Олон өнцөгт нь бүх талаараа битүү тасархай шугамаар хүрээлэгдсэн геометрийн дүрс юм. Энэ тохиолдолд эвдэрсэн шугамын холбоосын тоо гурваас багагүй байх ёстой. Полилин сегментийн хос бүр нийтлэг цэгтэй бөгөөд өнцөг үүсгэдэг. Полилин сегментийн тоотой хамт өнцгийн тоо нь олон өнцөгтийн гол шинж чанар юм. Олон өнцөгт бүрт хязгаарлагдмал хаалттай олон өнцөгт дэх холбоосуудын тоо нь өнцгийн тоотой давхцдаг.

Геометрийн хувьд талуудыг ихэвчлэн геометрийн объектыг хязгаарласан тасархай шугамын холбоос гэж нэрлэдэг. Оройнууд нь хоёр зэргэлдээ талуудын холбоо барих цэгүүд юм., аль тооноос олон өнцөгтүүд нэрээ авдаг.

Хэрэв битүү тасархай шугам нь гурван сегментээс тогтвол гурвалжин гэж нэрлэдэг; үүний дагуу дөрвөн сегментээс - дөрвөлжин, таваас - таван өнцөгт гэх мэт.

Гурвалжин эсвэл дөрвөн өнцөгтийг тодорхойлохын тулд түүний оройг том латин үсгээр тэмдэглэнэ. Үсгүүдийг дарааллаар нь нэрлэсэн - цагийн зүүний дагуу эсвэл цагийн зүүний эсрэг.

Үндсэн ойлголтууд

Олон өнцөгтийн тодорхойлолтыг тайлбарлахдаа зарим холбогдох геометрийн ойлголтуудыг авч үзэх хэрэгтэй.

1. Хэрэв оройнууд нь нэг талын төгсгөл бол тэдгээрийг зэргэлдээ гэж нэрлэдэг.
2. Хэрэв сегмент нь зэргэлдээ бус оройнуудыг холбовол түүнийг диагональ гэж нэрлэдэг. Гурвалжин диагональтай байж болохгүй.
3. Энэ цэг дээр хоёр тал нь нийлснээр үүссэн оройн аль нэг дэх өнцөгийг дотоод өнцөг гэнэ. Энэ нь үргэлж геометрийн дүрсийн дотоод бүсэд байрладаг. Хэрэв олон өнцөгт нь гүдгэр биш бол түүний хэмжээ 180 градусаас хэтэрч болно.
4. Тодорхой орой дээрх гадаад өнцөг нь дотоод өнцөгтэй зэргэлдээх өнцөг юм. Өөрөөр хэлбэл, гадаад өнцгийг 180 ° ба дотоод өнцгийн утгын хоорондох зөрүү гэж үзэж болно.
5. Бүх сегментүүдийн утгын нийлбэрийг периметр гэж нэрлэдэг.
6. Хэрэв бүх талууд ба бүх өнцөг нь тэнцүү бол үүнийг зөв гэж нэрлэдэг. Зөвхөн гүдгэр нь зөв байж болно.

Дээр дурдсанчлан олон өнцөгт геометрийн нэрс нь оройн тоон дээр суурилдаг. Хэрэв дүрс нь n тоотой бол түүнийг дуудна n-gon:

1. Хавтгайн төгсгөлтэй хэсгийг хязгаарлаж байвал олон өнцөгтийг хавтгай гэж нэрлэдэг. Энэ геометрийн дүрсийг тойрог хэлбэрээр эсвэл тойрог хэлбэрээр дүрсэлж болно.
2. Хэрэв доорх нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан бол n-gon нь гүдгэр гэж нэрлэгддэг.
3. Зураг нь хоёр зэргэлдээ оройг холбосон шулуун шугамын нэг талд байрлана.
4. Энэ зураг нь хэд хэдэн хагас хавтгайн нийтлэг хэсэг эсвэл огтлолцол болдог.
5. Диагональууд нь олон өнцөгт дотор байрладаг.
6. Хэрэв сегментийн төгсгөлүүд нь олон өнцөгт хамаарах цэгүүдэд байрладаг бол сегмент бүхэлдээ түүнд хамаарна.
7. Хэрэв бүх сегмент ба бүх өнцөг нь тэнцүү бол дүрсийг тогтмол гэж нэрлэж болно. Жишээ нь дөрвөлжин, тэгш талт гурвалжин эсвэл ердийн таван өнцөгт юм.
8. Хэрэв n өнцөг нь гүдгэр биш, түүний бүх тал ба өнцөг нь тэнцүү, орой нь ердийн n өнцөгттэй давхцаж байвал түүнийг одтой гэж нэрлэдэг. Ийм тоонууд нь өөрөө огтлолцсон хэсгүүдтэй байж болно. Жишээ нь пентаграм эсвэл зургаан өнцөгт дүрс байж болно.
9. Гурвалжин эсвэл дөрвөлжин нь бүх орой нь нэг тойрог дотор байрлаж байвал тойрог дотор бичээстэй гэж нэрлэдэг. Хэрэв энэ зургийн талууд нь тойрогтой холбогдох цэгүүдтэй бол энэ нь тодорхой тойргийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн олон өнцөгт юм.

Ямар ч гүдгэр n-гоныг гурвалжинд хувааж болно. Энэ тохиолдолд гурвалжны тоо талуудын тооноос 2-оор бага байна.

Зургийн төрлүүд

Энэ нь гурван орой, тэдгээрийг холбосон гурван шугамын сегмент бүхий олон өнцөгт юм. Энэ тохиолдолд сегментүүдийн холболтын цэгүүд нэг шулуун шугам дээр байрладаггүй.

Сегментүүдийн холболтын цэгүүд нь гурвалжны оройнууд. Сегментүүдийг гурвалжны талууд гэж нэрлэдэг. Гурвалжин бүрийн дотоод өнцгийн нийт нийлбэр нь 180° байна.

Талуудын хоорондын харилцааны дагуу бүх гурвалжинг хэд хэдэн төрөлд хувааж болно.

1. Тэгш талт- бүх сегментийн урт ижил байна.
2. Хоёр талт- Гурван сегментийн хоёр нь тэнцүү гурвалжин.
3. Олон талт- хэрэв бүх сегментийн урт өөр бол.

Үүнээс гадна дараахь гурвалжныг ялгах нь заншилтай байдаг.

1. Хурц өнцөг.
2. Тэгш өнцөгт.
3. Бүдүүн.

Дөрвөн өнцөгт

Дөрвөн өнцөгт гэж нэрлэдэг хавтгай дүрс, тэдгээрийг цуваа холбосон 4 орой, 4 сегменттэй.

1. Хэрэв дөрвөн өнцөгтийн бүх өнцөг нь тэгш өнцөгт байвал энэ дүрсийг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг.
2. Талууд нь ижил хэмжээтэй тэгш өнцөгтийг дөрвөлжин гэнэ.
3. Талууд нь бүгд тэнцүү дөрвөн өнцөгтийг ромб гэнэ.

Нэг шулуун дээр дөрвөн өнцөгтийн гурван орой байж болохгүй.

Видео

Олон өнцөгтийн талаар нэмэлт мэдээлэл авахыг хүсвэл энэ видеог үзнэ үү.

§ 1 Гурвалжингийн тухай ойлголт

Энэ хичээлээр та гурвалжин, олон өнцөгт хэлбэрүүдтэй танилцах болно.

Нэг шулуун дээр ороогүй гурван цэгийг хэрчмээр холбовол гурвалжин үүснэ. Гурвалжин нь гурван орой, гурван талтай.

ABC гурвалжин болохоос өмнө гурван орой (А цэг, В цэг, С цэг) ба гурван тал (AB, AC, CB) байна.

Дашрамд хэлэхэд эдгээр ижил талуудыг өөрөөр нэрлэж болно.

AB=BA, AC=SA, CB=BC.

Гурвалжны талууд нь гурвалжны орой дээр гурван өнцөг үүсгэдэг. Зураг дээр та А өнцөг, В өнцөг, С өнцгийг харж байна.

Тиймээс гурвалжин нь нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэгийг холбосон гурван сегментээс үүссэн геометрийн дүрс юм.

§ 2 Олон өнцөгтийн тухай ойлголт, түүний төрлүүд

Гурвалжингаас гадна дөрвөлжин, таван өнцөгт, зургаан өнцөгт гэх мэт. Нэг үгээр бол тэдгээрийг олон өнцөгт гэж нэрлэж болно.

Зураг дээр та дөрвөн өнцөгт DMKE-г харж байна.

D, M, K, E цэгүүд нь дөрвөн өнцөгтийн орой юм.

DM, MK, KE, ED сегментүүд нь энэ дөрвөн өнцөгтийн талууд юм. Гурвалжингийн нэгэн адил дөрвөлжингийн талууд оройн хэсэгт дөрвөн өнцөг үүсгэдэг тул таны таамаглаж байгаагаар дөрвөн өнцөгт гэж нэрлэв. Энэ дөрвөлжингийн хувьд та D өнцөг, М өнцөг, К өнцөг, Е өнцгийг зураг дээр харж байна.

Та ямар дөрвөн өнцөгтийг аль хэдийн мэддэг болсон бэ?

Дөрвөлжин ба тэгш өнцөгт! Тэд тус бүр нь дөрвөн булан, дөрвөн талтай.

Өөр нэг төрлийн олон өнцөгт бол таван өнцөгт юм.

O, P, X, Y, T цэгүүд нь таван өнцөгтийн оройнууд бөгөөд TO, OP, PX, XY, YT хэрчмүүд нь энэ таван өнцөгтийн талууд юм. Пентагон нь таван өнцөг, таван талтай.

Зургаан өнцөгт хэдэн өнцөгтэй, хэдэн талтай гэж та бодож байна вэ? Зөв шүү, зургаа! Үүнтэй төстэй байдлаар бид тодорхой олон өнцөгт хэдэн тал, орой эсвэл өнцөгтэй болохыг хэлж чадна. Гурвалжин бол яг гурван өнцөг, гурван тал, гурван оройтой олон өнцөгт гэж бид дүгнэж болно.

Тиймээс энэ хичээлээр та гурвалжин, олон өнцөгт гэх мэт ойлголтуудтай танилцсан. Гурвалжинд 3 орой, 3 тал, 3 өнцөг, дөрвөлжин нь 4 орой, 4 тал, 4 өнцөг, таван өнцөгт нь 5 тал, 5 орой, 5 өнцөг гэх мэтийг мэдэж авсан.

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт:

1. Математик 5-р анги. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. болон бусад. 31-р хэвлэл, устгасан. - М: 2013 он.
2. Дидактик материалматематикийн 5-р ангид. Зохиогч - Попов М.А. - 2013 он
3. Бид алдаагүй тооцоолдог. Математикийн 5-6-р ангийн бие даасан тесттэй ажиллах. Зохиогч - Минаева С.С. -2014 он
4. Математикийн 5-р ангийн дидактик материал. Зохиогчид: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. - 2010 он
5. Хяналт ба бие даасан ажилматематикийн 5-р ангид. Зохиогчид - Попов М.А. -2012 он
6. Математик. 5-р анги: боловсролын. ерөнхий боловсролын оюутнуудад зориулсан. байгууллагууд / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9-р хэвлэл, устгасан. - М.: Мнемосине, 2009

Хавтгайн битүү тасархай шугамаар хүрээлэгдсэн хэсгийг олон өнцөгт гэж нэрлэдэг.

Энэ тасархай шугамын сегментүүдийг нэрлэдэг намуудолон өнцөгт. AB, BC, CD, DE, EA (Зураг 1) нь ABCDE олон өнцөгтийн талууд юм. Олон өнцөгтийн бүх талуудын нийлбэрийг түүний гэж нэрлэдэг периметр.

олон өнцөгт гэж нэрлэдэг гүдгэр, хэрэв энэ нь түүний аль нэг талын аль нэг талд байрласан бол хоёр оройгоос цааш тодорхойгүй хугацаагаар сунгана.

MNPKO олон өнцөгт (Зураг 1) нь KR шулуун шугамын нэгээс илүү талд байрладаг тул гүдгэр биш байх болно.

Бид зөвхөн гүдгэр олон өнцөгтийг авч үзэх болно.

Олон өнцөгтийн хоёр зэргэлдээ талаас үүссэн өнцгийг түүний гэж нэрлэдэг дотоодбулангууд, тэдгээрийн орой нь байна олон өнцөгтийн оройнууд.

Олон өнцөгтийн зэргэлдээгүй хоёр оройг холбосон шулуун шугамын сегментийг олон өнцөгтийн диагональ гэнэ.

AC, AD - олон өнцөгтийн диагональууд (Зураг 2).

Олон өнцөгтийн дотоод өнцөгтэй зэргэлдээх өнцгийг олон өнцөгтийн гаднах өнцөг гэнэ (Зураг 3).

Өнцгийн (тал) тооноос хамааран олон өнцөгтийг гурвалжин, дөрвөн өнцөгт, таван өнцөгт гэх мэт гэж нэрлэдэг.

Хоёр олон өнцөгтийг давхцуулж нийлүүлж чадвал тэдгээрийг тэнцүү гэж нэрлэдэг.

Бичсэн ба хүрээлэгдсэн олон өнцөгтүүд

Хэрэв олон өнцөгтийн бүх оройнууд тойрог дээр байрладаг бол олон өнцөгтийг дуудна бичээстэйтойрог болгон, тойрог - тодорхойлсонолон өнцөгтийн ойролцоо (зураг).

Хэрэв олон өнцөгтийн бүх талууд тойрогтой шүргэгч байвал олон өнцөгтийг дуудна тодорхойлсонтойрог, тойрог гэж нэрлэдэг бичээстэйолон өнцөгт хэлбэрт оруулна (Зураг).

Олон өнцөгтүүдийн ижил төстэй байдал

Ижил нэртэй хоёр олон өнцөгтийн аль нэгнийх нь өнцөг нь нөгөөгийнх нь өнцөгтэй тэнцүү, олон өнцөгтүүдийн ижил төстэй талууд нь пропорциональ байвал тэдгээрийг ижил төстэй гэж нэрлэдэг.

Ижил тооны тал (өнцөг)тэй олон өнцөгтийг ижил нэртэй олон өнцөгт гэж нэрлэдэг.

Харгалзах тэнцүү өнцгийн оройг холбосон ижил төстэй олон өнцөгтүүдийн талуудыг ижил төстэй гэж нэрлэдэг (Зураг 1).

Жишээлбэл, ABCDE олон өнцөгт нь A'B'C'D'E' олон өнцөгттэй төстэй байхын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' ба үүнээс гадна AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Ижил төстэй олон өнцөгтүүдийн периметрийн харьцаа

Эхлээд тэнцүү харьцааны цувааны өмчийг авч үзье. Жишээлбэл, 2/1 = 4/2 = 6/3 = 8/4 =2 гэсэн харьцаатай байя.

Эдгээр харилцааны өмнөх нөхцлүүдийн нийлбэрийг, дараа нь тэдгээрийн дараагийн нөхцлүүдийн нийлбэрийг олж, үүссэн нийлбэрүүдийн харьцааг олъё.

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Хэрэв бид хэд хэдэн өөр харилцааны цувралыг авбал ижил зүйлийг олж авна, жишээлбэл: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 Өмнөх нөхцлүүдийн нийлбэрийг олъё. Эдгээр хамаарал ба дараагийнхуудын нийлбэр, дараа нь эдгээр нийлбэрүүдийн харьцааг олбол бид дараахь зүйлийг олж авна.

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

Аль ч тохиолдолд ижил тэгш харилцааны цувралын өмнөх гишүүдийн нийлбэр нь ижил цувралын дараагийн гишүүдийн нийлбэртэй хамааралтай бөгөөд эдгээр харилцааны аль нэгийн өмнөх гишүүн нь дараагийнхтай нь холбоотой байдаг.

Бид цувралыг авч үзэх замаар энэ өмчийг олж авсан тоон жишээнүүд. Үүнийг хатуу, ерөнхий хэлбэрээр гаргаж авч болно.

Одоо ижил төстэй олон өнцөгтүүдийн периметрийн харьцааг авч үзье.

ABCDE олон өнцөгт нь A’B’C’D’E’ олон өнцөгттэй төстэй байг (Зураг).

Эдгээр олон өнцөгтүүдийн ижил төстэй байдлаас үзэхэд ийм байна

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Бид хэд хэдэн тэнцүү харьцаагаар олж авсан шинж чанарт үндэслэн дараахь зүйлийг бичиж болно.

Бидний авсан харилцааны өмнөх нөхцлүүдийн нийлбэр нь эхний олон өнцөгтийн периметрийг (P), эдгээр харилцааны дараагийн нөхцлүүдийн нийлбэр нь хоёр дахь олон өнцөгтийн периметрийг (P') илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь P / P гэсэн утгатай. ' = AB / A'B'.

Тиймээс, Ижил төстэй олон өнцөгтүүдийн периметрүүд нь тэдгээрийн ижил төстэй талуудтай холбоотой байдаг.

Ижил төстэй олон өнцөгтүүдийн талбайн харьцаа

ABCDE ба A'B'C'D'E' нь ижил төстэй олон өнцөгт байг (Зураг).

ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' ба ΔADE ~ ΔA'D'E' гэдгийг мэддэг.

Түүнээс гадна,

;

Эдгээр пропорцуудын хоёр дахь харьцаа тэнцүү байх тул олон өнцөгтүүдийн ижил төстэй байдлаас үүдэлтэй

Хэд хэдэн тэнцүү харьцааны шинж чанарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Эсвэл

Энд S ба S' нь эдгээр ижил төстэй олон өнцөгтүүдийн талбайнууд юм.

Тиймээс, Ижил олон өнцөгтүүдийн талбайнууд нь ижил талуудын квадратуудтай холбоотой байдаг.

Үр дүнгийн томъёог дараах хэлбэрт шилжүүлж болно: S / S' = (AB / A'B') 2

Дурын олон өнцөгтийн талбай

Дурын дөрвөн өнцөгт ABC-ийн талбайг тооцоолох шаардлагатай болно (Зураг).

Үүнд диагональ зуръя, жишээ нь AD. Бид ABD ба ACD гэсэн хоёр гурвалжинг олж авдаг бөгөөд тэдгээрийн талбайг тооцоолж болно. Дараа нь бид эдгээр гурвалжны талбайн нийлбэрийг олно. Үүссэн нийлбэр нь энэ дөрвөлжингийн талбайг илэрхийлнэ.

Хэрэв та пентагоны талбайг тооцоолох шаардлагатай бол бид ижил зүйлийг хийнэ: бид оройн аль нэгээс диагональ зурдаг. Бид гурван гурвалжин авдаг бөгөөд тэдгээрийн талбайг тооцоолж болно. Энэ нь бид энэ таван өнцөгтийн талбайг олох боломжтой гэсэн үг юм. Аливаа олон өнцөгтийн талбайг тооцоолохдоо бид ижил зүйлийг хийдэг.

Олон өнцөгтийн төлөвлөсөн талбай

Шугаман ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг нь өгөгдсөн шулуун ба түүний хавтгай дээрх проекцын хоорондох өнцөг гэдгийг санацгаая (Зураг).

Теорем. Олон өнцөгтийн хавтгай дээрх ортогональ проекцын талбай нь төлөвлөсөн олон өнцөгтийн талбайг олон өнцөгтийн хавтгай ба проекцын хавтгайгаар үүсгэсэн өнцгийн косинусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Олон өнцөгт бүрийг талбайн нийлбэр нь олон өнцөгтийн талбайтай тэнцүү гурвалжинд хувааж болно. Тиймээс гурвалжны теоремыг батлахад хангалттай.

Хавтгай дээр ΔАВС проекц хийцгээе Р. Хоёр тохиолдлыг авч үзье:

a) ΔABC талуудын аль нэг нь хавтгайтай параллель байна Р;

б) ΔABC талуудын аль нь ч параллель биш Р.

Ингээд авч үзье анхны тохиолдол: [AB] || болтугай Р.

(AB) -аар дамжин хавтгай зурцгаая. Р 1 || Рба ΔАВС дээр ортогональаар төсөллөнө Р 1 ба түүнээс дээш Р(будаа.); бид ΔАВС 1 ба ΔА'В'С'-г авна.

Проекцын шинж чанараар бид ΔАВС 1 (конг) ΔА'В'С', тиймээс

S Δ ABC1 = S Δ A’B’C’

⊥ ба D 1 C 1 хэрчмийг зуръя. Дараа нь ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ нь ΔABC болон хавтгай хоорондын өнцгийн утга юм. Р 1 . Тийм ч учраас

S Δ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

тиймээс S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.

Үргэлжлүүлэн авч үзье хоёр дахь тохиолдол. Онгоц зурцгаая Р 1 || Ртэр оройгоор ΔАВС, түүнээс хавтгай хүртэлх зай Рхамгийн жижиг (энэ нь А орой байх болтугай).

Онгоцонд ΔАВС проекц хийцгээе Р 1 ба Р(будаа.); түүний проекцууд нь ΔАВ 1 С 1 ба ΔА'В'С' байх ёстой.

(BC) ∩ гэж үзье х 1 = D. Дараа нь

S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Бусад материал

Хэсэгүүд: Математик

Сэдэв, оюутны нас: геометр, 9-р анги

Хичээлийн зорилго: олон өнцөгтийн төрлийг судлах.

Боловсролын даалгавар: олон өнцөгтийн талаархи оюутнуудын мэдлэгийг шинэчлэх, өргөжүүлэх, нэгтгэх; олон өнцөгтийн "бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн" тухай ойлголтыг бий болгох; тогтмол олон өнцөгт (гурвалжингаас n-гон) -ын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоог судлах;

Хөгжлийн даалгавар: дүн шинжилгээ хийх, харьцуулах, дүгнэлт гаргах, тооцоолох чадвар, аман болон бичгийн математикийн яриа, санах ой, сэтгэн бодох, суралцах үйл ажиллагааны бие даасан байдал, хос, бүлгээр ажиллах чадварыг хөгжүүлэх; судалгаа, боловсролын үйл ажиллагааг хөгжүүлэх;

Боловсролын даалгавар: бие даасан байдал, идэвхтэй байдал, даалгасан ажилд хариуцлага, зорилгодоо хүрэх тууштай байдлыг төлөвшүүлэх.

Хичээлийн үеэр:самбар дээр бичсэн ишлэл

"Байгаль нь математикийн хэлээр ярьдаг, энэ хэлний үсгүүд ... математик дүрсүүд."Г.Галлили

Хичээлийн эхэнд анги нь ажлын хэсгүүдэд хуваагдана (манай тохиолдолд тус бүр 4 хүнтэй бүлэгт хуваагдана - бүлгийн гишүүдийн тоо нь асуултын бүлгийн тоотой тэнцүү байна).

1.Дуудлагын үе шат-

Зорилго:

а) сэдвийн талаархи оюутнуудын мэдлэгийг шинэчлэх;

б) судалж буй сэдвийн сонирхлыг нэмэгдүүлэх, оюутан бүрийг боловсролын үйл ажиллагаанд түлхэц өгөх.

Техник: "Та үүнд итгэдэг үү ..." тоглоом, тексттэй ажиллах зохион байгуулалт.

Ажлын хэлбэр: урд, бүлэг.

"Чи үүнд итгэж байна уу ..."

1. ... "олон өнцөгт" гэдэг үг нь энэ гэр бүлийн бүх дүрс "олон өнцөгтэй" гэдгийг харуулж байна уу?

2. ... гурвалжин нь хавтгай дээрх олон янзын геометрийн дүрсүүдээс ялгагдах олон өнцөгтийн том бүлэгт хамаарах уу?

3. ... дөрвөлжин нь энгийн найман өнцөгт (дөрвөн тал + дөрвөн булан) мөн үү?

Өнөөдөр хичээл дээр бид олон өнцөгтийн тухай ярих болно. Энэ үзүүлэлт нь хаалттай эвдэрсэн шугамаар хязгаарлагддаг бөгөөд энэ нь эргээд энгийн, хаалттай байж болно гэдгийг бид мэдэж байна. Олон өнцөгт нь хавтгай, тэгш, гүдгэр байж болох талаар ярилцъя. Хавтгай олон өнцөгтүүдийн нэг нь таны эртнээс мэддэг гурвалжин юм (та оюутнуудад олон өнцөгт дүрсэлсэн зурагт хуудас, тасархай шугамыг үзүүлж, үзүүлж болно. янз бүрийн төрөл, та мөн TSO ашиглаж болно).

2. Жирэмсний үе шат

Зорилго: шинэ мэдээлэл олж авах, ойлгох, сонгох.

Техник: зигзаг.

Ажлын хэлбэр: хувь хүн->хос->бүлэг.

Бүлгийн гишүүн бүрт тухайн хичээлийн сэдвийн текстийг өгч, текстийг оюутнуудад аль хэдийн мэдэгдэж байсан болон цоо шинэ мэдээллийг багтаасан байдлаар эмхэтгэсэн. Текстийн хамт оюутнууд асуултуудыг хүлээн авдаг бөгөөд хариултыг энэ текстээс олох ёстой.

Олон өнцөгт. Олон өнцөгтийн төрлүүд.

Усан онгоц, онгоцууд ул мөргүй алга болдог нууцлаг Бермудын гурвалжингийн талаар сонсоогүй хүн байна уу? Гэхдээ бага наснаасаа бидэнд танил болсон гурвалжин нь олон сонирхолтой, нууцлаг зүйлээр дүүрэн байдаг.

Бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан гурвалжны төрлөөс гадна талууд (масштаб, ижил өнцөгт, тэгш өнцөгт) болон өнцгөөр (хурц, мохоо, тэгш өнцөгт) хуваагддаг гурвалжин нь олон өнцөгтийн том гэр бүлд багтдаг бөгөөд энэ нь геометрийн олон янзын хэлбэртэй байдаг. онгоц.

"Олон өнцөгт" гэдэг үг нь энэ гэр бүлийн бүх дүрс нь "олон өнцөгтэй" гэдгийг харуулж байна. Гэхдээ энэ нь дүрсийг тодорхойлоход хангалтгүй юм.

A 1 A 2 ...A n тасархай шугам нь A 1, A 2, ...A n цэгүүд ба тэдгээрийг холбосон A 1 A 2, A 2 A 3,... хэсгүүдээс бүрдэх дүрс юм. Цэгүүдийг олон шугамын орой гэж нэрлэдэг ба хэрчмүүдийг олон шугамын холбоосууд гэж нэрлэдэг. (Зураг 1)

Эвдэрсэн шугам нь өөрөө огтлолцоогүй бол энгийн гэж нэрлэдэг (Зураг 2, 3).

Хэрэв төгсгөлүүд нь давхцаж байвал полилиныг хаалттай гэж нэрлэдэг. Эвдэрсэн шугамын урт нь түүний холбоосуудын уртын нийлбэр юм (Зураг 4).

Энгийн битүү тасархай шугамыг хөрш зэргэлдээх холбоосууд нь нэг шулуун дээр хэвтэхгүй бол түүнийг олон өнцөгт гэж нэрлэдэг (Зураг 5).

"олон" хэсгийн оронд "олон өнцөгт" гэж бичнэ үү тодорхой тоо, жишээ нь 3. Та гурвалжин авах болно. Эсвэл 5. Дараа нь - таван өнцөгт. Хэчнээн олон өнцөг байх тусам олон тал байдаг тул эдгээр дүрсийг олон талт гэж нэрлэж болохыг анхаарна уу.

Эвдэрсэн шугамын оройг олон өнцөгтийн орой, тасархай шугамын холбоосыг олон өнцөгтийн талууд гэнэ.

Олон өнцөгт нь онгоцыг дотоод ба гадаад гэсэн хоёр хэсэгт хуваадаг (Зураг 6).

Хавтгай олон өнцөгт буюу олон өнцөгт талбай нь олон өнцөгтөөр хязгаарлагдсан хавтгайн төгсгөлтэй хэсэг юм.

Нэг талын төгсгөл болох олон өнцөгтийн хоёр оройг зэргэлдээ гэж нэрлэдэг. Нэг талын төгсгөл биш оройнууд нь хөрш биш юм.

n оройтой, тиймээс n талтай олон өнцөгтийг n өнцөг гэнэ.

Хэдийгээр олон өнцөгтийн талуудын хамгийн бага тоо нь 3. Гэхдээ гурвалжин нь хоорондоо холбогдсон үед бусад дүрсийг үүсгэж болох бөгөөд энэ нь эргээд олон өнцөгт юм.

Олон өнцөгтийн зэргэлдээ бус оройг холбосон хэсгүүдийг диагональ гэж нэрлэдэг.

Олон өнцөгт нь түүний талыг агуулсан аль ч шулуунтай ижил хагас хавтгайд оршдог бол түүнийг гүдгэр гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд шулуун шугам нь өөрөө хагас хавтгайд хамаарна.

Өгөгдсөн орой дээрх гүдгэр олон өнцөгтийн өнцөг нь түүний талууд нь энэ оройд нийлэхээс үүссэн өнцөг юм.

Теоремыг баталъя (гүдгэр n өнцөгтийн өнцгийн нийлбэрийн тухай): Гүдгэр n өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь 180 0 *(n - 2) -тэй тэнцүү байна.

Баталгаа. n=3 тохиолдолд теорем хүчинтэй байна. Өгөгдсөн гүдгэр олон өнцөгт A 1 A 2 ...A n ба n>3 байг. Дотор нь диагональ зуръя (нэг оройноос). Олон өнцөгт нь гүдгэр тул эдгээр диагональууд нь n – 2 гурвалжинд хуваагдана. Олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь эдгээр бүх гурвалжны өнцгийн нийлбэр юм. Гурвалжин бүрийн өнцгийн нийлбэр нь 180 0-тэй тэнцүү ба эдгээр гурвалжны тоо n нь 2. Иймд гүдгэр n өнцөгт A 1 A 2 ...A n өнцгүүдийн нийлбэр нь 180-тай тэнцүү байна. 0 * (n - 2). Теорем нь батлагдсан.

Өгөгдсөн орой дээрх гүдгэр олон өнцөгтийн гадаад өнцөг нь энэ орой дээрх олон өнцөгтийн дотоод өнцөгтэй зэргэлдээх өнцөг юм.

Гүдгэр олон өнцөгтийн бүх талууд тэнцүү, бүх өнцөг нь тэнцүү бол түүнийг тогтмол гэж нэрлэдэг.

Тиймээс квадратыг өөрөөр нэрлэж болно - ердийн дөрвөлжин. Тэнцүү талт гурвалжин нь мөн тогтмол байдаг. Ийм дүрс нь барилга байгууламжийг чимэглэсэн гар урчуудын сонирхлыг эртнээс татсаар ирсэн. Тэд жишээлбэл паркетан дээр гоёмсог хэв маягийг хийсэн. Гэхдээ бүх энгийн олон өнцөгтийг паркет хийхэд ашиглаж болохгүй. Паркетыг ердийн найман өнцөгтөөр хийж болохгүй. Үнэн хэрэгтээ өнцөг бүр нь 135 0-тэй тэнцүү байна. Хэрэв ямар нэг цэг нь ийм хоёр найман өнцөгтийн орой бол тэдгээр нь 270 0 байх ба гурав дахь найман өнцөгт багтах газар байхгүй: 360 0 - 270 0. = 90 0. Харин квадратын хувьд энэ нь хангалттай. Тиймээс та ердийн найман өнцөгт, квадратаас паркетан хийж болно.

Одууд ч зөв. Манай таван хошуут од бол ердийн таван өнцөгт од юм. Хэрэв та квадратыг төвийн эргэн тойронд 45 0 эргүүлбэл ердийн найман өнцөгт одтой болно.

1 бүлэг

Эвдэрсэн шугам гэж юу вэ? Полилин шугамын орой ба холбоос гэж юу болохыг тайлбарла.

Аль тасархай шугамыг энгийн гэж нэрлэдэг вэ?

Аль тасархай шугамыг хаалттай гэж нэрлэдэг вэ?

Олон өнцөгтийг юу гэж нэрлэдэг вэ? Олон өнцөгтийн оройг юу гэж нэрлэдэг вэ? Олон өнцөгтийн талуудыг юу гэж нэрлэдэг вэ?

2-р бүлэг

Аль олон өнцөгтийг хавтгай гэж нэрлэдэг вэ? Олон өнцөгтийн жишээг өг.

n - квадрат гэж юу вэ?

Олон өнцөгтийн аль орой нь зэргэлдээ, аль нь биш болохыг тайлбарла.

Олон өнцөгтийн диагональ гэж юу вэ?

3 бүлэг

Аль олон өнцөгтийг гүдгэр гэж нэрлэдэг вэ?

Олон өнцөгтийн аль өнцгүүдийг гадаад, аль нь дотоод гэдгийг тайлбарлана уу?

Аль олон өнцөгтийг ердийн гэж нэрлэдэг вэ? Ердийн олон өнцөгтүүдийн жишээг өг.

4 бүлэг

Гүдгэр n өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр хэд вэ? Үүнийг батла.

Оюутнууд тексттэй ажиллаж, тавьсан асуултын хариултыг хайж, дараа нь шинжээчдийн бүлгүүд байгуулагдаж, ижил асуудлаар ажилладаг: оюутнууд гол санааг онцолж, нэгтгэн дүгнэж, мэдээллийг аль нэгээр нь танилцуулдаг. график хэлбэрүүд. Ажил дууссаны дараа оюутнууд ажлын хэсэг рүүгээ буцаж ирдэг.

3. эргэцүүлэн бодох үе шат -

а) мэдлэгээ үнэлэх, мэдлэгийн дараагийн алхам руу орох;

б) хүлээн авсан мэдээллийг ойлгох, ашиглах.

Хүлээн авалт: судалгааны ажил.

Ажлын хэлбэр: хувь хүн->хос->бүлэг.

Ажлын хэсгүүдэд санал болгож буй асуултуудын хэсэг тус бүрт хариулах мэргэжилтнүүд багтдаг.

Ажлын хэсэг рүү буцаж очоод шинжээч асуултынхаа хариултыг бүлгийн бусад гишүүдэд танилцуулна. Бүлэг нь ажлын хэсгийн бүх гишүүдийн хооронд мэдээлэл солилцдог. Ингээд ажлын хэсэг болгонд мэргэжилтнүүдийн ажлын үр дүнд бий ерөнхий санаасудалж буй сэдвээр.

Оюутны судалгааны ажил - хүснэгтийг бөглөх.

Ердийн олон өнцөгтүүд	Зурах	Талуудын тоо	Оройн тоо	Бүх дотоод өнцгүүдийн нийлбэр	Зэрэглэлийн дотоод хэмжүүр өнцөг	Гадаад өнцгийн хэмжүүр	Диагональуудын тоо
A) гурвалжин
B) дөрвөн өнцөгт
B) таван баар
D) зургаан өнцөгт
D) n-gon

Хичээлийн сэдвээр сонирхолтой асуудлыг шийдвэрлэх.

• Дөрвөн өнцөгтийг гурван гурвалжинд хуваах шулуун шугамыг зур.
• Дотор өнцөг бүр нь 135 0 хэмжээтэй жирийн олон өнцөгт хэдэн талтай вэ?
• Тодорхой олон өнцөгт бүх дотоод өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байна. Энэ олон өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэр нь: 360 0, 380 0-тэй тэнцүү байж чадах уу?

Хичээлийг дүгнэж байна. Гэрийн даалгавар бичих.

Олон өнцөгтийн тухай ойлголт. Олон өнцөгт гэж юу вэ

Олон өнцөгтнь битүү тасархай шугам болох геометрийн дүрс юм.

Олон өнцөгтийг тодорхойлох гурван сонголт байдаг:

• Олон өнцөгт нь хавтгай хаалттай тасархай шугам юм;
• Олон өнцөгт нь өөрөө огтлолцоогүй хавтгай хаалттай тасархай шугам юм;
• Олон өнцөгт нь битүү олон шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгайн хэсэг юм.

Эвдэрсэн шугамын оройг дуудна олон өнцөгтийн оройнууд, ба сегментүүд - олон өнцөгтийн талууд.

Оргилуудолон өнцөгт гэж нэрлэдэг хөрш, хэрэв тэдгээр нь түүний аль нэг талын төгсгөл бол.

Олон өнцөгтийн зэргэлдээ бус оройг холбосон шугамын сегментүүдийг нэрлэдэг диагональ.

Олон өнцөгтийн өнцөг (эсвэл дотоод өнцөг).өгөгдсөн орой дээр түүний талууд энэ оройд нийлж олон өнцөгтийн дотоод мужид байрлах өнцгийг гэнэ.

Гүдгэр олон өнцөгтийн гадаад буланӨгөгдсөн орой дээр энэ орой дээрх олон өнцөгтийн дотоод өнцөгтэй залгаа өнцгийг гэнэ. Ерөнхийдөө гадаад өнцөг нь 180 ° ба дотоод өнцгийн хоорондох зөрүү юм

Олон өнцөгт гэж нэрлэдэг гүдгэр, дараах нөхцлүүдийн аль нэг нь үнэн бол:

• Гүдгэр олон өнцөгт нь түүний зэргэлдээ оройг холбосон аливаа шугамын нэг талд байрладаг;
• Гүдгэр олон өнцөгт нь хэд хэдэн хагас хавтгайн огтлолцол юм;
• Гүдгэр олон өнцөгт хамаарах цэгүүдэд төгсгөлтэй аливаа сегмент бүхэлдээ түүнд хамаарна.

Гүдгэр олон өнцөгтийг нэрлэдэг зөв, хэрэв бүх талууд тэнцүү, бүх өнцөг нь тэнцүү бол, жишээлбэл, тэгш талт гурвалжин, дөрвөлжин, энгийн таван өнцөгт.

Гүдгэр олон өнцөгт бүх оройнууд нь нэг тойрог дээр байрладаг бол тойрог дотор бичээстэй гэж нэрлэдэг.

Гүдгэр олон өнцөгт нь бүх талууд нь ямар нэгэн тойрогт хүрвэл тойргийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн гэж нэрлэдэг.

Олон өнцөгтийн ангилал (төрөл).

Олон өнцөгтийг төрлөөр нь ангилах нь олон шинж чанарт үндэслэж болох бөгөөд тэдгээрийн хамгийн чухал нь:

• оройн тоо
• гүдгэр
• зөв
• тойрог бичих, дүрслэх чадвар

Гурван оройтой олон өнцөгтийг гурвалжин (гурвалжинг үзнэ үү), дөрвөн оройтой олон өнцөгтийг дөрвөн өнцөгт (дөрвөлжин өнцөгтийг үзнэ үү) гэх мэт оройн тоогоор нь нэрлэдэг.

Гүдгэр олон өнцөгт нь түүний аль нэг талыг агуулсан шугамын нэг талд үргэлж байрладаг. (дээрээс үзнэ үү)

У ердийн олон өнцөгтбүх тал ба өнцөг нь тэнцүү байна. Үүнээс шалтгаалан тэдгээр нь зарим онцгой шинж чанартай байдаг (дөрвөлжин хэсгийг үзнэ үү).

Өөрөө огтлолцдог олон өнцөгтүүд нь тогтмол байж болно. Жишээлбэл, пентаграм ("таван хошуут од").

Олон өнцөгтийг олон өнцөгт багтах эсвэл олон өнцөгт тойргийг дүрслэх чадвартай холбоотойгоор ялгаж болно. Эргэн тойронд тойргийг дүрслэх, мөн нэгийг нь бичих боломжгүй олон өнцөгтүүд байж болно. Үүний зэрэгцээ ямар ч гурвалжны эргэн тойронд тойрог дүрслэх боломжтой байдаг.

Полигон шинж чанарууд

• n өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэр (n − 2)π байна.
• Энгийн n өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэр нь 180(n − 2) байна.
• Аливаа олон өнцөгтийн диагональуудын тоо нь n(n − 3) / 2, энд n нь талуудын тоо юм.