Санахад маш амархан.

За, хол явахгүй, шууд харцгаая урвуу функц. Аль функц нь экспоненциал функцийн урвуу функц вэ? Логарифм:

Манай тохиолдолд суурь нь дараах тоо юм.

Ийм логарифмийг (өөрөөр хэлбэл суурьтай логарифм) "байгалийн" гэж нэрлэдэг бөгөөд бид үүнд зориулж тусгай тэмдэглэгээ ашигладаг: бид оронд нь бичдэг.

Энэ нь юутай тэнцүү вэ? Мэдээжийн хэрэг, .

Байгалийн логарифмын дериватив нь маш энгийн:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг ол.
2. Функцийн дериватив нь юу вэ?

Хариултууд: Экспоненциал ба натурал логарифм нь дериватив талаас нь авч үзвэл маш энгийн функцууд юм. Бусад суурьтай экспоненциал болон логарифм функцууд нь өөр деривативтай байх бөгөөд бид үүнийг ялгах дүрмийн дагуу дараа нь шинжлэх болно.

Ялгах дүрэм

Юуны дүрэм? Ахиад л шинэ нэр томъёо, дахиад?!...

Ялгаварлахдеривативыг олох үйл явц юм.

Тэгээд л болоо. Энэ үйл явцыг нэг үгээр өөр юу гэж нэрлэх вэ? Дериватив биш ... Математикчид дифференциалыг функцийн ижил өсөлт гэж нэрлэдэг. Энэ нэр томъёо нь Латин дифференциас - ялгаа гэсэн үгнээс гаралтай. Энд.

Эдгээр бүх дүрмийг гаргахдаа бид хоёр функцийг ашиглана, жишээ нь, ба. Бидэнд мөн тэдгээрийн өсөлтийн томъёо хэрэгтэй болно:

Нийтдээ 5 дүрэм байдаг.

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна.

Хэрэв - зарим тогтмол тоо (тогтмол), дараа нь.

Мэдээжийн хэрэг, энэ дүрэм нь ялгааны хувьд бас ажилладаг: .

Үүнийг баталцгаая. Байг, эсвэл илүү энгийн.

Жишээ.

Функцийн деривативуудыг ол:

1. нэг цэг дээр;
2. нэг цэг дээр;
3. нэг цэг дээр;
4. цэг дээр.

Шийдэл:

1. (шугаман функц учраас дериватив нь бүх цэг дээр ижил байна, санаж байна уу?);

Бүтээгдэхүүний дериватив

Энд бүх зүйл ижил байна: орцгооё шинэ шинж тэмдэгмөн түүний өсөлтийг ол:

Дериватив:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг олох ба;
2. Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг ол.

Шийдэл:

Экспоненциал функцийн дериватив

Одоо таны мэдлэг зөвхөн экспоненциал функцийн деривативыг хэрхэн олохыг сурахад хангалттай юм (энэ нь юу болохыг та мартаагүй байна уу?).

Тэгэхээр хэдэн тоо хаана байна.

Бид функцийн деривативыг аль хэдийн мэдэж байгаа тул функцээ шинэ суурь болгон багасгахыг хичээцгээе.

Үүний тулд бид ашиглах болно энгийн дүрэм: . Дараа нь:

За, энэ ажилласан. Одоо деривативыг олохыг хичээ, энэ функц нь нарийн төвөгтэй гэдгийг мартаж болохгүй.

Болсон уу?

Энд өөрийгөө шалгаарай:

Томъёо нь экспонентийн деривативтай маш төстэй болж хувирав: энэ нь хэвээр үлдэж, зөвхөн нэг хүчин зүйл гарч ирсэн бөгөөд энэ нь зүгээр л тоо боловч хувьсагч биш юм.

Жишээ нь:
Функцийн деривативуудыг ол:

Хариултууд:

Энэ бол зүгээр л тооны машингүйгээр тооцоолох боломжгүй, өөрөөр хэлбэл энгийн хэлбэрээр бичих боломжгүй тоо юм. Тиймээс бид үүнийг хариултдаа энэ хэлбэрээр үлдээж байна.

Энд хоёр функцийн коэффициент байгааг анхаарна уу, тиймээс бид харгалзах ялгах дүрмийг хэрэглэнэ.

Энэ жишээнд хоёр функцийн үржвэр:

Логарифм функцийн дериватив

Үүнтэй төстэй: та байгалийн логарифмын деривативыг аль хэдийн мэддэг болсон.

Тиймээс өөр суурьтай дурын логарифмийг олохын тулд, жишээлбэл:

Бид энэ логарифмыг суурь болгон багасгах хэрэгтэй. Логарифмын суурийг хэрхэн өөрчлөх вэ? Та энэ томъёог санаж байна гэж найдаж байна:

Зөвхөн одоо бид оронд нь бичих болно:

Хуваагч нь зүгээр л тогтмол (хувьсагчгүй тогтмол тоо) юм. Деривативыг маш энгийнээр олж авдаг:

Экспоненциал ба деривативууд логарифм функцуудУлсын нэгдсэн шалгалтанд бараг хэзээ ч ордоггүй, гэхдээ тэднийг мэдэхэд гэмгүй.

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

Юу болов " нарийн төвөгтэй функц"? Үгүй ээ, энэ бол логарифм биш, арктангенс ч биш. Эдгээр функцийг ойлгоход хэцүү байж болох юм (хэдийгээр танд логарифм хийхэд хэцүү гэж үзвэл "Логарифм" гэсэн сэдвийг уншвал зүгээр байх болно), гэхдээ математикийн үүднээс "цогцолбор" гэдэг нь "хэцүү" гэсэн үг биш юм.

Жижиг туузан дамжуулагчийг төсөөлөөд үз дээ: хоёр хүн сууж, зарим объекттой зарим үйлдэл хийж байна. Жишээлбэл, эхнийх нь шоколадны баарыг боодол дээр боож, хоёр дахь нь туузаар холбодог. Үр дүн нь нийлмэл объект юм: шоколадны баар ороож, туузаар холбосон. Шоколадны баар идэхийн тулд урвуу дарааллаар урвуу алхмуудыг хийх хэрэгтэй.

Үүнтэй төстэй математик шугамыг бүтээцгээе: эхлээд бид тооны косинусыг олж, дараа нь гарсан тоог квадрат болгоно. Тиймээс, бидэнд тоо (шоколад) өгөгдсөн, би түүний косинусыг (боодол) олоод, дараа нь та миний авсан зүйлийг дөрвөлжин болго (туузаар уя). Юу болсон бэ? Чиг үүрэг. Энэ бол нарийн төвөгтэй функцийн жишээ юм: утгыг олохын тулд бид эхний үйлдлийг хувьсагчтай шууд хийж, дараа нь эхний үйлдлээс үүссэн хоёр дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг.

Өөрөөр хэлбэл, нийлмэл функц нь аргумент нь өөр функц болох функц юм: .

Бидний жишээн дээр, .

Бид урвуу дарааллаар ижил алхмуудыг хялбархан хийж чадна: эхлээд та үүнийг квадрат болго, дараа нь би гарсан тооны косинусыг хайна: . Үр дүн нь бараг үргэлж өөр байх болно гэдгийг таахад хялбар байдаг. Чухал онцлогнарийн төвөгтэй функцууд: үйлдлийн дараалал өөрчлөгдөхөд функц өөрчлөгдөнө.

Хоёр дахь жишээ: (ижил зүйл). .

Бидний хамгийн сүүлд хийх үйлдлийг дуудах болно "гадаад" функц, мөн эхний гүйцэтгэсэн үйлдэл - үүний дагуу "дотоод" функц(эдгээр нь албан бус нэрс, би зөвхөн материалыг энгийн хэлээр тайлбарлахад ашигладаг).

Аль функц нь гадаад, аль нь дотоод гэдгийг өөрөө тодорхойлохыг хичээ.

Хариултууд:Дотоод болон гадаад функцийг салгах нь хувьсагчийг өөрчлөхтэй маш төстэй: жишээлбэл, функцэд

1. Бид хамгийн түрүүнд ямар үйлдэл хийх вэ? Эхлээд синусыг тооцоод дараа нь шоо болгоё. Энэ нь дотоод функц, гэхдээ гадаад функц гэсэн үг юм.
   Мөн анхны функц нь тэдний найрлага юм: .
2. Дотоод: ; гадна: .
   Шалгалт: .
3. Дотоод: ; гадна: .
   Шалгалт: .
4. Дотоод: ; гадна: .
   Шалгалт: .
5. Дотоод: ; гадна: .
   Шалгалт: .

Бид хувьсагчдыг сольж, функцийг авдаг.

За, одоо бид шоколадаа гаргаж аваад деривативыг хайх болно. Процедур нь үргэлж эсрэгээрээ байдаг: эхлээд бид гадаад функцийн деривативыг хайж, дараа нь үр дүнг дотоод функцийн деривативаар үржүүлнэ. Анхны жишээтэй холбоотойгоор дараах байдалтай байна.

Өөр нэг жишээ:

Ингээд эцэст нь албан ёсны дүрмийг томъёолъё:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

Энэ нь энгийн юм шиг санагдаж байна, тийм үү?

Жишээнүүдээр шалгацгаая:

Шийдэл:

1) Дотоод: ;

Гадна: ;

2) Дотоод: ;

(Одоогоор таслах гэж бүү оролдоорой! Косинусын доороос юу ч гарахгүй, санаж байна уу?)

3) Дотоод: ;

Гадна: ;

Энэ нь гурван түвшний нарийн төвөгтэй функц гэдэг нь шууд тодорхой харагдаж байна: эцэст нь энэ нь өөрөө нарийн төвөгтэй функц бөгөөд бид үүнээс үндсийг нь гаргаж авдаг, өөрөөр хэлбэл бид гурав дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг (шоколадыг боодол дээр хийнэ) мөн цүнхэнд туузтай). Гэхдээ айх шалтгаан байхгүй: бид энэ функцийг ердийнх шигээ дарааллаар нь "тайлах" болно: эцсээс нь.

Өөрөөр хэлбэл, бид эхлээд үндсийг, дараа нь косинусыг, дараа нь хаалтанд байгаа илэрхийлэлийг ялгадаг. Тэгээд бид бүгдийг үржүүлнэ.

Ийм тохиолдолд үйлдлүүдийг дугаарлах нь тохиромжтой. Энэ нь юу мэддэгээ төсөөлөөд үз дээ. Энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолох үйлдлийг бид ямар дарааллаар гүйцэтгэх вэ? Нэг жишээг харцгаая:

Үйлдлийг хожим гүйцэтгэх тусам харгалзах функц нь "гадаад" байх болно. Үйлдлүүдийн дараалал нь өмнөхтэй адил байна:

Энд үүрлэх нь ерөнхийдөө 4 түвшинтэй байдаг. Үйл ажиллагааны чиглэлийг тодорхойлъё.

1. Радикал илэрхийлэл. .

2. Үндэс. .

3. Синус. .

4. Дөрвөлжин. .

5. Бүгдийг нэгтгэх нь:

ҮҮСГЭЛ. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Функцийн дериватив- функцийн өсөлтийг аргументийн хязгааргүй бага өсөлтийн аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа:

Үндсэн деривативууд:

Ялгах дүрэм:

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна:

Нийлбэрийн дериватив:

Бүтээгдэхүүний дериватив:

Хэсгийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

1. Бид "дотоод" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
2. Бид "гадаад" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
3. Бид эхний болон хоёр дахь цэгүүдийн үр дүнг үржүүлдэг.

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Агуулга

Агуулгын элементүүд

Дериватив, шүргэгч, эсрэг дериватив, функцийн график, дериватив.

Дериватив\(x_0\) цэгийн зарим хэсэгт \(f(x)\) функцийг тодорхойл.

\(x_0\) цэг дээрх \(f\) функцийн деривативхязгаар гэж нэрлэдэг

\(f"(x_0)=\lim_(x\баруун сум x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

хэрэв энэ хязгаар байгаа бол.

Тухайн цэг дэх функцийн дериватив нь тухайн цэг дэх энэ функцийн өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог.

Деривативын хүснэгт

Чиг үүрэг	Дериватив
\(const\)	\(0\)
\(x\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln(a)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\ln(a))\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\tg x\)	\(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\sin^2x)\)

Ялгах дүрэм\(f\) ба \(g\) нь \(x\) хувьсагчаас хамаарах функцууд; \(c\) нь тоо юм.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\зүүн(\dfrac(f)(g)\баруун)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - цогц функцийн дериватив

Деривативын геометрийн утга Шугамын тэгшитгэл- тэнхлэгтэй параллель биш \(Oy\) \(y=kx+b\) хэлбэрээр бичиж болно. Энэ тэгшитгэл дэх \(k\) коэффициентийг нэрлэнэ шулуун шугамын налуу. Энэ нь шүргэгчтэй тэнцүү байна налуу өнцөгэнэ шулуун шугам.

Шулуун өнцөг- \(Ox\) тэнхлэгийн эерэг чиглэл ба энэ шулуун шугамын хоорондох өнцөг нь эерэг өнцгийн чиглэлд (өөрөөр хэлбэл \(Ox\) тэнхлэгээс \ хүртэлх хамгийн бага эргэлтийн чиглэлд хэмжигдэнэ. (Oy\) тэнхлэг).

\(x_0\) цэг дэх \(f(x)\) функцийн дериватив нь энэ цэг дэх функцийн графиктай шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна: \(f"(x_0)=\tg\ альфа.\)

Хэрэв \(f"(x_0)=0\) бол \(x_0\) цэгийн \(f(x)\) функцын графикт шүргэгч нь \(Ox\) тэнхлэгтэй параллель байна.

Тангенсийн тэгшитгэл

\(x_0\) цэг дэх \(f(x)\) функцын графиктай шүргэгчийн тэгшитгэл:

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Функцийн монотон байдалХэрэв функцийн дериватив интервалын бүх цэгүүдэд эерэг байвал энэ интервал дээр функц нэмэгдэнэ.

Хэрэв функцийн дериватив интервалын бүх цэгт сөрөг байвал энэ интервал дээр функц буурна.

Хамгийн бага, хамгийн их ба гулзайлтын цэгүүд эерэгдээр сөрөгэнэ үед \(x_0\) нь \(f\) функцийн хамгийн их цэг болно.

Хэрэв \(f\) функц нь \(x_0\) цэг дээр тасралтгүй байх ба энэ функцийн деривативын утга \(f"\) өөрчлөгдвөл: сөрөгдээр эерэгэнэ үед \(x_0\) нь \(f\) функцийн хамгийн бага цэг болно.

\(f"\) дериватив тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй цэгүүдийг дуудна чухал цэгүүдфункцууд \(f\).

\(f(x)\) функцийн тодорхойлолтын домайны дотоод цэгүүд, үүнд \(f"(x)=0\) нь хамгийн бага, хамгийн их эсвэл гулзайлтын цэг байж болно.

Деривативын физик утгаХэрэв материаллаг цэг шулуун шугамаар хөдөлж, координат нь \(x=x(t)\ хуулийн дагуу цаг хугацаанаас хамаарч өөрчлөгдвөл энэ цэгийн хурд нь цаг хугацааны координатын деривативтай тэнцүү байна.

Материаллаг цэгийн хурдатгал нь энэ цэгийн цаг хугацааны хурдны деривативтай тэнцүү байна.

\(a(t)=v"(t).\)

y=3x+2 шулуун шугам нь y=-12x^2+bx-10 функцийн графиктай шүргэгч байна. Шүргэдэг цэгийн абсцисс тэгээс бага байвал b-г ол.

Шийдлийг харуулах

Шийдэл

y=-12x^2+bx-10 функцийн график дээрх энэ графикийн шүргэгч дамжин өнгөрөх цэгийн абсциссаг x_0 гэж үзье.

x_0 цэг дээрх деривативын утга нь шүргэгчийн налуутай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл y"(x_0)=-24x_0+b=3. Нөгөө талаас шүргэлтийн цэг нь графын аль алинд нь нэгэн зэрэг хамаарна. функц ба шүргэгч, өөрөөр хэлбэл -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Бид тэгшитгэлийн системийг олж авна. \эхлэх(тохиолдол) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \төгсгөл(тохиолдол)

Энэ системийг шийдэж, бид x_0^2=1-ийг авах бөгөөд энэ нь x_0=-1 эсвэл x_0=1 гэсэн үг юм. Абсцисса нөхцлийн дагуу шүргэгч цэгүүд тэгээс бага тул x_0=-1, тэгвэл b=3+24x_0=-21.

Хариулт

Нөхцөл байдал

Зурагт y=f(x) функцийн графикийг (энэ нь гурван шулуун хэрчмээс тогтсон тасархай шугам) харуулж байна. Зургийг ашиглан F(9)-F(5) гэж тооцоол, энд F(x) нь f(x) функцийн эсрэг деривативуудын нэг юм.

Шийдлийг харуулах

Шийдэл

Ньютон-Лейбницийн томъёоны дагуу F(9)-F(5) нь f(x) функцын эсрэг деривативуудын нэг болох F(9)-F(5) ялгаа нь муруйн трапецын хязгаарлагдмал талбайтай тэнцүү байна. y=f(x) функцийн графикаар y=0 , x=9 ба x=5 шулуун шугамууд. Графикаас бид заасан муруй трапецын суурь нь 4 ба 3-тай тэнцүү, өндөр нь 3-тай трапец байгааг тогтоов.

Түүний талбай тэнцүү байна \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Хариулт

Эх сурвалж: “Математик. 2017 оны улсын нэгдсэн шалгалтын бэлтгэл. Профайлын түвшин" Эд. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Нөхцөл байдал

Зурагт (-4; 10) интервал дээр тодорхойлогдсон f(x) функцийн дериватив y=f"(x)-ийн графикийг үзүүлэв. f(x) функцийн бууралтын интервалуудыг олоорой. Хариултандаа, тэдгээрийн хамгийн том уртыг заана уу.

Шийдлийг харуулах

Шийдэл

Мэдэгдэж байгаагаар f(x) функц нь цэг бүр дээр f"(x) дериватив тэгээс бага байх интервалууд дээр буурдаг. Тэдгээрийн хамгийн томынх нь уртыг олох шаардлагатай гэж үзвэл ийм гурван интервал байна. уг зургаас ялгаатай: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9).

Тэдгээрийн хамгийн том нь (5; 9) урт нь 4 байна.

Хариулт

Эх сурвалж: “Математик. 2017 оны улсын нэгдсэн шалгалтын бэлтгэл. Профайлын түвшин." Эд. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Нөхцөл байдал

Зураг дээр (-8; 7) интервал дээр тодорхойлогдсон f(x) функцийн дериватив y=f"(x)-ийн графикийг үзүүлэв. f(x) функцийн хамаарах хамгийн их цэгүүдийн тоог ол. интервал [-6; -2].

Шийдлийг харуулах

Шийдэл

Графикаас харахад f(x) функцийн f"(x) дериватив нь [ интервалаас яг нэг цэгт (-5 ба -4 хооронд) тэмдгийг нэмэхээс хасах руу (ийм цэгүүдэд дээд тал нь байх болно) өөрчилдөг болохыг харуулж байна. -6; -2 ] Тиймээс [-6; -2] интервал дээр яг нэг хамгийн их цэг байна.

Хариулт

Эх сурвалж: “Математик. 2017 оны улсын нэгдсэн шалгалтын бэлтгэл. Профайлын түвшин." Эд. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Нөхцөл байдал

Зурагт (-2; 8) интервал дээр тодорхойлогдсон y=f(x) функцийн графикийг үзүүлэв. f(x) функцийн дериватив 0-тэй тэнцүү байх цэгүүдийн тоог тодорхойл.

Шийдлийг харуулах

Шийдэл

Тэг цэг дэх деривативын тэгш байдал нь энэ цэг дээр зурсан функцийн графикт шүргэгч нь Окс тэнхлэгтэй параллель байна гэсэн үг юм. Тиймээс функцийн графикт шүргэгч нь Ox тэнхлэгтэй параллель байх цэгүүдийг олно. Энэ график дээр ийм цэгүүд нь экстремум цэгүүд (хамгийн их эсвэл хамгийн бага оноо) юм. Таны харж байгаагаар 5 экстремум цэг байдаг.

Хариулт

Эх сурвалж: “Математик. 2017 оны улсын нэгдсэн шалгалтын бэлтгэл. Профайлын түвшин." Эд. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Нөхцөл байдал

y=-3x+4 шулуун нь y=-x^2+5x-7 функцийн графиктай шүргэгчтэй параллель байна. Шүргэх цэгийн абсциссыг ол.

Шийдлийг харуулах

Шийдэл

Дурын x_0 цэгийн y=-x^2+5x-7 функцийн графикт шулуун шугамын өнцгийн коэффициент нь y"(x_0)-тай тэнцүү байна. Харин y"=-2x+5 нь y" гэсэн утгатай. (x_0)=-2x_0+5.Нөхцөлд заасан y=-3x+4 шулууны өнцгийн коэффициент нь -3-тай тэнцүү.Зэрэгцээ шулуунууд нь налуугийн коэффициентүүдтэй ижил байна.Иймээс бид x_0 утгыг олоод =- 2x_0 +5=-3.

Бид дараахийг авна: x_0 = 4.

Хариулт

Эх сурвалж: “Математик. 2017 оны улсын нэгдсэн шалгалтын бэлтгэл. Профайлын түвшин." Эд. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Нөхцөл байдал

Зурагт y=f(x) функцийн графикийг харуулсан ба абсцисс дээр -6, -1, 1, 4 цэгүүдийг тэмдэглэсэн байна. Эдгээр цэгүүдийн аль нь дериватив хамгийн бага нь вэ? Хариултандаа энэ цэгийг зааж өгнө үү.

Хичээлийн төрөл:давталт ба ерөнхий ойлголт.

Хичээлийн хэлбэр:хичээл зөвлөгөө.

Хичээлийн зорилго:

• боловсролын: "Үүсмэлийн геометрийн утга", "Үүсмэлийг функцийг судлахад ашиглах нь" сэдвээр онолын мэдлэгийг давтаж, нэгтгэх; Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд тулгарсан бүх төрлийн В8 асуудлыг авч үзэх; оюутнуудад мэдлэгээ шалгах боломжийг олгох бие даасан шийдвэрдаалгавар; шалгалтын хариултын хуудсыг хэрхэн бөглөхийг заах;
• хөгжиж байна: харилцаа холбоог нэг арга болгон хөгжүүлэх шинжлэх ухааны мэдлэг, семантик санах ой болон сайн дурын анхаарал; ийм үүсэх гол чадваруудобъектуудыг харьцуулах, зэрэгцүүлэх, ангилах, өгөгдсөн алгоритм дээр үндэслэн боловсролын даалгаврыг шийдвэрлэх зохих арга замыг тодорхойлох, тодорхой бус нөхцөлд бие даан ажиллах, үйл ажиллагаагаа хянах, үнэлэх, бэрхшээлийн шалтгааныг олж тогтоох, арилгах;
• боловсролын: сурагчдыг хөгжүүлэх харилцааны чадвар(харилцааны соёл, багаар ажиллах чадвар); бие даан боловсрол эзэмших хэрэгцээг хөгжүүлэх.

Технологи: хөгжлийн боловсрол, МХТ.

Сургалтын аргууд:аман, харааны, практик, асуудалтай.

Ажлын хэлбэрүүд:хувь хүн, урд тал, бүлэг.

Боловсрол, арга зүйн дэмжлэг:

1. Алгебр ба математик анализын эхлэл 11-р анги: сурах бичиг. Ерөнхий боловсролын хувьд Байгууллага: үндсэн ба профиль. түвшин / (Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин); A. B. Жижченкогийн найруулсан. - 4-р хэвлэл. – М.: Боловсрол, 2011 он.

2. Улсын нэгдсэн шалгалт: Математикийн хариулттай 3000 бодлого. B / A.L бүлгийн бүх даалгавар. Семенов, I.V. Ященко болон бусад; засварласан A.L. Семёнова, И.В. Ященко. – М.: "Шалгалт" хэвлэлийн газар, 2011 он.

3. Ажлын банкийг нээнэ үү.

Хичээлийн хэрэгсэл, материал:проектор, дэлгэц, оюутан бүрт зориулсан танилцуулга бүхий компьютер, бүх оюутнуудад зориулсан санамж бичгийг хэвлэх (Хавсралт 1)болон онооны хуудас ( Хавсралт 2) .

Хичээлийн урьдчилсан бэлтгэл:Гэрийн даалгаврын хувьд оюутнууд сурах бичгээс "Үүсмэлийн геометрийн утга", "Үүсмэлийг функцийг судлахад ашиглах" сэдвээр онолын материалыг давтах; Анги нь бүлгүүдэд хуваагддаг (тус бүр 4 хүн), тус бүр нь өөр өөр түвшний оюутнууд байдаг.

Хичээлийн тайлбар:Энэ хичээлийг 11-р ангид давтах, улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх үе шатанд заадаг. Хичээл нь онолын материалыг давтах, нэгтгэх, шалгалтын асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглахад чиглэгддэг. Хичээлийн үргэлжлэх хугацаа - 1.5 цаг .

Энэхүү хичээлийг сурах бичигт хавсаргаагүй тул ямар ч сургалтын хэрэглэгдэхүүн дээр ажиллаж байхдаа зааж болно. Энэ хичээлийг мөн хоёр тусдаа хичээлд хувааж, үзсэн сэдвүүдийн эцсийн хичээл болгон зааж болно.

Хичээлийн үеэр

I. Зохион байгуулалтын мөч.

II. Зорилгоо тодорхойлох хичээл.

III. "Гэдэсний геометрийн утга" сэдвээр давталт.

Проектор ашиглан аман урд талын ажил (слайд №3-7)

Бүлэгт ажиллах: зөвлөмж, хариулт, багшийн зөвлөгөө бүхий асуудлыг шийдвэрлэх (слайд №8-17)

IV. Бие даасан ажил 1.

Оюутнууд компьютер дээр бие даан ажиллаж (слайд №18-26), үнэлгээний хуудсанд хариултаа оруулна. Шаардлагатай бол та багштай зөвлөлдөж болно, гэхдээ энэ тохиолдолд оюутан 0.5 оноо алдах болно. Хэрэв оюутан ажлаа эрт дуусгасан бол цуглуулгын 242, 306-324-р хуудаснаас нэмэлт даалгавруудыг шийдвэрлэхээр сонгож болно (нэмэлт даалгаврыг тусад нь үнэлнэ).

V. Харилцан шалгах.

Оюутнууд үнэлгээний хуудас солилцож, найзынхаа ажлыг шалгаж, оноо өгдөг (слайд №27)

VI. Мэдлэгийг засах.

VII. "Үүсмэлийг функцийг судлахад ашиглах нь" сэдвээр давталт.

Проектор ашиглан аман урд талын ажил (слайд №28-30)

Бүлэгт ажиллах: зөвлөмж, хариулт, багшийн зөвлөгөө бүхий асуудлыг шийдвэрлэх (слайд №31-33)

VIII. Бие даасан ажил 2.

Оюутнууд компьютер дээр бие даан ажиллаж (слайд №34-46), хариултын маягт дээр хариултаа оруулна. Шаардлагатай бол та багштай зөвлөлдөж болно, гэхдээ энэ тохиолдолд оюутан 0.5 оноо алдах болно. Хэрэв оюутан ажлаа эрт дуусгасан бол цуглуулгын 243-305-р хуудаснаас нэмэлт даалгавруудыг шийдвэрлэхээр сонгож болно (нэмэлт даалгаврыг тусад нь үнэлнэ).

IX. Үе тэнгийн үнэлгээ.

Оюутнууд үнэлгээний хуудас солилцож, найзынхаа ажлыг шалгаж, оноо өгдөг (слайд No47).

X. Мэдлэгийг засах.

Сурагчид бүлгээрээ дахин ажиллаж, шийдлийн талаар ярилцаж, алдаагаа засна.

XI. Дүгнэж байна.

Оюутан бүр оноогоо тооцож, онооны хуудсан дээр дүн тавина.

Оюутнууд багшид үнэлгээний хуудас, нэмэлт асуудлын шийдлийг өгдөг.

Оюутан бүр санамж бичгийг хүлээн авдаг (слайд № 53-54).

XII. Тусгал.

Оюутнууд дараах хэллэгүүдийн аль нэгийг сонгон мэдлэгээ үнэлэхийг хүснэ.

• Би амжилтанд хүрсэн!!!
• Бид дахиад хэдэн жишээг шийдэх хэрэгтэй.
• За, энэ математикийг хэн гаргасан бэ!

XIII. Гэрийн даалгавар.

Учир нь гэрийн даалгаварОюутнуудыг цуглуулгын 242-334-р хуудас, мөн нээлттэй даалгаврын сангаас даалгавраа шийдэхийг урьж байна.