тасралтгүй муруйг дүрсэлцгээе, муруйн M цэг ба түүнд ойрхон M 1 цэгийг авч, тэднээр дамжуулан секант өгөх. Түүний налуу сек = tan β = .М 1 цэгийг M-д ойртуулсан бол аргументийн өсөлт ∆х болно. тэг болох хандлагатай байх ба β = α цэг дэх секант шүргэгчийн байрлалыг авна. 2-р зурагнаас дараах байдалтай байна: tgα =
tgβ =
= y "x. Гэхдээ tgα нь функцийн графиктай шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна.

k = tgα =
= y "x = f " (X). Тиймээс, тухайн цэг дэх функцийн графиктай шүргэгчийн налуу нь шүргэгч цэг дээрх деривативын утгатай тэнцүү байна. Энэ бол деривативын геометрийн утга юм.

G)Дериватив олох ерөнхий дүрэм.

Деривативын тодорхойлолт дээр үндэслэн функцийг ялгах үйл явцыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

f (x + ∆x) = f (x) + ∆f;

функцийн өсөлтийг ол: ∆f = f (x + ∆x) - f (x);

функцийн өсөлтийн аргументийн өсөлтийн харьцааг бүрдүүлнэ:

;

Жишээ: f (x) = x 2; е " (x) =?.

Гэсэн хэдий ч, энэ энгийн жишээнээс харахад дериватив авахдаа заасан дарааллыг ашиглах нь маш их хөдөлмөр, төвөгтэй үйл явц юм. Тиймээс янз бүрийн функцүүдийн хувьд "Функцийг ялгах үндсэн томъёо" гэсэн хүснэгт хэлбэрээр өгсөн ялгах ерөнхий томъёог танилцуулсан.

Тодорхойлолт 1

Хэрэв тодорхой бүс нутгийн бие даасан хоёр хувьсагчийн $ (x, y) $ хос бүрийн хувьд $ z $ тодорхой утгатай холбоотой бол $ z $ нь $ (x, y) гэсэн хоёр хувьсагчийн функц гэж нэрлэгддэг. у) $. Тэмдэглэгээ: $ z = f (x, y) $.

$ z = f (x, y) $ функцийн тухайд функцийн ерөнхий (бүтэн) болон хэсэгчилсэн өсөлтийн тухай ойлголтуудыг авч үзье.

$ (x, y) $ гэсэн бие даасан хоёр хувьсагчийн $ z = f (x, y) $ функцийг өгье.

Тайлбар 1

$ (x, y) $ хувьсагчид бие даасан байдаг тул тэдгээрийн нэг нь өөрчлөгдөж, нөгөө нь тогтмол хэвээр үлдэнэ.

$ y $ хувьсагчийн утгыг өөрчлөхгүйгээр $ x $ хувьсагчийг $ \ Delta x $ -оор нэмэгдүүлье.

Дараа нь $ z = f (x, y) $ функц нь өсөлтийг хүлээн авах бөгөөд үүнийг $ x $ хувьсагчийн хувьд $ z = f (x, y) $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт гэж нэрлэнэ. Зориулалт:

Үүний нэгэн адил $ x $ хувьсагчийн утгыг хэвээр үлдээж $ y $ хувьсагчид $ \ Delta y $ -ийн өсөлтийг өгье.

Дараа нь $ z = f (x, y) $ функц нь $ y $ хувьсагчийн хувьд $ z = f (x, y) $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт гэж нэрлэгддэг өсөлтийг хүлээн авах болно. Зориулалт:

Хэрэв $ x $ аргументад $ \ Delta x $, аргумент $ y $ - өсөлт $ \ Delta y $ өгөгдсөн бол $ z = f (x, y) $ өгөгдсөн функцийн бүрэн өсөлт нь байна. олж авсан. Зориулалт:

Тиймээс бидэнд:

$ \ Delta _ (x) z = f (x + \ Delta x, y) -f (x, y) $ - $ x $-д хамаарах $ z = f (x, y) $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт;

$ \ Delta _ (y) z = f (x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - $ y $ -д хамаарах $ z = f (x, y) $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - функцийн бүрэн өсөлт $ z = f (x, y) $.

Жишээ 1

Шийдэл:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $ - функцийн хэсэгчилсэн өсөлт $ z = f (x, y) $ -д хамаарах $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $ нь $ z = f (x, y) $ функцийн $ y $-д хамаарах хэсэгчилсэн өсөлт юм.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - $ z = f (x, y) $ функцийн бүрэн өсөлт.

Жишээ 2

$ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1 $-д $ (1; 2) $ цэгийн $ z = xy $ функцийн хуваалт ба нийт өсөлтийг тооцоол.

Шийдэл:

Хувийн өсөлтийн тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг олно.

$ \ Delta _ (x) z = (x + \ Delta x) \ cdot y $ - $ z = f (x, y) $ функцийн $ x $-д хамаарах хэсэгчилсэн өсөлт

$ \ Delta _ (y) z = x \ cdot (y + \ Delta y) $ - $ y $ -д хамаарах $ z = f (x, y) $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт;

Бүрэн өсөлтийн тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг олно.

$ \ Delta z = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) $ - функцийн бүрэн өсөлт $ z = f (x, y) $.

Тиймээс,

\ [\ Дельта _ (х) z = (1 + 0.1) \ cdot 2 = 2.2 \] \ [\ Дельта _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0.1) = 2.1 \] \ [\ Дельта z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) = 1.1 \ cdot 2.1 = 2.31. \]

Тайлбар 2

Өгөгдсөн функцийн нийт өсөлт $ z = f (x, y) $ нь түүний $ \ Delta _ (x) z $ ба $ \ Delta _ (y) z $ хэсэгчилсэн нэмэгдлүүдийн нийлбэртэй тэнцүү биш байна. Математик тэмдэглэгээ: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

Жишээ 3

Функцийн баталгааны тайлбарыг шалгана уу

Шийдэл:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ (1-р жишээнээс авсан)

Өгөгдсөн $ z = f (x, y) $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлтийн нийлбэрийг ол

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z = x + \ Delta x + y + (x + y + \ Delta y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Delta x + \ Дельта жил \]

\ [\ Дельта _ (х) z + \ Дельта _ (y) z \ ne \ Дельта z. \]

Тодорхойлолт 2

Хэрэв тодорхой бүс нутгийн бие даасан гурван хувьсагчийн гурвалсан $ (x, y, z) $ бүрт тодорхой $ w $ утгатай холбоотой бол $ w $ нь гурван хувьсагчийн функц гэж нэрлэгддэг $ ( x, y, z) энэ хэсэгт $.

Тэмдэглэгээ: $ w = f (x, y, z) $.

Тодорхойлолт 3

Хэрэв тодорхой бүс нутгийн бие даасан хувьсагчдын $ (x, y, z, ..., t) $ цуглуулга бүрийн хувьд $ w $-ийн тодорхой утга холбогдсон бол $ w $ нь функц гэнэ. хувьсагчийн $ (x, y, z, ..., t) $ энэ домайн дахь.

Тэмдэглэгээ: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

Гурав ба түүнээс дээш хувьсагчийн функцийн хувьд хоёр хувьсагчийн функцийн нэгэн адил хувьсагч бүрийн хувьд хэсэгчилсэн өсөлтийг тодорхойлно.

$ \ Delta _ (z) w = f (x, y, z + \ Delta z) -f (x, y, z) $ - функцийн хэсэгчилсэн өсөлт $ w = f (x, y, z, .. ., t ) $ by $ z $;

$ \ Delta _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Delta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт w = f (x, y, z, ..., t) $ by $ t $.

Жишээ 4

Функцийн коэффициент ба нийт өсөлтийг бич

Шийдэл:

Хувийн өсөлтийн тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг олно.

$ \ Delta _ (x) w = ((x + \ Delta x) + y) \ cdot z $ - $ x $-д хамаарах $ w = f (x, y, z) $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт

$ \ Delta _ (y) w = (x + (y + \ Delta y)) \ cdot z $ - функцийн хэсэгчилсэн өсөлт $ w = f (x, y, z) $ $ y $ -тэй харьцуулахад;

$ \ Delta _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - $ z $ -д хамаарах $ w = f (x, y, z) $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт;

Бүрэн өсөлтийн тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг олно.

$ \ Delta w = ((x + \ Delta x) + (y + \ Delta y)) \ cdot (z + \ Delta z) $ - функцийн бүрэн өсөлт $ w = f (x, y, z) $ .

Жишээ 5

$ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1; \, $ (1; 2; 1) $ цэг дэх $ w = xyz $ функцийн коэффициент ба нийт өсөлтийг тооцоол. \, \ Delta z = 0.1 $.

Шийдэл:

Хувийн өсөлтийн тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг олно.

$ \ Delta _ (x) w = (x + \ Delta x) \ cdot y \ cdot z $ - $ x $-д хамаарах $ w = f (x, y, z) $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт

$ \ Delta _ (y) w = x \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot z $ - $ y $ -д хамаарах $ w = f (x, y, z) $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт;

$ \ Delta _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Delta z) $ - $ z $-д хамаарах $ w = f (x, y, z) $ функцийн хэсэгчилсэн өсөлт;

Бүрэн өсөлтийн тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг олно.

$ \ Delta w = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - функцийн бүрэн өсөлт $ w = f (x, y, z) $.

Тиймээс,

\ [\ Delta _ (x) w = (1 + 0.1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0.1) \ cdot 1 = 2.1 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0.1) = 2.2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0.1) \ cdot (2 + 0.1) \ cdot (1 + 0.1) = 1.1 \ cdot 2.1 \ cdot 1.1 = 2.541. \]

Геометрийн үүднээс авч үзвэл функцийн нийт өсөлт $ z = f (x, y) $ (тодорхойлолтоор, $ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x) , y) $) $ M (x, y) $ цэгээс $ M_ (1) (x + \ Delta x) цэг рүү шилжихэд $ z = f (x, y) $ график хэрэглэх функцийн өсөлттэй тэнцүү байна. , y + \ Delta y) $ (Зураг 1).

Зураг 1.