Абсцисса ба ордны тэнхлэгүүд дээр дуудагддаг координатууд вектор. Векторын координатыг ихэвчлэн маягт дээр зааж өгдөг (х, у), мөн вектор өөрөө: = (x, y).
Хоёр хэмжээст бодлогын векторын координатыг тодорхойлох томъёо.
Хоёр хэмжээст бодлогын хувьд мэдэгдэж байгаа вектор цэгийн координат A(x 1; y 1)болон Б(х 2 ; y 2 ) тооцоолж болно:
\u003d (x 2 - x 1; y 2 - y 1).
Орон зайн асуудлын векторын координатыг тодорхойлох томъёо.
Орон зайн асуудлын хувьд мэдэгдэж байгаа вектор цэгийн координатА (x 1; y 1;z 1 ) болон Б (х 2 ; y 2 ; z 2 ) томъёог ашиглан тооцоолж болно:
= (х 2 - х 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).
Координатаас векторыг өөрөө байгуулах боломжтой тул координатууд нь векторын иж бүрэн тайлбарыг өгдөг. Координатыг мэддэг тул тооцоолоход хялбар байдаг вектор урт. (Доорх үл хөдлөх хөрөнгө 3).
Вектор координатын шинж чанарууд.
1. Аливаа тэнцүү векторууднэг координатын системд байна тэнцүү координат.
2. Координат коллинеар векторуудпропорциональ. Векторуудын аль нь ч тэгтэй тэнцүү биш байх тохиолдолд.
3. Аливаа векторын уртын квадрат нь түүний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна координатууд.
4. Үйл ажиллагаа явуулах үед векторын үржвэрдээр бодит тоокоординат бүрийг энэ тоогоор үржүүлнэ.
5. Вектор нэмэх үйл ажиллагааны явцад бид харгалзах нийлбэрийг тооцоолно вектор координат.
6. Скаляр бүтээгдэхүүнхоёр векторын тус тусын координатын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Юуны өмнө векторын тухай ойлголтыг задлах шаардлагатай. Геометрийн векторын тодорхойлолтыг танилцуулахын тулд сегмент гэж юу болохыг эргэн санацгаая. Бид дараах тодорхойлолтыг танилцуулж байна.
Тодорхойлолт 1
Сегмент нь цэг хэлбэрээр хоёр хилтэй шулуун шугамын хэсэг юм.
Сегмент нь 2 чиглэлтэй байж болно. Чиглэлийг зааж өгөхийн тулд бид сегментийн аль нэг хилийг түүний эхлэл, нөгөө хилийг төгсгөл гэж нэрлэнэ. Чиглэлийг сегментийн эхлэлээс төгсгөл хүртэл зааж өгсөн болно.
Тодорхойлолт 2
Вектор эсвэл чиглүүлсэн сегмент гэдэг нь тухайн сегментийн хилийн аль нь эхлэл, аль нь төгсгөл болох нь тодорхойлогдсон сегмент юм.
Тэмдэглэгээ: Хоёр үсэг: $\overline(AB)$ – (энд $A$ нь эхлэл, $B$ нь төгсгөл).
Нэг жижиг үсгээр: $\overline(a)$ (Зураг 1).
Одоо бид векторын уртын тухай ойлголтыг шууд танилцуулж байна.
Тодорхойлолт 3
$\overline(a)$ векторын урт нь $a$ сегментийн урт юм.
Тэмдэглэгээ: $|\overline(a)|$
Векторын уртын тухай ойлголт нь жишээлбэл, хоёр векторын тэгш байдал гэх мэт ойлголттой холбоотой байдаг.
Тодорхойлолт 4
Хоёр векторыг хоёр нөхцөл хангасан тохиолдолд тэнцүү гэж нэрлэнэ: 1. Тэдгээр нь кодиректортой; 1. Тэдний урт нь тэнцүү байна (Зураг 2).
Векторуудыг тодорхойлохын тулд координатын системд орж, оруулсан систем дэх векторын координатыг тодорхойлно. Бидний мэдэж байгаагаар дурын векторыг $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, $m$ ба $n$ нь бодит тоо, $\overline(i) хэлбэрээр өргөжүүлж болно. )$ болон $\overline(j)$ нь $Ox$ ба $Oy$ тэнхлэг дээрх нэгж векторууд юм.
Тодорхойлолт 5
$\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ векторын тэлэлтийн коэффициентийг нэвтрүүлсэн координатын системд энэ векторын координат гэж нэрлэнэ. Математикийн хувьд:
$\overline(c)=(m,n)$
Векторын уртыг хэрхэн олох вэ?
Координатыг нь өгсөн дурын векторын уртыг тооцоолох томьёог гаргахын тулд дараах асуудлыг авч үзье.
Жишээ 1
Өгөгдсөн: $(x,y)$ координаттай $\overline(α)$ вектор. Олно: энэ векторын урт.
Хавтгай дээр $xOy$ декартын координатын системийг танилцуулъя. Оруулсан координатын системийн эх үүсвэрээс $\overline(OA)=\overline(a)$-г салга. Баригдсан векторын $OA_1$ ба $OA_2$ проекцуудыг $Ox$ ба $Oy$ тэнхлэгүүд дээр тус тус байгуулъя (Зураг 3).
Бидний бүтээсэн $\overline(OA)$ вектор нь $A$ цэгийн радиус вектор байх тул $(x,y)$ координаттай байх болно.
$=x$, $[OA_2]=y$
Одоо бид Пифагорын теоремыг ашиглан хүссэн уртыг хялбархан олох боломжтой
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Хариулт: $\sqrt(x^2+y^2)$.
Дүгнэлт:Координаттай векторын уртыг олохын тулд эдгээр координатуудын нийлбэрийн квадратын язгуурыг олох хэрэгтэй.
Даалгаврын жишээ
Жишээ 2
Дараах координаттай $X$ ба $Y$ цэгүүдийн хоорондох зайг ол: $(-1,5)$ ба $(7,3)$ тус тус.
Аливаа хоёр цэгийг векторын тухай ойлголттой хялбархан холбож болно. Жишээ нь $\overline(XY)$ векторыг авч үзье. Бидний мэдэж байгаагаар ийм векторын координатыг төгсгөлийн цэгийн координатаас ($Y$) эхлэх цэгийн харгалзах координатыг ($X$) хасаж олж болно. Бид үүнийг ойлгодог
Юуны өмнө векторын тухай ойлголтыг задлах шаардлагатай. Геометрийн векторын тодорхойлолтыг танилцуулахын тулд сегмент гэж юу болохыг эргэн санацгаая. Бид дараах тодорхойлолтыг танилцуулж байна.
Тодорхойлолт 1
Сегмент нь цэг хэлбэрээр хоёр хилтэй шулуун шугамын хэсэг юм.
Сегмент нь 2 чиглэлтэй байж болно. Чиглэлийг зааж өгөхийн тулд бид сегментийн аль нэг хилийг түүний эхлэл, нөгөө хилийг төгсгөл гэж нэрлэнэ. Чиглэлийг сегментийн эхлэлээс төгсгөл хүртэл зааж өгсөн болно.
Тодорхойлолт 2
Вектор эсвэл чиглүүлсэн сегмент гэдэг нь тухайн сегментийн хилийн аль нь эхлэл, аль нь төгсгөл болох нь тодорхойлогдсон сегмент юм.
Тэмдэглэгээ: Хоёр үсэг: $\overline(AB)$ – (энд $A$ нь эхлэл, $B$ нь төгсгөл).
Нэг жижиг үсгээр: $\overline(a)$ (Зураг 1).
Одоо бид векторын уртын тухай ойлголтыг шууд танилцуулж байна.
Тодорхойлолт 3
$\overline(a)$ векторын урт нь $a$ сегментийн урт юм.
Тэмдэглэгээ: $|\overline(a)|$
Векторын уртын тухай ойлголт нь жишээлбэл, хоёр векторын тэгш байдал гэх мэт ойлголттой холбоотой байдаг.
Тодорхойлолт 4
Хоёр векторыг хоёр нөхцөл хангасан тохиолдолд тэнцүү гэж нэрлэнэ: 1. Тэдгээр нь кодиректортой; 1. Тэдний урт нь тэнцүү байна (Зураг 2).
Векторуудыг тодорхойлохын тулд координатын системд орж, оруулсан систем дэх векторын координатыг тодорхойлно. Бидний мэдэж байгаагаар дурын векторыг $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, $m$ ба $n$ нь бодит тоо, $\overline(i) хэлбэрээр өргөжүүлж болно. )$ болон $\overline(j)$ нь $Ox$ ба $Oy$ тэнхлэг дээрх нэгж векторууд юм.
Тодорхойлолт 5
$\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ векторын тэлэлтийн коэффициентийг нэвтрүүлсэн координатын системд энэ векторын координат гэж нэрлэнэ. Математикийн хувьд:
$\overline(c)=(m,n)$
Векторын уртыг хэрхэн олох вэ?
Координатыг нь өгсөн дурын векторын уртыг тооцоолох томьёог гаргахын тулд дараах асуудлыг авч үзье.
Жишээ 1
Өгөгдсөн: $(x,y)$ координаттай $\overline(α)$ вектор. Олно: энэ векторын урт.
Хавтгай дээр $xOy$ декартын координатын системийг танилцуулъя. Оруулсан координатын системийн эх үүсвэрээс $\overline(OA)=\overline(a)$-г салга. Баригдсан векторын $OA_1$ ба $OA_2$ проекцуудыг $Ox$ ба $Oy$ тэнхлэгүүд дээр тус тус байгуулъя (Зураг 3).
Бидний бүтээсэн $\overline(OA)$ вектор нь $A$ цэгийн радиус вектор байх тул $(x,y)$ координаттай байх болно.
$=x$, $[OA_2]=y$
Одоо бид Пифагорын теоремыг ашиглан хүссэн уртыг хялбархан олох боломжтой
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Хариулт: $\sqrt(x^2+y^2)$.
Дүгнэлт:Координаттай векторын уртыг олохын тулд эдгээр координатуудын нийлбэрийн квадратын язгуурыг олох хэрэгтэй.
Даалгаврын жишээ
Жишээ 2
Дараах координаттай $X$ ба $Y$ цэгүүдийн хоорондох зайг ол: $(-1,5)$ ба $(7,3)$ тус тус.
Аливаа хоёр цэгийг векторын тухай ойлголттой хялбархан холбож болно. Жишээ нь $\overline(XY)$ векторыг авч үзье. Бидний мэдэж байгаагаар ийм векторын координатыг төгсгөлийн цэгийн координатаас ($Y$) эхлэх цэгийн харгалзах координатыг ($X$) хасаж олж болно. Бид үүнийг ойлгодог
1. Векторын тодорхойлолт. Векторын урт. Векторуудын уялдаа холбоо, харьцуулалт.
Чиглүүлсэн сегментийг вектор гэж нэрлэдэг. Векторын урт эсвэл модуль нь харгалзах чиглэсэн сегментийн урт юм.
Вектор модуль азаасан байна. Вектор аганц бие гэж нэрлэдэг бол . Векторууд нэг шулуунтай параллель байвал тэдгээрийг коллинеар гэж нэрлэдэг. Векторууд нэг хавтгайтай параллель байвал тэдгээрийг копланар гэнэ.
2. Векторыг тоогоор үржүүлэх. Үйл ажиллагааны шинж чанар.
Векторыг тоогоор үржүүлбэл хоёр дахин урт эсрэг чиглэлтэй вектор гарч ирнэ. Векторыг координат хэлбэрээр тоогоор үржүүлэх нь бүх координатыг тухайн тоогоор үржүүлэх замаар хийгддэг.
Тодорхойлолт дээр үндэслэн векторын модулийг тоогоор үржүүлсэн илэрхийлэлийг олж авна.
Тоонуудын нэгэн адил векторыг өөртөө нэмэх үйлдлүүдийг тоогоор үржүүлэх байдлаар бичиж болно.
Мөн векторуудын хасах үйлдлийг нэмэх, үржүүлэх замаар дахин бичиж болно.
Үржүүлэх нь векторын уртыг өөрчилдөггүй, зөвхөн чиглэлийг өөрчилдөг тул векторын тодорхойлолтыг өгснөөр бид дараахь зүйлийг олж авна.
3. Вектор нэмэх, вектор хасах.
Координатын дүрслэлд нийлбэр векторыг нэр томъёоны харгалзах координатыг нийлбэрээр олж авна.
Нийлбэр векторыг геометрийн аргаар байгуулахад янз бүрийн дүрэм (арга) ашигладаг боловч бүгд ижил үр дүнг өгдөг. Энэ эсвэл өөр дүрмийг ашиглах нь асуудлыг шийдэж байгаагаар зөвтгөгддөг.
гурвалжингийн дүрэм
Гурвалжингийн дүрэм нь векторыг орчуулга гэж ойлгоход хамгийн жам ёсоороо гардаг. Хоёр шилжүүлгийг дараалан хэрэглэсний үр дүн нь энэ дүрэмд нийцүүлэн нэг удаа шилжүүлсэнтэй ижил байх нь тодорхой юм. Хоёр вектор нэмэх ба дүрмийн дагуу гурвалжинЭдгээр векторуудын аль аль нь өөр хоорондоо параллель шилждэг бөгөөд тэдгээрийн аль нэгнийх нь эхлэл нь нөгөөгийн төгсгөлтэй давхцдаг. Дараа нь үүссэн гурвалжны гурав дахь тал нь нийлбэр векторыг өгөх бөгөөд түүний эхлэл нь эхний векторын эхлэлтэй, төгсгөл нь хоёр дахь векторын төгсгөлтэй давхцдаг.
Энэ дүрэм нь ямар ч тооны векторыг нэмэхэд шууд бөгөөд жам ёсоороо ерөнхийдөө болж хувирдаг тасархай шугамын дүрэм:
олон өнцөгт дүрэм
Хоёр дахь векторын эхлэл нь эхнийх, гурав дахь векторын эхлэл хоёр дахь векторын төгсгөлтэй давхцах гэх мэт векторуудын нийлбэр нь вектор бөгөөд эхнийх нь эхнийхтэй давхцдаг. ба төгсгөл нь эхний төгсгөлтэй давхцаж байна (өөрөөр хэлбэл, энэ нь тасархай шугамыг хаадаг чиглэсэн сегментээр дүрслэгдсэн байдаг). Мөн эвдэрсэн шугамын дүрэм гэж нэрлэдэг.
параллелограммын дүрэм
Хоёр вектор нэмэх ба дүрмийн дагуу параллелограммЭдгээр векторуудын аль аль нь хоорондоо параллель шилжсэн тул гарал үүсэл нь давхцдаг. Дараа нь нийлбэр векторыг тэдгээрийн нийтлэг гарал үүсэлтэй параллелограммын диагональаар өгнө. (Гурвалжны дүрмийг ашиглах үед энэ диагональ нь гурвалжны гурав дахь талтай ижил байгааг харахад хялбар байдаг).
Параллелограммын дүрэм нь нийлбэр векторыг хоёр нэр томъёо хавсаргасан ижил цэг дээр нэн даруй дүрслэх, өөрөөр хэлбэл бүх гурван векторыг нийтлэг гарал үүсэлтэй дүрслэх шаардлагатай үед ялангуяа тохиромжтой байдаг.
Вектор нийлбэр модуль
Хоёр векторын нийлбэрийн модульашиглан тооцоолж болно косинусын теорем:
Векторуудын хоорондох өнцгийн косинус хаана байна.
Хэрэв векторуудыг гурвалжны дүрмийн дагуу зурж, гурвалжны талуудын хоорондох зургийн дагуу өнцгийг авбал энэ нь вектор хоорондын өнцгийн ердийн тодорхойлолттой давхцахгүй, улмаар вектор дахь өнцөгтэй давхцахгүй. Дээрх томьёо, дараа нь сүүлчийн гишүүн нь хасах тэмдгийг олж авдаг бөгөөд энэ нь косинусын теоремтой шууд үг хэллэгтэй тохирч байна.
Дурын тооны векторын нийлбэрийн хувьдКосинустай илүү олон нэр томъёо байдаг ижил төстэй томъёог хэрэглэнэ: нийлбэрийн багцын хос вектор бүрт нэг ийм нэр томъёо байдаг. Жишээлбэл, гурван векторын хувьд томъёо дараах байдалтай байна.
Вектор хасах
Хоёр вектор ба тэдгээрийн ялгаа вектор
Координатын хэлбэрийн зөрүүг олж авахын тулд векторуудын харгалзах координатыг хасна.
Ялгаа векторыг олж авахын тулд векторуудын эхлэлийг холбож, векторын эхлэл нь төгсгөл, төгсгөл нь төгсгөл байх болно. Хэрэв векторуудын цэгүүдийг ашиглан бичсэн бол.
Векторын ялгааны модуль
Гурван вектор нь гурвалжин үүсгэдэг бөгөөд модулийн ялгааны илэрхийлэл нь ижил төстэй байна.
векторуудын хоорондох өнцгийн косинус хаана байна
Косинусын урд талын тэмдэг дэх нийлбэрийн модулийн томьёоны зөрүү нь аль өнцгийг авч байгааг сайтар хянах шаардлагатай (гурвалжны талуудын хоорондох өнцгийн нийлбэрийн модулийн томъёоны хувилбар. Гурвалжны дүрэм нь модулийн ялгааны хувьд энэ томъёоноос гадаад төрхөөрөө ялгаатай биш боловч энд өөр өөр өнцгийг авах ёстой: нийлбэрийн хувьд векторыг төгсгөлд шилжүүлэх үед өнцгийг авна. вектор, ялгааны загварыг хайх үед нэг цэгт хэрэглэсэн векторуудын хоорондох өнцгийг авна; зөрүүний модулийн өгөгдсөн илэрхийлэлтэй ижил өнцгийг ашиглан нийлбэрийн модулийн илэрхийлэл нь тэмдэгтийн урд талд ялгаатай байна. косинус).
| " |
Окси
О ГЭХДЭЭ О.А.
, хаана 
О.А 
.
Тиймээс, 
.
Жишээ авч үзье.
Жишээ.
Шийдвэр.
:
Хариулт:
Оксизсансарт.
ГЭХДЭЭ О.Адиагональ байх болно.
Энэ тохиолдолд (учир нь О.А 
О.А 
.
Тиймээс, вектор урт 
.
Жишээ.
Векторын уртыг тооцоол 
Шийдвэр.
, тиймээс, 
Хариулт:
Онгоц дээрх шулуун шугам
Ерөнхий тэгшитгэл
Ax + By + C ( > 0).
Вектор = (A; B)нь ердийн шугамын вектор юм.
Вектор хэлбэрээр: + C = 0, шулуун шугамын дурын цэгийн радиус вектор хаана байна (Зураг 4.11).
Онцгой тохиолдлууд:
1) + C = 0-ээр- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Үхэр;
2) Ax+C=0- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө;
3) Ax + By = 0- шугам нь гарал үүслээр дамждаг;
4) y=0- тэнхлэг Үхэр;
5) x=0- тэнхлэг Өө.
Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл
хаана а, б- координатын тэнхлэг дээр шулуун шугамаар таслагдсан сегментүүдийн хэмжээ.
Шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл(Зураг 4.11)
шугам ба тэнхлэгт хэвийн үүссэн өнцөг хаана байна Үхэр; хкоординатын эхлэлээс шугам хүртэлх зай юм.
Casting ерөнхий тэгшитгэлэнгийн харагдац руу шууд:
Энд шууд шугамын нормчлогдсон коэффициент; тэмдэг нь тэмдгийн эсрэгээр сонгогдоно C, хэрэв болон дур мэдэн, хэрэв C=0.
Векторын уртыг координатаар олох.
Векторын уртыг -аар тэмдэглэнэ. Ийм тэмдэглэгээний улмаас векторын уртыг ихэвчлэн векторын модуль гэж нэрлэдэг.
Хавтгай дээрх векторын уртыг координатаар олж эхэлье.
Бид хавтгайд тэгш өнцөгт декартын координатын системийг нэвтрүүлж байна Окси. Үүнд вектор өгөгдсөн байх ба энэ нь координаттай байна. ба координатуудаар дамжуулан векторын уртыг олох томьёог авъя.
Координатын гарал үүслийг (цэгээс О) вектор. Цэгийн проекцуудыг тэмдэглэ ГЭХДЭЭкоординатын тэнхлэгүүд дээр тус тус ба диагональтай тэгш өнцөгтийг авч үзье О.А.
Пифагорын теоремын ачаар тэгш байдал , хаана . Тэгш өнцөгт координатын систем дэх векторын координатуудын тодорхойлолтоос бид ба , бүтээцээр нь урт гэдгийг баталж чадна. О.Ань векторын урттай тэнцүү тул, .
Тиймээс, векторын уртыг олох томьёоХавтгай дээрх координатууд нь хэлбэртэй байна .
Хэрэв векторыг координатын векторуудад задралаар илэрхийлсэн бол , дараа нь түүний уртыг ижил томъёогоор тооцоолно , учир нь энэ тохиолдолд коэффициентүүд нь өгөгдсөн координатын систем дэх векторын координат болно.
Жишээ авч үзье.
Жишээ.
Декарт координатаар өгөгдсөн векторын уртыг ол.
Шийдвэр.
Векторын уртыг координатаар олохын тулд нэн даруй томъёог ашиглана :
Хариулт:
Одоо бид векторын уртыг олох томъёог олж авлаа тэгш өнцөгт координатын систем дэх координатаар Оксизсансарт.
Эхлэлээс векторыг хойш тавьж, цэгийн проекцуудыг тэмдэглэ ГЭХДЭЭкоординатын тэнхлэгүүд дээр түүнчлэн . Дараа нь бид хажуу тал болон тэгш өнцөгт параллелепипед барьж болно О.Адиагональ байх болно.
Энэ тохиолдолд (учир нь О.Атэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональ), эндээс . Векторын координатыг тодорхойлох нь тэгшитгэл, уртыг бичих боломжийг олгодог О.Ань векторын хүссэн урттай тэнцүү тул, .
Тиймээс, вектор урт орон зайд түүний координатын квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгууртай тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл томъёогоор олно .
Жишээ.
Векторын уртыг тооцоол , тэгш өнцөгт координатын системийн орцууд хаана байна.
Шийдвэр.
Маягтын координат векторуудын хувьд векторын өргөтгөлийг бидэнд өгсөн , тиймээс, . Дараа нь координатаар векторын уртыг олох томъёоны дагуу бид .
