Эдгээр шинж чанарууд нь интегралыг энгийн интегралуудын аль нэгэнд нь буулгах, цаашдын тооцоололд шилжүүлэхэд ашиглагддаг.

1. Тодорхой бус интегралын дериватив нь интегралтай тэнцүү байна.

2. Тодорхой бус интегралын дифференциал нь интегралтай тэнцүү байна.

3. Тодорхой функцийн дифференциалын тодорхойгүй интеграл нь энэ функц ба дурын тогтмолын нийлбэртэй тэнцүү байна.

4. Тогтмол коэффициентийг интеграл тэмдэгээс гаргаж болно.

Үүнээс гадна, a ≠ 0

5. Нийлбэрийн интеграл (ялгаа) нь интегралуудын нийлбэртэй (ялгаатай) тэнцүү байна.

6. Үл хөдлөх хөрөнгө нь 4 ба 5-р шинж чанаруудын нэгдэл юм:

Түүнчлэн, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Тодорхой бус интегралын хувьсах шинж чанар:

Хэрэв бол

8. Эд хөрөнгө:

Хэрэв бол

Үнэн хэрэгтээ энэ өмч нь хувьсагчийг өөрчлөх аргыг ашиглан интеграцийн онцгой тохиолдол бөгөөд дараагийн хэсэгт илүү дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.

Нэг жишээг харцгаая:

Эхлээд бид шинж чанар 5, дараа нь шинж чанар 4, дараа нь бид эсрэг деривативын хүснэгтийг ашиглаж, үр дүнг авсан.

Манай онлайн интеграл тооцоолуурын алгоритм нь дээр дурдсан бүх шинж чанарыг дэмждэг бөгөөд үүнийг хялбархан олох боломжтой. нарийвчилсан шийдэлтаны интегралын хувьд.

Интегралыг шийдэх нь хялбар ажил боловч зөвхөн сонгогдсон цөөхөн хүмүүст зориулагдсан. Энэ нийтлэл нь интегралуудыг ойлгож сурахыг хүсдэг боловч тэдгээрийн талаар юу ч мэдэхгүй эсвэл бараг юу ч мэдэхгүй хүмүүст зориулагдсан болно. Интеграл... Яагаад хэрэгтэй байна вэ? Үүнийг хэрхэн тооцоолох вэ? Юу нь тодорхой, үгүй тодорхой интегралс?

Хэрэв интегралын хувьд таны мэддэг цорын ганц хэрэглээ бол хүрэхэд хэцүү газраас хэрэгтэй зүйл авахын тулд салшгүй дүрс хэлбэртэй зүүгээр дэгээ ашиглах явдал юм бол тавтай морилно уу! Математикийн хувьд хамгийн энгийн болон бусад интегралуудыг хэрхэн шийдвэрлэх, яагаад үүнгүйгээр хийж чадахгүй байгааг олж мэдээрэй.

Бид үзэл баримтлалыг судалж байна « интеграл »

Интеграци нь эргээд мэдэгдэж байсан Эртний Египет. Мэдээжийн хэрэг, орчин үеийн хэлбэрээр биш, гэхдээ одоо ч гэсэн. Түүнээс хойш математикчид энэ сэдвээр олон ном бичсэн. Ялангуяа өөрсдийгөө онцолсон Ньютон Тэгээд Лейбниц , гэхдээ юмсын мөн чанар өөрчлөгдөөгүй.

Интегралыг эхнээс нь хэрхэн ойлгох вэ? Арга ч үгүй! Энэ сэдвийг ойлгохын тулд танд математик анализын үндсэн суурь мэдлэг хэрэгтэй хэвээр байх болно. Манай блог дээр интегралыг ойлгоход шаардлагатай хязгаар, деривативын талаарх мэдээлэл аль хэдийн бий.

Тодорхой бус интеграл

Бидэнд ямар нэгэн функцтэй байцгаая f(x) .

Тодорхой бус интеграл функц f(x) энэ функцийг дууддаг F(x) , түүний дериватив нь функцтэй тэнцүү байна f(x) .

Өөрөөр хэлбэл интеграл нь урвуу дериватив эсвэл эсрэг дериватив юм. Дашрамд хэлэхэд деривативыг хэрхэн тооцоолох талаар манай нийтлэлийг уншина уу.

Бүх тасралтгүй функцүүдэд эсрэг дериватив байдаг. Мөн тогтмол тэмдэгтээр ялгаатай функцүүдийн деривативууд давхцдаг тул эсрэг дериватив дээр тогтмол тэмдэг нэмж өгдөг. Интегралыг олох үйл явцыг интеграл гэж нэрлэдэг.

Энгийн жишээ:

Эсрэг деривативыг байнга тооцоолохгүй байхын тулд үндсэн функцууд, тэдгээрийг хүснэгтэд нэгтгэн дүгнэж, бэлэн утгыг ашиглах нь тохиромжтой.

Оюутнуудад зориулсан интегралын бүрэн хүснэгт

Тодорхой интеграл

Интеграл гэдэг ойлголттой харьцахдаа бид хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнтэй харьцаж байна. Интеграл нь зургийн талбай, нэгэн төрлийн бус биеийн масс, туулсан зайг тооцоолоход тусална. жигд бус хөдөлгөөнзам болон бусад олон. Интеграл гэдэг нь хязгааргүй олон тооны хязгааргүй жижиг гишүүний нийлбэр гэдгийг санах нь зүйтэй.

Жишээ болгон зарим функцийн графикийг төсөөлөөд үз дээ.

Функцийн графикаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг хэрхэн олох вэ? Интеграл ашиглах! Координатын тэнхлэгүүд болон функцийн графикаар хязгаарлагдсан муруй шугаман трапецийг хязгааргүй жижиг хэрчмүүдэд хуваацгаая. Ингэснээр зургийг нимгэн багана болгон хуваах болно. Баганын талбайн нийлбэр нь трапецын талбай болно. Гэхдээ ийм тооцоолол нь ойролцоогоор үр дүнг өгөх болно гэдгийг санаарай. Гэсэн хэдий ч сегментүүд нь жижиг, нарийхан байх тусам тооцоолол илүү нарийвчлалтай болно. Хэрэв бид тэдгээрийг урт нь тэг рүү чиглүүлэх хэмжээгээр багасгах юм бол сегментүүдийн талбайн нийлбэр нь зургийн талбай руу чиглэх болно. Энэ бол тодорхой интеграл бөгөөд үүнийг дараах байдлаар бичсэн болно.

a ба b цэгүүдийг интегралын хязгаар гэж нэрлэдэг.

« Интеграл »

Дашрамд хэлэхэд! Уншигчиддаа зориулж 10% хямдралтай байгаа ямар ч төрлийн ажил

Даммигийн интегралыг тооцоолох дүрэм

Тодорхойгүй интегралын шинж чанарууд

Тодорхойгүй интегралыг хэрхэн шийдэх вэ? Энд бид шинж чанаруудыг авч үзэх болно тодорхойгүй интеграл, энэ нь жишээг шийдвэрлэхэд хэрэг болно.

• Интегралын дериватив нь интегралтай тэнцүү байна:

• Тогтмолыг интеграл тэмдгийн доороос гаргаж болно.

• Нийлбэрийн интеграл нь интегралын нийлбэртэй тэнцүү байна. Энэ нь мөн ялгааны хувьд үнэн юм:

Тодорхой интегралын шинж чанарууд

• Шугаман чанар:

• Интегралын хязгаарыг сольсон тохиолдолд интегралын тэмдэг өөрчлөгдөнө.

• At ямар чоноо а, бТэгээд -тай:

Тодорхой интеграл нь нийлбэрийн хязгаар гэдгийг бид аль хэдийн олж мэдсэн. Гэхдээ жишээг шийдэхдээ тодорхой утгыг хэрхэн авах вэ? Үүний тулд Ньютон-Лейбницийн томъёо байдаг:

Интегралыг шийдвэрлэх жишээ

Доор бид тодорхойгүй интеграл болон шийдлийн жишээг авч үзэх болно. Бид танд шийдлийн нарийн ширийнийг өөрөө олж мэдэхийг санал болгож байна, хэрэв ямар нэг зүйл тодорхойгүй байвал сэтгэгдэл дээр асуулт асуугаарай.

Материалыг бататгахын тулд интегралыг практикт хэрхэн шийддэг тухай видеог үзээрэй. Хэрэв интегралыг шууд өгөхгүй бол цөхрөл бүү зов. Оюутнуудад зориулсан мэргэжлийн үйлчилгээтэй холбоо бариарай, битүү гадаргуу дээрх гурвалсан эсвэл муруй интеграл нь таны хүчин чадалд багтах болно.

Дифференциал тооцоололд дараахь асуудлыг шийддэг. энэ функцийн дор ƒ(x) түүний уламжлалыг ол(эсвэл дифференциал). Интеграл тооцоо урвуу асуудлыг шийднэ: түүний уламжлал F "(x)=ƒ(x) (эсвэл дифференциал) гэдгийг мэдэж, F(x) функцийг ол. Хайж буй F(x) функцийг ƒ(x) функцийн эсрэг дериватив гэнэ. ).

F(x) функцийг дуудна эсрэг дериватив(a; b) интервал дээрх ƒ(x) функц, хэрэв ямар нэгэн x є (a; b) бол тэгш байдал

F " (x)=ƒ(x) (эсвэл dF(x)=ƒ(x)dx).

Жишээлбэл, y = x 2, x є R функцийн эсрэг дериватив нь функц юм, учир нь

Аливаа функц нь эсрэг дериватив байх нь ойлгомжтой

Энд C нь тогтмол, учир нь

Теорем 29. 1. Хэрэв F(x) функц нь (a;b) дээрх ƒ(x) функцийн эсрэг дериватив бол ƒ(x)-ийн бүх эсрэг деривативын олонлогийг F(x)+ томъёогоор олно. C, энд C нь тогтмол тоо юм.

▲ F(x)+C функц нь ƒ(x)-ийн эсрэг дериватив юм.

Үнэхээр (F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x).

Ф(х) нь F(x)-ээс ялгаатай ƒ(x) функцийн эсрэг дериватив байг, өөрөөр хэлбэл Ф "(x)=ƒ(х). Дараа нь дурын x є (а; b)-ийн хувьд бидэнд байна.

Энэ нь (Үндэслэл 25.1-ийг үзнэ үү) гэсэн үг

Энд C нь тогтмол тоо юм. Иймд Ф(x)=F(x)+С.▼

ƒ(x)-ийн бүх эсрэг дериватив функцүүдийн F(x)+С олонлогийг нэрлэнэ ƒ(x) функцийн тодорхойгүй интегралба ∫ ƒ(x) dx тэмдгээр тэмдэглэнэ.

Тиймээс, тодорхойлолтоор

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Энд ƒ(x)-г дуудна интеграл функц, ƒ(x)dx — интеграл илэрхийлэл, X - интеграцийн хувьсагч, ∫ -тодорхойгүй интегралын тэмдэг.

Функцийн тодорхойгүй интегралыг олох үйлдлийг энэ функцийг интеграллах гэж нэрлэдэг.

Геометрийн хувьд тодорхойгүй интеграл нь y=F(x)+C (С-ийн тоон утга бүр нь тухайн гэр бүлийн тодорхой муруйтай тохирч байна) “параллель” муруйн гэр бүл юм (166-р зургийг үз). Эсрэг дериватив (муруй) бүрийн графикийг нэрлэнэ интеграл муруй.

Функц бүр тодорхойгүй интегралтай байдаг уу?

“(a;b) дээр үргэлжилсэн функц бүр энэ интервал дээр эсрэг деривативтай, улмаар тодорхойгүй интегралтай байдаг” гэсэн теорем байдаг.

Тодорхой бус интегралын тодорхойлолтоос үүдэлтэй хэд хэдэн шинж чанарыг тэмдэглэе.

1. Тодорхой бус интегралын дифференциал нь интегралтай тэнцүү, тодорхойгүй интегралын дериватив нь интегралтай тэнцүү байна.

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

Үнэхээр d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

Энэ өмчийн ачаар интеграцийн зөв байдлыг ялгах замаар шалгадаг. Жишээлбэл, тэгш байдал

∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С

үнэн, учир нь (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.

2. Тодорхой функцийн дифференциалын тодорхойгүй интеграл нь энэ функц ба дурын тогтмолын нийлбэртэй тэнцүү байна.

∫dF(x)= F(x)+C.

Үнэхээр,

3. Тогтмол коэффициентийг интеграл тэмдэгээс гаргаж болно.

α ≠ 0 нь тогтмол байна.

Үнэхээр,

(C 1 / a = C-г тавь.)

4. Хязгаарлагдмал тооны тасралтгүй функцүүдийн алгебрийн нийлбэрийн тодорхойгүй интеграл нь функцүүдийн нийлбэрийн интегралуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

F"(x)=ƒ(x) ба G"(x)=g(x) гэж үзье. Дараа нь

Энд C 1 ±C 2 =C.

5. (Интегралчлалын томъёоны инвариант байдал).

Хэрэв , энд u=φ(x) - дурын функц, тасралтгүй деривативтай.

▲ x нь бие даасан хувьсагч, ƒ(x) нь тасралтгүй функц, F(x) нь эсрэг дериватив байна. Дараа нь

Одоо φ(x) нь тасралтгүй дифференциалагдах функц болох u=φ(x) гэж тохируулъя. F(u)=F(φ(x)) нийлмэл функцийг авч үзье. Функцийн эхний дифференциалын хэлбэрийн инвариантын улмаас (160-р хуудсыг үз) бид

Эндээс▼

Тиймээс интегралын хувьсагч нь бие даасан хувьсагч эсвэл түүний тасралтгүй дериватив бүхий функцээс үл хамааран тодорхойгүй интегралын томъёо хүчинтэй хэвээр байна.

Тиймээс, томъёоноос x-г u (u=φ(x))-ээр орлуулснаар бид олж авна

Тухайлбал,

Жишээ 29.1.Интегралыг ол

Энд C=C1+C 2 +C 3 +C 4.

Жишээ 29.2.Интеграл шийдлийг ол:

• 29.3. Үндсэн тодорхойгүй интегралын хүснэгт

Интеграл нь дифференциалын урвуу үйлдэл гэдгийг далимдуулан дифференциал тооцооны харгалзах томьёог (дифференциалын хүснэгт) урвуулж, тодорхойгүй интегралын шинж чанарыг ашиглан үндсэн интегралын хүснэгтийг гаргаж болно.

Жишээлбэл, учир нь

d(sin u)=cos u . ду

Интеграцийн үндсэн аргуудыг авч үзэхдээ хүснэгтэд байгаа хэд хэдэн томъёоны гарал үүслийг өгөх болно.

Доорх хүснэгтэд байгаа интегралуудыг хүснэгт гэж нэрлэдэг. Тэднийг цээжээр мэддэг байх ёстой. Интеграл тооцоололд дифференциал тооцоололтой адил энгийн функцүүдийн эсрэг деривативуудыг олох энгийн бөгөөд түгээмэл дүрэм байдаггүй. Эсрэг деривативыг олох аргууд (жишээ нь функцийг нэгтгэх) нь өгөгдсөн (хайж буй) интегралыг хүснэгтэд оруулах техникийг зааж өгдөг. Иймд хүснэгтийн интегралыг мэдэж, таних чадвартай байх шаардлагатай.

Үндсэн интегралын хүснэгтэд интеграцийн хувьсагч нь бие даасан хувьсагч болон бие даасан хувьсагчийн функцийг хоёуланг нь илэрхийлж болохыг анхаарна уу (интегралчлалын томьёоны инвариантын шинж чанарын дагуу).

Доорх томьёоны үнэн зөвийг баруун талд байгаа дифференциалыг авах замаар шалгаж болох бөгөөд энэ нь томьёоны зүүн талын интегралтай тэнцүү байна.

Жишээлбэл, 2-р томьёоны үнэн зөвийг баталъя. 1/u функц нь тэгээс бусад бүх утгын хувьд тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй байна.

Хэрэв u > 0 бол ln|u|=lnu байна Тийм ч учраас

Хэрэв та<0, то ln|u|=ln(-u). Ногэсэн үг

Тэгэхээр томъёо 2 зөв байна. Үүний нэгэн адил 15-р томъёог шалгая:

Үндсэн интегралын хүснэгт

Найзууд аа! Бид таныг хэлэлцэхийг урьж байна. Хэрэв танд өөрийн гэсэн бодол байгаа бол сэтгэгдэл дээр бидэнд бичээрэй.

Эдгээр шинж чанарууд нь интегралыг энгийн интегралуудын аль нэгэнд нь буулгах, цаашдын тооцоололд шилжүүлэхэд ашиглагддаг.

1. Тодорхой бус интегралын дериватив нь интегралтай тэнцүү байна.

2. Тодорхой бус интегралын дифференциал нь интегралтай тэнцүү байна.

3. Тодорхой функцийн дифференциалын тодорхойгүй интеграл нь энэ функц ба дурын тогтмолын нийлбэртэй тэнцүү байна.

4. Тогтмол коэффициентийг интеграл тэмдэгээс гаргаж болно.

Үүнээс гадна, a ≠ 0

5. Нийлбэрийн интеграл (ялгаа) нь интегралуудын нийлбэртэй (ялгаатай) тэнцүү байна.

6. Үл хөдлөх хөрөнгө нь 4 ба 5-р шинж чанаруудын нэгдэл юм:

Түүнчлэн, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Тодорхой бус интегралын хувьсах шинж чанар:

Хэрэв бол

8. Эд хөрөнгө:

Хэрэв бол

Үнэн хэрэгтээ энэ өмч нь хувьсагчийг өөрчлөх аргыг ашиглан интеграцийн онцгой тохиолдол бөгөөд дараагийн хэсэгт илүү дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.

Нэг жишээг харцгаая:

Эхлээд бид шинж чанар 5, дараа нь шинж чанар 4, дараа нь бид эсрэг деривативын хүснэгтийг ашиглаж, үр дүнг авсан.

Манай онлайн интеграл тооцоолуурын алгоритм нь дээр дурдсан бүх шинж чанарыг дэмждэг бөгөөд таны интегралын нарийвчилсан шийдлийг хялбархан олох болно.

Эсрэг дериватив ба тодорхойгүй интеграл.

(a; b) интервал дээрх f(x) функцийн эсрэг дериватив нь өгөгдсөн интервалаас аль ч х-д тэгш байдал биелэх F(x) функц юм.

Хэрэв бид тогтмол C-ийн дериватив тэгтэй тэнцүү болохыг харгалзан үзвэл тэгш байдал үнэн болно. . Иймд f(x) функц нь дурын тогтмол С-ийн хувьд F(x)+C эсрэг деривативуудын олонлогтой байх ба эдгээр эсрэг деривативууд нь дурын тогтмол утгаараа бие биенээсээ ялгаатай.

f(x) функцийн эсрэг деривативуудын бүхэл бүтэн багцыг энэ функцийн тодорхойгүй интеграл гэж нэрлээд тэмдэглэнэ. .

Илэрхийлэлийг интеграл, f(x)-ийг интеграл гэнэ. Интеграл нь f(x) функцийн дифференциалыг илэрхийлнэ.

Үл мэдэгдэх функцийг дифференциалаар нь олох үйлдлийг тодорхойгүй интеграл гэж нэрлэдэг, учир нь интегралчлалын үр дүн нь нэг F(x) функц биш, харин F(x)+C эсрэг деривативуудын олонлог юм.

Хүснэгтийн интеграл

Интегралын хамгийн энгийн шинж чанарууд

1. Интеграцийн үр дүнгийн дериватив нь интегралтай тэнцүү байна.

2. Функцийн дифференциалын тодорхойгүй интеграл нь тухайн функцийн нийлбэр ба дурын тогтмолтой тэнцүү байна.

3. Тодорхой бус интегралын тэмдгээс коэффициентийг авч болно.

4. Функцийн нийлбэр/ялгааны тодорхойгүй интеграл нь функцын тодорхойгүй интегралын нийлбэр/ялгаатай тэнцүү байна.

Тодорхой бус интегралын эхний ба хоёр дахь шинж чанаруудын завсрын тэгшитгэлийг тодруулах зорилгоор өгөв.

Гурав, дөрөв дэх шинж чанарыг батлахын тулд тэгш байдлын баруун талын деривативуудыг олоход хангалттай.

Эдгээр деривативууд нь интегралуудтай тэнцүү бөгөөд энэ нь эхний шинж чанараас үүдэлтэй нотолгоо юм. Энэ нь сүүлийн шилжилтэд ч хэрэглэгддэг.

Тиймээс интеграцийн асуудал нь ялгах асуудлын урвуу бөгөөд эдгээр асуудлуудын хооронд маш нягт холбоо байдаг.

Эхний шинж чанар нь нэгдмэл байдлыг шалгах боломжийг олгодог. Гүйцэтгэсэн интеграцийн зөв эсэхийг шалгахын тулд олж авсан үр дүнгийн деривативыг тооцоолоход хангалттай. Хэрэв дифференциалын үр дүнд олж авсан функц нь интегралтай тэнцүү бол энэ нь интегралчлал зөв хийгдсэн гэсэн үг юм;

Тодорхой бус интегралын хоёр дахь шинж чанар нь функцийн мэдэгдэж буй дифференциалаас түүний эсрэг деривативыг олох боломжийг олгодог. Тодорхой бус интегралын шууд тооцоог энэ шинж чанарт үндэслэнэ.

1.4.Интеграцийн хэлбэрүүдийн өөрчлөгдөөгүй байдал.

Инвариант интеграл гэдэг нь аргументууд нь бүлгийн элементүүд эсвэл нэгэн төрлийн орон зайн цэгүүд (ийм орон зайн аль ч цэгийг бүлгийн өгөгдсөн үйлдлээр нөгөө рүү шилжүүлж болно) функцүүдийн интеграцийн төрөл юм.

f(x) функц нь f.w дифференциал хэлбэрийн интегралыг тооцоолоход буурдаг, энд

r(x)-ийн тодорхой томьёог доор өгөв. Гэрээний нөхцөл нь хэлбэртэй байна .

энд Tg gОG-г ашиглан X дээрх ээлжийн операторыг хэлнэ: Tgf(x)=f(g-1x). X=G топологи буюу зүүн шилжилтээр өөр дээрээ үйлчилдэг бүлэг байг. Би болон. Хэрэв G нь орон нутгийн хэмжээнд нягт байвал (ялангуяа, хязгааргүй хэмжээст бүлгүүдэд I.I. байхгүй бол) оршино. I. ба дэд олонлогийн хувьд. шинж чанарын функц cA (А дээр 1, А гадна 0) нь зүүн Xaar хэмжигдэхүүнийг m(A) тодорхойлно. Энэ хэмжүүрийг тодорхойлох шинж чанар нь зүүн шилжилтийн үед өөрчлөгддөггүй байдал юм: m(g-1A)=m(A) бүх gОG. Бүлэг дээрх зүүн Haar хэмжигдэхүүн нь эерэг скаляр хүчин зүйл хүртэл өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог. Хэрвээ Haar хэмжигдэхүүн m мэдэгдэж байвал I. ба. f функцийг томъёогоор өгөгдөнө . Зөв Haar хэмжүүр нь ижил төстэй шинж чанартай байдаг. Үргэлжилсэн гомоморфизм (бүлгийн өмчийг хадгалсан газрын зураг) G бүлгийн DG бүлэгт (үржүүлэхийн хувьд) байр суурьтай байна. үүнд зориулсан тоо

Энд dmr болон dmi нь баруун ба зүүн Хаар хэмжүүр юм. DG(g) функцийг дуудна G бүлгийн модуль. Хэрэв байвал G бүлгийг дуудна. нэг модуль; энэ тохиолдолд баруун болон зүүн Haar хэмжүүрүүд давхцдаг. Компакт, хагас энгийн ба нилпотент (ялангуяа, коммутатив) бүлгүүд нь нэг модуль юм. Хэрэв G нь n хэмжээст Lie бүлэг ба q1,...,qn нь G дээрх зүүн инвариант 1 хэлбэрийн орон зайд суурь бол G дээрх зүүн Хаар хэмжигдэхүүнийг n-хэлбэрээр өгнө. Тооцоолохын тулд орон нутгийн координатуудад

qi-г үүсгэхийн тулд та G бүлгийн ямар ч матрицын хэрэгжилтийг ашиглаж болно: 1-хэлбэрийн g-1dg матриц нь өөрчлөгдөөгүй хэвээр байгаа бөгөөд түүний коэффициент. шаардлагатай суурь нь сонгогдсон зүүн инвариант скаляр 1-хэлбэрүүд юм. Жишээлбэл, GL(n, R) матрицын бүрэн бүлэг нь нэг модуль бөгөөд түүн дээрх Haar хэмжигдэхүүнийг маягтаар өгсөн болно. Болъё X=G/H нь нэгэн төрлийн орон зай бөгөөд түүний хувьд орон нутгийн авсаархан G бүлэг нь хувиргах бүлэг, хаалттай дэд бүлэг Н нь тодорхой цэгийн тогтворжуулагч юм. X дээр i.i байхын тулд бүх hОH-д DG(h)=DH(h) тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. Ялангуяа H нь авсаархан эсвэл хагас энгийн тохиолдолд энэ нь үнэн юм. I.-ийн бүрэн онол ба. хязгааргүй хэмжээст олон талт дээр байдаггүй.

Хувьсагчдыг солих.