Холбооны боловсролын агентлаг

Мэргэжлийн дээд боловсролын улсын боловсролын байгууллага
Вятка улсын хүмүүнлэгийн их сургууль

Математикийн факультет

Математикийн анализ, математик заах аргын тэнхим

Эцсийн мэргэшлийн ажил

Координатын аргыг сурах

үндсэн сургуулийн геометрийн хичээлд

Гүйцэтгэсэн:

Математикийн факультетийн 5-р курсын оюутан

Голцева Ольга Вячеславовна

Шинжлэх ухааны зөвлөх:

М.В. Крутихин

Шүүмжлэгч:

Сурган хүмүүжүүлэх ухааны нэр дэвшигч, Математик анализ ба MPM-ийн тэнхимийн дэд профессор I.V. Ситникова

Улсын аттестатчиллын комисст батлан ​​даалтад оруулсан

"___" __________2005 он дарга. хэлтэс M.V. Крутихин

Оршил................................................. ....... ................................................. ............. ........ 3

1-р бүлэг Бага сургуульд координатын аргыг ашиглах онолын үндэслэл...................................... .............. ................................................. ................................................................... ... 5

1.1 Сургуулийн координатын аргыг судлах үндсэн зарчим................................... 5

1.2 Сургуулийн сурах бичигт хийсэн дүн шинжилгээ................................................ ....... ................. 7

1.3 Координатын аргын мөн чанар...................................... ......... ......................... арван нэгэн

2-р бүлэг Координатын аргыг судлах арга зүйн үндэслэл................................... 14

2.1 Координатын аргыг ашиглан бодлого шийдвэрлэх үе шатууд...................................... ............ 14

2.2 Координатын аргыг заах даалгавар............................................. ........ 15

2.3 Координатын аргаар шийдсэн асуудлын төрлүүд................................... 25

2.4 Туршлагатай багш................................................. ................... ........................ гучин

Дүгнэлт.................................................. ................................................... ...... .38

Ном зүй................................................. .......................... ........................... 39

Оршил

Геометрийн хувьд асуудлыг шийдвэрлэх янз бүрийн аргыг ашигладаг - эдгээр нь синтетик (цэвэр геометрийн) арга, хувиргах арга, векторын арга, координатын арга болон бусад. Тэд сургуульд өөр өөр албан тушаал хашдаг. Үндсэн аргыг нийлэг гэж үздэг ба бусад аргуудаас координатын арга нь алгебртай нягт холбоотой учраас хамгийн өндөр байр суурийг эзэлдэг. Синтетик аргын дэгжин байдал нь зөн совин, таамаглал, нэмэлт бүтээн байгуулалтын тусламжтайгаар бий болдог. Координатын арга нь үүнийг шаарддаггүй: асуудлын шийдэл нь ихэвчлэн алгоритмын шинж чанартай байдаг бөгөөд энэ нь ихэнх тохиолдолд асуудлыг өөрөө хайх, шийдвэрлэхэд хялбар болгодог.

Энэ аргыг судлах нь сургуулийн геометрийн хичээлийн салшгүй хэсэг гэж хэлж болно. Гэхдээ координатын аргыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэхдээ алгебрийн тооцооллын ур чадвар шаардлагатай бөгөөд өндөр түвшний оюун ухаан шаардагдахгүй бөгөөд энэ нь эргээд оюутнуудын бүтээлч чадварт сөргөөр нөлөөлдөг гэдгийг бид мартаж болохгүй. Тиймээс оюутнуудад координатын аргыг ашиглан янз бүрийн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах боломжийг олгодог координатын аргыг судлах арга зүй шаардлагатай боловч энэ аргыг геометрийн асуудлыг шийдвэрлэх гол арга гэж харуулдаггүй. Энэ нь сонгосон сэдвийн хамаарлыг тодорхойлдог: "Сургуулийн геометрийн үндсэн хичээлд координатын аргыг судлах".

Энэхүү ажлын судалгааны объект нь оюутнуудын геометрийг сурах үйл явц юм.

Судалгааны сэдэв нь сургуулийн геометрийн үндсэн хичээлийн координатын аргыг судлах явдал юм.

Ажлын зорилго нь сургуулийн геометрийн хичээлд координатын аргыг судлах, ашиглах арга зүйг боловсруулах явдал юм.

Таамаглал: Сургуульд координатын аргыг сурах нь дараахь тохиолдолд илүү үр дүнтэй байх болно.

5-6-р ангиудад үндсэн ур чадварыг хөгжүүлэхийн тулд пропедевтик ажил явуулсан;

Планиметрийн системчилсэн сургалтанд оюутнуудыг энэ аргын бүтэцтэй танилцуулдаг;

Аргын бие даасан бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг бүрдүүлэхийн тулд сайтар бодож боловсруулсан даалгаврын системийг ашигладаг.

Судалгааны сэдэв, зорилго, таамаглал нь дараахь ажлуудыг тодорхойлдог.

1. Одоо байгаа зарим сурах бичгүүдийн координатын аргыг судлах хувилбаруудын дүн шинжилгээ, мөн энэ сэдвээр математикийн хөтөлбөрийн агуулга.

2. Математикийн тодорхой бодлогын жишээг ашиглан координатын арга, түүнийг хэрэглэх аргуудын тодорхойлолт.

3. Координатын аргыг амжилттай эзэмшихэд шаардлагатай ур чадварыг тодорхойлох, эдгээр чадварыг бүрдүүлэх даалгавруудыг сонгох.

4. Туршилтын туршилт.

Ажлын зорилгод хүрэх, таамаглалыг туршиж, дээрх асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд дараахь аргуудыг ашигласан болно.

·координатын аргатай холбоотой математикийн хөтөлбөр, сургалтын хэрэглэгдэхүүн, сургалтын хэрэглэгдэхүүнд дүн шинжилгээ хийх;

· Боловсролын үйл явц, оюутнуудын үйл ажиллагаанд хяналт тавих.

Туршилтын үндсэн бааз нь 51-р дунд сургууль байв.

Бүлэг I

Бага сургуульд координатын аргыг ашиглах онолын үндэслэл

1.1 Сургуулийн координатын аргыг судлах үндсэн зарчим

Геометрийн судалгаанд алгебрийн шинж чанарыг өгч, координатын арга нь алгебрийн хамгийн чухал шинж чанар болох асуудлыг шийдвэрлэх аргуудын нэгдмэл байдлыг геометрт шилжүүлдэг. Хэрэв арифметик болон энгийн геометрийн хувьд дүрмээр бол асуудал бүрийн шийдлийн тусгай замыг хайж олох шаардлагатай бол алгебр, аналитик геометрийн шийдлүүдийг бүх асуудалд нийтлэг, аливаа асуудалд амархан дасан зохицох төлөвлөгөөний дагуу гүйцэтгэдэг. Алгебрийн шинж чанартай тул геометрийн ерөнхий шинж чанартай асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг шилжүүлэх нь координатын аргын гол үнэ цэнэ юм.

Координатын аргын өөр нэг давуу тал нь түүний хэрэглээ нь орон зайн нарийн төвөгтэй зургийг дүрслэн харуулах хэрэгцээг арилгадаг явдал юм.

Сургуулийн геометрийн курст координатын аргыг судлахын тулд бид дараахь зорилгыг онцолж болно.

Оюутнуудад асуудлыг шийдвэрлэх, хэд хэдэн теоремыг батлах үр дүнтэй аргыг эзэмшүүлэх;

Энэ аргад үндэслэн алгебр ба геометрийн нягт холбоог харуулах;

Оюутнуудын компьютер, графикийн соёлыг хөгжүүлэх.

Сургуульд координатын аргыг судалж, математикийн янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж сурах нь хэд хэдэн үе шаттайгаар явагддаг. Эхний шатанд 5-6-р ангид сайн боловсруулж, геометрийн хичээлд системчилсэн үндсэн ойлголтын аппаратыг нэвтрүүлж байна. 5-р ангид оюутнуудыг координатын туяатай танилцуулдаг бөгөөд энэ нь сөрөг тоог судлахдаа координатын шугам болгон өргөжүүлдэг. 6-р ангид рационал тоог нэвтрүүлсний дараа оюутнууд координатын хавтгайг судалж байна. Хоёр дахь шатанд сурагчид шугам ба тойргийн тэгшитгэлтэй танилцдаг. Эдгээр ойлголтуудыг алгебр, геометрийн аль алинд нь өөр өөр агуулгын зорилготойгоор судалдаг тул оюутнууд тэдгээрийн хоорондын уялдаа холбоог олж хардаггүй, тиймээс аргын мөн чанарыг сайн ойлгодоггүй. Ийнхүү VII ангийн алгебрийн хичээлд үндсэн функцүүдийн графикийг тухайн функцийн аналитик тодорхойлолтоос координатыг нь тооцсон цэгүүдийн цуваа байгуулах замаар танилцуулдаг. Геометрийн хичээлд шугам ба тойргийн тэгшитгэлийг геометрийн шинж чанарын үндсэн дээр тодорхой шинж чанартай цэгүүдийн багц хэлбэрээр (2 цэгээс шулуун, нэг цэгээс тойрог) танилцуулдаг. ). Бодлого шийдвэрлэхийн тулд координатын аргыг өөрөө ашиглаж сурах нь 9-р ангийн геометрийн хичээлд тохиолддог. Үүний тулд эхлээд аргыг хэрэглэх үндсэн үе шатуудыг тодруулж, дараа нь координатын аргын шууд хэрэглээг хэд хэдэн асуудлын жишээн дээр үзүүлэв.

Гэхдээ координатын аргыг асуудал шийдвэрлэх, теоремыг батлах үндсэн арга болгон авч болохгүй. Шарыгин I.F. нийтлэлдээ координатын аргын хүчтэй, сул оюутнуудын аль алинд нь аюул заналхийллийн тухай өгүүлдэг. Сул сурагчдын хувьд “Энэ бүлэгт ихэвчлэн сайн тоолж чаддаггүй, томьёо ойлгох, санахад бэрхшээлтэй хүүхдүүд байдаг. Эдгээр хүүхдүүдийн хувьд геометр нь математикийн ерөнхий хөгжлийн дутагдлыг нөхөх хичээл болж чадна. Харин оронд нь тэдэнд нэмэлт ачаалал өгдөг... Координатын арга нь судалж буй геометрийн нөхцөл байдлын геометрийн мөн чанарыг орхигдуулдаг. Тухайн тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд жүжигчнийг бэлтгэж байна. Бага биш, гэхдээ илүү биш. Судалгааны математикчдад зайлшгүй шаардлагатай геометрийн, тэр ч байтугай математикийн зөн совин нь хөгждөггүй” гэдэг нь эргээд хүчирхэг оюутнуудад аюул учруулж байна.

1.2 Сургуулийн сурах бичигт дүн шинжилгээ хийх

Сургуулийн геометрийн хичээл нь ямар бүтэцтэй байсан ч теоремыг батлах, асуудлыг шийдвэрлэх янз бүрийн аргуудыг агуулсан байдаг гэдгийг бүгд мэддэг. Эдгээр аргуудын дунд геометрийн хувиргалт, координатын арга, векторын арга зэрэг аргууд чухал байр суурийг эзэлдэг. Эдгээр аргууд нь хоорондоо нягт холбоотой байдаг. Ахлах сургуулийн геометрийн сурах бичгүүдийн зохиогчдын тодорхойлсон үзэл баримтлалаас хамааран нэг буюу өөр арга нь давамгайлах үүрэг гүйцэтгэдэг. Тиймээс координатын арга нь сурах бичигт идэвхтэй үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд энэ нь маш үр дүнтэй байдаг.

Сургуулийн математикийн сургалтын хөтөлбөрт координатын аргад харьцангуй бага анхаарал хандуулдаг. “Геометрийн хичээлийн зорилго” хэсэгт “Теоремыг батлах, бодлого шийдвэрлэхэд... геометрийн хувиргалт, вектор, координатыг ашигладаг” гэж заасан байдаг. Тиймээс хөтөлбөр нь координатын аргыг асуудлыг шийдвэрлэх арга болгон судлахыг зорьдоггүй. Хичээлийн хөтөлбөрт “Геометрийн хичээлд суусны үр дүнд оюутнууд энгийн, стандарт бодлогуудыг шийдвэрлэхийн тулд координатыг ашиглах чадвартай байх ёстой” гэж заасан байдаг. Оюутнууд теоремыг батлах, бодлого бодох координатын аргыг эзэмшсэн тухай нэг ч үг хэлээгүй. "Энгийн стандарт бодлого"-ыг онцолж байгаа бол координатын арга нь стандарт бус, нэлээд төвөгтэй (бусад аргаар шийдэгдээгүй бол) асуудлыг шийдвэрлэхэд давуу талыг илүү сайн харуулдаг.

Ерөнхий боловсролын сургуулийн математикийн хөтөлбөрийн дагуу солбицол нь 5-р ангид анх гарч ирдэг. Үүний зэрэгцээ хүүхдүүд шулуун шугам дээрх тоон дүрслэл, цэгүүдийн координатыг мэддэг болно. Түүгээр ч барахгүй сурах бичигт эдгээр ойлголтуудыг оруулах нь өөр. Тиймээс сурах бичигт, эхний бүлгийн тав дахь догол мөрөнд координатын цацрагийг авч үзсэн бөгөөд түүний тусламжтайгаар ирээдүйд натурал ба бутархай тоог харьцуулж, натурал тоон дээр нэмэх, хасах үйлдлүүдийг харуулсан болно. . Сурах бичгийн зохиогчид 6-р ангийн сурагчдад координатын шугамын тухай ойлголтыг танилцуулсан. Сурах бичигт "координатын туяа" гэсэн тодорхойлолт байдаггүй. 5-р ангийн эхэнд зохиогчид координатын шугамын тухай ойлголтыг танилцуулсан боловч 6-р ангид тохиолддог сөрөг тоог судлахаас өмнө координатын туяа болох координатын шугамын баруун талд л ажил хийдэг. Энэ координатын шугамын өөр хэсгийн талаар хараахан шаардлагагүй асуулт гарч ирж магадгүй тул энэ нь тийм ч тохиромжтой биш юм. Ерөнхийдөө сурах бичгүүдэд координатын туяа (координатын шугам, дараа нь координатын хавтгай) тодорхойлохтой холбоотой даалгаврууд их байдаг бөгөөд сурах бичгээс илүү өөр ойлголтыг нэвтрүүлэх эсвэл тоон дээрх үйлдлүүдийг авч үзэхийн тулд үүнийг ихэвчлэн иш татдаг.

Геометрийн хөтөлбөрийн дагуу координатыг дараах эзлэхүүнээр судалдаг: “Координатын хавтгай. Өгөгдсөн координаттай хавтгай дээрх хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёо. Шугаман ба тойргийн тэгшитгэл."

Тиймээс сурах бичигт 9-р ангийн координатуудад тусдаа бүлэг зориулагдсан болно. Түүнчлэн, энэ материалыг "Векторууд" сэдвийг судалсны дараа векторуудын скаляр үржвэрийг судлахаас өмнө судалдаг. Сэдвийг хэлэлцэхэд 18 цаг хуваарилагдсан. Энэхүү сурах бичигт координатын аргыг тусдаа бүлэг болгон хувааж, вектор координат, тойрог ба шулуун шугамын тэгшитгэлийг судалж, координатын хамгийн энгийн бодлогуудыг шийдвэрлэсэн болно. Энэ бүлэгт алгебр ашиглан геометрийн дүрсийг судлах арга болох координатын аргын тухай ойлголтыг танилцуулна. Сургуулийн хүүхдүүд координатын систем нэвтрүүлснээр асуудлыг шийдэж сурдаг. Зохиогч нь сургуулийн сурагчдад координатын аргыг зөвхөн тэдгээрийн тэгшитгэлийг ашиглан дүрсийг бүтээх асуудалд ашиглахаас гадна нотлох асуудлыг шийдвэрлэх, түүнчлэн геометрийн томьёог гаргахад сургах зорилготой юм.

Сургуулийн бусад геометрийн сурах бичгүүдээс ялгаатай нь координатууд сурах бичгийн гол байруудын нэг байв. Тэдгээрийг 8-р ангиас эхлэн "Дөрвөн өнцөгт", "Пифагорын теоремууд" сэдвүүдийг судалсны дараа танилцуулдаг. Сэдвийг судлахад 19 цаг хуваарилагдсан. Хавтгай дээрх координат, тойрог ба шулуун шугамын тэгшитгэлтэй холбоотой үндсэн ойлголтуудыг авч үзсэний дараа хоёр тойргийн огтлолцол, шулуун ба тойргийн огтлолцол, синусын тодорхойлолт зэрэг асуудлыг судалдаг. , 0°-аас 180° хүртэлх дурын өнцгийн косинус ба тангенс. Эдгээр нь оюутнуудад танилцуулсан координатын аргын анхны хэрэглээ юм.

Алгебрийн хичээл дээр f(x) нь өгөгдсөн функц болох y=f(x) тэгшитгэлд үндэслэн энэ тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон муруйг, өөрөөр хэлбэл y=f(x) функцийн графикийг байгуулсан. ). Тиймээс тэд "алгебраас геометр рүү" явсан шигээ. Геометрийн координатын аргыг судлахдаа бид эсрэг чиглэлийг сонгодог: зарим муруйн геометрийн шинж чанарт үндэслэн бид тэдгээрийн тэгшитгэлийг гаргаж авдаг, өөрөөр хэлбэл "геометрээс алгебр руу" явдаг. 8-р ангид сурах бичгээр, 9-р ангид шугам, тойргийн тэгшитгэлийг авч үздэг. Үүний зэрэгцээ "зургийн тэгшитгэл" гэсэн ерөнхий ойлголтод анхаарлаа хандуулав: "Декарт координат дахь хавтгай дээрх дүрсийн тэгшитгэл нь ямар ч координатаар хангагдсан х ба у хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэл юм. зургийн цэг. Мөн эсрэгээр: энэ тэгшитгэлийг хангасан дурын хоёр тоо нь зургийн аль нэг цэгийн координат юм." Хавтгай дээрх дүрсийн тэгшитгэлийг ерөнхийд нь дараах байдлаар бичиж болно: F(x,y)=0, энд F(x,y) нь х ба у хоёр хувьсагчийн функц юм.

Энэхүү сурах бичиг нь сургуулийн геометрийн хичээлийг байгуулах зохиогчийн үзэл баримтлалыг хэрэгжүүлсэн бөгөөд уламжлалт сурах бичгүүдтэй харьцуулахад геометрийн асуудлыг шийдвэрлэх арга барилд илүү анхаарал хандуулсан болно. Энэхүү сурах бичгийн координатын арга нь 9-р ангийн төгсгөлийн өмнөх сэдэв юм. Үүнийг судлахдаа оюутнууд хавтгай дээрх декарт координатуудтай танилцаж, "хавтгай шугам: шулуун ба тойрог" гэсэн хоёр тэгшитгэлийг авч үзэх бөгөөд энэ нь ирээдүйд асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай болно. Энэ явцад координатын аргыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим ур чадварыг хөгжүүлдэг. Сурах бичигт энэ сэдвээр онолын материал харьцангуй бага байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. Жишээлбэл, шугамын тэгшитгэлийг тооцохгүйгээр батлагдсан цорын ганц томьёо (зөвхөн x 1 ≠x 2 ба y 1 ≠y 2 тохиолдолд) нь цэгүүдийн хоорондох зайны томъёо юм. Сурах бичгээс ялгаатай нь сегментийн дунд хэсгийн томъёог онолын материалд оруулаагүй боловч практик даалгаварт "Координатын шугам дээрх A (-2,5) ба B (4,3) цэгүүдийг анхаарч үзээрэй. ” Хэрэв M нь AB цэгийн дунд цэг бол М цэгийн координатыг ол." Тиймээс оюутнуудаас тухайн тохиолдлыг харгалзан сегментийн дунд цэгийн координатын томъёог өөрсдөө гаргаж, координатын ойлголт, томъёоны томъёог ашиглана. цэгүүдийн хоорондох зай.

Векторуудыг судалсны дараа "Координатын арга" гэсэн догол мөрийг авч үзэх бөгөөд үүнд дүн шинжилгээ хийсэн хоёр асуудлын жишээг ашиглан нэг нь Аполлонийн тойрог, нөгөө нь координатын системийг сонгоход анхаарлаа хандуулдаг. Энэ аргаар шийдсэн асуудлын тоо. Эдгээр нь цэгүүдийн геометрийн байршлыг олохтой холбоотой нэлээд төвөгтэй асуудлууд юм.

1.3 Координатын аргын мөн чанар

Координатын аргын бага зэрэг түүх.

Одоогийн байдлаар шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарын маш олон тооны мэргэжилтнүүд хавтгай дээрх тэгш өнцөгт декартын координатуудын тухай ойлголттой байдаг, учир нь эдгээр координатууд нь график ашиглан нэг хэмжигдэхүүнээс нөгөө хэмжигдэхүүнээс хамаарлыг нүдээр харуулах боломжийг олгодог. "Декарт координат" гэсэн нэр нь эдгээр координатуудыг Декарт нээсэн гэсэн буруу ойлголтыг төрүүлдэг. Ер нь тэгш өнцөгт координатыг манай эриний өмнөх үеэс геометрт хэрэглэж ирсэн. Александрын сургуулийн эртний математикч Пергийн Аполлониус (МЭӨ 3-2-р зуунд амьдарч байсан) тэгш өнцөгт координатыг аль хэдийн ашиглаж байжээ. Тэрээр тэдний тусламжтайгаар тухайн үеийн алдартай муруйг тодорхойлж, судалжээ: парабола, гипербола, эллипс.

Аполлониус тэдгээрийг тэгшитгэлээр тогтоосон: y 2 =рх (парабол)

(гипербола)

(зууван, p ба q эерэг байна)

Тэр мэдээжийн хэрэг, тэгшитгэлийг энэ геометрийн хэлбэрээр бичээгүй, учир нь тэр үед алгебрийн бэлгэдэл байгаагүй, харин геометрийн ойлголтыг ашиглан тэгшитгэлүүдийг дүрсэлсэн; 2 нь түүний нэр томъёонд y талтай дөрвөлжин талбайтай; px - p ба x талтай тэгш өнцөгтийн талбай гэх мэт. Муруйнуудын нэр нь эдгээр тэгшитгэлтэй холбоотой. Грек хэлээр парабола гэдэг нь тэгш байдал гэсэн утгатай: квадрат нь тэгш өнцөгтийн талбайн px хэмжээтэй тэнцэх y 2 талбайтай. Грек хэлээр гипербола нь илүүдэл гэсэн утгатай: y 2 квадратын талбай нь тэгш өнцөгтийн талбайн px-ээс их байна. Грек хэлээр эллипс гэдэг нь сул тал гэсэн үг: дөрвөлжингийн талбай нь тэгш өнцөгтийн талбайгаас бага.

Декарт тэмдгүүдийг сонгох дүрмийг нэвтрүүлснээр тэгш өнцөгт координатуудад маш чухал сайжруулалт хийсэн. Гэхдээ хамгийн чухал нь тэгш өнцөгт координатыг ашиглан тэрээр аналитик геометрийг хавтгай дээр байгуулж, улмаар геометр ба алгебрийг холбосон. Гэсэн хэдий ч Декарттай нэгэн зэрэг Францын өөр нэг математикч Ферма аналитик геометрийг бүтээсэн гэдгийг хэлэх ёстой.

Аналитик геометрийн ач холбогдол нь юуны түрүүнд геометр ба алгебрийн хооронд нягт холбоо тогтоож чадсанд оршдог. Математикийн эдгээр хоёр салбар Декартын үед аль хэдийн төгс төгөлдөрт хүрсэн байв. Гэвч олон мянган жилийн туршид тэдний хөгжил бие биенээсээ хамааралгүйгээр үргэлжилсэн бөгөөд аналитик геометр гарч ирэх үед тэдгээрийн хооронд зөвхөн сул холбоо тогтоогджээ.

Координатууд нь тоонуудын тусламжтайгаар орон зай эсвэл хавтгайн аль ч цэгийн байрлалыг тодорхойлох боломжийг олгодог. Энэ нь тоонуудын тусламжтайгаар янз бүрийн дүрсийг "шифрлэх" боломжийг олгодог. Координат хоорондын хамаарлыг ихэвчлэн нэг цэгээр биш, харин тодорхой багц (цуглуулга) цэгээр тодорхойлдог. Жишээлбэл, хэрэв та абсцисс нь ординаттай тэнцүү бүх цэгүүдийг тэмдэглэвэл, өөрөөр хэлбэл координат нь x = y тэгшитгэлийг хангасан цэгүүдийг тэмдэглэвэл та шулуун шугамыг авах болно - эхний ба гурав дахь координатын өнцгийн биссектриса.

Заримдаа тэд "цэгүүдийн багц" -ын оронд "цэгүүдийн геометрийн байршил" гэж хэлдэг. Жишээлбэл, координат нь x=y хамаарлыг хангасан цэгүүдийн байрлал нь дээр дурдсанчлан координатын нэг ба гуравдугаар өнцгийн биссектриса юм. Нэг талаас алгебр, нөгөө талаас геометр хоёрын хоорондын холбоог бий болгосон нь үндсэндээ математикт гарсан хувьсгал байв. Энэ нь математикийг бие даасан хэсгүүдийн хооронд "Хятадын хана" байхгүй нэг шинжлэх ухаан болгон сэргээв.

Координатын аргын мөн чанар

Асуудлыг шийдвэрлэх арга болох координатын аргын мөн чанар нь тэгшитгэл бүхий дүрсийг зааж, янз бүрийн геометрийн хамаарлыг координатаар илэрхийлэх замаар бид алгебр ашиглан геометрийн асуудлыг шийдэж чадна гэсэн үг юм. Үүний эсрэгээр координатыг ашиглан алгебрийн болон аналитик харилцаа, баримтыг геометрийн аргаар тайлбарлаж, улмаар геометрийг алгебрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно.

Координатын арга нь бүх нийтийн арга юм. Энэ нь алгебр ба геометрийн хооронд нягт уялдаа холбоог бий болгодог бөгөөд эдгээр нь хосолсон үед тусад нь байвал өгөх боломжгүй "баялаг жимс" өгдөг.

Сургуулийн геометрийн хичээлийн тухайд, зарим тохиолдолд координатын арга нь геометрийн аргыг ашиглахаас илүүтэйгээр нотлох баримтыг бий болгож, олон асуудлыг илүү оновчтой, үзэсгэлэнтэй шийдвэрлэх боломжийг олгодог гэж хэлж болно. Координатын арга нь нэг геометрийн нарийн төвөгтэй байдалтай холбоотой. Ижил асуудал нь координатын системийн тодорхой сонголтоос хамааран өөр өөр аналитик дүрслэлийг хүлээн авдаг. Зөвхөн хангалттай туршлага нь танд хамгийн тохиромжтой координатын системийг сонгох боломжийг олгодог.

2-р бүлэг

Координатын аргыг заах арга зүйн үндэс

2.1.Координатын аргаар бодлого шийдвэрлэх үе шатууд

Координатын аргыг ашиглан алгебрийн болон геометрийн асуудлыг шийдэхийн тулд та 3 алхам хийх хэрэгтэй.

1) асуудлыг координат (аналитик) хэл рүү орчуулах;

2) аналитик илэрхийллийн хувиргалт;

3) урвуу орчуулга, өөрөөр хэлбэл координатын хэлнээс асуудлыг томъёолж буй хэл рүү орчуулах.

Жишээ болгон алгебрийн болон геометрийн бодлогыг авч үзээд эдгээр 3 үе шатыг координатын аргаар шийдвэрлэхдээ хэрэгжилтийг дүрслэн харуулъя.

№1. Тэгшитгэлийн систем хэдэн шийдэлтэй вэ?

1-р шат: Энэ асуудлын геометрийн хэлээр та эдгээр тэгшитгэлээр өгөгдсөн дүрсүүд хэдэн огтлолцох цэг байгааг олох хэрэгтэй. Эдгээрийн эхнийх нь төв нь 1-тэй тэнцүү, радиус нь гарал үүсэлтэй тойргийн тэгшитгэл, хоёр дахь нь параболын тэгшитгэл юм.

2-р шат: тойрог ба параболыг барих; тэдгээрийн огтлолцох цэгүүдийг олох.

3-р шат: тойрог ба параболын огтлолцох цэгүүдийн тоо нь тавьсан асуултын хариулт юм.

№2. Өгөгдсөн хоёр цэгийн зай тус бүрийн хувьд тэнцүү цэгүүдийн багцыг ол.

Эдгээр цэгүүдийг А ба В гэж тэмдэглэе.Ох тэнхлэг нь AB шулуунтай давхцаж, А цэг нь координатын эхлэл болж байхаар координатын системийг сонгоцгооё.Цаашид сонгосон хэсэгт AB = a гэж үзье. координатын систем A(0,0) ба B(a,0). M(x,y) цэг нь AM = MV, эсвэл ижил AM 2 = MV 2 тохиолдолд л хүссэн олонлогт хамаарна. Координатын хавтгайн нэг цэгээс нөгөө цэг хүртэлх зайны томъёог ашиглан бид олж авна AM 2 = x 2 + y 2 , М.Б. 2 =( x - а ) 2 + y 2 . Дараа нь x 2 + y 2 = (x-a) 2 + y 2

Тэгш байдал x 2 +y 2 = (x-a) 2 +y 2асуудалд өгөгдсөн нөхцөл байдлын алгебрийн загвар юм. Энэ нь түүний шийдлийн эхний үе шатыг дуусгадаг (асуудлыг координатын хэл рүү хөрвүүлэх).

Хоёр дахь шатанд үүссэн илэрхийлэл өөрчлөгдөж, үүний үр дүнд бид хамаарлыг олж авдаг.

Гурав дахь шатанд тэгшитгэлийн хэлийг геометрийн хэл рүү хөрвүүлнэ. Үүссэн тэгшитгэл нь Oy тэнхлэгтэй параллель, А цэгээс зайгаар тусгаарлагдсан шулуун шугамын тэгшитгэл юм. AB сегментийн перпендикуляр биссектрист.

2.2 Даалгавруудыг заах координат арга

Координатын аргыг ашиглах чадварыг хөгжүүлэх арга зүйг боловсруулахын тулд асуудлыг шийдвэрлэх логик бүтэц нь шийдэгчийн сэтгэлгээнд тавигдах шаардлагыг тодорхойлох нь чухал юм. Координатын арга нь оюутнуудаас энэ аргыг практикт хэрэгжүүлэхэд туслах ур чадвар, чадвартай байхыг шаарддаг. Хэд хэдэн асуудлын шийдэлд дүн шинжилгээ хийцгээе. Энэхүү шинжилгээний явцад бид асуудлыг шийдвэрлэхэд координатын аргыг ашиглах чадварын бүрэлдэхүүн хэсэг болох ур чадварыг онцлон харуулах болно. Энэ ур чадварын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн талаархи мэдлэг нь түүнийг элемент тус бүрээр нь бүрдүүлэх боломжийг олгоно.

Даалгавар №1. IN ABC гурвалжин: AC=b, AB=c, BC=a, BD нь медиан. гэдгийг батал. .

А цэг нь координатын эхлэл болж, Окс тэнхлэг нь АС шулуун шугам байхаар координатын системийг сонгоцгооё (Зураг 2).

(координатын системийг оновчтой сонгох чадвар, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн цэгүүдийн координатыг хамгийн хялбар олох боломжтой).

Сонгосон координатын системд A, C, D цэгүүд дараах координатуудтай байна: A(0,0), D(,0) ба C(b,0)

(өгөгдсөн цэгүүдийн координатыг тооцоолох чадвар). В цэгийн координатыг х, у гэж тэмдэглэе. Дараа нь тэдгээрийн координатаар өгөгдсөн хоёр цэгийн хоорондох зайг олох томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

x 2 + y 2 = c 2, ( x - б ) 2 + y 2 = а 2 (1)

(өгөгдсөн координатын хоёр цэгийн хоорондох зайг олох чадвар)

Ижил томъёо . (2)

(1) томъёог ашиглан бид x ба y-г олно.

Тэд тэнцүү байна:

; .

.

(алгебр илэрхийллийн хувиргалтыг хийх чадвар)

Даалгавар №2.Өгөгдсөн хоёр цэгийн зайн квадратуудын зөрүү нь тогтмол байх цэг бүрийн багцыг ол.

Эдгээр цэгүүдийг А ба В гэж тэмдэглэе. Бид координатын системийг сонгон Үхрийн тэнхлэг нь AB шулуунтай давхцаж, А цэг нь координатын эхлэл болдог.

AB=a гэж үзье, тэгвэл сонгосон координатын системд A(0,0), B(a,0).

M(x,y) цэг нь зөвхөн AM 2 -MB 2 =b 2 тохиолдолд л хүссэн олонлогт хамаарна. b нь тогтмол утга.

(геометрийн хэлийг аналитик хэл рүү хөрвүүлэх, дүрсийн тэгшитгэл зохиох чадвар).

Хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

, ,

(координатаар өгөгдсөн цэгүүдийн хоорондох зайг тооцоолох чадвар), эсвэл Энэ тэгшитгэл нь Ой тэнхлэгтэй параллель, А цэгээс зайгаар тусгаарлагдсан шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

(тэгшитгэлийн ард тодорхой геометрийн дүрсийг харах чадвар)

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд дээр дурдсан ур чадварыг эзэмших шаардлагатай байгааг харахад хялбар байдаг. Нэмж дурдахад дээрх асуудлыг болон бусад асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд тодорхой дүрсүүдийн тэгшитгэл зохиох чадварын эсрэг тал болох тодорхой геометрийн дүрсийг "тэгшитгэлийн ард харах" чадвартай байх нь чухал юм.

Сонгосон ур чадвар нь хамгийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх үндэс суурь болдог.

Даалгавар №3.Трапецын хувьд жижиг диагональ нь суурийн перпендикуляр байна. Эсрэг өнцгүүдийн нийлбэр нь тэнцүү, сууриуд нь a ба b-тэй тэнцүү бол том диагональыг ол.

Координатын тэнхлэгүүдийг жижиг диагональ ба суурийн аль нэгний дагуу чиглүүлье (Зураг 3).

(координатын системийг оновчтой сонгох чадвар).

Дараа нь А цэг нь координаттай (0,0), B цэг - (a,0), С цэг - (0,c), D цэг - (b,c).

(өгөгдсөн цэгүүдийн координатыг олох чадвар)

ABCD трапецын хурц өнцөгтэй байсан ч тэдгээрийн нийлбэр нь -тэй тэнцүү байна. Том диагональ BD-ийн уртыг тооцоолохын тулд c-ийн утгыг олох хэрэгтэй. Үүнийг 2 аргаар тооцоолж болно. Эхнийх нь бидний олсон томъёогоор ABC гурвалжны тэгш өнцөгт юм. ACD тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр дахь арга: . Үүнээс бид үүнийг олж авсан

(1)

Тэгш байдлаас (1) бид харьцааг олно: энэ нь -тэй тэнцүү, учир нь . Үүнийг илэрхийлье. Энэ нь үүнтэй тэнцүү байна, үүн дээр үндэслэн хамаарлыг (1) ашиглан бид олж авна.

(дутуу координатыг аль хэдийн мэдэгдэж буй хэмжигдэхүүнээр илэрхийлэх чадвар)

(өгөгдсөн координатуудын хоорондох зайг тооцоолох чадвар)

Энэ нь тэнцүү юм .

Тиймээс тодорхой нөхцөл байдалд координатын аргыг хэрэглэх чадварын бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь дараахь ур чадварууд юм.

1. геометрийн хэлийг нэг төрлийн бодлогын хувьд аналитик хэл рүү, нөгөө төрлийн хувьд аналитик хэлнээс геометрийн хэл рүү хөрвүүлэх;

2. өгөгдсөн координат дээрх цэгийг олох;

3. өгөгдсөн цэгүүдийн координатыг олох;

4. өгөгдсөн координат цэгүүдийн хоорондох зайг тооцоолох;

5. координатын системийг оновчтой сонгох;

6. өгөгдсөн дүрсийн тэгшитгэл зохиох;

7. тэгшитгэлийн ард тодорхой геометрийн дүрсийг харах;

8. алгебрийн харилцааны хувиргалтыг гүйцэтгэх.

Эдгээр ур чадварыг координатын аргыг бүрдүүлдэг дараах даалгавруудыг ашиглан дадлагажуулж болно.

1) түүний координатаас цэг байгуулах даалгавар;

2) өгөгдсөн цэгүүдийн координатыг олох даалгавар;

3) өгөгдсөн координатуудын цэгүүдийн хоорондох зайг тооцоолох даалгавар;

4) координатын системийг оновчтой сонгох даалгавар;

5) шинж чанарт үндэслэн дүрсийн тэгшитгэл зохиох даалгавар;

6) тэгшитгэлээс дүрсийг тодорхойлох даалгавар;

7) алгебрийн тэгшитгэлийг хувиргах асуудал;

Иймэрхүү асуудлын жишээг өгье.

I . Хавтгай дээр цэг байгуулах.

Оюутнууд 5-6-р ангид математикийн материалыг судлахдаа координатын шугам, дараа нь координатын хавтгайтай танилцдаг. Үүний зэрэгцээ мультимедиа үзүүлэнг ашиглах нь тохиромжтой бөгөөд энэ нь шаардлагатай материалыг динамикаар харуулах, бүх төрлийн чимэглэл, дууны эффектийг ашиглах боломжийг олгодог бөгөөд ингэснээр оюутнуудын сонирхлыг татаж, сайн харааны хэрэгсэл болно. Үүний нэг жишээ бол сурах бичигт суурилсан "Координатын арга" илтгэл юм. (Хавсралт 1-ийг үзнэ үү). Координатын хавтгайг судлахдаа ашиглаж болох асуудлын жишээг энд оруулав. Эдгээр ажлуудыг ашиглаж болно:

Бүх ангийнхантай координатын дагуу цэг байгуулах ур чадварыг эзэмшүүлэх;

Хоцрогдсон оюутнуудад зориулсан нэмэлт даалгаврын хувьд;

Судалж буй сэдвийн сонирхлыг хөгжүүлэх.

1) Координатын хавтгайд A(7,2), B(-2,1), C(0,2) цэгүүдийг байгуулна.

2) Хавтгай дээрх хэд хэдэн цэгийг тэмдэглэ. Дурын координатын системийг зурж, өгөгдсөн цэгүүдийн координатыг ол.

3) Зангилааны цэгүүдийн координатыг ашиглан дүрсүүдийг байгуул. Тэмдэглэл: Бид дүрсийг бүрдүүлдэг сегментүүдийн төгсгөлд үйлчилдэг цэгүүдийг зангилаа гэж нэрлэнэ. Координат нь таслалаар тусгаарлагдсан эгнээнд бичигдсэн цэгүүдийг холбоно. Хэрэв координатуудыг ";" тэмдгээр тусгаарласан бол холбогдох цэгүүдийг холбож болохгүй. Тэд туслах элементүүдийг дүрслэхэд хэрэгтэй.

A) Багаж (Зураг 4)

(3,7), (1,5), (2,4), (4,3),

(5,2), (6,2), (8,4), (8,-1),

(6,0), (0,-3),(2,-6),(-2,-3),

(-4,-2),(-5,-1),(-6,1),(-4,1);

(-6,1), (-6,2), (-3,5), (3,7);

(-4,-2),(-2,0),(-2,2),(-3,5);(-3,3).

B) Зурган дээр тодруулсан цэгүүдийн координатыг хамгийн тод цэгээс цагийн зүүний дагуу хөдөлгө. (Зураг 5 ба 6)

II .Координатын системийг сонгох даалгавар

Координатын аргыг хэрэглэхэд координатын системийг сонгох нь маш чухал юм.

Жишээлбэл, "Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын дунд цэг нь түүний оройноос ижил зайтай" сурах бичигт хэлэлцсэн бодлогыг авч үзье.

Координатын аргыг хэрэглэх эхний алхам бол алгебрийн тооцоог хялбар болгох үүднээс тэнхлэг, координатын системийг сонгох явдал юм. Энэ асуудлын хувьд координатын системийг амжилттай сонгохыг Зураг 7-д үзүүлэв. Тиймээс бид координатын эхийг А цэг дээр байрлуулж, тэнхлэгүүдийг B, C цэгүүдээр дамжуулан зурж, эдгээр цэгүүд тэнхлэгүүдийн эерэг цацрагууд дээр байрладаг. Тиймээс B(a,0) ба C(0,b). Тиймээс D() сегментийн дундах томъёоны дагуу. Одоо , .

Тиймээс AD=BD. Тодорхойлолтоор BC сегментийн дунд хэсэг = CD тул теорем батлагдсан.

Та координатын системийг өөр аргаар сонгож болно (Зураг 8, Зураг 9). Хэрэв та тэнхлэгийг бүрэн санамсаргүй байдлаар сонговол хялбар ажлыг маш хэцүү болгож болно. Зураг 10-д тулгуурлан нотлох ажлыг эхлүүлэхийн тулд ABC гурвалжин нь А орой дээр тэгш өнцөгтэй байгааг алгебрийн аргаар илэрхийлэх аргыг олох хэрэгтэй. Үүнийг хийж болно, гэхдээ энэ нь тийм ч хялбар биш байх болно.

Тиймээс 6-р ангиасаа эхлэн сурагчдад координатын системийг дур зоргоороо сонгох боломжийн талаархи санаа бодлыг хөгжүүлэх шаардлагатай байна. Асуудлыг шийдвэрлэх явцад энэ ажлыг хийх нь зүйтэй. Пропедевтик ажлын зорилгоор бид сурах бичгээс 6-р ангийн зурган дээрх цэгүүдийн координатыг олох, тэнхлэгийн чиглэл, координатын гарал үүслийг өөрчлөх замаар төрөлжүүлэх даалгавруудыг санал болгож болно. (Хавсралт 1-ийг үзнэ үү)

1. AB сегментийн урт 5 см. a) Сегментийн төгсгөлийн координатыг хамгийн хялбар тодорхойлж болох координатын системийг сонго. b) Координатын системийг сонго, ингэснээр сегментийн төгсгөлийн координатууд нь: A (-2.5,0), B (2.5,0).

2. 2 см талтай ABCD дөрвөлжин байгуулах; M цэгийг тэмдэглэнэ - дөрвөлжингийн төв. Координатын гарал үүслийг A, B, C, D цэгүүдэд дараалан байрлуулж, координатын тэнхлэгүүдийн чиглэлийг сонгон координатын систем бүрийн М цэг координаттай (1;1) байна. 1 см урттай сегментийг нэгж болгон авна.

3. ABC гурвалжин нь тэгш талт (хажуугийн урт нь 6 см). Оройнуудын координатыг тодорхойлоход хялбар байх үүднээс координатын системийг сонго.

III . Цэгүүдийн хоорондох зай

1) М(а,в) цэг нь координатын эх, А(4,0) цэгээс тус тус 3 ба 4 см зайд байрлана.М цэгийн координатыг тодорхойл.

2) ABCD тэгш өнцөгт өгөгдсөн (AB=2 см, ВС=4 см). Оройнууд нь A(-1,-2), B(-1,2), C(1,2), D(l,-2) координатуудтай байхаар координатын системийг хэрхэн сонгох вэ?

3) ABC гурвалжны талуудын урт 3, 4, 5 см.Координатын системийг сонгоод ABC гурвалжны оройн координатыг тодорхойл.

4) ABCD дөрвөн өнцөгтийн оройнууд нь дараах координатуудтай байна: A(-3,1), B(3,6), C(2,2) ба D(-4,3) Дөрвөн өнцөгтийн төрлийг тохируулна уу.

IV. Зургийн тэгшитгэл зохиох

Энэ ур чадвар нь асуудлыг шийдвэрлэхэд координатын аргыг хэрэглэхэд шаардлагатай үндсэн ур чадваруудын нэг юм.

1) Координатын системийг зур. А ба В цэгүүдийг тэнхлэгт тэмдэглэнэ.Аюултай цэгүүдийн координатаар хангагдах хамаарлыг бич: a) AB хэрчим; б) AB цацраг; в) цацраг VA;

2) Эх болон A(2,5) цэгийг агуулсан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

3) А (2,7) ба В (1,3) цэгүүдийг агуулсан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

4) Координатын хавтгай дээр дурын шулуун шугамыг зурж, тэгшитгэлийг ол.

5) A (2,3), B (2,5), C (4,5), D (4,3) оройтой тэгш өнцөгтийн цэгүүдийн координатыг хангасан хамаарлыг бич.

6) Координатууд нь тэгш бус байдлыг хангадаг хавтгай дээрх цэгүүдийн багц нь юу вэ: a) x≤3; b) -5≤х≤0; c)x>1; d) x<-2; e)≥2; f)≥0?

7) Координатууд нь 2≤x≤5 ба 1≤y≤3 тэгш бус байдлын системийг хангасан цэгүүдийн олонлог ямар дүрс үүсэх вэ?

8) A(2,-3), B(5.0), C (0.7) цэгүүдэд тэгш хэмтэй цэгүүдийг байгуулна: a) Ox тэнхлэг; б) Ой тэнхлэг; в) I ба III координатын өнцгийн биссектриса. Эдгээр координатуудыг бич.

9) А (1,2), В (-7,2) цэгүүдийн координатын тэнхлэгүүдийн аль нь тэгш хэмтэй болохыг тогтоо.

10) A(5,...), B(...,2) цэгүүд нь Үхрийн тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна. Алга болсон координатуудыг бичнэ үү.

11) A(1.5), B(-2.3), C(3.0) цэгүүдийн зургийг a)O(0.0)→K(3.0) зэрэгцүүлэн шилжүүлэх; 6)0(0,0)→M(2,3). Тэдний координатыг бич.

12) Та ямар зэрэгцээ орчуулгыг ашиглан M (-3,4) цэгийг М 1 (2,4) цэг рүү буулгаж чадах вэ?

13) Шулуун дээр Үхрийн тэнхлэгт тэгш хэмтэй y=-3x+1 ба y=2x+3 цэгүүдийг ол.

14) (3,4) координаттай вектороор y=4x-3 шулуун зурсан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

15) y=3x+2 ба y=-5x+5 шулуунууд дээр бие биенээсээ 5 см зайтай, Үхрийн тэнхлэгтэй параллель шулуунд хамаарах цэгүүдийг ол.

2.3 Аргаар шийдэгдсэн асуудлын төрлүүд координатууд

Координатын аргыг ашиглан хоёр төрлийн асуудлыг шийдвэрлэх боломжтой.

1. Координатыг ашигласнаар та тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг геометрийн аргаар тайлбарлаж, геометрийг алгебр болон анализд ашиглаж болно. Функцийн график дүрслэл нь координатын аргын ийм хэрэглээний анхны жишээ юм.

2. Тэгшитгэл бүхий дүрсийг тодорхойлж, геометрийн хамаарлыг координатаар илэрхийлснээр бид алгебрийг геометрт ашигладаг. Жишээлбэл, та үндсэн геометрийн хэмжигдэхүүнийг координатаар илэрхийлж болно - цэгүүдийн хоорондох зай.

Геометрийн судалгаанд координатын аргын үүрэг нэмэгдэж байгаатай холбогдуулан түүний үүсэх асуудал онцгой хамааралтай болж байна. Координатын аргаар шийддэг планиметрийн асуудлуудаас хамгийн түгээмэл нь дараах 2 төрлийн бодлого юм: 1) дүрсийн элементүүдийн хоорондын хамаарлыг, ялангуяа эдгээр элементүүдийн уртуудын хоорондын хамаарлыг үндэслэл болгох; 2) тодорхой шинж чанарыг хангасан цэгүүдийн багцыг олох.

Эхний төрлийн асуудлын жишээ нь дараах байдалтай байна.

“ABC, AB=c, AC=b, BC=a гурвалжинд BD нь медиан байна.

Үүнийг нотол »

Даалгавар: "Өгөгдсөн хоёр цэгээс квадрат зайны зөрүү тогтмол байх цэг бүрийн багцыг ол" гэсэн даалгавар нь хоёр дахь төрлийн бодлогын жишээ юм.

Эдгээр асуудлыг шийдэх арга замыг дээр дурдсан болно.

Координатын аргын сул талууд, тухайлбал цээжлэх шаардлагатай олон тооны нэмэлт томъёо, сурагчдын бүтээлч чадварыг хөгжүүлэх урьдчилсан нөхцөл байхгүй ч үүнийг ашиглахгүйгээр зарим төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хэцүү байдаг. арга. Тиймээс координатын аргыг судлах нь зайлшгүй шаардлагатай боловч сонгон суралцах хичээл дээр энэ аргатай илүү дэлгэрэнгүй танилцахыг зөвлөж байна. Доор бид сонгон суралцах хэд хэдэн даалгаврыг танилцуулж байна.

Жишээ 1. Тойргийн голч дээр авсан цэгээс түүнтэй параллель хөвчний аль нэгний төгсгөл хүртэлх зайн квадратуудын нийлбэр тогтмол болохыг батал.

Тойргийн төвд гарал үүсэлтэй тэгш өнцөгт координатын системийг танилцуулъя. MR хөвч нь Ox тэнхлэгтэй параллель байх ба А цэг нь диаметрт хамаарна (Зураг 11). OA зайг a, P цэгээс Ox тэнхлэг хүртэлх зайг b гэж тэмдэглэе. Тэгвэл А цэг нь координаттай (a, 0) байна. P ба M цэгүүд нь эхэн дээрээ төвтэй, 1 радиустай тойрогт хамаарах тул тэдгээрийн координатууд нь энэ тойргийн тэгшитгэлийг хангаж байна. Энэ тэгшитгэлийг ашиглан бид P() ба M() цэгүүдийн координатыг олно. AM 2 + AP 2 нь b хувьсагчаас хамаарахгүй гэдгийг батлах шаардлагатай. Хоёр цэгийн хоорондох зайг координатаар нь олох томьёог ашиглан AM 2 ба AP 2-ыг олъё: . Тэд тус тусад нь тэнцүү байна Тэгээд , мөн ижил төстэй зүйлсийг авчирсны дараа тэдгээрийн нийлбэр нь 2a 2 +2-тэй тэнцүү байна. Энэ тоо нь b хувьсагчаас хамаарахгүй бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай.

Жишээ 2. Дөрвөн өнцөгтийн талуудын уртын квадратуудын нийлбэр нь диагональуудын дунд цэгүүдийн хоорондох зайны дөрвөлжин квадрат дээр нэмсэн диагональуудын уртын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү болохыг батал. (Эйлерийн теорем)

Шийдэл: Зураг 12-т үзүүлсэн шиг тэгш өнцөгт координатын системийг танилцуулъя.

A, B, C, D цэгүүдийг тус тус координат (0,0), (d,0), (c,d) ба (0,d) гэж үзье. Тиймээс L ба P цэгүүдийн координатууд нь () ба () юм. Цэгүүдийн хоорондох зайг координатаар нь олох томьёог ашиглан хэрчмүүдийн уртын квадратыг олъё.

МЭ 2 =; BC 2 = ; DC 2 =; AB 2 =;

А.С. 2 =; Б.Д 2 =; LP 2 =.

Олсон утгуудаа ашиглан нотлох шаардлагатай илэрхийллийг бичье.

AD 2 +BC 2 +DC 2 +AB 2 =AC 2 +BD 2 +4LP 2

+++=++4

Хаалтуудыг нээж, ижил төстэйг нь өгөөд 0=0 гэсэн зөв тэгшитгэлийг авъя. Энэ нь дөрвөн өнцөгтийн талуудын уртын квадратуудын нийлбэр нь диагональуудын дунд цэгүүдийн хоорондох зайны дөрөв дахин квадрат дээр нэмсэн диагональуудын уртын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү гэсэн үг юм.

Жишээ 3. Тойргийн AB ба CD диаметрүүд перпендикуляр байна. EA хөвч CD диаметрийг K цэгт, EC хөвч нь AB диаметрийг L цэг дээр огтолно.Хэрэв CK:KD нь 2:1-тэй ижил бол AL:LB нь 3:1-тэй ижил болохыг батал.

Шийдэл: Өгөгдсөн AB ба CD диаметрийн дагуу тэнхлэгүүдийг чиглүүлэх тэгш өнцөгт координатын системийг нэвтрүүлье (Зураг 13).

Бид тойргийн радиусыг 1-тэй тэнцүү гэж үзнэ. Дараа нь A, B, C, D цэгүүд координаттай болно. (-1,0 ), (1,0 ), (0,-1 ), (0,1 ) тус тус. CK:KD=2:1 тул К цэг координаттай байна ( 0 ,). Тэгшитгэлтэй АК шулуун шугам ба тэгшитгэлээр өгөгдсөн тойргийн огтлолцсон цэг болох Е цэгийн координатыг олъё. Бид E цэгийн координат () байгааг олж мэднэ. L цэг нь CE шулуун ба абсцисса тэнхлэгийн огтлолцох цэг бөгөөд L цэгийн ординат 0-тэй тэнцүү байна.

L цэгийн абсциссыг олъё. CE шулуун шугам нь тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Энэ нь Үхрийн тэнхлэгийг цэг дээр огтолж байна (, 0 ). Эндээс L(,) цэгийн координатууд гарч ирнэ. 0 ). AL:LB харьцааг олъё. Энэ нь 3-тай тэнцүү бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай.

1. Гурвалжны хоёр медиан тэнцүү бол гурвалжин нь ижил өнцөгт гэдгийг батал.

2. Тэдний тус бүрээс өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны харьцаа нь a-тай тэнцүү байх P цэгүүдийн багцыг ол.

3. Төв нь C (a,c) цэгт r радиустай тойргийн тэгшитгэл дараах хэлбэртэй болохыг батал. (х-а) 2 + (у-в) 2 = r 2

4. Шугамын хоорондох өнцгийг ол Zx-4u+6=0Тэгээд 12х+5у+8=0

5. А цэгээс (-3,4) шулуун шугам хүртэлх зайг тодорхойл y=x+2.

6. Орой нь дараах координаттай гурвалжны талбайг тооцоол: A (0,-2), B (6,2) ба C (2,4).

7. c шулуун дээр B цэгийг А ба С цэгүүдийн хооронд байхаар A, B, C гурван цэгийг өгөв. AMB ба VRS тэгш талт гурвалжнуудыг a хилтэй хагас хавтгайд байгуулав. RA хэрчмийн дунд цэг, MC сегментийн дунд цэг ба В цэг нь тэгш талт гурвалжны оройнууд гэдгийг батал.

8. В орой ба ABC гурвалжны хооронд орших дурын P цэгийн хувьд дараах тэгш байдал биелнэ гэдгийг батал.

AB 2 *RS+AS*VR-AR 2 *BC=BC*VR*RS.

9. Тэгш өнцөгт өгөгдсөн. Энэ тэгш өнцөгтийн хавтгайд хамаарах дурын цэгээс түүний орой хүртэлх зайны квадратын нийлбэр нь энэ цэгээс тэгш өнцөгтийн талууд хүртэлх зайны квадратын нийлбэрээс хоёр дахин их болохыг батал.

10. Тодорхой M цэгээр тойргийг А ба В цэгүүдээр огтлолцсон шулуун шугам татвал MA*MB үржвэр нь тогтмол бөгөөд шугамын байрлалаас хамаарахгүй болохыг батал.

11. ABCD тэгш өнцөгт өгөгдсөн. MA 2 +MC 2 =MB 2 +MD 2 байх M цэгүүдийн багцыг ол. (хариулт: онооны багц өшөө авах онгоц)

12. ABCD тэгш өнцөгт өгөгдсөн. MA+MC=MB+MD байх M цэгүүдийн багцыг ол. (Хариулт: хэд хэдэн шулуун шугам)

13. ABC тэгш өнцөгт гурвалжин өгөгдсөн (ÐC=90°). 2PC 2 = RA 2 + PB 2 байх P цэгүүдийн багцыг ол. (хариулт: P цэгүүдийн багц нь AB гипотенузын M дунд цэг ба CM медиан перпендикулярыг агуулсан шулуун шугам юм).

2. 4 Багшлах дадлага туршлагатай

51-р дунд сургуулийн 9-р ангид туршилтын сургалт явуулсан. Үүнийг явуулахын өмнө математик, арга зүйн ном зохиолыг судалж, сонгох хичээлийг явуулах арга зүйг боловсруулсан. 2 хичээл явагдсан. Энэ ангид геометрийг сурах бичиг ашиглан судалдаг тул онол практикийн үндсэн эх сурвалжаар энэхүү сургалтын багцыг сонгосон.

I. Хичээлүүдийг "Координат дахь хамгийн энгийн бодлого" сэдвээр явуулсан бөгөөд оюутнууд "Вектор" сэдвийг судалж, "вектор координат" гэсэн ойлголттой танилцаж, мөн "координат"-ын дунд цэгийн томъёог сурч мэдсэн. сегмент.

1 хичээл: "Координатын хамгийн энгийн бодлого"

Хичээлийн боловсролын зорилго нь векторын уртыг координатаас нь болон эхлэл ба төгсгөлийн координатаас нь тооцоолох асуудлыг авч үзэх явдал юм; бусад асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглаж байгааг харуулах.

Хичээлийн эхэнд сүүлийн хичээлээр хэлэлцсэн материалыг хэрхэн эзэмшсэн эсэхийг шалгах, мөн шинэ материалыг тайлбарлахад ашиглагдах ухагдахуун, баримтуудыг давтан сурталчлах зорилгоор аман тооцоолол хийсэн.

Амаар тоолох:

1. A(-2, 3) ба B(2, -4) цэгүүдийн координат. ба векторуудын координатыг ол.

2. M(5,-8) ба P(-3, 4) цэгүүдийн координат. O цэгийн координатыг ол (O нь MR сегментийн дунд хэсэг).

3. CP – тойргийн диагональ; C(-2, -1), P(5, 7). Тойргийн төвийн координатыг ол - E цэг.

4. ABCD – тэгш өнцөгт, AD=7, AB=5. АС-ийг ол.

Шинэ материал:

1) Векторын уртыг координатаас нь тооцоолох.

Томъёоны гарал үүслийг Пифагорын теорем ба координатын тэнхлэг дээрх хоёр цэгийн хоорондох зайг (цэг; x тэнхлэгийн хувьд) томъёоны дагуу олоход үндэслэсэн болно. (цэгүүдийн хувьд; у тэнхлэг). Векторын урт нь тэнцүү болохыг харуулъя . Энэ томъёо нь зөвхөн тухайн тохиолдолд нотлогддог X≠0 ба цагт≠0 бол бусад тохиолдлын найдвартай байдлыг оюутнууд өөрсдөө шалгах үүрэгтэй. Үүнийг батлахын тулд бид координатын хавтгайг тогтоож, координатын гарал үүслийн эх үүсвэртэй векторыг авч үзье (теоремын дагуу: аль ч цэгээс та өгөгдсөнтэй тэнцүү, үүнээс гадна цорын ганц векторыг зурж болно). Векторын эхлэл ба төгсгөлийн координатаас координатыг олох томьёог ашиглан бид А цэгийн координатыг олж болно.Дараа нь Пифагорын теоремыг ашиглан ОА= хэрчмийн уртыг олно. тиймээс тэдний шархны урт, i.e. .

2) Хоёр цэгийн хоорондох зай.

Энэ томъёог олох нь өмнөхийг ашиглахад үндэслэсэн болно. M 1 цэгүүд байх болтугай ( x 1,y 1) ба M 2 ( x 2,y 2), та эдгээр цэгүүдийн хоорондох зайг олох хэрэгтэй. M 1 M 2 векторыг авч үзье. Түүний координатууд нь . Векторын уртыг координатаас нь олно: , M 1 ба M 2 хоорондын зай нь векторын урт юм. Энэ томьёог гаргасны дараа та томьёог бичиж, тэдгээр нь тэнцүү болохыг харуулж болно.

Нэгтгэх: нэгтгэхийн тулд эдгээр томьёог хэрэглэх хэд хэдэн даалгаврыг ашигладаг.

1. Векторуудын уртыг ол: a) ; б)

2. АВС гурвалжны орой нь A(0,1), B(1, -4), C(5,2) координаттай AM медианыг ол.

3. OASV параллелограммын А орой нь эерэг хагас тэнхлэг Ox дээр байрладаг, В орой нь координаттай (b, c), OA = a. a) С оройн координатыг ол; б) хажуугийн АС ба диагональ CO. .

Гэрийн даалгавар No939,941

Хичээл 2:"Координатын хамгийн энгийн асуудлууд." (хичээл - нэгтгэх)

Хичээлийн ерөнхий боловсролын зорилго: "Хамгийн энгийн асуудлууд" нь илүү төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглагдаж байгааг харуулах, сүүлийн хичээлээр олж авсан мэдлэгээ хэрхэн шингээж авахыг шалгах.

Хичээлийн эхэнд өмнөх хичээлд хамрагдсан материалыг өөртөө шингээж авсан эсэхийг шалгахын тулд аман тооллого явуулсан.

Амаар тоолох: координатыг бичнэ үү

● Сегментийн дунд цэг ● Вектор координат

Вектор урт

· M ба N цэгүүдийн хоорондох зай.

Асуудал шийдэх.

1. A(0,1), B(1,-4), C(5,2) бол ABC гурвалжин ижил өнцөгт гэдгийг баталж, талбайг ол.

2. MNPQ дөрвөлжин параллелограмм гэдгийг баталж N(6,1), P(7,4), Q(2,4), M(1,1) бол диагональуудыг ол.

Бие даасан ажил.

Гэрийн даалгавар No945, 948(a)

II. Сонголттой.

Сонгон шалгаруулалтын хувьд хэд хэдэн илүү төвөгтэй стандарт бус асуудлыг санал болгож байгаа бөгөөд тэдгээрийн шийдэл нь координатын аргыг ашигладаг.

Асуудал 1. А, Б хоёр аж ахуйн нэгж нэг бүтээгдэхүүнд ижил үнэ m бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг. Гэсэн хэдий ч А аж ахуйн нэгжид үйлчилдэг флот нь илүү орчин үеийн, илүү хүчирхэг ачааны машинуудаар тоноглогдсон байдаг. Үүний үр дүнд А аж ахуйн нэгжийн хувьд нэг бүтээгдэхүүнийг тээвэрлэх тээврийн зардал 10 рубль болж байна. 1 км тутамд, В аж ахуйн нэгжийн хувьд 20 рубль. 1 км. Аж ахуйн нэгж хоорондын зай 300 км. Бүтээгдэхүүн худалдан авахдаа хэрэглэгчийн зардлыг багасгахын тулд борлуулалтын зах зээлийг хоёр аж ахуйн нэгжийн хооронд газарзүйн хувьд хэр байрлуулах ёстой вэ?

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид координатын аргыг ашиглана. Бид координатын системийг сонгож, ингэснээр Ox тэнхлэг нь A ба B цэгүүдээр, Oy тэнхлэгүүд нь А цэгээр дамждаг. P нь дурын цэг, s 1 ба s 2 цэгээс А ба В аж ахуйн нэгж хүртэлх зайг (Зураг 1) гэж үзье. 17). Дараа нь A(0, 0), B(300, 0), P(x, y).

А цэгээс ачаа хүргэх үед зардал нь тэнцүү байна м +10 с 1 . В цэгээс ачаа хүргэх үед зардал нь тэнцүү байна м +20 с 2 . Хэрэв P цэг нь А аж ахуйн нэгжээс ачаа хүргэх нь илүү ашигтай бол м +10 с 1 < м +20 с 2 , хаана с 1 <2 с 2 , эс бөгөөс бид авна с 1 >2 с 2 .

Тиймээс А ба В цэгээс ачаа тээвэрлэх зардал тэнцүү байх цэг бүрийн талбайн хил нь тэгшитгэлийг хангасан хавтгай дээрх цэгүүдийн багц болно.

с 1 =2 с 2 (1)

s 1 ба 2s 2-ыг координатаар илэрхийлье.

, .

(1)-г санаж бид .

Энэ бол тойргийн тэгшитгэл юм. Иймээс тойргийн дотоод бүсэд багтаж буй бүх цэгүүдийн хувьд ачааг В цэгээс, тойргийн гадна хэсэгт унасан бүх цэгүүдэд А цэгээс ачаа авчрах нь илүү ашигтай байдаг.

Бодлого 2. Хавтгай дээр А ба В цэгүүд өгөгдсөн; А цэгээс В цэгээс хоёр дахин хол M цэгүүдийн байршлыг ол.

Хавтгай дээрх координатын системийг сонгоцгооё, ингэснээр координатын эх нь А цэгт бууж, абсциссагийн эерэг хагас тэнхлэг АВ-ын дагуу явна. АВ сегментийг масштабын нэгж болгон авч үзье. А цэг (0,0) координаттай, В цэг (1,0) координаттай байна. М цэгийн координатыг (x,y) гэж тэмдэглэнэ. Нөхцөлийг координатаар дараах байдлаар бичнэ.

Бид хүссэн цэгүүдийн тэгшитгэлийг олж авлаа. Энэ тэгшитгэлээр ямар олонлог дүрслэгдсэнийг ойлгохын тулд бид үүнийг бидний мэддэг хэлбэрт оруулахаар хувиргадаг. Хоёр нэр томъёог квадрат болгож, хаалт нээж, ижил төстэй нэр томъёог оруулснаар бид тэгш байдлыг олж авна. Zx 2 -8x+4+Zu 2 =0.

Энэ тэгш байдлыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

эсвэл үүнтэй адил: . Энэ бол төв нь (,0) цэгт, радиус нь -тэй тэнцүү тойргийн тэгшитгэл юм. Энэ нь бидний цэгийн байрлал нь тойрог гэсэн үг юм.

Бодлого 3. ABC гурвалжин өгөгдсөн; Энэ гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төвийг ол.

А цэгийг координатын эхлэл болгон авч, абсцисса тэнхлэгийг А-аас B руу чиглүүлье. Тэгвэл В цэг нь координаттай (c,0) байх бөгөөд энд c нь AB хэрчмийн урт юм. С цэгийг координатууд (q,h), хүссэн тойргийн төв нь - (a,b) байна. Энэ тойргийн радиусыг R гэж тэмдэглэе. Бид A(0,0), B(c,0) ба C(q,h) цэгүүдийн хүссэн тойрогт хамаарахыг координатаар бичнэ.

a 2 +b 2 =R 2 ,

(c-a) 2 +b 2 =R 2,

(q-a) 2 +(h-b) 2 =R 2 .

Эдгээр нөхцөл бүр нь тойргийн төвөөс (a,b) A(0,0), B(c,0), C(q,h) цэгүүдийн зай нь радиустай тэнцүү болохыг илэрхийлдэг. Эдгээр нөхцөлийг хүссэн тойргийн тэгшитгэлийг (төв (a, b) ба R радиустай тойрог), өөрөөр хэлбэл (x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2, дараа нь энэ тэгшитгэлд бичих замаар хялбархан олж авч болно. Энэ тойрог дээр байрлах A, B, C цэгүүдийн координатыг x ба y-ийн хооронд орлуулна. Гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийг амархан шийдэж, бид дараахь зүйлийг олж авна.

, ,

.

Төвийн координат ба радиусыг олж мэдсэн тул асуудал шийдэгдсэн. Түүнээс гадна, асуудлыг шийдэхдээ бид зураг зурах ажилд ороогүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Гэрийн даалгавар :

1. Гөлгөр шалан дээр хана тулан зогссон шат доошоо гулсдаг. Шатны голд сууж буй зулзага аль шугамыг дагадаг вэ?

2. Дөрвөлжин дотор тойрог бичээстэй байна. Тойргийн аль ч цэгээс квадратын талууд хүртэлх зайны квадратын нийлбэр тогтмол болохыг батал.

Хийсэн хичээлүүдийн товч дүн шинжилгээ: Оюутнууд хичээлд, ялангуяа эхний хичээлд томьёо гаргахдаа идэвхтэй оролцсон, учир нь материал нь төвөгтэй биш бөгөөд саяхан судлагдсан баримт, ойлголтыг аман тооцоололд ашигласан болно. Мөн 1-р хичээл дээр бид нэгтгэхээр төлөвлөсөн бүх даалгавруудыг шийдэж чадсан; 3-р даалгавар нь оюутнууд удаан хугацаанд зураг зурж чадахгүй, урт, координатыг олох томъёонд андуурч, ихээхэн хүндрэл учруулсан. вектор. Дараагийн хичээл дээр хийсэн бие даасан ажил нь бараг бүх сурагчид материалыг эзэмшсэн болохыг харуулсан (энэ ангийн 26 сурагчаас 2 хүн энэ ажлыг даван туулж чадаагүй). 2 цэгийн хоорондох зайг олох томьёог ашиглах үед 2-р даалгаварт хамгийн олон алдаа гарсан. Тиймээс "Координат дахь хамгийн энгийн бодлого" сэдвийг энэ ангийн ихэнх оюутнууд амжилттай эзэмшсэн гэж бид үзэж болно.

Дүгнэлт

Ашиглахад хялбар, координатын арга нь янз бүрийн түвшний асуудлыг шийдвэрлэхэд зайлшгүй шаардлагатай бүрэлдэхүүн хэсэг юм. Энэхүү аргыг ашиглах нь оюутнуудад асуудлыг шийдвэрлэх үйл явцыг ихээхэн хялбаршуулж, богиносгох боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь сургуулийн математикийн курс болон дээд боловсролын сургуульд математикийн чиглэлээр суралцахад нь тусалдаг.

Энэхүү диссертацид:

o "Координатын арга" сэдвээр одоо байгаа хэд хэдэн сургуулийн сурах бичигт дүн шинжилгээ хийсэн;

o координатын аргыг өөрөө, координатын аргыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх төрөл, үе шатыг тодорхойлсон;

o Энэ аргыг эзэмшихэд шаардлагатай үндсэн ур чадваруудыг тодруулж, тэдгээрийг бүрдүүлэх хэд хэдэн даалгаврыг өгсөн болно.

Туршилтын сургалтыг мөн явуулсан бөгөөд энэ нь сургуулийн геометрийн курст координатын аргыг судлах шаардлагатай гэсэн таамаглалыг баталжээ. 5-6-р ангид анхан шатны ур чадвар, чадварыг төлөвшүүлэх чиглэлээр сурталчлах ажил хийвэл илүү үр дүнтэй байх болно; Планиметрийн системчилсэн курст оюутнууд энэ аргын бүтэц, сайн бодож боловсруулсан системтэй танилцах болно. даалгавруудыг аргын бие даасан бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг бүрдүүлэхэд ашигладаг.

Ном зүй

1. Автономова, T. V. Сургуулийн геометрийн хичээлийн үндсэн ойлголт, арга зүй: Багш нарт зориулсан ном [Текст] / B. I. Argunov - M. Prosveshchenie, 1988. - 127 секунд.

2. Атанасян, L. S. Ерөнхий боловсролын сургуулийн 7-9-р ангийн геометр [Текст] / V. F. Butuzov, S. D. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina - M. Education, 1992. - 335s.

3. Виленкин, Н.Я. Математик: Сурах бичиг. 5-р ангийн хувьд. дундаж сургууль [Текст]/ А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд.- М.Боловсрол, 1989. - 304 секунд.

4. Виленкин, Н.Я.Математик: Сурах бичиг. 6-р ангийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд [Текст] / В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. – M. Mnemosyne, 2001 он - 304 секунд.

5. Гельфанд, I. M. Координатын арга [Текст] - М.Наука, 1973. -87 он.

6. Дорофеев, Г.В.Математик: Сурах бичиг. 5-р ангийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд [Текст] / I. F. Sharygin, S. B. Suvorova - M. Education, 2000. - 368с.

7. Дорофеев, Г.В.Математик: Сурах бичиг. 6-р ангийн хувьд. Ерөнхий боловсрол сурах бичиг байгууллагууд [Текст] / I. F. Sharygin, S. B. Suvorova - M. Bustard, 1998. - 416с.

8. III – IV ангиудад координат судлах. / L. G. Peterson // Сургуулийн математик - 1983 - № 4

9. 7-9-р ангийн геометрийн бие даасан картууд. / T. M. Мищенко // Сургуулийн математик - 2001 он. - Үгүй 8

10. 7-р ангийн ажлын үр дүн. Шарыгины сурах бичгийн дагуу I.F. 7-9 / O.V. Бощенко // Сургуулийн математик - 2002. №5

11. Координатын хавтгай дээрх шилжилтийн судалгаанд / Г.Б. Лудина // Сургуулийн математик - 1983 - №2

12. Геометрийн хичээлийг 1-7-р ангид зааж эхэлснээр. // Сургуулийн математик 1983 он - Үгүй 6

13. Лускина M. G. Сургуулийн математикийн нэмэлт ангиуд: Арга зүйн зөвлөмж [Текст] / V. I. Зубарева - Киров VSPU, 1995.

14. Лященко, E. I. Математик заах аргын лаборатори, практик ажил: Сурах бичиг. физик, математикийн оюутнуудад зориулсан гарын авлага. мэргэжилтэн. ped. Институт [Текст] / К.В.Зобкова, Т.Ф.Кириченко - М.Боловсрол, 1988. - 233 секунд.

15. Координатын арга / А.Савин // Квант -1977. - Үгүй 9

16. Мишин, В.И.Ерөнхий боловсролын сургуульд математик заах арга зүй: Хувийн арга зүй: Багш сурагчдад зориулсан сурах бичиг. Физик-математикийн хүрээлэн мэргэжилтэн. [Текст] / A. Ya. Blokh, V. A. Gusev, G. V. Dorofeev - M. Education 1987 - 416с.

17. Никольская, I. L. Математикийн нэмэлт хичээл: Сурах бичиг. 7-9-р ангийн тэтгэмж. Лхагва сургууль [Текст] - М.Боловсрол, 1991. - 383с.

18. Компьютерийн шинэ технологи. Координатын хавтгай // Математик - Хийн хэрэглээ. "9-р сарын нэг" - 2004 он № 29

19. 21-р зууны сургуульд геометр хэрэгтэй юу /I. Шарыгин // Математик - Хийн хэрэглээ. "9-р сарын 1" - 2004 он №12

20. 7-9-р ангийн геометрийн тусгай сурах бичгийн тухай. / Л.С. Атанасян // Сургуулийн математик - 1989 он. - №1

21. Нэг сурах бичгийн хэлэлцүүлэг / I.E. Феоктистов // Сургуулийн математик -2001. №5

22. Погорелов, A.V. Ерөнхий боловсролын сургуулийн 7-11-р ангийн геометр - М: Боловсрол, 1990. - 384с.

23. Понтрягин, L. S. Дээд математикийн танилцуулга. Координатын арга [Текст] - М.Наука, 1987. - 128 секунд.

24. Ерөнхий боловсролын сургуулийн математикийн хөтөлбөр - М.Боловсрол, 1998. -205с.

25. Саранцев, Г.И. Математик заах дасгалууд [Текст] - М.Просвещение, 1995. - 240 он.

26. Sikorsky, K. P. Математикийн хичээлийн нэмэлт бүлгүүд. 7-8-р ангийн сурагчдад зориулсан нэмэлт хичээлийн сурах бичиг [Текст] - M. Prosveshchenie, 1974 - 315 х.

27. "Координатын хавтгай" сэдэвт дасгалууд / О.А. Леонова // Сургуулийн математик - 2001. - Үгүй 10

28. Шарыгин, I. F. Геометрийн 7-9-р анги: Ерөнхий боловсролын сурах бичиг. сурах бичиг байгууллагууд [Текст] - M. Bustard, 2000. -368 он.

Зураг, дизайн, слайдтай танилцуулгыг үзэхийн тулд, файлыг татаж аваад PowerPoint дээр нээнэ үүтаны компьютер дээр.
Текст слайдын танилцуулга: Зохиогчийн нэрэмжит физик-математикийн 61-р сургууль-лицейийн сургалтын цогцолбор.“Математик, газарзүйн хичээлийн координатын арга” ТӨСӨЛ Гүйцэтгэсэн: АФМСГ-ын Эрүүгийн хуулийн 61-р ангийн Б, 7-р ангийн сурагч Евлашков Даниил Литау Роман Хегай Владимир Удирдагч: Горборукова Н.В.г. Бишкек - ​​2012 Дэлхийн гадарга дээрх биет юмуу онгоцны аль нэг цэгийн байршлыг тодорхойлох нь тэдгээрийн хаягийг тодорхойлох явдал юм. Газарзүйн "хаяг" нь газарзүйн өргөрөг юм; газарзүйн уртраг; үнэмлэхүй өндөр.Математикийн “хаяг” – абсцисса, координатын хавтгай дээрх цэгийн ординат Төслийн зорилго: Газарзүй, математикийн хичээлээр объектын “хаяг”-ыг тодорхойлох аргуудыг судалж, харьцуулах. Төслийн зорилго: Дараах асуултуудад хариулна уу: “Координат” гэсэн ойлголтыг анх хэн, хэзээ, ямар зорилгоор нэвтрүүлсэн бэ?“Газарзүйн солбицол” болон “координатын арга” гэсэн ойлголтуудын хооронд удамшлын холбоо бий юу? Эсвэл эдгээр ижил утгатай үгс үү?Координатын арга нь ямар шинжлэх ухааны хөгжилд нөлөөлсөн бэ?Тэгш өнцөгтөөс гадна өөр ямар төрлийн координатын системүүд байдаг бөгөөд одоогийн байдлаар хүн төрөлхтөн практик үйл ажиллагаанд ашиглаж байна вэ? Түүхэн сурвалж.МЭӨ II-III зуунд. д. Эратосфенийн газрын зураг дээр меридиан ба параллелууд анх гарч ирэв. Гэсэн хэдий ч тэд координатын сүлжээг хараахан төлөөлж чадаагүй байна. 2-р зуунд Эратосфенийн газрын зураг. МЭӨ д. Гиппарх анх удаа тойргийг 360 хэсэгт хувааж, бөмбөрцөгийг меридиан, параллель бүхий газрын зураг дээр бүслэхийг санал болгов. Тэрээр экваторын тухай ойлголтыг танилцуулж, параллель зурж, туйлуудыг дамжих меридиануудыг зурсан. Ийнхүү зураг зүйн сүлжээ бий болж, газарзүйн объектуудыг газрын зураг дээр буулгах боломжтой болсон. Гиппарх Клавдий Птолемейгийн газрын зураг (МЭӨ 190 - 168) эртний агуу одон орон судлаач, газарзүйчдийн галактикийг дуусгасан. Тэрээр "Газарзүйн гарын авлага" хэмээх 8 номондоо 8000 гаруй газарзүйн объектыг газарзүйн координатыг нь зааж өгсөн: өргөрөг, уртраг. 1. Газарзүй: “гео” - Дэлхий, “графо” - бичиг.2. Геометр: "гео" - газар, "метр" - хэмжих. Таны харж байгаагаар эдгээр хоёр шинжлэх ухаан нь хоорондоо нягт холбоотой байсан бөгөөд тэдгээр нь тухайн үеийн хүмүүсийн практик үйл ажиллагаанаас үүдэлтэй байв. Газарзүйн өргөрөг уртрагыг яагаад градусаар хэмждэг вэ?Газарзүйн өргөрөг гэдэг нь экватороос өгөгдсөн цэг хүртэлх голчидийн нумын хэмжээг хэлнэ. Геометрийн хичээлээс нумыг шугаман хэмжигдэхүүнээр болон өнцгийн хэмжигдэхүүнээр хэмждэг нь мэдэгдэж байна: градус ба радиан.Газарзүйн уртраг гэдэг нь үндсэн меридианаас өгөгдсөн цэг хүртэлх зэрэгцээ нумын хэмжээ юм. Эндээс харахад газарзүйн координат нь математикийн ойлголт юм. Математикийн нэг салбар болох алгебр үүссэн нь 9-р зуунд Узбекийн математикч, одон орон судлаач Мухаммед аль-Хорезми “Китаб аль-жабр валь-мукабала” хэмээх түүвэр зохиолоо бичиж, 1-р зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий дүрмийг өгсөн. "Аль-жабр" ("сэргээх") гэдэг үг нь тэгшитгэлийн сөрөг нөхцлүүдийг тэмдгийн өөрчлөлттэй нэг хэсгээс нөгөөд шилжүүлэх гэсэн утгатай. Түүнээс шинэ шинжлэх ухаан алгебр хэмээх нэрийг авсан. Удаан хугацааны туршид алгебр, геометр хоёр зэрэгцэн хөгжиж, математикийн хоёр салбарыг төлөөлсөн. XIV зуунд. Францын математикч Николас Оресме газарзүйн координаттай зүйрлэн хавтгай дээрх координатуудыг нэвтрүүлэхийг санал болгов. Тэр онгоцыг тэгш өнцөгт тороор бүрхэж, одоо бидний нэрлэж буй өргөрөг, уртрагыг абсцисса ба ординат гэж нэрлэхийг санал болгов. Энэ нь координатын арга, холбогдох алгебр, геометрийг бий болгох эхлэлийг тавьсан юм. Координатын аргаАлгебр Хавтгай цэгийг хос тоогоор тодорхойлно M (x; y) - алгебрийн объект Шулуун шугамыг тэгшитгэлээр тодорхойлно y = ax + bГеометр Хавтгай цэг нь геометрийн биет юм Рене Декарт (1596-1650) - Францын математикч, философич, физикч, физиологич.Декарт бол аналитик геометр, орчин үеийн алгебрийн симболизмыг бүтээгчдийн нэг бөгөөд тэгшитгэл ашиглан муруйг тодорхойлох арга нь функцийн тухай ойлголт руу чиглэсэн шийдвэрлэх алхам болсон юм.Математикийн хувьд тэрээр аналитик геометрийн үндэс болсон координатын аргыг бий болгоход ихээхэн үүрэг гүйцэтгэсэн. 1. Өнөөдрийн бидний нэрлэж буй декарт координатын систем Декарт хараахан байгаагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Декарт луужин болон захирагчаар барьж байгуулах бодлогуудыг алгебрийн хэл рүү хөрвүүлэн эхэлсэн.2. Өнөө үед хэрэглэж байгаа тохиромжтой тэмдэглэгээ: x, y, z - үл мэдэгдэх, a, b, c - коэффициент, түүнчлэн эрх мэдлийн тэмдэглэгээг нэвтрүүлсэн нь Декартын ихээхэн гавьяа байв.3. Одоогийн байдлаар декартын координатууд нь бүх чиглэлд ижил масштабтай ортогональ тэнхлэгүүд тул O нь эхлэл юм. Математик болон газарзүйн хичээлийн координатын системийг харьцуулж үзье.1. Дэлхийн гадаргуу дээрх объектын байрлалыг тодорхойлохын тулд уртраг ба өргөрөг гэсэн 2 координат хэрэгтэй.2. Хавтгай дээрх цэгийн байрлалыг тодорхойлохын тулд абсцисс ба ордината гэсэн 2 координат хэрэгтэй.3. Параллель ба меридианууд харилцан перпендикуляр байна.4. OX болон OY тэнхлэгүүд харилцан перпендикуляр байна.5. Орон зайн цэгийг тодорхойлохын тулд 3-р координат шаардлагатай: үнэмлэхүй өндөр (газарзүйн хувьд); математикийн хичээлд хэрэглэх.6. Экватор ба гол меридиан нь дэлхийн гадаргууг 4 хэсэгт хуваадаг7. Координатын тэнхлэгүүд нь онгоцыг 4 хэсэгт, орон зайг 8 хэсэгт хуваадаг. Туйлт ба бөмбөрцөг координат Туйлын координатын системд t.O - туйл ба туяа - туйлын тэнхлэг орно. Хавтгай дээрх цэг бүр нь P(r; φ) хос тоотой тохирч, объект руу чиглэсэн чиглэл ба туйлын тэнхлэг ба объект хүртэлх зай хоорондын өнцөгт тохирно.Газарзүйн хувьд туйлын координатын аналог нь азимут юм. Объектийн байршлыг тодорхойлохын тулд та тухайн объект руу чиглэсэн чиглэл ба хойд зүг рүү чиглэсэн чиглэл, объект хүртэлх зай хоорондын өнцгийг мэдэх хэрэгтэй. Сансар огторгуй дахь цэгийн байрлалыг тодорхойлох шаардлагатай бол бөмбөрцөг координатын системийг ашигладаг.Энэ аргыг агаарын навигацид ашигладаг.Радар ашиглан 3 координатыг тодорхойлно: Агаарын хөлөг хүртэлх шулуун шугамын хамгийн богино зай; Онгоцыг тэнгэрийн хаяанаас дээш харах өнцөг, онгоц руу чиглэсэн чиглэл ба хойд зүг рүү чиглэсэн чиглэлийн хоорондох өнцөг. Тэгш өнцөгт - газарзүйн өргөрөг - газарзүйн уртраг - үнэмлэхүй өндөр2. Туйлт - азимут - объект хүртэлх зай - үнэмлэхүй өндөр Математик Алгебр Геометр Координатын арга1. Тэгш өнцөгт - абсцисса - ординат - хэрэглүүр2. Туйлт - эргэлтийн өнцөг - эх цэгээс цэг хүртэлх зай Эйлер – Венн диаграм (тэгш өнцөгт координатын системийн хувьд) Эйлер – Венн диаграм (туйлын координатын системийн хувьд). Дүгнэлт: 1. “Геометр”, “газар зүй” гэсэн үг нь эртний Грек гаралтай бөгөөд дэлхийн гадарга дээрх хүмүүсийн практик үйл ажиллагаатай холбоотой.2. Газарзүйн өргөрөг, уртраг нь төв өнцгөөр оршдог тойргийн нумуудыг төлөөлдөг, өөрөөр хэлбэл математик хэмжигдэхүүнүүд учраас градусаар хэмжигддэг.3. Математик, газарзүй хоёулаа тэгш өнцөгт ба туйлын координатыг хоёуланг нь ашигладаг.4. Тэгш өнцөгт координатын системд тэнхлэгүүд (экватор ба гол голчид, OX ба OY тэнхлэгүүд) харилцан перпендикуляр бөгөөд хавтгайг газарзүйн хувьд хойд, өмнөд, баруун, зүүн хагас бөмбөрцөг, I, II, III, IV квадратууд гэсэн 4 хэсэгт хуваадаг. 5. Хавтгай дээрх цэгийн байрлалыг газарзүйд өргөрөг, уртраг, математикт абсцисс, ординат гэсэн 2 координатаар тодорхойлно.6. Орон зай дахь объектын байрлалыг тодорхойлоход гурав дахь координат гарч ирнэ: газарзүйд үнэмлэхүй өндөр, математикт хэрэглэнэ 7. Туйлын координатыг тохируулахын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй: лавлах цэг, эргэлтийн өнцөг, туйл хүртэлх зай. өгсөн оноо. Тиймээс газарзүй, математикийн "координат" гэсэн ойлголтууд нь ижил утгатай үгс биш юм. Тэдний хооронд генетикийн нягт холбоо байдаг. Эртний Грекд тухайн үеийн практик асуудлуудыг шийдвэрлэхийн тулд үүссэн тул тэдгээр нь алгебр, геометрийг холбосон математикийн ойлголт болж хувирч, математикийн шинэ салбарыг бий болгосон. Координатын аргын ачаар алгебр, геометрийн аргуудыг ашиглан шийдвэрлэх боломжгүй асуудлуудыг шийдвэрлэх боломжтой болсон: муруй шугам, гадаргууг томъёо хэлбэрээр дүрслэх, алгебрийн илэрхийллийг графикаар шийдвэрлэх. Координатын аргыг хүний ​​​​үйл ажиллагааны янз бүрийн салбарт ашигладаг бөгөөд энэ нь бидний сонирхсон объектуудын "хаяг" -ыг тодорхойлох, тэдгээрийн хөдөлгөөний замыг тодорхойлоход тусалдаг. Уран зохиол: 1. "Газар зүй. Лавлах материал". Эд. Максаковский.-М., “Гэгээрэл”, 1989.2. Прочухаев В.Г. “Ахлах сургуулийн математикийн хичээлийн хэмжилт.” - М., “Просвещение”, 19653. Маслов А.В. “Геодези”.- М., Недра, 19724. Знаменский М.А. “Газар дээрх хэмжилтийн ажил.” - М., “Үчпэдгиз”, 1986.5. Залуу математикчийн нэвтэрхий толь бичиг. Comp. Л.П. Савин, - М., "Сурган хүмүүжүүлэх ухаан", 1985.6. https://www.10489.jpg7. https://www.dekart2d.gif8. https.//www.image100.jpg9. https.//www.edumedia-sciences.com10. https.//www.k08-latlon.gif АНХААРАЛ АВСАН ТАНД БАЯРЛАЛАА!

Координатын арга

Улсын нэгдсэн шалгалтын 1-р хэсгийн даалгавар (B 1 - B 14) болон C 1, C 2 даалгаврууд нь сургуулийн сургалтын хөтөлбөрийн үүднээс стандарт юм. Практикт чиглэсэн блокийн даалгавруудаас гадна сургуулийн математикийн хичээлийн үндсэн баримт, санааг ойлгох, тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, орон зайн дүрсийн элементүүдийг олох, функцийг судлах шаардлагатай даалгаварууд байдаг. , гэх мэт. C 2 даалгавруудыг шийдвэрлэхийн тулд танд геометрийн талаархи маш их хэмжээний мэдлэг, түүнчлэн орон зайн дүрсийг хавтгай дээр дүрслэх чадвар хэрэгтэй. Би C 2 асуудлыг шийдэх нэг төрлийн шийдэлд анхаарлаа хандуулах болно. Энэ бол координатын арга юм. Заримдаа энэ нь хавтгай хоорондын, шулуун шугамын хоорондох, шулуун ба хавтгайн хоорондох өнцгийг олоход маш тохиромжтой байдаг. Ийм асуудлыг шийдэхийн тулд хавтгай ба шугамын тэгшитгэл хэрэгтэй.

1. a) Хавтгайн тэгшитгэл

Хаана А (x 1 ; y 1 ; z 1), Б (x 2 ; y 2 ; z 2), C (x 3 ; y 3 ; z 3) - энэ хавтгайн цэгүүд.

b) Шугамын тэгшитгэл

Хаана М (x 1 ; y 1), Н (x 2 ; y 2) - энэ шугамын цэгүүд.

Хавтгайнуудын тэгшитгэлийг мэдсэнээр бид тэдгээрийн хоорондох өнцгийг томъёогоор олж болно

Хэрэв α - хавтгай хоорондын өнцөг

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг мэдэхийн тулд бид тэдгээрийн хоорондох өнцгийг томъёогоор олж болно

Хэрэв α – чиглэлийн вектор бүхий шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг) i).

Координатын аргыг ашиглаж болох C 2 даалгавруудыг авч үзье.

Бодлого 1. Энгийн дөрвөлжин призмд ABCDA 1 Б 1 C 1 Д 1 . Суурийн талууд нь 3-тай тэнцүү, хажуугийн ирмэгүүд нь 5. Ирмэг дээр ДД 1 оноог тэмдэглэв ФТэгэхээр DF : FD 1 = 2:3. Хавтгай хоорондын өнцгийг ол ADCТэгээд A.F.C. 1 .

Тэгш өнцөгт координатын системийг танилцуулъя. Оргилууд А(3; 0; 0); Б(0; 0; 0); C(0; 3; 0) хавтгайд хамаарах ( ABC).

Бид энэ хавтгайд тэгшитгэл үүсгэж болно.

Хавтгайн тэгшитгэлийг хялбарчилж олъё ( ABC):

Оргилууд А(3; 0; 0); Ф(3; 3; 2); C 1 (0; 3; 5) хавтгайд хамаарна ( A.F.C. 1). Бид энэ хавтгайд тэгшитгэл үүсгэж болно.

Хялбарчилж тэгшитгэлийг олж авцгаая.

Одоо эдгээр хавтгайн хоорондох өнцгийн косинусыг олъё

Ихэнхдээ эдгээр асуудлын хариултыг шүргэгчээр өгдөг. тг олж болно α томъёоны дагуу; Тэгээд.

Тайлбар: Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг томъёогоор тооцоолж болно

Энэ томъёог өөрөөр бичиж болно

Бодлого 2. Энгийн гурвалжин призм дээр ABCA 1 Б 1 CСуурийн 1 тал нь 2, өндөр нь 3. Гурвалжинд ABCбиссектрис зурсан А.М.. Шугамын хоорондох өнцгийн косинусыг ол А 1 МТэгээд Б 1 C.

Шийдэл

Тэгш өнцөгт координатын системийг танилцуулъя. ба векторууд нь шугамын чиглэлийн векторууд юм А.С. 1 ба Б 1 C. Эдгээр векторуудын координатыг олъё. Эхлээд бид цэгүүдийн координатыг олно А 1 ; М; Б 1 ; C.

А 1 (0; 0; 3); Б 1 (; 1; 3); ХАМТ(0; 2; 0); М (; ; 0).

Одоо бид чиглэлийн векторын координатыг дараах дүрмийг ашиглан олно. векторын координатыг олохын тулд төгсгөлийн координатаас эхлэлийн координатыг хасах хэрэгтэй. . (; ; –3) мөн (; 1; –3).

Одоо бид шугамын хоорондох өнцгийн косинусыг олно А 1 МТэгээд Б 1 Cтомъёоны дагуу

2. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг олох томъёог авч үзье.

Хэрэв α - шулуун ба хавтгай хоорондын өнцөг

, ( – чиглэлийн вектор.

Бодлого 3. Тэгш өнцөгт параллелепипедт MNPQM 1 Н 1 П 1 Q 1 хавирга М.Н=15, MQ=ММ 1 =8. хоорондын өнцгийг ол QP 1 ба онгоц QPN 1 .

Шийдэл

Тэгш өнцөгт координатын системийг танилцуулъя. Шулуун шугамын вектор гарын авлага QP 1 . Түүний координатыг олъё.

Q (15; 8; 0); П 1 (0; 8; 8); (–15; 0; 8).

Одоо онгоцны тэгшитгэлийг олъё ( QPN 1).

Q (15; 8; 0); П (0; 8; 0); Н (0; 0; 8).

Одоо хавтгай ба хоорондын өнцгийг олъё

Бодлого 4. Энгийн зургаан өнцөгт призмд ABCDEFA 1 Б 1 C 1 Д 1 Э 1 Ф 1 өндөр нь 4, AB=4. Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол А.С. 1 ба онгоц ACD 1 .

Шийдэл

А(; –2; 0); C 1 (0; 4; 4); (; –6; 4).

Хавтгайн тэгшитгэлийг байгуулъя ( ACD 1). А(; –2; 0); C(0; 4; 0); Д 1 (; 6; 4).

Одоо шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олъё А.С. 1 ба онгоц ( ACD 1).

Энэхүү төсөл нь танхимын дадлагад нэмэлт болгон математикт хандах сөрөг хандлагыг даван туулах онцгой боломжийг олгож байна. Төслийн мөн чанар нь оролцогчид өөрсдийн үзэл бодлоор хатуу хориглосон математикийн үйлдлүүдийг хийхийг зөвшөөрдөг бөгөөд энэ нь ердийн хичээл дээр хамгийн хүнд үр дагаварт хүргэдэг (сэтгүүл дээрх бэх гэх мэт). Хоёрдахь эрэмбийн муруйг байгаль, технологи, урлаг, шинжлэх ухаан, жишээлбэл, эллипс гэх мэт өндөгний хэлбэр, гаригуудын тойрог зам, янз бүрийн барилга байгууламжийн архитектур, дизайн, төмөр замын гулзайлга, гүүр барих.

Координатын арга нь бидний амьдралд хэрхэн нөлөөлдөг вэ? Асуудалтай асуулт 1. “Координатын арга” математикийн мэдлэгийн системд ямар байр эзэлдэг вэ. 2. Эртний математикчид геометрийн асуудлыг хэрхэн шийдэж байсан. 3. Хоёрдугаар эрэмбийн муруй нь математикийн орон зайг хэрхэн тэлж байна. Эрдмийн хичээлүүд: алгебр, геометр, зураг, компьютерийн шинжлэх ухаан. Төслийн оролцогчид: 9-р ангийн сурагчид.

Арга зүйн даалгавар: - -сургалтын сэдвийн үндсэн ойлголтуудыг эзэмших; - - томьёо гаргаж авах, муруйн график байгуулахыг заах; - - боловсролын сэдвийн хүрээнд судалгаа хийх арга барилыг заах; - - оюутнуудын цуглуулсан мэдээллийг интернетэд байршуулах боломжтой хэлбэрээр хэрхэн форматлахыг заах.

1. ЭЛЛИПС-ийн шинж чанарууд нь бусад "гайхалтай" муруйн шинж чанаруудтай хэрхэн холбоотой вэ? 2. ПАРАБОЛА-ийн шинж чанаруудыг практикийн тодорхой асуудлуудад хэрхэн ашигладаг вэ? 3. ХИПЕРБОЛ-ийн шинж чанаруудыг практикийн тодорхой асуудлуудад хэрхэн ашигладаг вэ? Судалгааны ажлын үр дүн: танилцуулга Төсөлд зориулж дараахь зүйлийг боловсруулсан болно: Танилцуулга Илтгэлийг үнэлэх шалгуур ZIU Хуанли

1. Л.С.Атанасян “Геометр”: 7-9-р ангийн сурах бичиг. 2. “Есдүгээр сарын нэгэн” сэтгүүлийн хавсралт “Математик” 3. Шарыгин И.Ф. Дүрслэлийн геометр.-М.: Сурган хүмүүжүүлэх ухаан, Хогарт В., Гоо сайхны шинжилгээ.-М.: Урлаг, Саранцев Г.И., Геометрийн хувиргалтуудын талаархи бодлогын цуглуулга.-М., Залуу математикчийн нэвтэрхий толь бичиг.- М.: Сурган хүмүүжүүлэх ухаан, Виленкин Н.Я., гэх мэт. Математикийн сурах бичгийн хуудасны ард.-М.: Боловсрол, 1985.