Жишээлбэл, дараалал \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)... нь геометр прогресс юм, учир нь дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө хоёр дахин ялгаатай (өөрөөр хэлбэл өмнөхөөсөө хоёроор үржүүлж гаргаж болно):

Аливаа дарааллын нэгэн адил геометрийн прогрессийг жижиг латин үсгээр тэмдэглэдэг. Прогресс үүсгэдэг тоонуудыг дуудна гишүүд(эсвэл элементүүд). Тэдгээрийг геометрийн прогресстой ижил үсгээр тэмдэглэсэн боловч дарааллын элементийн тоотой тэнцүү тооны индекстэй байна.

Жишээлбэл, геометр прогресс \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) элементүүдээс бүрдэнэ \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) гэх мэт. Өөрөөр хэлбэл:

Хэрэв та дээрх мэдээллийг ойлгож байгаа бол энэ сэдэвтэй холбоотой ихэнх асуудлыг шийдэх боломжтой болно.

Жишээ (OGE):
Шийдэл:

Хариулт : \(-686\).

Жишээ (OGE): Прогрессийн эхний гурван гишүүн \(324\) өгөгдсөн; \(-108\); \(36\)…. \(b_5\) олох.
Шийдэл:

	Дарааллыг үргэлжлүүлэхийн тулд бид хуваагчийг мэдэх хэрэгтэй. Үүнийг хоёр хөрш элементээс олъё: \(-108\) авахын тулд \(324\)-ийг юугаар үржүүлэх хэрэгтэй вэ?
\(324·q=-108\)	Эндээс бид хуваагчийг хялбархан тооцоолж болно.
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	Одоо бид хэрэгтэй элементээ хялбархан олох боломжтой.
	Хариулт нь бэлэн байна.

Хариулт : \(4\).

Жишээ: Прогрессийг \(b_n=0.8·5^n\) нөхцөлөөр тодорхойлно. Энэ прогрессийн гишүүн аль тоо вэ?

a) \(-5\) б) \(100\) в) \(25\) г) \(0.8\) ?

Шийдэл: Даалгаврын үг хэллэгээс харахад эдгээр тоонуудын аль нэг нь бидний ахиц дэвшилд байгаа нь тодорхой байна. Тиймээс бид шаардлагатай утгыг олох хүртлээ түүний нөхцөлүүдийг нэг нэгээр нь тооцоолж болно. Бидний дэвшлийг томъёогоор өгсөн тул элементүүдийн утгыг өөр өөр \(n\) орлуулах замаар тооцоолно:
\(n=1\); \(b_1=0.8·5^1=0.8·5=4\) – жагсаалтад ийм тоо байхгүй. Үргэлжлүүлье.
\(n=2\); \(b_2=0.8·5^2=0.8·25=20\) - энэ нь бас байхгүй.
\(n=3\); \(b_3=0.8·5^3=0.8·125=100\) – энд манай аварга байна!

Хариулт: \(100\).

Жишээ (OGE): Геометр прогрессийн хэд хэдэн дараалсан гишүүн өгөгдсөн...\(8\); \(x\); \(50\); \(-125\)…. \(x\) гэж тэмдэглэгдсэн элементийн утгыг ол.

Шийдэл:

Хариулт: \(-20\).

Жишээ (OGE): Прогрессийг \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\) нөхцлөөр тодорхойлно. Энэ прогрессийн эхний \(4\) гишүүний нийлбэрийг ол.

Шийдэл:

Хариулт: \(105\).

Жишээ (OGE): Геометр прогрессийн хувьд \(b_6=-11\), \(b_9=704\) гэдгийг мэддэг. \(q\)-ийн хуваагчийг ол.

Шийдэл:

	Зүүн талд байгаа диаграмаас \(b_6\) -аас \(b_9\) хүртэл "авахын тулд" бид гурван "алхам" хийж, өөрөөр хэлбэл \(b_6\) хуваарийг гурав дахин үржүүлж байгааг харж болно. явцын тухай. Өөрөөр хэлбэл, \(b_9=b_6·q·q·q=b_6·q^3\).
\(b_9=b_6·q^3\)	Мэддэг үнэт зүйлсээ орлуулъя.
\(704=(-11)q^3\)	Тэгшитгэлийг эргүүлээд \((-11)\-д хуваая.
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	Ямар тоо шоо \(-64\) өгөх вэ? Мэдээжийн хэрэг, \(-4\)!
	Хариулт нь олдсон. Үүнийг \(-11\)-ээс \(704\) хүртэлх тооны хэлхээг сэргээх замаар шалгаж болно.
	Бүх зүйл хамтдаа ирсэн - хариулт зөв байна.

Хариулт: \(-4\).

Хамгийн чухал томъёонууд

Таны харж байгаагаар ихэнх геометрийн прогрессийн асуудлыг зөвхөн мөн чанарыг ойлгох замаар цэвэр логик ашиглан шийдэж болно (энэ нь ерөнхийдөө математикийн хувьд ердийн зүйл). Гэхдээ заримдаа тодорхой томъёо, хэв маягийн талаархи мэдлэг нь шийдлийг хурдасгаж, ихээхэн хөнгөвчилдөг. Бид ийм хоёр томъёог судлах болно.

\(n\)-р гишүүний томъёо: \(b_n=b_1·q^(n-1)\), энд \(b_1\) нь прогрессийн эхний гишүүн юм; \(n\) - шаардлагатай элементийн тоо; \(q\) – прогрессийн хуваагч; \(b_n\) – \(n\) тоотой прогрессийн гишүүн.

Энэ томъёог ашигласнаар та эхний жишээн дээрх асуудлыг нэг үйлдлээр шууд утгаараа шийдэж болно.

Жишээ (OGE): Геометр прогресс нь нөхцөлөөр тодорхойлогддог \(b_1=-2\); \(q=7\). \(b_4\) олох.
Шийдэл:

Хариулт: \(-686\).

Энэ жишээ энгийн байсан тул томъёо нь тооцооллыг бидэнд тийм ч хялбар болгосонгүй. Асуудлыг арай илүү төвөгтэй авч үзье.

Жишээ: Геометр прогресс нь нөхцөлөөр тодорхойлогддог \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\). \(b_(12)\) олох.
Шийдэл:

Хариулт: \(10\).

Мэдээжийн хэрэг, \(\frac(1)(2)\)-ыг \(11\)-р зэрэгт хүргэх нь тийм ч таатай биш ч \(11\) \(20480\)-г хоёроор хуваахаас амархан.

Эхний гишүүний нийлбэр \(n\): \(S_n=\)\(\frac(b_1·(q^n-1))(q-1)\) , энд \(b_1\) нь эхний гишүүн юм. явцын тухай; \(n\) – нэгтгэсэн элементүүдийн тоо; \(q\) – прогрессийн хуваагч; \(S_n\) – прогрессийн эхний гишүүдийн \(n\) нийлбэр.

Жишээ (OGE): Өгөгдсөн геометр прогрессийн \(b_n\), хуваагч нь \(5\), эхний гишүүн нь \(b_1=\frac(2)(5)\). Энэ прогрессийн эхний зургаан гишүүний нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \(1562,4\).

Дахин хэлэхэд бид асуудлыг шийдэж чадна - бүх зургаан элементийг ээлжлэн олж, дараа нь үр дүнг нэмнэ. Гэсэн хэдий ч тооцооллын тоо, улмаар санамсаргүй алдаа гарах магадлал эрс нэмэгдэх болно.

Геометрийн прогрессийн хувьд практик хэрэглээ багатай тул бид энд авч үзээгүй өөр хэд хэдэн томъёо байдаг. Та эдгээр томъёог олж болно.

Геометр прогрессийн өсөлт, бууралт

Өгүүллийн эхэнд авч үзсэн \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48...\)\) хувьд хуваагч \(q\) нэгээс их байх тул дараагийн гишүүн бүрд өмнөхөөсөө их байна. Ийм дэвшил гэж нэрлэдэг нэмэгдэх.

Хэрэв \(q\) нь нэгээс бага боловч эерэг байвал (өөрөөр хэлбэл тэгээс нэг хүртэлх мужид байгаа) дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө бага байх болно. Жишээ нь, дэвшилтэд \(4\); \(2\); \(1\); \(0.5\); \(0.25\)... \(q\)-ын хуваагч нь \(\frac(1)(2)\)-тэй тэнцүү байна.

Эдгээр дэвшилтүүдийг гэж нэрлэдэг буурч байна. Ийм ахиц дэвшлийн элементүүдийн аль нь ч сөрөг биш гэдгийг анхаарна уу, тэд алхам бүрээр улам бүр багасч байна. Энэ нь бид аажмаар тэг рүү ойртох болно, гэхдээ бид хэзээ ч хүрэхгүй, үүнээс цааш явахгүй. Ийм тохиолдолд математикчид "тэглэх хандлагатай" гэж хэлдэг.

Сөрөг хуваагчтай бол геометрийн прогрессийн элементүүд тэмдэг нь заавал өөрчлөгдөх болно гэдгийг анхаарна уу. Жишээлбэл, y прогресс \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)... \(q\)-ийн хуваагч нь \(-3\) бөгөөд үүнээс болж элементүүдийн тэмдгүүд “анивчдаг”.

Арифметик ба геометрийн прогресс

Онолын мэдээлэл

Онолын мэдээлэл

	Арифметик прогресс	Геометрийн прогресс
Тодорхойлолт	Арифметик прогресс a nгэдэг нь хоёр дахь гишүүнээс эхлэн гишүүн бүр өмнөх гишүүнтэй ижил тоонд нэмэгдсэнтэй тэнцүү байх дараалал юм г (г- явцын зөрүү)	Геометрийн прогресс б нЭнэ нь тэгээс өөр тооны дараалал бөгөөд хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх гишүүнтэй ижил тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. q (q- прогрессийн хуваагч)
Дахин давтагдах томъёо	Аливаа байгалийн хувьд n a n + 1 = a n + d	Аливаа байгалийн хувьд n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Томъёоны n-р гишүүн	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Онцлог шинж чанар
Эхний n гишүүний нийлбэр

Тайлбар бүхий даалгаврын жишээ

Дасгал 1

Арифметик прогрессоор ( a n) a 1 = -6, a 2

n-р гишүүний томъёоны дагуу:

а 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 д

Нөхцөлөөр:

a 1= -6, тэгвэл а 22= -6 + 21 d .

Прогрессийн ялгааг олох шаардлагатай:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Хариулт: а 22 = -48.

Даалгавар 2

Геометр прогрессийн тав дахь гишүүнийг ол: -3; 6;.....

1-р арга (n-н хугацааны томъёог ашиглан)

Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёоны дагуу:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Учир нь б 1 = -3,

2-р арга (давтагдах томъёог ашиглах)

Прогрессийн хуваагч нь -2 (q = -2) тул:

б 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

б 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

б 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Хариулт: б 5 = -48.

Даалгавар 3

Арифметик прогрессоор ( a n ) a 74 = 34; нь 76= 156. Энэ прогрессийн далан тав дахь гишүүнийг ол.

Арифметик прогрессийн хувьд шинж чанар нь хэлбэртэй байна .

Тиймээс:

.

Өгөгдлийг томъёонд орлъё:

Хариулт: 95.

Даалгавар 4

Арифметик прогрессоор ( a n ) a n= 3n - 4. Эхний арван долоон гишүүний нийлбэрийг ол.

Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг олохын тулд дараах хоёр томъёог ашиглана.

.

Энэ тохиолдолд аль нь ашиглахад илүү тохиромжтой вэ?

Нөхцөлөөр анхны прогрессийн n-р гишүүний томъёо мэдэгдэж байна ( a n) a n= 3n - 4. Та нэн даруй олох боломжтой ба a 1, Мөн а 16олохгүйгээр d. Тиймээс бид эхний томъёог ашиглах болно.

Хариулт: 368.

Даалгавар 5

Арифметик прогрессоор ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Прогрессийн хорин хоёр дахь гишүүнийг ол.

n-р гишүүний томъёоны дагуу:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 өдөр.

Нөхцөлөөр, хэрэв a 1= -6, тэгвэл а 22= -6 + 21d. Прогрессийн ялгааг олох шаардлагатай:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Хариулт: а 22 = -48.

Даалгавар 6

Геометр прогрессийн хэд хэдэн дараалсан гишүүнийг бичнэ.

х-ээр заасан прогрессийн гишүүнийг ол.

Шийдвэрлэхдээ бид n-р гишүүний томъёог ашиглана b n = b 1 ∙ q n - 1геометр прогрессийн хувьд. Прогрессийн эхний үе. q прогрессийн хуваагчийг олохын тулд өгөгдсөн прогрессийн аль нэг гишүүнийг авч өмнөх гишүүнд хуваах хэрэгтэй. Бидний жишээн дээр бид авч, хувааж болно. Бид q = 3 гэдгийг олж авна. Өгөгдсөн геометр прогрессийн гурав дахь гишүүнийг олох шаардлагатай тул томъёонд n-ийн оронд 3-ыг орлуулна.

Олсон утгыг томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

.

Хариулт:.

Даалгавар 7

n-р гишүүний томъёогоор өгөгдсөн арифметик прогрессуудаас нөхцөл хангагдсаныг сонго. а 27 > 9:

Өгөгдсөн нөхцөл нь прогрессийн 27-р гишүүний хувьд биелэх ёстой тул дөрвөн прогресс бүрт n-ийн оронд 27-г орлуулна. 4-р шатанд бид дараахь зүйлийг авна.

.

Хариулт: 4.

Даалгавар 8

Арифметик прогрессоор a 1= 3, d = -1.5. Тэгш бус байдал биелэх n-ийн хамгийн том утгыг тодорхойлно уу a n > -6.

>>Математик: Геометрийн прогресс

Уншигчдад тав тухтай байлгах үүднээс энэ догол мөрийг өмнөх догол мөрөнд мөрдөж байсан төлөвлөгөөний дагуу яг барьсан болно.

1. Үндсэн ойлголтууд.

Тодорхойлолт.Бүх гишүүд нь 0-ээс ялгаатай, хоёр дахь гишүүнээс нь эхлэн өмнөх гишүүнээс ижил тоогоор үржүүлж гаргаж авсан тоон дарааллыг геометр прогресс гэнэ. Энэ тохиолдолд 5-ын тоог геометрийн прогрессийн хуваагч гэж нэрлэдэг.

Иймээс геометр прогресс гэдэг нь харьцаагаар тодорхойлогддог тоон дараалал (b n) юм.

Тоон дарааллыг хараад геометр прогресс мөн эсэхийг тодорхойлох боломжтой юу? Чадах. Хэрэв та дарааллын аль нэг гишүүний өмнөх гишүүнтэй харьцуулсан харьцаа тогтмол гэдэгт итгэлтэй байвал геометрийн прогресс байна.
Жишээ 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Жишээ 2.

Энэ бол геометрийн прогресс юм
Жишээ 3.

Энэ бол геометрийн прогресс юм
Жишээ 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Энэ нь b 1 - 8, q = 1 байх геометрийн прогресс юм.

Энэ дараалал нь мөн арифметик прогресс гэдгийг анхаарна уу (§ 15-аас 3-р жишээг үзнэ үү).

Жишээ 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Энэ нь b 1 = 2, q = -1 байх геометр прогресс юм.

Мэдээжийн хэрэг, геометр прогресс нь b 1 > 0, q > 1 (жишээ 1-ийг харна уу) бол нэмэгдэж буй дараалал, b 1 > 0, 0 бол буурах дараалал байх нь ойлгомжтой.< q < 1 (см. пример 2).

Дараалал (b n) нь геометрийн прогресс гэдгийг харуулахын тулд дараах тэмдэглэгээ заримдаа тохиромжтой байдаг.

Дүрс нь "геометрийн прогресс" гэсэн хэллэгийг орлоно.
Геометр прогрессийн нэгэн сонирхолтой бөгөөд нэгэн зэрэг илэрхий шинж чанарыг тэмдэглэе.
Хэрэв дараалал бол нь геометрийн прогресс, дараа нь квадратуудын дараалал, өөрөөр хэлбэл. нь геометрийн прогресс юм.
Хоёр дахь геометр прогрессийн хувьд эхний гишүүн нь q 2-той тэнцүү ба тэнцүү байна.
Хэрэв геометр прогрессод b n-ийн дараах бүх гишүүнийг хасвал бид төгсгөлтэй геометр прогрессийг авна.
Энэ хэсгийн дараагийн догол мөрөнд бид геометрийн прогрессийн хамгийн чухал шинж чанаруудыг авч үзэх болно.

2. Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёо.

Геометрийн прогрессийг авч үзье хуваагч q. Бидэнд байгаа:

Аливаа n тооны хувьд тэгш байдал үнэн гэдгийг таахад хэцүү биш юм

Энэ бол геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёо юм.

Сэтгэгдэл.

Хэрэв та өмнөх догол мөрийн чухал тайлбарыг уншиж, ойлгосон бол арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёонд хийсэн шиг математик индукцийн аргыг ашиглан (1) томъёог батлахыг хичээгээрэй.

Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёог дахин бичье

болон тэмдэглэгээг танилцуул: Бид y = mq 2 авна, эсвэл илүү дэлгэрэнгүй,
Аргумент x нь экспонентт агуулагддаг тул энэ функцийг экспоненциал функц гэж нэрлэдэг. Энэ нь геометр прогрессийг натурал тооны N олонлог дээр тодорхойлсон экспоненциал функц гэж үзэж болно гэсэн үг юм. Зураг дээр. 96a-д функцийн графикийг үзүүлэв. 966 - функциональ график Аль ч тохиолдолд бид тодорхой муруй дээр хэвтэж буй тусгаарлагдсан цэгүүдтэй (х = 1, x = 2, x = 3 гэх мэт абсциссатай) (хоёр зураг нь ижил муруйг харуулж байна, зөвхөн өөр өөр байршилтай, өөр өөр масштабаар дүрсэлсэн). Энэ муруйг экспоненциал муруй гэж нэрлэдэг. Экспоненциал функц болон түүний графикийн талаарх дэлгэрэнгүй мэдээллийг 11-р ангийн алгебрийн хичээл дээр авч үзэх болно.

Өмнөх догол мөрийн 1-5-р жишээнүүд рүү буцъя.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Энэ бол b 1 = 1, q = 3 байх геометр прогресс юм. n-р гишүүний томъёог үүсгэцгээе.
2) Энэ бол n-р гишүүний томьёо үүсгэе геометр прогресс юм

Энэ бол геометрийн прогресс юм n-р гишүүний томъёог үүсгэцгээе
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Энэ бол b 1 = 8, q = 1 байх геометр прогресс юм. n-р гишүүний томъёог үүсгэцгээе.
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Энэ нь b 1 = 2, q = -1 байх геометр прогресс юм. n-р гишүүний томъёог үүсгэцгээе

Жишээ 6.

Геометрийн прогресс өгөгдсөн

Бүх тохиолдолд шийдэл нь геометр прогрессийн n-р гишүүний томьёо дээр суурилдаг

a) Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёонд n = 6-г оруулбал бид олж авна

б) Бидэнд байна

512 = 2 9 тул бид n - 1 = 9, n = 10 болно.

г) Бидэнд байна

Жишээ 7.

Геометр прогрессийн долоо ба тав дахь гишүүний зөрүү 48, прогрессийн тав, зургаа дахь гишүүний нийлбэр мөн 48. Энэ прогрессийн арван хоёрдугаар гишүүнийг ол.

Эхний шат.Математик загвар гаргах.

Асуудлын нөхцөлийг дараах байдлаар товч бичиж болно.

Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
Тэгвэл бодлогын хоёр дахь нөхцөлийг (b 7 - b 5 = 48) гэж бичиж болно

Бодлогын гурав дахь нөхцөлийг (b 5 + b 6 = 48) гэж бичиж болно

Үүний үр дүнд бид b 1 ба q хоёр хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Энэ нь дээр бичсэн 1) нөхцөлтэй хослуулан бодлогын математик загварыг илэрхийлнэ.

Хоёр дахь үе шат.

Эмхэтгэсэн загвартай ажиллах. Системийн хоёр тэгшитгэлийн зүүн талыг тэгшитгэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

(бид тэгшитгэлийн хоёр талыг тэг биш b 1 q 4 илэрхийллээр хуваасан).

q 2 - q - 2 = 0 тэгшитгэлээс бид q 1 = 2, q 2 = -1-ийг олно. Системийн хоёр дахь тэгшитгэлд q = 2 утгыг орлуулснаар бид олж авна
Системийн хоёр дахь тэгшитгэлд q = -1 утгыг орлуулснаар бид b 1 1 0 = 48; Энэ тэгшитгэлд шийдэл байхгүй.

Тэгэхээр b 1 =1, q = 2 - энэ хос нь эмхэтгэсэн тэгшитгэлийн системийн шийдэл юм.

Одоо бид бодлогод авч үзсэн геометр прогрессийг бичиж болно: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Гурав дахь шат.

Асуудлын асуултанд хариулна уу. Та b 12-ыг тооцоолох хэрэгтэй. Бидэнд байгаа

Хариулт: b 12 = 2048.

3. Хязгаарлагдмал геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томъёо.

Хязгаарлагдмал геометрийн прогресс өгөгдсөн байг

Түүний нөхцлийн нийлбэрийг S n-ээр тэмдэглэе, өөрөөр хэлбэл.

Энэ хэмжээг олох томьёог гаргацгаая.

Хамгийн энгийн тохиолдлоос эхэлье, q = 1. Тэгвэл геометр прогресс b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn нь b 1-тэй тэнцүү n тооноос бүрдэнэ, өөрөөр хэлбэл. Прогресс нь b 1, b 2, b 3, ..., b 4 шиг харагдаж байна. Эдгээр тоонуудын нийлбэр нь nb 1 байна.

Одоо q = 1 гэж үзье S n-ийг олохын тулд бид хиймэл арга хэрэглэдэг: S n q илэрхийллийн зарим хувиргалтыг хийдэг. Бидэнд байгаа:

Өөрчлөлтийг хийхдээ бид нэгдүгээрт, геометрийн прогрессийн тодорхойлолтыг ашигласан бөгөөд үүний дагуу (гурав дахь үндэслэлийг үзнэ үү); хоёрдугаарт, тэд нэмж, хассан тул илэрхийллийн утга нь мэдээжийн хэрэг өөрчлөгдөөгүй (үзэл баримтлалын дөрөв дэх мөрийг үзнэ үү); Гуравдугаарт, бид геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёог ашигласан:

Томъёо (1)-ээс бид дараахь зүйлийг олно.

Энэ бол геометр прогрессийн n гишүүний нийлбэрийн томъёо юм (q = 1 тохиолдолд).

Жишээ 8.

Хязгаарлагдмал геометрийн прогресс өгөгдсөн

а) прогрессийн нөхцлийн нийлбэр; б) түүний нөхцлийн квадратуудын нийлбэр.

b) Дээр дурдсан (х. 132-ыг үзнэ үү) хэрэв геометр прогрессийн бүх гишүүн квадрат байвал эхний гишүүн b 2 ба хуваагч q 2 геометр прогрессийг авна гэдгийг бид аль хэдийн тэмдэглэсэн. Дараа нь шинэ прогрессийн зургаан гишүүний нийлбэрийг тооцоолно

Жишээ 9.

Геометр прогрессийн 8-р гишүүнийг ол

Үнэндээ бид дараах теоремыг баталсан.

Тоон дараалал нь эхний теоремоос бусад гишүүн бүрийн квадрат нь өмнөх ба дараагийн гишүүдийн үржвэртэй тэнцүү байвал геометрийн прогресс хэлнэ. геометр прогрессийн шинж чанар).

Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёо маш энгийн. Утгын хувьд ч, ерөнхий дүр төрхөөрөө ч. Гэхдээ n-р гишүүний томъёонд маш анхдагчаас нэлээд ноцтой хүртэл янз бүрийн асуудал байдаг. Бидний танилцах явцад бид хоёуланг нь авч үзэх нь гарцаагүй. За, танилцацгаая?)

Тэгэхээр, эхлээд, үнэндээ томъёоn

Тэр энд байна:

б н = б 1 · qn -1

Томъёо бол зүгээр л томъёо, ер бусын зүйл биш. Энэ нь ижил төстэй томъёоноос ч илүү энгийн бөгөөд нягт харагддаг. Томъёоны утга нь эсгий гутал шиг энгийн.

Энэ томьёо нь геометр прогрессийн аль ч гишүүнийг ДУГААРААР олох боломжийг олгоно. n".

Таны харж байгаагаар утга нь арифметик прогрессийн бүрэн зүйрлэл юм. Бид n тоог мэддэг - энэ тооны доор байгаа нэр томъёог бас тоолж болно. Бид алийг нь ч хүссэн. "q"-аар олон, олон дахин дахин үржихгүйгээр. Энэ бол бүх зүйл юм.)

Прогресстэй ажиллах энэ түвшинд томьёонд орсон бүх хэмжигдэхүүнүүд танд аль хэдийн тодорхой байх ёстой гэдгийг би ойлгож байгаа ч тус бүрийг тайлах үүрэгтэй гэж би бодож байна. Тохиолдолд.

Тэгэхээр, бид энд байна:

б 1 – эхлээдгеометрийн прогрессийн хугацаа;

q – ;

n- гишүүний дугаар;

б н – n-р (nth)геометр прогрессийн гишүүн.

Энэ томъёо нь аливаа геометрийн прогрессийн дөрвөн үндсэн параметрийг холбодог. бn, б 1 , qТэгээд n. Мөн бүх дэвшилттэй асуудлууд эдгээр дөрвөн гол тоон дээр эргэлддэг.

"Үүнийг яаж арилгах вэ?"– Сонирхолтой асуулт сонсож байна... Бага анги! Хараач!

Юутай тэнцүү вэ хоёрдугаартдэвшлийн гишүүн? Асуудалгүй! Бид шууд бичдэг:

b 2 = b 1 ·q

Гурав дахь гишүүний тухайд? Бас асуудал биш! Бид хоёр дахь гишүүнийг үржүүлдэг дахин нэг удааq.

Үүн шиг:

B 3 = b 2 q

Хоёрдахь гишүүн нь эргээд b 1 ·q-тай тэнцүү гэдгийг одоо санаж, энэ илэрхийллийг бидний тэгш байдал болгон орлъё.

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Бид авах:

Б 3 = b 1 ·q 2

Одоо орос хэл дээрх нийтлэлээ уншъя: гурав дахьнэр томъёо нь эхний гишүүнийг q-аар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна хоёрдугаартградус. Та үүнийг ойлгож байна уу? Хараахан болоогүй? За, дахиад нэг алхам.

Дөрөв дэх нэр томъёо гэж юу вэ? Бүгд адилхан! Үржүүлэх өмнөх(өөрөөр хэлбэл гурав дахь нэр томъёо) q дээр:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Нийт:

Б 4 = b 1 ·q 3

Бид дахин орос хэл рүү орчуулав: дөрөв дэхнэр томъёо нь эхний гишүүнийг q-аар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна гурав дахьградус.

гэх мэт. Тэгэхээр яаж байна? Та загварыг барьж чадсан уу? Тийм ээ! Дурын тоотой аль ч гишүүний хувьд ижил хүчин зүйлийн тоо q (жишээ нь хуваарийн зэрэг) үргэлж байх болно. хүссэн гишүүний тооноос нэгээр багаn.

Тиймээс бидний томъёо нь өөрчлөлтгүйгээр:

b n =б 1 · qn -1

Тэгээд л болоо.)

За, асуудлаа шийдье, би бодож байна уу?)

Томъёоны асуудлыг шийдвэрлэхnгеометр прогрессийн 3-р гишүүн.

Ердийнх шигээ томъёоны шууд хэрэглээнээс эхэлцгээе. Энд ердийн асуудал байна:

Геометрийн прогрессийн хувьд үүнийг мэддэг б 1 = 512 ба q = -1/2. Прогрессийн арав дахь гишүүнийг ол.

Мэдээжийн хэрэг, энэ асуудлыг ямар ч томъёололгүйгээр шийдэж болно. Шууд геометрийн прогресс гэдэг утгаараа. Гэхдээ бид n-р гишүүний томъёогоор халаах хэрэгтэй байна, тийм үү? Энд бид дулаарч байна.

Томьёог хэрэглэх бидний өгөгдөл дараах байдалтай байна.

Эхний гишүүн нь тодорхой. Энэ бол 512.

б 1 = 512.

Прогрессийн хуваагч нь бас мэдэгдэж байна: q = -1/2.

Гагцхүү n гишүүний тоо хэд болохыг мэдэх л үлдлээ. Асуудалгүй! Бид арав дахь улиралыг сонирхож байна уу? Тиймээс бид ерөнхий томъёонд n-ийн оронд арвыг орлуулна.

Мөн арифметикийг сайтар тооцоол:

Хариулт: -1

Таны харж байгаагаар ахиц дэвшлийн арав дахь гишүүн хасах болж хувирав. Гайхах зүйлгүй: бидний дэвшилтийн хуваарь нь -1/2, өөрөөр хэлбэл. сөрөгтоо. Энэ нь бидний ахиц дэвшлийн шинж тэмдгүүд солигдож байгааг харуулж байна, тийм ээ.)

Энд бүх зүйл энгийн. Үүнтэй төстэй асуудал энд байна, гэхдээ тооцооллын хувьд арай илүү төвөгтэй.

Геометрийн прогрессийн хувьд дараахь зүйлийг мэддэг.

б 1 = 3

Прогрессийн арван гурав дахь гишүүнийг ол.

Бүх зүйл адилхан, зөвхөн энэ удаад дэвшлийн хуваагч нь байна үндэслэлгүй. Хоёрын үндэс. За яахав. Томъёо нь бүх нийтийн зүйл бөгөөд ямар ч тоогоор ажиллах боломжтой.

Бид дараах томъёоны дагуу шууд ажилладаг.

Томъёо нь мэдээжийн хэрэг, байх ёстой зүйлээрээ ажилласан, гэхдээ ... энд зарим хүмүүс гацдаг. Дараа нь үндэстэй юу хийх вэ? Арван хоёр дахь зэрэглэлд үндсийг хэрхэн өсгөх вэ?

Яаж-хэрхэн... Ямар ч томьёо мэдээж сайн зүйл гэдгийг та ойлгох ёстой, гэхдээ өмнөх бүх математикийн мэдлэгийг цуцалдаггүй! Хэрхэн барих вэ? Тийм ээ, градусын шинж чанарыг санаарай! Үндэс болгон хувиргацгаая бутархай зэрэгба – зэрэг дэвийг дээшлүүлэх томъёоны дагуу.

Үүн шиг:

Хариулт: 192

Тэгээд л болоо.)

n-р гишүүний томьёог шууд хэрэглэхэд тулгардаг гол бэрхшээл юу вэ? Тийм ээ! Гол бэрхшээл нь зэрэгтэй ажиллах!Тухайлбал, сөрөг тоо, бутархай, үндэс болон түүнтэй адилтгах байгууламжуудыг хүч болгон өсгөх. Тиймээс энэ асуудалтай тулгарсан хүмүүс зэрэг, тэдгээрийн шинж чанарыг давтан хэлээрэй! Үгүй бол та энэ сэдвийг бас удаашруулна, тиймээ...)

Одоо ердийн хайлтын асуудлыг шийдье томъёоны элементүүдийн нэг, бусад бүх зүйл өгөгдсөн бол. Ийм асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд жор нь нэг төрлийн бөгөөд маш энгийн байдаг. томъёог бичn-Ерөнхийдөө гишүүн!Нөхцөл байдлын хажууд байгаа дэвтэр дээр. Дараа нь нөхцөл байдлаас бид юу өгөгдсөн, юу дутагдаж байгааг олж хардаг. Мөн бид томъёоноос хүссэн утгыг илэрхийлнэ. Бүгд!

Жишээлбэл, ийм хор хөнөөлгүй асуудал.

3-р хуваарьтай геометр прогрессийн тав дахь гишүүн 567. Энэ прогрессийн эхний гишүүнийг ол.

Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Бид шившлэгийн дагуу шууд ажилладаг.

n-р гишүүний томьёог бичье!

б н = б 1 · qn -1

Бидэнд юу өгсөн бэ? Эхлээд дэвшлийн хуваагчийг өгөв. q = 3.

Түүнээс гадна бидэнд өгсөн тав дахь гишүүн: б 5 = 567 .

Бүгд? Үгүй! Бидэнд бас n дугаар өгсөн! Энэ нь тав: n = 5.

Бичлэгт юу байгааг та аль хэдийн ойлгосон байх гэж найдаж байна б 5 = 567 хоёр параметрийг нэг дор нуусан - энэ бол тав дахь нэр томъёо (567) ба түүний тоо (5). Би энэ талаар ижил төстэй хичээл дээр аль хэдийн ярьсан, гэхдээ энд бас дурдах нь зүйтэй болов уу.)

Одоо бид өгөгдлийг томъёонд орлуулж байна:

567 = б 1 ·3 5-1

Бид арифметикийг хийж, хялбарчилж, энгийн шугаман тэгшитгэлийг олж авдаг.

81 б 1 = 567

Бид шийдэж, авна:

б 1 = 7

Таны харж байгаагаар эхний гишүүнийг олоход ямар ч асуудал байхгүй. Гэхдээ хуваагчийг хайж байхдаа qболон тоонууд nМөн гэнэтийн зүйл тохиолдож болно. Мөн та тэдэнд бэлэн байх хэрэгтэй (гэнэтийн бэлэг), тийм ээ.)

Жишээлбэл, энэ асуудал:

Эерэг хуваарьтай геометр прогрессийн тав дахь гишүүн 162 ба энэ прогрессийн эхний гишүүн 2. Прогрессийн хуваагчийг ол.

Энэ удаад бидэнд эхний ба тав дахь гишүүнийг өгч, прогрессийн хуваагчийг олохыг хүсэв. Энд байна.

Бид томъёог бичнэnгишүүн!

б н = б 1 · qn -1

Бидний анхны өгөгдөл дараах байдалтай байна.

б 5 = 162

б 1 = 2

n = 5

Утга дутуу байна q. Асуудалгүй! Одоо олъё.) Бид мэддэг бүх зүйлээ томъёонд орлуулна.

Бид авах:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн энгийн тэгшитгэл. Одоо - болгоомжтой!Шийдлийн энэ үе шатанд олон оюутнууд нэн даруй (дөрөв дэх зэрэг) үндсийг нь баяртайгаар гаргаж аваад хариултыг авдаг q=3 .

Үүн шиг:

q4 = 81

q = 3

Гэвч үнэндээ энэ бол дуусаагүй хариулт юм. Илүү нарийн, бүрэн бус. Яагаад? Гол нь хариулт нь тэр q = -3 бас тохиромжтой: (-3) 4 нь мөн 81 байх болно!

Энэ нь чадлын тэгшитгэлтэй холбоотой юм x n = аүргэлж байдаг хоёр эсрэг үндэсцагт бүрn . Нэмэх ба хасахтай:

Аль аль нь тохиромжтой.

Жишээлбэл, шийдвэр гаргахдаа (жишээ нь. хоёрдугаартградус)

x 2 = 9

Зарим шалтгааны улмаас та гадаад төрхөөрөө гайхдаггүй хоёрүндэс x=±3? Энд ч мөн адил. Мөн бусадтай бүрзэрэг (дөрөв, зургаа, арав, гэх мэт) ижил байх болно. Дэлгэрэнгүй мэдээллийг сэдэвт оруулсан болно

Тиймээс зөв шийдэл нь:

q 4 = 81

q= ±3

За, бид тэмдгүүдийг ялгасан. Аль нь зөв вэ - нэмэх эсвэл хасах уу? За, хайхдаа асуудлын мэдэгдлийг дахин уншъя нэмэлт мэдээлэл.Мэдээжийн хэрэг, энэ нь байхгүй байж болох ч энэ асуудалд ийм мэдээлэл байна боломжтой.Бидний нөхцөл нь прогрессийг өгөгдсөн гэдгийг энгийн бичвэрт заасан эерэг хуваагч.

Тиймээс хариулт нь тодорхой байна:

q = 3

Энд бүх зүйл энгийн. Хэрэв асуудлын мэдэгдэл дараах байдалтай байвал юу болох байсан гэж та бодож байна:

Геометр прогрессийн тав дахь гишүүн 162, энэ прогрессийн эхний гишүүн 2. Прогрессийн хуваагчийг ол.

Ялгаа нь юу вэ? Тийм ээ! Нөхцөл байдалд Юу ч бишхуваагчийн тэмдгийн талаар дурдаагүй. Шууд ч биш, шууд бусаар ч биш. Энд асуудал аль хэдийн үүссэн байх болно хоёр шийдэл!

q = 3 Тэгээд q = -3

Тийм тийм! Нэмэх болон хасах аль аль нь.) Математикийн хувьд энэ баримт нь байгаа гэсэн үг юм хоёр дэвшилАсуудлын нөхцөлд тохирсон . Мөн тус бүр өөрийн гэсэн хуваарьтай байдаг. Зүгээр л хөгжилтэй байхын тулд дасгал хийж, эхний таван нөхцөлийг бичээрэй.)

Одоо гишүүний дугаарыг олох дасгал хийцгээе. Энэ асуудал хамгийн хэцүү, тийм ээ. Гэхдээ илүү бүтээлч.)

Геометрийн прогресс өгөгдсөн:

3; 6; 12; 24; …

768 гэдэг энэ прогрессийн аль тоо вэ?

Эхний алхам нь хэвээр байна: томъёог бичnгишүүн!

б н = б 1 · qn -1

Одоо ердийнхөөрөө бид мэддэг мэдээллээ үүн дээр орлуулж байна. Хм... энэ ажиллахгүй байна! Эхний гишүүн хаана байна, хуваагч хаана байна, бусад бүх зүйл хаана байна?!

Хаана, хаана ... Бидэнд нүд яагаад хэрэгтэй вэ? Сормуусаа нааж байна уу? Энэ удаад ахиц дэвшлийг бидэнд шууд хэлбэрээр өгч байна дараалал.Эхний гишүүнийг харж болох уу? Бид харж байна! Энэ нь гурвалсан (b 1 = 3) юм. Хуваарийн талаар юу хэлэх вэ? Бид хараахан хараагүй байгаа ч тоолоход тун амархан. Хэрэв та мэдээжийн хэрэг ойлгож байгаа бол ...

Тиймээс бид тоолдог. Шууд геометрийн прогрессийн утгын дагуу: бид түүний аль нэг нэр томъёог (эхнийхээс бусад) авч, өмнөхтэй нь хуваана.

Наад зах нь иймэрхүү:

q = 24/12 = 2

Бид өөр юу мэдэх вэ? Бид мөн энэ прогрессийн зарим гишүүнийг мэддэг, 768-тай тэнцүү. Зарим n тооны доор:

б н = 768

Бид түүний дугаарыг мэдэхгүй ч бидний даалгавар бол түүнийг олох явдал юм.) Тиймээс бид хайж байна. Бид томъёонд орлуулахад шаардлагатай бүх өгөгдлийг аль хэдийн татаж авсан. Өөрөө ч мэдэлгүй.)

Энд бид орлуулж байна:

768 = 3 2n -1

Энгийн зүйлсийг хийцгээе - хоёр талыг гурваар хувааж, тэгшитгэлийг ердийн хэлбэрээр дахин бичнэ үү: үл мэдэгдэх нь зүүн талд, мэдэгдэж байгаа нь баруун талд байна.

Бид авах:

2 n -1 = 256

Энэ бол сонирхолтой тэгшитгэл юм. Бид "n"-ийг олох хэрэгтэй. Юу, ер бусын? Тийм ээ, би маргахгүй. Үнэндээ энэ бол хамгийн энгийн зүйл юм. Үл мэдэгдэх (энэ тохиолдолд энэ нь тоо юм) учраас үүнийг ингэж нэрлэдэг n) зардал үзүүлэлтградус.

Геометр прогрессийн талаар суралцах үе шатанд (энэ бол есдүгээр анги) тэд экспоненциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг заадаггүй, тийм ээ ... Энэ бол ахлах сургуулийн сэдэв юм. Гэхдээ аймаар зүйл байхгүй. Хэдийгээр та ийм тэгшитгэлүүд хэрхэн шийдэгддэгийг мэдэхгүй байсан ч бид өөрсдөө олохыг хичээцгээе n, энгийн логик, эрүүл ухаанаар удирдуулсан.

Яриа эхэлцгээе. Зүүн талд нь бид хоёр талст байна тодорхой хэмжээгээр. Энэ зэрэг нь яг юу болохыг бид хараахан мэдэхгүй байгаа ч энэ нь аймшигтай биш юм. Гэхдээ энэ зэрэг нь 256-тай тэнцүү гэдгийг бид баттай мэдэж байна! Тэгэхээр бид хоёр нь бидэнд ямар хэмжээгээр өгдөгийг санаж байна 256. Та санаж байна уу? Тийм ээ! IN найм дахьградус!

256 = 2 8

Хэрэв та санахгүй байгаа эсвэл зэрэглэлийг таньж чадахгүй байгаа бол энэ нь бас зүгээр юм: зүгээр л дараалсан хоёр квадрат, шоо, дөрөв, тав гэх мэт. Сонголт нь үнэндээ, гэхдээ энэ түвшинд нэлээд сайн ажиллах болно.

Ямар нэг байдлаар бид дараахь зүйлийг авна.

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Тэгэхээр 768 байна ес дэхбидний дэвшлийн гишүүн. Ингээд л асуудал шийдэгдлээ.)

Хариулт: 9

Юу? Уйтгартай юу? Энгийн зүйлээс залхаж байна уу? Зөвшөөрч байна. Би ч бас. Дараагийн түвшинд шилжье.)

Илүү төвөгтэй даалгавар.

Одоо илүү төвөгтэй асуудлуудыг шийдье. Яг тийм ч гайхалтай биш, гэхдээ хариултаа олохын тулд бага зэрэг ажиллах шаардлагатай байдаг.

Жишээлбэл, энэ.

Дөрөв дэх гишүүн нь -24, долоо дахь гишүүн нь 192 бол геометр прогрессийн хоёр дахь гишүүнийг ол.

Энэ бол жанрын сонгодог бүтээл юм. Прогрессийн хоёр өөр нэр томъёо мэдэгдэж байгаа боловч өөр нэр томъёог олох шаардлагатай байна. Тэгээд ч бүх гишүүд хөрш биш. Энэ нь эхлээд төөрөгдөлд ордог, тийм ээ ...

Үүнтэй адилаар ийм асуудлыг шийдэхийн тулд бид хоёр аргыг авч үзэх болно. Эхний арга нь бүх нийтийнх юм. Алгебрийн. Ямар ч эх сурвалжтай өөгүй ажиллана. Тиймээс бид эндээс эхлэх болно.)

Бид нэр томъёо бүрийг томъёоны дагуу тайлбарладаг nгишүүн!

Бүх зүйл арифметик прогресстой яг адилхан. Зөвхөн энэ удаад бид хамтран ажиллаж байна өөрерөнхий томъёо. Энэ бол бүх зүйл.) Гэхдээ мөн чанар нь адилхан: бид авдаг нэг нэгээр ньБид анхны өгөгдлөө n-р гишүүний томъёонд орлуулна. Гишүүн бүрийн хувьд - өөрийн гэсэн.

Дөрөв дэх улиралд бид бичнэ:

б 4 = б 1 · q 3

-24 = б 1 · q 3

Идэх. Нэг тэгшитгэл бэлэн боллоо.

Долоо дахь улирлын хувьд бид бичнэ:

б 7 = б 1 · q 6

192 = б 1 · q 6

Нийтдээ бид хоёр тэгшитгэл авсан ижил дэвшил .

Бид тэднээс системийг угсардаг:

Хэдийгээр аймшигтай дүр төрхтэй ч систем нь маш энгийн. Хамгийн ойлгомжтой шийдэл бол энгийн орлуулалт юм. Бид илэрхийлдэг б 1 дээд тэгшитгэлээс доод тэгшитгэлд орлуулна уу:

Доод тэгшитгэлтэй бага зэрэг эргэлдэж (чадлыг багасгаж, -24-т хуваах) дараа бид дараахь зүйлийг олж авна.

q 3 = -8

Дашрамд хэлэхэд, ижил тэгшитгэлийг илүү хялбар аргаар олж болно! Аль нь? Одоо би ийм системийг шийдэх өөр нэг нууц, гэхдээ маш үзэсгэлэнтэй, хүчирхэг, ашигтай аргыг танд үзүүлэх болно. Ийм системүүд, тэдгээрийн тэгшитгэлүүд орно зөвхөн ажилладаг.Наад зах нь нэгд. Дуудсан хуваах арганэг тэгшитгэлээс нөгөөд.

Тиймээс бидний өмнө систем бий:

Зүүн талд байгаа хоёр тэгшитгэлд - ажил, баруун талд нь зүгээр л тоо байна. Энэ бол маш сайн тэмдэг.) Үүнийг аваад ... доод тэгшитгэлийг дээд хэсэгт хуваацгаа! Юу гэж байгаан, нэг тэгшитгэлийг нөгөөд хуваая?Маш энгийн. Үүнийг авч үзье зүүн талнэг тэгшитгэл (доод) ба хуваахтэр дээр зүүн талөөр тэгшитгэл (дээд). Баруун тал нь ижил төстэй: баруун талнэг тэгшитгэл хуваахдээр баруун талөөр.

Бүх хуваах үйл явц дараах байдалтай байна.

Одоо багасгаж болох бүх зүйлийг багасгаснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

q 3 = -8

Энэ аргын сайн тал нь юу вэ? Тиймээ, ийм хуваагдлын явцад бүх муу, тохиромжгүй зүйлийг аюулгүйгээр багасгаж, бүрэн гэм хоргүй тэгшитгэл хэвээр үлдэнэ! Ийм учраас ийм байх нь маш чухал юм зөвхөн үржүүлэхсистемийн тэгшитгэлүүдийн дор хаяж нэгд. Үржүүлэлт байхгүй - багасгах зүйл байхгүй, тиймээ ...

Ерөнхийдөө энэ арга нь (системийг шийдвэрлэх бусад олон энгийн аргуудын нэгэн адил) тусдаа хичээл авах ёстой. Би үүнийг илүү нарийвчлан авч үзэх нь гарцаагүй. Хэзээ нэгэн өдөр…

Гэсэн хэдий ч, та системийг яг яаж шийдэх нь хамаагүй, ямар ч тохиолдолд бид үүссэн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.

q 3 = -8

Ямар ч асуудалгүй: шоо үндсийг задлаад дууслаа!

Олборлохдоо энд нэмэх/хасах шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу. Бидний үндэс нь сондгой (гурав дахь) зэрэгтэй. Хариулт нь бас адилхан, тийм ээ.)

Ингээд прогрессийн хуваагч олдлоо. Хасах хоёр. Агуу их! Процесс үргэлжилж байна.)

Эхний гишүүний хувьд (дээд тэгшитгэлээс) бид дараахь зүйлийг авна.

Агуу их! Эхний нэр томъёог бид мэднэ, хуваагчийг бид мэднэ. Одоо бид дэвшилтийн аль ч гишүүнийг олох боломжтой боллоо. Хоёрдахь нь орно.)

Хоёр дахь хугацааны хувьд бүх зүйл маш энгийн:

б 2 = б 1 · q= 3·(-2) = -6

Хариулт: -6

Тиймээс бид асуудлыг шийдэх алгебрийн аргыг задалсан. Хэцүү үү? Тийм биш, би зөвшөөрч байна. Удаан бас уйтгартай юу? Тийм ээ, гарцаагүй. Гэхдээ заримдаа та ажлын хэмжээг эрс багасгаж чадна. Үүний тулд бий график арга.Сайн хуучин бөгөөд бидэнд танил.)

Бодлого зурцгаая!

Тийм ээ! Яг. Дахин бид тооны тэнхлэг дээрх дэвшлийг дүрсэлдэг. Захирагчийг дагах шаардлагагүй, нэр томъёоны хоорондох тэнцүү интервалыг хадгалах шаардлагагүй (дашрамд хэлэхэд, прогресс нь геометрийн шинж чанартай тул ижил биш байх болно!), гэхдээ зүгээр л. схемийн дагууДарааллаа зурцгаая.

Би үүнийг ингэж авсан:

Одоо зургийг хараад үүнийг олж мэдээрэй. Хэр олон ижил хүчин зүйл "q" тусгаарлагдсан дөрөв дэхТэгээд долоо дахьгишүүд? Энэ нь зөв, гурав!

Тиймээс бид бичих бүрэн эрхтэй:

-24·q 3 = 192

Эндээс q-г олоход хялбар боллоо:

q 3 = -8

q = -2

Гайхалтай, бидний халаасанд хуваагч байгаа. Одоо зургийг дахин харцгаая: хэдэн ийм хуваагч хооронд нь сууж байна хоёрдугаартТэгээд дөрөв дэхгишүүд? Хоёр! Тиймээс эдгээр нэр томъёоны хоорондох холбоог тэмдэглэхийн тулд бид хуваагчийг байгуулна дөрвөлжин.

Тиймээс бид бичнэ:

б 2 · q 2 = -24 , хаана б 2 = -24/ q 2

Бид олсон хуваагчаа b 2 илэрхийлэлд орлуулж, тоолж, дараахыг авна.

Хариулт: -6

Таны харж байгаагаар бүх зүйл системээс хамаагүй хялбар бөгөөд хурдан байдаг. Түүгээр ч барахгүй, энд бид эхний хугацааг тоолох шаардлагагүй байсан! Бүх.)

Энд ийм энгийн бөгөөд харааны гэрэл байна. Гэхдээ энэ нь бас ноцтой сул талтай. Та таамагласан уу? Тийм ээ! Энэ нь зөвхөн маш богино хэмжээний дэвшилтэд тохиромжтой. Бидний сонирхож буй гишүүдийн хоорондын зай тийм ч их биш байдаг. Гэхдээ бусад бүх тохиолдолд зураг зурахад аль хэдийн хэцүү байдаг, тиймээ ... Дараа нь бид системийг аналитик байдлаар, системээр дамжуулан шийддэг.) Мөн системүүд нь бүх нийтийн зүйл юм. Тэд ямар ч тоогоор ажиллах боломжтой.

Өөр нэг баатарлаг сорилт:

Геометр прогрессийн хоёр дахь гишүүн нь эхнийхээс 10-аар их, гурав дахь гишүүн нь хоёр дахь гишүүнээсээ 30-аар их байна. Прогрессийн хуваагчийг ол.

Юу вэ, сайхан юу? Огт үгүй! Бүгд адилхан. Дахиад бид асуудлын мэдэгдлийг цэвэр алгебр болгон хөрвүүлдэг.

1) Бид нэр томъёо бүрийг томъёоны дагуу тайлбарладаг nгишүүн!

Хоёр дахь гишүүн: b 2 = b 1 q

Гурав дахь гишүүн: b 3 = b 1 q 2

2) Асуудлын мэдэгдлээс гишүүдийн хоорондын холбоог бичнэ.

Бид нөхцөлийг уншина: "Геометр прогрессийн хоёр дахь гишүүн нь эхнийхээсээ 10-аар их байна."Зогс, энэ үнэ цэнэтэй юм!

Тиймээс бид бичнэ:

б 2 = б 1 +10

Мөн бид энэ хэллэгийг цэвэр математик болгон орчуулж байна:

б 3 = б 2 +30

Бид хоёр тэгшитгэлтэй болсон. Тэдгээрийг систем болгон нэгтгэж үзье:

Систем нь энгийн харагдаж байна. Гэхдээ үсгүүдийн хувьд хэтэрхий олон янзын индекс байдаг. Хоёр, гурав дахь гишүүний оронд тэдгээрийн илэрхийллийг эхний гишүүн болон хуваагчаар орлъё! Бид тэднийг дэмий зурсан гэж үү?

Бид авах:

Гэхдээ ийм систем бэлэг байхаа больсон, тиймээ... Үүнийг яаж шийдэх вэ? Харамсалтай нь цогцолборыг шийдвэрлэх бүх нийтийн нууц шившлэг байдаггүй шугаман бусМатематикт систем гэж байдаггүй, байх ч боломжгүй. Энэ бол гайхалтай! Гэхдээ ийм хатуу самар хагалах гэж оролдоход хамгийн түрүүнд таны санаанд орох ёстой зүйл бол үүнийг олж мэдэх явдал юм Гэхдээ системийн тэгшитгэлүүдийн нэг нь жишээ нь хувьсагчийн аль нэгийг нөгөөгөөр нь хялбархан илэрхийлэх боломжийг олгодог үзэсгэлэнтэй хэлбэрт оруулаагүй гэж үү?

Үүнийг олж мэдье. Системийн эхний тэгшитгэл нь хоёр дахьтай харьцуулахад илүү хялбар байдаг. Бид түүнийг тамлах болно.) Эхний тэгшитгэлээс оролдох ёстой юм биш үү ямар нэг зүйлдамжуулан илэрхийлэх ямар нэг зүйл?Учир нь бид хуваагчийг олохыг хүсч байна q, тэгвэл бидэнд илэрхийлэх нь хамгийн ашигтай байх болно б 1 дамжуулан q.

Тиймээс хуучин сайн хувилбаруудыг ашиглан энэ процедурыг эхний тэгшитгэлээр хийхийг хичээцгээе.

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Бүгд! Тиймээс бид илэрхийлсэн шаардлагагүй(b 1)-ээр дамжуулан хувьсагчийг бидэнд өг шаардлагатай(q). Тийм ээ, энэ нь бидний олж авсан хамгийн энгийн илэрхийлэл биш юм. Зарим төрлийн бутархай ... Гэхдээ манай систем хангалттай түвшинд байна, тийм ээ.)

Ердийн. Бид юу хийхээ мэддэг.

Бид ODZ гэж бичдэг (Заавал!) :

q ≠ 1

Бид бүх зүйлийг хуваагчаар (q-1) үржүүлж, бүх бутархайг цуцална.

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Бид бүгдийг арав хувааж, хаалтуудыг нээж, зүүн талаас бүгдийг нь цуглуулдаг.

q 2 – 4 q + 3 = 0

Бид үр дүнг шийдэж, хоёр үндсийг авна.

q 1 = 1

q 2 = 3

Зөвхөн нэг эцсийн хариулт байна: q = 3 .

Хариулт: 3

Таны харж байгаагаар геометрийн прогрессийн n-р гишүүний томьёотой холбоотой ихэнх асуудлыг шийдэх зам үргэлж ижил байдаг: уншина уу. анхааралтайАсуудлын нөхцөл, n-р гишүүний томъёог ашиглан бид бүх хэрэгтэй мэдээллийг цэвэр алгебр руу хөрвүүлдэг.

Тухайлбал:

1) Бид асуудалд өгөгдсөн нэр томъёо бүрийг томъёоны дагуу тусад нь тайлбарладагn-р гишүүн.

2) Асуудлын нөхцлөөс бид гишүүдийн хоорондын холболтыг математик хэлбэрт шилжүүлдэг. Бид тэгшитгэл эсвэл тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг.

3) Бид үүссэн тэгшитгэл эсвэл тэгшитгэлийн системийг шийдэж, прогрессийн үл мэдэгдэх параметрүүдийг олдог.

4) Хоёрдмол утгатай хариулт байгаа тохиолдолд нэмэлт мэдээлэл хайхдаа даалгаврын нөхцлийг анхааралтай уншина уу (хэрэв байгаа бол). Бид мөн хүлээн авсан хариултыг DL-ийн нөхцөлтэй (хэрэв байгаа бол) шалгана.

Одоо геометрийн прогрессийн бодлогыг шийдвэрлэх явцад ихэвчлэн алдаа гаргадаг гол асуудлуудыг жагсаацгаая.

1. Анхан шатны арифметик. Бутархай ба сөрөг тоотой үйлдлүүд.

2. Хэрэв эдгээр гурван цэгийн дор хаяж нэг асуудалтай тулгарвал та энэ сэдвээр алдаа гаргах нь гарцаагүй. Харамсалтай нь... Тиймээс залхуурах хэрэггүй, дээр дурдсан зүйлийг давт. Мөн холбоосуудыг дагана уу - яв. Заримдаа энэ нь тусалдаг.)

Өөрчлөгдсөн болон давтагдах томьёо.

Одоо нөхцөл байдлын талаар бага танил болсон шалгалтын хэд хэдэн ердийн асуудлыг авч үзье. Тийм ээ, тийм ээ, та таамагласан! Энэ өөрчлөгдсөнТэгээд давтагдах n-р хугацааны томьёо. Бид ийм томьёотой аль хэдийн таарч, арифметик прогресс дээр ажиллаж байсан. Энд бүх зүйл ижил төстэй байна. Мөн чанар нь адилхан.

Жишээлбэл, OGE-ийн энэ асуудал:

Геометрийн прогрессийг томъёогоор тодорхойлно б н = 3 2 n . Түүний эхний ба дөрөв дэх гишүүний нийлбэрийг ол.

Энэ удаад ахиц дэвшил бидний хувьд ердийнх шиг биш байна. Зарим төрлийн томъёо хэлбэрээр. Тэгээд юу гэж? Энэ томъёо нь бас томъёоnгишүүн!Та бид n-р гишүүний томьёог ерөнхий хэлбэрээр, үсгээр болон for хэлбэрээр бичиж болно гэдгийг мэднэ тодорхой дэвшил. ХАМТ тодорхойэхний нэр томъёо ба хуваагч.

Манай тохиолдолд геометр прогрессийн ерөнхий томъёог дараах параметрүүдээр өгсөн болно.

б 1 = 6

q = 2

Шалгая?) n-р гишүүний томьёог ерөнхий хэлбэрээр бичээд орлуулъя. б 1 Тэгээд q. Бид авах:

б н = б 1 · qn -1

б н= 6 2n -1

Бид хүчин зүйлийн хүчин зүйлчлэл болон хүч чадлын шинж чанарыг ашиглан хялбаршуулж, бид дараахь зүйлийг авна.

б н= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Таны харж байгаагаар бүх зүйл шударга байна. Гэхдээ бидний зорилго бол тодорхой томъёоны гарал үүслийг харуулах явдал биш юм. Энэ бол уянгын ухралт юм. Зөвхөн ойлгохын тулд.) Бидний зорилго бол нөхцөл байдалд өгсөн томъёоны дагуу асуудлыг шийдэх явдал юм. Та үүнийг ойлгож байна уу?) Тиймээс бид өөрчилсөн томъёогоор шууд ажилладаг.

Бид эхний хугацааг тооцдог. Орлуулж үзье n=1 ерөнхий томъёонд:

б 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Үүн шиг. Дашрамд хэлэхэд, би залхуурахгүй бөгөөд эхний хугацааны тооцооллын ердийн алдаанд дахин анхаарлаа хандуулах болно. БҮҮ, томъёог хар б н= 3 2n, нэн даруй эхний улирал нь гурав гэж бичих гэж яараарай! Энэ бол бүдүүлэг алдаа, тийм ээ ...)

Үргэлжлүүлье. Орлуулж үзье n=4 мөн дөрөв дэх гишүүнийг тоолно:

б 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Эцэст нь бид шаардлагатай хэмжээг тооцоолно.

б 1 + б 4 = 6+48 = 54

Хариулт: 54

Өөр нэг асуудал.

Геометрийн прогрессийг дараахь нөхцлөөр тодорхойлно.

б 1 = -7;

б н +1 = 3 б н

Прогрессийн дөрөв дэх гишүүнийг ол.

Энд ахиц дэвшлийг давтагдах томъёогоор тодорхойлно. За яахав.) Энэ томъёогоор хэрхэн ажиллах вэ - бид ч бас мэднэ.

Тиймээс бид үйлдэл хийдэг. Алхам алхамаар.

1) Хоёр тоол дараалсандэвшлийн гишүүн.

Эхний хугацааг бидэнд өгчихсөн. Хасах долоо. Гэхдээ дараагийн, хоёр дахь хугацааг давталтын томъёог ашиглан хялбархан тооцоолж болно. Хэрэв та түүний үйл ажиллагааны зарчмыг ойлгож байгаа бол мэдээжийн хэрэг.)

Тиймээс бид хоёр дахь хугацааг тоолно алдартай эхний дагуу:

б 2 = 3 б 1 = 3·(-7) = -21

2) Прогрессийн хуваагчийг тооцоол

Бас асуудалгүй. Шууд, хувацгаая хоёрдугаартдик дээр эхлээд.

Бид авах:

q = -21/(-7) = 3

3) Томьёог бичнэ үүnth гишүүнийг ердийн хэлбэрээр оруулж, шаардлагатай гишүүнийг тооцоолно.

Тиймээс бид эхний гишүүнийг мэддэг, хуваагч нь ч мөн адил. Тиймээс бид бичнэ:

б н= -7·3n -1

б 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Хариулт: -189

Таны харж байгаагаар геометр прогрессийн ийм томьёотой ажиллах нь арифметик прогрессийнхээс үндсэндээ ялгаагүй юм. Зөвхөн эдгээр томъёоны ерөнхий мөн чанар, утгыг ойлгох нь чухал юм. За, та бас геометрийн прогрессийн утгыг ойлгох хэрэгтэй, тиймээ.) Тэгээд ямар ч тэнэг алдаа гарахгүй.

За, өөрсдөө шийдье?)

Дулаарах маш энгийн ажлууд:

1. Өгөгдсөн геометр прогрессийн аль нь б 1 = 243, a q = -2/3. Прогрессийн зургаа дахь гишүүнийг ол.

2. Геометр прогрессийн ерөнхий гишүүнийг томъёогоор тодорхойлно б н = 5∙2 n +1 . Энэ прогрессийн сүүлийн гурван оронтой гишүүний тоог ол.

3. Геометрийн прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно.

б 1 = -3;

б н +1 = 6 б н

Прогрессийн тав дахь гишүүнийг ол.

Бага зэрэг төвөгтэй:

4. Геометрийн прогресс өгөгдсөн:

б 1 =2048; q =-0,5

Зургаа дахь сөрөг гишүүн хэдтэй тэнцүү вэ?

Юу нь маш хэцүү санагдаж байна вэ? Огт үгүй. Логик ба геометрийн прогрессийн утгыг ойлгох нь таныг аварна. За тэгээд n-р гишүүний томьёо мэдээж.

5. Геометр прогрессийн гуравдугаар гишүүн -14, найм дахь гишүүн нь 112. Прогрессийн хуваагчийг ол.

6. Геометр прогрессийн нэг ба хоёрдугаар гишүүний нийлбэр нь 75, хоёр, гуравдугаар гишүүний нийлбэр нь 150. Прогрессийн зургаа дахь гишүүнийг ол.

Хариултууд (эмх замбараагүй): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Энэ бол бараг бүх зүйл. Бидний хийх ёстой зүйл бол тоолж сурах явдал юм геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэртиймээ олж мэд хязгааргүй буурах геометр прогрессба түүний хэмжээ. Дашрамд хэлэхэд маш сонирхолтой, ер бусын зүйл! Энэ талаар дараагийн хичээлүүд дээр дэлгэрэнгүй үзнэ үү.)

Тодорхой цувралыг авч үзье.

7 28 112 448 1792...

Түүний аль нэг элементийн үнэ цэнэ өмнөхөөсөө яг дөрөв дахин их байх нь туйлын тодорхой юм. Энэ цуврал нь ахиц дэвшил гэсэн үг.

Геометр прогресс гэдэг нь тоонуудын төгсгөлгүй дараалал бөгөөд түүний гол онцлог нь өмнөх тооноос тодорхой тоогоор үржүүлж дараагийн тоог гаргаж авдагт оршино. Үүнийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

a z +1 =a z ·q, энд z нь сонгосон элементийн тоо.

Үүний дагуу z ∈ N.

Сургуулийн геометрийн прогрессийг сурдаг үе бол 9-р анги юм. Жишээ нь танд ойлголтыг ойлгоход тусална:

0.25 0.125 0.0625...

Энэ томъёонд үндэслэн прогрессийн хуваагчийг дараах байдлаар олж болно.

q, b z аль нь ч тэг байж болохгүй. Мөн прогрессийн элемент бүр нь тэгтэй тэнцүү байх ёсгүй.

Үүний дагуу цувралын дараагийн тоог олохын тулд та сүүлчийн тоог q-аар үржүүлэх хэрэгтэй.

Энэ прогрессийг тохируулахын тулд та түүний эхний элемент болон хуваагчийг зааж өгөх ёстой. Үүний дараа дараагийн нөхцлүүд болон тэдгээрийн нийлбэрийг олох боломжтой.

Сортууд

q ба 1-ээс хамааран энэ прогрессийг хэд хэдэн төрөлд хуваана.

• Хэрэв 1 ба q хоёулаа нэгээс их байвал ийм дараалал нь дараагийн элемент бүрээр нэмэгдэж буй геометрийн прогресс юм. Үүний жишээг доор үзүүлэв.

Жишээ: a 1 =3, q=2 - хоёр параметр нь нэгээс их байна.

Дараа нь тооны дарааллыг дараах байдлаар бичиж болно.

3 6 12 24 48 ...

• Хэрэв |q| нэгээс бага, өөрөөр хэлбэл түүгээр үржүүлэх нь хуваахтай тэнцүү бол ижил нөхцөлтэй прогресс нь буурч буй геометр прогресс болно. Үүний жишээг доор үзүүлэв.

Жишээ: a 1 =6, q=1/3 - a 1 нь нэгээс их, q нь бага.

Дараа нь тооны дарааллыг дараах байдлаар бичиж болно.

6 2 2/3 ... - дурын элемент нь дагасан элементээс 3 дахин том байна.

• Хувьсах тэмдэг. Хэрэв q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Жишээ: a 1 = -3, q = -2 - хоёр параметр нь тэгээс бага байна.

Дараа нь тооны дарааллыг дараах байдлаар бичиж болно.

3, 6, -12, 24,...

Томъёо

Геометрийн прогрессийг ашиглахад тохиромжтой олон томъёо байдаг.

• Z хугацааны томъёо. Өмнөх тоонуудыг тооцохгүйгээр тодорхой тооны доор байгаа элементийг тооцоолох боломжийг танд олгоно.

Жишээ:q = 3, а 1 = 4. Прогрессийн дөрөв дэх элементийг тоолох шаардлагатай.

Шийдэл:а 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Тоо хэмжээ нь тэнцүү эхний элементүүдийн нийлбэр z. хүртэлх дарааллын бүх элементүүдийн нийлбэрийг тооцоолох боломжийг танд олгоноa zбагтаасан.

Түүнээс хойш (1-q) хуваарьт байгаа бол (1 - q)≠ 0 тул q нь 1-тэй тэнцүү биш байна.

Тайлбар: хэрэв q=1 бол прогресс нь төгсгөлгүй давтагдах тоонуудын цуваа байх болно.

Геометр прогрессийн нийлбэр, жишээ:а 1 = 2, q= -2. S5-ыг тооцоол.

Шийдэл:С 5 = 22 - томъёог ашиглан тооцоо хийх.

• Хэрэв |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Жишээ:а 1 = 2 , q= 0.5. Хэмжээг нь ол.

Шийдэл:С з = 2 · = 4

С з = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Зарим шинж чанарууд:

• Онцлог шинж чанар. Дараах нөхцөл байвал хэнд ч ажилладагz, тэгвэл өгөгдсөн тооны цуваа нь геометр прогресс болно:

a z 2 = a z -1 · аz+1

• Мөн геометрийн прогрессийн аль ч тооны квадратыг тухайн цувралын бусад хоёр тооны квадратыг нэмж, хэрэв тэдгээр нь энэ элементээс ижил зайд байвал олно.

a z 2 = a z - т 2 + a z + т 2 , Хаанат- эдгээр тоонуудын хоорондох зай.

• Элементүүдq-д ялгаатайнэг удаа.
• Прогрессийн элементүүдийн логарифмууд нь мөн прогрессийг үүсгэдэг, гэхдээ арифметик, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь өмнөхөөсөө тодорхой тоогоор их байна.

Зарим сонгодог асуудлын жишээ

Геометрийн прогресс гэж юу болохыг илүү сайн ойлгохын тулд 9-р ангид зориулсан шийдэл бүхий жишээнүүд тусална.

• Нөхцөл:а 1 = 3, а 3 = 48. Хайq.

Шийдэл: дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө их байнаq нэг удаа.Зарим элементүүдийг бусдын нэр томъёогоор хуваагч ашиглан илэрхийлэх шаардлагатай.

Тиймээс,а 3 = q 2 · а 1

Орлуулах үедq= 4

• Нөхцөл:а 2 = 6, а 3 = 12. S 6-г тооцоол.

Шийдэл:Үүнийг хийхийн тулд эхний элемент болох q-г олоод томъёонд орлуулна уу.

а 3 = q· а 2 , тиймээс,q= 2

a 2 = q · a 1,Тийм ч учраас a 1 = 3

S 6 = 189

• · а 1 = 10, q= -2. Прогрессийн дөрөв дэх элементийг ол.

Шийдэл: Үүнийг хийхийн тулд дөрөв дэх элементийг эхний болон хуваагчаар илэрхийлэхэд хангалттай.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Хэрэглээний жишээ:

• Банкны үйлчлүүлэгч 10,000 рубльтэй тэнцэх хэмжээний хадгаламж хийсэн бөгөөд түүний нөхцлийн дагуу жил бүр үйлчлүүлэгч түүний 6% -ийг үндсэн төлбөрт нэмнэ. 4 жилийн дараа дансанд хэдэн төгрөг орох вэ?

Шийдэл: Эхний дүн нь 10 мянган рубль юм. Энэ нь хөрөнгө оруулалт хийснээс хойш нэг жилийн дараа данс 10,000 + 10,000-тай тэнцэх хэмжээний мөнгөтэй болно гэсэн үг юм. · 0.06 = 10000 1.06

Үүний дагуу нэг жилийн дараа дансанд байгаа дүнг дараах байдлаар илэрхийлнэ.

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

Энэ нь жил бүр энэ хэмжээ 1.06 дахин нэмэгддэг. Энэ нь 4 жилийн дараа дансанд байгаа хөрөнгийн хэмжээг олохын тулд эхний элементээр 10 мянга, хуваагч нь 1.06-тай тэнцэх прогрессийн дөрөв дэх элементийг олоход хангалттай гэсэн үг юм.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

Нийлбэр тооцох асуудлын жишээ:

Геометрийн прогрессийг янз бүрийн асуудалд ашигладаг. Нийлбэрийг олох жишээг дараах байдлаар өгч болно.

а 1 = 4, q= 2, тооцоолS 5.

Шийдэл: тооцоололд шаардлагатай бүх өгөгдөл мэдэгдэж байгаа тул та тэдгээрийг томъёонд орлуулахад л хангалттай.

С 5 = 124

• а 2 = 6, а 3 = 18. Эхний зургаан элементийн нийлбэрийг тооцоол.

Шийдэл:

Геомд. Прогрессийн хувьд дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө q дахин их байна, өөрөөр хэлбэл нийлбэрийг тооцоолохын тулд элементийг мэдэх шаардлагатай.а 1 ба хуваагчq.

а 2 · q = а 3

q = 3

Үүний нэгэн адил та олох хэрэгтэйа 1 , мэдэха 2 Тэгээдq.

а 1 · q = а 2

a 1 =2

С 6 = 728.