Магадлалын онолд магадлалын сонгодог тодорхойлолтыг мэдэж, санал болгож буй нөхцөл байдлыг нүдээр харуулахад хангалттай бүлэг асуудал байдаг. Ийм асуудалд ихэнх зоос шидэх, шоо хаях зэрэг асуудлууд орно. Магадлалын сонгодог тодорхойлолтыг эргэн санацгаая.
А үйл явдлын магадлал (Үйл явдлын объектив боломж нь тоон үзүүлэлтээр) нь энэ үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоог тэнцүү байж болох үл нийцэх үндсэн үр дүнгийн нийт тоонд харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна. P(A)=m/n, Хаана:
- m - А үйл явдал тохиолдоход таатай анхан шатны туршилтын үр дүнгийн тоо;
- n нь бүх боломжит энгийн тестийн үр дүнгийн нийт тоо юм.
Боломжит бүх хувилбаруудыг (хослолуудыг) тоолж, шууд тоолох замаар авч үзэж буй асуудлуудын боломжит энгийн тестийн үр дүнгийн тоог тодорхойлоход тохиромжтой.
Хүснэгтээс харахад боломжит энгийн үр дүнгийн тоо n=4 байна. Үйл явдлын таатай үр дүн A = (толгойнууд 1 удаа гарч ирдэг) туршилтын 2 ба 3-р сонголттой тохирч байна, ийм хоёр сонголт m = 2 байна.
P(A)=m/n=2/4=0.5 үзэгдлийн магадлалыг ол
Асуудал 2 . Санамсаргүй туршилтаар тэгш хэмтэй зоосыг хоёр удаа шиддэг. Огт толгойгүй байх магадлалыг ол.
Шийдэл
. Зоосыг хоёр удаа шидсэн тул 1-р асуудлын нэгэн адил боломжит энгийн үр дүнгийн тоо n=4 байна. Үйл явдлын таатай үр дүн A = (толгойнууд нэг удаа ч гарч ирэхгүй) туршилтын 4-р сонголттой тохирч байна (1-р асуудлын хүснэгтийг үзнэ үү). Ийм ганцхан сонголт байгаа нь m=1 гэсэн үг.
P(A)=m/n=1/4=0.25 үзэгдлийн магадлалыг ол
Асуудал 3 . Санамсаргүй туршилтаар тэгш хэмтэй зоосыг гурван удаа шиддэг. Толгой яг 2 удаа гарч ирэх магадлалыг ол.
Шийдэл . Бид гурван зоос шидэх боломжит хувилбаруудыг (толгой ба сүүлний бүх боломжит хослол) хүснэгт хэлбэрээр танилцуулж байна.
Хүснэгтээс харахад боломжит энгийн үр дүнгийн тоо n=8 байна. Үйл явдлын таатай үр дүн A = (толгойнууд 2 удаа гарч ирдэг) туршилтын 5, 6, 7-р хувилбаруудтай тохирч байна. Ийм гурван сонголт байгаа нь m=3 гэсэн үг.
P(A)=m/n=3/8=0.375 үйл явдлын магадлалыг ол
Асуудал 4 . Санамсаргүй туршилтаар тэгш хэмтэй зоосыг дөрвөн удаа шиддэг. Яг 3 удаа толгой авах магадлалыг ол.
Шийдэл . Бид дөрвөн зоос шидэх боломжит хувилбаруудыг (толгой ба сүүлний бүх боломжит хослол) хүснэгт хэлбэрээр танилцуулж байна.
| Сонголт дугаар. | 1-р шидэлт | 2 дахь шидэлт | 3 дахь шидэлт | 4 дэх шидэлт | Сонголт дугаар. | 1-р шидэлт | 2 дахь шидэлт | 3 дахь шидэлт | 4 дэх шидэлт |
| 1 | Бүргэд | Бүргэд | Бүргэд | Бүргэд | 9 | Сүүл | Бүргэд | Сүүл | Бүргэд |
| 2 | Бүргэд | Сүүл | Сүүл | Сүүл | 10 | Бүргэд | Сүүл | Бүргэд | Сүүл |
| 3 | Сүүл | Бүргэд | Сүүл | Сүүл | 11 | Бүргэд | Сүүл | Сүүл | Бүргэд |
| 4 | Сүүл | Сүүл | Бүргэд | Сүүл | 12 | Бүргэд | Бүргэд | Бүргэд | Сүүл |
| 5 | Сүүл | Сүүл | Сүүл | Бүргэд | 13 | Сүүл | Бүргэд | Бүргэд | Бүргэд |
| 6 | Бүргэд | Бүргэд | Сүүл | Сүүл | 14 | Бүргэд | Сүүл | Бүргэд | Бүргэд |
| 7 | Сүүл | Бүргэд | Бүргэд | Сүүл | 15 | Бүргэд | Бүргэд | Сүүл | Бүргэд |
| 8 | Сүүл | Сүүл | Бүргэд | Бүргэд | 16 | Сүүл | Сүүл | Сүүл | Сүүл |
Хүснэгтээс харахад боломжит энгийн үр дүнгийн тоо n=16 байна. Үйл явдлын таатай үр дүн A = (толгойнууд 3 удаа гарч ирнэ) туршилтын 12, 13, 14, 15-р сонголтуудтай тохирч байгаа нь m = 4 гэсэн үг юм.
P(A)=m/n=4/16=0.25 үзэгдлийн магадлалыг ол
 |
Шооны бодлого дахь магадлалыг тодорхойлох
Асуудал 5 . Шоо (шударга шоо) шидэх үед 3-аас дээш оноо авах магадлалыг тодорхойл.
Шийдэл
. Шоо (ердийн шоо) шидэх үед түүний зургаан нүүрийн аль нь ч унаж болно, өөрөөр хэлбэл. энгийн үйл явдлуудын аль нэг нь тохиолддог - 1-ээс 6 цэг (цэг) алдах. Энэ нь боломжит үндсэн үр дүнгийн тоо n=6 гэсэн үг.
А үйл явдал = (3-аас дээш оноо өнхрүүлсэн) нь 4, 5 эсвэл 6 оноо (оноо) өнхрүүлсэн гэсэн үг юм. Энэ нь таатай үр дүнгийн тоо m=3 гэсэн үг.
Үйл явдлын магадлал P(A)=m/n=3/6=0.5
Асуудал 6 . Шоо шидэхдээ 4-өөс ихгүй оноо авах магадлалыг тодорхойл. Үр дүнг мянгатын нарийвчлалтай дугуйл.
Шийдэл
. Үхлийг шидэх үед түүний зургаан нүүрний аль нэг нь унаж болно, өөрөөр хэлбэл. энгийн үйл явдлуудын аль нэг нь тохиолддог - 1-ээс 6 цэг (цэг) алдах. Энэ нь боломжит үндсэн үр дүнгийн тоо n=6 гэсэн үг.
А үйл явдал = (4 онооноос илүүгүй өнхрүүлсэн) нь 4, 3, 2 эсвэл 1 оноо (цэг) өнхрүүлсэн гэсэн үг юм. Энэ нь таатай үр дүнгийн тоо m=4 гэсэн үг.
Үйл явдлын магадлал Р(А)=m/n=4/6=0.6666…≈0.667
Асуудал 7 . Шоог хоёр удаа шиддэг. Хоёр удаа өнхрүүлсэн тоо 4-өөс бага байх магадлалыг ол.
Шийдэл . Шоо (шоо) хоёр удаа шидсэн тул бид дараах байдлаар тайлбарлах болно: хэрэв эхний үхэл нэг оноог харуулсан бол хоёр дахь үхэл 1, 2, 3, 4, 5, 6-г авч болно. Бид (1;1) хосуудыг авна. ), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) гэх мэт нүүр тус бүрээр. Бүх тохиолдлыг 6 мөр, 6 багана бүхий хүснэгт хэлбэрээр үзүүлье.
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Бид үйл явдлын таатай үр дүнг тооцоолж A = (хоёулаа тоо нь 4-өөс бага байсан) (тэдгээрийг тодоор тэмдэглэсэн) ба бид m=9 болно.
P(A)=m/n=9/36=0.25 үзэгдлийн магадлалыг ол
Асуудал 8 . Шоог хоёр удаа шиддэг. Тассан хоёр тооны том нь 5 байх магадлалыг ол. Хариултаа мянганы нарийвчлалтайгаар дугуйл.
Шийдэл . Бид хоёр шоо шидэхэд боломжтой бүх үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв.
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Хүснэгтээс харахад боломжит энгийн үр дүнгийн тоо n=6*6=36 байна.
Бид үйл явдлын таатай үр дүнг тооцоолж A = (зурсан хоёр тооны хамгийн том нь 5) (тэдгээрийг тодоор тодруулсан) ба m=8 болно.
P(A)=m/n=8/36=0.2222…≈0.222 үйл явдлын магадлалыг ол.
Асуудал 9 . Шоог хоёр удаа шиддэг. 4-өөс бага тоо ядаж нэг удаа өнхрөх магадлалыг ол.
Шийдэл . Бид хоёр шоо шидэхэд боломжтой бүх үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв.
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Хүснэгтээс харахад боломжит энгийн үр дүнгийн тоо n=6*6=36 байна.
"Ядаж нэг удаа 4-өөс бага тоо гарч ирэв" гэсэн хэллэг нь "4-өөс бага тоо нэг юмуу хоёр удаа гарч ирсэн" гэсэн утгатай бөгөөд дараа нь үйл явдлын таатай үр дүнгийн тоо А = (дор хаяж нэг удаа 4-өөс бага тоо гарч ирсэн) ) (тэдгээрийг тодоор тодруулсан) m=27.
P(A)=m/n=27/36=0.75 үйл явдлын магадлалыг ол
Асуудлын томъёолол:Санамсаргүй туршилтаар тэгш хэмтэй зоосыг хоёр удаа шиддэг. Толгойнууд (сүүлүүд) нэг удаа ч гарч ирэхгүй байх (яг харагдах/дор хаяж 1, 2 удаа) байх магадлалыг ол.
Асуудал нь 10 дугаартай (Магадлалын сонгодог тодорхойлолт) 11-р ангийн үндсэн түвшний математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын нэг хэсэг юм.
Ийм асуудлыг жишээн дээр хэрхэн шийдэж байгааг харцгаая.
Жишээ даалгавар 1:
Санамсаргүй туршилтаар тэгш хэмтэй зоосыг хоёр удаа шиддэг. Толгой нэг удаа ч гарч ирэхгүй байх магадлалыг ол.
OO OR RO RR
Нийт 4 ийм хослол байдаг.Бид зөвхөн нэг бүргэд агуулаагүйг л сонирхдог. Зөвхөн нэг ийм хослол байдаг (PP).
P = 1/4 = 0.25
Хариулт: 0.25
Жишээ даалгавар 2:
Санамсаргүй туршилтаар тэгш хэмтэй зоосыг хоёр удаа шиддэг. Яг хоёр удаа толгой авах магадлалыг ол.
Зоосыг хоёр удаа шидсэн тохиолдолд гарч болох бүх боломжит хослолуудыг авч үзье. Тохиромжтой болгохын тулд бид толгойг О үсгээр, сүүлийг P үсгээр тэмдэглэнэ.
OO OR RO RR
Нийт 4 ийм хослол байдаг.Бид зөвхөн толгой нь яг 2 удаа гарч ирдэгийг л сонирхож байна. Зөвхөн нэг ийм хослол байдаг (OO).
P = 1/4 = 0.25
Хариулт: 0.25
Жишээ даалгавар 3:
Санамсаргүй туршилтаар тэгш хэмтэй зоосыг хоёр удаа шиддэг. Толгой яг нэг удаа гарч ирэх магадлалыг ол.
Зоосыг хоёр удаа шидсэн тохиолдолд гарч болох бүх боломжит хослолуудыг авч үзье. Тохиромжтой болгохын тулд бид толгойг О үсгээр, сүүлийг P үсгээр тэмдэглэнэ.
OO OR RO RR
Нийт 4 ийм хослол байдаг.Бид зөвхөн 1 удаа толгой гарч ирсэнийг л сонирхож байна. Зөвхөн хоёр ийм хослол байдаг (OR ба RO).
Хариулт: 0.5
Жишээ даалгавар 4:
Санамсаргүй туршилтаар тэгш хэмтэй зоосыг хоёр удаа шиддэг. Толгойнууд дор хаяж нэг удаа гарч ирэх магадлалыг ол.
Зоосыг хоёр удаа шидсэн тохиолдолд гарч болох бүх боломжит хослолуудыг авч үзье. Тохиромжтой болгохын тулд бид толгойг О үсгээр, сүүлийг P үсгээр тэмдэглэнэ.
OO OR RO RR
Нийтдээ 4 ийм хослол байдаг. Бид зөвхөн ядаж нэг удаа толгой гарч ирдэгийг л сонирхож байна. Зөвхөн гурван ийм хослол байдаг (OO, OP, RO).
P = 3/4 = 0.75
Нөхцөл байдал
Санамсаргүй туршилтаар тэгш хэмтэй зоосыг хоёр удаа шиддэг. Эхнийхтэй ижил зүйл хоёр дахь удаагаа гарч ирэх магадлалыг ол.
Шийдэл
- Бид энэ асуудлыг дараах томъёогоор шийднэ.
P(A) нь А үйл явдлын магадлал, m нь энэ үйл явдлын таатай үр дүнгийн тоо, n нь боломжит үр дүнгийн нийт тоо юм.
- Энэ онолыг асуудалдаа хэрэгжүүлье:
A – нэг зүйл анх удаагаа хоёр дахь удаагаа гарч ирэх үйл явдал;
P(A) – эхнийхтэй ижил зүйл хоёр дахь удаагаа гарч ирэх магадлал.
- m ба n-ийг тодорхойлъё:
m нь энэ үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоо, өөрөөр хэлбэл эхнийхтэй ижил зүйл хоёр дахь удаагаа тохиолдох үед гарах үр дүнгийн тоо юм. Туршилтанд зоосыг хоёр удаа шидсэн бөгөөд энэ нь сүүл (P) ба толгой (O) гэсэн 2 талтай. Эхний удаад хоёр дахь удаагаа гарч ирэхийн тулд бидэнд ижил зүйл хэрэгтэй бөгөөд энэ нь дараах хослолууд гарч ирэхэд боломжтой юм: OO эсвэл PP, өөрөөр хэлбэл, энэ нь харагдаж байна.
m = 2, учир нь 2 боломжит хувилбар байдаг, эхний удаатай ижил зүйл хоёр дахь удаагаа гарч ирэх үед;
n бол боломжит үр дүнгийн нийт тоо, өөрөөр хэлбэл n-ийг тодорхойлохын тулд зоосыг хоёр удаа шидэх үед гарч болох бүх боломжит хослолын тоог олох хэрэгтэй. Анх удаа зоос шидэх үед энэ нь сүүл эсвэл толгой гарч ирдэг, өөрөөр хэлбэл хоёр сонголт байж болно. Хоёр дахь удаагаа зоос шидэх үед яг ижил сонголт хийх боломжтой. Энэ нь харагдаж байна
Зоос шидэх асуудлыг нэлээд хэцүү гэж үздэг. Мөн тэдгээрийг шийдэхийн өмнө бага зэрэг тайлбар хийх шаардлагатай. Бодоод үз дээ, магадлалын онолын аливаа асуудал эцсийн дүндээ стандарт томьёо дээр бууна.
Энд p нь хүссэн магадлал, k нь бидэнд тохирсон үйл явдлын тоо, n нь боломжит үйл явдлын нийт тоо юм.
Ихэнх B6 асуудлыг энэ томьёог нэг мөрөнд шууд утгаар нь ашиглан шийдэж болно - нөхцөлийг уншихад л хангалттай. Гэхдээ зоос шидэх тохиолдолд энэ томъёо нь ашиггүй, учир нь ийм бодлогын текстээс k ба n тоо нь ямар тоотой тэнцүү байх нь тодорхойгүй байна. Энд л бэрхшээл оршиж байна.
Гэсэн хэдий ч дор хаяж хоёр үндсэн өөр шийдлийн арга байдаг:
- Хослолуудыг тоолох арга нь стандарт алгоритм юм. Толгой ба сүүлний бүх хослолыг бичиж, дараа нь шаардлагатайг нь сонгоно;
- Тусгай магадлалын томьёо нь зоостой ажиллахад тохиромжтой байхаар тусгайлан дахин бичсэн магадлалын стандарт тодорхойлолт юм.
В6 асуудлыг шийдэхийн тулд та хоёр аргыг мэдэх хэрэгтэй. Харамсалтай нь сургуулиудад эхнийхийг л заадаг. Сургуулийн алдаагаа давтахгүй байцгаая. За, явцгаая!
Хайлтын хосолсон арга
Энэ аргыг мөн "урьдчилсан шийдэл" гэж нэрлэдэг. Гурван алхамаас бүрдэнэ:
- Бид толгой ба сүүлний бүх боломжит хослолыг бичдэг. Жишээ нь: OR, RO, OO, RR. Ийм хослолын тоо нь n;
- Хүлээн авсан хослолуудын дотроос бид асуудлын нөхцлөөр шаардагдах зүйлсийг тэмдэглэв. Бид тэмдэглэсэн хослолуудыг тоолдог - бид k тоог авдаг;
- Энэ нь магадлалыг олоход л үлддэг: p = k: n.
Харамсалтай нь энэ арга нь зөвхөн цөөн тооны шидэлтэд л тохиромжтой. Учир нь шинэ шидэлт бүрт хослолын тоо хоёр дахин нэмэгддэг. Жишээлбэл, 2 зоосны хувьд та зөвхөн 4 хослол бичих хэрэгтэй болно. 3 зоосны хувьд аль хэдийн 8, 4 - 16 зоос байгаа бөгөөд алдаа гарах магадлал 100% дөхөж байна. Жишээнүүдийг харвал та өөрөө бүх зүйлийг ойлгох болно:
Даалгавар. Санамсаргүй туршилтаар тэгш хэмтэй зоосыг хоёр удаа шиддэг. Та ижил тооны толгой, сүүл авах магадлалыг ол.
Тиймээс зоосыг хоёр удаа шидэв. Бүх боломжит хослолуудыг бичье (O - толгой, P - сүүл):
Нийт n = 4 сонголт. Одоо асуудлын нөхцөл байдалд тохирсон сонголтуудыг бичье.
k = 2 ийм сонголт байсан.Магадлалыг ол:
Даалгавар. Зоосыг дөрвөн удаа шиддэг. Хэзээ ч толгой авахгүй байх магадлалыг ол.
Дахин хэлэхэд бид толгой ба сүүлний бүх боломжит хослолуудыг бичнэ.
ОООО ОООП ООПО ООPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP
Нийтдээ n = 16 сонголт байсан. Би юу ч мартаагүй юм шиг байна. Эдгээр сонголтуудаас бид зөвхөн сүүл огт агуулаагүй "OOOO" хослолд сэтгэл хангалуун байна. Иймд k = 1. магадлалыг олоход үлдлээ.
Таны харж байгаагаар сүүлийн асуудалд би 16 сонголтыг бичих шаардлагатай болсон. Та тэдгээрийг нэг ч алдаа гаргахгүйгээр бичиж чадна гэдэгтээ итгэлтэй байна уу? Би хувьдаа сайн мэдэхгүй байна. Тиймээс хоёр дахь шийдлийг авч үзье.
Тусгай магадлалын томъёо
Тиймээс зоосны бодлого нь өөрийн магадлалын томьёотой байдаг. Энэ нь маш энгийн бөгөөд чухал тул би үүнийг теорем хэлбэрээр томъёолохоор шийдсэн. Энийг хар даа:
Теорем. Зоосыг n удаа шидээрэй. Дараа нь толгойнууд яг k удаа гарч ирэх магадлалыг дараах томъёогоор олж болно.
Энд C n k нь n элементийн k-ийн хослолын тоо бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор тооцоолно.
Тиймээс зоосны асуудлыг шийдэхийн тулд шидэлтийн тоо ба толгойн тоо гэсэн хоёр тоо хэрэгтэй болно. Ихэнх тохиолдолд эдгээр тоог асуудлын текстэнд шууд өгдөг. Түүнээс гадна та яг юуг нь тоолох нь хамаагүй: сүүл эсвэл толгой. Хариулт нь адилхан байх болно.
Өнгөц харахад энэ теорем нь дэндүү ээдрээтэй юм шиг санагддаг. Гэхдээ та бага зэрэг дадлага хийвэл дээр дурдсан стандарт алгоритм руу буцахыг хүсэхгүй байх болно.
Даалгавар. Зоосыг дөрвөн удаа шиддэг. Яг гурван удаа толгой авах магадлалыг ол.
Бодлогын нөхцлийн дагуу нийт n = 4 шидэлт байсан.Шаардлагатай толгойн тоо: k = 3. Томъёонд n ба k-г орлуулна уу.
Даалгавар. Зоосыг гурван удаа шиддэг. Хэзээ ч толгой авахгүй байх магадлалыг ол.
Бид n ба k тоог дахин бичнэ. Зоосыг 3 удаа шидсэн тул n = 3. Мөн толгой байх ёсгүй тул k = 0. n ба k тоог томъёонд орлуулах хэвээр байна.
0 гэдгийг сануулъя! Тодорхойлолтоор = 1. Тиймээс C 3 0 = 1 байна.
Даалгавар. Санамсаргүй туршилтаар тэгш хэмтэй зоосыг 4 удаа шиддэг. Толгой нь сүүлээс олон удаа гарч ирэх магадлалыг ол.
Сүүлээс олон толгой байхын тулд тэдгээр нь 3 удаа (дараа нь 1 сүүлтэй байх болно) эсвэл 4 удаа (дараа нь огт сүүлгүй болно) гарч ирэх ёстой. Эдгээр үйл явдал бүрийн магадлалыг олцгооё.
Толгойнууд 3 удаа гарч ирэх магадлалыг p 1 гэж үзье. Дараа нь n = 4, k = 3. Бидэнд:
Одоо p 2 - толгойнууд бүгд 4 удаа гарч ирэх магадлалыг олъё. Энэ тохиолдолд n = 4, k = 4. Бидэнд:
Хариултыг авахын тулд p 1 ба p 2 магадлалыг нэмэх л үлдлээ. Санаж байна уу: та зөвхөн харилцан үл хамаарах үйл явдлын магадлалыг нэмж болно. Бидэнд байгаа:
p = p 1 + p 2 = 0.25 + 0.0625 = 0.3125
