Дээд зэрэглэлийн деривативууд

Энэ хичээлээр бид дээд эрэмбийн деривативуудыг хэрхэн олох, мөн бичих талаар сурах болно ерөнхий томъёо"n-р" дериватив. Нэмж дурдахад Лейбницийн томъёо нь ийм дериватив ба түгээмэл эрэлтийн дагуу дээд эрэмбийн дериватив юм. далд функц. Би танд нэн даруй мини тест хийхийг санал болгож байна:

Энд функц байна: мөн түүний анхны дериватив энд байна:

Хэрэв танд энэ жишээн дээр ямар нэгэн бэрхшээл/төөрөгдөл байгаа бол миний хичээлийн үндсэн хоёр нийтлэлээс эхлээрэй: Деривативыг хэрхэн олох вэ?Тэгээд Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив. Анхан шатны деривативуудыг эзэмшсэний дараа би хичээлийг уншихыг зөвлөж байна Деривативтай холбоотой хамгийн энгийн асуудлууд, тухайлбал бидний ярилцсан хоёр дахь дериватив.

Хоёр дахь дериватив нь 1-р деривативын дериватив гэдгийг таахад хэцүү биш юм.

Зарчмын хувьд хоёр дахь дериватив нь аль хэдийн дээд эрэмбийн дериватив гэж тооцогддог.

Үүний нэгэн адил: гурав дахь дериватив нь 2-р деривативын дериватив юм:

Дөрөв дэх дериватив нь 3-р деривативын дериватив юм:

Тав дахь дериватив: , мөн дээд эрэмбийн бүх деривативууд тэгтэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой.

Ромын дугаарлалтаас гадна дараахь тэмдэглэгээг практикт ихэвчлэн ашигладаг.
, “n-р” эрэмбийн деривативыг . Энэ тохиолдолд дээд бичгийг хаалтанд оруулах ёстой– деривативыг “y”-ээс градусаар ялгах.

Заримдаа та иймэрхүү зүйлийг хардаг: – гурав, дөрөв, тав, ..., “nth” деривативууд.

Айдас, эргэлзээгүйгээр урагшаа:

Жишээ 1

Функцийг өгсөн. олох.

Шийдэл: та юу хэлэх вэ ... - дөрөв дэх деривативыг үргэлжлүүлээрэй :)

Дөрвөн цус харвалт хийх заншил байхаа больсон тул бид тоон индекс рүү шилждэг.

Хариулах:

За, одоо энэ асуултын талаар бодоцгооё: нөхцөл нь 4-р биш, жишээлбэл 20-р деривативыг олох шаардлагатай бол яах вэ? Хэрэв деривативын хувьд 3-4-5 (хамгийн ихдээ 6-7 дахь)Хэмжээний дарааллаар, шийдэл нь маш хурдан албан ёсоор хийгдсэн бол бид удахгүй илүү өндөр эрэмбийн деривативуудад "хүрэхгүй" болно. Үнэндээ 20 мөр битгий бичээрэй! Ийм нөхцөлд та олсон хэд хэдэн деривативт дүн шинжилгээ хийж, загварыг харж, "n" деривативын томъёог үүсгэх хэрэгтэй. Тиймээс, жишээ №1-д дараагийн ялгах бүрт экспонентийн өмнө нэмэлт "гурав" гарч ирэх бөгөөд аль ч алхамд "гурав"-ын зэрэг нь түүний тоотой тэнцүү болохыг ойлгоход хялбар болно. дериватив, тиймээс:

Дурын натурал тоо хаана байна.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв , тэгвэл яг 1-р деривативыг олж авна: , хэрэв – дараа нь 2: гэх мэт. Тиймээс хорь дахь дериватив нь шууд тодорхойлогддог: - мөн "километрийн урт хуудас" байхгүй!

Өөрөө бие даан халаах:

Жишээ 2

Функцуудыг олох. Захиалгын деривативыг бичнэ үү

Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Хүчтэй халаалт хийсний дараа бид илүү ихийг үзэх болно нарийн төвөгтэй жишээнүүд, үүнд бид дээрх шийдлийн алгоритмыг боловсруулах болно. Хичээлтэй танилцаж чадсан хүмүүст зориулав Дарааллын хязгаарлалт, энэ нь арай хялбар байх болно:

Жишээ 3

Функц хайх.

Шийдэл: нөхцөл байдлыг тодруулахын тулд хэд хэдэн деривативуудыг олцгооё:

Бид үр дүнгийн тоог үржүүлэх гэж яарахгүй байна! ;-)


Магадгүй энэ нь хангалттай байх. ...Би бүр арай хэтрүүлсэн.

Дараагийн алхам бол "n" деривативын томъёог бүтээх явдал юм (хэрэв нөхцөл байдал үүнийг шаарддаггүй бол та ноорогтой байж болно). Үүнийг хийхийн тулд бид олж авсан үр дүнг харж, дараагийн дериватив бүрийг олж авсан хэв маягийг тодорхойлно.

Нэгдүгээрт, тэд ээлжлэн солигддог. Зохицуулалтыг баталгаажуулдаг "анивчдаг гэрэл", мөн 1-р дериватив эерэг тул дараах хүчин зүйл ерөнхий томъёонд орно. . Түүнтэй ижил сонголт бас ажиллах болно, гэхдээ би хувьдаа өөдрөг үзэлтэй хүний ​​хувьд нэмэх тэмдэгт дуртай =)

Хоёрдугаарт, тоологч дээр "салхи" хүчин зүйл, мөн энэ нь дериватив тооноос нэг нэгжээр хоцорч байна:

Гуравдугаарт, тоологч дахь "хоёр"-ын хүч нэмэгдэж, деривативын тоотой тэнцүү байна. Хуваарийн зэрэгтэй ижил зүйлийг хэлж болно. Эцэст нь:

Үүнийг шалгахын тулд "en" гэсэн хоёр утгыг орлъё, жишээ нь:

Гайхалтай, одоо алдаа хийх нь зүгээр л нүгэл юм:

Хариулах:

Өөрөө шийдэх энгийн функц:

Жишээ 4

Функцуудыг олох.

Мөн илүү сонирхолтой асуудал:

Жишээ 5

Функцуудыг олох.

Процедурыг дахин давтъя:

1) Эхлээд бид хэд хэдэн деривативуудыг олдог. Загварыг барихын тулд гурваас дөрөв нь ихэвчлэн хангалттай байдаг.

2) Дараа нь би хийхийг зөвлөж байна (наад зах нь ноорог хэлбэрээр)"n-р" дериватив - энэ нь таныг алдаанаас хамгаалах баталгаатай. Гэхдээ та үүнгүйгээр хийж болно, өөрөөр хэлбэл. оюун ухаанаар тооцоолж, нэн даруй бичих, жишээлбэл, хорь, найм дахь дериватив. Түүгээр ч зогсохгүй зарим хүмүүс амаар асуудлаа шийдэж чаддаг. Гэсэн хэдий ч "хурдан" аргууд нь хүндрэлтэй байдаг тул аюулгүй байх нь дээр гэдгийг санах хэрэгтэй.

3) Эцсийн шатанд бид "n" деривативыг шалгана - хос "n" утгыг (хөрш зэргэлдээх нь дээр) аваад орлуулалтыг хийнэ. Өмнө нь олдсон бүх деривативуудыг шалгах нь илүү найдвартай. Дараа нь бид үүнийг хүссэн утгаар нь орлуулж, жишээлбэл, үр дүнг нь сайтар самна.

Хичээлийн төгсгөлд 4, 5-р жишээнүүдийн товч шийдэл.

Зарим ажилд асуудал гарахаас зайлсхийхийн тулд та функц дээр бага зэрэг ид шид хийх хэрэгтэй.

Жишээ 6

Шийдэл: Санал болгож буй функцийг би огт ялгахыг хүсэхгүй байна, учир нь энэ нь "муу" бутархай гарах бөгөөд энэ нь дараагийн деривативуудыг олоход ихээхэн хүндрэл учруулах болно.

Үүнтэй холбогдуулан урьдчилсан өөрчлөлтийг хийхийг зөвлөж байна: бид ашигладаг квадрат зөрүүний томъёоТэгээд логарифмын шинж чанар :

Энэ бол огт өөр асуудал юм:

Мөн хуучин найзууд:

Бүх зүйлийг харж байгаа гэж бодож байна. 2-р бутархай тэмдэг ээлжлэн, харин 1-р бутархай биш гэдгийг анхаарна уу. Бид захиалгын деривативыг бүтээдэг:

Хяналт:

Гоо сайхны үүднээс хаалтнаас хүчин зүйлийг авч үзье.

Хариулах:

Өөрөө шийдэх сонирхолтой даалгавар:

Жишээ 7

Функцийн дарааллын дериватив томъёог бич

Одоо Италийн мафи хүртэл атаархах бат бөх харилцан баталгааны тухай:

Жишээ 8

Функцийг өгсөн. Хай

Цэг дэх арван найм дахь дериватив. Зүгээр л.

Шийдэл: эхлээд та олох хэрэгтэй. Явах:

Бид синусаас эхлээд синустай болсон. Цаашид ялгарах үед энэ мөчлөг хязгааргүй үргэлжлэх нь тодорхой бөгөөд дараах асуулт гарч ирнэ: арван найм дахь деривативт "авах" хамгийн сайн арга юу вэ?

"Сонирхогчдын" арга: баруун талд байгаа баганад дараагийн деривативуудын тоог хурдан бичнэ үү.

Тиймээс:

Гэхдээ деривативын дараалал хэтэрхий том биш бол энэ нь ажиллана. Хэрэв та зуу дахь деривативыг олох шаардлагатай бол 4-т хуваагдах чадварыг ашиглах хэрэгтэй. Зуу нь 4-т үлдэгдэлгүй хуваагддаг бөгөөд ийм тоонууд доод мөрөнд байрлаж байгааг харахад хялбар байдаг, тиймээс: .

Дашрамд хэлэхэд, 18-р деривативыг ижил төстэй үндэслэлээр тодорхойлж болно.
Хоёрдахь мөрөнд 4-т 2-т хуваагдах тоонууд байна.

Өөр нэг, илүү эрдэм шинжилгээний арга дээр суурилдаг синус үечлэлТэгээд бууруулах томъёо. Бид синусын "n" деривативын бэлэн томъёог ашигладаг , үүнд хүссэн тоог зүгээр л орлуулна. Жишээлбэл:
(бууруулах томъёо ) ;
(бууруулах томъёо )

Манай тохиолдолд:

(1) Синус нь цэг бүхий үечилсэн функц тул аргументыг 4 цэгийг (жишээ нь) өвдөлтгүй "зайлгах" боломжтой.

Хоёр функцийн үржвэрийн дарааллын деривативыг дараах томъёогоор олж болно.

Тухайлбал:

Ямар нэг зүйлийг тусгайлан санах шаардлагагүй, учир нь та олон томьёо мэдэх тусам бага ойлгох болно. Өөртэйгөө танилцах нь илүү ашигтай байдаг Ньютоны бином, учир нь Лейбницийн томьёо үүнтэй маш төстэй юм. За, 7 ба түүнээс дээш захиалгын деривативыг авах азтай хүмүүс (энэ нь үнэхээр магадлал багатай), үүнийг хийхээс өөр аргагүй болно. Гэсэн хэдий ч ээлж ирэхэд комбинаторик- тэгвэл та тэгэх ёстой =)

Функцийн гурав дахь деривативыг олъё. Бид Лейбницийн томъёог ашигладаг.

Энэ тохиолдолд: . Деривативуудыг амаар уншихад хялбар байдаг:

Одоо орлуулалтыг болгоомжтой, болгоомжтой хийж, үр дүнг хялбаршуулна уу:

Хариулах:

Бие даасан шийдлийн ижил төстэй даалгавар:

Жишээ 11

Онцлогуудыг хайж олох

Хэрэв өмнөх жишээн дээр "толгой" шийдэл нь Лейбницийн томъёотой өрсөлдсөн хэвээр байвал энэ нь үнэхээр тааламжгүй байх болно. Мөн илүү тааламжгүй - илүү өндөр эрэмбийн дериватив тохиолдолд:

Жишээ 12

Деривативыг ол заасан захиалга

Шийдэл: эхний бөгөөд чухал тэмдэглэл бол та ийм шийдвэр гаргах шаардлагагүй байж магадгүй юм =) =)

Функцуудыг бичээд 5-р эрэмбийг багтаасан деривативуудыг олцгооё. Баруун баганын деривативууд таны хувьд аман болсон гэж би бодож байна:

Зүүн баганад "амьд" деривативууд хурдан "төгссөн" бөгөөд энэ нь маш сайн юм - Лейбницийн томъёоны гурван нэр томъёог тэг болгон тохируулна:

-ийн тухай нийтлэлд гарсан бэрхшээлийн талаар дахин дурдъя нарийн төвөгтэй деривативууд: Би үр дүнг хялбарчлах ёстой юу? Зарчмын хувьд та үүнийг ингэж орхиж болно - багш үүнийг шалгахад илүү хялбар байх болно. Гэхдээ тэр шийдвэрээ эцэслэн гаргахыг шаардаж магадгүй. Нөгөөтэйгүүр, өөрийн санаачилгаар хялбарчлах нь алгебрийн алдаагаар дүүрэн байдаг. Гэсэн хэдий ч бидэнд "анхны" аргаар олж авсан хариулт байна =) (эхэнд байгаа холбоосыг үзнэ үү)мөн энэ нь зөв гэж найдаж байна:

Гайхалтай, бүх зүйл хамтдаа болсон.

Хариулах:

Бие даасан шийдэлд зориулсан аз жаргалтай даалгавар:

Жишээ 13

Функцийн хувьд:
a) шууд ялгах замаар олох;
б) Лейбницийн томъёог ашиглан олох;
в) тооцоолох.

Үгүй ээ, би садист хүн биш - энд "а" цэг маш энгийн =)

Гэхдээ нухацтай хэлэхэд, дараалсан ялгах замаар "шууд" шийдэл нь "амьдрах эрхтэй" - зарим тохиолдолд түүний нарийн төвөгтэй байдал нь Лейбницийн томъёог хэрэглэх нарийн төвөгтэй байдалтай харьцуулж болно. Хэрэв та үүнийг тохиромжтой гэж үзвэл ашиглаарай - энэ нь даалгавраа биелүүлэхгүй байх шалтгаан болохгүй.

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт.

Эцсийн догол мөрийг өсгөхийн тулд та чадвартай байх хэрэгтэй далд функцүүдийг ялгах:

Далд байдлаар тодорхойлсон функцүүдийн дээд эрэмбийн деривативууд

Бидний олонхи нь амьдралынхаа олон цаг, өдөр, долоо хоногуудыг суралцахад зарцуулсан тойрог, парабол, гипербол- заримдаа энэ нь жинхэнэ шийтгэл мэт санагдаж байсан. Тиймээс өшөөгөө авч, тэднийг зөв ялгаж салгацгаая!

"Сургууль" парабола дотроос эхэлцгээе каноник байрлал:

Жишээ 14

Тэгшитгэл өгөгдсөн. олох.

Шийдэл: Эхний алхам бол танил юм:

Функц ба түүний дериватив нь далд хэлбэрээр илэрхийлэгдэж байгаа нь асуудлын мөн чанарыг өөрчлөхгүй, хоёр дахь дериватив нь 1-р деривативын дериватив юм.

Гэсэн хэдий ч тоглоомын дүрмүүд байдаг: 2 ба түүнээс дээш эрэмбийн деривативуудыг ихэвчлэн илэрхийлдэг зөвхөн "X" ба "Y"-ээр дамжуулан. Тиймээс бид 2-р деривативт :-г орлоно:

Гурав дахь дериватив нь 2-р деривативын дериватив юм:

Үүнтэй адилаар орлуулъя:

Хариулах:

"Сургууль" гэсэн гипербол каноник байрлал- Учир нь бие даасан ажил:

Жишээ 15

Тэгшитгэл өгөгдсөн. олох.

2-р дериватив ба үр дүнг зөвхөн "x"/"y"-ээр илэрхийлэх ёстой гэдгийг би давтан хэлье!

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт.

Хүүхдүүдийн шоглоомын дараа Германы порнографыг харцгаая, насанд хүрэгчдийн илүү жишээг харцгаая, үүнээс бид өөр нэг чухал шийдлийг сурах болно.

Жишээ 16

Зууванөөрөө.

Шийдэл: 1-р деривативыг олъё:

Одоо зогсоож, дараагийн цэг дээр дүн шинжилгээ хийцгээе: одоо бид бутархайг ялгах хэрэгтэй, энэ нь тийм ч таатай биш юм. Энэ тохиолдолд энэ нь мэдээжийн хэрэг энгийн, гэхдээ бодит амьдрал дээр ийм бэлгүүд маш цөөхөн байдаг. Хэцүү дериватив олохоос зайлсхийх арга бий юу? Байгаа! Бид тэгшитгэлийг авч, 1-р деривативыг олохтой ижил техникийг ашигладаг - бид хоёр талдаа цус харвах "өлгөөтэй":

Хоёрдахь дериватив нь зөвхөн ба -аар илэрхийлэгдэх ёстой тул одоо (яг одоо) 1-р деривативаас салахад тохиромжтой. Үүнийг хийхийн тулд үүссэн тэгшитгэлд орлуулна уу:

Шаардлагагүй техникийн хүндрэлээс зайлсхийхийн тулд хоёр хэсгийг дараах байдлаар үржүүлье.

Зөвхөн эцсийн шатанд бид бутархайг томъёолдог.

Одоо бид анхны тэгшитгэлийг хараад олж авсан үр дүнг хялбаршуулж болохыг анзаарч байна.

Хариулах:

Аль ч цэг дээр 2-р деривативын утгыг хэрхэн олох вэ (Мэдээжийн хэрэг, энэ нь эллипсэд хамаарна)жишээлбэл, цэг дээр ? Маш амархан! Энэ сэдэл нь хичээл дээр аль хэдийн тааралдсан хэвийн тэгшитгэл: илэрхийлэлд 2-р деривативыг орлуулах хэрэгтэй :

Мэдээжийн хэрэг, бүх гурван тохиолдолд тодорхой тодорхойлогдсон функцүүдийг олж авах, тэдгээрийг ялгах боломжтой боловч дараа нь үндэс агуулсан хоёр функцтэй ажиллахад оюун санааны бэлтгэлтэй байх хэрэгтэй. Миний бодлоор "далд хэлбэрээр" шийдлийг хэрэгжүүлэх нь илүү тохиромжтой.

Өөрөө шийдэх эцсийн жишээ:

Жишээ 17

Далд заасан функцийг ол

Бүтээлийн текстийг зураг, томъёололгүйгээр нийтэлсэн.
Бүрэн хувилбаражлыг "Ажлын файлууд" табаас PDF форматаар авах боломжтой

"Би ч бас Ньютоны бином!»

"Мастер Маргарита хоёр" романаас

"Паскалын гурвалжин нь маш энгийн бөгөөд арван настай хүүхэд ч үүнийг бичиж чадна. Үүний зэрэгцээ шавхагдашгүй эрдэнэсийг нууж, хооронд нь холбож өгдөг янз бүрийн талуудЭхлээд харахад бие биентэйгээ ижил төстэй зүйлгүй математикчид. Ийм ер бусын шинж чанарууд нь Паскалийн гурвалжинг бүх математикийн хамгийн гоёмсог диаграммуудын нэг гэж үзэх боломжийг бидэнд олгодог."

Мартин Гарднер.

Ажлын зорилго:үржүүлэх товчилсон томъёог ерөнхийд нь гаргаж, асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэглэхийг харуул.

Даалгаварууд:

1) энэ асуудлын талаархи мэдээллийг судалж, системчлэх;

2) Ньютоны биномийг ашигласан асуудлын жишээн дээр дүн шинжилгээ хийж, зэрэглэлийн нийлбэр ба зөрүүний томьёо.

Судалгааны объектууд:Ньютоны бином, нийлбэр ба чадлын зөрүүний томъёо.

Судалгааны аргууд:

Боловсролын болон түгээмэл шинжлэх ухааны уран зохиол, интернетийн эх сурвалжтай ажиллах.

Тооцоолол, харьцуулалт, дүн шинжилгээ, аналоги.

Хамааралтай байдал.Хүн ихэвчлэн бүхний тоог тоолох шаардлагатай асуудлуудтай тулгардаг боломжит арга замуудзарим объектын байршил эсвэл ямар нэгэн үйлдэл хийх боломжтой бүх арга замуудын тоо. Хүний сонгох ёстой өөр өөр зам эсвэл сонголтууд нь олон төрлийн хослолыг бий болгодог. Комбинаторик гэж нэрлэгддэг математикийн бүхэл бүтэн салбар нь тухайн тохиолдолд хэдэн хослол байдаг вэ гэсэн асуултын хариултыг хайж завгүй байна.

Олон мэргэшлийн төлөөлөгчид комбинаторын хэмжигдэхүүнтэй тулгардаг: химич, биологич, дизайнер, диспетчер гэх мэт. Комбинаторикийн сонирхол нэмэгдсэн. Сүүлийн үедкибернетик, компьютерийн технологийн хурдацтай хөгжлөөр тодорхойлогддог.

Оршил

Тэд ярилцагч өөрт тулгараад байгаа асуудлынхаа нарийн төвөгтэй байдлыг хэтрүүлж байгааг онцлон тэмдэглэхийг хүсвэл тэд: "Би Ньютоны биномт дуртай!" Гэж хэлдэг. Тэд хэлэхдээ, энд Ньютоны бином байна, энэ нь төвөгтэй, гэхдээ танд ямар асуудал байна вэ! Математиктай ямар ч хамааралгүй хүмүүс хүртэл Ньютоны биномийн талаар сонссон.

"Бином" гэдэг үг нь бином гэсэн утгатай, i.e. хоёр гишүүний нийлбэр. -аас сургуулийн курсТовчхон гэж нэрлэгддэг үржүүлэх томъёог мэддэг:

( А+ б) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a + b) 3 = a 3 +3а 2 b + 3ab 2 + б 3 .

Эдгээр томъёоны ерөнхий дүгнэлт нь Ньютоны бином томъёо гэж нэрлэгддэг томьёо юм. Квадрат, нийлбэр, шоо дөрвөлжингийн зөрүүг хүчин зүйлээр ялгах томъёог сургуульд бас ашигладаг. Тэд өөр түвшинд ерөнхийлдөг үү? Тиймээ, ийм томъёо байдаг, тэдгээрийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг янз бүрийн даалгавар: хуваагдах чадварыг батлах, бутархайг багасгах, ойролцоо тооцоолол.

Ерөнхий томъёог судлах нь дедуктив-математик сэтгэлгээ, ерөнхий сэтгэн бодох чадварыг хөгжүүлдэг.

БҮЛЭГ 1. НЬЮТОНЫ БИНОМ ТОМЪЁО

Хослол ба тэдгээрийн шинж чанарууд

X нь n элементээс бүрдсэн олонлог байцгаая. k элемент агуулсан X олонлогийн Y дэд олонлогийг n-ээс k ≤ n-тэй k элементийн хослол гэнэ.

n-ээс k элементийн өөр өөр хослолын тоог C n k гэж тэмдэглэнэ. Комбинаторикийн хамгийн чухал томъёонуудын нэг бол C n k тооны дараах томъёо юм.

Үүнийг тодорхой товчлолын дараа дараах байдлаар бичиж болно.

Тухайлбал,

Энэ нь X олонлогт 0 элементээс бүрдсэн зөвхөн нэг дэд олонлог байдаг - хоосон дэд олонлогтой нэлээд нийцэж байна.

C n k тоонууд нь хэд хэдэн гайхалтай шинж чанартай байдаг.

Томъёо зөв: С n k = С n - k n , (3)

Томъёоны (3) утга нь X-ийн бүх k гишүүн дэд олонлог ба X-ийн бүх (n - k) гишүүн дэд олонлогуудын хооронд нэг нэгээр нь харгалзах явдал юм: энэ захидал харилцааг тогтоохын тулд, Энэ нь Y-ийн k гишүүн дэд олонлог бүрт хангалттай бөгөөд X олонлогт түүний нэмэлтийг харьцуулна.

Зөв томьёо нь С 0 n + С 1 n + С 2 n + … + С n n = 2 n (4)

Зүүн талд байгаа нийлбэр нь X олонлогийн бүх дэд олонлогуудын тоог илэрхийлнэ (C 0 n нь 0 гишүүнтэй дэд олонлогуудын тоо, C 1 n нь нэг гишүүнтэй дэд олонлогуудын тоо гэх мэт).

Аливаа k, 1≤ k≤ n-ийн хувьд тэгш байдал нь үнэн юм

C k n = C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

Энэ тэгш байдлыг (1) томъёог ашиглан олж авахад хялбар байдаг. Үнэхээр,

1.2. Ньютоны бином томъёоны гарал үүсэл

Хоёр гишүүний хүчийг авч үзье a +б .

n = 0, (a +б ) 0 = 1

n = 1, (a +б ) 1 = 1a+1б

n = 2,(а +б ) 2 = 1а 2 + 2аб +1 б 2

n = 3,(а +б ) 3 = 1 a 3 + 3а 2 б + 3аб 2 +1 б 3

n = 4,(а +б ) 4 = 1а 4 + 4a 3 б + 6а 2 б 2 +4аб 3 +1 б 4

n = 5,(а +б ) 5 = 1а 5 + 5а 4 б + 10а 3 б 2 + 10а 2 б 3 + 5аб 4 + 1 б 5

Дараах хэв маягийг анхаарч үзээрэй.

Үүссэн олон гишүүнтийн гишүүний тоо нь хоёр гишүүний илтгэгчээс нэг их;

Эхний гишүүний илтгэгч n-ээс 0 хүртэл буурч, хоёр дахь гишүүний илтгэгч 0-ээс n хүртэл;

Бүх мономиалуудын зэрэг нь нөхцөл дэх биномийн зэрэгтэй тэнцүү байна;

Мономиаль бүр нь янз бүрийн эрх бүхий эхний ба хоёр дахь илэрхийллийн үр дүн бөгөөд тодорхой тоо - бином коэффициент;

Өргөлтийн эхэн ба төгсгөлөөс ижил зайд орших бином коэффициентүүд тэнцүү байна.

Эдгээр томъёоны ерөнхий дүгнэлт нь Ньютоны бином томъёо гэж нэрлэгддэг дараах томъёо юм.

(а + б ) n = C 0 n а n б 0 + C 1 n а n -1 б + C 2 n а n -2 б 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n а 0 б n . (6)

Энэ томъёонд nямар ч натурал тоо байж болно.

(6) томъёог гаргацгаая. Юуны өмнө бичье:

(а + б ) n = (а + б )(а + б ) ... (а + б ), (7)

үржүүлэх хаалтны тоо тэнцүү байна n. Нийлбэрийг нийлбэрээр үржүүлэх ердийн дүрмийн дагуу илэрхийлэл (7) нь бүх боломжит бүтээгдэхүүний нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд үүнийг дараах байдлаар бүрдүүлж болно: нийлбэрийн эхний аль ч гишүүн. a + bхоёр дахь нийлбэрийн аль ч гишүүнээр үржүүлнэ a+b, гурав дахь нийлбэрийн аль ч нөхцөлд гэх мэт.

Дээрхээс харахад илэрхийлэл дэх нэр томъёо нь тодорхой байна (а + б ) nүсэгнээс тогтсон n урттай мөрт (нэг нэгээр) харгалзах а ба б.Нэр томъёоны дунд ижил төстэй нэр томъёо байх болно; Ийм гишүүд ижил тооны үсэг агуулсан тэмдэгт мөртэй тохирч байгаа нь илт байна А. Гэхдээ яг к үсэг агуулсан мөрийн тоо А, C n k -тэй тэнцүү байна. Энэ нь яг k дахин коэффициент бүхий a үсэг агуулсан бүх гишүүний нийлбэр нь C n k-тэй тэнцүү гэсэн үг юм. а n - к б к . k нь 0, 1, 2, ..., n-1, n утгыг авч чадах тул (6) томъёо нь бидний үндэслэлээс гарна. (6)-г богино бичиж болно гэдгийг анхаарна уу: (8)

Хэдийгээр (6) томъёог Ньютоны нэрээр нэрлэдэг боловч үнэн хэрэгтээ энэ нь Ньютоноос өмнө ч нээгдсэн (жишээлбэл, Паскаль үүнийг мэддэг байсан). Ньютоны гавъяа нь бүхэл бус илтгэгчийн хувьд энэ томьёоны ерөнхий дүгнэлтийг олсонд оршино. Энэ нь 1664-1665 онд И.Ньютон байсан юм. дурын бутархай болон сөрөг илтгэгчийн биномийн зэргийг илэрхийлсэн томьёог гаргаж авсан.

Томъёо (6)-д орсон C 0 n, C 1 n, ..., C n n тоонуудыг ихэвчлэн бином коэффициент гэж нэрлэдэг бөгөөд эдгээрийг дараах байдлаар тодорхойлно.

Томъёо (6)-аас эдгээр коэффициентүүдийн хэд хэдэн шинж чанарыг олж авах боломжтой. Жишээлбэл, таамаглаж байна А=1, b = 1, бид дараахь зүйлийг авна.

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... +C n n,

тэдгээр. томъёо (4). Хэрэв та тавьсан бол А= 1, b = -1, тэгвэл бид дараах байдалтай байна:

0 = C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

эсвэл C 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .

Энэ нь тэлэлтийн тэгш нөхцлийн коэффициентүүдийн нийлбэр нь тэлэлтийн сондгой нөхцлийн коэффициентүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна гэсэн үг юм; тус бүр нь 2 n -1-тэй тэнцүү байна.

Өргөтгөлийн төгсгөлөөс ижил зайд байгаа нэр томъёоны коэффициентүүд тэнцүү байна. Эдгээр шинж чанарууд нь харилцаанаас үүсдэг: C n k = C n n - k

Сонирхолтой онцгой тохиолдол

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

эсвэл богино (x +1) n = ∑C n k x n - k .

1.3. Олон гишүүнт теорем

Теорем.

Баталгаа.

Хаалтуудыг нээсний дараа мономиал авахын тулд та үүнийг авсан хаалт, авсан хаалт гэх мэтийг сонгох хэрэгтэй. мөн тэдгээрээс авсан хаалтууд. Ижил нэр томъёог бууруулсны дараа энэ мономиалын коэффициент тоотой тэнцүү байнаийм сонголт хийх арга замууд. Сонгуулийн дэс дарааллын эхний алхамыг арга замаар, хоёр дахь шатыг нь, гурав дахь шатыг гэх мэт, 3 дахь шатыг нь арга замаар хийж болно. Шаардлагатай коэффициент бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна

БҮЛЭГ 2. Дээд зэрэглэлийн дериватив.

Дээд эрэмбийн деривативын тухай ойлголт.

Функцийг зарим интервалаар ялгах боломжтой байг. Дараа нь түүний дериватив нь ерөнхийдөө хамаарна X, өөрөөр хэлбэл функц юм X. Үүний үр дүнд үүнтэй холбоотойгоор дериватив байгаа эсэх асуудал дахин гарч ирж болно.

Тодорхойлолт . Эхний деривативын деривативыг нэрлэдэг Хоёрдахь эрэмбийн дериватив буюу хоёр дахь дериватив ба тэмдэгт буюу өөрөөр хэлбэл

Тодорхойлолт . Хоёр дахь деривативын деривативыг гуравдугаар эрэмбийн дериватив буюу гуравдугаар дериватив гэж нэрлэх ба эсвэл тэмдэгээр тэмдэглэнэ.

Тодорхойлолт . Деривативn --р захиалгафункцууд деривативын анхны дериватив гэж нэрлэдэг (n -1) энэ функцийн дарааллыг дараах тэмдгээр тэмдэглэнэ.

Тодорхойлолт . Эхнийхээс өндөр эрэмбийн деривативуудыг нэрлэдэг илүү өндөр деривативууд.

Сэтгэгдэл. Үүний нэгэн адил бид томъёог олж авах боломжтой n-функцийн дериватив:

Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн хоёр дахь дериватив

Хэрэв функцийг тэгшитгэлээр параметрийн дагуу өгөгдсөн бол хоёрдугаар эрэмбийн деривативыг олохын тулд түүний эхний деривативын илэрхийлэлийг ялгах шаардлагатай. нарийн төвөгтэй функцбие даасан хувьсагч.

Түүнээс хойш

мөн үүнийг харгалзан үзвэл,

Бид үүнийг ойлгодог, өөрөөр хэлбэл.

Гурав дахь деривативыг ижил төстэй байдлаар олж болно.

Нийлбэр, бүтээгдэхүүн, хуваалтын дифференциал.

Дифференциал нь үүсмэлийг бие даасан хувьсагчийн дифференциалаар үржүүлэх замаар гаргаж авдаг тул үндсэн үүсмэлийг мэдэж байх үндсэн функцууд, түүнчлэн дериватив олох дүрмүүдийн хувьд дифференциал олох ижил төстэй дүрмүүдэд хүрч болно.

1 0 . Тогтмолын дифференциал нь тэг байна.

2 0 . Хязгаарлагдмал тооны дифференциал функцүүдийн алгебрийн нийлбэрийн дифференциал нь эдгээр функцүүдийн дифференциалуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна. .

3 0 . Хоёр дифференциал функцийн үржвэрийн дифференциал нь эхний функцийн үржвэрүүдийн нийлбэр нь хоёр дахь функцын дифференциал, хоёр дахь функцийн дифференциалтай тэнцүү байна. .

Үр дагавар. Тогтмол үржүүлэгчийг дифференциал тэмдэгээс гаргаж болно.

2.3. Параметрээр тодорхойлсон функцууд, тэдгээрийн ялгаа.

Тодорхойлолт . Хэрэв хоёр хувьсагч хоёулаа байвал функцийг параметрийн дагуу тодорхойлсон гэж нэрлэдэг X Тэгээд y нь тус бүр нь ижил туслах хувьсагчийн нэг утгатай функц гэж тодорхойлогддог - параметрт :

Хаанат дотор харилцан адилгүй байдаг.

Сэтгэгдэл . Тойрог ба эллипсийн параметрийн тэгшитгэлийг танилцуулъя.

a) Эхлэл ба радиус дээр төвтэй тойрог rпараметрийн тэгшитгэлтэй:

б) Эллипсийн параметрийн тэгшитгэлийг бичье.

Параметрийг хассанаар тХаргалзан үзэж буй шугамуудын параметрийн тэгшитгэлээс тэдгээрийн каноник тэгшитгэлд хүрч болно.

Теорем . Хэрэв функц аргументаас y x нь параметрийн хувьд тэгшитгэлээр өгөгдсөн бөгөөд эндээс ялгах боломжтойт функцууд ба дараа нь.

2.4. Лейбницийн томъёо

Деривативыг олохын тулд nХоёр функцийн үржвэрийн 1-р дараалал болох Лейбницийн томъёо нь практик ач холбогдолтой юм.

Болъё уТэгээд v- хувьсагчийн зарим функцууд X, ямар ч дарааллын деривативтай ба y = uv. илэрхийлье n-функцийн деривативаар дамжуулан үүсмэл уТэгээд v .

Бид тууштай байдаг

Хоёр ба гурав дахь деривативуудын илэрхийлэл ба Ньютоны биномийг хоёр ба гурав дахь зэрэглэлээр өргөжүүлэхийн хоорондох аналогийг анзаарахад хялбар байдаг, гэхдээ экспонентийн оронд деривативын дарааллыг тодорхойлдог тоонууд, функцууд нь өөрөө байдаг. “тэг эрэмбийн дериватив” гэж үзэж болно. Үүнийг харгалзан бид Лейбницийн томъёог олж авна.

Энэ томъёог математикийн индукцээр баталж болно.

БҮЛЭГ 3. ЛАЙБНИЦИЙН ТОМЪЁОГ ХЭРЭГЛЭХ.

Хоёр функцийн үржвэрээс үүссэн аливаа эрэмбийн деривативыг тооцоолохын тулд хоёр функцийн үржвэрийн деривативыг тооцоолох томъёоны дараалсан хэрэглээг алгасахдаа ашиглана уу. Лейбницийн томъёо.

Энэ томъёог ашиглан бид хоёр функцийн үржвэрийн n-р эрэмбийн деривативыг тооцоолох жишээг авч үзэх болно.

Жишээ 1.

Функцийн хоёрдугаар эрэмбийн деривативыг ол

Тодорхойлолтын дагуу хоёр дахь дериватив нь эхний деривативын анхны дериватив, өөрөөр хэлбэл

Тиймээс бид эхлээд өгөгдсөн функцийн нэгдүгээр эрэмбийн деривативыг дагуу олно ялгах дүрэмболон ашиглах деривативын хүснэгт:

Одоо нэгдүгээр эрэмбийн деривативын деривативыг олъё. Энэ нь хүссэн хоёрдугаар эрэмбийн дериватив байх болно:

Хариулт:

Жишээ 2.

Функцийн 3-р эрэмбийн деривативыг ол

Шийдэл.

Бид өгөгдсөн функцийн дарааллын эхний, хоёр, гурав, гэх мэт деривативуудыг дараалан олоод 3-р деривативт ерөнхийлүүлж болох хэв маягийг бий болгоно.

Бид эхний эрэмбийн деривативыг олно хэсгийн дериватив:

Энд илэрхийллийг тооны факториал гэж нэрлэдэг. Тооны факториал нь нэгээс нэг хүртэлх тооны үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл

Хоёрдахь эрэмбийн дериватив нь эхний деривативын эхний дериватив, өөрөөр хэлбэл

Гурав дахь дарааллын дериватив:

Дөрөв дэх дериватив:

Загварыг анхаарна уу: тоологч хэсэгт деривативын дараалалтай тэнцүү тооны факториал байдаг бөгөөд хуваагч дахь хүчийг илэрхийлэх нь деривативын дарааллаас нэг их байна, өөрөөр хэлбэл

Хариулт.

Жишээ 3.

Нэг цэг дээрх функцийн гурав дахь деривативын утгыг ол.

Шийдэл.

дагуу дээд эрэмбийн деривативын хүснэгт, бидэнд байгаа:

Харж байгаа жишээн дээр бид олж авдаг

Деривативуудыг дараалан олох замаар ижил төстэй үр дүнд хүрч болохыг анхаарна уу.

IN өгсөн онооГурав дахь дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.

Хариулт:

Жишээ 4.

Функцийн хоёр дахь деривативыг ол

Шийдэл.Эхлээд анхны деривативыг олъё:

Хоёрдахь деривативыг олохын тулд бид эхний деривативын илэрхийлэлийг дахин ялгана.

Хариулт:

Жишээ 5.

Хэрвээ олоорой

Өгөгдсөн функц нь хоёр функцийн үржвэр тул дөрөвдүгээр эрэмбийн деривативыг олохын тулд Лейбницийн томъёог ашиглахыг зөвлөж байна.

Бүх деривативуудыг олж, нэр томъёоны коэффициентийг тооцоолъё.

1) Нэр томъёоны коэффициентийг тооцоолъё:

2) Функцийн деривативуудыг ол:

3) Функцийн деривативуудыг ол:

Хариулт:

Жишээ 6.

y=x 2 cos3x функц өгөгдсөн. Гурав дахь эрэмбийн деривативыг ол.

u=cos3x , v=x 2 гэж үзье . Дараа нь Лейбницийн томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

Энэ илэрхийлэл дэх дериватив нь дараах хэлбэртэй байна.

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

Тиймээс өгөгдсөн функцийн гурав дахь дериватив нь тэнцүү байна

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

Жишээ 7.

Деривативыг ол n дарааллын функц y=x 2 cosx.

Лейбницийн томъёог ашиглая гэж бодъёu=cosx, v=x 2 . Дараа нь

Цувралын үлдсэн нөхцлүүд тэгтэй тэнцүү байна, учир нь i>2 хувьд (x2)(i)=0.

Дериватив n Косинусын функцийн дараалал:

Тиймээс бидний функцийн дериватив нь тэнцүү байна

ДҮГНЭЛТ

Сургуульд үржүүлэх товчилсон томъёог судалж, ашигладаг: хоёр илэрхийлэлийн нийлбэрийн квадрат ба шоо ба зөрүү, хоёр илэрхийллийн квадратын зөрүү, нийлбэр ба кубын зөрүүг хүчин зүйл болгох томъёо. Эдгээр томъёонуудын ерөнхий дүгнэлт нь Ньютоны бином томьёо гэж нэрлэгддэг томьёо ба чадлын нийлбэр ба зөрүүг хүчин зүйлээр тооцох томъёо юм. Эдгээр томъёог янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг: хуваагдах чадварыг батлах, бутархайг багасгах, ойролцоо тооцоолол. Ньютоны биномтой нягт холбоотой Паскалийн гурвалжны сонирхолтой шинж чанаруудыг авч үзсэн.

Уг ажил нь сэдвийн талаархи мэдээллийг системчилсэн, Ньютоны биномийг ашигласан асуудлын жишээ, нийлбэр ба хүчний зөрүүний томьёог оруулсан болно. Бүтээлийг математикийн дугуйлангийн ажилд ашиглахаас гадна ашиглаж болно бие даан суралцахматематик сонирхдог хүмүүс.

АШИГЛАСАН ЭХ ҮҮСВЭРИЙН ЖАГСААЛТ

1.Виленкин Н.Я. Комбинаторик. - ред. "Шинжлэх ухаан". - М., 1969

2. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебр ба математик анализын эхлэл. 10-р анги: сурах бичиг. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагуудын үндсэн болон ахисан түвшний - М.: Просвещение, 2014. - 431 х.

3. Статистик, комбинаторик, магадлалын онолын асуудлуудыг шийдвэрлэх. 7-9-р анги / зохиогч - эмхэтгэгч В.Н. Студенецкая. - ред. 2-р, шинэчилсэн, - Волгоград: Багш, 2009.

4. Савушкина И.А., Хугаев К.Д., Тишкин С.Б. Алгебрийн тэгшитгэлөндөр зэрэг / Хэрэгслийн хэрэгсэлих дээд сургууль хоорондын бэлтгэл ангийн оюутнуудад зориулсан. - Санкт-Петербург, 2001 он.

5. Шарыгин И.Ф. Математикийн нэмэлт хичээл: Бодлого шийдвэрлэх. Заавар 10-р ангийн хувьд ахлах сургууль. - М.: Боловсрол, 1989.

6.Шинжлэх ухаан ба амьдрал, Ньютоны бином ба Паскалийн гурвалжин[Цахим нөөц]. - Хандалтын горим: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Лейбницийн томъёог өгсөн болно n-р тооцоохоёр функцийн үржвэрийн дериватив. Үүний нотолгоог хоёр янзаар өгдөг. n-р эрэмбийн деривативыг тооцоолох жишээг авч үзье.

Агуулга

Мөн үзнэ үү: Хоёр функцийн үржвэрийн дериватив

Лейбницийн томъёо

Лейбницийн томъёог ашиглан хоёр функцийн үржвэрийн n-р эрэмбийн деривативыг тооцоолж болно. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.
(1) ,
Хаана
- бином коэффициент.

Бином коэффициентүүд нь хоёр гишүүний хүчийг тэлэх коэффициентүүд бөгөөд:
.
Мөн тоо нь n-ээс k хүртэлх хослолын тоо юм.

Лейбницийн томъёоны баталгаа

Хоёр функцийн үржвэрийн деривативын томъёог ашиглацгаая.
(2) .
(2) томъёог дараах хэлбэрээр дахин бичье.
.
Өөрөөр хэлбэл, нэг функц нь х хувьсагчаас, нөгөө нь у хувьсагчаас хамаардаг гэж бид үздэг. Тооцооллын төгсгөлд бид таамаглаж байна. Дараа нь өмнөх томъёог дараах байдлаар бичиж болно.
(3) .
Дериватив нь нөхцлийн нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд гишүүн бүр нь хоёр функцийн үржвэр тул дээд эрэмбийн деривативыг тооцоолохын тулд (3) дүрмийг тууштай хэрэглэж болно.

Дараа нь n-р эрэмбийн деривативын хувьд бид:

.
Үүнийг харгалзан бид Лейбницийн томъёог олж авна.
(1) .

Индукцийн нотолгоо

Математикийн индукцийн аргыг ашиглан Лейбницийн томьёоны баталгааг үзүүлье.

Лейбницийн томъёог дахин бичье.
(4) .
n = 1-ийн хувьд бид дараах байдалтай байна:
.
Энэ бол хоёр функцийн үржвэрийн деривативын томъёо юм. Тэр шударга.

Томъёо (4) нь n-р эрэмбийн деривативт хүчинтэй гэж үзье. n + деривативын хувьд хүчинтэй гэдгийг баталъя 1 --р захиалга.

Ялгаж үзье (4):
;



.
Тиймээс бид олсон:
(5) .

(5)-д орлуулж, дараахь зүйлийг анхаарч үзээрэй.

.
Энэ нь томъёо (4) нь n + деривативын хувьд ижил хэлбэртэй байгааг харуулж байна 1 --р захиалга.

Тиймээс (4) томъёо нь n = хувьд хүчинтэй байна 1 . Зарим n = m тоонд тохирно гэсэн таамаглалаас n = m + -д тохирно гэсэн үг. 1 .
Лейбницийн томъёо батлагдсан.

Жишээ

Функцийн n-р деривативыг тооцоол
.

Лейбницийн томьёог хэрэгжүүлье
(2) .
Манай тохиолдолд
;
.

Деривативын хүснэгтээс бид:
.
Бид тригонометрийн функцүүдийн шинж чанаруудыг ашигладаг.
.
Дараа нь
.
Энэ нь синусын функцийг ялгах нь түүнийг -ээр шилжүүлэхэд хүргэдэг болохыг харуулж байна. Дараа нь
.

Функцийн деривативыг олох.
;
;
;
, .

Учир нь , тэгвэл Лейбницийн томъёонд зөвхөн эхний гурван гишүүн нь тэгээс өөр байна. Бином коэффициентийг олох.
;
.

Лейбницийн томъёоны дагуу бид дараах байдалтай байна.

.

Мөн үзнэ үү: