Шугамын сегментийн перпендикуляр биссектрис
Тодорхойлолт 1. Сегментийн перпендикуляр биссектрисЭнэ сегментэд перпендикуляр шулуун шугам гэж нэрлэгддэг ба түүний дундуур дамждаг (Зураг 1).
Теорем 1. Хэсэгт перпендикуляр биссектрисын цэг бүр байрлана төгсгөлүүдээс ижил зайд энэ сегмент.
Баталгаа. АВ хэрчмийн перпендикуляр биссектриса дээр байрлах дурын D цэгийг авч үзье (Зураг 2), ADC ба BDC гурвалжин тэнцүү болохыг баталъя.
Үнэн хэрэгтээ эдгээр гурвалжнууд нь AC ба BC хөлүүд нь тэнцүү, DC хөл нь нийтлэг байдаг тэгш өнцөгт гурвалжнууд юм. ADC ба BDC гурвалжнуудын тэгш байдал нь AD ба DB сегментүүдийн тэгш байдлыг илэрхийлдэг. Теорем 1 батлагдсан.
Теорем 2 (Теорем 1-тэй эсрэгээр). Хэрэв цэг нь сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байгаа бол энэ сегментийн перпендикуляр биссектрист байрладаг.
Баталгаа. Теорем 2-ыг эсрэгээр баталцгаая. Энэ зорилгын үүднээс зарим Е цэг нь сегментийн төгсгөлүүдээс ижил зайд байгаа боловч энэ сегментийн перпендикуляр биссектрист дээр байрладаггүй гэж үзье. Энэ таамаглалыг зөрчилд оруулъя. Эхлээд Е ба А цэгүүд перпендикуляр биссектрисын эсрэг талд байрлах тохиолдлыг авч үзье (Зураг 3). Энэ тохиолдолд EA сегмент нь перпендикуляр биссектрисийг ямар нэгэн цэгээр огтолж байгаа бөгөөд бид үүнийг D үсгээр тэмдэглэнэ.
AE сегмент нь EB сегментээс урт гэдгийг баталцгаая. Үнэхээр,
Тиймээс Е ба А цэгүүд перпендикуляр биссектрисын эсрэг талд байрлах тохиолдолд бид зөрчилтэй байна.
Одоо Е ба А цэгүүд перпендикуляр биссектрисын нэг талд байрлах тохиолдлыг авч үзье (Зураг 4). EB сегмент нь AE сегментээс урт гэдгийг баталцгаая. Үнэхээр,
Үүссэн зөрчилдөөн нь теорем 2-ын баталгааг гүйцээнэ
Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог
Тодорхойлолт 2. Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог, гурвалжны бүх гурван оройг дайран өнгөрөх тойрог гэж нэрлэдэг (Зураг 5). Энэ тохиолдолд гурвалжинг дуудна тойрог дотор бичээстэй гурвалжинэсвэл бичээстэй гурвалжин.
Гурвалжингийн тойргийн шинж чанарууд. Синусын теорем
| Зураг | Зурах | Өмч |
| Перпендикуляр биссектриса гурвалжны талууд руу |  |
нэг цэг дээр огтлолцоно
. |
 |
|
|
| Төв хурц гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог | Төвийн талаар тайлбарлав хурц өнцөгт дотор гурвалжин. | |
| Төв тэгш өнцөгт гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог |  | Төвийн талаар тайлбарлав тэгш өнцөгт
гипотенузын дунд
. |
| Төв мохоо гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог |  | Төвийн талаар тайлбарлав мохоо өнцөгт гурвалжин тойрог худлаа гадна гурвалжин. |
 |
|
|
| Дөрвөлжин гурвалжин |  | S= 2Р 2 гэм Анүгэл Бнүгэл C , |
| Эргэн тойрны радиус | Аливаа гурвалжны хувьд тэгш байдал нь үнэн юм: |
,| Гурвалжны хажуугийн перпендикуляр биссектрис |
Бүх перпендикуляр биссектрис , дурын гурвалжны талууд руу зурсан, нэг цэг дээр огтлолцоно . |
| Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог |
Аливаа гурвалжинг тойргоор хүрээлж болно . Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь гурвалжны хажуу тал руу татсан бүх перпендикуляр биссектрисс огтлолцох цэг юм. |
| Хурц гурвалжны хүрээлэгдсэн тойргийн төв |
Төвийн талаар тайлбарлав хурц өнцөгт гурвалжин тойрог худлаа дотор гурвалжин. |
| Тэгш өнцөгт гурвалжны хүрээлэгдсэн тойргийн төв |
Төвийн талаар тайлбарлав тэгш өнцөгт гурвалжин тойрог байна гипотенузын дунд . |
| Мохоо гурвалжны хүрээлэгдсэн тойргийн төв |
Төвийн талаар тайлбарлав мохоо өнцөгт гурвалжин тойрог худлаа гадна гурвалжин. |
Аливаа гурвалжны хувьд дараах тэгшитгэлүүд үнэн (синусын теорем):
Үүнд: a, b, c нь гурвалжны талууд, A, B, C нь гурвалжны өнцөг, R нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм. |
| Гурвалжны талбай |
Аливаа гурвалжны хувьд тэгш байдал нь үнэн юм: S= 2Р 2 гэм Анүгэл Бнүгэл C , Энд A, B, C нь гурвалжны өнцөг, S нь гурвалжны талбай, R нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм. |
| Эргэн тойрны радиус |
Аливаа гурвалжны хувьд тэгш байдал нь үнэн юм: a, b, c нь гурвалжны талууд, S нь гурвалжны талбай, R нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм. |
Гурвалжны тойргийн шинж чанарын талаархи теоремуудын баталгаа
Теорем 3. Дурын гурвалжны хажуу тал руу татсан бүх перпендикуляр биссектристер нэг цэгт огтлолцоно.
Баталгаа. АВС гурвалжны АС ба АВ талууд руу татсан хоёр перпендикуляр биссектрисийг авч үзээд тэдгээрийн огтлолцох цэгийг О үсгээр тэмдэглэе (Зураг 6).
О цэг нь АС сегментийн перпендикуляр биссектриса дээр байрладаг тул теорем 1-ийн дагуу тэгш байдал үнэн болно.
Олон өнцөгтийг тойрон дүрсэлсэн тойргийн тухай ТЕОРЕМ: Аливаа энгийн олон өнцөгтийн эргэн тойронд зөвхөн нэг тойрог дүрслэх боломжтой. ТОГЛОЛТЫН POЛИГОНД БИЧИГДСЭН ТОЙРОГНЫ ТУХАЙ ТЕОРЕМ: Дурын жирийн олон өнцөгт дотор зөвхөн нэгийг л бичиж болно.
SPa4a4 rRN Тогтмол олон өнцөгтийн талбайн тооцоо, түүний тал ба бичээстэй тойргийн радиус ба тойргийн радиус
Энгийн олон өнцөгтийн талбай Энгийн олон өнцөгтийн талбайн НЭР, ТАЛБАЙ Талуудын тоо Олон өнцөгтийн нэр Энгийн олон өнцөгтийн талбай 3Гурвалжин0.433a 2 4Дөрвөн өнцөгт1.000a 2 5Пентагон1.720a 2 6Hexagon1.720a 2 6Hexagon2.59a. 28a 2 9Найман өнцөгт6.182a 2 10Арван өнцөгт7.694a 2 nn- квадрат
0 бичээстэй өнцөг. Хиосын Гиппократ Орчин үеийн сурах бичигт бичээстэй өнцгийг түүний тулгуурласан нумын хагасаар хэмждэг гэсэн нотолгоо Евклидийн элементүүдэд өгөгдсөн. Гэсэн хэдий ч энэ саналыг Хиосын Гиппократ (МЭӨ 5-р зуун) "нүх" бүтээлдээ дурдсан байдаг. Гиппократын бүтээлүүд 5-р зууны хоёрдугаар хагаст аль хэдийн байгааг харуулж байна. МЭӨ д. Евклидийн элементүүдэд заасан олон тооны теоремууд мэдэгдэж байсан бөгөөд геометр нь хөгжлийн өндөр түвшинд хүрсэн. Диаметр дээр тулгуурласан бичээстэй өнцөг нь зөв өнцөг гэдгийг 4000 жилийн өмнө Вавилончууд мэддэг байсан. Үүний анхны нотолгоог Нерогийн үеийн Ромын зохиолч Памфилиа Милетийн Талестай холбосон байдаг.
0 энгийн олон өнцөгт Байнгын дөрвөлжин, зургаан өнцөгт, найман өнцөгт нь Египет, Вавилоны эртний дурсгалт газруудад ханан дээрх дүрс, чулуугаар сийлсэн чимэглэл хэлбэрээр байдаг. Эртний Грекийн эрдэмтэд Пифагорын үеэс эхлэн ердийн дүрсийг ихээхэн сонирхож эхэлсэн. Тойрог хэд хэдэн тэнцүү хэсгүүдэд хуваах нь ердийн олон өнцөгтийг байгуулах нь Пифагорчуудын хувьд чухал байсан бөгөөд тэд дэлхийн бүх үзэгдлийн үндэс нь тоо байдаг гэж үздэг. Пифагорын сургуульд эхэлсэн ердийн олон өнцөгтийн тухай сургаал 7-р зуунд үргэлжилж, хөгжсөн. МЭӨ д., Евклид системчилсэн бөгөөд Элементүүдийн IV дэвтэрт дурдсан. Евклид ердийн гурвалжин, дөрвөлжин, таван өнцөгт, зургаан өнцөгтийг бүтээхээс гадна зөвхөн луужин, захирагч ашиглан ердийн арван таван талт гурвалжин байгуулах асуудлыг шийддэг. Эклиптикийн экватор руу хазайх өнцгийн нум нь бүхэл бүтэн тойргийг илэрхийлдэг, өөрөөр хэлбэл ердийн арван таван талт гурвалжны хажуугаар оршдог болохыг анзаарсан тул энэ зураг эртний хүмүүсийн анхаарлыг татжээ.
A B C O1 O2 O1 нь хүрээлэгдсэн тойргийн төв, O2 нь бичээстэй тойргийн төв Шаардлагатай байдал: Хангалттай байдал: D AB + CD = BC + AD, тиймээс AB = CD = BAD = ADC, гэхдээ BAD + ABC = 180 Эндээс ADC + ABC = 180 , мөн ABCD трапецын эргэн тойронд тойрог бичиж болно.Үүнээс гадна AB + CD = BC + AD, тиймээс ABCD дээр тойрог бичиж болно. Трапецын тэгш тал, хажуу тал нь суурийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.
Энэ хичээлээр бид бичээстэй ба хүрээлэгдсэн тойргийн онол үндэслэсэн үндсийг санаж, хүрээлэгдсэн ба бичээстэй дөрвөлжингийн шинж чанарыг эргэн санах болно. Нэмж дурдахад бид янз бүрийн тохиолдолд хүрээлэгдсэн ба бичээстэй тойргийн радиусыг олох томъёог гаргаж авах болно.
Сэдэв: тойрог
Хичээл: Бичээстэй ба хүрээлэгдсэн тойрог
Юуны өмнө бид гурвалжинтай харьцуулахад бичээстэй, хүрээлэгдсэн тойргийн тухай ярьж байна. Бид гурвалжны биссектриса болон перпендикуляр биссектрисын шинж чанарыг судалсан тул энэ сэдэвт бэлтгэгдсэн болно.
Дугуйг дурын гурвалжинд бичиж болно (1-р зургийг үз).
Цагаан будаа. 1
Нотолгоо:
Гурвалжны бүх биссектриса нь нэг цэг дээр огтлолцдогийг бид мэднэ - О цэг дээр байг. AO, BO, CO биссектрисаг зуръя. Тэдний огтлолцлын цэг O нь гурвалжны талуудаас ижил зайд байна. Энэ өнцгийн биссектрист хамаарах тул AC ба AB өнцгийн талуудаас ижил зайд байрладаг. Үүний нэгэн адил, энэ нь өнцгийн талуудаас, улмаар гурвалжны гурван талаас ижил зайд байрладаг.
О цэгээс гурвалжны талууд руу перпендикуляр буулгая - OM тал руу АС, OL-аас ВС, OK-аас AB. Эдгээр перпендикулярууд нь О цэгээс гурвалжны талууд хүртэлх зай байх ба тэдгээр нь тэнцүү байна.
.
О цэгээс гурвалжны талууд хүртэлх зайг r гэж тэмдэглээд О цэг дээр төвтэй, r радиустай тойргийг авч үзье.
Тойрог AB шулуун шугамд хүрнэ, учир нь нь нийтлэг K цэгтэй бөгөөд энэ цэг рүү татсан ОК радиус нь AB шулуунтай перпендикуляр байна. Үүний нэгэн адил тойрог нь AC ба BC шугамуудад хүрдэг. Тиймээс тойрог нь гурвалжны бүх талуудад хүрч байгаа бөгөөд энэ нь гурвалжин дотор бичигдсэн гэсэн үг юм.
Тэгэхээр гурвалжны гурван биссектриса нь тойргийн төв болох цэг дээр огтлолцоно.
Гурвалжны перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэгтэй холбоотой өөр теоремыг авч үзье. Тэд нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд энэ цэг нь гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төвтэй давхцаж байгааг бид мэднэ.
Ямар ч гурвалжны эргэн тойронд тойрог зурж болно.
Тиймээс гурвалжин өгөгдсөн. ВС гурвалжны тал руу p 1 биссектрис, АВ тал руу p 2, АС тал руу p 3 зуръя (2-р зургийг үз).
Перпендикуляр биссектрисын шинж чанарын тухай теоремын дагуу хэрчмийн перпендикуляр биссектрист хамаарах цэг нь сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байна. Тиймээс, учир нь Q цэг нь АС сегментийн перпендикуляр биссектрист хамаарна. Үүний нэгэн адил. Тиймээс Q цэг нь гурвалжны оройн цэгүүдээс ижил зайд байна. Тиймээс QA, QB, QC нь радиус юм
Цагаан будаа. 2
гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог. Радиусыг R гэж тэмдэглэе. Бисектрисын перпендикуляруудын огтлолцлын О цэг нь хүрээлэгдсэн тойргийн төв юм.
Тодорхой дөрвөн өнцөгт дотор бичээстэй тойрог ба энэ дөрвөн өнцөгтийн шинж чанарыг авч үзье (3-р зургийг үз).
Өнцгийн биссектриса дээр байрлах цэгийн шинж чанарыг эргэн санацгаая.
Өнцөг өгөгдсөн, түүний биссектриса AL, M цэг нь биссектрис дээр байрладаг.
Хэрэв M цэг нь өнцгийн биссектриса дээр байрладаг бол өнцгийн талуудаас ижил зайтай, өөрөөр хэлбэл, өнцгийн талуудын М цэгээс АС ба ВС хүртэлх зай тэнцүү байна.
Цагаан будаа. 3
Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зай нь перпендикулярын урт юм. М цэгээс АВ тал руу MK, АС тал руу MR перпендикуляр зурна.
Гурвалжин болон . Эдгээр нь тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд тэдгээр нь тэнцүү, учир нь... нийтлэг гипотенуз AM байх ба AL нь өнцгийн биссектриса тул өнцөг нь тэнцүү байна. Тиймээс тэгш өнцөгт гурвалжнууд нь гипотенуз ба хурц өнцгийн хувьд тэнцүү тул үүнийг батлах шаардлагатай байна. Тиймээс өнцгийн биссектрисын цэг нь тухайн өнцгийн талуудаас ижил зайд байна.
Үүнээс гадна хөл. Тиймээс нэг цэгээс тойрог руу татсан шүргэгч хэрчмүүд тэнцүү байна.
Ингээд дөрвөн өнцөгт рүү буцъя. Эхний алхам бол түүнд биссектрис зурах явдал юм.
Дөрвөн өнцөгтийн бүх биссектриса нь нэг цэг дээр огтлолцдог - О цэг, бичээстэй тойргийн төв.
O цэгээс бид дөрвөн өнцөгтийн хажуугийн перпендикуляруудыг K, L, M, N цэгүүдэд буулгаж, шүргэлтийн цэгүүдийг тодорхойлно (3-р зургийг үз).
Нэг цэгээс тойрог руу татсан шүргэгч нь хоорондоо тэнцүү тул орой бүрээс хос тэнцүү шүргэгч гарч ирнэ: , , , .
Цагаан будаа. 3
Хэрэв тойргийг дөрвөлжин хэлбэрээр бичиж болох юм бол түүний эсрэг талын нийлбэрүүд тэнцүү байна. Үүнийг батлахад хялбар:
Хаалтуудыг өргөжүүлье:
Тиймээс бид энгийн боловч чухал теоремыг баталсан.
Хэрэв тойргийг дөрвөлжин хэлбэрээр бичиж болох юм бол түүний эсрэг талын нийлбэрүүд тэнцүү байна.
Эсрэг теорем үнэн.
Хэрэв дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талуудын нийлбэр тэнцүү бол тойрог дотор нь зурж болно.
Дөрвөн өнцөгт хүрээлэгдсэн тойргийг авч үзье.
О төвтэй тойрог ба дурын дөрвөн өнцөгт ABCD өгөгдсөн. Энэ дөрвөн өнцөгтийн шинж чанарыг авч үзье. Өгөгдсөн дөрвөн өнцөгтийн бүх дөрвөн перпендикуляр биссектриса нь нэг цэгт огтлолцдог: энэ цэг нь тойргийн төв юм.
Дөрвөн перпендикуляр биссектрис бүгд нэг цэгт огтлолцдог гэдгийг батлах нь уйтгартай байх болно. Өөр нэг тэмдэг бий. ےА өнцгийг авч үзье, энэ нь тойргийн бичээстэй өнцөг бөгөөд энэ нь нуман дээр байрладаг бөгөөд энэ нумын хэмжүүрийн хагасаар хэмжигддэг (4-р зургийг үз). ےА өнцгийг , дараа нь нум гэж тэмдэглэе. Үүний нэгэн адил бид эсрэг талын өнцгийг ےС гэж тодорхойлдог бөгөөд энэ нь тойрог дотор бичигдсэн бөгөөд нуман дээр байрладаг. Тиймээс нум үүсдэг.
Цагаан будаа. 4
Нуманууд нь бүрэн тойрог үүсгэдэг. Эндээс:
, 
Үр дүнгийн илэрхийлэлийг хоёроор хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.
Тиймээс бид шууд теоремыг баталсан.
Теорем
Хэрэв тойрог нь дөрвөн өнцөгтийг тойрон хүрээлэгдсэн бол түүний эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь .
Энэ бол зайлшгүй бөгөөд хангалттай тэмдэг, өөрөөр хэлбэл эсрэг теорем үнэн юм.
Дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь бол энэ дөрвөлжингийн эргэн тойронд тойрог зурж болно.
Эдгээр теоремууд дээр үндэслэн бид параллелограммыг тойрсон тойргийг дүрслэх боломжгүй гэдгийг тэмдэглэж байна, учир нь түүний эсрэг талын өнцөг нь тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн нийлбэр нь тэнцүү биш юм (5-р зургийг үз).
Цагаан будаа. 5
Хэрэв параллелограммыг тойруулан тойргийг түүний эсрэг талын өнцөг нь 90°-тай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл тэгш өнцөгт байсан бол тэгш өнцөгтийн эргэн тойронд тойргийг дүрсэлж болно (6-р зургийг үз).
Цагаан будаа. 6
Ромбыг тойрсон тойргийг дүрслэх нь бас боломжгүй боловч ромбын бүх талууд тэнцүү тул ромбын эсрэг талын нийлбэрүүд тэнцүү байдаг тул үүнийг бичиж болно.
Нэмж дурдахад, ромбын диагональ бүр нь биссектриса бөгөөд биссектрисын огтлолцлын цэг нь ромбын бүх талаас ижил зайд байрладаг (7-р зургийг үз).
Цагаан будаа. 7
Тиймээс бид ямар ч гурвалжинд тойрог бичиж болно гэдгийг нотолсон бөгөөд энэ тойргийн төв нь гурвалжны биссектрисын огтлолцох цэгтэй давхцдаг. Мөн бид ямар ч гурвалжны эргэн тойронд тойргийг дүрсэлж болох бөгөөд түүний төв нь перпендикуляр биссектрисын огтлолцох цэгтэй давхцах болно гэдгийг бид нотолсон. Нэмж дурдахад бид зарим дөрвөн өнцөгтийг тойрог хэлбэрээр бичиж болохыг олж мэдсэн бөгөөд үүнийг хийхийн тулд дөрвөлжингийн эсрэг талын нийлбэрүүд тэнцүү байх шаардлагатай. Зарим дөрвөлжингийн эргэн тойронд тойргийг дүрслэх боломжтой бөгөөд үүний зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл нь эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэрийн тэгш байдал гэдгийг бид харуулсан.
Ном зүй
- Александров А.Д. болон бусад.Геометр, 8-р анги. - М.: Боловсрол, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометр, 8-р анги. - М.: Боловсрол, 2011 он.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометр, 8-р анги. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009 он.
- Uztest.ru ().
- Mschool.kubsu.ru ().
- Ege-study.ru ().
Гэрийн даалгавар
Тодорхойлолт 2
1-р тодорхойлолтын нөхцлийг хангасан олон өнцөгтийг тойргийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн гэж нэрлэдэг.
Зураг 1. Бичсэн тойрог
Теорем 1 (гурвалжин дотор дүрслэгдсэн тойргийн тухай)
Теорем 1
Та ямар ч гурвалжинд тойрог бичиж болно, зөвхөн нэг.
Баталгаа.
$ABC$ гурвалжинг авч үзье. Дотор нь $O$ цэгээр огтлолцох биссектрисуудыг зурж, түүнээс гурвалжны талууд руу перпендикуляр зурцгаая (Зураг 2).
Зураг 2. Теорем 1-ийн дүрслэл
Оршихуй: Төв нь $O$ цэг, радиус нь $OK байх тойрог зуръя.\ $$O$ цэг нь гурван биссектрист байрладаг тул $ABC$ гурвалжны талуудаас ижил зайд оршдог. Энэ нь $OM=OK=OL$ гэсэн үг. Үүний үр дүнд барьсан тойрог нь $M \ ба \ L $ цэгүүдээр дамждаг. $OM,OK\ болон\OL$ нь гурвалжны талуудтай перпендикуляр тул тойргийн шүргэгч теоремын дагуу баригдсан тойрог нь гурвалжны бүх гурван талд хүрнэ. Тиймээс гурвалжны дур зоргоороо байдаг тул дурын гурвалжинд тойрог бичиж болно.
Өвөрмөц байдал: $ABC$ гурвалжинд төв нь $O"$ цэгтэй өөр нэг тойргийг бичиж болно гэж бодъё. Түүний төв нь гурвалжны хажуу талуудаас ижил зайд байрладаг тул $O$ цэгтэй давхцаж, радиустай тэнцүү байна. урт $OK$ Гэхдээ дараа нь энэ тойрог эхний тойрогтой давхцах болно.
Теорем нь батлагдсан.
Үр дүн 1: Гурвалжинд бичээстэй тойргийн төв нь түүний биссектрисын огтлолцлын цэг дээр байрладаг.
Бичсэн тойрог гэсэн ойлголттой холбоотой өөр хэдэн баримт энд байна.
Дөрвөн өнцөгт бүр тойрогт багтахгүй.
Ямар ч хүрээлэгдсэн дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талуудын нийлбэр тэнцүү байна.
Хэрэв гүдгэр дөрвөлжингийн эсрэг талуудын нийлбэрүүд тэнцүү бол түүнд тойрог бичиж болно.
Тодорхойлолт 3
Хэрэв олон өнцөгтийн бүх оройнууд тойрог дээр байрладаг бол тойргийг олон өнцөгтийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн гэж нэрлэдэг (Зураг 3).
Тодорхойлолт 4
2-р тодорхойлолтыг хангасан олон өнцөгтийг тойрог дотор бичээстэй гэнэ.
Зураг 3. Хязгаарласан тойрог
Теорем 2 (гурвалжингийн тойргийн тухай)
Теорем 2
Аливаа гурвалжны эргэн тойронд та тойрог, зөвхөн нэгийг дүрсэлж болно.
Баталгаа.
$ABC$ гурвалжинг авч үзье. Дотор нь $O$ цэгээр огтлолцох перпендикуляр биссектрисуудыг зурж, гурвалжны оройтой холбоно (Зураг 4).
Зураг 4. Теорем 2-ын дүрслэл
Оршихуй: Төв нь $O$ цэгт, $OC$ радиустай тойрог байгуулъя. $O$ цэг нь гурвалжны оройноос ижил зайд, өөрөөр хэлбэл $OA=OB=OC$ байна. Үүний үр дүнд баригдсан тойрог нь өгөгдсөн гурвалжны бүх оройг дайран өнгөрдөг бөгөөд энэ нь энэ гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн гэсэн үг юм.
Өвөрмөц байдал: $ABC$ гурвалжны эргэн тойронд төв нь $O"$ цэгтэй өөр тойргийг дүрсэлж болно гэж бодъё. Түүний төв нь гурвалжны оройн цэгүүдээс ижил зайтай, тиймээс $O$ цэгтэй давхцаж байгаа бөгөөд $OC урттай тэнцүү радиус.$ Гэхдээ дараа нь энэ тойрог эхний тойрогтой давхцах болно.
Теорем нь батлагдсан.
Үр дүн 1: Гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь түүний биссектораль перпендикуляруудын огтлолцлын цэгтэй давхцаж байна.
Тойргийн тухай ойлголттой холбоотой өөр хэдэн баримт энд байна.
Дөрвөн өнцөгтийг тойрсон тойргийг дүрслэх нь үргэлж боломжгүй байдаг.
Аливаа мөчлөгт дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр $(180)^0$ байна.
Дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр $(180)^0$ бол түүнийг тойруулан тойрог зурж болно.
Бичсэн ба хүрээлэгдсэн тойргийн тухай ойлголтуудын асуудлын жишээ
Жишээ 1
Тэгш өнцөгт гурвалжны суурь нь 8 см, тал нь 5 см, бичээстэй тойргийн радиусыг ол.
Шийдэл.
$ABC$ гурвалжинг авч үзье. Дүгнэлт 1-ээр бид тойргийн төв нь биссектрисын огтлолцол дээр оршдог гэдгийг бид мэднэ. $O$ цэгт огтлолцох $AK$ ба $BM$ биссектрисаг зурцгаая. $O$ цэгээс $BC$ тал руу перпендикуляр $OH$ зуръя. Зураг зурцгаая:
Зураг 5.
Гурвалжин нь тэгш өнцөгт тул $BM$ нь медиан ба өндөр хоёулаа байна. Пифагорын теоремоор $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=3$. $OM=OH=r$ -- бичээстэй тойргийн шаардлагатай радиус. $MC$ ба $CH$ огтлолцох шүргэгчийн сегмент учраас огтлолцох шүргэгчийн тухай теоремоор бид $CH=MC=4\cm$ байна. Иймд $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. Пифагорын теоремын дагуу $OHB$ гурвалжингаас бид дараахь зүйлийг олж авна.
\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \
Хариулт:$\frac(4)(3)$.
Мөн энэ нь түүний бүх талуудад хамаатай.
Нэвтэрхий толь бичиг YouTube
-
1 / 5
Бичсэн тойргийн шинж чанарууд:
r = (− a + b + c) (a − b + c) (a + b − c) 4 (a + b + c) ; (\displaystyle r=(\sqrt (\frac ((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))(4(a+b+c)))); 1 r = 1 h a + 1 h b + 1 h c (\displaystyle (\frac (1)(r))=(\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)) ))+(\frac (1)(h_(c))))Хаана a , b , c (\displaystyle a,b,c)- гурвалжны талууд, h a , h b , h c (\displaystyle h_(a), h_(b), h_(c))- харгалзах талууд руу татсан өндөр;
r = S p = (p - a) (p - b) (p - c) p (\ displaystyle r = (\ frac (S) (p)) = (\ sqrt (\ frac ((p-a) (p-b)) (p-c))(p))))Хаана S (\displaystyle S)гурвалжны талбай ба p (\displaystyle p)- түүний хагас периметр.
- Хэрэв A B (\displaystyle AB)- тэгш өнцөгт гурвалжны суурь, өнцгийн талуудтай шүргэгч тойрог ∠ A C B (\displaystyle \ өнцөг ACB)цэгүүдэд A (\displaystyle A)Тэгээд B (\displaystyle B), гурвалжингийн бичээстэй тойргийн төвөөр дамжин өнгөрдөг △ A B C (\displaystyle \гурвалжин ABC).
- Эйлерийн теорем: R 2 − 2 R r = | O I | 2 (\displaystyle R^(2)-2Rr=|OI|^(2)), Хаана R (\displaystyle R)- гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус, r (\displaystyle r)- дотор нь бичсэн тойргийн радиус, O (\displaystyle O)- хүрээлэгдсэн тойргийн төв, Би (\displaystyle I)- бичээстэй тойргийн төв.
- Хэрэв I цэгийг AB талтай параллель өнгөрөх шулуун нь ВС ба CA талуудыг А 1 ба В 1 цэгүүдээр огтолж байвал A 1 B 1 = A 1 B + A B 1 (\displaystyle A_(1)B_(1)=A_(1)B+AB_(1)).
- Хэрэв шүргэх цэгүүдийг гурвалжинд бичвэл T (\displaystyle T)Тойрог сегментүүдээр холбосноор та дараах шинж чанаруудтай T 1 гурвалжинг авна.
- T-ийн биссектриса нь T 1-ийн перпендикуляр биссектриса юм
- T 2 нь ортотри өнцөгт T 1 байг. Дараа нь түүний талууд нь анхны T гурвалжны талуудтай параллель байна.
- T 1 гурвалжны дунд цэгийг T 3 гэж үзье. Дараа нь T-ийн биссектриса нь T 3-ын өндөр болно.
- T 4-ийг T 3-ын ортотри өнцөгт гэж үзье, тэгвэл T-ийн биссектриса нь T 4-ийн биссектриса болно.
- a, b, гипотенуз в хөлтэй тэгш өнцөгт гурвалжинд бичээстэй тойргийн радиус нь тэнцүү байна. a + b − c 2 (\displaystyle (\frac (a+b-c)(2))).
- Гурвалжны С оройноос тойрог нь хажуу тийш хүрэх цэг хүртэлх зайтай тэнцүү байна. d = a + b − c 2 = p − c (\displaystyle d=(\frac (a+b-c)(2))=p-c).
- С оройноос бичээстэй тойргийн төв хүртэлх зай l c = r sin (γ 2) (\displaystyle l_(c)=(\frac (r)(\sin((\frac (\гамма)(2)))))), энд r нь бичээстэй тойргийн радиус, γ нь С оройн өнцөг юм.
- С оройноос бичээстэй тойргийн төв хүртэлх зайг мөн томъёог ашиглан олж болно l c = (p − c) 2 + r 2 (\displaystyle l_(c)=(\sqrt ((p-c)^(2)+r^(2))))Тэгээд l c = a b − 4 R r (\ displaystyle l_(c)=(\sqrt (ab-4Rr))))
- Trident теорем буюу trefoil теорем: Хэрэв Д- өнцгийн биссектрисын огтлолцох цэг Агурвалжингийн тойрогтой ABC, IТэгээд Ж- тус тус бичээсийн төвүүд ба хажуу тийш шүргэнэ МЭӨ, Дараа нь | D I | = | D B | = | D C | = | D J | (\displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|).
- Верриерагийн лемма: тойрог байг V (\displaystyle V)талуудад хамаатай A B (\displaystyle AB), A C (\displaystyle AC)ба нумууд B C (\displaystyle BC)гурвалжны тойрог. Дараа нь тойргийн шүргэлтийн цэгүүд V (\displaystyle V)гурвалжингийн бичээстэй тойргийн тал ба төвтэй A B C (\displaystyle ABC)ижил шулуун шугам дээр хэвтэх.
- Фейербахын теорем. Есөн цэгийн тойрог нь гурвууланд нь хүрдэг эргэлддэг, ба бичээстэй тойрог. Мэдрэгч цэг Эйлерийн тойрогТэгээд бичээстэй тойрогФейербах цэг гэж нэрлэдэг.
Бичсэн тойрог ба тойргийн хоорондын хамаарал
R R = 4 S 2 p a b c = cos α + cos β + cos γ − 1 ; (\ displaystyle (\ frac (r) (R)) = (\ frac (4S ^ (2)) (pabc)) = \ cos \ alpha + \ cos \ бета + \ cos \ гамма -1;)
