Бүтээлийн текстийг зураг, томъёололгүйгээр нийтэлсэн.
Ажлын бүрэн хувилбарыг "Ажлын файлууд" таб дээрээс PDF форматаар авах боломжтой

ОРШИЛ

П.Л. Оросын хамгийн агуу математикч, механикч, Санкт-Петербургийн математикийн сургуулийг үндэслэгч, Калуга мужийн уугуул Чебышев "Полевойн түүхийн хоёрдугаар боти" нийтлэлдээ мөн чанарыг тааж, ойлгох чадвартай хүмүүсийн тухай бичжээ. үзэгдлийн тухай:

"Хүний оюун ухаан, түгээмэл хэллэгээр бол эш үзүүлэгч биш, харин таамаглагч юм; тэрээр аливаа зүйлийн ерөнхий явцыг харж, түүнээс гүн гүнзгий таамаглалыг гаргаж чаддаг, ихэнхдээ цаг хугацаагаар зөвтгөгддөг ..."

1838 онд оюутны тэмцээнд оролцож байхдаа П.Л. Чебышев n-р зэргийн тэгшитгэлийн үндсийг олох ажилд зориулж мөнгөн медаль хүртсэн. Анхны ажил нь 1838 онд аль хэдийн дууссан бөгөөд Ньютоны алгоритм дээр суурилсан байв.

Таамаглал: язгуур нь бүхэл тоо биш гуравдугаар зэргийн бүрэн бус тэгшитгэлийн шийдлийг P.L-ийн томъёогоор шийддэг. Чебышевыг оновчтой аргаар.

Судалгааны зорилго: Гурав дахь зэрэглэлийн бүрэн бус тэгшитгэлийг хэд хэдэн аргыг ашиглан шийдэж, тэдгээрийн хамгийн оновчтойг нь тодорхойлох.

Судалгааны зорилго:

Нэг ба хоёрдугаар эрэмбийн деривативын тодорхойлолттой танилцах;

Гуравдугаар зэрэглэлийн олон гишүүнт функцүүдийн графикийг барьж сурах;

Гуравдугаар зэргийн бүрэн бус тэгшитгэлийн шийдэлд P.L.-ийн томъёог ашиглана уу. Чебышева;

Гуравдугаар зэргийн бүрэн бус тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглах;

Хэрэв язгуурын хоёр утгыг ойролцоогоор мэддэг бол олон гишүүнтийн үндсийг боловсронгуй болгох алгоритмыг ашиглах;

Олж авсан шийдлийн аргуудаас хамгийн оновчтойг нь сонго.

Уран зохиолын тойм

Функцийн дериватив

Өгөгдсөн цэг дэх функцийн хязгаар, функцийн тодорхойлолтын мужийг хязгаарлах нь тухайн цэг рүү аргумент нь чиглэж байх үед авч үзэж буй функцийн утга руу чиглэх утга юм.

Функцийн дериватив нь тухайн цэг дэх функцийн өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог дифференциал тооцооллын ойлголт юм. Хэрэв ийм хязгаар байгаа бол аргументийн өсөлт тэг болох хандлагатай байдаг тул функцийн өсөлтийг түүний аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар гэж тодорхойлдог. Хязгаарлагдмал деривативтай (зарим цэгт) функцийг дифференциал (тухайн цэг) гэж нэрлэдэг.

Функцийн деривативыг хязгаараар тодорхойлох.

Цэгийн зарим хөршид (displaystyle x_(0) in mathbb (R) ) функцийг (displaystyle fcolon U(x_(0))mathbb (R) to mathbb (R) .) гэж тодорхойл. функц (дэлгэцийн хэв маяг f) ецэг дээр (дэлгэцийн хэв маяг x_(0))хэрэв байгаа бол хязгаарыг дуудна,

Эхний деривативын деривативыг хоёрдугаар эрэмбийн дериватив буюу хоёрдугаар дериватив гэж нэрлэдэг.

Формула P.L. Чебышева

Дээд зэрэглэлийн алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Гурав дахь (ба түүнээс дээш) зэрэглэлийн тэгшитгэлийг дараахь аргаар шийдэж болно.

График нь олон гишүүнтийн зэрэг өндөр байх тусам хэцүү болдог, учир нь график байгуулах нь заримдаа харгалзах үндсийг олохоос илүү хэцүү байдаг;

Ашиглалтын хувьд ихэвчлэн ойролцоогоор байдаг, гэхдээ үндсийг нь маш нарийвчлалтай олох боломжтой болгодог. График арга нь үйл ажиллагааны аргын туслах юм.

Теорем 1. Бүхэл тооны коэффициенттэй олон гишүүнт бүхэл язгуур байвал тэргүүлэгч гишүүн нь нэг коэффициенттэй байвал чөлөөт гишүүний хуваагч болно.

Теорем 2. Бодит тооны олонлог дээрх сондгой зэрэгтэй олон гишүүнт бүр дор хаяж нэг бодит язгууртай.

Номограммууд

Номограмм (Грек νομοσ - хууль) нь функциональ хамаарлыг тооцоололгүйгээр судлахын тулд энгийн геометрийн үйлдлүүдийг (жишээлбэл, захирагч хэрэглэх) ашиглах боломжийг олгодог хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн график дүрслэл юм. Жишээлбэл, томьёо ашиглахгүйгээр квадрат тэгшитгэлийг шийд. Номографи (Грек хэлнээс nómos - хууль ба...график), номограмм байгуулах онол, практик аргуудыг хослуулсан математикийн салбар - функциональ хамаарлын дүрс бүхий тусгай зураг. Номограммын онцлог нь зураг бүр нь хувьсагчийн өөрчлөлтийн өгөгдсөн талбарыг дүрсэлсэн бөгөөд энэ хэсэгт байгаа хувьсагчдын утгыг номограмм дээр тодорхой геометрийн элементээр (цэг эсвэл шугам) дүрсэлсэн байдаг; Функциональ хамааралтай холбоотой хувьсагчдын утгуудын зургууд нь ижил төрлийн номограммд нийтлэг байдаг тодорхой захидал харилцааны номограмм дээр байдаг.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх номограмм. Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд X α + х 0 X ß +q 0 = Зэрэгцсэн цэгүүдийн 0 номограммыг ашигладаг. Та ийм номограммыг авч болно: Хоёр босоо зэрэгцээ шулуун шугамыг зуръя - тэнхлэг Рцаг тоолох эхлэлтэй Аба тэнхлэг qцаг тоолох эхлэлтэй IN(Зураг 1); Энэ зураг дээр сегмент байна ABтэнхлэгүүдэд перпендикуляр p,q, гэхдээ энэ нь огт шаардлагагүй).

Дурын тоонууд α, ß болон эерэг тоог авч үзье А. Тэнхлэг дээр Рнэг цэг авч үзье ХАМТкоординаттай - А α-ß тэнхлэг дээр Р- цэг Дкоординаттай -А α . Болъё МЭ∩МЭӨ=Э. Чамайг тойруулъя Этэнхлэгүүдтэй параллель биш дурын шулуун шугам Р, q. Уулзварын координатыг тэмдэглэе МЭнэ нь тэнхлэгтэй шулуун шугам юм Рдамжуулан Р 0 , тэнхлэгтэй N-ийн огтлолцол q- дамжуулан q. Дараа нь А α + Р 0 α ß + q 0 = 0 (1), өөрөөр хэлбэл. тоо Атэгшитгэлийн үндэс юм X α + Р 0 X ß + q 0 = 0 (2). Чигээрээ М.Нтэнхлэгтэй огтлолцож болно Р, qгурван аргын аль нэгээр: Р 0 < 0, q 0 > 0 (Зураг 1); Р 0 > 0, q 0 < 0 (рис. 2); Р 0 < 0, q 0 < 0 (рис.3).

Цагаан будаа. 2 Зураг. 3

Зурагт үзүүлсэн тохиолдолд (1) тэгш байдлыг баталъя. 1 (бусад хоёр тохиолдлыг ижил төстэй байдлаар авч үздэг). Гурвалжингийн ижил төстэй байдлаас A.E.C.Тэгээд ОРбидэнд байгаа

(1) өгдөг. Дурын α, ß-г засаж, бүх боломжит тэгшитгэлийг авч үзье X α + px ß + q= 0. Ийм тэгшитгэлийн эерэг язгуурыг олох номограммыг дараах байдлаар зурна: 1) параметр АЯнз бүрийн эерэг утгуудыг өгч, тус бүрдээ цэг байгуулна Эдээр дурдсанчлан; 2) харгалзах параметрийн утгуудаар тэмдэглэгдсэн үүссэн цэгүүд нь гөлгөр муруйгаар холбогдсон байна Г(Зураг 4).

Одоо энэ номограммыг ашигласнаар та тодорхой тэгшитгэлийн эерэг язгуурыг олох боломжтой X α + Р 0 X ß + q 0 = 0, үүний тулд та p тэнхлэг дээр цэг авах хэрэгтэй Мкоординаттай Р 0 , тэнхлэг дээр q- координаттай N цэг q 0 болон шууд хийх М.Н. Шугамын огтлолцлын цэг бүр М.Нмуруйтай Г(1)-ийн тусламжтайгаар (2) тэгшитгэлийн эерэг язгуурыг өгнө. p коэффициенттэй харгалзах оноо qтэгшитгэл, тэгшитгэлийн хүссэн эерэг язгуурт тохирох цэгүүд X α + px ß + q=0, нэг шулуун дээр хэвтэнэ.

Олон гишүүнтийн язгуурын хоёр утгыг ойролцоогоор мэддэг бол түүний үндсийг боловсронгуй болгох алгоритм

Теорем. Хоёр ойролцоо утгатай, олон гишүүнтийг мэддэг бол давтагдах томъёог ашиглан сайжруулсан ойролцоо утгыг олж авах боломжтой.

ГУРАВДУГААР ЗЭРГИЙН БҮРЭН бус тэгшитгэлийн шийдэл

Гурав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэлийг шийдэх жишээ

Тэгшитгэлийг өгье

Шийдэл 1.

Тэгшитгэлийн зүүн тал нь гурав дахь (сондгой) зэрэглэлийн олон гишүүнт тул бодит тооны олонлог дээр дор хаяж нэг бодит язгууртай, өөрөөр хэлбэл. эдгээр тоонууд нь чөлөөт гишүүний хуваагч 1.

Бидэнд 1 3 -5 1+1=-3 байгаа бөгөөд энэ нь бүхэл үндэс байхгүй гэсэн үг юм.

Магадгүй оновчтой үндэс үү? Үгүй, учир нь тэргүүлэгч гишүүн 1-ийн коэффициент бүхий олон гишүүнт бүхэл язгуур байдаггүй.

Энэ нь таамаглал буруу байна гэсэн үг - үндэс нь үндэслэлгүй, бид түүний байрлах интервалыг тогтоосноор ойролцоогоор олох болно.

Хувьсагчийн утгыг өгч 1-р хүснэгтийг хийцгээе Xфункцийн утгыг тооцоолох цагт:

Хүснэгт 1

Интервал аль хэдийн олдсон, бид хил дотор агуулагдах сөрөг үндэстэй байна:

Хоёр дахь интервал, бид хил хязгаар дотор агуулагдах эерэг үндэстэй

Гурав дахь интервал, бид хил дотор агуулагдах эерэг үндэстэй

Гурав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэл гурваас илүү үндэстэй байж болохгүй тул өөр үндэс олох шаардлагагүй.

Функц нь тасралтгүй байна Рдээр ялгах боломжтой Р.

Функцийн график нь тэнхлэгийг огтолж байна OUцэг дээр.

Функцийн дериватив нь тэнцүү байна

1-р төрлийн чухал цэгүүд:

Функцийг монотон байдлын үүднээс авч үзье.

Бид ойролцоо утгыг тооцоолохдоо Бернуллигийн томъёог ашигласан

Иррациональ язгуурын утгыг бага зэрэг тодруулсан функцийн график дүрслэлийг (Зураг 6) оновчтой ойролцоолсноор өгье.

Шийдэл 2.

Анхны тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлье.

Энэ тэгшитгэлийг графикаар шийдье.

Хоёр функцийг танилцуулъя:

Эдгээр функцүүдийн өгөгдлийн графикийг байгуулъя (Зураг 7):

Шийдэл 3.

P.L-ийн томъёог хэрэглэцгээе. Чебышева

Бид функцийн графикийг ашигладаг (Зураг 6)

Тэгшитгэлийн нэг үндэс нь ойролцоо байрлаж байгааг харж болно

Энэ функцийн нэг ба хоёрдугаар эрэмбийн деривативуудыг олцгооё.

Тооцооллыг хийцгээе:

Томъёог хэрэгжүүлье:

Үлдсэн үндсийг олон гишүүнтийн шинж чанарыг ашиглан олоход хялбар байдаг.

1). Олон гишүүнтийн үндэс нь хуваагддаг бол.

2). Олон гишүүнтийг хуваахад үлдэгдэл нь энэ олон гишүүнтийн at-тай тэнцүү байна.

3). Horner схем, энд (Хүснэгт 2):

хүснэгт 2

Бид 0.008 хуваах үлдэгдлийг авсан.

Бид хуваагчийг тэгтэй тэнцүүлж байна:

Хариулт: -2.33; 0.2; 2.13.

Шийдэл 4.

Энэ номограмм (Зураг 8) ашиглан энэ тэгшитгэлийг шийдэж, зохих тооцоог хийцгээе.

Сегмент байгуулъя. Энэ нь үүссэн графикийг координаттай цэгүүдээр огтолно.

Гурав дахь үндсийг авахын тулд тэмдгийг өөрчил Xдээр - X, бид авдаг

Тэгшитгэлийн сөрөг язгуурыг сегмент байгуулан олъё, тэр нь функцийн графиктай нэг цэг дээр огтлолцдог.

Хариулт: -2.3; 0.25; 2.2.

Интернетийн эх сурвалжийг ашиглан олж авсан үндсийг шалгацгаая: вэбсайт

Тэгшитгэлийг үнэ төлбөргүй шийдвэрлэх - Онлайн тооцоолуур Тогтмол тэгшитгэл

Хариултуудыг Зураг дээр үзүүлэв. 9 ба Зураг. 10:

Хариулт: 0.2; 2.13; -2.33.

4-р шийдэлд олж авсан олон гишүүнтийн язгууруудын аль нэгийг нь түүний язгуурын хоёр утгыг ойролцоогоор мэддэг бол олон гишүүнтийн үндсийг боловсронгуй болгох алгоритмыг ашиглан сайжруулъя.

Авцгаая .

Бид язгуурын ойролцоо утгыг үргэлжлүүлэн сайжруулж болно. Уг тоог язгуурын ойролцоо утга болгон авч үзье.

ДҮГНЭЛТ

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигласан аргуудад дүн шинжилгээ хийцгээе (Хүснэгт 3):

Шийдэл	Алдаа дутагдал	Давуу тал
Функцийн график зурах, хамаарлын хүснэгтийг ашиглан функцийн тэгүүдийн ойролцоо утгыг тодорхойлох X-аас цагт.	Цаг хугацаа их шаарддаг, иррационал тооны утгыг тооцоолох асуудал гардаг. Гурван язгуурын аль нэгийг олоход алдаа гарсан.	Үзүүлэн. Үргэлжилсэн функцүүдийн шинж чанарыг (функцийн тогтмол тэмдэг ба тэг) ашиглан үндсийг тооцоолох нь сонирхолтой юм. Ихэнх алгебрийн тэгшитгэлд хэрэглэж болно.
Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх график арга	Оновчгүй. Гурван язгуурын аль нэгийг олоход алдаа гарсан.	Visual, туслах функцүүдийн танилцуулгыг сонгох эрхийг өгдөг.
P.L. томьёоны хэрэглээ Чебышева	Хэцүү тооцоолол хийхээс зайлсхийхийн тулд хоёр үндэс олохын тулд олон гишүүнтийн онолыг ашигласан.
Номограммын хэрэглээ	Цаг хугацаа их шаарддаг тул функцийн график, масштаб, нарийвчлалыг бий болгоход нарийвчлал шаарддаг.	Үндэс нь маш нарийн олдсон.

Хүснэгт 3

Тиймээс хамгийн оновчтой арга бол Чебышевын томъёог ашиглах явдал байв.

11-р ангид явуулсан судалгаагаар Чебышевын томъёо, номограмм нь физик, математикийн чиглэлээр суралцаж буй төгсөгчдийн хувьд танил бус ойлголтууд болох нь тогтоогджээ. Функцийн тасралтгүй байдлын шинж чанарыг ашиглан хүснэгтийг ашиглан тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолох нь оюутнуудын 80% -д шинэ зүйл болсон.

Тиймээс рационал бус үндэстэй, бүрэн бус алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадвар нь хамааралтай бөгөөд практикээс харахад асуудалтай байдаг.

АШИГЛАСАН ЭХ ҮҮСВЭР, АШИГЛАСАН АШИГЛАЛТЫН ЖАГСААЛТ

1. Функцийн хязгаарлалт-Хандалтын горим: Wikipedia ru.wikipedia.org (хандах огноо 2018-07-20)

Функцийн дериватив - Хандалтын горим: Wikipediaru.wikipedia.org (хандалтын огноо 2018-07-20)

2. Хичээл-тоглоом "Эх тооны ялагч - П.Л. Чебышев... - Хандалтын горим: нээлттэй хичээл.rf (хандалтын огноо 2018-07-21)
3. Акири И., Гарит В. нар Математик. 11-р ангийн сурах бичиг - Кишинев: PrutInternatijnal, 2004, 120-121 х.

И.Клумова “Зохицуулсан цэгүүдийн номограммууд”. Шинжлэх ухааны алдартай сэтгүүл "Quantum", No9 1978 он

Тэгшитгэлийг үнэ төлбөргүй шийдвэрлэх - Онлайн тооцоолуур Энгийн тэгшитгэлүүд Илэрхийллийг хялбарчлах - Хандалтын горим: kontrolnaya-rabota.ru (хандалтын огноо 07/19/2018)

Куб тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар тайлбарлана. Нэг үндэс нь мэдэгдэж байгаа тохиолдолд хэргийг авч үзнэ. Бүхэл ба рационал язгуурыг олох арга. Аливаа куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд Cardano болон Vieta томъёог ашиглах.

Агуулга

Энд бид куб хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдэхийг авч үзье
(1) .
Дараа нь эдгээр нь бодит тоо гэж бид таамаглаж байна.

(2) ,
Дараа нь үүнийг -д хувааж, коэффициент бүхий (1) хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авна
.

Тэгшитгэл (1) нь гурван үндэстэй: , ба. Нэг үндэс нь үргэлж бодит байдаг. Бид жинхэнэ язгуурыг гэж тэмдэглэнэ. Үндэс нь жинхэнэ эсвэл нарийн төвөгтэй коньюгат байж болно. Жинхэнэ үндэс нь үржвэр байж болно. Жишээлбэл, хэрэв , дараа нь болон нь давхар үндэс (эсвэл олон 2-ын үндэс) бөгөөд энгийн язгуур юм.

Хэрэв нэг үндэс нь мэдэгдэж байгаа бол

Куб тэгшитгэлийн нэг язгуурыг бидэнд мэдэгдье (1). Мэдэгдэж байгаа язгуурыг гэж тэмдэглэе. Дараа нь (1) тэгшитгэлийг -д хувааснаар квадрат тэгшитгэл гарна. Квадрат тэгшитгэлийг шийдэж, бид өөр хоёр язгуурыг олно.

Үүнийг батлахын тулд бид куб олон гишүүнтийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
.
Дараа нь (1) -ийг хуваахад квадрат тэгшитгэл гарна.

Олон гишүүнт хуваах жишээг хуудсан дээр үзүүлэв
“Олон гишүүнийг булан ба баганатай олон гишүүнт хуваах, үржүүлэх.”
Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар энэ хуудсан дээр авч үзсэн болно
"Квадрат тэгшитгэлийн үндэс."

Хэрэв нэг үндэс нь бүхэлдээ байвал

Хэрэв анхны тэгшитгэл нь:
(2) ,
ба түүний коэффициентүүд нь , , , бүхэл тоонууд бол бүхэл тооны үндсийг олохыг оролдож болно. Хэрэв энэ тэгшитгэл нь бүхэл язгууртай бол энэ нь коэффициентийн хуваагч болно. Бүхэл тоон язгуурыг олох арга нь бид тооны бүх хуваагчдыг олж, тэгшитгэл (2) хангагдсан эсэхийг шалгах явдал юм. Хэрэв (2) тэгшитгэл хангагдсан бол бид түүний үндсийг олсон болно. гэж тэмдэглэе. Дараа нь бид (2) тэгшитгэлийг хуваана. Бид квадрат тэгшитгэлийг авдаг. Үүнийг шийдэж, бид өөр хоёр үндэс олно.

Бүхэл үндэсийг тодорхойлох жишээг хуудсан дээр өгөв
Олон гишүүнтийн хүчин зүйлийн жишээ > > > .

Рациональ үндэс олох

Хэрэв (2) тэгшитгэлд , , , бүхэл тоо бөгөөд бүхэл язгуур байхгүй бол та рационал язгуур буюу язгуур хэлбэрийн язгуурыг олохыг оролдож болно, энд ба бүхэл тоо байна.

Үүнийг хийхийн тулд (2) тэгшитгэлийг үржүүлж, орлуулалтыг хийнэ.
;
(3) .
Дараа нь бид (3) тэгшитгэлийн бүхэл язгуурыг чөлөөт гишүүний хуваагчдаас хайдаг.

Хэрэв бид (3) тэгшитгэлийн бүхэл язгуурыг олсон бол хувьсагч руу буцаж очоод (2) тэгшитгэлийн оновчтой язгуурыг олж авна.
.

Куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх Кардано ба Виета томъёо

Хэрэв бид нэг язгуурыг мэдэхгүй, бүхэл үндэс байхгүй бол Кардано томъёог ашиглан куб тэгшитгэлийн язгуурыг олох боломжтой.

Куб тэгшитгэлийг авч үзье:
(1) .
Сэлгээ хийцгээе:
.
Үүний дараа тэгшитгэлийг бүрэн бус эсвэл багасгасан хэлбэр болгон бууруулна.
(4) ,
Хаана
(5) ; .

Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.
Г.Корн, Эрдэмтэн, инженерүүдэд зориулсан математикийн гарын авлага, 2012 он.

Тэгшитгэлийн хэрэглээ бидний амьдралд өргөн тархсан. Тэдгээрийг олон тооны тооцоолол, барилга байгууламж барих, тэр ч байтугай спортод ашигладаг. Эрт дээр үед хүн тэгшитгэлийг ашигладаг байсан бөгөөд түүнээс хойш тэдний хэрэглээ улам бүр нэмэгдсээр байна. Куб тэгшитгэл нь гурав дахь эрэмбийн тэгшитгэл бөгөөд дараах хэлбэртэй байна.

\ Энд \ Тоо \ орлуулах үед тэгшитгэл нь жинхэнэ тэгшитгэл болж хувирвал куб тэгшитгэлийн үндэс гэж нэрлэгддэг.

Энэ төрлийн тэгшитгэл нь үргэлж 3 үндэстэй байдаг. Үндэс нь бодит эсвэл нарийн төвөгтэй байж болно. Хэрэв анхны өгөгдөл нь куб тэгшитгэлийн язгууруудын аль нэгийг сонгох боломжийг танд олгодог бол куб олон гишүүнтийг \[(x - x1)\]-д хувааж, үүссэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэж болно.

Бидэнд дараах хэлбэрийн тэгшитгэл өгөгдсөн гэж бодъё.

Шийдэхийн тулд бүлэглэе:

Тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийхэд \ нь тэгшитгэлийн үндэс болох нь тодорхой байна

Үүссэн квадрат гурвалжны үндсийг олъё \

Бид хариултыг авна: \

Би онлайн шийдэгч ашиглан 3-р зэргийн тэгшитгэлийг хаанаас шийдэж болох вэ?

Та манай https://site сайтаас тэгшитгэлийг шийдэж болно. Үнэгүй онлайн шийдүүлэгч нь танд ямар ч төвөгтэй онлайн тэгшитгэлийг хэдхэн секундын дотор шийдэх боломжийг олгоно. Таны хийх ёстой зүйл бол зүгээр л шийдвэрлэгч рүү өгөгдлөө оруулах явдал юм. Та мөн манай вэбсайтаас видео зааварчилгааг үзэж, тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах боломжтой. Хэрэв танд асуулт байгаа бол манай ВКонтакте группээс http://vk.com/pocketteacher асууж болно. Манай группт нэгдээрэй, бид танд туслахдаа үргэлж баяртай байх болно.

Куб тэгшитгэлд хамгийн өндөр илтгэгч нь 3, ийм тэгшитгэл нь 3 үндэстэй (шийдэл) бөгөөд хэлбэртэй байна. Зарим куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тийм ч хялбар биш боловч хэрэв та зөв аргыг ашиглавал (онолын үндэслэл сайтай) бол хамгийн төвөгтэй куб тэгшитгэлийн үндсийг олох боломжтой - үүнийг хийхийн тулд квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёог ашиглана уу. бүх үндсийг олох, эсвэл ялгаварлагчийг тооцоолох.

Алхам

Чөлөөт нэр томъёогүйгээр куб тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ

Куб тэгшитгэл нь тайлбар гишүүнтэй эсэхийг олж мэд г (\ Displaystyle d) . Куб тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0). Тэгшитгэлийг куб гэж үзэхийн тулд зөвхөн нэр томъёог агуулсан байхад хангалттай x 3 (\displaystyle x^(3))(өөрөөр хэлбэл өөр гишүүн огт байхгүй байж болно).

Хаалт гарга x (\displaystyle x) . Тэгшитгэлд чөлөөт гишүүн байхгүй тул тэгшитгэлийн гишүүн бүр хувьсагчийг агуулна x (\displaystyle x). Энэ нь нэг гэсэн үг x (\displaystyle x)тэгшитгэлийг хялбарчлахын тулд хаалтнаас гаргаж авч болно. Тиймээс тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ. x (a x 2 + b x + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).

Квадрат тэгшитгэлийг (боломжтой бол) хүчин зүйл (хоёр биномын үржвэр).Хэлбэрийн олон квадрат тэгшитгэлүүд a x 2 + b x + c = 0 (\displaystyle ax^(2)+bx+c=0)хүчин зүйлчилж болно. Хэрэв бид үүнийг гаргавал энэ тэгшитгэлийг олж авах болно x (\displaystyle x)хаалтнаас гарсан. Бидний жишээнд:

Квадрат тэгшитгэлийг тусгай томьёо ашиглан шийд.Хэрэв квадрат тэгшитгэлийг хүчин зүйлээр тооцох боломжгүй бол үүнийг хий. Тэгшитгэлийн хоёр язгуурыг олохын тулд коэффициентүүдийн утгыг авна a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c)томъёонд орлуулна.

• Бидний жишээнд коэффициентүүдийн утгыг орлуулна уу a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) (3 (\displaystyle 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) томъёонд: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2)^(2) )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168)))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
• Эхний үндэс: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12,8i)(6)))
• Хоёр дахь үндэс: 2 − 12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12,8i)(6)))

1. Квадрат тэгшитгэлийн тэг ба язгуурыг куб тэгшитгэлийн шийд болгон ашигла.Квадрат тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй, харин куб тэгшитгэл нь гурван үндэстэй. Та аль хэдийн хоёр шийдлийг олсон - эдгээр нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм. Хэрэв та хаалтнаас "x"-г авсан бол гурав дахь шийдэл нь байх болно.

   Хүчин зүйлүүдийг ашиглан бүхэл үндэсийг хэрхэн олох вэ

   1. Куб тэгшитгэлд огтлолцол байгаа эсэхийг шалгаарай г (\ Displaystyle d) . Хэрэв хэлбэрийн тэгшитгэлд байгаа бол a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0)үнэгүй гишүүнтэй болно d (\displaystyle d)(энэ нь тэг биш) хаалтанд "x" оруулах нь ажиллахгүй. Энэ тохиолдолд энэ хэсэгт дурдсан аргыг ашиглана уу.

      Коэффицентийн хүчин зүйлсийг бичнэ үү а (\ Displaystyle a) мөн чөлөөт гишүүн г (\ Displaystyle d) . Өөрөөр хэлбэл, хэзээ тооны хүчин зүйлсийг ол x 3 (\displaystyle x^(3))ба тэнцүү тэмдгийн өмнөх тоонууд. Тооны хүчин зүйлүүд нь үржүүлснээр энэ тоог үүсгэдэг тоонууд гэдгийг санаарай.

      Хүчин зүйл бүрийг хуваа а (\ Displaystyle a) үржүүлэгч бүрийн хувьд г (\ Displaystyle d) . Эцсийн үр дүн нь олон тооны бутархай, цөөн тооны бүхэл тоо; Куб тэгшитгэлийн үндэс нь бүхэл тоонуудын аль нэг нь эсвэл бүхэл тоонуудын сөрөг утга байх болно.

      • Бидний жишээн дээр хүчин зүйлсийг хуваа a (\displaystyle a) (1 Тэгээд 2 ) хүчин зүйлээр d (\displaystyle d) (1 , 2 , 3 Тэгээд 6 ). Та авах болно: 1 (\displaystyle 1), , , , 2 (\displaystyle 2)Мөн . Одоо гарсан бутархай болон тоонуудын сөрөг утгыг энэ жагсаалтад нэмнэ үү. 1 (\displaystyle 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\displaystyle 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3)))Тэгээд − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). Куб тэгшитгэлийн бүхэл язгуурууд нь энэ жагсаалтын зарим тоонууд юм.

   2. Куб тэгшитгэлд бүхэл тоог орлуулна уу.Хэрэв тэгшитгэл хангагдсан бол орлуулсан тоо нь тэгшитгэлийн үндэс болно. Жишээлбэл, тэгшитгэлд орлуул 1 (\displaystyle 1):

      Олон гишүүнтийг хуваах аргыг ашигла Хорнерын схемтэгшитгэлийн язгуурыг хурдан олох.Хэрэв та тоонуудыг тэгшитгэлд гараар оруулахыг хүсэхгүй байвал үүнийг хий. Хорнерын схемд бүхэл тоог тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн утгуудад хуваана. a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c)Тэгээд d (\displaystyle d). Хэрэв тоонууд бүхэл тоонд хуваагддаг бол (өөрөөр хэлбэл үлдэгдэл нь) бүхэл тоо нь тэгшитгэлийн үндэс болно.

Скриптийн тусламжгүйгээр та дор хаяж 6 алхамыг багтаасан Cardano аргыг ашиглан нэлээд төвөгтэй тооцоолол хийх хэрэгтэй болно. Тооцоолол нь анхны тэгшитгэлийг y³ + py + q = 0 гэх мэт хэлбэрт оруулах замаар эхэлнэ.

Гурав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэлийн тооцоолол нь математик, физик, статистик, судалгаа, инженерийн суурь болон хэрэглээний олон асуудлыг шийдвэрлэхэд эрэлт хэрэгцээтэй байдаг.

Гурав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэл онлайн

Куб тэгшитгэл нь дараах байдлаар харагдаж байна.

$$ x^3 + a \cdot x^2 + b \cdot x +c =0 $$

Энд a, b, c нь х-ийн тоон коэффициент юм.

х нь куб олон гишүүнтийг ижил утгатай болгох утга нь куб тэгшитгэлийн үндэс болох хувьсагч юм.

Куб тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэхийн тулд тэгшитгэлийн коэффициентүүдийг нэг нэгээр нь тогтоох хэрэгтэй.

Куб тэгшитгэл нь гурван бодит язгууртай, эсвэл нэг (буюу муудсан тохиолдолд хоёр) ба хоёр цогц коньюгат үндэстэй байж болно.

$$R^2 бол тэгшитгэл нь гурван бодит язгууртай< Q^3$$

$$ R $$-ийг дараах томъёогоор олно.

$$ Q $$-ийг дараах томъёогоор олж болно.

Хэрэв $$R^2< Q^3 $$ , то уравнение имеет три действительных корня:

Хэрэв $$ R^2 >= Q^3 $$ бол тэгшитгэл нь нэг бодит язгуур (эсвэл доройтсон тохиолдолд хоёр) ба хоёр цогц коньюгаттай байна:

y = x³ функц ба түүний график

y = x 3 функцийн утгуудын хүснэгтийг хийцгээе: Бид x > 0 ба y > 0 (эерэг тооны шоо эерэг), х-ийн хувьд гэдгийг харж байна.< 0 и y < 0 (куб отрицательного числа отрицателен). Следовательно, график расположится на координатной плоскости в I и III четвертях. Заменим значение аргумента x противоположным значением –x , тогда и функция примет противоположное значение; так как если y = x 3 , то

Графикийн (x; y) цэг бүр нь эхтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байрлалтай ижил графын (–x; –y) цэгтэй тохирч байна гэсэн үг.

Тиймээс гарал үүсэл нь графикийн тэгш хэмийн төв юм.

y = x 3 функцийн графикийг 81-р зурагт үзүүлэв. Энэ шулууныг куб парабол гэнэ.

Эхний улиралд куб парабол (x > 0-ийн хувьд) "эгц" дээш өргөгдөнө (х нэмэгдэх тусам y утга "хурдан" өсдөг, хүснэгтийг үзнэ үү); x-ийн жижиг утгуудын хувьд "ойрхон" шугам нь дөхөж байна. x тэнхлэг ("жижиг" утгуудын хувьд x утга y "маш бага" хүснэгтийг үзнэ үү). Куб параболын зүүн тал (гуравдугаар улиралд) гарал үүсэлтэй харьцуулахад баруун талдаа тэгш хэмтэй байна.

Цэвэрхэн зурсан график нь тоонуудын кубыг ойролцоолох хэрэгсэл болж чадна. Жишээлбэл, x = 1.6 гэж үзвэл бид графикаас y ≈ 4.1-ийг олно.

Кубыг ойролцоогоор тооцоолохын тулд тусгай хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн.

Ийм хүснэгтийг В.М.Брадисийн "Дөрвөн оронтой математикийн хүснэгтүүд" гарын авлагад бас оруулсан болно.

Энэ хүснэгтэд 1-ээс 10 хүртэлх тоонуудын ойролцоогоор шоо дөрвөлжин, 4 чухал тоо болгон бөөрөнхийлсөн байна.

Шоо хүснэгтийн бүтэц, түүнийг ашиглах дүрэм нь дөрвөлжин хүснэгттэй ижил байна. Харин тоо 10, 100 гэх мэтээр нэмэгдэх (эсвэл буурах) үед түүний шоо нь 1000 гэх мэт дахин нэмэгддэг (эсвэл буурдаг). Энэ нь шоо дөрвөлжин хүснэгтийг ашиглахдаа таслалаар боох дараах дүрмийг санаж байх ёстой гэсэн үг юм.

Хэрэв та тоон дээр таслалыг хэд хэдэн оронтой тоо руу шилжүүлбэл энэ тооны шоо дахь таслалыг нэг чиглэлд оронтой тоог гурав дахин нэмэгдүүлэх шаардлагатай.

Үүнийг жишээгээр тайлбарлая:

1) 2.2353-ыг тооцоол. Хүснэгтээс бид олсон: 2.233 ≈ 11.09; Бид сүүлчийн оронтой тоонд 8-ын залруулга нэмнэ: 2.2353 ≈ 11.17.

2) (–179.8) 3-ыг тооцоол. (–a) 3 = –a 3 тул (179.8) 3-ыг олно.

Хүснэгтийг ашиглан аравтын бутархайг хөдөлгөж 1.798 3 ≈ 5.813-ийг олоод 179.8 3 ≈ авна.

Энэ нь (–179.8) 3 ≈ – гэсэн үг.

Ойролцоо томъёо. Хэрэв таних тэмдэгтэй бол

(1 ± α)³ ≈ 1 ± 3α ± 3α² ± α³

α тоо нь нэгдмэл байдалтай харьцуулахад бага байна, дараа нь α² ба α³ гэсэн нэр томъёог хаяснаар бид ойролцоогоор томъёог олж авна.

Эдгээр томьёог ашиглан нэгтэй ойролцоо тоонуудын ойролцоогоор шоо олоход хялбар байдаг, жишээлбэл:

1.02³ ≈ 1 + 3 * 0.02 = 1.06; яг шоо: 1.061208;

1.03³ ≈ 1 + 3 * 0.03 = 1.09; яг шоо: 1.092727;

0.98³ ≈ 1 – 3 * 0.02 = 0.94; яг шоо: 0.941192;

0.97³ ≈ 1 – 3 * 0.03 = 0.91; яг шоо: 0.912673.

Захирагч дээрх шоо тоо. Тоонуудыг шоо болгохын тулд захирагчийн биед K шоо масштаб байна. Шоо хуваарь нь зүүн, дунд, баруун гэсэн гурван хэсгээс бүрдэнэ (82-р зургийг үз); Эдгээр хэсэг тус бүр нь үндсэн D масштабыг илэрхийлдэг боловч 3 дахин багассан.

Бид шоо хэмжигч тоон утгыг үндсэн D масштабын харагчаар тэмдэглэж, үр дүнг шоо масштабын K дээр уншина.

Жишээлбэл, 2³ = 8 (диаграм 39-ийг үз).

Куб тоонуудын хэд хэдэн жишээг дараах хүснэгтэд үзүүлэв. Харьцуулахын тулд дөрвөн оронтой хүснэгтээс тооцоолсон ижил тооны шоо утгыг өгсөн болно.

Куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Бодит коэффициент бүхий куб тэгшитгэл нь дор хаяж нэг бодит язгууртай, нөгөө хоёр нь бодит эсвэл нийлмэл хосолсон хос юм.

Хамгийн энгийн тохиолдлуудаас тоймыг эхлүүлье - биномТэгээд буцаах боломжтойтэгшитгэл. Дараа нь бид оновчтой үндсийг (хэрэв байгаа бол) хайх руу шилждэг. Куб тэгшитгэлийн үндсийг олох жишээгээр дуусгая Карданогийн томъёоерөнхий тохиолдолд.

Хуудасны навигаци.

Хоёр гишүүнт куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Бином куб тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна.

Энэ тэгшитгэлийг тэгээс өөр А коэффициентээр хуваах замаар хэлбэрт оруулна. Дараа нь кубуудын товчилсон үржүүлгийн нийлбэрийн томъёог хэрэглэнэ.

Эхний хаалтаас бид олох бөгөөд дөрвөлжин гурвалсан нь зөвхөн нарийн төвөгтэй үндэстэй байдаг.

Куб тэгшитгэлийн жинхэнэ язгуурыг ол.

Бид кубын зөрүүг товчилсон үржүүлэх томъёог ашигладаг.

Эхний хаалтаас бид хоёр дахь хаалтанд байгаа дөрвөлжин гурвалжин нь жинхэнэ үндэсгүй болохыг олж мэдэв, учир нь ялгах чадвар нь сөрөг байна.

Эсрэг куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Харилцан куб тэгшитгэл нь A ба B коэффициентүүд байх хэлбэртэй байна.

Мэдээжийн хэрэг, x = -1 нь ийм тэгшитгэлийн язгуур бөгөөд үүссэн квадрат гурвалсан язгуурыг ялгаварлагчаар хялбархан олох боломжтой.

Куб тэгшитгэлийг шийд.

Энэ бол харилцан адилгүй тэгшитгэл юм. Бүлэглэцгээе:

Мэдээжийн хэрэг x = -1 нь тэгшитгэлийн үндэс юм.

Квадрат гурвалсан язгуурыг олох:

Рационал язгууртай куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Хамгийн энгийн тохиолдлоос эхэлье, х=0 нь куб тэгшитгэлийн язгуур юм.

Энэ тохиолдолд D чөлөөт нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна.

Хэрэв бид хаалтнаас х-г гаргавал дөрвөлжин гурвалжин хаалтанд үлдэх бөгөөд түүний үндэс нь ялгаварлан гадуурхагч эсвэл Виетийн теоремоор амархан олддог.

Тэгшитгэлийн жинхэнэ язгуурыг ол.

x=0 нь тэгшитгэлийн үндэс юм. Квадрат гурвалжны язгуурыг олъё.

Дискриминант нь тэгээс бага тул гурвалжин нь жинхэнэ үндэсгүй.

Хэрэв куб тэгшитгэлийн коэффициентүүд бүхэл тоо бол тэгшитгэл нь рационал язгууртай байж болно.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлж, y = Ax хувьсагчийг өөрчлөх үед:

Бид өгөгдсөн куб тэгшитгэлд хүрэв. Энэ нь чөлөөт нэр томъёог хуваагч бүхэл үндэстэй байж болно. Тиймээс бид бүх хуваагчдыг бичиж, ижил тэгшитгэлийг олж авах хүртэл үр дүнгийн тэгшитгэлд орлуулж эхэлнэ. Тодорхойлолтыг олж авах хуваагч нь тэгшитгэлийн үндэс юм. Тиймээс анхны тэгшитгэлийн үндэс нь байна.

Куб тэгшитгэлийн үндсийг ол.

Дээрх тэгшитгэлийг өөрчилье: хоёр талдаа үржүүлж, y = 2x хувьсагчийг өөрчил.

Үнэгүй хугацаа 36. Түүний бүх хуваагчийг бичье: .

Бид таних тэмдэг олж авах хүртлээ тэдгээрийг тэгш эрх болгон орлуулна.

Тэгэхээр y = -1 нь үндэс юм. Энэ нь түүнд тохирсон.

Үлдсэн зүйл бол квадрат гурвалжны үндсийг олох явдал юм.

Мэдээжийн хэрэг, түүний олон үндэс нь x = 3 байна.

Энэ алгоритмыг харилцан тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно. -1 нь ямар ч харилцан адилгүй куб тэгшитгэлийн үндэс учир анхны тэгшитгэлийн зүүн талыг x+1-д хувааж, үүссэн квадрат гурвалсан язгуурыг олох боломжтой.

Куб тэгшитгэл нь рационал үндэсгүй тохиолдолд шийдлийн бусад аргыг, жишээлбэл, олон гишүүнт хүчин зүйл ангилах тусгай аргыг ашигладаг.

Кардано томъёог ашиглан куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Ерөнхийдөө куб тэгшитгэлийн үндсийг Кардано томъёогоор олдог.

Куб тэгшитгэлийн утгыг ол. Дараа нь бид олох ба.

Бид үүссэн p ба q-г Кардано томъёонд орлуулна.

Шоо үндэсийн утгыг тэдгээрийн бүтээгдэхүүн тэнцүү байхаар авах ёстой. Үүний үр дүнд бид томъёог ашиглан анхны тэгшитгэлийн үндсийг олно.

Өмнөх жишээг Кардано томъёогоор шийдье.

Куб тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ

Куб тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна сүх 3 + bx 2 + cx + г= 0. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх арга нь хэдэн зууны туршид мэдэгдэж байсан (16-р зуунд Италийн математикчид нээсэн). Зарим куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд нэлээд хэцүү байдаг ч зөв арга барилаар (мөн онолын сайн түвшний мэдлэгтэй) та хамгийн хэцүү куб тэгшитгэлийг ч шийдэж чадна.

Засварлах алхамууд

3 арга 1:

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёог ашиглан шийдэл Засварлах

3 арга 2:

Бүхэл тоон шийдлийг хүчин зүйлчлэл ашиглан олох Засварлах

Куб тэгшитгэл

Энд \(a\ne 0,\ b,\ c,\ d\) нь зарим тоо юм.

Куб тэгшитгэл үргэлж дор хаяж нэг үндэстэй \(x_1\) .

Энэ нь дараах зүйл үргэлж сэтгэл хангалуун байна гэсэн үг: \(ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x^2+mx+n)\) , энд \(m, n\) байна. зарим тоо.

дурын тооны хувьд \(a\) нэг үндэстэй байна

\(x^3=-8\) тэгшитгэлийн шийдэл нь \(x=\sqrt=-2\) .

\(>\) \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) хэлбэрийн куб тэгшитгэлийг зарим тохиолдолд зүүн талын хүчин зүйлээр шийдэж болно.

\(5x^3-x^2-20x+4=0\) тэгшитгэлийг шийд.

Зүүн талд байгаа нөхцлүүдийг бүлэглээд үржвэр болгоё: \[(5x^3-20x)-(x^2-4)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 5x(x^2-4)-(x^2) - 4)=0 \дөрөв \Зүүн баруун сум \дөрөв (x^2-4)(5x-1)=0\]

Тэгвэл энэ тэгшитгэлийн үндэс нь \(x_1=-2, x_2=2, x_3=\frac15\) байна.

Зарим асуудалд товчилсон үржүүлэх томъёо нь ашигтай байж болно:

\(>\) Зүүн талыг хүчинжүүлэх боломжгүй \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) хэлбэрийн куб тэгшитгэлийг өөр аргаар шийдэж болно: рационалыг сонгоно уу. үндэс, хэрэв байгаа бол.

Үүнийг хийхийн тулд та дараах мэдэгдлийг ашиглаж болно.

\(\blacktrianglerright\) Хэрэв нийлбэр нь \(a+b+c+d=0\) бол тэгшитгэлийн үндэс нь \(1\) тоо болно.

\(\blacktrianglerright\) Хэрэв \(b+d=a+c\) бол тэгшитгэлийн үндэс нь \(-1\) тоо болно.

\(\blacktrianglerright\) \(a,b,c,d\) \(>>\) тоонууд байг. Дараа нь тэгшитгэл нь оновчтой язгууртай \(\lage >\) байвал түүний хувьд дараах зүйл үнэн болно.

\(d\) нь \(p\) -д хуваагддаг; \(a\) нь \(q\) -д хуваагдана.

1. \(7x^3+3x^2-x-9=0\) тэгшитгэл нь \(7+3-1-9=0\)-тэй тэнцүү коэффициентүүдийн нийлбэртэй бөгөөд энэ нь \(x=1\) гэсэн утгатай. ) нь энэ тэгшитгэлийн үндэс (заавал цорын ганц биш) юм.

2. \(4.5x^3-3x^2-0.5x+7=0\) тэгшитгэл нь: \(4.5-0.5=-3+7\) бөгөөд энэ нь \(x= -1\) гэсэн үг юм. Энэ тэгшитгэлийн үндэс.

3. \(2x^3+5x^2+3x-3=0\) тэгшитгэл нь бүхэл тоон коэффициенттэй тул та язгуурыг сонгож болно: чөлөөт гишүүний хуваагч \(-3\) : \(\pm 1, \pm 3 \); тэргүүлэх коэффициентийн хуваагч \(2\) : \(\pm1, \pm2\) . Энэ нь оновчтой язгууруудын боломжит хослолууд нь: \[\pm 1, \ \pm \dfrac12, \ \pm 3, \ \pm \dfrac32\] гэсэн үг юм.

Тоо бүрийг тэгшитгэлд ээлжлэн орлуулж, бид \(x=\frac12\) нь үндэс мөн эсэхийг шалгана (учир нь энэ тоог тэгшитгэлд орлуулсны дараа энэ нь жинхэнэ тэгшитгэл болж хувирдаг):

Хэрэв тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь рационал тоонууд бол тэгшитгэлийг нийтлэг хуваагчаар үржүүлснээр бид бүхэл тооны коэффициент бүхий эквивалент тэгшитгэлийг олж авах боломжтой гэдгийг анхаарна уу. Жишээлбэл, \(6\)-аар үржүүлсний дараа \(\frac12x^3+\frac16x+2=0\) тэгшитгэлийг бүхэл тооны коэффициент бүхий тэгшитгэл болгон бууруулна: \(3x^3+x+12=0\) .

\((2x + 1)^3 = 27\) тэгшитгэлийн язгуурыг ол. Хэрэв тэгшитгэл нь нэгээс олон үндэстэй бол томыг нь хариултдаа бич.

Анхны тэгшитгэл нь \((2x + 1)^3 = 3^3\) стандарт хэлбэртэй бөгөөд энэ нь \(2x + 1 = 3\) тэгшитгэлтэй тэнцэх бөгөөд үүнээс бид \(x = 1\ гэж дүгнэж байна. ) ODZ-ийн дагуу тохиромжтой.

\((2x + 1)^3 = -27\) тэгшитгэлийн язгуурыг ол. Хэрэв тэгшитгэл нь нэгээс олон үндэстэй бол томыг нь хариултдаа бич.

ODZ: \(x\) - дур зоргоороо. ODZ-ийг шийдье:

Анхны \((2x + 1)^3 = (-3)^3\) тэгшитгэл нь стандарт хэлбэртэй бөгөөд энэ нь \(2x + 1 = -3\) тэгшитгэлтэй тэнцүү бөгөөд үүнээс бид \( гэж дүгнэж байна. x = -2\) – ODZ-д тохиромжтой.

\((3x + 2)^3 = -64\) тэгшитгэлийн язгуурыг ол. Хэрэв тэгшитгэл нь нэгээс олон үндэстэй бол томыг нь хариултдаа бич.

ODZ: \(x\) - дур зоргоороо. ODZ-ийг шийдье:

Анхны тэгшитгэл нь \((3x + 2)^3 = (-4)^3\) стандарт хэлбэртэй бөгөөд энэ нь \(3x + 2 = -4\) тэгшитгэлтэй тэнцэх бөгөөд үүнээс бид \( гэж дүгнэж байна. x = -2\) – ODZ-д тохиромжтой.

\((7x + 11)^3 = 64\) тэгшитгэлийн язгуурыг ол. Хэрэв тэгшитгэл нь нэгээс олон үндэстэй бол томыг нь хариултдаа бич.

ODZ: \(x\) - дур зоргоороо. ODZ-ийг шийдье:

Анхны тэгшитгэл нь \((7x + 11)^3 = 4^3\) стандарт хэлбэртэй бөгөөд энэ нь \(7x + 11 = 4\) тэгшитгэлтэй тэнцэх бөгөөд үүнээс бид \(x = -1) гэж дүгнэж байна. \) нь ODZ-ийн дагуу тохиромжтой.

\((-x - 11)^3 = 216\) тэгшитгэлийн язгуурыг ол. Хэрэв тэгшитгэл нь нэгээс олон үндэстэй бол томыг нь хариултдаа бич.

ODZ: \(x\) - дур зоргоороо. ODZ-ийг шийдье:

Анхны тэгшитгэл нь \((-x - 11)^3 = 6^3\) нь стандарт хэлбэртэй бөгөөд энэ нь \(-x - 11 = 6\) тэгшитгэлтэй тэнцэх бөгөөд үүнээс бид \(x = гэж дүгнэж байна. -17\) ОДЗ-д тохиромжтой.

\(8x^3-36x^2+54x-27=0\) тэгшитгэлийг шийд.

Зүүн тал нь ялгааны шоо гэдгийг анхаарна уу: \[(2x)^3-3\cdot (2x)^2\cdot 3+3\cdot (2x)\cdot3^2-3^3=0\quad \ Зүүн баруун сум\дөрөв (2х-3)^3=0\дөрөв\Зүүн баруун сум\дөрөв x=\frac32.\]

\(8x^3+12x^2+6x+1=0\) тэгшитгэлийн том язгуурыг ол.

Зүүн тал нь нийлбэрийн шоо гэдгийг анхаарна уу: \[(2x)^3+3\cdot (2x)^2\cdot 1+3\cdot (2x)\cdot1^2+1^3=0\quad \ Зүүн баруун сум\дөрөв (2х+1)^3=0\дөрөв\Зүүн баруун сум\дөрөв x=-\frac12.\]

Улсын нэгдсэн шалгалтанд куб тэгшитгэлийг профиль болон үндсэн түвшинд хоёуланг нь олдог. Энэ нь оюутан бүр ийм даалгаврыг зөв шийдвэрлэх чадвартай байх ёстой гэсэн үг юм. Гурав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх улсын нэгдсэн шалгалтын оноо бага, үүнд цаг зарцуулах нь утгагүй гэж зарим хүмүүс хэлж магадгүй юм. Үүнтэй санал нийлэхэд хэцүү. Нэгдүгээрт, Улсын нэгдсэн шалгалтын оноо бүр маш чухал бөгөөд хоёрдугаарт, бэлтгэлийн явцад анхаарлаа хандуулбал гуравдугаар зэргийн тэгшитгэл нь тийм ч төвөгтэй биш юм. Оюутан ийм даалгаврыг хурдан бөгөөд хамгийн чухал нь зөв гүйцэтгэхийн тулд манай боловсролын нөөцийг ашиглах нь зүйтэй.

"Школково" бол Москва болон бусад бүс нутгийн математикийн ямар ч түвшний мэдлэгтэй төгсөгчдөд куб тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж сурах, улсын нэгдсэн шалгалтанд үр дүнтэй бэлтгэх боломжийг олгодог өвөрмөц платформ юм. Юуны өмнө бид энэ сэдвээр онолын материалыг судлах эсвэл судлахаас эхлэхийг зөвлөж байна. "Школково" нь улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлдэж буй Москва болон бусад хотуудын оюутнуудын анхааралд "Куб тэгшитгэл" сэдвээр материалыг ойлгомжтой, хүртээмжтэй харуулсан зохиогчийн гарын авлагыг толилуулж байна.

Үндсэн тодорхойлолт, томьёо танилцуулахаас гадна тухайн сэдвээр жишээ авч танилцаж, тэдгээрийг шийдвэрлэх аргад суралцах боломжтой болно. Манай мэргэжилтнүүд маш сонирхолтой сонголтуудыг сонгосон гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Шалгалтын асуудлыг хэрхэн итгэлтэйгээр шийдэж сурахын тулд танд сургалт хэрэгтэй. Тиймээс бид "Каталог" хэсэгт очиж, гуравдугаар зэргийн тэгшитгэлтэй бие даан ажиллахыг зөвлөж байна.

X-ийг гурав дахь зэрэглэлд шилжүүлнэ

Функц нь x кубтай тэнцүү байна

i функцийн шинж чанарууд нь x кубтай тэнцүү байна

X кубтай тэнцүү функц нь дараах шинж чанартай байна.

2. y функц нь бүх тооны шугамын дагуу х шоо өсөхтэй тэнцүү;

3. y = x 3 функцийн тодорхойлолтын муж нь бүхэл тооны шугам;

4. y = x 3 функцийн утгуудын багц нь бүхэл тооны шугам юм.

i функцийн график нь x кубтай тэнцүү байна

y = x 3 функцийн графикийг куб парабол гэнэ.

Та яг одоо график бүтээгч ашиглан y = x 3 функцийн графикийг өөрөө байгуулж болно. Үүнд "Power: y = k * x n + b) функцийн төрлийг сонгоод, "n" утгыг гуравтай тэнцүү болгож, "График бүтээх" товчийг дарна уу.

y = x 3 функц нь чадлын функцийн онцгой тохиолдол юм.

Эдгээр нь i функцийн шинж чанарууд ба график нь x кубтай тэнцүү байна.

Куб тэгшитгэл

Куб тэгшитгэлийг Виетийн томъёогоор шийдэх. Хэрэглэгчийн хүсэлтээр үүсгэсэн.

Куб тэгшитгэлийн каноник хэлбэр:

Бид куб тэгшитгэлийг Виетийн томъёогоор шийднэ.

Виетийн томъёо нь куб хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдэх арга юм

Тооцоологч доор байгаа бөгөөд Виетийн томъёоны тайлбар доор байна

Куб тэгшитгэл

Дашрамд хэлэхэд зарим нэг шалтгааны улмаас бусад сайтууд куб тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд Карданогийн томъёог ашигладаг боловч Википедиагийн томъёог практикт ашиглахад илүү тохиромжтой гэдэгтэй би Википедиатай санал нэг байна. Хүмүүс Гиперболын функц болон Урвуу гипербол функцийг хэрэгжүүлэхээс залхуурахгүй л бол Кардано томъёо яагаад хаа сайгүй байдаг нь тодорхойгүй байна. За, би залхуу биш байсан.

Тэгэхээр, Витагийн томъёо (Википедиагаас)

Виетийн томъёоны дүрслэлийн дагуу a нь хоёр дахь коэффициент бөгөөд x3-ийн өмнөх коэффициентийг үргэлж 1-тэй тэнцүү гэж үздэгийг анхаарна уу. Тооцоологч нь x3-аас өмнө a-ыг коэффициент болгон оруулах боломжийг олгодог боловч тэгшитгэлийг тэр даруйд нь хуваадаг. 1 авах

Хэрэв S > 0 бол бид тооцоолно:

Хэрэв С< 0, то заменяем тригонометрические функции гиперболическими. Здесь возможны два случая в зависимости от знака Q

(хос нийлмэл үндэс)

(хос нийлмэл үндэс)

Хэрэв S = 0 бол тэгшитгэл нь доройтсон бөгөөд 3-аас бага өөр шийдэлтэй байна (2-р үржвэрийн хоёр дахь үндэс):

Тооцоологч нь эдгээр томъёог ашиглан ажилладаг. Төсөөллийн хэсэгтэй шийдлүүдийг шалгаагүй ч зөв шийдэж байгаа бололтой. Ямар нэгэн зүйл байвал бичээрэй.

Үндэс ба зэрэг

Зэрэг

Зэрэг нь дараах хэлбэрийн илэрхийлэл юм: , энд:

Экспонент нь натурал тоо (жишээ нь, бүхэл ба эерэг) болох зэрэг гэсэн ойлголтыг тодорхойлъё.

1. A-priory: .
2. Тооны квадрат гэдэг нь өөрөө үржүүлнэ гэсэн үг.
3. Тоог шоо гэдэг нь өөрөө гурав дахин үржүүлнэ гэсэн үг: .

Тоог натурал зэрэгт хүргэх нь тухайн тоог өөрөө хэд дахин үржүүлнэ гэсэн үг юм.

Бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэг

Хэрэв экспонент эерэг бүхэл тоо бол:

Тэг хүчийг нэмэгдүүлэх:

Хэрэв экспонент сөрөг бүхэл тоо бол:

Тайлбар: n ≤ 0 тохиолдолд илэрхийлэл тодорхойлогдоогүй. Хэрэв n > 0 бол

Рационал үзүүлэлттэй хүч

Зэрэглэлийн шинж чанарууд

Үндэс

Тэгшитгэл нь x=2 ба x=-2 гэсэн хоёр шийдэлтэй. Эдгээр нь квадрат нь 4-тэй тоонууд юм.

Тэгшитгэлийг авч үзье. Функцийн графикийг зурж, энэ тэгшитгэл нь нэг эерэг, нөгөө нь сөрөг гэсэн хоёр шийдтэй болохыг харцгаая.

Гэхдээ энэ тохиолдолд шийдлүүд нь бүхэл тоо биш юм. Түүнээс гадна тэд оновчтой биш юм. Эдгээр үндэслэлгүй шийдвэрүүдийг бичихийн тулд бид тусгай квадрат язгуур тэмдгийг нэвтрүүлж байна.

Арифметик квадрат язгуур нь квадрат нь ≥ 0-тэй тэнцүү сөрөг бус тоо юм.< 0 - выражение не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу.

Квадрат язгуур

Жишээлбэл, . Мөн тэгшитгэлийн шийдлүүд, мөн

Шоо үндэс

Тооны шоо язгуур нь шоо нь тэнцүү тоо юм. Куб үндэс нь хүн бүрт тодорхойлогддог. Үүнийг дурын тооноос гаргаж авч болно: .

n-р үндэс

Тооны р язгуур нь --р зэрэгтэй тэнцүү тоо юм.

• Дараа нь хэрэв а< 0 корень n-ой степени из a не определен.
• Эсвэл a ≥ 0 бол тэгшитгэлийн сөрөг бус язгуурыг a-ийн n-р арифметик язгуур гэж нэрлээд тэмдэглэнэ.

• Дараа нь тэгшитгэл нь ямар ч өвөрмөц үндэстэй болно.

Үндэс ба зэрэг

Зэрэг нь хэлбэрийн илэрхийлэл юм.

Энд - зэрэглэлийн суурь, - илтгэгч.

Байгалийн үзүүлэлттэй зэрэг

Зэрэг тодорхойлох хамгийн хялбар арга бол натурал (өөрөөр хэлбэл эерэг бүхэл тоо) илтгэгч юм.

"Дөрвөлжин", "шоо" гэсэн хэллэгүүд бидэнд эрт дээр үеэс танил болсон.

Тооны квадрат гэдэг нь өөрөө үржүүлнэ гэсэн үг.

Тоог шоо болгоно гэдэг нь өөрөө гурав дахин үржүүлнэ гэсэн үг.

Тоог натурал зэрэгт хүргэнэ гэдэг нь өөрөө хэд дахин үржүүлнэ гэсэн үг:

Бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэг

Экспонент нь зөвхөн натурал тоо (энэ нь эерэг бүхэл тоо) төдийгүй тэгтэй тэнцүү, мөн сөрөг бүхэл тоо байж болно.

Энэ нь үнэн юм. Илэрхийлэл тодорхойлогдоогүй байна.

Сөрөг бүхэл илтгэгчтэй зэрэг гэж юу болохыг мөн тодорхойлъё.

Мэдээжийн хэрэг, та тэгээр хувааж болохгүй тул энэ бүхэн үнэн юм.

Эхний сөрөг хүчин рүү нэмэгдэхэд бутархай нь урвуу болно гэдгийг анхаарна уу.

Экспонент нь зөвхөн бүхэл тоо биш, харин бутархай, өөрөөр хэлбэл рационал тоо байж болно. "Тоон багц" нийтлэлд бид оновчтой тоо гэж юу болох талаар ярилцсан. Эдгээр нь бутархай хэлбэрээр бичиж болох тоонууд бөгөөд энд - бүхэл тоо - натурал тоо юм.

Энд бидэнд шинэ үзэл баримтлал хэрэгтэй - зэрэглэлийн үндэс. Үндэс ба зэрэг нь хоорондоо холбоотой хоёр сэдэв юм. Аль хэдийн танил болсон арифметик квадрат язгуураас эхэлцгээе.

Арифметик квадрат язгуур

Тэгшитгэл нь хоёр шийдэлтэй: ба.

Эдгээр нь квадрат нь тэнцүү тоонууд юм.

Тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Хэрэв бид функцийн графикийг зурвал энэ тэгшитгэл нь мөн эерэг, сөрөг хоёр шийдэлтэй болохыг харах болно.

Гэхдээ эдгээр шийдлүүд нь бүхэл тоо биш юм. Түүнээс гадна тэд оновчтой биш юм. Эдгээр шийдлүүдийг бичихийн тулд бид тусгай квадрат язгуур тэмдэгийг танилцуулж байна.

Тооны арифметик квадрат язгуур нь квадрат нь тэнцүү сөрөг бус тоо юм.

Энэ тодорхойлолтыг санаарай.

Арифметик квадрат язгуурыг тэмдэглэнэ.

1) Квадрат язгуурыг зөвхөн сөрөг бус тооноос авах боломжтой

2) Илэрхийлэл нь үргэлж сөрөг биш байдаг. Жишээлбэл, .

Арифметик квадрат язгуурын шинж чанарыг жагсаацгаая.

Илэрхийлэл нь тэнцүү биш гэдгийг санаарай. Шалгахад хялбар:

Би өөр хариулт авсан.

Шоо үндэс

Үүний нэгэн адил шоо язгуур нь гуравдахь зэрэглэлд хүрэхэд тоо өгдөг тоо юм.

Жишээлбэл, оноос хойш;

Гурав дахь үндсийг эерэг ба сөрөг тоонуудаас авч болно гэдгийг анхаарна уу.

Одоо бид дурын бүхэл тооны язгуур зэргийг тодорхойлж болно.

n-р зэргийн үндэс

Тооны 3-р үндэс нь 1-р зэрэглэлд хүрэхэд тоо үүсгэдэг тоо юм.

Гурав, тав, ес дэх язгуурыг нэг үгээр хэлбэл ямар ч сондгой зэрэглэлийг эерэг ба сөрөг тооноос гаргаж авах боломжтой гэдгийг анхаарна уу.

Квадрат язгуур, түүнчлэн дөрөв, арав, ерөнхийдөө ямар ч тэгш хүчийг зөвхөн сөрөг бус тооноос гаргаж авах боломжтой.

Тэгэхээр, - ийм тоо. Үндэсийг рационал илтгэгчтэй зэрэглэлээр бичиж болох нь харагдаж байна. Энэ нь тухтай.

Зэрэглэлийн суурь нь илүү гэдгийг шууд хүлээн зөвшөөрье.

Тодорхойлолтоор илэрхийлэл нь тэнцүү байна.

Энэ тохиолдолд илүү их байгаа нөхцөл нь бас хангагдана.

Зэрэгтэй харьцах дүрмийг санацгаая:

градусыг үржүүлэхэд илтгэгчүүд нэмэгдэнэ

Зэрэгт хуваахдаа илтгэгчийг хасна

Хүчин чадлыг өсгөхөд илтгэгчийг үржүүлнэ

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаварт эдгээр томъёог хэрхэн ашигладаг болохыг харуулъя.

Бид бүх зүйлийг нийтлэг язгуур дор авчирч, хүчин зүйлээр ялгаж, бутархайг багасгаж, үндсийг нь гаргаж авсан.

Энд бид язгуурыг эрх мэдлийн хэлбэрээр бичиж, эрх мэдэлтэй үйлдлийн томъёог ашигласан.

Бидэн рүү залгаарай: (Орос дотор үнэгүй дуудлага) (Москва дотор үнэгүй дуудлага хийх)

Эсвэл "Илүү ихийг олж мэдэх" товчийг дарж холбоо барих маягтыг бөглөнө үү. Бид тантай дахин залгах нь гарцаагүй.

Яг одоо залгаарай, бид танд эхний сарын хичээлдээ 25% хөнгөлөлт үзүүлэх болно! Дуудлага:

Хэвийн ажиллагаа болон таны тав тухыг хангахын тулд сайт күүки ашигладаг. Энэ бол туйлын хэвийн практик. Порталыг үргэлжлүүлэн ашигласнаар та манай Нууцлалын бодлогыг зөвшөөрч байна.