Квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хооронд язгуур томъёоноос гадна өгөгдсөн бусад ашигтай хамаарал байдаг. Вьетагийн теорем. Энэ нийтлэлд бид Виетийн теоремын томъёолол, нотолгоог өгөх болно квадрат тэгшитгэл. Дараа нь бид Вьетагийн теоремын эсрэг теоремыг авч үзье. Үүний дараа бид хамгийн энгийн жишээнүүдийн шийдлүүдийг шинжлэх болно. Эцэст нь бид жинхэнэ язгуур хоорондын хамаарлыг тодорхойлсон Виетийн томъёог бичнэ алгебрийн тэгшитгэл n зэрэг ба түүний коэффициентүүд.

Хуудасны навигаци.

Виетийн теорем, томъёолол, нотолгоо

D=b 2 −4·a·c байх хэлбэрийн a·x 2 +b·x+c=0 квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын томъёоноос x 1 +x 2 =− дараах хамаарал үүснэ. b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Эдгээр үр дүн нь батлагдсан Вьетагийн теорем:

Теорем.

Хэрэв x 1 ба x 2 нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд a x 2 +b x+c=0, тэгвэл язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан b ба a коэффициентүүдийн харьцаа, үржвэртэй тэнцүү байна. үндэс нь c ба a коэффициентүүдийн харьцаатай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, .

Баталгаа.

Бид дараахь схемийн дагуу Вьетагийн теоремын нотолгоог гүйцэтгэнэ: мэдэгдэж буй язгуур томъёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийн язгуурын нийлбэр ба үржвэрийг зохиож, дараа нь үүссэн илэрхийллийг хувиргаж, тэдгээр нь −b/-тэй тэнцүү эсэхийг шалгана. a ба c/a тус тус.

Үндэсний нийлбэрээс эхэлж, түүнийг бүрдүүлье. Одоо бид бутархайг багасгаж байна Ерөнхий хуваарь, бидэнд байгаа . Үүссэн бутархайн дугаарт, үүний дараа:. Эцэст нь 2-ын дараа бид . Энэ нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурын нийлбэрт зориулсан Вьета теоремын анхны хамаарлыг баталж байна. Хоёр дахь руугаа явцгаая.

Бид квадрат тэгшитгэлийн язгуурын үржвэрийг байгуулна: . Бутархайг үржүүлэх дүрмийн дагуу, сүүлчийн хэсэггэж бичиж болно. Одоо бид тоологч дахь хаалтыг хаалтаар үржүүлж байгаа боловч энэ бүтээгдэхүүнийг дараах байдлаар буулгах нь илүү хурдан болно. квадрат зөрүүний томъёо, Тэгэхээр. Дараа нь санаж, бид дараагийн шилжилтийг хийдэг. Квадрат тэгшитгэлийн дискриминант нь D=b 2 −4·a·c томьёотой тохирч байгаа тул сүүлийн бутархай дахь D-ийн оронд b 2 −4·a·c-ийг орлуулж болно. Хашилтыг нээж, цутгасны дараа ижил төстэй нэр томъёобид бутархай дээр ирэх ба түүний 4·а-аар буурах нь . Энэ нь язгуурын үржвэрийн талаарх Вьета теоремын хоёр дахь хамаарлыг баталж байна.

Хэрэв бид тайлбарыг орхих юм бол Виетийн теоремын баталгаа нь товч хэлбэртэй болно.
,
.

Хэзээ гэдгийг анхаарах л үлдлээ тэгтэй тэнцүүДискриминант квадрат тэгшитгэл нь нэг үндэстэй. Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь хоёр ижил язгууртай гэж үзвэл Виетийн теоремын тэгшитгэлүүд бас биелнэ. Үнэхээр D=0 үед квадрат тэгшитгэлийн язгуур нь , тэгвэл ба , мөн D=0 тул b 2 −4·a·c=0, эндээс b 2 =4·a·c байна. .

Практикт Виетийн теоремыг x 2 +p·x+q=0 хэлбэрийн бууруулсан квадрат тэгшитгэлтэй (тэргүүлэх коэффициент a 1-тэй тэнцүү) ихэвчлэн ашигладаг. Заримдаа үүнийг зөвхөн ийм төрлийн квадрат тэгшитгэлд зориулж томъёолдог бөгөөд энэ нь ерөнхий байдлыг хязгаарладаггүй, учир нь аль ч квадрат тэгшитгэлийг хоёр талыг тэгээс өөр тоогоор хуваах замаар тэнцүү тэгшитгэлээр сольж болно. Виетийн теоремын харгалзах томьёоллыг өгье.

Теорем.

Буурсан квадрат тэгшитгэлийн язгуурын нийлбэр x 2 +p x+q=0 нь эсрэг тэмдгээр авсан х-ийн коэффициенттэй, язгууруудын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл x 1. +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Теорем нь Вьетагийн теоремтой эсрэг байна

Өмнөх догол мөрөнд өгөгдсөн Виетийн теоремын хоёр дахь томьёолол нь хэрэв x 1 ба x 2 нь x 2 +p x+q=0 бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн язгуур бол x 1 +x 2 =−p хамаарал болохыг харуулж байна. , x 1 x 2 =q. Нөгөө талаас x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q гэсэн бичээсийн хамаарлаас x 1 ба x 2 нь x 2 +p x+q=0 квадрат тэгшитгэлийн язгуур юм. Өөрөөр хэлбэл, Вьетагийн теоремын эсрэг тал нь үнэн юм. Үүнийг теорем хэлбэрээр томъёолж, баталъя.

Теорем.

Хэрвээ x 1 ба x 2 тоонууд нь x 1 +x 2 =−p ба x 1 · x 2 =q байвал x 1 ба x 2 нь x 2 +p · x+q багасгасан квадрат тэгшитгэлийн үндэс болно. =0.

Баталгаа.

x 2 +p·x+q=0 тэгшитгэлийн p ба q илтгэлцүүрүүдийг x 1 ба x 2-ээр илэрхийлсэн илэрхийллээр сольсны дараа тэнцүү тэгшитгэлд хувирна.

Үүссэн тэгшитгэлд x-ийн оронд x 1 тоог орлуулъя, тэгвэл бид тэгшитгэлтэй болно. x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, аль ч x 1 ба x 2-ын хувьд 0=0 зөв тоон тэгшитгэлийг илэрхийлнэ x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Тиймээс x 1 нь тэгшитгэлийн үндэс юм x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, энэ нь x 1 нь x 2 +p·x+q=0 эквивалент тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг.

Хэрэв тэгшитгэлд байгаа бол x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 x-ийн оронд x 2 тоог орлуулбал тэгшитгэлийг авна x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Энэ бол жинхэнэ тэгш байдал, учир нь x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Тиймээс x 2 нь мөн тэгшитгэлийн үндэс юм x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, тэгэхээр x 2 +p·x+q=0 тэгшитгэлүүд.

Энэ нь теоремын нотолгоог гүйцээж, теоремын эсрэгВьетнам.

Виетийн теоремыг ашиглах жишээ

Вьетагийн теорем ба түүний эсрэг теоремыг практикт хэрэглэх тухай ярих цаг болжээ. Энэ хэсэгт бид хамгийн энгийн жишээнүүдийн шийдлүүдийг шинжлэх болно.

Вьетагийн теоремын эсрэг теоремыг хэрэглэж эхэлцгээе. Өгөгдсөн хоёр тоо нь өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн үндэс мөн эсэхийг шалгахад ашиглахад тохиромжтой. Энэ тохиолдолд тэдгээрийн нийлбэр ба зөрүүг тооцоолж, дараа нь харилцааны хүчинтэй байдлыг шалгана. Хэрэв эдгээр харилцаа хоёулаа хангагдаж байвал теоремийн ачаар Вьетнамын теоремтой эсрэгээр байвал эдгээр тоо нь тэгшитгэлийн үндэс болно гэж дүгнэнэ. Хэрэв харилцааны дор хаяж нэг нь хангагдаагүй бол эдгээр тоо нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс биш юм. Энэ аргыг квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд олсон үндсийг шалгахад ашиглаж болно.

Жишээ.

1) x 1 =−5, x 2 =3, эсвэл 2) эсвэл 3) хос тоонуудын аль нь 4 x 2 −16 x+9=0 квадрат тэгшитгэлийн хос үндэс вэ?

Шийдэл.

Өгөгдсөн 4 x 2 −16 x+9=0 квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд a=4, b=−16, c=9. Виетийн теоремоор квадрат тэгшитгэлийн язгуурын нийлбэр нь −b/a, өөрөөр хэлбэл 16/4=4, язгуурын үржвэр нь c/a, өөрөөр хэлбэл 9-тэй тэнцүү байх ёстой. /4.

Одоо өгөгдсөн гурван хос тус бүрийн тоонуудын нийлбэр ба үржвэрийг тооцоолж, саяхан олж авсан утгуудтай харьцуулцгаая.

Эхний тохиолдолд бид x 1 +x 2 =−5+3=−2 байна. Үүссэн утга нь 4-ээс ялгаатай тул нэмэлт шалгалт хийх боломжгүй, гэхдээ Виетийн теоремтой урвуу теоремыг ашигласнаар эхний хос тоо нь өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн хос үндэс биш гэдгийг шууд дүгнэж болно.

Хоёр дахь тохиолдол руугаа орцгооё. Энд, өөрөөр хэлбэл, эхний нөхцөл хангагдсан байна. Бид хоёр дахь нөхцөлийг шалгана: үр дүн нь 9/4-ээс өөр байна. Иймээс хоёр дахь хос тоо нь квадрат тэгшитгэлийн хос үндэс биш юм.

Сүүлийн нэг тохиолдол үлдлээ. Энд ба . Хоёр нөхцөл хангагдсан тул эдгээр x 1 ба x 2 тоо нь өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн үндэс болно.

Хариулт:

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олохын тулд Виетийн теоремын эсрэг заалтыг практикт ашиглаж болно. Ихэвчлэн бүхэл тоон коэффициент бүхий өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн бүхэл язгуурыг сонгодог, учир нь бусад тохиолдолд үүнийг хийхэд нэлээд хэцүү байдаг. Энэ тохиолдолд хэрэв хоёр тооны нийлбэр нь хасах тэмдгээр авсан квадрат тэгшитгэлийн хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү бөгөөд эдгээр тоонуудын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү бол эдгээр тоонууд нь Энэ квадрат тэгшитгэлийн үндэс. Үүнийг жишээгээр ойлгоцгооё.

x 2 −5 x+6=0 квадрат тэгшитгэлийг авч үзье. x 1 ба x 2 тоонууд энэ тэгшитгэлийн үндэс байхын тулд x 1 + x 2 =5 ба x 1 ·x 2 =6 гэсэн хоёр тэгшитгэл хангагдсан байх ёстой. Ийм тоонуудыг сонгох л үлдлээ. Энэ тохиолдолд үүнийг хийхэд маш энгийн: 2+3=5 ба 2·3=6 тул ийм тоонууд нь 2 ба 3 байна. Тиймээс 2 ба 3 нь энэ квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм.

Виетийн теоремтой урвуу теорем нь өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн хоёр дахь язгуурыг олохын тулд аль нэг үндэс нь аль хэдийн мэдэгдэж байгаа эсвэл тодорхой үед ашиглахад тохиромжтой. Энэ тохиолдолд хоёр дахь үндсийг аль ч харилцаанаас олж болно.

Жишээ нь 512 x 2 −509 x −3=0 квадрат тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү тул нэгдэл нь тэгшитгэлийн язгуур гэдгийг эндээс харахад хялбар байдаг. Тэгэхээр x 1 = 1. Хоёрдахь язгуур x 2-г жишээ нь x 1 ·x 2 =c/a хамаарлаас олж болно. Бидэнд 1 x 2 =−3/512 байгаа бөгөөд үүнээс x 2 =−3/512. 1 ба −3/512 гэсэн квадрат тэгшитгэлийн язгуур хоёрыг бид ингэж тодорхойлсон.

Үндэс сонгох нь зөвхөн хамгийн энгийн тохиолдолд л зөвлөдөг нь ойлгомжтой. Бусад тохиолдолд язгуурыг олохын тулд дискриминантын тусламжтайгаар квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглаж болно.

Өөр практик хэрэглээВиетийн теоремтой эсрэгээр энэ теорем нь x 1 ба x 2 язгуураар өгөгдсөн квадрат тэгшитгэл зохиохоос бүрдэнэ. Үүнийг хийхийн тулд өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн эсрэг тэмдэг бүхий х коэффициентийг өгөх язгуурын нийлбэр, чөлөөт гишүүнийг өгөх язгуурын үржвэрийг тооцоолоход хангалттай.

Жишээ.

Үндэс нь −11 ба 23 байх квадрат тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл.

x 1 =−11 ба x 2 =23 гэж тэмдэглэе. Бид эдгээр тоонуудын нийлбэр ба үржвэрийг тооцоолно: x 1 +x 2 =12 ба x 1 ·x 2 =−253. Иймд заасан тоонууд нь −12 хоёр дахь коэффициент, −253 чөлөөт гишүүнтэй багасгасан квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм. Өөрөөр хэлбэл, x 2 −12·x−253=0 нь шаардлагатай тэгшитгэл юм.

Хариулт:

x 2 −12·x−253=0 .

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын шинж тэмдгүүдтэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд Виетийн теоремыг ихэвчлэн ашигладаг. Вьетагийн теорем x 2 +p·x+q=0 бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн язгуурын тэмдгүүдтэй ямар холбоотой вэ? Энд хоёр хамааралтай мэдэгдэл байна:

• Хэрэв огтлолцох гишүүн q эерэг тоо бол квадрат тэгшитгэлтэй бол жинхэнэ үндэс, дараа нь аль аль нь эерэг эсвэл хоёулаа сөрөг байна.
• Хэрэв q чөлөөт гишүүн сөрөг тоо бөгөөд квадрат тэгшитгэл нь бодит язгууртай бол тэдгээрийн тэмдгүүд нь өөр өөрөөр хэлбэл нэг язгуур эерэг, нөгөө нь сөрөг байна.

Эдгээр мэдэгдлүүд нь x 1 · x 2 =q томьёо, түүнчлэн эерэг үржүүлэх дүрмээс үүсэлтэй. сөрөг тоонуудмөн өөр өөр тэмдэгтэй тоонууд. Тэдний хэрэглээний жишээг авч үзье.

Жишээ.

R эерэг байна. Дискриминант томьёог ашиглан D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, r 2 +8 илэрхийллийн утгыг олно. ямар ч бодит r-д эерэг байх тул аливаа бодит r-д D>0 байна. Тиймээс анхны квадрат тэгшитгэл нь r параметрийн аливаа бодит утгын хувьд хоёр үндэстэй байна.

Одоо үндэс нь өөр өөр шинж тэмдэгтэй байх үед олж мэдье. Хэрэв язгуурын шинж тэмдгүүд өөр байвал тэдгээрийн үржвэр нь сөрөг байх ба Виетийн теоремын дагуу бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн язгуурын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна. Тиймээс бид r-1 чөлөөт нэр томъёо сөрөг байх r утгуудыг сонирхож байна. Тиймээс бидний сонирхож буй r утгыг олохын тулд бидэнд хэрэгтэй шийдэх шугаман тэгш бус байдал r−1<0 , откуда находим r<1 .

Хариулт:

r<1 .

Виета томъёо

Дээр бид квадрат тэгшитгэлийн Виетийн теоремын талаар ярилцаж, түүний баталж буй хамаарлыг задлан шинжилсэн. Гэхдээ зөвхөн квадрат тэгшитгэл төдийгүй куб тэгшитгэл, дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэл, ерөнхийдөө бодит язгуур, коэффициентийг холбосон томъёо байдаг. алгебрийн тэгшитгэлзэрэг n. Тэд гэж нэрлэдэг Вьетагийн томъёо.

Маягтын n зэрэгтэй алгебрийн тэгшитгэлийн Виетийн томьёог бичээд, энэ нь n бодит язгууртай гэж үзье x 1, x 2, ..., x n (тэдгээрийн дунд давхцах нь байж болно):

Виетийн томъёог авч болно олон гишүүнтийг шугаман хүчин зүйл болгон задлах теорем, түүнчлэн ижил олон гишүүнтүүдийг тэдгээрийн харгалзах бүх коэффициентүүдийн тэгшитгэлээр тодорхойлох. Тиймээс олон гишүүнт ба түүний хэлбэрийн шугаман хүчин зүйл рүү тэлэх нь тэнцүү байна. Сүүлчийн бүтээгдэхүүн дэх хаалтуудыг нээж, харгалзах коэффициентүүдийг тэгшитгэснээр бид Виетийн томъёог олж авна.

Тодруулбал, n=2-ын хувьд бид квадрат тэгшитгэлийн аль хэдийн танил болсон Вьета томьёотой.

Куб тэгшитгэлийн хувьд Виетийн томъёонууд нь хэлбэртэй байна

Вьетагийн томъёоны зүүн талд анхан шатны гэж нэрлэгддэг зүйл байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. тэгш хэмт олон гишүүнт.

Ном зүй.

• Алгебр:сурах бичиг 8-р ангийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А.Г.Алгебр. 8-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich. - 11-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2009. - 215 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Алгебрболон математик анализын эхлэл. 10-р анги: сурах бичиг. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд: үндсэн ба профиль. түвшин / [Ю. М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин]; засварласан A. B. Жижченко. - 3 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2010.- 368 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Энэ лекцээр бид квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба түүний коэффициентүүдийн хоорондох сонирхолтой хамааралтай танилцах болно. Эдгээр харилцааг Францын математикч Франсуа Вьет (1540-1603) анх нээжээ.

Жишээлбэл, 3x 2 - 8x - 6 = 0 тэгшитгэлийн хувьд үндсийг нь олохгүйгээр та Виетийн теоремыг ашиглан язгууруудын нийлбэр нь тэнцүү, язгуурын үржвэр нь тэнцүү гэж шууд хэлж болно.
өөрөөр хэлбэл - 2. x 2 - 6x + 8 = 0 тэгшитгэлийн хувьд бид дүгнэж байна: язгууруудын нийлбэр нь 6, үндэсийн үржвэр нь 8; Дашрамд хэлэхэд, үндэс нь юутай тэнцүү болохыг таахад хэцүү биш юм: 4 ба 2.
Вьетагийн теоремын баталгаа. ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийн x 1 ба x 2 язгуурыг томъёогоор олно.

Энд D = b 2 - 4ac нь тэгшитгэлийн дискриминант юм. Эдгээр үндсийг нэгтгэж,
бид авдаг

Одоо x 1 ба x 2 үндэсүүдийн үржвэрийг тооцоолъё. Бидэнд байна

Хоёрдахь хамаарал нь батлагдсан:
Сэтгэгдэл. Виетийн теорем нь квадрат тэгшитгэл нь нэг язгууртай (өөрөөр хэлбэл D = 0 үед) тохиолдолд мөн адил хүчинтэй бөгөөд энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь дээрх харилцааг ашигласан хоёр ижил язгууртай гэж үздэг.
x 2 + px + q = 0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийн батлагдсан хамаарал нь маш энгийн хэлбэртэй байна. Энэ тохиолдолд бид дараахийг олж авна.

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 =q
тэдгээр. бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй, язгуурын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна.
Виетийн теоремыг ашигласнаар квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын бусад хамаарлыг олж авч болно. Жишээлбэл, x 1 ба x 2 нь x 2 + px + q = 0 гэсэн бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн үндэс байцгаая. Дараа нь

Гэхдээ Виетийн теоремын гол зорилго нь квадрат тэгшитгэлийн язгуур болон коэффициентүүдийн хоорондын зарим хамаарлыг илэрхийлэхэд оршдоггүй. Илүү чухал зүйл бол Виетийн теоремыг ашиглан квадрат гурвалжны хүчин зүйлүүдийг ялгах томьёог гаргаж авсан бөгөөд бид үүнийг ирээдүйд хийх боломжгүй юм.

Баталгаа. Бидэнд байгаа

Жишээ 1. Квадрат гурвалсан гишүүнийг 3х 2 - 10х + 3 гэж тооц.
Шийдэл. 3x 2 - 10x + 3 = 0 тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид 3x 2 - 10x + 3 гурвалсан квадратын язгуурыг олно: x 1 = 3, x2 = .
Теорем 2-ыг ашиглан бид олж авна

Үүний оронд 3x - 1 гэж бичих нь утга учиртай. Дараа нь бид эцэст нь 3x 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1) авна.
Өгөгдсөн квадрат гурвалжийг теорем 2-ыг хэрэглэхгүйгээр бүлэглэх аргыг ашиглан үржвэрлэх боломжтой гэдгийг анхаарна уу.

3x 2 - 10x + 3 = 3x 2 - 9x - x + 3 =
= 3x (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (3x - 1).

Гэхдээ таны харж байгаагаар энэ аргын амжилт нь бид амжилттай бүлэглэл олж чадах эсэхээс хамаарна, харин эхний аргын амжилт нь баталгаатай байдаг.
Жишээ 1. Бутархай хэсгийг багасгах

Шийдэл. 2x 2 + 5x + 2 = 0 тэгшитгэлээс бид x 1 = - 2-г ​​олно.

x2 - 4x - 12 = 0 тэгшитгэлээс бид x 1 = 6, x 2 = -2-ийг олно. Тийм ч учраас
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
Одоо өгөгдсөн бутархайг багасгая:

Жишээ 3. Илэрхийллийн хүчин зүйл:
a)x4 + 5x 2 +6; б) 2х+-3
Шийдэл а) y = x2 шинэ хувьсагчийг оруулъя. Энэ нь өгөгдсөн илэрхийллийг y хувьсагчийн хувьд квадрат гурвалсан хэлбэрээр, тухайлбал y 2 + bу + 6 хэлбэрээр дахин бичих боломжийг олгоно.
y 2 + bу + 6 = 0 тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид квадрат гурвалсан y 2 + 5у + 6 язгуурыг олно: y 1 = - 2, y 2 = -3. Одоо теорем 2-ыг ашиглая; бид авдаг

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
y = x 2, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн илэрхийлэл рүү буцна гэдгийг санах хэрэгтэй. Тэгэхээр,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2)(x 2 + 3).
б) y = шинэ хувьсагчийг оруулъя. Энэ нь өгөгдсөн илэрхийллийг y хувьсагчийн хувьд квадрат гурвалсан хэлбэрээр, тухайлбал 2y 2 + y - 3 хэлбэрээр дахин бичих боломжийг олгоно. Тэгшитгэлийг шийдсэний дараа
2у 2 + у - 3 = 0, 2у 2 + у - 3 квадрат гурвалжны язгуурыг ол:
y 1 = 1, y 2 =. Дараа нь теорем 2-ыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

y =, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн илэрхийлэл рүү буцна гэдгийг санах хэрэгтэй. Тэгэхээр,

Хэсгийн төгсгөлд - Виетийн теоремтой, эс тэгвээс эсрэг заалттай холбоотой зарим үндэслэл:
хэрэв x 1, x 2 тоонууд нь x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q байвал эдгээр тоо нь тэгшитгэлийн үндэс болно.
Энэхүү мэдэгдлийг ашигласнаар та язгуур томьёо ашиглахгүйгээр олон квадрат тэгшитгэлийг амаар шийдэж, мөн өгөгдсөн язгууртай квадрат тэгшитгэлийг зохиож болно. Жишээ хэлье.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Энд x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. x 1 = 8, x 2 = 3 гэдгийг таахад амархан.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Энд x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. x 1 = -5, x 2 = -6 гэдгийг таахад амархан.
Хэрэв тэгшитгэлийн дамми гишүүн эерэг тоо байвал хоёр үндэс нь эерэг эсвэл сөрөг байна гэдгийг анхаарна уу; Үндэс сонгохдоо үүнийг анхаарч үзэх нь чухал юм.

3) x 2 + x - 12 = 0. Энд x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12 байна. x 1 = 3, x2 = -4 гэдгийг таахад хялбар байдаг.
Анхаарна уу: хэрэв тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүн сөрөг тоо байвал үндэс нь өөр өөр тэмдэгтэй байна; Үндэс сонгохдоо үүнийг анхаарч үзэх нь чухал юм.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. x = 1 нь тэгшитгэлийг хангаж байгааг харахад хялбар байдаг, өөрөөр хэлбэл. x 1 = 1 нь тэгшитгэлийн үндэс юм. x 1 x 2 = -, мөн x 1 = 1 тул бид x 2 = -ийг олж авна.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Энд x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Хэрэв та 2830 = 283 гэдгийг анхаарч үзвэл. 10, ба 293 = 283 + 10, тэгвэл x 1 = 283, x 2 = 10 болох нь тодорхой болно (одоо энэ квадрат тэгшитгэлийг стандарт томъёогоор шийдэхийн тулд ямар тооцоолол хийх ёстойг төсөөлөөд үз дээ).

6) Квадрат тэгшитгэлийн үндэс нь x 1 = 8, x 2 = - 4 тоо байхаар квадрат тэгшитгэл зохиоё. Ийм тохиолдолд ихэвчлэн x 2 + px + q = 0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийг хийдэг.
Бидэнд x 1 + x 2 = -p байгаа тул 8 - 4 = -p, өөрөөр хэлбэл p = -4 байна. Цаашилбал, x 1 x 2 = q, өөрөөр хэлбэл. 8 «(-4) = q, бид хаанаас q = -32 авдаг. Тэгэхээр p = -4, q = -32, энэ нь шаардлагатай квадрат тэгшитгэл нь x 2 -4x-32 = 0 хэлбэртэй байна гэсэн үг юм.

Виетийн теоремыг ихэвчлэн аль хэдийн олдсон үндсийг шалгахад ашигладаг. Хэрэв та үндсийг нь олсон бол \(p)-ийн утгыг тооцоолохдоо \(\begin(case)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(case)\) томъёог ашиглаж болно. \) ба \(q\). Хэрэв тэдгээр нь анхны тэгшитгэлтэй ижил байвал үндсийг нь зөв олно.

Жишээ нь, -г ашиглан \(x^2+x-56=0\) тэгшитгэлийг шийдэж, язгуурыг гаргацгаая: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Шийдвэрлэх явцад алдаа гаргасан эсэхийг шалгацгаая. Манай тохиолдолд \(p=1\), \(q=-56\). Виетийн теоремоор бид дараах байдалтай байна.

\(\эхлэх(тохиолдол)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\төгсгөх(тохиолдол)\) \(\Зүүн баруун сум\) \(\эхлэх(тохиолдол)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\төгсгөл(тохиолдлууд)\) \(\Зүүн баруун сум\) \(\эхлэх(тохиолдол)-1=-1\\-56=-56\төгсгөл(тохиолдлууд)\ )

Хоёр мэдэгдэл нийлсэн нь бид тэгшитгэлийг зөв шийдсэн гэсэн үг юм.

Энэ шалгалтыг амаар хийж болно. Энэ нь 5 секунд шаардагдах бөгөөд таныг тэнэг алдаанаас аврах болно.

Вьетагийн эсрэг теорем

Хэрэв \(\эхлэх(тохиолдлууд)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(тохиолдлууд)\), \(x_1\) ба \(x_2\) нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс болно \ (x^ 2+px+q=0\).

Эсвэл энгийн байдлаар: хэрэв танд \(x^2+px+q=0\) хэлбэрийн тэгшитгэл байгаа бол \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot) системийг шийднэ үү. x_2=q\ end(cases)\) та түүний үндсийг олох болно.

Энэ теоремын ачаар та квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг хурдан олох боломжтой, ялангуяа эдгээр үндэс нь . Энэ ур чадвар нь маш их цаг хэмнэдэг тул чухал юм.

Жишээ . \(x^2-5x+6=0\) тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл : Виетийн урвуу теоремыг ашигласнаар язгуурууд нь дараах нөхцлийг хангадаг болохыг олж мэдэв: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг харна уу \(x_1 \cdot x_2=6\). \(6\) тоог ямар хоёрт хувааж болох вэ? \(2\) ба \(3\), \(6\) ба \(1\) эсвэл \(-2\) ба \(-3\), \(-6\) ба \(- 1\). Системийн эхний тэгшитгэл нь аль хосыг сонгохыг хэлж өгнө: \(x_1+x_2=5\). \(2\) ба \(3\) нь төстэй, учир нь \(2+3=5\).
Хариулах : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Жишээ . Виетийн теоремын эсрэг заалтыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол.
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); в) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Шийдэл :
a) \(x^2-15x+14=0\) – \(14\) ямар хүчин зүйлд задардаг вэ? \(2\) ба \(7\), \(-2\) ба \(-7\), \(-1\) ба \(-14\), \(1\) ба \(14\ ). Ямар хос тоо нийлбэл \(15\) болох вэ? Хариулт: \(1\) ба \(14\).

б) \(x^2+3x-4=0\) – \(-4\) ямар хүчин зүйлд задардаг вэ? \(-2\) ба \(2\), \(4\) ба \(-1\), \(1\) ба \(-4\). Ямар хос тоо нийлбэл \(-3\) болох вэ? Хариулт: \(1\) ба \(-4\).

в) \(x^2+9x+20=0\) – \(20\) ямар хүчин зүйлд задардаг вэ? \(4\) ба \(5\), \(-4\) ба \(-5\), \(2\) ба \(10\), \(-2\) ба \(-10\ ), \(-20\) ба \(-1\), \(20\) ба \(1\). Ямар хос тоо нийлбэл \(-9\) болох вэ? Хариулт: \(-4\) ба \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – \(780\) ямар хүчин зүйлд задардаг вэ? \(390\) ба \(2\). Тэд \(88\) хүртэл нэмэх үү? Үгүй \(780\) өөр ямар үржүүлэгчтэй вэ? \(78\) ба \(10\). Тэд \(88\) хүртэл нэмэх үү? Тиймээ. Хариулт: \(78\) ба \(10\).

Сүүлчийн нэр томъёог бүх боломжит хүчин зүйл болгон өргөжүүлэх шаардлагагүй (сүүлийн жишээн дээрх шиг). Та тэдгээрийн нийлбэр нь \(-p\) өгч байгаа эсэхийг шууд шалгаж болно.

Чухал!Вьетагийн теорем ба эсрэгээр теорем нь зөвхөн , өөрөөр хэлбэл \(x^2\)-ийн коэффициент нь нэгтэй тэнцүү байна. Хэрэв бид эхлээд бууруулаагүй тэгшитгэл өгсөн бол \(x^2\)-ийн урд талын коэффициентэд хуваагаад л багасгаж болно.

Жишээлбэл, \(2x^2-4x-6=0\) тэгшитгэлийг өгье, бид Виетийн теоремуудын аль нэгийг ашиглахыг хүсч байна. Гэхдээ \(x^2\) коэффициент нь \(2\)-тэй тэнцүү тул бид чадахгүй. Тэгшитгэлийг бүхэлд нь \(2\)-д хуваагаад түүнээс салцгаая.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Бэлэн. Одоо та хоёр теоремыг ашиглаж болно.

Байнга асуудаг асуултуудын хариулт

Асуулт: Виетийн теоремыг ашиглан та аль нэгийг шийдэж чадах уу?
Хариулт: Харамсалтай нь үгүй. Хэрэв тэгшитгэлд бүхэл тоо байхгүй эсвэл уг тэгшитгэл нь огт үндэсгүй бол Виетийн теорем тус болохгүй. Энэ тохиолдолд та ашиглах хэрэгтэй ялгаварлагч . Аз болоход сургуулийн математикийн тэгшитгэлийн 80% нь бүхэл тооны шийдтэй байдаг.

Квадрат тэгшитгэлд хэд хэдэн хамаарал байдаг. Гол нь үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарал юм. Мөн квадрат тэгшитгэлд Виетийн теоремоор өгөгдсөн хэд хэдэн хамаарал байдаг.

Энэ сэдвээр бид Виетийн теоремыг өөрөө болон квадрат тэгшитгэлийн нотолгоо, Виетийн теоремоос урвуу теоремыг танилцуулж, асуудлыг шийдвэрлэх хэд хэдэн жишээнд дүн шинжилгээ хийх болно. Энэ материалд бид градусын алгебрийн тэгшитгэлийн бодит язгууруудын хоорондын холбоог тодорхойлдог Вьетагийн томъёог авч үзэхэд онцгой анхаарал хандуулах болно. nба түүний коэффициентүүд.

Виетийн теоремын томъёолол ба нотолгоо

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо a x 2 + b x + c = 0хэлбэрийн x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, энд D = b 2 − 4 a c, харилцаа холбоо тогтоодог x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. Үүнийг Вьетагийн теорем баталж байна.

Теорем 1

Квадрат тэгшитгэлд a x 2 + b x + c = 0, Хаана x 1Тэгээд x 2– үндэс, язгуурын нийлбэр нь коэффициентүүдийн харьцаатай тэнцүү байх болно бТэгээд а, эсрэг тэмдгээр авсан бөгөөд язгуурын үржвэр нь коэффициентүүдийн харьцаатай тэнцүү байх болно. вТэгээд а, өөрөөр хэлбэл x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.

Нотлох баримт 1

Бид танд нотолгоо хийх дараах схемийг санал болгож байна: язгуурын томьёог авч, квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр ба үржвэрийг зохиож, дараа нь үүссэн илэрхийлэлүүдийг тэнцүү эсэхийг шалгахын тулд хувирга. -б аТэгээд в атус тус.

Үндэсүүдийн нийлбэрийг x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a болгоё. Бутархайг нийтлэг хуваагчтай болгоё - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Үүссэн бутархайн дугаарт байгаа хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог үзүүлье: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Бутархайг бууруулъя: 2 - b a = - b a.

Квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэртэй холбоотой Виетийн теоремын анхны хамаарлыг бид ингэж нотолсон юм.

Одоо хоёр дахь харилцаа руугаа орцгооё.

Үүнийг хийхийн тулд бид квадрат тэгшитгэлийн язгуурын үржвэрийг зохиох хэрэгтэй: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.

Бутархайг үржүүлэх дүрмийг санаж, сүүлчийн үржвэрийг дараах байдлаар бичье: - b + D · - b - D 4 · a 2.

Энэ үржвэрийг илүү хурдан хувиргахын тулд бутархайн хуваагч дахь хаалтыг хаалтанд үржүүлье, эсвэл квадратын зөрүүний томъёог ашиглан энэ үржвэрийг илүү хурдан хувиргая: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2018-03-22

Квадрат язгуурын тодорхойлолтыг ашиглан дараах шилжилтийг хийцгээе: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Томъёо D = b 2 − 4 a cнь квадрат тэгшитгэлийн дискриминанттай тохирч байгаа тул оронд нь бутархай болно Дорлуулж болно b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нэр томьёо нэмээд: 4 · a · c 4 · a 2 ийг авъя. Хэрэв бид үүнийг богиносговол 4 а, тэгвэл үлдсэн зүйл нь c a . Ингэж бид язгуурын үржвэрийн талаарх Вьета теоремын хоёр дахь хамаарлыг нотолсон.

Хэрэв бид тайлбарыг орхигдуулсан бол Виетийн теоремын баталгааг маш товч хэлбэрээр бичиж болно.

x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

Квадрат тэгшитгэлийн дискриминант нь тэгтэй тэнцүү бол тэгшитгэл нь зөвхөн нэг язгууртай болно. Ийм тэгшитгэлд Виетийн теоремыг хэрэглэхийн тулд бид тэгтэй тэнцүү дискриминанттай тэгшитгэлийг хоёр ижил язгууртай гэж үзэж болно. Нээрээ хэзээ D=0квадрат тэгшитгэлийн язгуур нь: - b 2 · a, тэгвэл x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a ба x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , мөн D = 0 тул, өөрөөр хэлбэл b. 2 - 4 · a · c = 0, эндээс b 2 = 4 · a · c, тэгвэл b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.

Практикт ихэнхдээ Виетийн теоремыг багасгасан квадрат тэгшитгэлд ашигладаг. x 2 + p x + q = 0, энд тэргүүлэх коэффициент a нь 1-тэй тэнцүү байна. Үүнтэй холбогдуулан Виетийн теоремыг энэ төрлийн тэгшитгэлд зориулж тусгайлан томъёолсон болно. Энэ нь аливаа квадрат тэгшитгэлийг эквивалент тэгшитгэлээр сольж болох тул ерөнхий байдлыг хязгаарлахгүй. Үүнийг хийхийн тулд та түүний хоёр хэсгийг тэгээс өөр тоонд хуваах хэрэгтэй.

Вьетагийн теоремын өөр томьёоллыг өгье.

Теорем 2

Өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр x 2 + p x + q = 0нь эсрэг тэмдгээр авсан x-ийн коэффициенттэй тэнцүү байх болно, язгуурын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байх болно, өөрөөр хэлбэл. x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.

Теорем нь Вьетагийн теоремтой эсрэг байна

Хэрэв та Виетийн теоремын хоёр дахь томъёоллыг анхааралтай ажиглавал үндсийг нь харж болно x 1Тэгээд x 2багасгасан квадрат тэгшитгэл x 2 + p x + q = 0дараах хамаарал хүчинтэй байх болно: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. Эдгээр хамаарлаас x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q нь дараах байдалтай байна. x 1Тэгээд x 2нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм x 2 + p x + q = 0. Ингээд бид Вьетагийн теоремын эсрэг заалт болох мэдэгдэлд хүрлээ.

Одоо бид энэ мэдэгдлийг теорем болгон албан ёсны болгож, түүний нотолгоог хэрэгжүүлэхийг санал болгож байна.

Теорем 3

Хэрэв тоонууд x 1Тэгээд x 2ийм байна x 1 + x 2 = − pТэгээд x 1 x 2 = q, Тэр x 1Тэгээд x 2нь бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм x 2 + p x + q = 0.

Нотлох баримт 2

Боломжийг солих хТэгээд qдамжуулан тэдний илэрхийлэл x 1Тэгээд x 2тэгшитгэлийг хувиргах боломжийг танд олгоно x 2 + p x + q = 0эквивалент болгон .

Хэрэв бид үр дүнгийн тэгшитгэлд тоог орлуулах юм бол x 1оронд нь x, тэгвэл бид тэгш байдлыг авна x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Энэ бол аливаа хүнд тэгш байдал юм x 1Тэгээд x 2жинхэнэ тоон тэгшитгэл болж хувирна 0 = 0 , учир нь x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Энэ нь тийм гэсэн үг x 1- тэгшитгэлийн үндэс x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Тэгээд юу гэж x 1нь мөн адил тэгшитгэлийн үндэс юм x 2 + p x + q = 0.

Тэгшитгэлд орлуулах x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0тоо x 2 x-ийн оронд тэгш байдлыг олж авах боломжийг олгодог x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Энэ тэгш байдлыг үнэн гэж үзэж болно, учир нь x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Энэ нь харагдаж байна x 2тэгшитгэлийн үндэс юм x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, улмаар тэгшитгэлүүд x 2 + p x + q = 0.

Вьетагийн теоремын эсрэг заалт батлагдсан.

Виетийн теоремыг ашиглах жишээ

Одоо энэ сэдвийн хамгийн ердийн жишээнүүдэд дүн шинжилгээ хийж эхэлцгээе. Вьетагийн теоремтой урвуу теорем хэрэглэх шаардлагатай асуудлуудад дүн шинжилгээ хийж эхэлцгээе. Тооцооллын үр дүнд гарсан тоонууд нь өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн үндэс мөн эсэхийг шалгахын тулд үүнийг ашиглаж болно. Үүнийг хийхийн тулд та тэдгээрийн нийлбэр ба зөрүүг тооцоолох хэрэгтэй бөгөөд дараа нь x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c харьцааны үнэн зөвийг шалгах хэрэгтэй.

Хоёр харилцааны биелэлт нь тооцооллын явцад олж авсан тоонууд нь тэгшитгэлийн үндэс болохыг харуулж байна. Хэрэв бид дор хаяж нэг нөхцөл хангагдаагүй гэж үзвэл эдгээр тоо нь асуудлын тайлбарт өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн үндэс болж чадахгүй.

Жишээ 1

1) x 1 = - 5, x 2 = 3, эсвэл 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, эсвэл 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = гэсэн хос тоонуудын аль нь вэ? 2 - 7 2 нь квадрат тэгшитгэлийн хос үндэс юм 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

Шийдэл

Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүдийг олъё 4 x 2 − 16 x + 9 = 0.Энэ нь a = 4, b = - 16, c = 9 байна. Виетийн теоремын дагуу квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь тэнцүү байх ёстой. -б а, тэр бол, 16 4 = 4 , мөн үндэсийн бүтээгдэхүүн тэнцүү байх ёстой в а, тэр бол, 9 4 .

Өгөгдсөн гурван хосын тоонуудын нийлбэр ба үржвэрийг тооцоолж, олж авсан утгуудтайгаа харьцуулж олж авсан тоонуудыг шалгацгаая.

Эхний тохиолдолд x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Энэ утга нь 4-ээс ялгаатай тул шалгалтыг үргэлжлүүлэх шаардлагагүй. Виетийн теоремын эсрэг теоремын дагуу бид эхний хос тоо нь энэ квадрат тэгшитгэлийн үндэс биш гэдгийг шууд дүгнэж болно.

Хоёр дахь тохиолдолд x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Эхний нөхцөл хангагдсаныг бид харж байна. Гэхдээ хоёр дахь нөхцөл нь: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3 биш юм. Бидний олж авсан үнэ цэнэ өөр байна 9 4 . Энэ нь хоёр дахь хос тоо нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс биш гэсэн үг юм.

Гурав дахь хосыг авч үзье. Энд x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 ба x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. Хоёр нөхцөл хоёулаа биелсэн, энэ нь гэсэн үг юм x 1Тэгээд x 2нь өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм.

Хариулт: x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 - 7 2

Бид мөн квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олохын тулд Виетийн теоремын эсрэг заалтыг ашиглаж болно. Хамгийн энгийн арга бол бүхэл тооны коэффициент бүхий өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн бүхэл язгуурыг сонгох явдал юм. Бусад сонголтыг авч үзэх боломжтой. Гэхдээ энэ нь тооцооллыг ихээхэн хүндрүүлдэг.

Үндэс сонгохдоо бид хоёр тооны нийлбэр нь хасах тэмдгээр авсан квадрат тэгшитгэлийн хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү бөгөөд эдгээр тоонуудын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү бол эдгээр тоонууд нь Энэ квадрат тэгшитгэлийн үндэс.

Жишээ 2

Жишээлбэл, бид квадрат тэгшитгэлийг ашигладаг x 2 − 5 x + 6 = 0. Тоонууд x 1Тэгээд x 2хоёр тэгшитгэл хангагдсан тохиолдолд энэ тэгшитгэлийн үндэс байж болно x 1 + x 2 = 5Тэгээд x 1 x 2 = 6. Эдгээр тоонуудыг сонгоцгооё. Эдгээр нь 2 ба 3-ын тоо юм 2 + 3 = 5 Тэгээд 2 3 = 6. 2 ба 3 нь энэ квадрат тэгшитгэлийн үндэс болох нь харагдаж байна.

Виетийн теоремын эсрэгээр эхний язгуур нь мэдэгдэж байгаа эсвэл тодорхой байгаа үед хоёр дахь язгуурыг олох боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд бид x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a харьцааг ашиглаж болно.

Жишээ 3

Квадрат тэгшитгэлийг авч үзье 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Энэ тэгшитгэлийн үндсийг олох шаардлагатай.

Шийдэл

Энэ квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн нийлбэр тэг байх тул тэгшитгэлийн эхний язгуур нь 1 байна. Энэ нь харагдаж байна x 1 = 1.

Одоо хоёр дахь үндсийг нь олъё. Үүний тулд та хамаарлыг ашиглаж болно x 1 x 2 = c a. Энэ нь харагдаж байна 1 x 2 = − 3,512, хаана x 2 = - 3,512.

Хариулт:бодлогын өгүүлбэрт заасан квадрат тэгшитгэлийн үндэс 1 Тэгээд - 3 512 .

Энгийн тохиолдолд л Вьетнамын теоремоос урвуу теоремыг ашиглан үндэс сонгох боломжтой. Бусад тохиолдолд дискриминантын тусламжтайгаар квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглан хайх нь дээр.

Виетийн теоремын эсрэг заалтын ачаар бид одоо байгаа язгууруудыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг байгуулж болно. x 1Тэгээд x 2. Үүнийг хийхийн тулд бид язгууруудын нийлбэрийг тооцоолох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь коэффициентийг өгдөг xөгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн эсрэг тэмдэгтэй ба чөлөөт гишүүнийг өгдөг язгуурын үржвэр.

Жишээ 4

Үндэс нь тоонуудын квадрат тэгшитгэлийг бич − 11 Тэгээд 23 .

Шийдэл

Ингэж бодъё x 1 = − 11Тэгээд x 2 = 23. Эдгээр тоонуудын нийлбэр ба үржвэр нь тэнцүү байна: x 1 + x 2 = 12Тэгээд x 1 x 2 = − 253. Энэ нь хоёр дахь коэффициент нь 12, чөлөөт нэр томъёо гэсэн үг юм − 253.

Тэгшитгэл хийцгээе: x 2 − 12 x − 253 = 0.

Хариулах: x 2 − 12 x − 253 = 0.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын шинж тэмдгүүдтэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд бид Виетийн теоремыг ашиглаж болно. Виетийн теоремын хоорондох холбоо нь бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн язгуурын шинж тэмдгүүдтэй холбоотой юм. x 2 + p x + q = 0дараах байдлаар:

• хэрэв квадрат тэгшитгэл бодит язгууртай бол огтлолцсон гишүүн бол qэерэг тоо бол эдгээр үндэс нь ижил "+" эсвэл "-" тэмдэгтэй байх болно;
• квадрат тэгшитгэл үндэстэй бол огтлолцох гишүүн бол qсөрөг тоо бол нэг үндэс нь "+", хоёр дахь нь "-" болно.

Эдгээр хоёр мэдэгдэл нь томъёоны үр дагавар юм x 1 x 2 = qэерэг ба сөрөг тоо, түүнчлэн өөр өөр тэмдэгтэй тоог үржүүлэх дүрэм.

Жишээ 5

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс x 2 − 64 x − 21 = 0эерэг үү?

Шийдэл

Виетийн теоремын дагуу энэ тэгшитгэлийн үндэс хоёулаа эерэг байж болохгүй, учир нь тэд тэгш байдлыг хангах ёстой. x 1 x 2 = − 21. Энэ нь эерэгээр боломжгүй юм x 1Тэгээд x 2.

Хариулт:Үгүй

Жишээ 6

Ямар параметрийн утгууд дээр rквадрат тэгшитгэл x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0өөр өөр тэмдэгтэй хоёр жинхэнэ үндэстэй болно.

Шийдэл

Үүний утгыг олж эхэлцгээе r, үүний хувьд тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. Ялгаварлагчийг олж, юу болохыг харцгаая rэерэг утгыг авах болно. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Илэрхийллийн утга r 2 + 8аливаа бодит байдалд эерэг r, тиймээс ямар ч бодит хувьд ялгаварлагч нь тэгээс их байх болно r. Энэ нь анхны квадрат тэгшитгэл нь параметрийн аливаа бодит утгын хувьд хоёр үндэстэй болно гэсэн үг юм r.

Одоо үндэс нь өөр өөр шинж тэмдэгтэй байх үед харцгаая. Хэрэв тэдний бүтээгдэхүүн сөрөг байвал энэ нь боломжтой. Виетийн теоремоор бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн язгуурын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна. Энэ нь зөв шийдэл нь эдгээр утгууд байх болно гэсэн үг юм r, чөлөөт гишүүн r − 1 сөрөг байна. r − 1 шугаман тэгш бус байдлыг шийдье< 0 , получаем r < 1 .

Хариулт: r< 1 .

Виета томъёо

Зөвхөн квадрат төдийгүй куб болон бусад төрлийн тэгшитгэлийн үндэс, коэффициент бүхий үйлдлүүдийг гүйцэтгэхэд тохиромжтой хэд хэдэн томъёо байдаг. Тэдгээрийг Вьетагийн томъёо гэж нэрлэдэг.

Зэрэглэлийн алгебрийн тэгшитгэлийн хувьд n a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + хэлбэрийн. . . + a n - 1 x + a n = 0 тэгшитгэлийг байна гэж үзнэ nжинхэнэ үндэс x 1 , x 2 , … , x n, тэдгээрийн дотор ижил байж болно:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0

Тодорхойлолт 1

Виетийн томъёо нь бидэнд дараахь зүйлийг авахад тусалдаг.

• олон гишүүнтийг шугаман хүчин зүйл болгон задлах теорем;
• тэнцүү олон гишүүнтүүдийг тэдгээрийн харгалзах бүх коэффициентүүдийн тэгшитгэлээр тодорхойлох.

Тиймээс a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + олон гишүүнт. . . + a n - 1 · x + a n ба түүний a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · хэлбэрийн шугаман хүчин зүйлд тэлэлт. . . · (x - x n) тэнцүү байна.

Хэрэв бид сүүлчийн бүтээгдэхүүн дэх хаалтуудыг нээж, харгалзах коэффициентүүдийг тэнцүүлэх юм бол бид Vieta томъёог олж авна. n = 2-ыг авснаар квадрат тэгшитгэлийн Виетийн томъёог гаргаж болно: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.

Тодорхойлолт 2

Куб тэгшитгэлийн Виетийн томъёо:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0 , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Вьета томъёоны зүүн тал нь энгийн тэгш хэмтэй олон гишүүнтүүдийг агуулдаг.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Математикийн хувьд олон квадрат тэгшитгэлийг маш хурдан бөгөөд ямар ч ялгаварлагчгүйгээр шийдэж болох тусгай арга техник байдаг. Түүгээр ч зогсохгүй олон хүн зөв бэлтгэл хийснээр квадрат тэгшитгэлийг амаар, шууд утгаараа "анхны харцаар" шийдэж эхэлдэг.

Харамсалтай нь орчин үеийн сургуулийн математикийн хичээлд ийм технологийг бараг судлаагүй байна. Гэхдээ та мэдэх хэрэгтэй! Өнөөдөр бид эдгээр аргуудын нэг болох Вьетагийн теоремыг авч үзэх болно. Эхлээд шинэ тодорхойлолтыг танилцуулъя.

x 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг багасгасан гэж нэрлэдэг. x 2-ын коэффициент нь 1 гэдгийг анхаарна уу. Коэффициент дээр өөр хязгаарлалт байхгүй.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 нь багасгасан квадрат тэгшитгэл;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - мөн буурсан;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - гэхдээ энэ нь огт өгөгдөөгүй, учир нь x 2-ийн коэффициент 2-той тэнцүү.

Мэдээжийн хэрэг, ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг багасгаж болно - бүх коэффициентийг a тоогоор хуваахад л хангалттай. Квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолт нь ≠ 0 гэсэн утгатай тул бид үүнийг үргэлж хийж чадна.

Үнэн, эдгээр өөрчлөлтүүд нь үндсийг олоход үргэлж тустай байдаггүй. Доор бид квадратаар өгөгдсөн эцсийн тэгшитгэлд бүх коэффициентүүд бүхэл тоо байх үед л үүнийг хийх ёстой гэдгийг бид шалгах болно. Одоохондоо хамгийн энгийн жишээнүүдийг харцгаая.

Даалгавар. Квадрат тэгшитгэлийг багасгасан тэгшитгэл рүү хөрвүүл.

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Тэгшитгэл бүрийг х 2 хувьсагчийн коэффициентээр хуваая. Бид авах:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - бүгдийг 3-т хуваасан;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - −4-т хуваагдсан;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - 1.5-д хуваагдсан, бүх коэффициентүүд бүхэл тоо болсон;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3.5x − 5.5 = 0 - 2-т хуваагдана. Энэ тохиолдолд бутархай коэффициентүүд гарч ирэв.

Таны харж байгаагаар дээрх квадрат тэгшитгэлүүд нь анхны тэгшитгэл нь бутархайг агуулсан байсан ч бүхэл тооны коэффициенттэй байж болно.

Одоо бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн үндсэн теоремыг томъёолъё.

Вьетагийн теорем. x 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн бууруулсан квадрат тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ тэгшитгэлийг x 1 ба x 2 бодит язгууртай гэж үзье. Энэ тохиолдолд дараахь мэдэгдэл үнэн болно.

1. x 1 + x 2 = −b. Өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан х хувьсагчийн коэффициенттэй тэнцүү байна;
2. x 1 x 2 = c. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын үржвэр нь чөлөөт коэффициенттэй тэнцүү байна.

Жишээ. Энгийн байхын тулд бид зөвхөн нэмэлт хувиргалт шаарддаггүй дээрх квадрат тэгшитгэлийг авч үзэх болно.

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; үндэс: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; үндэс: x 1 = 3; x 2 = −5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; үндэс: x 1 = −1; x 2 = −4.

Виетийн теорем нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурын талаар нэмэлт мэдээлэл өгдөг. Эхлээд харахад энэ нь хэцүү мэт санагдаж болох ч хамгийн бага бэлтгэлтэй байсан ч та хэдхэн секундын дотор үндсийг нь "харж", шууд утгаараа тааж сурах болно.

Даалгавар. Квадрат тэгшитгэлийг шийд:

1. x 2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Виетийн теоремыг ашиглан коэффициентүүдийг бичиж, үндсийг нь "таамаглах" оролдлого хийцгээе.

1. x 2 − 9x + 14 = 0 нь багасгасан квадрат тэгшитгэл юм.
   Виетийн теоремоор бид: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Үндэс нь 2 ба 7-ын тоо гэдгийг харахад хялбар байдаг;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - мөн багасгасан.
   Виетийн теоремоор: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Эндээс үндэс нь: 3 ба 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - энэ тэгшитгэл багасаагүй. Гэхдээ бид одоо тэгшитгэлийн хоёр талыг a = 3 коэффициентээр хуваах замаар үүнийг засах болно. Бид: x 2 + 11x + 10 = 0 болно.
   Бид Виетийн теоремыг ашиглан шийддэг: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ үндэс: −10 ба −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - дахин x 2-ын коэффициент 1-тэй тэнцүү биш, өөрөөр хэлбэл. тэгшитгэл өгөөгүй. Бид бүгдийг a = −7 тоогоор хуваана. Бид дараахийг авна: x 2 − 11x + 30 = 0.
   Вьетагийн теоремоор: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Эдгээр тэгшитгэлээс үндсийг таахад хялбар байдаг: 5 ба 6.

Дээрх үндэслэлээс Виетийн теорем квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг хэрхэн хялбарчилж байгаа нь тодорхой харагдаж байна. Ямар ч төвөгтэй тооцоо, арифметик үндэс, бутархай байхгүй. Бидэнд ялгах хэрэгсэл ч хэрэггүй байсан ("Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" хичээлийг үзнэ үү).

Мэдээжийн хэрэг, бидний бүх эргэцүүлэлд бид хоёр чухал таамаглалаас үндэслэсэн бөгөөд ерөнхийдөө бодит асуудалд үргэлж нийцдэггүй:

1. Квадрат тэгшитгэлийг багасгасан, i.e. x 2-ийн коэффициент нь 1;
2. Тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй. Алгебрийн үүднээс авч үзвэл, энэ тохиолдолд дискриминант нь D > 0 - үнэндээ бид энэ тэгш бус байдлыг үнэн гэж үздэг.

Гэсэн хэдий ч ердийн математикийн бодлогод эдгээр нөхцөл хангагдсан байдаг. Хэрэв тооцооллын үр дүнд "муу" квадрат тэгшитгэл гарч ирвэл (х 2-ийн коэффициент нь 1-ээс ялгаатай) үүнийг хялбархан засаж болно - хичээлийн эхэнд байгаа жишээнүүдийг харна уу. Би үндсийн талаар ерөнхийдөө чимээгүй байна: энэ ямар асуудал хариултгүй байна вэ? Мэдээжийн хэрэг үндэс байх болно.

Виетийн теоремыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий схем нь дараах байдалтай байна.

1. Хэрэв асуудлын тайлбарт үүнийг хийгдээгүй бол квадрат тэгшитгэлийг өгөгдсөн тэгшитгэл болгон бууруулна уу;
2. Дээрх квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь бутархай бол бид дискриминант ашиглан шийднэ. Та илүү "хэрэгтэй" тоонуудтай ажиллахын тулд анхны тэгшитгэл рүү буцаж очиж болно;
3. Бүхэл тооны коэффициентүүдийн хувьд бид тэгшитгэлийг Виетийн теоремыг ашиглан шийддэг;
4. Хэрэв та хэдхэн секундын дотор үндсийг нь тааж чадахгүй бол Вьетагийн теоремыг мартаж, дискриминант ашиглан шийдээрэй.

Даалгавар. Тэгшитгэлийг шийд: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Тэгэхээр бидний өмнө буураагүй тэгшитгэл байна, учир нь коэффициент a = 5. Бүгдийг 5-д хуваавал бид: x 2 − 7x + 10 = 0 болно.

Квадрат тэгшитгэлийн бүх коэффициентүүд нь бүхэл тоо бөгөөд үүнийг Виетийн теоремоор шийдэж үзье. Бидэнд: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. Энэ тохиолдолд үндсийг таахад хялбар байдаг - тэдгээр нь 2 ба 5. Ялгаварлагчийг ашиглан тоолох шаардлагагүй.

Даалгавар. Тэгшитгэлийг шийд: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0.

Харцгаая: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - энэ тэгшитгэл багасаагүй, хоёр талыг a = −5 коэффициентээр хуваая. Бид дараахийг авна: x 2 − 1.6x + 0.48 = 0 - бутархай коэффициент бүхий тэгшитгэл.

Анхны тэгшитгэл рүү буцаж, дискриминантаар тоолох нь дээр: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2; x 2 = 0.4.

Даалгавар. Тэгшитгэлийг шийд: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Эхлээд бүгдийг a = 2 коэффициентээр хуваая. Бид x 2 + 5x − 300 = 0 тэгшитгэлийг авна.

Энэ бол Вьетагийн теоремын дагуу бууруулсан тэгшитгэл юм: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. Энэ тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийн үндсийг таахад хэцүү байдаг - би хувьдаа энэ асуудлыг шийдэхдээ нухацтай гацсан.

Та ялгагчаар дамжуулан үндсийг хайх хэрэгтэй болно: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Хэрэв та ялгаварлагчийн язгуурыг санахгүй байгаа бол 1225: 25 = 49. Тиймээс 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 болохыг анхаарна уу.

Дискриминантийн язгуур нь тодорхой болсон тул тэгшитгэлийг шийдэх нь тийм ч хэцүү биш юм. Бид дараахийг авна: x 1 = 15; x 2 = −20.