Үл хөдлөх хөрөнгө

Олон гишүүнтийн язгуурууд (ерөнхий тохиолдолд цогцолбор) хаана байна, магадгүй давтагдах боломжтой, хэрэв олон гишүүнтийн язгууруудын дунд тэнцүү нь байвал тэдгээрийн нийтлэг утга гэж нэрлэдэг. олон үндэс.

Үндэс олох

Шугаман ба квадрат олон гишүүнтийн үндсийг олох арга, өөрөөр хэлбэл шугаман ба квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга нь эртний ертөнцөд мэдэгдэж байсан. Гурав дахь зэрэглэлийн ерөнхий тэгшитгэлийн яг шийдлийн томъёог хайх ажил 16-р зууны эхний хагаст бүтээлүүдэд амжилтанд хүрэх хүртлээ удаан үргэлжилсэн (Омар Хайямын санал болгосон аргыг дурдах хэрэгтэй). Scipione del Ferro, Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano нар. Квадрат ба куб тэгшитгэлийн язгуурын томьёо нь дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэлийн язгуурын томъёог олж авахад харьцангуй хялбар болгосон.

Тав ба түүнээс дээш зэрэглэлийн ерөнхий тэгшитгэлийн язгуурыг рационал функц, коэффициентийн радикалуудыг ашиглан илэрхийлэх боломжгүй гэдгийг Норвегийн математикч Нильс Абел 1826 онд нотолсон. Энэ нь ийм тэгшитгэлийн үндсийг олох боломжгүй гэсэн үг биш юм. Нэгдүгээрт, онцгой тохиолдолд, тодорхой коэффициентүүдийн хослолын хувьд тэгшитгэлийн үндсийг тодорхой ур чадвараар тодорхойлж болно. Хоёрдугаарт, 5 ба түүнээс дээш зэрэглэлийн тэгшитгэлийн язгуурын томъёонууд байдаг бөгөөд тэдгээр нь тусгай функцуудыг ашигладаг - эллипс эсвэл гипергеометр (жишээлбэл, авчрах үндсийг үзнэ үү).

Хэрэв олон гишүүнтийн бүх коэффициентүүд оновчтой бол түүний язгуурыг олох нь бүхэл тооны коэффициент бүхий олон гишүүнтийн язгуурыг олоход хүргэдэг. Ийм олон гишүүнтийн оновчтой язгуурын хувьд Хорнерын схемийг ашиглан хайлт хийх замаар нэр дэвшигчдийг олох алгоритмууд байдаг бөгөөд бүхэл үндэсийг олох үед үндсийг нь цэвэрлэх замаар хайлтыг мэдэгдэхүйц бууруулж болно. Мөн энэ тохиолдолд та олон гишүүнт LLL алгоритмыг ашиглаж болно.

Бодит коэффициент бүхий олон гишүүнтийн жинхэнэ язгуурыг ойролцоогоор олохын тулд (шаардлагатай нарийвчлалтайгаар) давталтын аргуудыг ашигладаг, жишээлбэл, секантын арга, хуваах арга, Ньютоны арга. Интервал дээрх олон гишүүнтийн бодит язгуурын тоог Штурмын теоремыг ашиглан тооцоолж болно.

бас үзнэ үү

Тэмдэглэл

Викимедиа сан. 2010 он.

• Ариутгах татуурга
• Вексиллологийн нэр томъёоны тайлбар толь

Бусад толь бичгүүдээс "олон гишүүнтийн үндэс" гэж юу болохыг харна уу:

Алгебрийн тэгшитгэлийн үндэс

Тэгшитгэлийн үндэс- k талбар дээрх олон гишүүнтийн язгуур нь түүнийг х-ээр орлуулсны дараа тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргах элемент юм. Properties Хэрэв c нь олон гишүүнт p(x) үндэс бол ... Википедиа

Үндэс авчрах- Мэдээллийг шалгана уу. Энэ нийтлэлд дурдсан мэдээллийн үнэн зөв, найдвартай байдлыг шалгах шаардлагатай. Ярилцах хуудсан дээр тайлбар байх ёстой. Алгебрийн хувьд Bring root буюу хэт радикал нь аналитик функц бөгөөд... ... Википедиа

Үндэс (тодорхойлолт)- Үндэс: Википедиа нь "үндэс" гэсэн өгүүлэлтэй. Үндэс (ургамлын судлалд) нь ургамлын тэнхлэгийн тэнхлэгт ургамлын газар доорх эрхтэн бөгөөд sp ... Wikipedia

Root (математикийн хувьд)- Математикийн үндэс, 1) K. a ≈ тооны х (тэмдэглэсэн) тооны n зэрэг, n-р зэрэг нь a (өөрөөр хэлбэл xn = a) -тай тэнцүү байна. K.-ийг олох үйлдлийг үндэс олборлолт гэж нэрлэдэг. ¹ 0-ийн хувьд K.-ийн n өөр утга байдаг (ерөнхийдөө, ... ...

Үндэс- I Үндэс (radix) нь навчит ургамлын (хөвдөөс бусад) ургамлын үндсэн эрхтэнүүдийн нэг бөгөөд субстрат руу бэхлэх, түүнээс ус, шим тэжээлийг шингээх, шингэсэн олон тооны бодисыг анхдагч хувиргах, .. ... ... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

ROOT- 1) K. n тооноос n зэрэгтэй, i зэрэгтэй х n тоо нь а-тай тэнцүү байна. 2) К талбар дээрх алгебрийн тэгшитгэлийн тэгшитгэл, түүнийг оронд нь орлуулсны дараа тэгшитгэлийг ижил төстэй болгодог элемент. Энэ тэгшитгэлийн K. гэж нэрлэдэг. мөн K. олон гишүүнт Хэрэв гарч ирвэл ... ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Олон үндэс- олон гишүүнт f (x) = a0xn + a1xn ​​1 +... + an, f (x) нь хоёр гишүүний (x c) хоёр ба түүнээс дээш зэрэгт үлдэгдэлгүйгээр хуваагдах c тоо. Энэ тохиолдолд f (x) нь (x c) k-д хуваагддаг боловч... ... үгүй ​​бол в-ийг үржвэрийн үндэс гэнэ. Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Холболтын үндэс- Хэрэв цагираг дээрх зарим бууруулж болохгүй олон гишүүнт өгөгдсөн бөгөөд түүний өргөтгөл дэх зарим язгуурыг сонгосон бол олон гишүүнтийн өгөгдсөн язгуурын коньюгат язгуурыг олон гишүүнтийн дурын язгуур гэж нэрлэдэг ... Wikipedia

2-ын квадрат язгуур- хөлийн урттай тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын урттай тэнцүү 1. 2 тооны квадрат язгуур эерэг ... Wikipedia

§ 13. Бүтэн функц (олон гишүүнт) ба тэдгээрийн үндсэн шинж чанарууд. 165 цогцолбор тооны олонлог дээр алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

13.1. Үндсэн тодорхойлолтууд 165

13.2. Бүхэл олон гишүүнтийн үндсэн шинж чанарууд 166

13.3. Алгебр тэгшитгэлийн язгуурын үндсэн шинж чанарууд 169

13.4. 173 цогцолбор тооны олонлог дээр алгебрийн үндсэн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

13.5. Бие даан ажиллах дасгал 176

Өөрийгөө шалгах асуулт 178

Тайлбар толь 178

1. Үндсэн тодорхойлолтууд

Бүхэл бүтэн алгебрийн функц эсвэл алгебрийн олон гишүүнт (олон гишүүнт ) аргумент xдараах төрлийн функц гэж нэрлэдэг

Энд n–олон гишүүнтийн зэрэг (натурал тоо буюу 0), x - хувьсагч (бодит эсвэл цогц); а 0 , а 1 , …, а n –олон гишүүнт коэффициентүүд (бодит эсвэл нийлмэл тоо), а 0  0.

Жишээлбэл,

;
;
,
- дөрвөлжин гурвалжин;

,
;.

Тоо X 0 тийм П n (x 0)0, дуудагдсан тэг функц П n (x) эсвэл тэгшитгэлийн үндэс
.

Жишээлбэл,

түүний үндэс
,
,
.

учир нь
Тэгээд
.

Тайлбар (бүхэл бүтэн алгебрийн функцийн тэгийн тодорхойлолт)

Уран зохиолд функцийн тэг нь ихэвчлэн байдаг
түүний үндэс гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, тоонууд
Тэгээд
квадрат функцийн үндэс гэж нэрлэдэг
.

1. Бүхэл олон гишүүнтийн үндсэн шинж чанарууд

 Identity (3) нь -д хүчинтэй байна x 
(эсвэл x  ), тиймээс энэ нь хүчинтэй байна
; орлуулах
, бид авдаг А n = б n. (3)-д заасан нөхцөлүүдийг харилцан цуцалъя. А nТэгээд б nба хоёр хэсгийг хуваана x:

Энэ ижилсэл нь -ийн хувьд ч үнэн юм x, үүнд хэзээ x= 0 гэж таамаглаж байна x= 0, бид олж авна А n – 1 = б n – 1 .

(3") дахь нөхцөлүүдийг харилцан цуцалъя А n– 1 ба б n– 1 ба хоёр талыг нь хуваана x, үр дүнд нь бид олж авдаг

Үүнтэй адил үндэслэлийг үргэлжлүүлбэл бид үүнийг олж авна А n – 2 = б n –2 , …, А 0 = б 0 .

Ийнхүү хоёр бүхэл олон гишүүнтийн ижил тэгш байдлаас харахад тэдгээрийн коэффициентүүд нь ижил зэрэглэлийн хувьд давхцаж байгаа нь батлагдсан. x.

Эсрэг заалт нь нэлээд ойлгомжтой, өөрөөр хэлбэл, хэрэв хоёр олон гишүүнт бүх коэффициентүүд ижил байвал тэдгээр нь олонлогт тодорхойлсон функцүүдтэй ижил байна.
Тиймээс аргументийн бүх утгын хувьд тэдгээрийн үнэ цэнэ давхцдаг
, энэ нь тэдний ижил тэгш байдлыг илэрхийлдэг. 1-р өмч бүрэн нотлогдсон.

Жишээ (олон гишүүнтийн ижил тэгш байдал)

.

 Үлдэгдэлтэй хуваах томьёог бичье. П n (x) = (x – X 0)∙Q n – 1 (x) + А,

Хаана Q n – 1 (x) - зэрэглэлийн олон гишүүнт ( n – 1), А- үлдэгдэл нь олон гишүүнтийг "багананд" хоёр гишүүнд хуваах сайн алгоритмаас үүдэлтэй тоо юм.

Энэ тэгш байдал нь -д үнэн юм x, үүнд хэзээ x = X 0 ; итгэх
, бид авдаг

П n (x 0) = (x 0 – x 0)Q n – 1 (x 0) + А  А = П n (X 0) 

Батлагдсан шинж чанарын үр дагавар нь Безоутын теорем гэгддэг олон гишүүнт хоёр гишүүнийг үлдэгдэлгүйгээр хуваах тухай мэдэгдэл юм.

Безутын теорем (бүхэл олон гишүүнтийг үлдэгдэлгүй хоёр гишүүнд хуваах тухай)

Хэрэв тоо олон гишүүнтийн тэг юм , тэгвэл энэ олон гишүүнт ялгаварт үлдэгдэлгүй хуваагдана , өөрөөр хэлбэл тэгш байдал нь үнэн юм  (5)

 Безоутын теоремын нотолгоог бүхэл олон гишүүнт хуваах урьд нь батлагдсан шинж чанарыг ашиглахгүйгээр хийж болно.
биномоор
. Үнэхээр олон гишүүнт хуваагдах томъёог бичье
биномоор
Үлдэгдэл A=0:

Одоо үүнийг анхаарч үзье олон гишүүнтийн тэг юм
, хамгийн сүүлийн тэгшитгэлийг бич
:

Жишээ (Bezout-ийн гэгдэх олон гишүүнтийг хүчин зүйл болгох)

1) учир нь П 3 (1)0;

2) учир нь П 4 (–2)0;

3) учир нь П 2 (–1/2)0.

Энэ теоремын баталгаа нь бидний хичээлийн хамрах хүрээнээс гадуур юм. Тиймээс бид теоремыг нотолгоогүйгээр хүлээн зөвшөөрдөг.

Энэ теорем болон олон гишүүнттэй Безоутын теорем дээр ажиллацгаая П n (x):

дараа n-Эдгээр теоремуудыг олон удаа хэрэглэснээр бид үүнийг олж авдаг

Хаана а 0 нь коэффициент юм x nолон гишүүнт тэмдэглэгээнд П n (x).

Хэрэв тэгш эрхтэй бол (6) кбагцаас авсан тоонууд X 1 ,X 2 , …X nбие биетэйгээ болон  тоотой давхцаж байвал баруун талд байгаа бүтээгдэхүүнд бид коэффициентийг авна ( x–) к. Дараа нь тоо x= гэж нэрлэдэг олон гишүүнтийн k нугалах үндэс П n (x ) , эсвэл олон тооны язгуур k . Хэрэв к= 1, дараа нь тоо
дуудсан олон гишүүнтийн энгийн үндэс П n (x ) .

Жишээ (олон гишүүн шугаман хүчин зүйлчлэл)

1) П 4 (x) = (x – 2)(x – 4) 3  x 1 = 2 - энгийн үндэс, x 2 = 4 - гурвалсан үндэс;

2) П 4 (x) = (x – би) 4  x = би- олон зүйлийн үндэс 4.

2 Хорнерын схем

3 Чөлөөт хэлбэрийн функцууд

4 Олон гишүүнтийн үндсийг олох

Ашигласан мэдээллийн эх сурвалжуудын жагсаалт

1 Тэгшитгэлийн язгуурыг олох (Тэгшитгэлийн 1-р хэсэг)

Тэгшитгэлийн язгуурыг олох хамгийн түгээмэл аргуудын нэг бол Ньютоны арга ба түүний өөрчлөлтүүд юм. Бид тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё

. Бид x нь тэгшитгэлийн шийдэл гэж таамаглах болно. f(x) функцийг x цэгт ойрхон x0 цэгийн цуваа болгон өргөтгөж, зөвхөн тэлэлтийн эхний хоёр гишүүнээр хязгаарлая.

x нь тэгшитгэлийн үндэс учраас

. Тиймээс,

Тиймээс, хэрэв бид тэгшитгэлийн язгуурын ойролцоо утгыг мэддэг бол үүссэн тэгшитгэл нь үүнийг сайжруулах боломжийг олгодог. Функцийн утга нь заасан хайлтын нарийвчлалаас бага хэмжээгээр тэгээс ялгаатай болтол боловсронгуй болгох үйл явцыг олон удаа давтаж болох нь тодорхой байна. Дараагийн k-р ойролцооллыг томъёогоор олно

Өргөтгөлтийг зөвхөн эхний хоёр гишүүнээр хязгаарласнаар бид f(x) функцийг x0 цэгт шулуун шугамын шүргэгчээр сольсон тул Ньютоны аргыг мөн шүргэгч арга гэж нэрлэдэг. Функцийн деривативын аналитик илэрхийллийг олох нь үргэлж тохиромжтой байдаггүй. Гэсэн хэдий ч, энэ нь тийм ч чухал биш юм: алхам бүрт бид язгуурын ойролцоо утгыг олж авдаг тул үүнийг тооцоолохын тулд деривативын ойролцоо утгыг ашиглаж болно.

Бага хэмжээгээр

та жишээ нь өгөгдсөн тооцооллын нарийвчлалыг авч болно, дараа нь тооцооллын томъёо нь дараах хэлбэртэй болно. (1.1)

Нөгөөтэйгүүр, деривативыг тооцоолохын тулд та өмнөх хоёр алхамаар олж авсан функцийн утгыг ашиглаж болно.

(1.2)

Энэ хэлбэрээр уг аргыг секант арга гэж нэрлэдэг. Гэхдээ энэ тохиолдолд эхний ойролцоо тооцоог тооцоолоход асуудал үүсдэг. Энэ нь ихэвчлэн итгэдэг

, өөрөөр хэлбэл тооцооны эхний алхамыг (1.1) томъёог ашиглан, дараагийн бүх алхамыг (1.2) томъёог ашиглан гүйцэтгэнэ. Чухамхүү энэ тооцооллын схемийг Mathcad багцад хэрэгжүүлдэг. Секантын аргыг ашигласнаар бид язгуур нь сүүлийн хоёр тооцооллын хооронд байна гэдгийг баталж чадахгүй. Гэсэн хэдий ч функцийн тэмдэг өөрчлөгдөх интервалын хил хязгаарыг ашиглан дараагийн ойролцоо тооцоог тооцоолох боломжтой. Энэ аргыг хөвчний арга (falsepositionmethod) гэж нэрлэдэг.

Секантын аргын санааг Мюллерийн аргаар боловсруулсан. Гэхдээ энэ аргын хувьд өмнөх гурван цэгийг дараагийн ойролцооллыг олоход ашигладаг. Өөрөөр хэлбэл, уг арга нь шугаман бус харин функцийн квадрат интерполяцыг ашигладаг. Аргын тооцооллын томъёо нь дараах байдалтай байна.

Үндэсний урд байгаа тэмдгийг хуваагчийн үнэмлэхүй утга хамгийн их байхаар сонгосон.

Учир нь болзол хангагдсанаар язгуурын хайлт дуусдаг

, дараа нь хуурамч үндэс гарч ирж болно. Жишээлбэл, тэгшитгэлийн хувьд хайлтын нарийвчлалыг 0.0001-ээс бага гэж тохируулсан тохиолдолд худал үндэс гарч ирнэ. Хайлтын нарийвчлалыг нэмэгдүүлснээр та хуурамч үндэснээс салж чадна. Гэхдээ энэ арга нь бүх тэгшитгэлд тохирохгүй. Жишээ нь, ямар ч бодит үндэсгүй тэгшитгэлийн хувьд ямар ч нарийвчлалын хувьд, хичнээн бага байсан ч хайлтыг дуусгах шалгуурыг хангасан x утга байна. Дээрх жишээнүүд нь компьютерийн тооцооллын үр дүнд үргэлж шүүмжлэлтэй хандаж, үнэмшилтэй байхын тулд дүн шинжилгээ хийх ёстойг харуулж байна. Тоон аргуудыг ашигладаг стандарт багцыг ашиглахдаа хүндрэл гарахаас зайлсхийхийн тулд та тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд ямар тоон аргыг хэрэгжүүлдэг талаар хамгийн бага ойлголттой байх хэрэгтэй.

Үндэс байрлах интервал нь мэдэгдэж байгаа тохиолдолд тэгшитгэлийн шийдлийг олох өөр аргыг ашиглаж болно.

Риддерийн арга нь интервалын дунд байрлах функцийн утгыг тооцдог

. Дараа нь экспоненциал функцийг хайж олоод утгыг ашиглан хөвчний аргыг хэрэглэнэ. Дараагийн утгыг (1.5) томъёог ашиглан тооцоолно.

Брентметод нь Риддерийн аргын хурд болон хоёр хэсгийг хуваах аргын баталгаатай нийлэлтийг хослуулсан. Энэ арга нь урвуу квадрат интерполяцыг ашигладаг, өөрөөр хэлбэл х-г у-ийн квадрат функц болгон хайдаг. Алхам бүрт үндэсийн байршлыг шалгана. Аргын томъёо нь нэлээд төвөгтэй тул бид тэдгээрийг танилцуулахгүй.

Олон гишүүнтийн үндсийг олохын тулд тусгай аргуудыг ашигладаг. Энэ тохиолдолд бүх үндэсийг олж болно. Олон гишүүнтийн язгууруудын аль нэгийг олсны дараа олон гишүүнтийн зэрэглэлийг бууруулж, дараа нь язгуурын хайлтыг давтаж болно.

Бельгийн математикч Ж.Данделин, Оросын математикч Н.И.Лобачевский (1834 онд хамгийн төгс хэлбэрээр), Швейцарийн математикч К.Грефф нар бие биенээсээ хамааралгүйгээр олсон алгебрийн тэгшитгэлийг ойролцоо (тоон) аргаар шийдвэрлэх арга болох Лобачевскийн арга. Шугаман аргын мөн чанар нь f1(x) = 0 тэгшитгэлийг байгуулах бөгөөд язгуурууд нь анхны f(x) = 0 тэгшитгэлийн квадрат язгуур юм. Дараа нь f2(x) = 0 тэгшитгэлийг байгуулна. язгуурууд нь f1(x) = 0 тэгшитгэлийн квадрат язгуурууд юм. Энэ үйлдлийг хэд хэдэн удаа давтвал язгуур нь маш их тусгаарлагдсан тэгшитгэл гарна. Хэрэв анхны тэгшитгэлийн бүх үндэс нь бодит бөгөөд үнэмлэхүй утгаараа ялгаатай бол язгуурын ойролцоо утгыг олох шугаман аргуудын энгийн тооцооллын схемүүд байдаг. Үнэмлэхүй утгаараа тэнцүү үндэс, түүнчлэн нарийн төвөгтэй язгууруудын хувьд шугаман тоолуурын тооцооллын схемүүд нь маш нарийн төвөгтэй байдаг.

Лагерийн арга нь олон гишүүнтийн дараах харилцаанд суурилдаг

Үндэсний урд байгаа тэмдгийг хамгийн том хуваагч утгыг авахаар сонгосон.

Олон гишүүнтийн үндсийг олох өөр нэг арга бол дагалдах матрицын арга юм. матриц гэдгийг баталж болно

олон гишүүнт дагалдах матриц гэж нэрлэдэг

, олон гишүүнтийн үндэстэй тэнцүү хувийн утгатай байна. Матрицын хувийн утга нь  тэнцүү буюу тэнцүү байх тоонууд гэдгийг санаарай. Хувийн утгыг олох маш үр дүнтэй аргууд байдаг бөгөөд тэдгээрийн заримыг бид цаашид авч үзэх болно. Тиймээс олон гишүүнтийн үндсийг олох асуудлыг дагалдах матрицын хувийн утгыг олох асуудал болгон бууруулж болно.

2 Хорнерын схем

Хорнерын схемийг ашиглан тооцоо хийх нь илүү үр дүнтэй болж хувирсан бөгөөд энэ нь тийм ч төвөгтэй биш юм. Энэхүү схем нь олон гишүүнтийн дараах дүрслэл дээр суурилдаг.

p(x) = ((... ((anx + an-1)x + an-2)x + ... + a2)x + a1)x + a0.

Энэ хэлбэрийн ерөнхий олон гишүүнтийг авъя:

p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.

a, ..., a0 бүх коэффициентүүд нь мэдэгдэж байгаа, тогтмол бөгөөд массив дотор хадгалагддаг гэж бид таамаглах болно. Энэ нь олон гишүүнтийг үнэлэх цорын ганц оролт нь х-ийн утга бөгөөд програмын гаралт нь х цэг дээрх олон гишүүнтийн утга байх ёстой гэсэн үг юм.

2.2-т заасан тодорхойлолт, мэдэгдлүүдийг эндээс олж болно .

Олон гишүүнтийн үндэс нь тоо юм тиймэрхүү
.

Безутын теорем. Аливаа функцийн хувьд
болон тоонууд
тэгш байдал үнэн:

Хаана
.

Үр дагавар.Тоо нь зөвхөн болон зөвхөн тохиолдолд үндэс юм
хуваасан
ул мөргүй.

Хэлбэрийн олон гишүүнт хуваахад тохиромжтой (
) нь Хорнерын схем юм. Бид хүснэгт зурж, эхний мөрөнд бүх коэффициентийг бичнэ
(тэгийг оруулаад).

- хэсэгчилсэн хуваах коэффициент
дээр (
);- Безоутын теоремын дагуу тэнцүү хуваалтын үлдэгдэл
. Хэрэв = 0, тэгвэл тэд ингэж хэлдэг
хуваагдсан (
) бүрэн ба - олон гишүүнтийн үндэс
.

Жишээ 33Хуваах
.

Шийдэл.Хорнерын схемийг ашиглая. Хүснэгт зурж, тооцоо хийцгээе.

Тэгэхээр, хаана - бүрэн бус хэсгийн коэффициент. Тиймээс,.

Жишээ 34Функцийн утгыг ол
цэг дээр

x = ‑2.

Шийдэл.Хорнерын схемийг ашиглан бид хуваадаг
олон гишүүнт рүү
. Хүснэгтийг бөглөхдөө дөрөв ба хоёрдугаар зэрэглэлийн коэффициентүүд, олон гишүүнт дэх чөлөөт нэр томъёо нь 0-тэй тэнцүү байгааг харгалзан үзнэ.

	2

Тооцооллын үр дүнд бид -8-тай тэнцэх үлдэгдлийг авсан. Безоутын теоремоор бол утгатай тэнцүү байна
цэг дээр x = ‑2.

Хариулт: (-8).

2.1-д авч үзсэн хуваах алгоритм нь аль ч зэрэгтэй олон гишүүнт хуваагдахад хамаарах боловч Хорнерын схем нь зөвхөн (-д) хуваагдахад хамаарна.
).

1. Бууруулах боломжгүй олон гишүүнтүүд

2.3-ын тодорхойлолт ба мэдэгдлүүдийг эндээс олж болно. Бодит коэффициент бүхий олон гишүүнт
олон гишүүнт байхгүй бол бууруулж болохгүй
Тэгээд
бага зэрэгтэй бодит коэффициентүүдтэй
, ийм
. Өөрөөр хэлбэл, бууруулж болохгүй олон гишүүнтийг доод зэрэглэлийн олон гишүүнтүүдийн үржвэр болгон өргөжүүлж болохгүй.

Мэдэгдэл. Бодит коэффициент бүхий бууруулж болохгүй олон гишүүнтүүд нь сөрөг дискриминанттай 1, 2-р зэргийн олон гишүүнтүүд бөгөөд зөвхөн эдгээр нь.

Олон гишүүнтийг хүчин зүйл болгох нь түүнийг бууруулж болохгүй олон гишүүнтүүдийн үржвэр хэлбэрээр дүрслэх явдал юм.

Олон гишүүнтийг хүчинжүүлэх үндсэн аргууд:

1. Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргах.

2. Үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглах.

Жишээ 35
.

=. Задрахдаа бид томъёог ашигласан.

3. Бүлэглэх арга.

Жишээ 36Олон гишүүнт хүчин зүйл
.

Бид 5-р хүчин зүйлийг агуулсан нэр томъёог нэгтгэдэг:

=
=
=

= [хаалтнаас нийтлэг хүчин зүйлийг авч үзье] =

Жишээ 37Олон гишүүнт хүчин зүйл
.

Бид эхнийхээс эхлэн нэр томъёог бүлэглэв:

Бид дөрвөлжин гурвалжны үндсийг олох замаар үржүүлнэ.

. Эцэст нь

4. Үндэс сонгох арга.

Энэ арга нь дараахь мэдэгдлүүд дээр суурилдаг.

Мэдэгдэл 1. Хэрэв олон гишүүнтийн хувьд

тоо
- үндэс, тэгвэл тэгш байдал үнэн болно.

Мэдэгдэл 2. Тэргүүлэх коэффициент нь 1-тэй тэнцүү олон гишүүнтийн хувьд зөвхөн чөлөөт гишүүний хуваагч нь бүхэл язгууртай байж болно.

Жишээ 38Олон гишүүнтийн боломжит бүхэл язгуурууд
тоонууд байж болно
. Сонгох аргыг ашиглан үүнийг тогтоож болно
тиймээс 1 нь олон гишүүнтийн үндэс юм.

Жишээ 39Олон гишүүнт хүчин зүйл.

Шийдэл. 2-р мэдэгдлийн дагуу олон гишүүнтийн цорын ганц боломжтой бүхэл язгуур нь -5 тооны хуваагч байж болно. Эдгээр нь тоо юм
. Цэг дэх олон гишүүнтийн утгыг олъё x = ‑ 1:

Тиймээс олон гишүүнтийн үндэс
байна x = -1. Олон гишүүнтийг хуваа
дээр ( x + 1). Безутын теоремын дагуу
(-д хуваагдах ёстой) x + 1) бүрэн, өөрөөр хэлбэл хуваагдлын үлдэгдэл нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Хуваахдаа бид Хорнерын схемийг ашиглана.

Сүүлийн баганад авсан тоо нь тооцооллын зөв эсэхийг шалгах боломжийг танд олгоно. Хэрэв үр дүн нь тэг байвал бүх тооцоо зөв байна. Хэрэв сүүлийн баганад байгаа тоо тэгээс өөр байвал үндэс нь буруу олдсон эсвэл Хорнерын схемийн дагуу тооцоолол буруу хийгдсэн гэсэн үг юм.

Тэгэхээр: . Хуваалтаас үүссэн олон гишүүнтээс хойш
бууруулах боломжгүй бол хүчин зүйлчлэлийг үргэлжлүүлэх шаардлагатай. Олон гишүүнтийн хувьд
боломжит үндэс нь тоо юм
. Бид олдог:. Тиймээс 1 нь олон гишүүнтийн үндэс юм
. Үүнийг хувааж үзье ( x - 1) Хорнерын схемийн дагуу.

Сүүлийн багана нь тэг байна. Энэ нь тооцоолол зөв гэсэн үг.

Бидэнд байгаа: . Олон гишүүнт байгаа эсэхийг шалгацгаая
бууруулж боломгүй. Стандарт томъёог ашиглан үндсийг нь олъё:

. Энэхүү квадрат гурвалжны дискриминант нь сөрөг тул бодит тоонуудын олонлог дээр энэ нь буурах боломжгүй юм.

К- энэ бол элемент юм c ∈ K (\ displaystyle c \ in K)(эсвэл K талбайн өргөтгөлийн элемент) дараах хоёр ижил нөхцөл хангагдсан байхаар: a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n = 0 (\displaystyle a_(0)+a_(1)x+\dots +a_(n)x^(n)=0)

Хоёр томьёоны эквивалент нь Безутын теоремоос үүдэлтэй. Төрөл бүрийн эх сурвалжид хоёр томъёоллын аль нэгийг нь тодорхойлолт болгон сонгож, нөгөөг нь теорем болгон гаргадаг.

Тэд үндсийг нь хэлдэг c (\displaystyle c)Байгаа олон талт байдал m (\displaystyle m), хэрэв тухайн олон гишүүнт хуваагддаг бол (x − c) m (\displaystyle (x-c)^(m))ба хуваагдахгүй (x − c) m + 1 . (\displaystyle (x-c)^(m+1).)Жишээлбэл, олон гишүүнт x 2 − 2 x + 1 (\displaystyle x^(2)-2x+1)-тэй тэнцүү нэг үндэстэй 1 , (\displaystyle 1,)олон талт байдал 2. “Олон үндэс” гэсэн илэрхийлэл нь язгуурын үржвэр нэгээс их байна гэсэн үг.

Үл хөдлөх хөрөнгө

P (x) = a n (x − c 1) (x − c 2) … (x − c n) , (\displaystyle p(x)=a_(n)(x-c_(1))(x-c_( 2))\ldots (x-c_(n)),)Олон гишүүнтийн язгуур (ерөнхий тохиолдолд цогцолбор) хаана байна, давтагдах боломжтой, хэрэв язгуур дунд байвал c 1 , c 2 , … , c n (\displaystyle c_(1),c_(2),\ldots,c_(n))олон гишүүнт p (x) (\displaystyle p(x))тэнцүү бол тэдгээрийн нийтлэг утга гэж нэрлэдэг олон үндэс.

Үндэс олох

Шугаман ба квадрат олон гишүүнтийн үндсийг олох арга, өөрөөр хэлбэл шугаман ба квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга нь эртний ертөнцөд мэдэгдэж байсан. Гурав дахь зэрэглэлийн ерөнхий тэгшитгэлийн яг шийдлийн томъёог хайх ажил 16-р зууны эхний хагаст бүтээлүүдэд амжилтанд хүрэх хүртлээ удаан үргэлжилсэн (Омар Хайямын санал болгосон аргыг дурдах хэрэгтэй). Scipione del Ferro, Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano нар. Квадрат ба куб тэгшитгэлийн язгуурын томьёо нь дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэлийн язгуурын томъёог олж авахад харьцангуй хялбар болгосон.

Үндэс нь юугаараа нийтлэг байдаг тав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэлба түүнээс дээш утгыг рационал функцууд болон коэффициентийн радикалуудыг ашиглан илэрхийлээгүй гэдгийг Норвегийн математикч нотолсон.