Арксин, арккосин - шинж чанар, график, томъёо. Арксинус, арксинус гэж юу вэ? Арктангенс, арккотангенс гэж юу вэ? Урвуу тригонометрийн функцүүдийн томъёо, шийдлийн жишээ

Урвуу тригонометрийн функцууд нь тригонометрийн функцүүдийн урвуу утгатай математик функцууд юм.

y=arcsin(x) функц

α тооны нумын синус нь [-π/2;π/2] интервалаас α тоо бөгөөд синус нь α-тай тэнцүү байна.
Функцийн график
[-π/2;π/2] интервал дээрх у= sin⁡(x) функц нь хатуу нэмэгдэж, тасралтгүй байна; тиймээс энэ нь урвуу функцтэй, хатуу нэмэгдэж, үргэлжилдэг.
y= sin⁡(x) функцийн урвуу функцийг x ∈[-π/2;π/2] бол нумын синус гэж нэрлэх ба y=arcsin(x), энд x∈[-1;1 ].
Тиймээс урвуу функцийн тодорхойлолтын дагуу арксинусын тодорхойлолтын муж нь [-1;1] сегмент, утгын багц нь [-π/2;π/2] сегмент юм.
y=arcsin(x) функцийн график нь x ∈[-1;1] нь y= sin(⁡x) функцийн графиктай тэгш хэмтэй болохыг анхаарна уу, энд x∈[-π/2;π /2], координатын өнцгийн 1 ба 3-р улирлын биссектрисын хувьд.

Функцийн муж y=arcsin(x).

Жишээ №1.

arcsin(1/2)-г олох уу?

arcsin(x) функцийн утгын муж нь [-π/2;π/2] интервалд хамаарах тул зөвхөн π/6 утга тохиромжтой.Иймд arcsin(1/2) =π/ 6.
Хариулт:π/6

Жишээ №2.
arcsin(-(√3)/2) олох уу?

arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2] утгын мужид зөвхөн -π/3 утга тохирно.Иймд arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

y=arccos(x) функц

α тооны нумын косинус нь косинус нь α-тай тэнцүү интервалаас α тоо юм.

Функцийн график

Сегмент дээрх y= cos(⁡x) функц нь хатуу бууралттай ба тасралтгүй; тиймээс энэ нь урвуу функцтэй, хатуу буурч, үргэлжилдэг.
x ∈ y= cos⁡x функцийн урвуу функцийг дуудна нумын косинусба y=arccos(x)-ээр тэмдэглэнэ, энд x ∈[-1;1].
Тиймээс урвуу функцийн тодорхойлолтын дагуу нумын косинусын тодорхойлолтын муж нь [-1;1] сегмент, утгын багц нь сегмент юм.
y=arccos(x) функцийн график нь x ∈[-1;1] нь y= cos(⁡x) функцийн графиктай тэгш хэмтэй байна, энд x ∈, биссектрисатай харьцаж байгааг анхаарна уу. эхний ба гуравдугаар улирлын координат өнцөг.

Функцийн муж y=arccos(x).

Жишээ №3.

Arccos(1/2) олох уу?

Утгын муж нь arccos(x) x∈ тул зөвхөн π/3 утга тохиромжтой.Тиймээс arccos(1/2) =π/3.
Жишээ № 4.
arccos(-(√2)/2) олох уу?

arccos(x) функцийн утгын муж интервалд хамаарах тул зөвхөн 3π/4 утга тохиромжтой.Иймд arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

Хариулт: 3π/4

y=arctg(x) функц

α тооны артангенс нь [-π/2;π/2] интервалаас α тоо бөгөөд тангенс нь α-тай тэнцүү байна.

Функцийн график

Шүргэх функц нь тасралтгүй бөгөөд интервал дээр хатуу нэмэгддэг (-π/2;π/2); тиймээс энэ нь тасралтгүй бөгөөд хатуу өсөх урвуу функцтэй.
y= tan⁡(x) функцийн урвуу функц, энд x∈(-π/2;π/2); арктангенс гэж нэрлэгдэх ба y=arctg(x) гэж тэмдэглэсэн бөгөөд энд x∈R.
Тиймээс урвуу функцийн тодорхойлолтын дагуу артангенсийн тодорхойлолтын муж нь интервал (-∞;+∞), утгын багц нь интервал юм.
(-π/2;π/2).
y=arctg(x) функцийн график нь x∈R нь y= tan⁡x функцийн графиктай тэгш хэмтэй, энд x ∈ (-π/2;π/2) -тай харьцуулахад тэгш хэмтэй болохыг анхаарна уу. эхний болон гуравдугаар улирлын координатын өнцгийн биссектрис.

y=arctg(x) функцийн муж.

Жишээ №5?

arctan((√3)/3)-ийг олоорой.

arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) утгын мужид зөвхөн π/6 утга тохирно.Иймээс arctg((√3)/3) =π/6.
Жишээ № 6.
arctg(-1)-г олох уу?

arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) утгын мужид зөвхөн -π/4 утга тохирно.Иймээс arctg(-1) = - π/4.

y=arcctg(x) функц

α тооны нумын котангенс нь котангенс нь α-тай тэнцүү (0;π) интервалаас α тоо юм.

Функцийн график

(0;π) интервал дээр котангентын функц хатуу буурдаг; үүнээс гадна энэ интервалын цэг бүрт тасралтгүй үргэлжилдэг; тиймээс (0;π) интервал дээр энэ функц нь урвуу функцтэй бөгөөд энэ нь хатуу буурч, үргэлжилдэг.
y=ctg(x) функцийн урвуу функцийг x ∈(0;π) гэж нэрлэх ба y=arcctg(x), энд x∈R гэж тэмдэглэнэ.
Тиймээс урвуу функцийн тодорхойлолтын дагуу нумын котангенсийн тодорхойлолтын муж нь байх болно R, мөн багцаарутгууд – интервал (0;π). y=arcctg(x) функцийн график, энд x∈R нь y=ctg(x) x∈(0;π) функцийн графиктай тэгш хэмтэй, харьцангуй эхний ба гуравдугаар улирлын координатын өнцгийн биссектриса руу.

Функцийн муж y=arcctg(x).

Жишээ № 7.
arcctg((√3)/3)-г олох уу?

arcctg(x) x ∈(0;π) утгын мужид зөвхөн π/3 утга тохиромжтой.Тиймээс arccos((√3)/3) =π/3.

Жишээ № 8.
arcctg(-(√3)/3)-г олох уу?

Утгын муж arcctg(x) x∈(0;π) тул зөвхөн 2π/3 утга тохиромжтой.Иймд arccos(-(√3)/3) = 2π/3 байна.

Редактор: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

Математик болон түүний хэрэглээний хэд хэдэн асуудалд тригонометрийн функцийн мэдэгдэж буй утгыг градусаар эсвэл радианаар илэрхийлсэн өнцгийн харгалзах утгыг олох шаардлагатай байдаг. Хязгааргүй тооны өнцөг нь синусын ижил утгатай тохирдог нь мэдэгдэж байна, жишээ нь $\sin α=1/2,$ бол $α$ өнцөг нь $30°$ ба $150°,$-тэй тэнцүү байж болно. эсвэл радиан хэмжигдэхүүнээр $π /6$ ба $5π/6,$ ба эдгээрээс олж авсан өнцгийн аль нэгийг $360°⋅k,$ хэлбэрийн гишүүнийг нэмснээр $2πk,$ гэж энд $k болно. $ нь дурын бүхэл тоо юм. Энэ нь $y=\sin x$ функцийн графикийг бүхэл тоон шулуун дээрх ($1$-р зургийг үз): хэрвээ $Oy$ тэнхлэг дээр $1/2$ урттай хэрчмийг зурж үзээд тодорхой болно. $Ox тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам, $ тэгвэл энэ нь синусоидыг хязгааргүй олон цэгээр огтолно. Олон янзын хариултаас зайлсхийхийн тулд эсрэгээр нь буцаана уу тригонометрийн функцууд, өөрөөр дугуй эсвэл нуман функц гэж нэрлэдэг ( Латин үгнуман - "нуман").

$\sin x,$ $\cos x,$ $\mathrm(tg)\,x$ ба $\mathrm(ctg)\,x$ үндсэн дөрвөн тригонометрийн функцууд нь $\arcsin x,$ $ нумын дөрвөн функцтэй тохирч байна. \arccos x ,$ $\mathrm(arctg)\,x$ болон $\mathrm(arcctg)\,x$ (унш: арксинус, арккосин, арктангенс, арккотангенс). Үлдсэн хоёрыг нь томъёогоор илэрхийлдэг тул \arcsin x ба \mathrm(arctg)\,x функцуудыг авч үзье.

$\arccos x = \frac(π)(2) − \arcsin x,$ $\mathrm(arcctg)\,x = \frac(π)(2) − \mathrm(arctg)\,x.$

Тодорхойлолтоор $y = \arcsin x$ тэгш байдал нь радиан хэмжигдэхүүнээр илэрхийлэгдэж, $−\frac(π)(2)$-аас $\frac(π)(2) хүртэлх мужид агуулагдах $y,$ өнцгийг хэлнэ. $x,$-тай тэнцүү $ синус, өөрөөр хэлбэл $\sin y = x.$ $\arcsin x$ функц нь $\left[−\frac интервал дээр авч үзсэн $\sin x,$ функцийн урвуу функц юм. (π)(2 ),+\frac(π)(2)\right],$ энд энэ функц нэг хэвийн байдлаар нэмэгдэж, $−1$-с $+1$ хүртэлх бүх утгыг авдаг. Мэдээж $y$ аргумент $\arcsin x$ функцийн утгыг зөвхөн $\left[−1,+1\right] интервалаас авах боломжтой.$ Тиймээс $y=\arcsin x$ функц нь $\left интервал дээр тодорхойлогддог. [−1,+1\right],$ нэг хэвийн өсөлттэй байгаа бөгөөд түүний утгууд нь $\left[−\frac(π)(2),+\frac(π)(2)\right] хэсгийг дүүргэж байна. $ Функцийн графикийг Зураг дээр үзүүлэв. $2.$

$−1 ≤ a ≤ 1$ нөхцөлд бид $\sin x = a$ тэгшитгэлийн бүх шийдлийг $x=(−1)^n \arcsin a + πn,$ $n=0 хэлбэрээр илэрхийлж болно. ,±1,± 2, ….$ Жишээлбэл, хэрэв

$\sin x = \frac(\sqrt(2))(2)$ дараа нь $x = (−1)^n \frac(π)(4)+πn,$ $n = 0, ±1, ±2 ,….$

$y=\mathrm(arcctg)\,x$ харьцаа нь $x$-ийн бүх утгуудад тодорхойлогддог бөгөөд тодорхойлолтоор бол радиан хэмжигдэхүүнээр илэрхийлсэн $y,$ өнцгийг дотор нь агуулна гэсэн үг.

$−\frac(π)(2)

ба энэ өнцгийн тангенс нь x-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл $\mathrm(tg)\,y = x.$ $\mathrm(arctg)\,x$ функц нь бүхэл тооны шулуун дээр тодорхойлогддог ба урвуу функц юм. зөвхөн интервалд тооцогдох $\mathrm( tg)\,x$ функц

$−\frac(π)(2)

$y = \mathrm(arctg)\,x$ функц нь монотон нэмэгдэж байгаа бөгөөд түүний графикийг Зураг дээр үзүүлэв. $3.$

$\mathrm(tg)\,x = a$ тэгшитгэлийн бүх шийдлийг $x=\mathrm(arctg)\,a+πn,$ $n=0,±1,±2,… хэлбэрээр бичиж болно. .$

Урвуу тригонометрийн функцийг математик шинжилгээнд өргөнөөр ашигладаг болохыг анхаарна уу. Жишээлбэл, хязгааргүй дүрслэлийг олж авсан анхны функцүүдийн нэг эрчим хүчний цуврал, $\mathrm(arctg)\,x функц байсан.$ Энэ цувралаас $x=1$ аргументийн тогтмол утгатай Г.Лейбниц хязгааргүй цуваа дахь тооны алдартай дүрслэлийг олж авсан.

Урвуу косинусын функц

y=cos x функцийн утгын муж (2-р зургийг үз) нь сегмент юм. Сегмент дээр функц тасралтгүй бөгөөд монотон буурч байна.

Цагаан будаа. 2

Энэ нь сегмент дээр y=cos x функцтэй урвуу функц тодорхойлогддог гэсэн үг юм. Энэ урвуу функцийг нуман косинус гэж нэрлэх ба y=arccos x гэж тэмдэглэнэ.

Тодорхойлолт

a тооны арккосинус, хэрэв |a|1 бол косинус нь сегментэд хамаарах өнцөг; үүнийг arccos a -ээр тэмдэглэнэ.

Иймд arccos a нь дараах хоёр нөхцлийг хангасан өнцөг юм: сos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?р.

Жишээ нь, arccos, оноос хойш cos болон; arccos, оноос хойш cos болон.

y = arccos x функц (Зураг 3) нь сегмент дээр тодорхойлогддог бөгөөд түүний утгын муж нь сегмент юм. Сегмент дээр y=arccos x функц тасралтгүй бөгөөд p-ээс 0 хүртэл монотон буурдаг (у=cos x нь сегмент дээрх тасралтгүй ба монотон буурах функц учраас); сегментийн төгсгөлд туйлын утгууддаа хүрнэ: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. arccos 0 = гэдгийг анхаарна уу. y = arccos x функцийн график (3-р зургийг үз) y = cos x функцийн графикт y=x шулуунтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна.

Цагаан будаа. 3

arccos(-x) = p-arccos x тэгш байдал хангагдсаныг харуулъя.

Үнэн хэрэгтээ, тодорхойлолтоор 0? arccos x? Р. Сүүлийн давхар тэгш бус байдлын бүх хэсгийг (-1) үржүүлбэл - p? arccos x? 0. Сүүлийн тэгш бус байдлын бүх хэсэгт p-г нэмбэл 0-ийг олох уу? p-arccos x? Р.

Тиймээс arccos(-x) ба p - arccos x өнцгүүдийн утгууд нэг сегментэд хамаарна. Сегмент дээр косинус монотон буурч байгаа тул косинустай тэнцүү хоёр өөр өнцөг байж болохгүй. arccos(-x) ба p-arccos x өнцгүүдийн косинусуудыг олъё. Тодорхойлолтоор cos (arccos x) = - x, багасгах томъёоны дагуу ба тодорхойлолтоор бид: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Тиймээс өнцгүүдийн косинусууд тэнцүү байна, энэ нь өнцөг нь өөрөө тэнцүү гэсэн үг юм.

Урвуу синусын функц

[-р/2;р/2] хэрчим дээр нэмэгдэж, тасралтгүй, [-1] сегментээс утгыг авдаг y=sin x функцийг авч үзье (Зураг 6); 1]. Энэ нь сегмент дээр [- p/2; p/2] y=sin x функцийн урвуу функц тодорхойлогдоно.

Цагаан будаа. 6

Энэ урвуу функцийг арксинус гэж нэрлэх ба y=arcsin x гэж тэмдэглэнэ. Тооны арксинусын тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Тооны нум нь синус нь байх өнцөг (эсвэл нум) юм тоотой тэнцүү байна a ба сегментэд хамаарах [-р/2; p/2]; үүнийг arcsin a гэж тэмдэглэнэ.

Тиймээс arcsin a нь дараах нөхцлийг хангасан өнцөг болно: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2? Арксин тийм үү? r/2. Жишээлбэл, нүгэл ба [- p/2; p/2]; arcsin, учир нь sin = u [- p/2; p/2].

y=arcsin x (Зураг 7) функц нь [- 1 сегмент дээр тодорхойлогддог; 1], түүний утгын хүрээ нь [-р/2;р/2] сегмент юм. Сегмент дээр [- 1; 1] y=arcsin x функц тасралтгүй бөгөөд -p/2-с p/2 хүртэл монотоноор нэмэгддэг (энэ нь [-p/2; p/2] сегмент дээрх y=sin x функц тасралтгүй байдгаас үүдэлтэй. ба монотоноор нэмэгддэг). Энэ нь x = 1 үед хамгийн их утгыг авна: arcsin 1 = p/2, хамгийн бага нь x = -1: arcsin (-1) = -p/2. x = 0 үед функц тэг болно: arcsin 0 = 0.

y = arcsin x функц нь сондгой, өөрөөр хэлбэл. arcsin(-x) = - arcsin x дурын x [ - 1; 1].

Үнэн хэрэгтээ, тодорхойлолтоор хэрэв |x| ?1, бидэнд байна: - p/2 ? arcsin x? ? r/2. Иймээс arcsin(-x) ба өнцгүүд - arcsin x нь нэг сегментэд хамаарах [ - p/2; p/2].

Эдгээрийн синусыг олцгооёөнцөг: нүгэл (arcsin(-x)) = - x (тодорхойлолтоор); y=sin x функц нь сондгой тул sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Тэгэхээр ижил интервалд хамаарах өнцгийн синусууд [-р/2; p/2], тэнцүү байна, энэ нь өнцөг нь өөрөө тэнцүү гэсэн үг, i.e. arcsin (-x)= - arcsin x. Энэ нь y=arcsin x функц сондгой гэсэн үг. y=arcsin x функцийн график нь эхийн хувьд тэгш хэмтэй байна.

Дурын х [-р/2-д arcsin (sin x) = x гэдгийг харуулъя; p/2].

Үнэхээр, тодорхойлолтоор -p/2? arcsin (sin x) ? p/2, мөн нөхцөлөөр -p/2? х? r/2. Энэ нь x ба arcsin (sin x) өнцгүүд нь y=sin x функцийн монотон байдлын ижил интервалд хамаарна гэсэн үг юм. Хэрэв ийм өнцгийн синусууд тэнцүү бол өнцөг нь өөрөө тэнцүү байна. Эдгээр өнцгүүдийн синусуудыг олцгооё: x өнцгийн хувьд син x, нумын өнцөгт (sin x) нүгэл (arcsin(sin x)) = sin x байна. Бид өнцгийн синусууд тэнцүү болохыг олж мэдсэн, тиймээс өнцөг нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. arcsin(sin x) = x. .

Цагаан будаа. 7

Цагаан будаа. 8

arcsin (sin|x|) функцийн графикийг y=arcsin (sin x) графикаас модультай холбоотой ердийн хувиргалтаар олж авна (Зураг 8-ын тасархай шугамаар харуулав). Хүссэн y=arcsin (sin |x-/4|) графикийг х тэнхлэгийн дагуу /4-ээр баруун тийш шилжүүлснээр (8-р зурагт хатуу шугамаар харуулав) олж авна.

Тангенсийн урвуу функц

Интервал дээрх y=tg x функц нь бүгдийг хүлээн авдаг тоон утгууд: E (tg x)=. Энэ интервалд энэ нь тасралтгүй бөгөөд монотоноор нэмэгддэг. Энэ нь интервал дээр y = tan x функцтэй урвуу функц тодорхойлогддог гэсэн үг юм. Энэ урвуу функцийг арктангенс гэж нэрлэдэг ба у = арктан х гэж тэмдэглэнэ.

a-ийн артангенс нь тангенс нь а-тай тэнцүү интервалаас авсан өнцөг юм. Иймд arctg a нь дараах нөхцлийг хангасан өнцөг юм: tg (arctg a) = a ба 0? arctg a? Р.

Тэгэхээр дурын х тоо нь y = arctan x функцийн нэг утгатай ямагт тохирдог (Зураг 9).

D (arctg x) =, E (arctg x) = байх нь ойлгомжтой.

y = tan x функц интервал дээр нэмэгдэж байгаа тул y = arctan x функц нэмэгдэж байна. arctg(-x) = - arctgx, i.e. гэдгийг батлахад хэцүү биш юм. тэр арктангенс нь сондгой функц юм.

Цагаан будаа. 9

y = arctan x функцийн график нь y = tan x функцийн графикт y = x шулуунтай харьцуулахад тэгш хэмтэй, y = arctan x график нь координатын эхийг дайран өнгөрдөг (arctan 0 = 0 тул) ба гарал үүсэлтэй харьцангуй тэгш хэмтэй байна (сондгой функцийн график гэх мэт).

Хэрэв x бол арктан (tan x) = x гэдгийг баталж болно.

Котангентын урвуу функц

Интервал дээрх y = ctg x функц нь интервалаас бүх тоон утгыг авдаг. Түүний утгын хүрээ нь бүхний багцтай давхцдаг бодит тоо. Интервалд y = cot x функц тасралтгүй байх ба монотоноор нэмэгддэг. Энэ нь энэ интервал дээр y = cot x функцтэй урвуу функц тодорхойлогддог гэсэн үг юм. Котангентын урвуу функцийг арккотангенс гэж нэрлэдэг ба y = arcctg x гэж тэмдэглэнэ.

a-ийн нумын котангенс нь котангенс нь а-тай тэнцүү интервалд хамаарах өнцөг юм.

Иймд аrcctg a нь дараах нөхцлүүдийг хангасан өнцөг юм: ctg (arcctg a)=a ба 0? arcctg a? Р.

Урвуу функцийн тодорхойлолт ба арктангенсийн тодорхойлолтоос D (arcctg x) = , E (arcctg x) = байна. y = ctg x функц нь интервалд буурдаг тул нумын котангенс нь буурах функц юм.

y = arcctg x функцийн график нь y > 0 R тул Ox тэнхлэгтэй огтлолцохгүй. x = 0 y = arcctg 0 =.

y = arcctg x функцийн графикийг 11-р зурагт үзүүлэв.

Цагаан будаа. 11

x-ийн бүх бодит утгуудын хувьд таних тэмдэг нь үнэн болохыг анхаарна уу: arcctg(-x) = p-arcctg x.

Хичээл 32-33. Урвуу тригонометрийн функцууд

09.07.2015 8936 0

Зорилтот: урвуу тригонометрийн функцууд ба тэдгээрийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдийг бичихэд ашиглах талаар авч үзэх.

I. Хичээлийн сэдэв, зорилгыг мэдээлэх

II. Шинэ материал сурах

1. Урвуу тригонометрийн функцууд

Дараах жишээгээр энэ сэдвийн тухай яриагаа эхэлцгээе.

Жишээ 1

Тэгшитгэлийг шийдье: a) нүгэл x = 1/2; б) нүгэл x = a.

a) Ординатын тэнхлэг дээр бид 1/2 утгыг зурж, өнцгийг байгуулна x 1 болон x2, үүний тулдгэм х = 1/2. Энэ тохиолдолд x1 + x2 = π, үүнээс x2 = π – x 1 . Тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтийг ашиглан бид x1 = π/6 утгыг олоод дараа ньСинусын функцийн үечлэлийг харгалзан үзээд энэ тэгшитгэлийн шийдлүүдийг бичье.Энд k ∈ Z.

б) Мэдээжийн хэрэг, тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмнүгэл x = a өмнөх догол мөртэй ижил байна. Мэдээжийн хэрэг, одоо a утгыг ординатын тэнхлэгийн дагуу зурсан. Ямар нэгэн байдлаар x1 өнцгийг тодорхойлох шаардлагатай байна. Бид энэ өнцгийг тэмдгээр тэмдэглэхээр тохиролцсонарксин А. Дараа нь энэ тэгшитгэлийн шийдлүүдийг хэлбэрээр бичиж болноЭдгээр хоёр томъёог нэг дор нэгтгэж болно:тэнд

Үлдсэн урвуу тригонометрийн функцуудыг ижил төстэй байдлаар танилцуулсан.

Маш олон удаа өнцгийн хэмжээг түүний тригонометрийн функцийн мэдэгдэж буй утгаас тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Ийм асуудал нь олон утгатай байдаг - тригонометрийн функцууд нь ижил утгатай тэнцүү тоо томшгүй олон өнцөг байдаг. Иймд тригонометрийн функцүүдийн монотон байдалд үндэслэн өнцгийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлохын тулд дараах урвуу тригонометрийн функцуудыг нэвтрүүлсэн.

a тооны арксинус (arcsin , түүний синус нь a-тай тэнцүү, i.e.

Тооны нуман косинус a(arccos a) косинус нь a-тай тэнцүү интервалаас a өнцөг, өөрөөр хэлбэл.

Тооны арктангенс a(arctg a) - интервалаас ийм өнцөг aшүргэгч нь a-тай тэнцүү, i.e.tg a = a.

Тооны арккотангенс a(arcctg a) нь (0; π) интервалаас a өнцөг, котангенс нь a-тай тэнцүү, i.e. ctg a = a.

Жишээ 2

Олъё:

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Жишээ 3

Тооцоолъё

Өнцөг a = нуман өнцөг гэж үзье 3/5, дараа нь тодорхойлолтоор sin a = 3/5 ба . Тиймээс бид олох хэрэгтэй cos А. Үндсэн тригонометрийн таних тэмдгийг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.cos a ≥ 0 гэдгийг харгалзан үзнэ. Тэгэхээр,

Функцийн шинж чанарууд	Чиг үүрэг
Функцийн шинж чанарууд	y = arcsin x	y = arccos x	у = арктан х	y = arcctg x
Домэйн	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Утгын хүрээ	y ∈ [ -π/2 ; π /2 ]	у ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0;π)
Паритет	Хачирхалтай	Бүр сондгой ч биш	Хачирхалтай	Бүр сондгой ч биш
Функцийн тэг (y = 0)	x = 0 үед	x = 1 үед	x = 0 үед	y ≠ 0
Тэмдгийн тогтмол байдлын интервалууд	x ∈ (0; 1]-ийн хувьд y > 0, цагт< 0 при х ∈ [-1; 0)	x ∈ [-1-ийн хувьд y > 0; 1)	x ∈ (0; +∞)-ийн хувьд y > 0, цагт< 0 при х ∈ (-∞; 0)	x ∈ хувьд y > 0 (-∞; +∞)
Монотон	Нэмэгдэх	Бууж байна	Нэмэгдэх	Бууж байна
Тригонометрийн функцтэй хамаарал	нүгэл у = х	cos y = x	tg y = x	ctg y = x
Хуваарь

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолт, үндсэн шинж чанаруудтай холбоотой хэд хэдэн ердийн жишээг өгье.

Жишээ 4

Функцийн тодорхойлолтын мужийг олъё

y функцийг тодорхойлохын тулд тэгш бус байдлыг хангах шаардлагатайЭнэ нь тэгш бус байдлын системтэй тэнцүү юмЭхний тэгш бус байдлын шийдэл нь x интервал юм∈ (-∞; +∞), хоёр дахь -Энэ интервал тэгш бус байдлын системийн шийдэл, тиймээс функцийн тодорхойлолтын муж юм

Жишээ 5

Функцийн өөрчлөлтийн талбайг олцгооё

Функцийн зан төлөвийг авч үзье z = 2x - x2 (зураг харна уу).

z ∈ гэдэг нь тодорхой байна (-∞; 1]. Аргумент гэж үзээд z нуман котангентын функц нь бидний олж авсан хүснэгтийн өгөгдлөөс тогтоосон хязгаарт хэлбэлздэгТиймээс өөрчлөлтийн талбар

Жишээ 6

y = функц болохыг баталцгаая arctg x сондгой. БолъёДараа нь tg a = -x эсвэл x = - tg a = tg (- a), ба Иймд - a = arctg x эсвэл a = - arctg X. Тиймээс бид үүнийг харж байнаөөрөөр хэлбэл y(x) нь сондгой функц юм.

Жишээ 7

Бүх урвуу тригонометрийн функцээр илэрхийлье

Болъё Энэ нь ойлгомжтой Тэрнээс хойш

Өнцгийг танилцуулъя Учир нь Тэр

Тиймээс ч мөн адил Тэгээд

Тэгэхээр,

Жишээ 8

y = функцийн графикийг байгуулъя cos(arcsin x).

Тэгвэл a = arcsin x гэж тэмдэглэе x = sin a ба y = cos a, өөрөөр хэлбэл x 2 гэдгийг анхаарч үзье + y2 = 1, мөн x дээрх хязгаарлалтууд (x∈ [-1; 1]) ба y (y ≥ 0). Тэгвэл у = функцийн график cos(arcsin x) нь хагас тойрог юм.

Жишээ 9

y = функцийн графикийг байгуулъя arccos (cos x).

cos функцээс хойш x интервал дээр өөрчлөгддөг [-1; 1], дараа нь y функц нь бүхэл тоон тэнхлэгт тодорхойлогддог ба сегмент дээр өөрчлөгдөнө. y = гэдгийг санаарай arccos (cosx) = x сегмент дээр; y функц нь тэгш ба 2π үетэй үечилсэн байна. Функц нь эдгээр шинж чанартай байдаг гэдгийг харгалзан үзвэл cos x Одоо график бүтээхэд хялбар боллоо.

Зарим ашигтай тэгш байдлыг тэмдэглэе:

Жишээ 10

Хамгийн багыг олцгооё хамгийн өндөр үнэ цэнэфункцуудгэж тэмдэглэе Дараа нь Функцийг авч үзье Энэ функц нь цэг дээр хамгийн бага байна z = π/4 бөгөөд энэ нь тэнцүү байна Функцийн хамгийн их утга нь цэг дээр хүрдэг z = -π/2 ба энэ нь тэнцүү байна Тиймээс, ба

Жишээ 11

Тэгшитгэлээ шийдье

Үүнийг анхаарч үзье Дараа нь тэгшитгэл дараах байдалтай байна.эсвэл хаана Артангенсийн тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг олж авна.

2. Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

1-р жишээтэй адил та хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлийг олж авах боломжтой.

Тэгшитгэл	Шийдэл


tgx = a
ctg x = a

Жишээ 12

Тэгшитгэлээ шийдье

Синусын функц нь сондгой тул тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэЭнэ тэгшитгэлийн шийдлүүд:бид хаанаас олох вэ?

Жишээ 13

Тэгшитгэлээ шийдье

Өгөгдсөн томъёог ашиглан бид тэгшитгэлийн шийдлүүдийг бичнэ.тэгээд бид олох болно

Онцгой тохиолдолд (a = 0; ±1) тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед анхаарна уу sin x = a ба cos x = гэхдээ үүнийг ашиглахгүй байх нь илүү хялбар бөгөөд илүү тохиромжтой ерөнхий томъёо, мөн нэгж тойрог дээр үндэслэн шийдлүүдийг бичнэ үү:

sin x = 1 шийдэлтэй тэгшитгэлийн хувьд

тэгшитгэлийн хувьд sin x = 0 шийдэл x = π k;

тэгшитгэлийн хувьд sin x = -1 шийдэл

cos тэгшитгэлийн хувьд x = 1 шийдэл x = 2π k ;

cos x = 0 тэгшитгэлийн шийдэл

cos x = -1 шийдлийн тэгшитгэлийн хувьд

Жишээ 14

Тэгшитгэлээ шийдье

оноос хойш энэ жишээндТэгшитгэлийн онцгой тохиолдол байгаа тул тохирох томъёог ашиглан бид шийдлийг бичнэ.бид хаанаас олох вэ?

III. Хяналтын асуултууд (урд талын судалгаа)

1. Урвуу тригонометрийн функцүүдийн үндсэн шинж чанарыг тодорхойлж жагсаа.

2. Урвуу тригонометрийн функцүүдийн графикийг өг.

3. Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

IV. Хичээлийн даалгавар

§ 15, No3 (a, b); 4 (c, d); 7(а); 8(а); 12 (б); 13(а); 15 (в); 16(а); 18 (а, б); 19 (в); 21;

§ 16, No 4 (a, b); 7(а); 8 (б); 16 (а, б); 18(а); 19 (в, г);

§ 17, No3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (б); 10 (а, в).

V. Гэрийн даалгавар

§ 15, No3 (c, d); 4 (a, b); 7 (в); 8 (б); 12(а); 13(б); 15 (г); 16 (б); 18 (в, г); 19 (г); 22;

§ 16, No 4 (c, d); 7(б); 8(а); 16 (в, г); 18 (б); 19 (а, б);

§ 17, No3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (а, б); 9 (d); 10 (б, г).

VI. Бүтээлч даалгавар

1. Функцийн домайныг ол:

Хариултууд:

2. Функцийн мужийг ол:

Хариултууд:

3. Функцийн графикийг зур:

VII. Хичээлүүдийг дүгнэж байна

Тригонометрийн функцууд нь үе үе байдаг тул урвуу функцууд нь өвөрмөц биш юм. Тэгэхээр y = тэгшитгэл гэм х, өгөгдсөн , хязгааргүй олон үндэстэй. Үнэн хэрэгтээ, синусын үечилсэн байдлаас шалтгаалан x нь ийм язгуур юм бол тийм байх болно x + 2πn(n нь бүхэл тоо) нь мөн тэгшитгэлийн үндэс болно. Тиймээс, урвуу тригонометрийн функцууд нь олон утгатай. Тэдэнтэй ажиллахад хялбар болгохын тулд тэдгээрийн үндсэн утгын тухай ойлголтыг танилцуулсан. Жишээлбэл, синусыг авч үзье: y = гэм х. Хэрэв бид х аргументыг интервалаар хязгаарлавал үүн дээр y = функц байна гэм хмонотоноор нэмэгддэг. Иймээс энэ нь өвөрмөц урвуу функцтэй бөгөөд үүнийг нумын синус гэж нэрлэдэг: x = арксин у.

Өөрөөр заагаагүй бол урвуу тригонометрийн функц гэж бид дараахь тодорхойлолтоор тодорхойлогддог тэдгээрийн үндсэн утгыг хэлнэ.

Арксин ( у= arcsin x) нь синусын урвуу функц ( x = гэмтэй
Нуман косинус ( у= arccos x) нь косинусын урвуу функц ( x = cos y), тодорхойлолтын домэйн болон утгын багцтай байх.
Арктангенс ( у= арктан х) нь шүргэгчийн урвуу функц ( x = tg y), тодорхойлолтын домэйн болон утгын багцтай байх.
арккотангенс ( у= arcctg x) нь котангентын урвуу функц ( x = ctg y), тодорхойлолтын домэйн болон утгын багцтай байх.

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн графикууд

Урвуу тригонометрийн функцүүдийн графикийг y = x шулуун шугамын хувьд толин тусгал тусгах замаар тригонометрийн функцүүдийн графикаас гаргаж авдаг. Синус, косинус, тангенс, котангенс гэсэн хэсгүүдийг харна уу.

у= arcsin x

у= arccos x