Алгебрийн хэлбэрээр бичсэн комплекс тоон дээрх үйлдлүүд

Комплекс тооны алгебрийн хэлбэр z =(а,б).хэлбэрийн алгебр илэрхийлэл гэж нэрлэдэг

z = а + би.

Комплекс тоон дээрх арифметик үйлдлүүд z 1 =а 1 +б 1 биТэгээд z 2 =а 2 +б 2 би, алгебрийн хэлбэрээр бичсэнийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ.

1. Комплекс тоонуудын нийлбэр (ялгаа).

z 1 ±z 2 = (а 1 ± a 2) + (б 1 ±б 2)∙i,

тэдгээр. нэмэх (хасах) нь ижил төстэй нэр томъёоны бууралт бүхий олон гишүүнт нэмэх дүрмийн дагуу хийгддэг.

2. Комплекс тоонуудын үржвэр

z 1 ∙z 2 = (а 1 ∙а 2 -б 1 ∙б 2) + (а 1 ∙б 2 + a 2 ∙б 1)∙i,

тэдгээр. үржүүлэх нь олон гишүүнтийг үржүүлэх ердийн дүрмийн дагуу хийгддэг бөгөөд үүнийг харгалзан үздэг. би 2 = 1.

3. Хоёр нийлмэл тоог хуваахыг дараах дүрмийн дагуу гүйцэтгэнэ.

, (z 2 ≠ 0),

тэдгээр. хуваах нь ногдол ашиг ба хуваагчийг хуваагчийн хавсарсан тоогоор үржүүлэх замаар хийгддэг.

Комплекс тоонуудын экспонентацийг дараах байдлаар тодорхойлно.

Үүнийг харуулах нь амархан

Жишээ.

1. Комплекс тоонуудын нийлбэрийг ол z 1 = 2 – биТэгээд z 2 = – 4 + 3би.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3би) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) би = –2+2би.

2. Комплекс тооны үржвэрийг ол z 1 = 2 – 3биТэгээд z 2 = –4 + 5би.

= (2 – 3би) ∙ (–4 + 5би) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3би)+ 2∙5би– 3би∙ 5би = 7+22би.

3. Хэсэлтийг ол zхуваалтаас z 1 = 3 - 2на z 2 = 3 – би.

z = .

4. Тэгшитгэлийг шийд: , xТэгээд y Î Р.

(2x+y) + (x+y)би = 2 + 3би.

Комплекс тоонуудын тэгш байдлын улмаас бид дараах байдалтай байна.

хаана x =–1 , y= 4.

5. Тооцоол: би 2 ,би 3 ,би 4 ,би 5 ,би 6 ,би -1 , би -2 .

6. Хэрэв .

.

7. Тооны эсрэг тоог тооцоол z=3-и.

Тригонометрийн хэлбэрийн нийлмэл тоо

Нарийн төвөгтэй онгоцДекарт координаттай хавтгай гэж нэрлэдэг ( x, y), хэрэв цэг бүр координаттай ( а, б) нь нийлмэл тоотой холбоотой z = a + bi. Энэ тохиолдолд абсцисса тэнхлэг гэж нэрлэдэг бодит тэнхлэг, ординатын тэнхлэг нь байна төсөөлөлтэй. Дараа нь нийлмэл тоо бүр a+biгеометрийн хэлбэрээр хавтгай дээр цэг болгон дүрсэлсэн А (а, б) эсвэл вектор.

Тиймээс цэгийн байрлал А(тиймээс комплекс тоо z) -ийг | векторын уртаар тодорхойлж болно | = rболон өнцөг j, вектороор үүсгэгдсэн | | бодит тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй. Векторын уртыг нэрлэдэг комплекс тооны модульба |-ээр тэмдэглэнэ z |=r, болон өнцөг jдуудсан комплекс тооны аргументболон томилогдсон j = arg z.

Энэ нь тодорхой байна | z| ³ 0 ба | z | = 0 Û z = 0.

Зураг дээрээс. 2 гэдэг нь ойлгомжтой.

Комплекс тооны аргумент нь хоёрдмол утгатай боловч 2-ын нарийвчлалтайгаар тодорхойлогддог pk,kÎ З.

Зураг дээрээс. 2 бас тодорхой байна, хэрэв z=a+biТэгээд j=arg z,Тэр

cos j =,нүгэл j =, төг j =.

Хэрэв zÎРТэгээд z> 0, тэгвэл arg z = 0 +2pk;

Хэрэв z ОРТэгээд z< 0, тэгвэл arg z = p + 2pk;

Хэрэв z = 0,arg zтодорхойлогдсон.

Аргументийн үндсэн утгыг 0 интервал дээр тодорхойлно £ arg z£2 p,

эсвэл -х£ arg z £ х.

Жишээ нь:

1. Комплекс тооны модулийг ол z 1 = 4 – 3биТэгээд z 2 = –2–2би.

2. Нөхцөлөөр тодорхойлогдсон цогц хавтгай дээрх талбайг тодорхойлно.

1) | z | = 5; 2) | z| £6; 3) | z – (2+би) | £3; 4) £6 | z – би| £7.

Шийдэл ба хариултууд:

1) | z| = 5 Û Û - радиус 5 ба төв нь эхийн цэгтэй тойргийн тэгшитгэл.

2) 6 радиустай, төв нь эхэн дээрээ байгаа тойрог.

3) 3 радиустай, төв нь цэг дээр байгаа тойрог z 0 = 2 + би.

4) Нэг цэг дээр төвтэй 6 ба 7 радиустай тойргуудаар хүрээлэгдсэн цагираг z 0 = би.

3. Тоонуудын модуль ба аргументыг ол: 1) ; 2) .

1) ; А = 1, б = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2би; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Зөвлөмж: Үндсэн аргументыг тодорхойлохдоо нарийн төвөгтэй хавтгайг ашиглана уу.

Тиймээс: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 =, .

3) , r 3 = 1, j 3 =, .

4) , r 4 = 1, j 4 =, .

Лекц

Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр

Төлөвлөгөө

1. Комплекс тооны геометрийн дүрслэл.

2. Комплекс тооны тригонометрийн тэмдэглэгээ.

3. Тригонометрийн хэлбэрийн комплекс тоон дээрх үйлдлүүд.

Комплекс тоонуудын геометрийн дүрслэл.

a) Дараах дүрмийн дагуу нийлмэл тоонуудыг хавтгай дээрх цэгүүдээр илэрхийлнэ. а + би = М ( а ; б ) (Зураг 1).

Зураг 1

б) Комплекс тоог тухайн цэгээс эхэлсэн вектороор илэрхийлж болноТУХАЙ ба өгөгдсөн цэгийн төгсгөл (Зураг 2).

Зураг 2

Жишээ 7. Комплекс тоог илэрхийлэх цэгүүдийг байгуул:1; - би ; - 1 + би ; 2 – 3 би (Зураг 3).

Зураг 3

Комплекс тоонуудын тригонометрийн тэмдэглэгээ.

Цогцолбор тооz = а + би радиус векторыг ашиглан тодорхойлж болно координатуудтай( а ; б ) (Зураг 4).

Зураг 4

Тодорхойлолт . Вектор урт , цогц тоог илэрхийлдэгz , энэ тооны модуль гэж нэрлэгддэг ба тэмдэглэсэн байна эсвэлr .

Аливаа комплекс тооны хувьдz түүний модульr = | z | томъёогоор өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог .

Тодорхойлолт . Бодит тэнхлэгийн эерэг чиглэл ба векторын хоорондох өнцгийн хэмжээ , нийлмэл тоог төлөөлдөг, энэ цогцолбор тооны аргумент гэж нэрлэгддэг ба тэмдэглэнэА rg z эсвэлφ .

Цогцолбор тооны аргументz = 0 тодорхойлогдсон. Цогцолбор тооны аргументz≠ 0 - олон утгатай хэмжигдэхүүн бөгөөд тодорхой хугацааны дотор тодорхойлогддог2πк (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Арг z = arg z + 2πк , Хаанаarg z – интервалд агуулагдах аргументийн үндсэн утга(-π; π] , тэр бол-π < arg z ≤ π (заримдаа интервалд хамаарах утгыг аргументийн үндсэн утга болгон авдаг .

Энэ томъёо нь хэзээr =1 Мойврын томъёог ихэвчлэн нэрлэдэг:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Жишээ 11: Тооцоол(1 + би ) 100 .

Комплекс тоо бичье1 + би тригонометрийн хэлбэрээр.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + би нүгэл үйлддэг )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + би нүгэл үйлддэг ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Олборлолт квадрат язгуурнийлмэл тооноос.

Комплекс тооны квадрат язгуурыг авахдааа + би бидэнд хоёр тохиолдол байна:

Хэрэвб >o , Тэр ;

ЦОГЦОЛБОР ДУГААР XI

§ 256. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр

Комплекс тоо байг a + bi вектортой тохирч байна О.А.> координаттай ( а, б ) (332-р зургийг үз).

Энэ векторын уртыг дараах байдлаар тэмдэглэе r , мөн тэнхлэгтэй харьцах өнцөг X , дамжуулан φ . Синус ба косинусын тодорхойлолтоор:

а / r =cos φ , б / r = нүгэл φ .

Тийм ч учраас А = r cos φ , б = r нүгэл φ . Гэхдээ энэ тохиолдолд нийлмэл тоо a + bi дараах байдлаар бичиж болно.

a + bi = r cos φ + ir нүгэл φ = r (cos φ + би нүгэл φ ).

Таны мэдэж байгаагаар аливаа векторын уртын квадрат нь координатын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Тийм ч учраас r 2 = а 2 + б 2, хаанаас r = √a 2 + б 2

Тэгэхээр, дурын комплекс тоо a + bi хэлбэрээр төлөөлж болно :

a + bi = r (cos φ + би нүгэл φ ), (1)

хаана r = √a 2 + б 2 ба өнцөг φ нөхцөлөөр тодорхойлогддог:

Комплекс тоо бичих энэ хэлбэрийг нэрлэдэг тригонометр.

Тоо r томъёонд (1) гэж нэрлэдэг модуль, болон өнцөг φ - маргаан, комплекс тоо a + bi .

Хэрэв комплекс тоо бол a + bi тэгтэй тэнцүү биш бол түүний модуль эерэг байна; хэрэв a + bi = 0, тэгвэл a = b = 0, дараа нь r = 0.

Аливаа комплекс тооны модуль нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог.

Хэрэв комплекс тоо бол a + bi тэгтэй тэнцүү биш бол түүний аргументыг (2) томъёогоор тодорхойлно. гарцаагүй 2-т хуваагдах өнцөг хүртэл нарийвчлалтай π . Хэрэв a + bi = 0, тэгвэл a = b = 0. Энэ тохиолдолд r = 0. Томъёо (1)-ээс үүнийг аргумент гэж ойлгоход хялбар φ энэ тохиолдолд та ямар ч өнцгийг сонгож болно: эцсийн эцэст, аль ч өнцгөөр φ

0 (cos φ + би нүгэл φ ) = 0.

Тиймээс тэг аргумент нь тодорхойгүй байна.

Комплекс тооны модуль r заримдаа | гэж тэмдэглэдэг z |, мөн аргумент аргумент z . Комплекс тоонуудыг тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлэх цөөн хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ. 1. 1 + би .

Модулийг олъё r болон маргаан φ энэ тоо.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Тиймээс нүгэл үйлд φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, хаанаас φ = π / 4 + 2nπ .

Тиймээс,

1 + би = √ 2 ,

Хаана П - дурын бүхэл тоо. Ихэвчлэн комплекс тооны аргументын хязгааргүй олон тооны утгуудаас 0-ээс 2-ын хооронд байх нэгийг сонгодог. π . Энэ тохиолдолд энэ утга байна π / 4 . Тийм ч учраас

1 + би = √ 2 (cos π / 4 + би нүгэл π / 4)

Жишээ 2.Комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээр бичнэ үү √ 3 - би . Бидэнд байгаа:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3/2, нүгэл φ = - 1 / 2

Тиймээс 2-т хуваагдах өнцөг хүртэл π , φ = 11 / 6 π ; тиймээс,

√ 3 - би = 2(cos 11/6 π + би нүгэл 11/6 π ).

Жишээ 3Комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээр бичнэ үү би.

Цогцолбор тоо би вектортой тохирч байна О.А.> , тэнхлэгийн А цэгээр төгссөн цагт ординат 1-тэй (Зураг 333). Ийм векторын урт нь 1, х тэнхлэгтэй хийсэн өнцөг нь тэнцүү байна π / 2. Тийм ч учраас

би =cos π / 2 + би нүгэл π / 2 .

Жишээ 4. 3-р цогцолбор тоог тригонометрийн хэлбэрээр бич.

Комплекс тоо 3 нь вектортой тохирч байна О.А. > X abscissa 3 (Зураг 334).

Ийм векторын урт нь 3, х тэнхлэгтэй хийх өнцөг нь 0. Тиймээс

3 = 3 (cos 0 + би гэм 0),

Жишээ 5.-5 цогцолбор тоог тригонометрийн хэлбэрээр бич.

Комплекс тоо -5 нь вектортой тохирч байна О.А.> тэнхлэгийн цэг дээр төгсдөг X абсциссатай -5 (Зураг 335). Ийм векторын урт нь 5, х тэнхлэгтэй үүсгэсэн өнцөг нь тэнцүү байна π . Тийм ч учраас

5 = 5(cos π + би нүгэл π ).

Дасгал

2047. Эдгээр нийлмэл тоог тригонометрийн хэлбэрээр бичиж, тэдгээрийн модуль, аргументуудыг тодорхойл.

1) 2 + 2√3 би , 4) 12би - 5; 7).3би ;

2) √3 + би ; 5) 25; 8) -2би ;

3) 6 - 6би ; 6) - 4; 9) 3би - 4.

2048. Модуль r ба аргументууд φ нь нөхцөлийг хангасан комплекс тоонуудыг төлөөлөх цэгүүдийн багцыг хавтгай дээр заана уу.

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Тоонууд нэгэн зэрэг цогц тооны модуль болж чадах уу? r Тэгээд - r ?

2050. Комплекс тооны аргумент нэгэн зэрэг өнцөг байж чадах уу? φ Тэгээд - φ ?

Эдгээр нийлмэл тоонуудыг тригонометрийн хэлбэрээр үзүүлж, тэдгээрийн модуль, аргументуудыг тодорхойл.

2051*. 1 + cos α + би нүгэл α . 2054*. 2(20° - би нүгэл 20°).

2052*. нүгэл φ + би cos φ . 2055*. 3(- учир нь 15° - би нүгэл 15°).

Хавтгай дээрх цэгийн байрлалыг тодорхойлохын тулд туйлын координатыг ашиглаж болно [g, (r), Хаана Гнь цэгийн эхлэлээс зай, ба (Р- радиусыг үүсгэдэг өнцөг - тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ цэгийн вектор Өө.Өнцгийн өөрчлөлтийн эерэг чиглэл (РҮзэж буй чиглэл нь цагийн зүүний эсрэг байна. Декарт болон туйлын координатуудын хоорондох холболтын давуу талыг ашиглан: x = g cos avg,y = g sin (х,

Бид нийлмэл тоог бичих тригонометрийн хэлбэрийг олж авдаг

z - r(нүгэл (p + i нүгэл

Хаана Г

Xi + y2, (p нь нийлмэл тооны аргумент бөгөөд үүнийг олдог

л X . y y

томъёо cos(p --, sin^9  = - эсвэл үүнээс үүдэлтэй тг(p --, (p-arctg

Утга сонгохдоо анхаарна уу Лхагвасүүлчийн тэгшитгэлээс тэмдгүүдийг харгалзан үзэх шаардлагатай x ба y.

Жишээ 47. Комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээр бич 2 = -1 + л/З / .

Шийдэл. Комплекс тооны модуль ба аргументыг олъё:

= yj 1 + 3 = 2 . Булан Лхагвахарилцаанаас бид олж мэднэ cos(х = -, нүгэл(p = - .Дараа нь

бид авдаг cos(p = -, суп

u/z g~

• - -. z = -1 + V3-/ цэг байрлах нь ойлгомжтой
• 2 руу 3

хоёрдугаар улиралд: (Р= 120°

Орлуулах

2 к.. cos--h; нүгэл

томъёонд (1) олсон 27Г L

Сэтгэгдэл. Комплекс тооны аргумент нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддоггүй, харин үржвэртэй нэр томьёоны хүрээнд 2х.Дараа нь дамжин sp^gтэмдэглэнэ

дотор хавсаргасан аргументын утга (х 0 %2 Дараа нь

A)^g = + 2kk.

Алдарт Эйлерийн томъёог ашиглан e, бид комплекс тоо бичих экспоненциал хэлбэрийг олж авдаг.

Бидэнд байгаа r = g(co^(p + i?,p(p)=ge,

Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд

• 1. Хоёр комплекс тооны нийлбэр r, = X] + у х/ ба g 2 - x 2 +y 2 / r томъёоны дагуу тодорхойлогдоно! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)‘ r
• 2. Комплекс тоог хасах үйлдлийг нэмэхийн урвуу үйлдэл гэж тодорхойлно. Цогцолбор тоо g = g x - g 2,Хэрэв g 2 + g = g x,

нь нийлмэл тоонуудын ялгаа 2, ба g 2.Дараа нь r = (x, - x 2) + (y, - цагт 2) /.

• 3. Хоёр комплекс тооны үржвэр g x= x, +y, -z ба 2 2 = x 2+ U2‘ r-ийг томъёогоор тодорхойлно
• *1*2 =(* +У"0 (X 2+ T 2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 +x Y2 " * + У1 У2 " ^ =

= (хх 2 ~УУ 2)+(Х У2 + Х 2У)-"-

Тухайлбал, y-y= (x + y-y)(x-y /)= x 2 + y 2.

Та экспоненциал болон тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог үржүүлэх томъёог авч болно. Бидэнд байгаа:

• 1^ 2 - G x e 1 = )G 2 e > = G]G 2 cOs((P + дундаж 2) + isin
• 4. Комплекс тоог хуваахыг урвуу үйлдэл гэж тодорхойлно

үржүүлэх, өөрөөр хэлбэл. тоо G-- r хуваах коэффициент гэж нэрлэдэг! g 2 дээр,

Хэрэв g x -1 2 ? 2 . Дараа нь

X + Ти _ (*і + IU 2 ~ 1 U2 ) x 2 + ІУ2 (2 + ^У 2)( 2 ~ 1 У 2)

x, x 2 + /y, x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x,y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 д

би (р г

• - 1U e "(1 Fg) - I.сОї((Р -ср 1)+ І- (Р-,)] >2 >2
• 5. Комплекс тоог эерэг бүхэл тоо болгон өсгөх нь тухайн тоог экспоненциал эсвэл тригонометрийн хэлбэрээр бичсэн тохиолдолд хамгийн тохиромжтой.

Үнэхээр, хэрэв g = 1 дараа

=(гэ,) = g p e t = G"(co8 psr+іт gkr).

Формула g" =r n (cosn(p+бол n(p))Мойврын томъёо гэж нэрлэдэг.

6. Үндэс олборлолт P-Комплекс тооны 0-р зэрэг нь хүчин чадал руу өсгөх урвуу үйлдэл гэж тодорхойлогддог p, p- 1,2,3,... өөрөөр хэлбэл. нийлмэл тоо = y[gүндэс гэж нэрлэдэг P-комплекс тооны 0-р зэрэглэл

g, хэрэв Г = g x. Энэ тодорхойлолтоос ийм зүйл гарч байна g - g", А g x= л/г. (r-psr x,А sr^-sr/n, энэ нь = r/*+ тоонд зориулж бичсэн Мойврийн томьёооос үүдэлтэй іьипп(р).

Дээр дурьдсанчлан, нийлмэл тооны аргумент нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддоггүй, харин 2-ын үржвэр болох нэр томъёо хүртэл байдаг. болон.Тийм ч учраас = (p + 2pk, мөн r тооны аргументаас хамааран руу,гэж тэмдэглэе (р кмөн боо

томъёог ашиглан тооцоолно (р к= - + . Байгаа нь ойлгомжтой П com-

нийлмэл тоо, П-р зэрэг нь 2-ын тоотой тэнцүү.Эдгээр тоонууд нэгтэй

мөн ижил модуль тэнцүү байна y[g,ба эдгээр тоонуудын аргументуудыг олж авна руу = 0, 1, P - 1. Тиймээс тригонометрийн хэлбэрээр i-р үндсийг дараах томъёогоор тооцоолно.

(p + 2kp . . Лхагва + 2кп

, руу = 0, 1, 77-1,

.(p+2ktg

ба экспоненциал хэлбэрээр - томъёоны дагуу l[g - y[ge p

Жишээ 48. Комплекс тоон дээр үйлдлүүдийг алгебр хэлбэрээр гүйцэтгэнэ:

a) (1-/H/2) 3 (3 + /)

• (1 - /л/2) 3 (z + /) = (1 - zl/2/ + 6/ 2 - 2 л/2 / ? 3)(3 + /) =
• (1 - Зл/2/ - 6 + 2л/2/ДЗ + /)=(- 5 - л/2/ДЗ + /) =

15-Зл/2/-5/-л/2/ 2 = -15 - Зл/2/-5/+ л/2 = (-15 +л/2)-(5 +Зл/2)/;

Жишээ 49. r = Uz - / тоог тав дахь зэрэглэлд хүргэнэ.

Шийдэл. Бид r тоог бичих тригонометрийн хэлбэрийг олж авдаг.

G =л/3 + 1 =2, C08 (p --, 5ІІ7 (Р =

• (1 - 2/X2 + /)
• (z-,)

O - 2.-X2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (z-O "(z-O

З/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-i) ’з+/
• 9 + 1 z_±.
• 5 2 1 "

Эндээс О--, А r = 2

Бид Moivre-г авдаг: би -2

/ ^ _ 7G, . ?Г

• -SS-- ИБІП -

• --b / -

= -(l/w + g)= -2 .

Жишээ 50: Бүх утгыг ол

Шийдэл, r = 2, a Лхагватэгшитгэлээс олно уйлах(p = -,zt--.

Энэ цэг 1 - / d/z дөрөвдүгээр улиралд байрладаг, i.e. f =--. Дараа нь

• 1 - 2
• ( (УГ Л

Бид илэрхийллээс үндсэн утгыг олдог

V1 - /л/з = л/2

• --+ 2А:/г ---ь 2 кк
• 3 . . 3

S08--1- ба 81P-

At - 0 бидэнд 2 0 = л/2 байна

Дэлгэц дээрх тоог төлөөлж 2-ын язгуурын утгыг олох боломжтой

-* TO/ 3 + 2 cl

At руу= 1 бидэнд өөр үндсэн утга байна:

• 7G. 7G_
• ---ь27г ---ь2;г
• 3. . h

7G . . 7G L-С05- + 181П - 6 6

• --N-

хамтран? - 7G + /5SH - I"

л/3__т_

телиа хэлбэр. Учир нь r= 2, а Лхагва= , тэгвэл g = 2e 3 , a y[g = y/2e 2

2.3. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр

Комплекс хавтгайд векторыг тоогоор тодорхойл.

Эерэг хагас тэнхлэг Ox ба векторын хоорондох өнцгийг φ-ээр тэмдэглэе (хэрэв φ өнцгийг цагийн зүүний эсрэг хэмжвэл эерэг, бусад тохиолдолд сөрөг гэж үзнэ).

Векторын уртыг r гэж тэмдэглэе. Дараа нь . Бид бас тэмдэглэдэг

z-ээс бусад нийлмэл тоог маягт дээр бичих

z цогцолбор тооны тригонометрийн хэлбэр гэж нэрлэдэг. r тоог z цогцолбор тооны модуль, φ тоог энэ цогцолбор тооны аргумент гэж нэрлээд Arg z гэж тэмдэглэнэ.

Комплекс тоог бичих тригонометрийн хэлбэр - (Эйлерийн томъёо) - комплекс тоог бичих экспоненциал хэлбэр:

Цогцолбор тоо z нь хязгааргүй олон аргументтай: хэрэв φ0 нь z тооны аль нэг аргумент бол бусад бүх тоог томъёогоор олж болно.

Комплекс тооны хувьд аргумент болон тригонометрийн хэлбэр тодорхойлогдоогүй байна.

Тиймээс, тэг биш комплекс тооны аргумент нь тэгшитгэлийн системийн аливаа шийдэл юм.

(3)

Тэгш бус байдлыг хангаж буй z цогцолбор тооны аргументийн φ утгыг үндсэн утга гэж нэрлэх ба arg z гэж тэмдэглэнэ.

Arg z болон arg z аргументууд нь хоорондоо холбоотой

, (4)

Формула (5) нь (3) системийн үр дагавар тул комплекс тооны бүх аргументууд (5) тэгшитгэлийг хангадаг боловч (5) тэгшитгэлийн φ бүх шийдлүүд z тооны аргумент биш юм.

Тэг биш комплекс тооны аргументын үндсэн утгыг дараах томъёоны дагуу олно.

Тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог үржүүлэх, хуваах томъёо нь дараах байдалтай байна.

. (7)

Баригдсан үед байгалийн зэрэгнийлмэл тоо, Moivre-ийн томъёог ашиглана:

Комплекс тооны үндсийг задлахдаа дараах томъёог ашиглана.

, (9)

Энд k=0, 1, 2, …, n-1.

Бодлого 54. Хаана .

Энэ илэрхийллийн шийдлийг комплекс тоог бичих экспоненциал хэлбэрээр үзүүлье: .

Хэрэв тийм бол.

Дараа нь, . Тиймээс, тэгвэл Тэгээд , Хаана.

Хариулт: , цагт.

Бодлого 55. Комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээр бич.

A) ; б) ; V); G); г); д) ; болон).

Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр нь .

a) Комплекс тоонд: .

,

Тийм ч учраас

б) , Хаана,

G) , Хаана,

д) .

ба) , А , Тэр .

Тийм ч учраас

Хариулт: ; 4; ; ; ; ; .

Бодлого 56. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэрийг ол

.

зөвшөөрөх, .

Дараа нь, , .

Түүнээс хойш ба , , дараа нь, ба

Тиймээс, , тиймээс

Хариулт: , Хаана.

Бодлого 57. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэрийг ашиглан дараах үйлдлийг гүйцэтгэнэ: .

Тоонуудыг төсөөлөөд үзье тригонометрийн хэлбэрээр.

1), хаана Дараа нь

Үндсэн аргументийн утгыг ол:

Утгыг орлуулж, илэрхийлэлд оруулъя, бид олж авна

2) , тэгээд хаана

Дараа нь

3) Хэмжүүрийг олцгооё

k=0, 1, 2 гэж үзвэл бид гурав гарна өөр өөр утгатайхүссэн үндэс:

Хэрэв бол

хэрэв , тэгвэл

хэрэв , тэгвэл .

Хариулт: :

:

: .

Бодлого 58. , , , өөр комплекс тоо ба байг . Үүнийг нотол

тоо хүчинтэй эерэг тоо;

б) тэгш байдал нь:

a) Эдгээр комплекс тоонуудыг тригонометрийн хэлбэрээр төлөөлүүлье.

Учир нь .

Ингэж жүжиглэе. Дараа нь

.

Сүүлчийн илэрхийлэл нь эерэг тоо, учир нь синусын тэмдэг нь интервалаас авсан тоонуудыг агуулдаг.

тооноос хойш бодит ба эерэг. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв a ба b нь нийлмэл тоо бөгөөд бодит бөгөөд тэгээс их бол .

Түүнээс гадна,

тиймээс шаардлагатай тэгш байдал нотлогддог.

Бодлого 59. Тоог алгебрийн хэлбэрээр бич .

Тоог тригонометрийн хэлбэрээр төлөөлж, дараа нь түүний алгебр хэлбэрийг олъё. Бидэнд байгаа . Учир нь Бид системийг авдаг:

Энэ нь тэгш байдлыг илэрхийлнэ: .

Мойврын томъёог хэрэглэх нь: ,

бид авдаг

Өгөгдсөн тооны тригонометрийн хэлбэр олдлоо.

Одоо энэ тоог алгебрийн хэлбэрээр бичье.

.

Хариулт: .

Бодлого 60. , , нийлбэрийг ол.

Хэмжээг нь авч үзье

Мойврын томъёог ашигласнаар бид олдог

Энэ нийлбэр нь хуваагчтай геометр прогрессийн n гишүүний нийлбэр юм ба анхны гишүүн .

Ийм прогрессийн нөхцлийн нийлбэрийн томъёог ашигласнаар бид байна

Сүүлчийн илэрхийлэл дэх төсөөллийн хэсгийг тусгаарлаж, бид олдог

Бодит хэсгийг тусгаарлахдаа бид дараахь томъёог олж авна: , , .

Бодлого 61. Нийлбэрийг ол:

A) ; б) .

Ньютоны экспонентацийн томъёоны дагуу бид байна

Moivre-ийн томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

Үүссэн илэрхийллүүдийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тэгшитгэвэл бид:

Тэгээд .

Эдгээр томъёог дараах байдлаар авсаархан хэлбэрээр бичиж болно.

,

, Хаана - бүхэл хэсэгтоо a.

Бодлого 62. Бүгдийг ол, үүний тулд .

Учир нь , дараа нь томъёог ашиглана

, Үндэсийг задлахын тулд бид авдаг ,

Тиймээс, , ,

, .

Тоонуудыг харгалзах цэгүүд нь төв нь (0;0) цэг дээр 2 радиустай тойрог дотор бичээстэй дөрвөлжингийн оройн хэсэгт байрладаг (Зураг 30).

Хариулт: , ,

, .

Бодлого 63. Тэгшитгэлийг шийд , .

Нөхцөлөөр; тиймээс энэ тэгшитгэл нь язгуургүй тул тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.

Өгөгдсөн тэгшитгэлийн z тоо язгуур байхын тулд уг тоо нь язгуур байх ёстой n-р зэрэг 1-р тооноос.

Эндээс бид анхны тэгшитгэл нь тэгшитгэлээс тодорхойлогддог үндэстэй гэж дүгнэж байна

,

Тиймээс,

,

өөрөөр хэлбэл ,

Хариулт: .

Бодлого 64. Комплекс тооны багц дахь тэгшитгэлийг шийд.

Тоо нь энэ тэгшитгэлийн үндэс биш тул энэ тэгшитгэлийн хувьд тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.

Энэ нь тэгшитгэл юм.

Энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг томъёоноос олж авна (бодлоос 62-ыг үзнэ үү):

; ; ; ; .

Бодлого 65. Комплекс хавтгай дээр тэгш бус байдлыг хангах цэгүүдийн багцыг зур. . (45-р асуудлыг шийдэх хоёр дахь арга)

Болъё .

Ижил модультай нийлмэл тоонууд нь гарал үүслийн цэг дээр төвлөрсөн тойрог дээр байрлах хавтгайн цэгүүдэд тохирдог тул тэгш бус байдал гарал үүсэл ба радиус дээр нийтлэг төвтэй дугуйгаар хүрээлэгдсэн нээлттэй цагирагийн бүх цэгүүдийг хангах ба (Зураг 31). Цогцолбор хавтгайн зарим цэг w0 тоотой тохирно. Тоо , модуль нь w0 модулиас хэд дахин бага, мөн w0 аргументаас их аргументтай. Геометрийн үүднээс авч үзвэл w1-д харгалзах цэгийг гарал үүсэл дээр төвтэй, коэффиценттэй гомотети, мөн эхтэй харьцуулахад цагийн зүүний эсрэг өнцгөөр эргүүлэх замаар олж авч болно. Эдгээр хоёр хувиргалтыг цагирагийн цэгүүдэд хэрэглэсний үр дүнд (Зураг 31) сүүлийнх нь ижил төвтэй, 1 ба 2 радиустай тойргоор хязгаарлагдсан цагираг болон хувирна (Зураг 32).

Хөрвүүлэлт вектор руу параллель шилжүүлгийг ашиглан хэрэгжүүлсэн. Цэг дэх төвтэй цагиргийг заасан вектор руу шилжүүлснээр бид цэг дээрх төвтэй ижил хэмжээтэй цагираг олж авна (Зураг 22).

Онгоцны геометрийн хувиргалтын санааг ашигладаг санал болгож буй арга нь тайлбарлахад тохиромжгүй боловч маш гоёмсог бөгөөд үр дүнтэй байдаг.

Бодлого 66. Хэрэв олох .

Let , дараа нь ба . Анхны тэгш байдал нь хэлбэрийг авна . Хоёр комплекс тооны тэнцүү байх нөхцлөөс бид , , , үүнээс , . Ийнхүү, .

z тоог тригонометрийн хэлбэрээр бичье.

, Хаана, . Мойврын томъёоны дагуу бид .

Хариулт: - 64.

Бодлого 67. Комплекс тооны хувьд , ба гэсэн бүх комплекс тоог ол .

Тоог тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлье.

. Эндээс, . Бидний олж авсан тооны хувьд , эсвэл -тэй тэнцүү байж болно.

Эхний тохиолдолд , хоёрдугаарт

.

Хариулт: , .

Бодлого 68. Ийм тооны нийлбэрийг ол. Эдгээр тоонуудын аль нэгийг зааж өгнө үү.

Асуудлыг томьёолсныхоо дараагаар тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэрийг үндсийг нь тооцохгүйгээр олж болно гэдгийг ойлгож болно. Үнэн хэрэгтээ, тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан коэффициент (Вьетагийн ерөнхий теорем), i.e.

Оюутнууд, сургуулийн баримт бичиг, эзэмшсэн байдлын талаар дүгнэлт гаргана энэ үзэл баримтлал. Математик сэтгэлгээний онцлог, нийлмэл тооны тухай ойлголт үүсэх үйл явцын судалгааг нэгтгэн дүгнэ. Аргын тодорхойлолт. Оношлогоо: I үе шат. 10-р ангийн алгебр, геометрийн хичээл заадаг математикийн багштай ярилцлаа. Эхнээсээ хэсэг хугацаа өнгөрсний дараа яриа өрнөв...

Резонанс" (!)), үүнд мөн өөрийн зан төлөвийн үнэлгээ орно. 4. Нөхцөл байдлын талаархи ойлголтыг шүүмжлэлтэй үнэлэх (эргэлзэл). 5. Эцэст нь, хууль зүйн сэтгэл судлалын зөвлөмжийг ашиглах (хуульчийг харгалзан үзэх). сэтгэл зүйн талуудмэргэжлийн үйл ажиллагаа явуулсан - мэргэжлийн болон сэтгэл зүйн бэлтгэл). Одоо авч үзье сэтгэлзүйн шинжилгээхууль эрх зүйн баримтууд. ...

Тригонометрийн орлуулалтын математик, боловсруулсан сургалтын арга зүйн үр нөлөөг шалгах. Ажлын үе шат: 1. Математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай ангийн сурагчидтай “Тригонометрийн орлуулалтыг алгебрийн бодлого шийдвэрлэхэд ашиглах нь” сэдвээр нэмэлт хичээл боловсруулах. 2. Боловсруулсан сонгон судлах хичээлийг явуулах. 3. Оношлогооны шинжилгээ хийх...

Танин мэдэхүйн даалгаврууд нь зөвхөн одоо байгаа сургалтын хэрэглэгдэхүүнийг нөхөх зорилготой бөгөөд боловсролын үйл явцын бүх уламжлалт хэрэгсэл, элементүүдтэй зохих хослолд байх ёстой. Ялгаа боловсролын даалгаварбагшлахдаа хүмүүнлэгийн ухааннарийн, математикийн асуудлуудаас зөвхөн түүхэн асуудлуудад томъёо, хатуу алгоритм гэх мэт байдаггүй нь тэдний шийдлийг төвөгтэй болгодог. ...